РОЗВ’ЯЗУВАННЯПРЯМОКУТНИХТРИКУТНИКІВ

Підготувала:Голуб Наталія АндріївнаТальнівська загальноосвітня

школа I-III ст.№2Тальнівського району

А

ВС

Означення :Прямокутним називається трикутник у якого один кут прямий.

катетигіпотенуза

А

ВС

Властивості прямокутного

трикутника

1. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90º. А+ В = 90º

2. Катет , який лежить проти кута 30º дорівнює половині гіпотенузи .Якщо А = 30º , то ВС = 0,5АВ

А

ВС

Теорема Піфагора

У прямокутному трикутникуквадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів .

АВ² =АС²+ВС²

А

ВС

Означення Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи .

sinА = ВСАВ sinВ = АС

АВ

А

ВС

Означення Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи .

cosА = АСАВ cosВ = ВС

АВ

А

ВС

Означення Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого .

tgА = ВСАС tgB = АС

ВС

А

ВС

Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника

Катет прямокутного трикутника дорівнює добутку:

- гіпотенузи на синус протилежного кута АС=АВsinB BC=ABsinA - гіпотенузи на косинус прилеглого кута AC=ABcosA ВC=ABcosВ

- другого катета на тангенс протилежногокута

AC=BCtgB BC=ACtgA

А

ВС

Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника

Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює частці від ділення :

- катета на синус протилежного кута АВ= АB= - катета на косинус прилеглого кута

AВ= АВ=

ВСsinA

АСsinВ

АСcosA

ВСcosВ

А

ВС

Значення синуса, косинуса і тангенса деяких кутів

α 0º 30º 45º 60º 90ºsin α 0 ½ √2 √3 1

cos α 1 √3 √2 ½ 0

tg α 0 √3 3

1 √3 -

2

22

Перевір себе

1 Який трикутник називається прямокутним?2 Сформулюйте теорему Піфагора.

3 Сформулюйте властивості прямокутного трикутника.4 Що називається синусом гострого кута прямокутного трикутника?5 Як знайти катети за гіпотенузою і гострим кутом?

6 Як знайти гіпотенузу за катетами ?

Піфагор Самоський(580-500рр до н.е )

Давньогрецький філософ,вчений , математик. Зробив значний вклад в розвиток тогочасної науки. Відкрите ним правило знаходження

величин сторін прямокутного трикут-ника, назване нині “теоремою Піфагора”,є головною і найкращою теоремоюгеометрії.

Розв’язування прямокутних трикутників

Умова задачі Розв’язання Дано: А=α, С=90º, АВ=с.Знайти: В, АС, ВС.

В=90º-α, ВС=сsinα,АС=сcosα.

Дано: А=α, С=90º , ВС=а.Знайти: В, АВ, АС.

В=90º-α, АВ= , АС=АВcosα .

аsinα

А

ВС

α сb

а

Умова задачі Розв’язання Дано: АВ=с, С=90º, ВС=а.Знайти: А, В, АС.

sinА= , В=90º- А ,АС=сcosА.

Дано: АС=b, С=90º, ВС=а.Знайти: А, В, АВ.

АВ=√а²+b² , sinА= , В=90º- А.

Розв’язування прямокутних трикутників

ас

аАВ

а

А

ВС

α сb

Розв’яжи самостійно

Діагональ прямокутника дорівнює 85 смі утворює зі стороною кут 65º. Знайдіть сторони прямокутника.

Задача 1

Задача 2Катет і гіпотенуза прямокутного трикутника пропорційні числам 7 і 25. Знайдіть синус,косинус і тангенс гострих кутів трикутника.

Розв’язання задачі 1 ВВ

А

В С

D

З ACD ( D=90º). AD=ACsinC, CD=ACcosC.

Дано: АС=85см, АСD=65º

Знайти: AD, CD.

Розв’язання.

AD=85sin65º=85·0,906=77,01

CD=85cos65º=85·0,423=35,96 Відповідь: 77,01см, 35,96см.

Розв’язання задачі 2А

ВС

Дано: АВС ( С=90º); АС:АВ=7:25Знайти:sinA,cosA, tgA sinB,cosB, tgB

Розв’язання.

24 7

ВСАС

ACAB

Нехай АС=7х, тоді АВ=25хВС=√АВ²-АС². ВС=√625х²-49х²=√576х²=24х

sinA= = ;ВСАB

2425 cosA= = ;7

25

tgA= = ; sinB= ;725

cosB= ;2425 tgB= .7

24

Прикладні задачі

Задача 1

Ширина будинку 7 м, довжина

крокви 4,5 м.

Під яким кутом крокви нахилені

до стелі ?

Розв’язання.А

В

С

Дано:АС=7м ; АВ=ВС=4,5м.Знайти : А.

К

ВК АС , АК=0,5АС, АК=3.5см. З АВК( К=90º)Τ

Розв’язання прикладної задачі

cosA= .AKAB cosA=0.777.

А=39ºВідповідь: 39º

Задача 2

Вершину дерева, віддаленого від даного

пункту на 16 м, видно під кутом 16º до

горизонту , а вершину другого дерева

віддаленого від цього самого пункту на

24 м, видно під кутом 19º. Яке дерево

вище і на скільки?

Розв’язання прикладної задачі

α

βA К C

B

М Дано:АС=24м ;КС=16мα=16º , β=19º

Знайти : АВ-КМРозв’язання

АВ=АСtgβ ; КМ=КСtgα .АВ=24·0,344=8,256м. КМ=16·0,287=4,592м.

АВ-КМ=3,664м.

Відповідь:3,664 м.