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复变函数第 4讲

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第二章 解析函数

3

§1 解析函数的概念

4

1. 复变函数的导数与微分i) 导数的定义定义 设函数 w=f(z) 定义于区域D, z0 为 D 中一点 , 点 z0+z 不出 D 的范围 . 如果极限

zzfzzf

z Δ)()Δ(

lim 00

0Δ

存在 , 则就说 f(z) 在 z0 可导 , 此极限值就称为f(z) 在 z0 的导数 , 记作

)1.1.2(.Δ

)()Δ(lim

dd

)( 00

0Δ|

0 zzfzzf

zw

zfzzz

5

也就是说 , 对于任给的 >0, 存在 ()>0, 使得当 0<|z|< 时 , 有

)(Δ

)()Δ(0

00 zfz

zfzzf

.Δ

)()Δ( 00 都趋于同一个数z

zfzzf

应当注意 , 定义中 z0+zz0( 即 z0) 的方式是任意的 , 定义中极限值存在的要求与z0+zz0 的方式无关 , 也就是说 , 当 z0+z 在区域 D 内以任何方式趋于 z0 时 , 比值

6

如果 f(z) 在区域 D 内处处可导 , 就说 f(z) 在Ｄ内可导 .

7

例 1 求 f(z)=z2 的导数[ 解 ] 因为

.2)Δ2(limΔ

)Δ(lim

Δ)()Δ(

lim

0Δ

22

0Δ0Δ

zzzz

zzzz

zfzzf

z

zz

所以 f '(z)=2z.

8

例 2 问 f(z)=x+2yi 是否可导 ?[ 解 ] 这里

0

0

0

( ) ( )lim

( ) 2( ) 2lim

2lim

z

z

z

f z z f z

zx x y y i x yi

x yi

x yi

x yi

z

x

y

O

9

设 z+z 沿着平行于 x 轴的直线趋向于 z, 因而 y=0. 这时极限

0 0

2lim lim 1.z z

x yi x

x yi x

设 z+z 沿着平行于 y 轴的直线趋向于 z, 因而 x=0. 这里极限

0 0

2 2lim lim 2.z z

x yi y

x yi y

所以 f(z)=x+2yi 的导数不存在 .

11

ii) 可导与连续 容易证明 , 在 z0 点可导的函数必定在 z0 点连续.

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事实上 , 由在 z0 点可导的定义 , 对于任给的>0, 相应地有一个 >0, 使得当 0<|z|< 时 , 有

0)(Δlim

),(Δ

)()Δ()(Δ

)(Δ

)()Δ(

0Δ

000

000

z

zfz

zfzzfz

zfz

zfzzf

z

则

令

连续在即所以 0000Δ

)(),()Δ(lim zzfzfzzfz

由此得 f(z0+z)f(z0)=f '(z0)z+(z)z (2.1.2)

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iii) 求导法则 与实函数同样的办法可得 :1) (c)'=0, 其中 c 为复常数 .2) (zn)'=nzn1, 其中 n 为正整数 .3) [f(z)g(z)]'=f '(z)g'(z).4) [f(z)g(z)]'=f '(z)g(z)+f(z)g'(z).

0)()],()()()([)(

1)()(

)5 2

zgzgzfzfzgzgzg

zf

.0)(,

)()(,)(

1)()7

w

wzzfww

zf

且数个互为反函数的单值函

是两与其中

6) {f[g(z)]}'=f '(w)g'(z), 其中 w=g(z).

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iv) 微分的概念 设函数 w=f(z) 在 z0 可导 , 则有 w=f(z0+z)f(z0)=f '(z0)z+(z)z,,0)(Δlim

0Δ

z

z其中

因此 , |(z)z| 是 |z| 的高阶无穷小量 ,

而 f '(z0)z 是函数 w=f(z) 的改变量 w 的线性部分 , 称为函数 w=f(z) 在点 z0 的微分 , 记作

dw=f '(z0)z (2.1.3)

如果函数在 z0 的微分存在 ,

则称函数 f(z) 在 z0 可微 .

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dw=f '(z0)z (2.1.3)特别 , 当 f(z)=z 时 , 由 (2.1.3) 得 dz=z. 于是(2.1.3) 变为

dw=f '(z)dz,即

|0d

d)(

zzzw

zf

由此可见 , 函数 w=f(z) 在 z0 可导与在 z0 可微是等价的 .如果 f(z) 在区域 D 内处处可微 , 则称 f(z) 在 D 内可微 .

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2. 解析函数的概念定义 如果函数 f(z) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可导 , 则称 f(z) 在 z0 解析 , 如果 f(z) 在区域 D 内每一点解析 , 则称 f(z) 在 D 内解析 , 或称 f(z) 是 D内的一个解析函数 ( 全纯函数或正则函数 )

如果 f(z) 在 z0 不解析 , 则称 z0 为 f(z) 的奇点 .

由定义可知 , 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的 . 但是 , 函数在一点处解析和在一点处可导不等价 . 即 , 函数在一点处可导 , 不一定在该点处解析 .

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例 3 研究函数 f(z)=z2, g(z)=x+2yi 和 h(z)=|z|2

的解析性 .[ 解 ] 由解析函数的定义与前面例1, 例2可知 , f(z)=z2 在复平面内是解析的 , 而g(z)=x+2yi 却处处不解析 . 下面研究 h(z)=|z|2

的解析性 .由于 2 2

0 0 0 0

0 0 00 0

( ) ( ) | | | |

( )( )

h z z h z z z z

z z

z z z z z z zz z z

z z

18

易见 , 如果 z0=0, 则当 z0 时 , 上式的极限是零 . 如果 z00, 令 z0+z 沿直线

yy0=k(xx0)趋于 z0, 由于 k 的任意性 ,

1 1

11

yiz x yi kix

yz x yi kiix

不趋于一个确定的值 .

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所以 , 当 x0 时 , 比值

0 0( ) ( )h z z h z

z

的极限不存在 .

因此 , h(z)=|z|2 仅在 z=0 处可导 , 而在其他点都不可导 . 由定义 , 它在复平面内处处不解析 .

20

例 4 研究函数 的解析性 .1

wz

[ 解 ] 因为 w 在复平面内除点 z=0 外处处可导 , 且

2

1,

dw

dz z

所以在除 z=0 外的复平面内 , 函数1

wz

处处解析 , 而 z=0 是它的奇点 .

21

根据求导法则可知定理 1) 在区域 D 内解析的两个函数 f(z) 与g(z) 的和 , 差 , 积 , 商 ( 除去分母为零的点 )在 D 内解析 .

2) 设函数 h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析 , 函数 w=f(h) 在 h 平面上的区域 G 内解析 . 如果对 D 内的每一个点 z, 函数 g(z) 的对应值 h 都属于 G, 则复合函数 w=f[g(z)]在 D 内解析 .

22

从这个定理可推知 ,

所有多项式在复平面内是处处解析的 , 任何一个有理分式函数 P(z)/Q(z) 在不含分母为零的点的区域内是解析函数 , 使分母为零的点是它的奇点 .

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§2 函数解析的充要条件

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在工程中 , 往往是要用复变函数来解决实际问题 . 而实际问题中遇到的复变函数 , 通常都是某个实变函数延拓而来的 . 即 , 如果原来有一个实变函数 f(x), 自变量是实数 , 函数值也是实数 , 则将 x 用一个复数代替 , 就产生了一个自变量和函数值都是复数的复变函数 .事实上我们只关心这样的复变函数 . 比如说实变函数 f(x)=x2x+1, 则相应的延拓的复变函数就是 f(z)=z2z+1.经常就是实变函数中的基本初等函数及组合构成的初等函数延拓到复变函数 .

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假设 f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) 是解析函数 , 我们也可以将它看作是变量 x,y 的二元函数 , 则对 x 求偏导和对 y 求偏导 , 得两个公式

yyxu

xyxv

yyxv

xyxu

uvvu

iuviyxf

ivuy

yxvi

yyxu

iyxfi

ivux

yxvi

xyxu

iyxf

yxyx

yy

yy

xx

),(),(,

),(),(

)(

),(),()(

),(),()(

及由此得

即

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考察一个函数在一点可导 ( 或可微 ) 应当满足什么条件 . 设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 定义在区域 D 内 , 并且在 D 内一点 z=x+iy 可导 . 由 (2.1.2) 式可知 , 对于充分小的 |z|=|x+iy|>0, 有

f(z+z)f(z)=f '(z)z+(z)z,其中

0lim ( ) 0.z

z

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f(z+z)f(z)=f '(z)z+(z)z,在上式中令 f(z+z)f(z)=u+iv, f '(z)=a+ib, (z)=1+i2. 上式写为 u+iv=(a+ib)(x+iy)+(1+i2)(x+iy)

=(axby+1x2y)+i(bx+ay+2x+1y).

从而就有 u=axby+1x2y,v=bx+ay+2x+1y.

且当 z0, 即 x0,y0 时 , (z)0, 即有 10,20.

28

f '(z)=a+ib f(z+z)f(z)=u+iv u=axby+1x2y,v=bx+ay+2x+1y.

因此得知 u(x,y) 和 v(x,y) 在 (x,y) 可微 , 而且满足方程

,u v u v

a bx y y x

29

方程

,u v u v

x y y x

(2.2.1)

称为柯西 - 黎曼 (Cauchy-Riemann) 方程 .

30

定理一 设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 定义在区域 D 内 , 而 f(z) 在 D 内一点 z=x+iy 可导的充分必要条件是 : u(x,y) 与 v(x,y) 在点 (x,y)可微 , 并且在该点满足柯西 - 黎曼 (Cauchy-Riemann) 方程

, (2.2.1)u v u v

x y y x

31

[ 证 ] 条件的必要性已经证明 , 现证充分性 ,由于

f(z+z)f(z)=u(x+x,y+y)u(x,y)+i[v(x+x,y+y)v(x,y)]

=u+iv,又因为 u(x,y) 和 v(x,y) 在点 (x,y) 可微 , 可知

1 2

3 4

u uu x y x y

x y

v vv x y x y

x y

x,y0 时 ,k0, (k=1,2,3,4)

32

根据柯西 - 黎曼方程2,

u v u v vi

x y y x x

所以

1 3 2 4

( ) ( )

( ) ( ) .

u v u vf z z f z i x i y

x x y y

i x i y

因此

1 3 2 4

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ,

u vf z z f z i x i y

x x

i x i y

33

或1 3

2 4

( ) ( )( )

( ) .

f z z f z u v xi i

z x x zy

iz

因为 1, 1x y

z z

故当 z 趋于零时 , 上式最后两项都趋于零 , 因此

0

( ) ( )( ) lim

z

f z z f z u vf z i

z x x

即函数 f(z) 在点 z=x+iy 处可导 . 证毕 .

34

由定理一证明的未尾及柯西 - 黎曼方程 , 立即可以得到函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在点z=x+iy 处的导数公式 :

1( ) (2.2.2)

u v u vf z i

x x i y y

35

根据函数在区域内解析的定义及定理一 , 就得到了判断函数在区域 D 内解析的一个充要条件 .

定理二 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在其定义域D 内解析的充要条件是 u(x,y) 与 v(x,y) 在 D内可微 , 并满足柯西 - 黎曼方程 (2.2.1).

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例 1 判断下列函数在何处可导 , 在何处解析 :)Re()3);sin(cose)()2;)1 zzwyiyzfzw x

1,0,0,1

yv

xv

yu

xu

[ 解 ] 1) 因为 ux, vy,

可知柯西 - 黎曼方程不满足 , 所以 w =z 在复平面内处处不可导 , 处处不解析

37

2) 因为 u=excos y, v=exsin y,

yyv

yxv

yyu

yxu

xx

xx

cose,sine

sine,cose

柯西 - 黎曼方程成立 , 由于上面四个偏导数都是连续的 , 所以 f(z) 在复平面内处处可导 , 处处解析 , 且根据 (2.2.2) 式有

f '(z)=ex(cos y+isin y)=f(z)

今后将知道这个函数就是指数函数 ez.

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3) 由 w=zRe(z)=x2+ixy, 得 u=x2, v=xy, 所以

容易看出 , 这四个偏导数处处连续 , 但仅当x=y=0 时 , 它们才满足柯西 - 黎曼方程 , 因而函数仅在 z=0 可导 , 但在复平面内任何地方都不解析 .

xyv

yxv

yu

xxu

,

0,2

39

例 2 设函数 f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2). 问常数 a,b,c,d 取何值时 , f(z) 在复平面内处处解析 ?[ 解 ] 由于 ux=2x+ay, uy=ax+2by,

vx=2cx+dy, vy=dx+2y从而要使 ux=vy, uyvx,只需 2x+ay=dx+2y, 2cx+dyax2by.因此 , 当 a=2, b1, c1, d=2 时 , 此函数在复平面内处处解析 , 这时 f(z)=x2+2xyy2+i(x2+2xy+y2)

=(1i)(x+iy)2=(1i)z2

40

例 3 如果 f '(z) 在区域 D 处处为零 , 则 f(z)在 D 内为一常数 .[ 证 ] 因为

0

0)(

yv

xv

yu

xu

yu

iyv

xv

ixu

zf

故

所以 u= 常数 , v= 常数 , 因而 f(z) 在 D 内是常数 .

41

例 4 如果 f(z)=u+iv 为一解析函数 , 且 f '(z)0, 则曲线族 u(x,y)=c1 和 v(x,y)=c2 必互相正交 , 其中 c1, c2 为常数 .[ 证 ] 由于 f '(x)iuy+vy0, 故 uy 与 vy 不全为零 .如果在曲线的交点处 uy 与 vy 都不为零 , 由隐函数求导法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为 k1ux/uy 和 k2vx/vy,利用柯西 - 黎曼方程得k1k2=(ux/uy)(vx/vy)=(vy/uy)(uy/vy)1因此 , 二曲线族互相正交 . 如果 uy 与 vy 其中有一个为零 , 则另一个必不为零 , 此时易知交点的切线一条是垂直 , 一条是水平 ,仍然正交 .

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作业 第二章习题 , 第 66页开始

第 1,2,3,4 题