View
31
Download
2
Category
Preview:
Citation preview
Matematika 1
Katedra za matematiku, FSB
Zagreb, 2012
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 1 / 22
Sadrzaj
Sadrzaj:
1 DerivacijaDerivacija-uvodPrvi pristup derivaciji: Trenutna brzinaDrugi pristup derivaciji: Nagib grafa funkcijeUkratko o limesima∗
Diferencijal
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 2 / 22
Derivacija Derivacija-uvod
Derivacija-uvod
Brzina:
vrijeme(s) · · ·x · · ·x + ∆x · · ·put(m) · · ·y(x) · · ·y(x + ∆x) · · ·
Prosjecna brzina u vremenskom intervalu ∆x (tj. od x do x + ∆x):
putvrijeme
=∆y∆x
=y(x + ∆x)−y(x)
∆x
Trenutna brzina u trenutku x :
lim∆x→0
∆y∆x
= lim∆x→0
y(x + ∆x)−y(x)
∆x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 3 / 22
Derivacija Derivacija-uvod
Primjer 1.Oznacimo s y =predeni put(m), x =proteklo vrijeme(s). Neka je vezazadana s y = x2 + 1 :
x 0 1 2 3 4 · · ·y 1 2 5 10 17 · · ·
Izracunajmo prosjecnu brzinu gibanja u vremenskom intervalu:
(a) 2 do 3, (b) 2 do 2.1, (c) 2 do 2.01
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 4 / 22
Derivacija Derivacija-uvod
Rjesenje.
(a)∆y∆x
=10−53−2
=51
= 5 [m/s]
(b) x = 2,x + ∆x = 2.1⇒∆x = 0.1
∆y = y(2 + ∆x)−y(2) = 2.12 + 1− (22 + 1) = 0.41∆y∆x
=0.410.1
= 4.1 [m/s]
(c)∆y∆x
=y(2.01)−y(2)
2.01−2
=2.012 + 1− (22 + 1)
0.01=
4.0401−40.01
= 4.01 [m/s]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 5 / 22
Derivacija Derivacija-uvod
Primjer 2.Za gibanje iz Primjera 1. izracunajmo trenutnu brzinu u trenutku:(a) x , (b) x = 2
Rjesenje.
(a)∆y∆x
=y(x + ∆x)−y(x)
∆x
=(x + ∆x)2 + 1− (x2 + 1)
∆x=
2x∆x + (∆x)2
∆x= 2x + ∆x =⇒
lim∆x→0
∆y∆x
= lim∆x→0
(2x + ∆x) = 2x[m
s
](b) x = 2 =⇒ trenutna brzina je 2 ·2 = 4
[ms
]
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 6 / 22
Derivacija Prvi pristup derivaciji: Trenutna brzina
TRENUTNA BRZINA GIBANJA
TRENUTNA BRZINA GIBANJA :
y = f (x), x=vrijeme, y=put, U TRENUTKU x JE
lim∆x→0
∆y∆x
= lim∆x→0
f (x + ∆x)− f (x)
∆x
Npr. za y = x3
lim∆x→0
∆y∆x
= lim∆x→0
(x + ∆x)3−x3
∆x
= lim∆x→0
x3 + 3x2∆x + 3x (∆x)2 + (∆x)3−x3
∆x= lim
∆x→0(3x2 + 3x∆x + (∆x)2) = 3x2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 7 / 22
Derivacija Prvi pristup derivaciji: Trenutna brzina
TRENUTNA BRZINA GIBANJA
TRENUTNA BRZINA GIBANJA :
y = f (x), x=vrijeme, y=put, U TRENUTKU x JE
lim∆x→0
∆y∆x
= lim∆x→0
f (x + ∆x)− f (x)
∆x
Npr. za y = x3
lim∆x→0
∆y∆x
= lim∆x→0
(x + ∆x)3−x3
∆x
= lim∆x→0
x3 + 3x2∆x + 3x (∆x)2 + (∆x)3−x3
∆x= lim
∆x→0(3x2 + 3x∆x + (∆x)2) = 3x2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 7 / 22
Derivacija Drugi pristup derivaciji: Nagib grafa funkcije
NAGIB GRAFA FUNKCIJE
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 8 / 22
Derivacija Drugi pristup derivaciji: Nagib grafa funkcije
NAGIB GRAFA FUNKCIJE
NAGIB SEKANTE s
∆y∆x
= PROSJECNI NAGIB GRAFA IZMEDU x0 i x0 + ∆x
NAGIB GRAFA U TOCKI
TANGENTNI NAGIB GRAFA y = f (x) U TOCKI (x0, f (x0)) JE
lim∆x→0
∆y∆x
= lim∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 9 / 22
Derivacija Drugi pristup derivaciji: Nagib grafa funkcije
Primjer 3.
Izracunajmo prosjecan nagib grafa y = x2 od tocke (1,1) do tocke(1.5,2.25)
Primjer 4.
Izracunajmo nagib grafa y = x2 u:(a) (x ,x2), (b) (2,4).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 10 / 22
Derivacija Drugi pristup derivaciji: Nagib grafa funkcije
Primjer 3.
Izracunajmo prosjecan nagib grafa y = x2 od tocke (1,1) do tocke(1.5,2.25)
Primjer 4.
Izracunajmo nagib grafa y = x2 u:(a) (x ,x2), (b) (2,4).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 10 / 22
Derivacija Drugi pristup derivaciji: Nagib grafa funkcije
DERIVACIJA
Derivacija funkcije y = f (x) u tocki x je
y ′ =dydx
:= lim∆x→0
∆y∆x
= lim∆x→0
f (x + ∆x)− f (x)
∆x
ALTERNATIVNE OZNAKE:
f ′(x) ilidfdx
Trenutna brzina gibanja, nagib grafa u tocki, ... su derivacije!
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 11 / 22
Derivacija Drugi pristup derivaciji: Nagib grafa funkcije
DERIVACIJA
Derivacija funkcije y = f (x) u tocki x je
y ′ =dydx
:= lim∆x→0
∆y∆x
= lim∆x→0
f (x + ∆x)− f (x)
∆x
ALTERNATIVNE OZNAKE:
f ′(x) ilidfdx
Trenutna brzina gibanja, nagib grafa u tocki, ... su derivacije!
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 11 / 22
Derivacija Drugi pristup derivaciji: Nagib grafa funkcije
DERIVACIJA
Derivacija funkcije y = f (x) u tocki x je
y ′ =dydx
:= lim∆x→0
∆y∆x
= lim∆x→0
f (x + ∆x)− f (x)
∆x
ALTERNATIVNE OZNAKE:
f ′(x) ilidfdx
Trenutna brzina gibanja, nagib grafa u tocki, ... su derivacije!
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 11 / 22
Derivacija Drugi pristup derivaciji: Nagib grafa funkcije
Pravila deriviranja
(1)d(cf )
dx= c
dfdx
, c = konstanta
(2)ddx
(f ±g) =dfdx± dg
dx
(3)ddx
(fg) =dfdx
g +dgdx
f
(4)ddx
(fg
)=
dfdx g− dg
dx fg2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 12 / 22
Derivacija Drugi pristup derivaciji: Nagib grafa funkcije
Tablica derivacija
c′ = 0 (c ∈ R) (xa)′ = axa−1 (a ∈ R, x > 0)
(sin x)′ = cos x (arcsin x)′ =1√
1−x2
(cos x)′ =−sin x (arccos x)′ =−1√1−x2
(tg x)′ =1
cos2 x(arctg x)′ =
11 + x2
(ctg x)′ =− 1sin2 x
(arcctg x)′ =−1
1 + x2
(ex )′ = ex (ln x)′ =1x
(ax )′ = ax ln a (loga x)′ =1
x ln a
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 13 / 22
Derivacija Ukratko o limesima∗
Ukratko o limesima∗
limx→x0
y(x) = a
ZNACI DA SE VRIJEDNOSTI FUNKCIJE y(x) SVE VISEPRIBLIZAVAJU BROJU a, KADA SE x PRIBLIZAVA BROJU x0.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 14 / 22
Derivacija Ukratko o limesima∗
y
x
y = f(x)
1
1
1.7
limx→1
f (x) ne postoji
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 15 / 22
Derivacija Ukratko o limesima∗
y
x
y = f(x)
1
1
1.7
limx→1
f (x) ne postoji
limx→1−
f (x) = 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 15 / 22
Derivacija Ukratko o limesima∗
y
x
y = f(x)
1
1
1.7
limx→1
f (x) ne postoji
limx→1+
f (x) = 1.7
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 15 / 22
Derivacija Ukratko o limesima∗
y
x
y = f(x)
1
3
14
limx→ 1
4
f (x) = 3
limx→1
f (x) ne postoji
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 16 / 22
Derivacija Ukratko o limesima∗
NEPREKINUTOST
y = f (x) je neprekinuta u x0 ako je
limx→x0
f (x) = f (x0).
Sve ostale situacije znace prekid u tocki x0.
Sve elementarne funkcije su neprekinute tamo gdje su definirane!
Primjer 1.
limx→2
x2−1x−1
=22−12−1
= 3
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 17 / 22
Derivacija Ukratko o limesima∗
NEPREKINUTOST
y = f (x) je neprekinuta u x0 ako je
limx→x0
f (x) = f (x0).
Sve ostale situacije znace prekid u tocki x0.
Sve elementarne funkcije su neprekinute tamo gdje su definirane!
Primjer 1.
limx→2
x2−1x−1
=22−12−1
= 3
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 17 / 22
Derivacija Ukratko o limesima∗
NEPREKINUTOST
y = f (x) je neprekinuta u x0 ako je
limx→x0
f (x) = f (x0).
Sve ostale situacije znace prekid u tocki x0.
Sve elementarne funkcije su neprekinute tamo gdje su definirane!
Primjer 1.
limx→2
x2−1x−1
=22−12−1
= 3
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 17 / 22
Derivacija Ukratko o limesima∗
Pravilo zamjene
Ako je f (x) = g(x) osim mozda u x0, onda je
limx→x0
f (x) = limx→x0
g(x)
Primjer.
limx→1
x2−1x−1
=
(00
)= lim
x→1
(���x−1)(x + 1)
���x−1= lim
x→1(x + 1) = 2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 18 / 22
Derivacija Ukratko o limesima∗
Pravilo zamjene
Ako je f (x) = g(x) osim mozda u x0, onda je
limx→x0
f (x) = limx→x0
g(x)
Primjer.
limx→1
x2−1x−1
=
(00
)= lim
x→1
(���x−1)(x + 1)
���x−1= lim
x→1(x + 1) = 2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 18 / 22
Derivacija Diferencijal
DIFERENCIJAL
y
x
y = f(x)
∆x
x0
y0
x0 + ∆x
∆ydy
∆y∆x≈ dy
dx⇒
∆y ≈ dydx
∆x = f ′(x0)∆x
DIFERENCIJAL : dy := f ′(x0)∆x
y(x0 + ∆x)−y(x0)≈ dy ⇒y(x0 + ∆x)≈ y(x0) + dy
y(x0 + ∆x)≈ y(x0) + f ′(x0)∆x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 19 / 22
Derivacija Diferencijal
Primjer.
Neka je y =√
x . Izracunati diferencijal dy(a) u tocki x , (b) u tocki 1, (c) u tocki 4.
Rjesenje.
y
x1 1 + ∆x
1
∆x2
∆x4
4 4 + ∆x
2 (a) dy =∆x2√
x
(b) dy =∆x2
(c) dy =∆x4
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 20 / 22
Derivacija Diferencijal
Primjer.
Neka je y =√
x . Izracunati diferencijal dy(a) u tocki x , (b) u tocki 1, (c) u tocki 4.
Rjesenje.
y
x1 1 + ∆x
1
∆x2
∆x4
4 4 + ∆x
2 (a) dy =∆x2√
x
(b) dy =∆x2
(c) dy =∆x4
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 20 / 22
Derivacija Diferencijal
Primjer.
Koristeci se diferencijalom od y =√
x priblizno izracunajte√
4.1,√
3.9.
Rjesenje.
y
xx x + ∆x
√x
√x + ∆x dy = ∆x
2√x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 21 / 22
Derivacija Diferencijal
Primjer.
Koristeci se diferencijalom od y =√
x priblizno izracunajte√
4.1,√
3.9.
Rjesenje.
y
xx x + ∆x
√x
√x + ∆x dy = ∆x
2√x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 21 / 22
Recommended