3.2. Ensimmäisen asteen polynomifunktio

3.2. Ensimmäisen asteen polynomifunktio

E.2. Laske funktion f(x) = 4x - 3 arvo, kun x = 2

f(2) = 4 · 2 - 3 = 5

3.2.2 Funktion määrittelyjoukko (MJ)Ne muuttujan arvot, joilla funktion arvot voidaan laskea

E.4. Mikä on funktion määrittelyjoukko, kun

xxf )( 1

2)(

x

xfa) f(x) = x + 1 b) c)

a) R

b) x ≥ 0

c) x ≠ 1

E.5. Piirrä funktion f(x) = x + 1 kuvaaja

b) Määritä funktion nollakohta

x + 1 = 0

x = -1

Lineaarinen funktio y = kx + b

Kuvaaja on suora

k = kulmakerroinjos k > 0, niin suora on nousevajos k < 0, niin suora on laskevajos k = 0, niin suora on x-akselin

suuntainenilmoittaa myös jyrkkyyden

b = vakiotermisuoran ja y-akselin leikkauspisteen y-

koordinaatti

E.7. Suorien yhtälöt ovat 6x + 2y = 2 ja 2x + 4y - 4 = 0. a) Määritä suorien kulmakertoimet b) Ovatko suorat nousevia vai laskevia c) Kumpi suora on jyrkempi

a) 2y = -6x + 2 4y = -2x + 4

y = -3x + 1 y = -½ x + 1

k = -3 k = -½

b) laskevia, koska k < 0

c) y = -3x + 1 on jyrkempi

Kirjan esimerkki 3, s. 75

Määritä pisteiden (-1, 1) ja (2, 0) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Suoran yhtälö muotoa y = kx + b

Suoralla olevat pisteet toteuttavat yhtälön:

1 = -k + b

0 = 2k + b

0 2

1

bk

bk

3k = -1

k = -1/3

sijoitus:

2*(-1/3) + b = 0

b = 2/3

3

2

3

1 xy

E.1. Ratkaise yhtälöpari

103 5

724

yx

yx | 3

| (-2)

20- 6y -10x -

21 6y 12x

2x = 1

x = ½

V: x = ½, y =2½

y sijoittamalla:

4·½ + 2y = 7

2y = 7 – 2

2y = 5

y = 2½

Tarkistus:

4 ½ + 2 2½ = 7 ./.

5 ½ + 3 2½ = 10 ./.

E.2. Ratkaise yhtälöpari

T1

053

02

yx

yx

5 3

02

yx

yx

5x = -5

x = -1

y sijoittamalla:

y = 2 (-1) = – 2

V: x = -1, y = -2

T.2.

Ratkaistaan ensin y:

2x – y = 0

y = 2x

Sijotetaan alempaa yhtälöön:

3x + 2x + 5 = 0

5x = – 5

x = -1

y sijoittamalla:

y = 2 (-1) = – 2

V: x = -1, y = -2

053

02

yx

yx

T.3.

Ratkaistaan ensin molemmista y:

2x – y = 0

y = 2x

3x + y + 5 = 0

y = -3x – 5

Merkitään y:n lausekkeet yhtä suuriksi:

2x = -3x – 5

2x + 3x = -5

5x = -5

x = -1

y sijoittamalla:

y = 2 (-1) = – 2

V: x = -1, y = -2

053

02

yx

yx

E.3. Ratkaise E.2. graafisesti

2x – y = 0

y = 2x

V: x = -1, y = -2

Huom:Aina likiarvo!Laske aina, jos ei nimenomaan pyydetä graafista ratkaisua

3x + y + 5 = 0 y = -3x – 5

E.5. Ratkaise yhtälöpari

0748

0724

yx

yx | (-2)

| 1

0 74y8x

0144y8x

-21 = 0

epätosi

V: Yhtälöllä ei ole ratkaisua

E.6. Ratkaise yhtälöpari

12

012

xy

yx

0 = 0

tosi

V: Kaikki suoran x – 2y + 1 = 0 pisteet

012yx

012y x

Yhtälöparin sovelluksia

E.1. Kuinka monta kanaa ja kania on miehen säkissä, kun päitä on yhteensä 8 ja jalkoja 22?

x = kanojen lkm

y = kanien lkm

224y2x

8y x | (-2)

| 1

22 4y2x

162y -2x -

2y = 6 | :2

y = 3

Sijoittamalla:

*) x + 3 = 8

x = 8 – 3

x = 5

V: 5 kanaa ja 3 kania

*

Reaalilukuvälit E.2. Esitä epäyhtälöin välia) 1,4 b) ]0,3] c) [-2, [

a) 1 ≤ x ≤ 4b) 0 < x ≤ 3c) x ≥ -2

E.3. Esitä hakasuluin välia) 6 < x < 8 b) 4 x < 10 c) x < 4

a) ]6, 8[

b) [4, 10[

c) ]- ∞, 4[

EPÄYHTÄLÖN RATKAISEMINEN

E.4. Ratkaise epäyhtälöa) 3x + 2 < x + 8 b) 2x – 3 < 4x + 5

a) 3x + 2 < x + 8 3x – x < 8 – 2 2x < 6 x < 3

b) 2x – 3 < 4x + 5 2x – 4x < 5 + 3 -2x < 8 x > -4

E.5. a)

4

12

2

xx

| *4

2x < 2x + 1

2x -2x < 1

0 < 1

tosi

x R

b) x(x – 4) < (x – 5)(x+1)

x2 – 4x < x2 + x – 5x – 5

x2 – 4x – x2 – x + 5x < -5

0 < -5

epätosi

V: ei ratkaisua

Kaksoisepäyhtälö1. ”JA”-ryhmän ratkaiseminenRatkaise JA sanan molemmilla puolilla olevat epäyhtälötMerkitse kummankin epäyhtälön ratkaisujoukot lukusuorataulukkoon omille riveilleen.Ratkaisujoukko (omalle riville) on näiden leikkausjoukko ts. alue, missä molemmat epäyhtälöt toteutuvat

Ratkaise a) 2x > 2 ja x - 4 < 02x > 2 | :2 x > 1 x - 4 < 0

x < 4

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

V: 1 < x < 4

Kaksoisepäyhtälön hajotus osaepäyhtälöiksia < b < c a < b JA b < c

Esimerkki

x - 3x < 0 < 1 - xx - 3x < 0 JA 0 < 1 - x -2x < 0 x < 1 x > 0Lukusuoralle”leikkausalue” on vastaus

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

V: 0 < x < 1

Eksponenttifunktio y = kx

Kuvaaja on koko ajan x-akselin yläpuolella, kulkee pisteen (0,1) kautta (k > 0)

Määrittelyjoukkoon koko R

Arvojoukkoon R+ eli positiivisten reaalilukujen joukko

kx on kasvava, jos k > 1 ELI kantaluku on > 1kx on vähenevä, jos 0 < k < 1 eli kantaluku välillä ]0,1[kx on vakiofunktio, jos k = 1

Eksponenttiyhtälöitä

Yhtälö, jossa kaksi termiä ja sama kantalukuSiirrä termit eri puolelle yhtälöäkx = ky x = y

Esimerkki3x = 9 3x = 32

x = 2

7x-3 = 49x

7x-3 = (72)x

7x-3 = 72x

x - 3 = 2x

x = -3

Eksponenttiepäyhtälöitä

Epäyhtälö, jossa kaksi termiä ja sama ykköstä suurempi kantalukuSiirrä termit eri puolille epäyhtälöä.kx < ky x < y (kun k > 1)

Epäyhtälö, jossa kaksi termiä ja sama ykköstä pienempi kantalukuMuuten samoin kuin yllä, muttaKäytä sääntöä kx < ky x > y (kun 0 < k < 1)Esimerkki 3x > 81 3x > 34 x > 4

4x-1 < 8 (22)x -1 < 23

22(x - 1) < 23

2(x - 1) < 3 2x - 2 < 3 2x < 5 x < 2,5

Esimerkki

Bakteerikanta kolminkertaistuu tunnissa

Jos kannan suuruus nyt on 25 miljardia

Kuinka paljon bakteereja on

a) Neljän tunnin kuluttua

b) Neljä tuntia sitten

c) Puoli tuntia sitten

a) 34 * 25 = 2000 (miljardia)

b) 3-4 * 25 = 0,31 (miljardia)

c) 3-0,5 * 25 = 14 (miljardia)

Esimerkki

Radioaktiivisen aineen määrä pienenee kahdeksassa päivässä neljännekseen alkuperäisestä.

Kuinka monta prosenttia aineesta hajoaa vuorokaudessa?

k8 * a = 0,25a

k8 = 0,25

a = alkuperäinen määrä

84,025,08 k

Vuorokaudessa aineen määrä tulee 0,84-kertaiseksi eli aineesta hajoaa 16%

POLYNOMIT

E.1. Mitkä ovat polynomin P(x) = 5x3 – 2x + aa) termit b) termien kertoimet c) astelukud) Onko polynomi monomi, binomi vai trinomi?

a) 5x3, -2x ja a (vakiotermi)b) 5, -2, ac) 3d) trinomi

E.2. Polynomin 2x + 1

aste on 1

kuvaaja on suora

E.3. Polynomin x2 – 1

aste on 2

kuvaaja on paraabeli

POLYNOMIN ARVON LASKEMINEN

Sijoitetaan muuttujan paikalle se luku, jolla polynomin arvoa ollaan laskemassa

E.4. Laske P(1), P(-2)kun a) P(x) = x2 – 2 b) P(x) = -x2 + 2x + a

a) P(1) = 12 – 2 = -1 P(-2) = (-2)2 – 2 = 4 – 2 = 2

b) P(1) = -12 + 2· 1 + a = -1 + 2 + a = 1 + a P(-2) = -(-2)2 + 2 · (-2) + a = -4 – 4 + a = -8 + a

E.5. a) Millä x:n arvolla P(x) = 2x – 4 saa arvon 6b) Ratkaise yhtälö P(x) = 0, kun P(x) = 2x + 1

a) P(x) = 6:

2x – 4 = 6 2x = 10 x = 5b) P(x) = 02x + 1 = 0 2x = -1 x = -½

POLYNOMIN YHTEEN- JA VÄHENNYSLASKU

E.7. Laskea) 4x3 + 3x3 = 7x3

b) 7x3 + 3x2 – 2x2 = 7x3 + x2

c) 4x3 – 2x2 + 1 + 4x2 –3x3 –2 = x3 + 2x2 - 1

E.8. Määritä polynomin P(x) = -x2 – 5x + 2 vastapolynomi

-P(x) = -(-x2 – 5x + 2) = x2 + 5x - 2

E.9. Laske polynomien p(x) = 3x2 – 2x + 1 ja q(x) = -x2 + 2x – 1 erotus

p(x) – q(x) = (3x2 – 2x + 1) – (-x2 + 2x – 1)

= 3x2 – 2x + 1 + x2 – 2x + 1

= 4x2 – 4x + 2

POLYNOMIEN KERTOLASKU

E.10. Laskea) –3x2 4x3 = -12x5

b) 4 5x - 10x = 20x – 10x = 10x

c) 4(3x – 2) =12x - 8

d) 4x(2x + 2) =8x2 + 8x

e) (2x – 1) (3x + 2) =6x2 + 4x – 3x – 2 = 6x2

+ x - 2

POLYNOMIN JAKAMINEN MONOOMILLAJokainen polynomin termi jaetaan monomilla

E.11. Laske

2

2423

6

1218)

8

2416)

6

12)

3

6)

x

xxd

xcx

xb

xa

Tekijöihin jako

Esimerkkejä

Jaa tekijöihin

6x + 12

=6(x + 2)

4x2 - 12x

=4x(x -3)

5.2. Binomin laskusääntöjä

5.2.1. Summan ja erotuksen tulo

(a + b)(a – b) = a2 – b2

E.1.

a) (x + 2) (x – 2)

= x2 – 22

= x2 – 4b) (y - 4) (y + 4) = y2 – 42 = y2 - 16c) (3x - 5) (3x + 5) = (3x)2 – 52 = 9x2 - 25d) (x2 + 3) (x2 – 3) = (x2)2 – 32 = x4 - 9e) (3 + x) (x – 3) = (x + 3)(x – 3) = x2 - 9f) 4(x + 1) (x – 1) = 4(x2 – 1) = 4x2 - 4

a2 – b2 = (a+b)(a – b)

E.2. Jaa tekijöihin

a) x2 – 9

= x2 – 32

= (x + 3)(x -3)

b) 4x2 – 25

= (2x)2 – 52

= (2x – 5)(2x + 5)

c) x4 – 4x2

= x2(x2 -4)

= x2(x + 2)(x – 2)

E.3. Poista neliöjuuret nimittäjästä

23

5

)23)(23(

)23(5

22 )2()3(

)23(5

23

)23(5

)23(5

BINOMIN NELIÖ

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

E.4.a) ( x + 3)2 = x2 + 2 x 3 + 32 = x2 + 6x + 9

b) ( x - 4)2 = x2 - 2 x 4 + 42 = x2 - 8x + 16

c) (3 x + 1)2 = (3x)2 - 2 3x 1 + 12 = 9x2 - 6x + 1

d) ( - ½x + 5)2 = (5 - ½x)2

= 52 - 2 5 ½x + (½x)2 = 25 - 5x + ¼ x2

= ¼ x2 – 5x +25

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

E.5. Jaa tekijöihin esittämällä binomin neliönä

a) x2 + 8x + 16= x2 + 2 x 4 + 42

= (x + 4)2

b) x2 + 20x + 100= x2 + 2 x 10 + 102

= (x + 10)2

c) 4x2 + 12x + 9= (2x)2 + 2 2x 3 + 32

= (2x + 3)2

Neliöjuuren määritelmän käyttöä

aba 2b ja 0b

Luvun a neliöjuuri:

172334635

Osoita likiarvoja käyttämättä, että

17231723 2 i) 1718 > 0

2)1723( 171723229 346351734618

= juurrettava

ii)

i) & ii) => väite

6.1.1. Polynomifunktion perusmuoto

E.1. p(x) = (x – 3)(3x – 4)2(x + 3)

= (x – 3) (x + 3)(3x – 4)2

= (x2 – 9)(9x2 – 24x + 16)

= 9x4 – 24x3 + 16x2 - 81x2 + 216x -144

= 9x4 – 24x3 - 65x2 + 216x -144

(perusmuoto)

asteluku: 4

aste myös: 1 + 2 + 1 = 4

laskemalla yhteen tulon tekijöiden asteet

6.1.2 Polynomifunktion tutkiminen graafisesti

E.1.

f(x) = x – 1

g(x) = –x2 + 2x + 1

a) g(x) = -2

b) f(x) = g(x)

c) f(x) < 2

d) g(x) ≥ f(x)

x = -1 ja x = 3

x = -1 ja x = 2

x < 3

-1 ≤ x ≤ 2

6.1.3. Polynomifunktio matemaattisena mallina

E.1. Tuotteiden hinta riippuu lineaarisesti niiden hinnasta

Kuukausittainen menekki astioille kuukaudessa:

Yksikköhinta menekki

10 150

15 110

a) f, joka ilmoittaa astioiden menekin hinnasta

f(x) = kx + b

f(10) = 150 f(15) = 110

11015

15010

bk

bk (-1)

11015

15010

bk

bk

5k = -40

k = -8

10(-8) + b = 150

b = 230

f(x) = -8x + 230

b) Mikä on funktion määrittelyehto

Hinta positiivinen

=> x > 0

Menekki positiivinen:

-8x + 230 > 0

-8x > -230

x < 28,75 0 < x < 28,75

c) Millä hinnalla menekki on 180?

-8x + 230 = 180 -8x = 180 – 230 -8x = -50 x = 6,25V: yksikköhinta 6,25 €

d) Kuvaaja