教学目的及基本要求 : 1. 使学生初步掌握定积分这一重要概念的内涵与外延。 2. 使学生学会用定义计算、证明某些定积分。 3 使学生理解和掌握定积分的思想，分割近似求和，取极限。

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教学目的及基本要求 :

1. 使学生初步掌握定积分这一重要概念的内涵与外延。 2. 使学生学会用定义计算、证明某些定积分。 3 使学生理解和掌握定积分的思想，分割近似求和，取极

限。 4 通过知识学习，加深对数学的抽象性特点的认识；体会

数学概念形成的抽象化思维方法；体验数学符号化的意义及数形结合方法。 5. 掌握定积分的性质 .

重点与难点：概念及性质。

课时： 4 学时

第六章定积分及其应用


§6.1 　定积分的概念6.1.1 　定积分问题举例

a b x

y

o

?A

曲边梯形由连续曲线

1. 曲边梯形的面积

)(xfy )0)(( xf 、

x轴与两条直线 ax 、

)(xfy

bx 0y 所围成和


a b x

y

oa b x

y

o

用矩形面积近似取代曲边梯形面积

显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．

（四个小矩形）（九个小矩形）


曲边梯形如图,1210

],[

bnxnxxxxa

ba

内插入若干个分点，在区间

a b x

y

o i ix1x 1ix 1nx

;

],[

],[

1

1

iii

ii

xxx

xx

nba

长度为

，个小区间分成把区间

，上任取一点在每个小区间

i

ii xx

],[ 1

iii xfA )(为高的小矩形面积为为底，以 )(],[ 1 iii fxx


i

n

ii xfA

)(1

曲边梯形面积的近似值为

时，趋近于零

即小区间小区间的最当分割无限加细

0)(λ

}Δx,Δx,xmax{λ

,

n21

i

n

ii xfA

)(lim

10

曲边梯形面积为


2. 变速直线运动的路程

设某物体作直线运动，已知速度 )(tvv 是时间间

隔 ],[ 21 TT 上 t的一个连续函数，且 0)( tv ，求物

体在这段时间内所经过的路程.

思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．


（ 1 ）分割 212101 TtttttT nn

1 iii ttt iii tvs )(

部分路程值某时刻的速度

（ 3 ）求和 ii

n

i

tvs

)(1

（ 4 ）取极限 },,,max{ 21 nttt

i

n

ii tvs

)(lim

10

路程的精确值

（ 2 ）近似代替


6.1.2 　定积分的定义

记 },,,max{ 21 nxxx ，如果不论对 ],[ ba

设函数 )(xf 在 ],[ ba 上有界，在 ],[ ba 中任意插入

若干个分点 bxxxxxann

1210

把区间 ],[ ba 分成n个小区间，各小区间的长度依次为

1 iii xxx ， ),2,1( i ，在各小区间上任取

一点 i （ ii x ），作乘积 ii xf )( ),2,1( i

并作和 ii

n

i

xfS

)(1

，

定义


怎样的分法，也不论在小区间 ],[ 1 ii xx 上

点 i 怎样的取法，只要当 0 时，和S总趋于

确定的极限I，我们称这个极限I为函数 )(xf 在区间 ],[ ba 上的定积分，记为

b

aIdxxf )( ii

n

i

xf

)(lim10

被积函数

被积表达式

积分变量

积分区间],[ ba

积分上限

积分下限

积分和


说明：

（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，

b

adxxf )(

b

adttf )(

b

aduuf )(

（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.

而与积分变量的字母无关.

（3）当函数 )(xf 在区间 ],[ ba 上的定积分存在时，

称 )(xf 在区间 ],[ ba 上可积.

（4）定积分与不定积分是两个截然不同的概念．定积分

是一个数值


当函数 )(xf 在区间 ],[ ba 上连续时，定理 1

称 )(xf 在区间 ],[ ba 上可积.

下面给出几个函数可积性定理

定理 2 设函数 )(xf 在区间 ],[ ba 上有界，且只有

有限个间断点，则 )(xf 在区间 ],[ ba 上可积.

（1）当 a b时，规定 ( ) 0b

af x dx ．

（2）规定 ( ) ( ) b a

a bf x dx f x dx．

两个规定


定积分的几何意义

,0)( xf b

aAdxxf )( 曲边梯形的面积

,0)( xf b

aAdxxf )( 曲边梯形的面积的负值

1A2A

3A

1 2 3( )b

af x dx A A A


几何意义：

积取负号．轴下方的面在轴上方的面积取正号；在

数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于

xx

bxax

xfx

,

)(


例 1 利用定义计算定积分 .1

0

2dxx解将 ]1,0[ n等分，分点为

ni

xi ，( ni ,,2,1 )

小区间 ],[ 1 ii xx 的长度n

xi1

，( ni ,,2,1 )

取 ii x ，( ni ,,2,1 )

ii

n

i

xf

)(1

ii

n

i

x

2

1

,1

2i

n

ii xx


nnin

i

12

1

n

i

in 1

23

1

6)12)(1(1

3

nnnn

,1

21

161

nn n0

dxx1

0

2ii

n

i

x

2

10lim

nnn

12

11

61

lim13


6.2 　定积分的性质

证 b

adxxgxf )]()([

iii

n

i

xgf

)]()([lim10

ii

n

i

xf

)(lim10

ii

n

i

xg

)(lim10

b

adxxf )( .)(

b

adxxg

（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）

b

adxxgxf )]()([ b

adxxf )( b

adxxg)( .性质 1


证 b

adxxkf )( ii

n

i

xkf

)(lim10

ii

n

i

xfk

)(lim10

ii

n

i

xfk

)(lim10

.)(b

adxxfk

b

a

b

adxxfkdxxkf)()( (k为常数).性质 2


补充：不论的相对位置如何 , 上式总成立 .cba ,,

例若 ,cba

c

adxxf )(

c

b

b

adxxfdxxf )()(

.)()( b

c

c

adxxfdxxf

（定积分对于积分区间具有可加性）

b

adxxf )(

c

b

c

adxxfdxxf )()(则

b

adxxf )(

b

c

c

adxxfdxxf )()( .

假设 bca 性质 3


证 ,0)( xf ,0)( if ),,2,1( ni

,0 ix ,0)(1

ii

n

i

xf

ii

n

i

xf

)(lim10

.0)( b

adxxf

dxb

a1 dx

b

a ab .性质4

则 0)( dxxfb

a. )( ba

性质 5 如果在区间 ],[ ba 上 0)( xf ，

},,,max{ 21 nxxx


性质 5 的推论：

证 ),()( xgxf ,0)()( xfxg

,0)]()([ dxxfxgb

a

,0)()( b

a

b

adxxfdxxg

于是 dxxfb

a )( dxxgb

a )( .

则 dxxfb

a )( dxxgb

a )( . )( ba

如果在区间 ],[ ba 上 )()( xgxf ，（ 1 ）


)( ba

证 ,)()()( xfxfxf

,)()()( dxxfdxxfdxxfb

a

b

a

b

a

即 dxxfb

a )( dxxfb

a )( .

说明：可积性是显然的 .| )(xf |在区间 ],[ ba 上的

性质 5 的推论：

dxxfb

a )( dxxfb

a )( .（ 2）


证 ,)( Mxfm

,)( b

a

b

a

b

aMdxdxxfdxm

).()()( abMdxxfabmb

a

（此性质可用于估计积分值的大致范围）

设M及m分别是函数

则 )()()( abMdxxfabmb

a .

)(xf 在区间 ],[ ba 上的最大值及最小值，

性质 6


例估计积分 dxx

0 3sin3

1的值.

解 ,sin31

)( 3 xxf

],,0[ x

,1sin0 3 x ,31

sin31

41

3

x

,31

sin3

141

00 30dxdx

xdx

.3sin3

14 0 3

dxx


证

Mdxxfab

mb

a

)(

1

)()()( abMdxxfabmb

a

由闭区间上连续函数的介值定理知

如果函数 )(xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，

则在积分区间 ],[ ba 上至少存在一个点，

使 dxxfb

a )( ))(( abf . )( ba

性质 7 （定积分中值定理）

积分中值公式


在区间 ],[ ba 上至少存在一个点，

使 ,)(1

)(

b

adxxf

abf

)( ba dxxfb

a )( ))(( abf .即

积分中值公式的几何解释：

x

y

o a b

)(f

在区间 ],[ ba 上至少存在一个点，使得以区间 ],[ ba 为

以曲线 )(xfy 底边，为曲边的曲边梯形的面积

等于同一底边而高为 )(f

的一个矩形的面积。


例设 )(xf 可导，且 1)(lim

xfx

，

求 dttft

tx

xx

2)(

3sinlim .

解由积分中值定理知有 ],2,[ xx

使 dttft

tx

x2

)(3

sin ),2)((3

sin xxf

dttft

tx

xx

2)(

3sinlim )(

3sinlim2

f

)(3lim2

f

.6


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教学目的及基本要求 : 1. 使学生初步掌握定积分这一重要概念的内涵与外延。 2. 使学生学会用定义计算、证明某些定积分。 3 使学生理解和掌握定积分的思想，分割近似求和，取极限。