1

复变函数第 8讲

2

§4 原函数与不定积分

3

定理一 如果函数 f(z) 在单连通域 B 内处处解析 , 则积分 与连接起点及终点的路线 C 无关 .

C zzf d)(

z1

z2

BC1

C2

z1

z2C1

C2B

4

由定理一可知 , 解析函数在单连通域内的积分只与起点 z0 和终点 z1 有关 , 如图所示 , 我们有 1

021

d)(d)(d)(z

zCC

zzfzzfzzf

z1

z2

BC1

C2

z1

z2C1

C2B

5

固定 z0, 让 z1 在 B 内变动 , 令 z1=z, 则积分

z

zf

0

d)(

)1.4.3(d)()(0

z

zfzF

在 B 内确定了一个单值函数

对这个函数我们有定理二 如果 f(z) 在单连通域 B 内处处解析 , 则函数 F(z) 必为 B 内的一个解析函数 , 并且

F '(z)=f(z).

6

[ 证 ] 从导数的定义出发来证 . 设 z 为 B 内任意一点 , 以 z 为中心作一含于 B 内的小圆K, 取 |z| 充分小使 z+z 在 K 内 . 于是由 (3.4.1) 得

z

z

zz

zffzFzzF

00

d)(d)()()Δ(Δ

z+zz

K

z0

7

.d)()(Δ1

)(d)(Δ1

)(Δ

)()Δ(

Δ)(d)(d)(

.d)()()Δ(

Δ

Δ

ΔΔ

Δ

zz

z

zz

z

zz

z

zz

z

zz

z

zffz

zffz

zfz

zFzzF

zzfzfzf

fzFzzF

又因

8

则任给 >0, 存在 >0, 当 |z|<即 |z|<时 , 总有 |f()f(z)|<, 因此

)()(

,0)(Δ

)()Δ(lim

|Δ||Δ|

1

d|)()(||Δ|

1

d)]()([|Δ|

1

0Δ

Δ

Δ

zfzF

zfz

zFzzF

zz

szffz

zffz

z

zz

z

zz

z

即

这就是说

9

定义 如果函数 (z) 在区域 D 内的导数等于 f(z), 即 '(z)=f(z), 则称 (z) 为 f(z) 在区域 B 内的原函数 .

.

)(d)()(0

一个原函数

的是定理二表明 zffzFz

z

f(z) 的任何两个原函数相差一个常数 . 设G(z) 和 H(z) 是 f(z) 的两个原函数 , 则[G(z)H(z)]'=G '(z)H '(z)=f(z)f(z)=0.所以 G(z)H(z)=c, c 为任意常数 .

10

因此 , 如果函数 f(z) 在区域 B 内有一个原函数 F(z), 则它就有无穷多个原函数 , 而且具有一般表达式 F(z)+c, c 为任意常数 .跟在微积分学中一样 , 定义 : f(z) 的原函数的一般形式 F(z)+c( 其中 c 为任意常数 .) 为f(z) 的不定积分 , 记作

czFzzf )(d)(

11

定理三 如果 f(z) 在单连通域 B 内处处解析 , G(z) 为 f(z) 的一个原函数 , 则

),()(d)( 01

1

0

zGzGzzfz

z

这里 z0, z1 为域 B 内的两点 .

[ 证 ] 因为 也是 f(z) 的原函数 ,

所以

z

zzzf

0

d)(

.)(d)(0

czGzzfz

z

12

当 z=z0 时 , 根据柯西 - 古萨基本定理 , cG(z0)

)2.4.3().()(d)(

),()(d)(

01

0

1

0

0

zGzGzzf

zGzGzzf

z

z

z

z

或

有了原函数 , 不定积分和积分计算公式(3.4.2), 复变函数的积分就可用微积分学中类似的方法去计算 .

.)(d)(0

czGzzfz

z

13

例 1 求积分 的值i

zzz0

dcos

.1e12

ee2

ee

1cossin

cossindcos

111

00

ii

iii

zzzzzz ii

[ 解 ] 函数 zcos z 在全平面内解析 , 容易求得它有一个原函数为 zsin z+cos z. 所以

14

例 2 试沿区域 Im(z)0, Re(z)0 内的圆弧 |z|=1, 计算积分

的值 i

zzz

1d

1)1ln(

1)1ln(

zz

[ 解 ] 函数 在所设区域内解析 .

|1

2

1

2

)1(ln21

d1

)1ln(

),1(ln21

iizz

zz

z

所以它的一个原函数为

15

i

i

i

zzzz ii

82lnπ

2ln83

32π

2ln4π

2ln21

21

)]2(ln)1([ln21

)1(ln21

d1

)1ln(

22

22

22

1

2

1|

16

§5 柯西积分公式

17

.

.

,.

d)(

.)(

,

)(.,

0

00

00

0

个积分的值现在来求这的的简单闭曲线都是相同条围绕

这积分的值沿任何一又根据闭路变形原理零

一般不为的积分的一条闭曲线绕

内围所以在不解析在则函数内解析

在如果中一点为为一单连通域设

z

zzzzf

Cz

Bzzzzf

BzfBzB

C

18

既然沿围绕 z0 的任何简单闭曲线积分值都相同 . 则取以 z0 为中心 , 半径为的很小的圆周|zz0|=( 取其正向 ) 作为积分曲线 C. 由于 f(z) 的连续性 , 在 C 上的函数 f(z) 的值将随着的缩小而逐渐接近于它在圆心 z0 处的值 , 从而使我们

猜想积分 的值也将随着的缩小而接近于 ).(π2d

1)(d

)(0

00

0

0 zifzzz

zfzzz

zf

CC

C

zzzzf

d)(

0

19

其实两者是相等的 , 即

)(π2d)(

00

zifzzzzf

C

)1.5.3(.d)(

π21

)(0

0 C

zzzzf

izf

我们有下面的定理 .

定理 ( 柯西积分公式 ) 如果 f(z) 在区域 D 内处处解析 , C 为 D 内的任何一条正向简单闭曲线 , 它的内部完全含于 D, z0 为 C 内的任一点 , 则

20

[ 证 ] 由于 f(z) 在 z0 连续 , 任给 >0, 存在 ()>0, 当 |zz0|<时 , |f(z)f(z0)|<. 设以 z0

为中心 , R 为半径的圆周 K:|zz0|=R 全部在C 的内部 , 且 R<.

D

CK

z z0

R

21

)2.5.3(d)()(

)(π2

d)()(

d)(

d)(

d)(

0

00

0

0

0

0

00

K

KK

KC

zzz

zfzfzif

zzz

zfzfz

zzzf

zzzzf

zzzzf

22

这表明不等式右端积分的模可以任意小 , 只要 R 足够小就行了 , 根据闭路变形原理 , 该积分的值与 R 无关 , 所以只有在对所有的 R 积分为值为零才有可能 , 因此 , 由 (3.5.2) 即得要证的 (3.5.1) 式 .

π2d

d||

|)()(|d

)()(

0

0

0

0

K

KK

sR

szz

zfzfz

zzzfzf

23

(3.5.1) 式称为积西积分公式 .如果 C 是圆周 z=z0+Rei, 则 (3.5.1) 式成为

)3.5.3(.d)e(π21

)(π2

0 00 iRzfzf

即 , 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值 .

)1.5.3(.d)(

π21

)(0

0 C

zzzzf

izf

24

例 求下列积分 ( 沿圆周方向 ) 的值 :

.d3

21

1)2;d

sinπ21

)14||4||

zz

zzz

zz

zi

[ 解 ] 由 (3.5.1) 得

.π62π21π2

d3

2d

1

1d

3

2

1

1)2

;0sindsin

π2

1)1

4||4||4||

04||

|

iii

zz

zz

zzz

zzz

z

i

zzz

zz

25

§6 解析函数的高阶导数

一个解析函数不仅有一阶导数 , 而且有各高阶导数 , 它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示 . 这一点和实变函数完全不同 . 一个实变函数在某一区间上可导 , 它的导数在这区间上是否连续也不一定 , 更不要说它有高阶导数存在了 .

26

定理 解析函数 f(z) 的导数仍为解析函数 , 它的 n 阶导数为 :

)1.6.3(

),2,1(d)(

)(π2!

)( 10

0)(

nz

zz

zfi

nzf

Cn

n

其中 C 为在函数 f(z) 的解析区域 D 内围绕z0 的任何一条正向简单曲线 , 而且它的内部全含于 D.

27

[ 证 ] 设 z0 为 D 内任意一点 , 先证 n=1 的情形 , 即

,Δ

)()Δ(lim)(

d)(

)(π21

)(

00

0Δ0

20

0

zzfzzf

zf

zzz

zfi

zf

z

C

先按定义有

.0Δ

Δ)()Δ(

d)(

)(π21 00

20

时也趋向于零在

z

zzfzzf

zzz

zfi

C

因此就是要证

28

按柯西积分公式有

C

C

C

zzzzzz

zfi

zzfzzf

zzzz

zfi

zzf

zzzzf

izf

d)Δ)((

)(π21

Δ)()Δ(

dΔ)(

π21

)Δ(

.d)(

π21

)(

00

00

00

00

29

因此

Izzzzzz

zzfi

zzzzzz

zfi

zzz

zfi

zzfzzf

zzz

zfi

C

C

C

C

d)Δ()(

)(Δπ21

d)Δ)((

)(π21

d)(

)(π21

Δ)()Δ(

d)(

)(π21

02

0

00

20

002

0

30

现要证当 z0 时 I0, 而

.|Δ|||

d|)(||Δ|

)Δ()(

d)(Δπ21

||

02

0

02

0

C

C

zzzzz

szfz

zzzzz

zzzfI

Dz0

d

C

31

f(z) 在 C 上连续 , 则有界 , 设界为 M, 则在C 上有 |f(z)|M. d 为 z0 到 C 上各点的最短距离 , 则取 |z| 适当地小使其满足 |z|<d/2,

Dz0

d

C

32

因此 ,

30

20

0

00

00

π|Δ|

|Δ|||

d|)(||Δ|π21

||

2|Δ|

1

,2

|Δ||||Δ|

,1

||1

,||

d

MLz

zzzzz

szfzI

dzzz

dzzzzzz

dzzdzz

C

L 是 C 的长度

33

这就证得了当 z0 时 ,I0, 也就证得了

C

z

zzz

zfi

zf

zzfzzf

d)(

)(π2!2

)(

Δ)()Δ(

lim

30

0

00

0Δ

便可得

再利用同样的方法去求极限 :

)2.6.3(d)(

)(π21

)( 20

0

C

zzz

zfi

zf

这里已经证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数 .

34

依此类推 , 用数学归纳法可以证明 :

此公式可以这样记忆 : 把柯西积分公式(3.5.1)的两边对 z0 求导数 , 右边求导在积分号下进行 , 求导时把被积函数看作是 z0

的函数 , 而把 z 看作常数 .

高阶导数公式的作用 , 不在于通过积分来求导 , 而在于通过求导来求积分 .

Cn

n zzz

zfi

nzf d

)(

)(π2!

)( 10

0)(

35

[ 解 ] 1) 函数 在 C 内的 z=1 处不解析 ,

但 cosz 在 C 内却是处处解析的 . 根据 (3.6.1) 有

例 1 求下列积分的值 , 其中 C 为正向圆周 : |z|=r>1.

C

z

C

zz

zz

zd

)1(

e)2;d

)1(

cos)1 225

5)1(

cos

z

z

.12

)(cos)!15(

2d

)1(

cos 5

1

)4(5 | i

zi

zz

zz

C

36

.

,

.,

.)1(

)2

21

21

22

析的所围成的区域内是解和则此函数在由

为中心作两个正向圆周和内以在

我们处不解析内的在函数

CCC

CCiiC

izCz

e z

O

C1

C2

Ci

i x

y

37

根据复合闭路定理 ,

21

d)1(

ed

)1(

ed

)1(

e222222

C

z

C

z

C

z

zz

zz

zz

O

C1

C2

Ci

i x

y

38

由 (3.6.1) 有

)4

1sin(2d)1(

e

.2

)1(d

)1(

e,

.2

)1('

)(

e)!12(

2

d)()(

e

d)1(

e

22

22

2

2

2

22

2

11

izz

eiz

z

ei

iz

i

ziziz

zz

C

z

i

C

z

i

iz

z

C

z

C

z

因此

同样

39

§7 解析函数与调和函数的关系

40

如果二元函数 (x,y) 在区域 D 内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯 (Laplace) 方程

2 2

2 20,

x y

则称 (x,y) 为区域 D 内的调和函数 .

调和函数在诸如流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要的应用 . 下面的定理说明了调和函数与解析函数的关系 .

41

定理 任何在区域 D 内解析的函数 , 它的实部和虚部函数都是 D 内的调和函数 .[证 ] 设 w=f(z)=u+iv 为 D 内的一个解析函数 , 则

2 2 2 2

2 2

, ,

,

u v u v

x y y x

u v u v

x y x y x y

则

根据解析函数高阶导数定理 , u 与 v 具有任意阶的连续偏导数 , 所以

2 2

,u v

y x x y

42

从而2 2

2 20,

u u

x y

同理

2 2

2 20,

v v

x y

因此 u 与 v 都是调和函数 .

[证毕 ]

43

设 u(x,y) 为区域 D 内给定的调和函数 , 把使u+iv 在 D 内构成解析函数的调和函数 v(x,y)称为 u(x,y) 的共轭调和函数 . 换句话说 , 在D 内满足柯西黎曼方程

, (3.7.1)u v u v

x y y x

的两个调和函数中 , v 称为 u 的共轭调和函数 . 因此 , 上面的定理说明 : 区域 D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数 .

44

应当指出 , 如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用柯西 -黎曼方程 (3.7.1) 求得它的共轭调和函数 v, 从而构成一个解析函数 u+iv. 下面举例说明求法 . 这种方法可以称为偏积分法 .例 1 证明 u(x,y)=y33x2y 为调 和函数 , 并求其共轭调和函数 v(x,y) 和由它们构成的解析函数 .[解 ] 1) 因为

2 22 2

2 26 , 6 , 3 3 , 6

u u u uxy y y x y

x x y y

所以2 2

2 20,

u u

x y

45

2) 由

2

2

6 ,

6 d 3 ( )

3 ( )

v uxy

y x

v xy y xy g x

vy g x

x

得

由 2 2 2

2 3

, 3 ( ) 3 3

( ) 3 d

v uy g x y x

x y

g x x x x c

得-

故

46

从而得到一个解析函数w=y33x2y+i(x33xy2+c)

这个函数可以化为w=f(z)=i(z3+c)