05 He phuong trinh - bookbooming

CHƯƠNG 2

2 3 7 13 9 2 3

x y zx y zx y z

Gi¶ng viªn: Phan §øc

Đại Số Tuyến Tính

§5: Hệ phương trình tuyến tính

Ví dụ: Cho hệ phương trình

1 2 3 4

2 3 5 22 3 4 0

3 8 5 3 24 2 7 9

x x x xx x x xx x x x

1 2 3 4

2 3 5 2 2 3 5 12 3 4 0 1 2 3 4

3 8 5 3 2 3 8 5 30 4 2 74 2 7 9

x x x xx x x x

Ax x x x

1 2 3 4

2 3 5 2 22 3 4 0 0

3 8 5 3 2 294 2 7 9

x x x xx x x x

Bx x x x

Ví dụ: Cho hệ phương trình1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 5 22 3 4 0

3 8 5 3 24 2 7 9

2 3 5 1 21 2 3 4 0

3 8 5 3 20 4 2 7 9

x x x xx x x xx x x x

Ví dụ:2 7 1 93 1 4 05 9 2 5

2 7 93 4 05 9 2 5

x y zx y zx y z

§5: Hệ Grame

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:

§5: Hệ Grame

Bài tập: Giải hệ phương trình sau:

2 12 3 53 2 1

x x xx x xx x x

1 1 22 1 33 2 1

1 1 25 1 31 2 1

1 1 22 5 33 1 1

1 1 12 1 53 2 1

= -19= -19

= -29= -29

= -9= -9

= -8= -8

§5: Hệ Grame

Dx DDx DDx D

§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss

Các phép biến đổi tương đương hệ phương trìnhCác phép biến đổi tương đương hệ phương trìnhNhân một số ( ) vào 2 vế của 1 PT của hệ.Nhân một số ( ) vào 2 vế của 1 PT của hệ.Đổi chỗ hai PT của hệ.Đổi chỗ hai PT của hệ.Nhân một số ( ) vào một PT rồi cộng vào Nhân một số ( ) vào một PT rồi cộng vào PT khác của hệ.PT khác của hệ.

12 3 2

x y zx y zx y z

12 3 22 4 2 10

x y zx y zx y z

2 4 2 101

x y zx y zx y z

Như vậy các phép biến đổi tương đương hệ PT chính là các phép BĐSC trên dòng của ma trận bổ sung tương ứng..

Xét hệ phương trình tổng quát sau:

Ta có ma trận bổ sung tương ứng

11 12 1 1 1

22 2 2 2

' ' ... ' ... ' '0 ' ... ' ... ' '... ... ... ... ... ... ...

' 0 0 ... ' ... ' '0 0 ... 0 ... 0.. .. .. .. .. .. ..0 0 ... 0 ... 0 0

r r r n r

a a a a ba a a b

A a a bk

Bằng các phép B ĐSC chuyển ma trận bổ sung về dạng:

Ma trận A’ tương ứng cho ta hệ PTTT

11 1 12 2 1 1 1

22 2 2 2 2

' ' ... ' ... ' '' ... ' ... ' '... ... ... ... ...

' ... ' '

0 0 ... 0 ... 0

r r n n

r r r r n n r

a x a x a x a x ba x a x a x b

a x a x b

x x x x k

Khi đó ta có: 1. Nếu thì PT thứ (r +1) vô nghiệm suy

ra hệ PT vô nghiệm. 2. Nếu thì hệ có nghiệm:

a. Nếu r = n (số ẩn) thì hệ PT có nghiện duy nhất. b. Nếu r < n (số ẩn) thì hệ PT có vô số nghiệm, phụ thuộc vào (n – r) tham số.

a. Khi r = n (số ẩn) thì hệ PT (II) viết dưới dạng:

11 1 12 2 1 1 1

22 2 2 2 2

' ' ... ' ... ' '' ... ' ... ' '... ... ... ... ...

' ... ' '... ... ...

r r n n

rr r rn n r

nn n n

a x a x a x a x ba x a x a x b

a x a x b

b. Khi r < n ta chuyển (n – r) ẩn sang vế phải của hệ PT ta được hệ PT sau:

Ta xem các ẩn ở vế phải là các tham số, sau đó giải các ẩn còn lại theo các tham số đó.

11 1 12 2 1 1( 1) 1 1 1

22 2 2 2( 1) 1 2 2

( 1) 1

' ' ... ' ' ... ' '

' ... ' ' ... ' '

... ... ... ... ...' ' ... ' '

r r r r n n

r r r r r r r n n r

a x a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x b

2 3 5 2 5 35 3 3 5

5 3 2(5 3) 7 15 3 5 3

7 1 65 3, 1 2

x y z x y zy z y z

x z z x zy z y z

x m xy m m yz m z

2 3 5 2 5 35 4 3 3 5 4

x y z t x y z ty z t y z t

2 14 1

h hh hh h

Vậy hệ phương trình

sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận bổ sung về dạng ma trận hình thang:

...bsA

Bài Tập: Giải hệ phương trình:

1 2 3 4

2 22 3 2 2

3 4 5 12 3 0

x x x xx x x x

x x xx x x x

2 14 1

1 1 2 1 20 3 7 4 20 3 4 5 10 0 4 2 2

h hh h

1 1 2 1 20 3 7 4 20 0 11 1 10 0 4 2 2

1 1 2 1 22 1 3 2 20 3 4 5 11 1 2 3 0

4 311 4

1 1 2 1 20 3 7 4 20 0 11 1 10 0 0 18 18

Bài Tập: Giải hệ phương trình:

1 2 3 4

2 5 13 4 3 14 7 1

2 5 5 8 2

x x x xx x x xx x x xx x x x

1 2 3 4

2 5 13 2 0

x x x xx x x

11 12 1 1 1

22 2 2 2

' ' ... ' ... ' '0 ' ... ' ... ' '... ... ... ... ... ... ...0 0 ... ' ... ' '0 0 ... 0 ... 0.. .. .. .. .. .. ..0 0 ... 0 ... 0 0

bsr r r n r

a a a a ba a a b

A a a bk

Bằng các phép B ĐSC chuyển ma trận bổ sung về dạng:

Khi đó ta có: 1. Nếu thì PT thứ (r +1) vô nghiệm suy

ra hệ PT vô nghiệm. 2. Nếu thì hệ có nghiệm:

a. Nếu r = n (số ẩn) thì hệ PT có nghiện duy nhất. b. Nếu r < n (số ẩn) thì hệ PT có vô số nghiệm, phụ thuộc vào (n – r) tham số.

1 ( ) 3 ( ) 4bsm r A r A

1 2 1 1 10 1 3 2 20 0 1 2 30 0 0 1 1

1 ( ) ( ) 3bsm r A r A n

Biện luận theo m số nghiệm của hệ:

2 13 2 2

( 1) 1

x y z ty z t

Hệ vô nghiệm

Hệ có VSN

Hệ có Ng duy nhất1 ( ) ( )bsm r A r A n

2 2 12 5 3 0

2 3 31

x y z tx y z t

y z tx y z mt

Bài tập: Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình

1 2 1 2 10 1 5 3 20 0 7 0 50 0 0 7 77 43

Ma trận bổ sung sau khi biến đổi sơ cấp

11 ( ) 3 ( ) 4bsm r A r A hệ vô nghiệm11 ( ) ( ) 4bsm r A r A hệ có nghiệm duy nhất

2 3 02 5 2 1

x y z tx y z t

y z at bx z t

Bài tập: Biện luận theo a, b số nghiệm của hệ phương trình

1 2 1 3 00 1 0 7 10 0 1 20 30 0 0 13 2

13 ( ) 4,a r A 2 ( ) 4bsb r A

Ma trận bổ sung sau khi biến đổi sơ cấp

13 ( ) 3a r A hệ có vô số nghiệm2 ( ) 3bsb r A hệ vô nghiệm

( ) 4bsb r A

hệ có nghiệm duy nhất

3 2 12 3 2

3 4 2 1

x y zx y mz

Bài tập: Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình

§5: Hệ PTTT thuần nhất

11 12 1

21 22 2

.. 0.. .. .. .. ..

m m mn

a a aa a a

Khi biện luận cho hệ thuần nhất ta chỉ quan tâm hạng của ma trận hệ số

Nhận xét: Trong hệ thuần nhất hạng của ma trận hệ số luôn bằng hạng của ma trận bổ sung

§5: Hệ PTTT thuần nhất Hệ thuần nhất chỉ có 2 trường hợp:

Hệ có nghiệm duy nhất Hạng ma trận hệ số bằng số ẩn của hệ

phương trình Hệ có vô số nghiệm

Hạng ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn của hệ phương trình

§5: Hệ PTTT thuần nhất Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì nghiệm duy

nhất đó là nghiệm tầm thường: (0,0,…,0). Ta gọi hệ thuần nhất chỉ có

nghiệm tầm thường. Nếu hệ có vô số nghiệm thì lúc đó ngoài

nghiệm tầm thường hệ còn có nghiệm khác nữa. Ta gọi hệ thuần nhất có nghiệm

không tầm thường.

Ví dụ: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường.

1 2 10 3 10 0 2

2 ( ) 3m r A

Ta có:Biến đổi

sơ cấp

Do đó với

Vậy với thì hệ có nghiệm không tầm thường

Ví dụ: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường.

Ta có 1 2 1det( ) 2 1 3

(3 6) 0m

05 He phuong trinh - bookbooming

Documents

Chuyen de phuong trinh he phuong trinh on thi dai hoc

Tuyen tap Phuong trinh He phuong trinh MS

Chuyen De Phuong Trinh va He Phuong Trinh

Phuong trinh luong giac.pdf

Phuong trinh&batphuongtrinh

Phuong Trinh Luong Giac 5

Phuong Trinh Dai So

Phuong trinh mu t sy

Phuong Phap Giai Phuong Trinh Vo Ty

phuong trinh vi phan

Giai phuong trinh bang excell

Phuong Trinh Vo Dinh

Phuong trinh

Phuong Trinh Vo Ty

Phuong trinh he_phuong_trinh_vo_ti_551

Thuyet Trinh Da Phuong Tirn

[] Chuyen de He Phuong Trinh

Phuong trinh va bat phuong trinh vo ti.pdf

Chuyen de Phuong Trinh He Phuong Trinh - Hay

Phuong Trinh Bessel