of 66/66
Matematika 1 Katedra za matematiku, FSB Zagreb, 2012 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 1 / 55

Matematika 1 - unizg.hr...Matematika 1 Katedra za matematiku, FSB Zagreb, 2012 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 1 / 55. animation by animate[2012/05/24]

  • View
    3

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Matematika 1 - unizg.hr...Matematika 1 Katedra za matematiku, FSB Zagreb, 2012 Katedra za matematiku...

  • Matematika 1

    Katedra za matematiku, FSB

    Zagreb, 2012

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 1 / 55

  • Sadržaj

    Sadržaj:

    1 Vektorska algebraVektori-uvodZbrajanje vektoraSuprotni vektor i oduzimanje vektoraMnoženje vektora brojem

    2 Razlaganje vektora

    3 Vektori u geometrijiVektori i točkePravac AB i dužina ABRavnina ABC i trokut 4ABC

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 2 / 55

  • Vektorska algebra Vektori-uvod

    Skalarna veličina-veličina odredena iznosom.-npr. skalarne veličine su masa, temperatura,. . .

    Vektorska veličina-veličina odredena iznosom i smjerom.-npr. vektorske veličine su pomak, brzina,sila. . .

    Sa slike desno zaključujemo~a = ~b jer imaju isti iznos ismjer.|−→a | = |−→c | ali −→a 6= −→c jer suim smjerovi različiti.

    ~a ~b

    ~c

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 3 / 55

  • Vektorska algebra Vektori-uvod

    Skalarna veličina-veličina odredena iznosom.-npr. skalarne veličine su masa, temperatura,. . .

    Vektorska veličina-veličina odredena iznosom i smjerom.-npr. vektorske veličine su pomak, brzina,sila. . .

    Sa slike desno zaključujemo~a = ~b jer imaju isti iznos ismjer.|−→a | = |−→c | ali −→a 6= −→c jer suim smjerovi različiti.

    ~a ~b

    ~c

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 3 / 55

  • Vektorska algebra Vektori-uvod

    Zadatak 1.

    Koje su od sjedećih tvrdnjiistinite:

    (1) −→a i ~d imaju isti smjer(2) |−→a |> |−→e |(3) |−→b |= |−→c |(4) −→e =~d

    ~a

    ~b

    ~c

    ~d

    ~e

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 4 / 55

  • Vektorska algebra Zbrajanje vektora

    Zbrajanje vektora

    ~a+~b

    ~a

    ~b

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 5 / 55

  • Vektorska algebra Zbrajanje vektora

    Zbrajanje vektora je asocijativno:

    (−→a +−→b )+−→c =−→a +(−→b +−→c )

    ~a+~b+

    ~c

    ~a

    ~b

    ~c

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 6 / 55

  • Vektorska algebra Zbrajanje vektora

    Zbrajanje vektora je asocijativno:

    −→a +−→b +−→c = (−→a +−→b )+−→c

    ~a+~b+

    ~c

    ~a

    ~b

    ~c

    ~a +~b

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 7 / 55

  • Vektorska algebra Zbrajanje vektora

    Zbrajanje vektora je asocijativno:

    −→a +−→b +−→c =−→a +(−→b +−→c )

    ~a+~b+

    ~c

    ~a

    ~b

    ~c

    ~ b+~c

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 8 / 55

  • Vektorska algebra Zbrajanje vektora

    Zbrajanje vektora je komutativno:

    −→a +−→b =−→b +−→a

    ~a +~b

    ~a

    ~b~b

    ~a

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 9 / 55

  • Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora

    Suprotni vektor

    ~a

    −~a

    |−−→a |= |−→a | ali su to vektori suprotnog smjera

    −→a −−→b :=−→a +(−−→b )

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 10 / 55

  • Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora

    Nul-vektor

    Zbroj vektora i njemu suprotnog vektora je nul-vektor, u oznaci−→0 .

    −→a +(−−→a ) =−→0

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 11 / 55

  • Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora

    Oduzimanje vektora

    Oduzimanje vektora je definirano na sljedeći način:

    −→a −−→b :=−→a +(−−→b )

    ~a−~b

    ~a

    −~b~b

    ~a

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 12 / 55

  • Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora

    PRAVILO PARALELOGRAMA

    ~a−~b

    ~a+~b

    ~a

    ~b

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 13 / 55

  • Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora

    Zadatak 2.

    (a)

    ~a

    ~b(b)

    ~a

    ~b

    Precrtajte vektore i skicirajte vektore:(i) −→a +−→b (ii) −→a −−→b (iii) −→b −−→a

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 14 / 55

  • Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora

    Rješenje:(a)

    (i)

    ~a

    ~b~b

    ~a +~b

    (ii)

    ~a

    −~b ~a−~b

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 15 / 55

  • Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora

    (iii)

    −~a

    ~b

    ~b−~a

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 16 / 55

  • Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora

    (b)(i)

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 17 / 55

  • Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora

    (ii)~a

    ~b

    −~b

    ~a− ~b(iii)

    −~a

    ~b

    ~b

    ~b−~a

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 18 / 55

  • Vektorska algebra Suprotni vektor i oduzimanje vektora

    Zadatak 3.

    ~a

    ~b

    ~c Precrtajte vektore i skicirajtevektore:(i) −→a +−→b(ii) −→a +−→b −−→c(iii) −→a −−→b −−→c

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 19 / 55

  • Vektorska algebra Množenje vektora brojem

    Množenje vektora brojem

    ~a

    k~a

    k > 0

    k < 0

    k~a

    |k−→a |= |k ||−→a |

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 20 / 55

  • Vektorska algebra Množenje vektora brojem

    Množenje vektora brojem

    Vektori −→a i k−→a su kolinearni.Npr.

    ~a

    3~a

    12~a−2~a~a

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 21 / 55

  • Vektorska algebra Množenje vektora brojem

    Distributivnost

    Distributivnost: k(−→a +−→b ) = k−→a +k−→b

    ~a k~a

    ~b

    k~b

    ~a+~b

    k(~a+

    ~b)

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 22 / 55

  • Vektorska algebra Množenje vektora brojem

    Distributivnost

    Distributivnost: k(−→a +−→b ) = k−→a +k−→b

    ~a k~a

    ~b

    k~b

    ~a+~b

    k(~a+

    ~b)

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 22 / 55

  • Vektorska algebra Množenje vektora brojem

    Zadatak 4.

    Zadan je vektor −→a na slici.Skicirajte vektore

    2−→a , −3−→a , −0.5−→a , 1.2−→a ~a

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 23 / 55

  • Vektorska algebra Množenje vektora brojem

    Zadatak 5.

    Zadani su vektori −→a i −→b na slici.Skicirajte vektore

    2−→a −3−→b ,12−→a +−→b ,

    −−→a − 32−→b .

    ~a

    ~b

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 24 / 55

  • Razlaganje vektora

    Razlaganje vektora

    Ako razložimo vektor −→c sa slike pomoću vektora −→a i −→b

    ~c0.7~b

    ~b

    ~a 1.5~a

    onda je −→c = 0.7−→a +1.5−→b .

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 25 / 55

  • Razlaganje vektora

    Razlaganje vektora

    Ako razložimo vektor −→c sa slike pomoću vektora −→a i −→b

    ~c0.7~b

    ~b

    ~a 1.5~a

    onda je −→c = 0.7−→a +1.5−→b .

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 25 / 55

  • Razlaganje vektora

    Općenito−→c = t1−→a + t2

    −→b

    t1, t2 su realni brojevi.

    Primjer 1.

    Razložite vektor −→c sa slikepomoću vektora −→a i −→b

    ~a

    ~b

    ~c

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 26 / 55

  • Razlaganje vektora

    Općenito−→c = t1−→a + t2

    −→b

    t1, t2 su realni brojevi.

    Primjer 1.

    Razložite vektor −→c sa slikepomoću vektora −→a i −→b

    ~a

    ~b

    ~c

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 26 / 55

  • Razlaganje vektora

    Rješenje :

    ~a

    ~b

    ~c−2~b

    0.8~a

    −→c = 0.8−→a −2−→b .

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 27 / 55

  • Razlaganje vektora

    Zadatak 6.

    Zadani su vektori −→a , −→b i −→c . Razložite vektor −→c u smjeru vektora−→a i −→b (otprilike sa slike napravite razlaganje):(a)

    ~a

    ~b

    ~c

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 28 / 55

  • Razlaganje vektora

    (b)

    ~a

    ~b

    ~c(c)

    ~a

    ~b

    ~c

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 29 / 55

  • Razlaganje vektora

    (c)

    ~a

    ~b

    ~c

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 30 / 55

  • Razlaganje vektora

    Primjer 2.Srednjica je 1/2 osnovice i s njom je paralelna.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 31 / 55

  • Razlaganje vektora

    Vektorski dokaz :

    ~a ~b

    ~a−~b

    12~a− 1

    2~b

    12~a 1

    2~b

    12−→a − 12

    −→b = 12(

    −→a −−→b ).

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 32 / 55

  • Razlaganje vektora

    Primjer 3.Polovišta stranica bilo kojeg četverokuta čine paralelogram.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 33 / 55

  • Vektori u geometriji Vektori i točke

    Vektori i točke

    A

    B

    −→AB

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 34 / 55

  • Vektori u geometriji Vektori i točke

    Vektori i točke

    A

    B

    C

    D

    −→AB+

    −→BC +

    −→CD =

    −→AD

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 35 / 55

  • Vektori u geometriji Vektori i točke

    Vektori i točke

    A

    B

    C

    D

    −→A�B+

    −→�BC +

    −→CD =

    −→AD

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 35 / 55

  • Vektori u geometriji Vektori i točke

    Vektori i točke

    A

    B

    C

    D

    −→A�B+

    −→�B��C +

    −→��CD =

    −→AD

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 35 / 55

  • Vektori u geometriji Vektori i točke

    Vektori i točke

    A

    B

    C

    D

    E

    −→AB+

    −→BC +

    −→CD+

    −→DE +

    −→EA =

    =−→AA =

    −→0 (nul−vektor)

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 36 / 55

  • Vektori u geometriji Vektori i točke

    Radijvektori s ishodištem O

    A

    B

    C

    O−→rA = −→OA

    −→rB = −−→OB

    −→rC = −→OC

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 37 / 55

  • Vektori u geometriji Vektori i točke

    Radijvektori s ishodištem O

    Bilo koji vektor−→AB može se izraziti preko radijvektora:

    O

    B

    A

    −→OB =

    −→OA+

    −→AB

    ⇒−→AB =−→OB−−→OA⇒−→AB =−→rB −−→rA

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 38 / 55

  • Vektori u geometriji Vektori i točke

    Zadatak 7.

    Zadane su točke A, B, C, D.Ucrtaj radijvektore −→rA , −→rB ,−→rC , −→rD . Pomoću njih izrazi vek-tore(a)−→AB,

    −→BA,

    −→AC,

    −→BC,

    −→CD

    (b) 2−→AB−−→CD, 12

    −→BC + 13

    −→AB

    −→BC +

    −→CD,

    −→AB+

    −→BC +

    −→CA.

    A

    B

    C

    D

    O

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 39 / 55

  • Vektori u geometriji Vektori i točke

    Rješenje :

    A

    B

    C

    D

    O

    −→rA

    −→rB−→rC

    −→rD

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 40 / 55

  • Vektori u geometriji Vektori i točke

    (a)

    −→AB =−→rB −−→rA−→BA =−→rA −−→rB−→AC =−→rC −−→rA−→BC =−→rC −−→rB−→CD =−→rD −−→rC

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 41 / 55

  • Vektori u geometriji Vektori i točke

    (b)

    2−→AB−−→CD = 2(−→rB −−→rA)− (−→rD −−→rC)

    = 2−→rB −2−→rA −−→rD +−→rC

    12−→BC +

    13−→AB =

    12(−→rC −−→rB )+

    13(−→rB −−→rA)

    =12−→rC −

    16−→rB −

    13−→rA

    −→BC +

    −→CD =−→rC −−→rB +−→rD −−→rC

    =−→rD −−→rB =

    −→BD

    −→AB+

    −→BC +

    −→CA =−→rB −−→rA +−→rC −−→rB +−→rA −−→rC =

    −→0

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 42 / 55

  • Vektori u geometriji Vektori i točke

    (b)

    2−→AB−−→CD = 2(−→rB −−→rA)− (−→rD −−→rC)

    = 2−→rB −2−→rA −−→rD +−→rC12−→BC +

    13−→AB =

    12(−→rC −−→rB )+

    13(−→rB −−→rA)

    =12−→rC −

    16−→rB −

    13−→rA

    −→BC +

    −→CD =−→rC −−→rB +−→rD −−→rC

    =−→rD −−→rB =

    −→BD

    −→AB+

    −→BC +

    −→CA =−→rB −−→rA +−→rC −−→rB +−→rA −−→rC =

    −→0

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 42 / 55

  • Vektori u geometriji Vektori i točke

    (b)

    2−→AB−−→CD = 2(−→rB −−→rA)− (−→rD −−→rC)

    = 2−→rB −2−→rA −−→rD +−→rC12−→BC +

    13−→AB =

    12(−→rC −−→rB )+

    13(−→rB −−→rA)

    =12−→rC −

    16−→rB −

    13−→rA

    −→BC +

    −→CD =−→rC −−→rB +−→rD −−→rC

    =−→rD −−→rB =

    −→BD

    −→AB+

    −→BC +

    −→CA =−→rB −−→rA +−→rC −−→rB +−→rA −−→rC =

    −→0

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 42 / 55

  • Vektori u geometriji Vektori i točke

    (b)

    2−→AB−−→CD = 2(−→rB −−→rA)− (−→rD −−→rC)

    = 2−→rB −2−→rA −−→rD +−→rC12−→BC +

    13−→AB =

    12(−→rC −−→rB )+

    13(−→rB −−→rA)

    =12−→rC −

    16−→rB −

    13−→rA

    −→BC +

    −→CD =−→rC −−→rB +−→rD −−→rC

    =−→rD −−→rB =

    −→BD

    −→AB+

    −→BC +

    −→CA =−→rB −−→rA +−→rC −−→rB +−→rA −−→rC =

    −→0

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 42 / 55

  • Vektori u geometriji Pravac AB i dužina AB

    Pravac AB i dužina AB

    O

    A

    B

    0 <t <

    1

    −→rA−→rB

    −→r

    t <0

    t >1

    −→r =−→rA + t−→AB =−→rA + t(−→rB −−→rA)

    ⇒−→r = (1− t)−→rA + t−→rB⇒−→r = λ−→rA +µ−→rB ,

    λ+µ = 1

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 43 / 55

  • Vektori u geometriji Pravac AB i dužina AB

    DUŽINA AB : λ, µ≥ 0

    POLOVIŠTE OD AB :12−→rA +

    12−→rB

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 44 / 55

  • Vektori u geometriji Pravac AB i dužina AB

    DUŽINA AB : λ, µ≥ 0

    POLOVIŠTE OD AB :12−→rA +

    12−→rB

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 44 / 55

  • Vektori u geometriji Pravac AB i dužina AB

    Zadatak 8.Zadan je pravac

    −→r =−→rA + t−→AB.

    Ucrtaj na pravcu točke ko-jima odgovaraju vrijednosti t =0, 1, −12 , −2, 3 i uz svaku točkuupiši odgovarajuću vrijednost zat .

    A

    B

    O

    −→rA−→rB

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 45 / 55

  • Vektori u geometriji Pravac AB i dužina AB

    Rješenje :

    A

    B

    t = −2

    t = −12 t = 0

    t = 1

    t = 3

    O

    −→rA−→rB

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 46 / 55

  • Vektori u geometriji Pravac AB i dužina AB

    Zadatak 9.Na pravcu

    −→r =−→rM + t−−→MN

    odredi točke (podebljaj) za kojevrijedi(a) −1≤ t ≤ 2(b) t ≥ 1(c) t < 2

    M

    N

    O

    −→rM−→rN

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 47 / 55

  • Vektori u geometriji Pravac AB i dužina AB

    Rješenje :(a)

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 48 / 55

  • Vektori u geometriji Pravac AB i dužina AB

    Rješenje :(b)

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 49 / 55

  • Vektori u geometriji Pravac AB i dužina AB

    Rješenje :(c)

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 50 / 55

  • Vektori u geometriji Ravnina ABC i trokut 4ABC

    Ravnina ABC trokut 4ABC

    A

    O

    C

    B

    T

    −→rA−→r

    −→r =−→rA +−→AT =−→rA + t1

    −→AB+ t2

    −→AC

    =−→rA + t1(−→rB −−→rA)+ t2(−→rC −−→rB )

    = (1− t1− t2)−→rA + t1−→rB + t2−→rC

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 51 / 55

  • Vektori u geometriji Ravnina ABC i trokut 4ABC

    −→r = λ−→rA +µ−→rB +ν−→rC , λ+µ+ν = 1

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 52 / 55

  • Vektori u geometriji Ravnina ABC i trokut 4ABC

    4ABC :λ, µ, ν≥ 0

    težište 4ABC :λ = µ = ν = 13

    −→rT =13−→rA +

    13−→rB +

    13−→rC

    Dokaz∗.

    −→rT =13−→rA +

    23(12−→rB +

    12−→rC)

    =13−→rA +

    13−→rB +

    13−→rC

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 53 / 55

  • Vektori u geometriji Ravnina ABC i trokut 4ABC

    Zadatak 10.Zadana je ravnina

    −→r =−→rA + t1−→AB+ t2

    −→AC

    (a)Ucrtaj(otprilike) točkeza koje je (t1, t2) =

    (2,3),(0,0),(1,−2),(−12, 32)

    i upiši uz točke odgovarajući parvrijednosti (t1, t2).(b) Koji parovi pripadajutočkama B i C?(c) Gdje se nalaze točke(t1, t2) = (0, t)?

    A

    B

    C

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 53 / 55

  • Vektori u geometriji Ravnina ABC i trokut 4ABC

    Rješenje :(a), (b)

    (2, 3)

    (1,−2)

    (−12, 32)

    A(0, 0)

    B(1, 0)

    C(0, 1)

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 54 / 55

  • Vektori u geometriji Ravnina ABC i trokut 4ABC

    Rješenje :(c)Točke (t1, t2) = (0, t) se nalaze na pravcu koji prolazi kroz točke A i C.

    Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 1 Poglavlje-1 55 / 55

    Vektorska algebraVektori-uvodZbrajanje vektoraSuprotni vektor i oduzimanje vektoraMnoženje vektora brojem

    Razlaganje vektoraVektori u geometrijiVektori i tockePravac AB i dužina ABRavnina ABC i trokut ABC

    0.0: 0.1: 0.2: 0.3: 0.4: 0.5: 0.6: 0.7: 0.8: 0.9: 0.10: 0.11: 0.12: 0.13: 0.14: 0.15: 0.16: 0.17: 0.18: 0.19: 0.20: 0.21: 0.22: 0.23: 0.24: 0.25: 0.26: 0.27: 0.28: 0.29: 0.30: 0.31: 0.32: 0.33: 0.34: 0.35: 0.36: 0.37: 0.38: 0.39: 0.40: 0.41: 0.42: 0.43: 0.44: 0.45: 0.46: 0.47: 0.48: 0.49: 0.50: 0.51: 0.52: 0.53: 0.54: 0.55: 0.56: 0.57: 0.58: 0.59: 0.60: 0.61: 0.62: 0.63: 0.64: 0.65: 0.66: 0.67: 0.68: 0.69: 0.70: 0.71: 0.72: 0.73: 0.74: 0.75: 0.76: 0.77: 0.78: 0.79: 0.80: 0.81: 0.82: 0.83: 0.84: 0.85: 0.86: 0.87: 0.88: 0.89: 0.90: 0.91: 0.92: 0.93: 0.94: 0.95: 0.96: 0.97: 0.98: 0.99: 0.100: anm0: 1.0: 1.1: 1.2: 1.3: 1.4: 1.5: 1.6: 1.7: 1.8: 1.9: 1.10: 1.11: 1.12: 1.13: 1.14: 1.15: 1.16: 1.17: 1.18: 1.19: 1.20: 1.21: 1.22: anm1: 2.0: 2.1: 2.2: 2.3: 2.4: 2.5: 2.6: 2.7: 2.8: 2.9: 2.10: 2.11: 2.12: 2.13: 2.14: 2.15: 2.16: 2.17: 2.18: 2.19: 2.20: 2.21: 2.22: 2.23: 2.24: 2.25: 2.26: 2.27: 2.28: 2.29: 2.30: 2.31: 2.32: 2.33: 2.34: 2.35: 2.36: 2.37: 2.38: 2.39: 2.40: 2.41: 2.42: 2.43: 2.44: 2.45: 2.46: 2.47: 2.48: 2.49: 2.50: 2.51: 2.52: 2.53: 2.54: 2.55: 2.56: 2.57: 2.58: 2.59: 2.60: 2.61: 2.62: 2.63: 2.64: 2.65: 2.66: 2.67: 2.68: 2.69: 2.70: 2.71: 2.72: 2.73: 2.74: 2.75: 2.76: 2.77: 2.78: 2.79: 2.80: 2.81: 2.82: 2.83: 2.84: 2.85: 2.86: 2.87: anm2: 3.0: 3.1: 3.2: 3.3: 3.4: 3.5: 3.6: 3.7: 3.8: 3.9: 3.10: 3.11: 3.12: 3.13: 3.14: 3.15: 3.16: 3.17: 3.18: 3.19: 3.20: 3.21: 3.22: 3.23: 3.24: 3.25: 3.26: 3.27: 3.28: 3.29: 3.30: 3.31: 3.32: 3.33: 3.34: 3.35: 3.36: 3.37: 3.38: 3.39: 3.40: 3.41: 3.42: 3.43: 3.44: 3.45: 3.46: 3.47: 3.48: 3.49: 3.50: 3.51: 3.52: 3.53: 3.54: 3.55: 3.56: 3.57: 3.58: 3.59: anm3: 4.0: 4.1: 4.2: 4.3: 4.4: 4.5: 4.6: 4.7: 4.8: 4.9: 4.10: 4.11: 4.12: 4.13: 4.14: 4.15: 4.16: 4.17: 4.18: 4.19: 4.20: 4.21: 4.22: 4.23: 4.24: 4.25: 4.26: 4.27: 4.28: 4.29: 4.30: 4.31: 4.32: 4.33: 4.34: 4.35: 4.36: 4.37: 4.38: 4.39: 4.40: 4.41: 4.42: 4.43: 4.44: 4.45: 4.46: 4.47: 4.48: 4.49: 4.50: 4.51: 4.52: 4.53: 4.54: 4.55: 4.56: 4.57: 4.58: 4.59: 4.60: 4.61: 4.62: 4.63: 4.64: 4.65: 4.66: 4.67: 4.68: 4.69: 4.70: 4.71: 4.72: 4.73: 4.74: 4.75: 4.76: 4.77: 4.78: 4.79: 4.80: 4.81: 4.82: 4.83: 4.84: 4.85: 4.86: 4.87: anm4: