Click here to load reader

3.2. Ensimmäisen asteen polynomifunktio

  • View
    36

  • Download
    3

Embed Size (px)

DESCRIPTION

3.2. Ensimmäisen asteen polynomifunktio. E.2. Laske funktion f(x) = 4x - 3 arvo, kun x = 2. f(2) = 4 · 2 - 3 = 5. 3.2.2 Funktion määrittelyjoukko (MJ) Ne muuttujan arvot, joilla funktion arvot voidaan laskea E.4. Mikä on funktion määrittelyjoukko, kun. a) f(x) = x + 1b). c). a) R - PowerPoint PPT Presentation

Text of 3.2. Ensimmäisen asteen polynomifunktio

  • 3.2. Ensimmisen asteen polynomifunktioE.2. Laske funktion f(x) = 4x - 3 arvo, kun x = 2f(2) = 4 2 - 3 = 5

  • 3.2.2 Funktion mrittelyjoukko (MJ)Ne muuttujan arvot, joilla funktion arvot voidaan laskea

    E.4. Mik on funktion mrittelyjoukko, kun a) f(x) = x + 1b) c) a) Rb) x 0c) x 1

  • E.5. Piirr funktion f(x) = x + 1 kuvaajab) Mrit funktion nollakohtax + 1 = 0x = -1

  • Lineaarinen funktio y = kx + b

    Kuvaaja on suora

    k = kulmakerroinjos k > 0, niin suora on nousevajos k < 0, niin suora on laskevajos k = 0, niin suora on x-akselin suuntainenilmoittaa mys jyrkkyydenb = vakiotermisuoran ja y-akselin leikkauspisteen y-koordinaatti

  • E.7. Suorien yhtlt ovat 6x + 2y = 2 ja 2x + 4y - 4 = 0. a) Mrit suorien kulmakertoimet b) Ovatko suorat nousevia vai laskevia c) Kumpi suora on jyrkempia) 2y = -6x + 24y = -2x + 4 y = -3x + 1 y = - x + 1 k = -3 k = -

    b) laskevia, koska k < 0

    c) y = -3x + 1 on jyrkempi

  • Kirjan esimerkki 3, s. 75Mrit pisteiden (-1, 1) ja (2, 0) kautta kulkevan suoran yhtl.Suoran yhtl muotoa y = kx + bSuoralla olevat pisteet toteuttavat yhtln:1 = -k + b0 = 2k + b3k = -1k = -1/3sijoitus:2*(-1/3) + b = 0 b = 2/3

  • E.1. Ratkaise yhtlpari| 3| (-2)2x = 1 x = V:x = , y =2y sijoittamalla:4 + 2y = 7 2y = 7 2 2y = 5 y = 2Tarkistus:4 + 2 2 = 7 ./.5 + 3 2 = 10 ./.

  • E.2. Ratkaise yhtlpari

    T15x = -5 x = -1y sijoittamalla:

    y = 2 (-1) = 2

    V: x = -1, y = -2

  • T.2. Ratkaistaan ensin y:2x y = 0y = 2xSijotetaan alempaa yhtln:3x + 2x + 5 = 0 5x = 5 x = -1y sijoittamalla:y = 2 (-1) = 2V: x = -1, y = -2

  • T.3. Ratkaistaan ensin molemmista y:2x y = 0y = 2x

    3x + y + 5 = 0 y = -3x 5Merkitn y:n lausekkeet yht suuriksi: 2x = -3x 52x + 3x = -5 5x = -5 x = -1y sijoittamalla:y = 2 (-1) = 2V: x = -1, y = -2

  • E.3. Ratkaise E.2. graafisesti

    2x y = 0y = 2xV: x = -1, y = -2

    Huom:Aina likiarvo!Laske aina, jos ei nimenomaan pyydet graafista ratkaisua3x + y + 5 = 0 y = -3x 5

  • E.5. Ratkaise yhtlpari| (-2)| 1-21 = 0eptosiV: Yhtlll ei ole ratkaisua

  • E.6. Ratkaise yhtlpari 0 = 0 tosiV: Kaikki suoran x 2y + 1 = 0 pisteet

  • Yhtlparin sovelluksiaE.1. Kuinka monta kanaa ja kania on miehen skiss, kun pit on yhteens 8 ja jalkoja 22?

    x = kanojen lkmy = kanien lkm| (-2)| 12y = 6| :2y = 3Sijoittamalla:*) x + 3 = 8 x = 8 3 x = 5

    V: 5 kanaa ja 3 kania*

  • Reaalilukuvlit

    E.2. Esit epyhtlin vlia) 1,4b) ]0,3]c) [-2, [

    a) 1 x 4b) 0 < x 3c) x -2E.3. Esit hakasuluin vlia) 6 < x < 8b) 4 x < 10c) x < 4

    a) ]6, 8[

    b) [4, 10[

    c) ]- , 4[

  • EPYHTLN RATKAISEMINEN

    E.4. Ratkaise epyhtla) 3x + 2 < x + 8b) 2x 3 < 4x + 5

    a) 3x + 2 < x + 8 3x x < 8 2 2x < 6 x < 3

    b) 2x 3 < 4x + 5 2x 4x < 5 + 3 -2x < 8 x > -4

  • E.5. a) | *4 2x < 2x + 12x -2x < 1 0 < 1 tosix Rb)x(x 4) < (x 5)(x+1) x2 4x < x2 + x 5x 5x2 4x x2 x + 5x < -5 0 < -5 eptosi V: ei ratkaisua

  • Kaksoisepyhtl1. JA-ryhmn ratkaiseminenRatkaise JA sanan molemmilla puolilla olevat epyhtltMerkitse kummankin epyhtln ratkaisujoukot lukusuorataulukkoon omille riveilleen.Ratkaisujoukko (omalle riville) on niden leikkausjoukko ts. alue, miss molemmat epyhtlt toteutuvatRatkaise a) 2x > 2 ja x - 4 < 02x > 2 | :2 x > 1x - 4 < 0 x < 4V: 1 < x < 4

  • Kaksoisepyhtln hajotus osaepyhtliksia < b < c a < b JA b < c

    Esimerkki

    x - 3x < 0 < 1 - xx - 3x < 0JA0 < 1 - x -2x < 0x < 1 x > 0Lukusuoralleleikkausalue on vastausV: 0 < x < 1

  • Eksponenttifunktio y = kx

    Kuvaaja on koko ajan x-akselin ylpuolella, kulkee pisteen (0,1) kautta (k > 0)

    Mrittelyjoukkoon koko R

    Arvojoukkoon R+ eli positiivisten reaalilukujen joukko

    kx on kasvava, jos k > 1 ELI kantaluku on > 1kx on vhenev, jos 0 < k < 1 eli kantaluku vlill ]0,1[kx on vakiofunktio, jos k = 1

  • Eksponenttiyhtlit

    Yhtl, jossa kaksi termi ja sama kantalukuSiirr termit eri puolelle yhtlkx = ky x = y

    Esimerkki3x = 9 3x = 32 x = 2

    7x-3 = 49x 7x-3 = (72)x 7x-3 = 72x x - 3 = 2x x = -3

  • Eksponenttiepyhtlit

    Epyhtl, jossa kaksi termi ja sama ykkst suurempi kantalukuSiirr termit eri puolille epyhtl.kx < ky x < y (kun k > 1)

    Epyhtl, jossa kaksi termi ja sama ykkst pienempi kantalukuMuuten samoin kuin yll, muttaKyt snt kx < ky x > y (kun 0 < k < 1)Esimerkki 3x > 81 3x > 34 x > 44x-1 < 8 (22)x -1 < 23 22(x - 1) < 232(x - 1) < 3 2x - 2 < 3 2x < 5 x < 2,5

  • EsimerkkiBakteerikanta kolminkertaistuu tunnissaJos kannan suuruus nyt on 25 miljardiaKuinka paljon bakteereja ona) Neljn tunnin kuluttuab) Nelj tuntia sittenc) Puoli tuntia sittena) 34 * 25 = 2000 (miljardia)b) 3-4 * 25 = 0,31 (miljardia)c) 3-0,5 * 25 = 14 (miljardia)

  • EsimerkkiRadioaktiivisen aineen mr pienenee kahdeksassa pivss neljnnekseen alkuperisest. Kuinka monta prosenttia aineesta hajoaa vuorokaudessa?k8 * a = 0,25a k8 = 0,25a = alkuperinen mrVuorokaudessa aineen mr tulee 0,84-kertaiseksi eli aineesta hajoaa 16%

  • POLYNOMIT

    E.1.Mitk ovat polynomin P(x) = 5x3 2x + aa) termitb) termien kertoimetc) astelukud) Onko polynomi monomi, binomi vai trinomi?

    a) 5x3, -2x ja a (vakiotermi)b) 5, -2, ac) 3d) trinomi

  • E.2.Polynomin 2x + 1

    aste on 1

    kuvaaja on suora

    E.3.Polynomin x2 1

    aste on 2

    kuvaaja on paraabeli

  • POLYNOMIN ARVON LASKEMINEN

    Sijoitetaan muuttujan paikalle se luku, jolla polynomin arvoa ollaan laskemassa

    E.4. Laske P(1), P(-2)kun a) P(x) = x2 2 b) P(x) = -x2 + 2x + a

    a) P(1) = 12 2 = -1 P(-2) = (-2)2 2 = 4 2 = 2

    b) P(1) = -12 + 2 1 + a = -1 + 2 + a = 1 + a P(-2) = -(-2)2 + 2 (-2) + a = -4 4 + a = -8 + a

  • E.5.a) Mill x:n arvolla P(x) = 2x 4 saa arvon 6b) Ratkaise yhtl P(x) = 0, kun P(x) = 2x + 1

    a) P(x) = 6:

    2x 4 = 6 2x = 10 x = 5b) P(x) = 02x + 1 = 0 2x = -1 x = -

  • POLYNOMIN YHTEEN- JA VHENNYSLASKU

    E.7. Laskea) 4x3 + 3x3 = 7x3

    b) 7x3 + 3x2 2x2 = 7x3 + x2

    c) 4x3 2x2 + 1 + 4x2 3x3 2 = x3 + 2x2 - 1

  • E.8. Mrit polynomin P(x) = -x2 5x + 2 vastapolynomi

    -P(x) = -(-x2 5x + 2) = x2 + 5x - 2

    E.9. Laske polynomien p(x) = 3x2 2x + 1 ja q(x) = -x2 + 2x 1 erotus

    p(x) q(x) = (3x2 2x + 1) (-x2 + 2x 1)

    = 3x2 2x + 1 + x2 2x + 1

    = 4x2 4x + 2

  • POLYNOMIEN KERTOLASKU

    E.10. Laskea) 3x2 4x3 = -12x5

    b) 4 5x - 10x = 20x 10x = 10x

    c) 4(3x 2) =12x - 8

    d) 4x(2x + 2) =8x2 + 8x

    e) (2x 1) (3x + 2) =6x2 + 4x 3x 2 = 6x2 + x - 2

  • POLYNOMIN JAKAMINEN MONOOMILLAJokainen polynomin termi jaetaan monomilla

    E.11. Laske

  • Tekijihin jakoEsimerkkejJaa tekijihin6x + 12 =6(x + 2)

    4x2 - 12x=4x(x -3)

  • 5.2. Binomin laskusntj5.2.1. Summan ja erotuksen tulo (a + b)(a b) = a2 b2

    E.1.a) (x + 2) (x 2) = x2 22 = x2 4b) (y - 4) (y + 4) = y2 42 = y2 - 16c) (3x - 5) (3x + 5) = (3x)2 52 = 9x2 - 25d) (x2 + 3) (x2 3) = (x2)2 32 = x4 - 9e) (3 + x) (x 3) = (x + 3)(x 3) = x2 - 9f) 4(x + 1) (x 1) = 4(x2 1) = 4x2 - 4

  • a2 b2 = (a+b)(a b)

    E.2. Jaa tekijihina) x2 9 = x2 32 = (x + 3)(x -3)b) 4x2 25 = (2x)2 52 = (2x 5)(2x + 5)c) x4 4x2 = x2(x2 -4) = x2(x + 2)(x 2)

  • E.3. Poista nelijuuret nimittjst

  • BINOMIN NELI(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

    (a - b)2 = a2 - 2ab + b2E.4.a) ( x + 3)2 = x2 + 2 x 3 + 32 = x2 + 6x + 9

    b) ( x - 4)2 = x2 - 2 x 4 + 42 = x2 - 8x + 16

    c) (3 x + 1)2 = (3x)2 - 2 3x 1 + 12 = 9x2 - 6x + 1

    d) ( - x + 5)2 = (5 - x)2 = 52 - 2 5 x + (x)2 = 25 - 5x + x2 = x2 5x +25

  • a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

    E.5. Jaa tekijihin esittmll binomin nelin

    a) x2 + 8x + 16= x2 + 2 x 4 + 42= (x + 4)2

    b) x2 + 20x + 100= x2 + 2 x 10 + 102= (x + 10)2c) 4x2 + 12x + 9= (2x)2 + 2 2x 3 + 32= (2x + 3)2

  • Nelijuuren mritelmn kyttLuvun a nelijuuri:Osoita likiarvoja kyttmtt, etti)> 0= juurrettavaii)i) & ii) => vite

  • 6.1.1. Polynomifunktion perusmuoto

    E.1. p(x) = (x 3)(3x 4)2(x + 3) = (x 3) (x + 3)(3x 4)2 = (x2 9)(9x2 24x + 16) = 9x4 24x3 + 16x2 - 81x2 + 216x -144 = 9x4 24x3 - 65x2 + 216x -144(perusmuoto)asteluku: 4aste mys: 1 + 2 + 1 = 4laskemalla yhteen tulon tekijiden asteet

  • 6.1.2 Polynomifunktion tutkiminen graafisesti

    E.1.f(x) = x 1g(x) = x2 + 2x + 1a) g(x) = -2b) f(x) = g(x)c) f(x) < 2d) g(x) f(x)x = -1 ja x = 3x = -1 ja x = 2x < 3-1 x 2

  • 6.1.3. Polynomifunktio matemaattisena mallinaE.1. Tuotteiden hinta riippuu lineaarisesti niiden hinnastaKuukausittainen menekki astioille kuukaudessa:Yksikkhintamenekki 10150 15110a) f, joka ilmoittaa astioiden menekin hinnast

Search related