1

BAB 2OPERASI BINER

A. Definisi1. Operasi artinya suatu tindakan atau proses menghubungkan dua buah objek atau himpunan

dengan ketentuan tertentu. Sedangkan Biner artinya dua bagian, dua benda atau basis dua.2. Operasi Biner adalah proses menghubungkan atau memetakan sebuah himpunan ke himpunan

itu sendiri menggunakan operator biner. Operator biner yang dimaksud berupa penjumlahan (+), pengurangan (-), perkalian (x) atau pembagian (/).

3. Operasi biner dilambangkan dengan “∘ ”Jadi, dalam operasi biner diketahui sebuah himpunan S tak kosong yang kemudian diberikan operasi biner dengan melakukan pemetaan dari S x S ke S. Berdasarkan hasil pemetaan ini nantinya bisa diketahui apakah pada S berlaku operasi biner atau tidak dengan melihat beberapa syarat/sifat tertentu.

B. Sifat-sifat Operasi BinerDikatakan operasi ∘pada S (himpunan tak kosong) disebut operasi biner jika:1. Bersifat tertutup

Apabila ∀ a,b ∈ S, maka berlaku a∘b∈S .2. Bersifat komutatif

Apabila ∀ a,b ∈S, maka berlaku a∘b = b ∘a .3. Bersifat asosiatif

Apabila ∀ a, b, c ∈ S, maka berlaku (a∘b )∘ c=a∘(b∘c ).4. Memiliki elemen identitas

Apabila ∃e∈S∋∀ a ∈ S, maka berlaku a ∘e = e∘a=a .

a. Identitas kiri:Jika terdapate1 sedeikianhingga e1 ° a=a ,untuk setiap a.

b. Identitas kiri:Jika terdapate2 sedeikianhingga a° e2=a ,untuk setiap a.

5. Memiliki invers

Apabila ∀ a∈S,∃b= a-1∈ S, maka berlaku a ∘a-1= a-1∘a = e .

dimana e adalah elemen identitas untuk operasi ° a−1 disebut invers dari elemen a6. Bersifat distributif

Apabila ∀ a, b, c maka berlaku a ∘(b+c )=a∘b + a∘ ca) Operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi penjumlahan

a× (b+c )= (a×b )+ (a×c )atau

(b+c )×a= (b×a )+ (c×a )b) Operasi penjumlahan tidak bersifat distributif terhadap operasi perkalian

a+ (b×c )≠ (a+b )× (a+c )

Contoh :A. Apakah Q dengan operasi pembagian termasuk operasi biner?

Penyelesaian:1. Bersifat Tertutup

Misalnya: a =

12 , b = -3, maka:

a÷b =12÷(-3 )=-1

6

Jurusan Pendidikan Matematika Kelompok 5FITK IAIN Mataram VD-2014/2015

2

Karena

−16 juga merupakan bilangan rasional (Q) maka Q bersifat tertutup dengan operasi

pembagian.

2. Bersifat komutatif

Misalnya: a =

12 , b = -3, maka:

a÷b=b÷a12÷(−3)=(-3 )÷1

2−16

≠−6

Karena pada bilangan rasional dengan operasi pembagian tidak memenuhi sifat komutatif, maka Q dengan operasi pembagian bukan termasuk operasi biner.

Latihan 2.11. Selidiki, apakah operasi pada himpunan berikut ini (a) merupakan operasi biner, (b) bersifat

asosiatif, (c) mempunyai elemen identitas, (d) setiap elemennya mempunyai invers dan (e) bersifat komutatif. Tunjukkanlah:a. Z dengan operasi perkalianb. Z dengan operasi penjumlahan

2. B dengan operasi ∘yang didefinisikan oleh a ∘ b = a + b – 10, ∀ a, b ∈ B

3. R dengan operasi Δ yang didefinisikan oleh a Δ b = ½ (a + b + ab), ∀ a, b ∈ B

BAB 3

Jurusan Pendidikan Matematika Kelompok 5FITK IAIN Mataram VD-2014/2015

Rangkuman

1. Operasi Biner adalah proses menghubungkan atau memetakan sebuah himpunan ke himpunan itu sendiri menggunakan operator biner. Operator biner yang dimaksud berupa penjumlahan (+), pengurangan (-), perkalian (x) atau pembagian (/).

2. Sifat-sifat operasi biner yaitu: bersifat tertutup, bersifat komutatif, bersifat asosiatif, memiliki invers, memiliki identitas dan bersifat distributif.

Key Word:Operasi Biner himpunan

Operasi biner (+, -, x, ¿ )

3

GRUP

A. Pengertian Grup

Misalkan G≠φ dan ∘ adalah operasi biner pada G, maka G dikatakan grup [ditulis (G ,∘ ) ], jika sifat-sifat operasi biner berlaku pada G yakni (1) bersifat tertutup, (2) bersifat asosiatif, (3) bersifat komutatif, (4) memiliki elemen identitas, (5) memiliki invers.Contoh grup

Bilangan Z, Q, R, dan C merupakan grup terhadap operasi penjumlahan. Elemen netral dari grup tersebut adalah 0, sedangkan invers dari a adalah –a.

Contoh bukan grupR bukan merupakan grup terhadap operasi perkalian, karena 0∈R tidak memiliki invers.

Definisi 1:1. Operasi biner ° pada S adalah jika ∀a, b ∈ S berlaku a°b ∈ S, atau sering dikatakan Operasi °

pada S bersifat tertutup.2. Jika Operasi ° pada S tertutup maka (S,°) disebut Grupoid yaitu struktur aljabar dengan satu

operasi yang tertutup (biner).3. Operasi biner ° pada S dikatakan assosiatif jika ∀a, b, c ∈ S, (a°b)°c = a° (b°c).4. Grupoid (S,°) disebut semigrup jika Operasi biner ° pada S assosiatif5. Himpunan S terhadap operasi ° dikatakan mempunyai elemen identitas e jika ∀e ∈ S, ∀a∈ S, a°e = e°a = a

6. Semigrup (S,°) disebut monoid jika S terhadap ° mempunyai elemen identitas e.7. Himpunan S terhadap operasi ° dikatakan komutatif jika ∀a, b ∈ S, a°b = b°aDefinisi 2 ;Misalkan G adalah himpunan tidak kosong dilengkapi dengan operasi maka struktur aljabar (G,.) disebut Grup jika dipenuhi aksioma-aksioma berikiut :a. Tertutup, artinya ∀a, b ∈ G berlaku a.b ∈ Gb. Asosiatif, artinya ∀a, b, c ∈G berlaku (a.b).c = a.(b.c)c. Mempunyai elemen identitas ditulis e, artinya (∀a ∈ G) a.e = e.a =ad. Setiap elemen mempunyai invers dinotasikan a-1 adalah invers dari a, artinya (∀a ∈ G)

(∀a-1∈ G) sehingga a-1.a = a.a-1 = e

B. Sifat-sifat GrupDalam sembarang grup, berlaku sifat-sifat sebagai berikut1. Hukum kanselasi kiri : Jika a x = a y maka x = y.2. Hukum kanselasi kanan : Jika x a = y a maka x = y.3. Anggota identitas itu tunggal yaitu jika e dan e′ elemen G yang memenuhi hukum identitas

maka e = e′.4. Invers dari sebarang anggota G akan tunggal yaitu jika a dan b merupakan invers dari x maka a

= b.5. ( ab) -1 = b-1a-1

Bukti :1. Diberikan ax = ay. Karena G grup dan a ∈ G maka terdapat a-1 sehingga a a-1 = a-1 a = e

dengan e identitas. Akibatnya a-1 (ax) = a-1 (ay) dan dengan menggunakan hukum assosiatif diperoleh (a-1 a)x = (a-1 a)y dan dengan hukum invers diperoleh ex = ey akhirnya dengan hukum identitas x = y

2. Analog dengan 1 (untuk latihan).3. Karena e suatu anggota identitas maka e e′ = e′. Pada sisi lain e e′ = e, sehingga e e′ = e′ = e.4. Karena a dan b merupakan invers x maka berlaku xa = e dan xb = e. Karena anggota identitas

itu tunggal maka xa = e = xb Akibatnya dengan menggunakan hukum kanselasi kiri maka a = b.

5. Karena ab . b-1 a-1 = a (b b-1) a-1 = a e a-1 = a a-1 = e dan b-1a-1 . ab = b-1(a-1 a)b = b-1 e b = b-1 b = e maka (ab)-1 = b a.

Jurusan Pendidikan Matematika Kelompok 5FITK IAIN Mataram VD-2014/2015

4

C. Pembagian Grup1. Berdasarkan sifatnya

Berdasarkan sifatnya grup dibagi menjadi tiga, yaitu :a. Grupoid

Himpunan G bersama-sama dengan operasi biner ° ditulis (G ,∘ )b. Semigrup

Dikatakan semigrup jika (G ,∘ ) memiliki sifat asosiatif, yakni ∀ a , b , c∈G , maka berlaku (a∘b )∘c=a∘ (b∘ c ) .

c. Monoid

Dikatakan monoid jika (G ,∘ ) semigrup yang memiliki elemen identitas, yakni ∃ e∈G∋∀ a∈G , maka berlaku a∘e=e∘a=a .

2. Berdasarkan ordernyaBerdasarkan ordernya grup dibagi menjadi dua, yaitu:a. Grup tak berhingga

Grup tak berhingga adalah grup yang memiliki order tak berhingga Contoh: {Z,+} merupakan gurp tak berhingga karena mempunyai orde tak berhingga karena Z mempunyai tak berhingga banyak anggota.

b. Grup berhinggaGrup berhingga adalah grup yang memiliki order berhinggaContoh :{Z6,+} merupakn grup berhingga karena mempunyai order 6 karena mengandung 6 anggota yaitu 0, 1, 2, 3, 4 dan 5.

LatihanBuktikan bahwa himpunan berikut merupakan grup (menggunakan sifat)a. (Z3,x) b. (Z5,x) c. (Z4,+) d. (Z6,+)

Jurusan Pendidikan Matematika Kelompok 5FITK IAIN Mataram VD-2014/2015

Key Word:

Grup G≠φ dan ∘

Rangkuman

Misalkan G≠φ dan ∘ adalah operasi biner pada G, maka G dikatakan grup

[ditulis (G ,∘ ) ], jika sifat-sifat operasi biner berlaku pada G.grup dibagi menjadi dua, yaitu: berdasarkan sifatnya, dan berdasarkan ordernya.

9