第二十二讲第七章 第二节

窗函数法设计 FIR 滤波

学习目标

理解窗函数法设计 FIR 滤波器的思路 了解吉布斯效应 了解各种窗函数 掌握窗函数的设计方法

窗函数法设计 FIR 滤波的思想 一般是先给所要求的理想的滤波器的频率响

应 ，要求设计一个 FIR 滤波器频率响应 来逼近 。但是设计是在时域进行的，因而先由 的傅立叶变换导出 ，即

但一般情况下， 是逐段恒定，在边界频率处有不连续点，因而 是无限时宽的，且是非因果序列， 而我们要设计的是 FIR 滤波器，其 必然是有限长的，这时我们只有将 截取一段，用一个有限长度线 性相位滤波 器逼近无限长的 , 并保证截取的一段对 对称。设截取的一段用 表示。

即 是一个矩形序列，长度为 。

1 、设计思路分析1

0

( ) ( ) ( )N

j j n jd

n

H e h n e H e

1( )

2j j n

d dh n H e e d

( ) ( ) ( )N dh n w n h n

逼近误差取决于窗函数序列 w(n) ：要选择合适的形状和长度

理想滤波器的频响

冲激响应无限长且非因果，物理

无法实现

)()( jd

j eHeH 逼近设计思想是用

以低通滤波器为例讨论：

线性相位理想低通滤波器的频率响应：

( )0 ,

jj c c

d

c c

eH e

1 sin[ ( )]( )

2 ( )

c

c

j j n c cd

c

nh n e e d

n

其理想单位抽样响应：

中心点为 的偶对称无限长非因果序列

线性相位理想低通滤波器及矩形窗函数的频率响应图解

矩形窗谱的特点， N 越大主瓣越窄，波动越密。

实现过程如图所示

以上就是用窗函数法设计 FIR 滤波器的思路。

取矩形窗： ( ) ( )Nw n R n

1sin

20 1

12

0

cc

c

Nn

n Nh n N

n

n

其它

( ) 0 1( ) ( ) ( )

0d

d

h n n Nh n h n w n

n

其它

则 FIR 滤波器的单位抽样响应：

1

2

N 按第一类线性相位条件，得

sin[ ( )]( )

( )c c

dc

nh n

n

2. 窗函数设计法的数学描述 :

加窗处理后对理想频率响应的影响：

时域乘积相当于频域卷积

1( )

2jj j

d NH e H e R e d

112

0

sin2( ) ( )

sin2

NN jj j nN N

n

N

R e R n e e

而矩形窗的频率响应：

( ) ( ) ( )dh n h n w n

sin2 ( )

sin2

N

N

R

其幅度函数： 相位函数

(0) ( )NH R 近似于 的全部积分面积

( ) 0.5 (0)cH H

2cH

N

为最大值，正肩峰

2cH

N

为最小值，负肩峰

( )H 随 ， 绕零值波动

( ) (0)H H 随 ， 绕 波动

0

c

2c N

2c N

2c N

2c N

1( ) ( ) ( )

2 d NH H R d

结论： 加窗处理对理想矩形频率响应产生以下几点影响。（ 1 ）使理想频率特性不连续点处边沿加宽，形成一个

过渡带，过渡带宽等于窗的频率响应 的主瓣宽度 。

（ 2 ）带内增加了波动，最大的峰值在 处。阻带内产生了余振，最大的负峰在 处。通带与阻带中波动的情况与窗函数的幅度谱有关。 波动愈快（加大时），通带、阻带内波动愈快， 旁瓣的大小直接影响 波动的大小。

吉布斯（ Gibbs ）效应

改变截取长度 N ，只能改变窗谱的主瓣宽度、 的坐标比例以及改变 的绝对值大小，但是不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。这个比例是由窗函数的形状来决定的。

上述用矩形窗加窗后频域的变化称为吉布斯效应。这种效应直接影响滤波器的性能。通带内的波动影响滤波器通带中的平稳性，阻带内的波动影响阻带内的衰减，可能使最小衰减不满足技术要求。一般滤波器都要求过渡带愈窄愈好。

？：如何减少吉布斯效应的影响

H

降低吉布斯效应对窗函数的要求从以上讨论可看出，一般希望窗函数满足两项要求：（ 1 ）窗谱主瓣尽可能的窄，以获得较陡的过渡带。

（措施：加大窗长即增加 N ）（ 2 ）尽量减小窗谱的最大旁瓣的幅度，也就是能量尽

量集中在主瓣，这样使肩峰和波纹减小，可以增大阻带的衰减。

（措施：选择合适的窗函数）

下面介绍各种常用的窗函数：

( ) ( )Nw n R n

（ 1 ）矩形窗 (Rectangle Window)

4

N

主瓣宽度最窄 ，旁瓣幅度大。

11

2

0

( ) ( )NN jj j n

R Rn

W e w n e W e

窗谱：

sin2( )

sin2

R

N

W

幅度函数：

特点：

3. 各种常用的窗函数

（ 2 ）三角形窗 (Bartlett Window)2 1

01 2( )

2 12 1

1 2

n Nn

Nw nn N

n NN

8

N

主瓣宽度宽 ，旁瓣幅度较小。

1

2( )N

jjW e W e

窗谱：

2

sin2 4( )sin

2

N

WN

幅度函数：

1N

特点：

（ 3 ）汉宁 (Hanning) 窗——升余弦窗

1 2( ) 1 cos ( )

2 1 N

nw n R n

N

8

N

主瓣宽度宽 ，旁瓣幅度小。

2 2( ) 0.5 ( ) 0.25R R RW W W W

N N

幅度函数： 1N

特点：

（ 4 ）哈明 (Hamming) 窗——改进的升余弦窗

2( ) 0.54 0.46cos ( )

1 N

nw n R n

N

8

N

主瓣宽度宽： ，旁瓣幅度更小。

2 2( ) 0.54 ( ) 0.23R R RW W W W

N N

幅度函数： 1N

特点 :

（ 5 ）布莱克曼（ Blackman ）窗——（二阶升余弦窗）

2 4( ) 0.42 0.5cos 0.08cos ( )

1 1 N

n nw n R n

N N

12

N

主瓣宽度最宽： ，旁瓣幅度最小。

2 2( ) 0.42 ( ) 0.25R R RW W W W

N N

4 4

0.04 R RW WN N

幅度函数： 1N

特点 :

(6) 凯塞—贝塞尔窗 (Kaiser-Basel Window)

：第一类变形零阶 贝塞尔函数

0 ( )I

改变 可同时调整主瓣 宽度和旁瓣幅度

旁瓣幅度

但主瓣宽度

五种窗函数的波形

（ a ）矩形窗；（ b ）巴特利特窗（三角形窗）；（ c ）汉宁窗；

（ d ）哈明窗；（ e ）布莱克曼窗

五种窗函数的幅度特性

N

c

理想低通加不同类型窗后频谱幅度特性比较

＝ 51 ，

＝ 0.5

）

N

c

＝ 51 ，

＝ 0.5

）

（ a ）矩形窗；（ b ）巴特利特窗（三角形窗）；（ c ）汉宁窗；（ d ）哈明窗；（ e ）布莱克曼窗

六种窗函数的基本参数

此表是设计过程中选择的主要依据！

4 、窗函数法的设计步骤

1) 给定理想的频率响应函数及技术指标

( )jdH e

2 ,

2) 求出理想的单位抽样响应 ( )dh n

3) 根据阻带衰减选择窗函数 ( )w n

6) 计算频率响应 ，验算指标是否满足要求( )jH e

/N A 4) 根据过渡带宽度确定 N 值

( ) ( ) ( )dh n h n w n 5) 求所设计的 FIR 滤波器的单位抽样响应

公式法：

( )jdH e ( )dh n

, ( ) ( )d MM N h n h n当 时

IFFT 法：

1( )

2j j n

d dh n H e e d

( ) ( )M dr

h n h n rM

计算其 IFFT ，得：

对 M 点等间隔抽样：( )jdH e

2

( )j k

MdH e

由 的方法

例 7.2.1 用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR 低通滤波器，设 N=11,ωc=0.2πrad 。

解 用理想低通作为逼近滤波器

sin( ( ))( ) ,0 10

( )

1( 1) 5

2sin(0.2 ( 5))

( ) ,0 10( 5)

cd

d

nh n n

n

N

nh n n

n

用汉宁窗设计：( ) ( ) ( ),0 10

2( ) 0.5(1 cos )

10

d Hn

Hn

h n h n n n

nn

用布莱克曼窗设计：

11

( ) ( ) ( )

2 2( ) (0.42 0.5cos 0.08cos ) ( )

10 10

d Bl

Bl

h n h n n

n nn R n

图 7.2.7 例 7.2.1 的低通幅度特性

/ 2 / 0.2p p s p sf

/ 2 / 0.4st st s st sf

2 50dB

解：1 ）求数字频率

补充例题：设计一个线性相位 FIR 低通滤波器，给定抽样频率为 ，42 1.5 10 ( / sec)s rad

32 1.5 10 ( / sec)p rad 通带截止频率为 ，32 3 10 ( / sec)st rad 阻带起始频率为 ，

阻带衰减不小于 -50dB ，幅度特性如图所示

2 ）求 hd(n)

( )0 ,

jj c c

d

c c

eH e

cc

sf

( )1 1( )

2 2

c

c

j j n j ndh n e e d e d

1sin[ ( )]

( ) c

c

n nn

n

1

2

N

1/ 22 0.3

p st

s

2( ) 0.54 0.46cos ( )

1 N

nw n R n

N

2 0.2st p

s

6.633

0.2

AN

116

2

N

4 ）确定 N 值

2 50dB 3 ）选择窗函数：由 确定海明窗（ -53dB ）

6.6

N

海明窗带宽：

5 ）确定 FIR 滤波器的 h(n)

( ) ( ) ( )dh n h n w n

33

sin 0.3 160.54 0.46cos ( )

16 16

n nR n

n

6 ）求 ，验证( )jH e

若不满足，则改变 N或窗形状重新设计

窗函数算法计算中的主要问题：（ 1 ）当 很复杂或不能直接计算积分时，则

必须用求和代替积分，以便在计算机上计算。（ 2 ）窗函数设计法的另一个困难就是需要预先

确定窗函数的形状和窗序列的点数 ，以满足给定的频率响应指标。这一困难可利用计算机采用累试法加以解决。

窗函数法的优点是简单，有闭合形式的公式可循，因而很实用。缺点是通带、阻带的截止频率不易控制。