1

复变函数第 3讲

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作业第 8题 6) 小题 " 将下列复数化为三角表示式和指数表示式 . 注意这样的题倒不如先化成指数表示式进行运算

2

252 1019

33 93

e(cos5 sin5 ) ee

(cos3 sin3 ) ee

cos19 sin19

i ii

ii

i

i

i

3

第二章 解析函数

4

§1 解析函数的概念

5

1. 复变函数的导数与微分i) 导数的定义定义 设函数 w=f(z) 定义于区域D, z0为 D

中一点 , 点 z0+z 不出 D 的范围 . 如果极限

zzfzzf

z Δ)()Δ(

lim 00

0Δ

存在 , 则就说 f(z)在 z0 可导 , 此极限值就称为f(z)在 z0 的导数 , 记作

)1.1.2(.Δ

)()Δ(lim

dd

)( 00

0Δ|

0 zzfzzf

zw

zfzzz

6

也就是说 , 对于任给的 >0, 存在 ()>0, 使得当 0<|z|<时 , 有

)(Δ

)()Δ(0

00 zfz

zfzzf

.Δ

)()Δ( 00 都趋于同一个数z

zfzzf

应当注意 , 定义中 z0+zz0(即 z0) 的方式是任意的 , 定义中极限值存在的要求与z0+zz0 的方式无关 , 也就是说 , 当 z0+z 在区域 D 内以任何方式趋于 z0时 , 比值

7

如果 f(z) 在区域 D 内处处可导 , 就说 f(z)在Ｄ内可导 .

8

例 1 求 f(z)=z2 的导数[解 ] 因为

.2)Δ2(limΔ

)Δ(lim

Δ)()Δ(

lim

0Δ

22

0Δ0Δ

zzzz

zzzz

zfzzf

z

zz

所以 f '(z)=2z.

9

例 2 问 f(z)=x+2yi 是否可导 ?[解 ] 这里

0

0

0

( ) ( )lim

( ) 2( ) 2lim

2lim

z

z

z

f z z f z

zx x y y i x yi

x yi

x yi

x yi

z

x

y

O

10

设 z+z 沿着平行于 x 轴的直线趋向于 z, 因而 y=0. 这时极限

0 0

2lim lim 1.z z

x yi x

x yi x

设 z+z 沿着平行于 y 轴的直线趋向于 z, 因而 x=0. 这里极限

0 0

2 2lim lim 2.z z

x yi y

x yi y

所以 f(z)=x+2yi 的导数不存在 .

12

ii) 可导与连续 容易证明 , 在 z0 点可导的函数必定在 z0 点连续.

13

事实上 , 由在 z0 点可导的定义 , 对于任给的 >0, 相应地有一个 >0, 使得当 0<|z|<时 , 有

0)(Δlim

),(Δ

)()Δ()(Δ

)(Δ

)()Δ(

0Δ

000

000

z

zfz

zfzzfz

zfz

zfzzf

z

则

令

连续在即所以 0000Δ

)(),()Δ(lim zzfzfzzfz

由此得 f(z0+z)f(z0)=f '(z0)z+(z)z (2.1.2)

14

iii) 求导法则 与实函数同样的办法可得 :1) (c)'=0, 其中 c 为复常数 .2) (zn)'=nzn1, 其中 n 为正整数 .3) [f(z)g(z)]'=f '(z)g'(z).4) [f(z)g(z)]'=f '(z)g(z)+f(z)g'(z).

0)()],()()()([)(

1)()(

)5 2

zgzgzfzfzgzgzg

zf

.0)(,

)()(,)(

1)()7

w

wzzfww

zf

且数个互为反函数的单值函

是两与其中

6) {f[g(z)]}'=f '(w)g'(z), 其中 w=g(z).

15

iv) 微分的概念 设函数 w=f(z)在 z0 可导 , 则有 w=f(z0+z)f(z0)=f '(z0)z+(z)z,,0)(Δlim

0Δ

z

z其中

因此 , |(z)z|是 |z| 的高阶无穷小量 ,

而 f '(z0)z 是函数 w=f(z) 的改变量 w 的线性部分 , 称为函数 w=f(z) 在点 z0 的微分 , 记作

dw=f '(z0)z (2.1.3)

如果函数在 z0 的微分存在 ,

则称函数 f(z)在 z0 可微 .

16

dw=f '(z0)z (2.1.3)特别 , 当 f(z)=z时 , 由 (2.1.3)得 dz=z. 于是 (2.1.3) 变为

dw=f '(z)dz,即

|0d

d)(

zzzw

zf

由此可见 , 函数 w=f(z)在 z0 可导与在 z0

可微是等价的 .如果 f(z) 在区域 D 内处处可微 , 则称 f(z)在 D 内可微 .

17

2. 解析函数的概念定义 如果函数 f(z)在 z0及 z0 的邻域内处处可导 , 则称 f(z)在 z0 解析 , 如果 f(z) 在区域 D 内每一点解析 , 则称 f(z)在 D 内解析 , 或称 f(z)是 D 内的一个解析函数 ( 全纯函数或正则函数 )如果 f(z)在 z0 不解析 , 则称 z0为 f(z) 的奇点 .

由定义可知 , 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的 . 但是 , 函数在一点处解析和在一点处可导不等价 . 即 , 函数在一点处可导 , 不一定在该点处解析 .

18

例 3 研究函数 f(z)=z2, g(z)=x+2yi和 h(z)=|z|2

的解析性 .[解 ] 由解析函数的定义与前面例1,例2可知 , f(z)=z2 在复平面内是解析的 , 而g(z)=x+2yi 却处处不解析 . 下面研究 h(z)=|z|2

的解析性 .由于 2 2

0 0 0 0

0 0 0 00 0

( ) ( ) | | | |

( )( )

h z z h z z z z

z z

z z z z z z zz z z

z z

19

易见 , 如果 z0=0, 则当 z0时 , 上式的极限是零 . 如果 z00, 令 z0+z 沿直线

yy0=k(xx0)趋于 z0, 由于 k 的任意性 ,

1 1

11

yiz x yi kix

yz x yi kiix

不趋于一个确定的值 .

20

所以 , 当 x0时 , 比值

0 0( ) ( )h z z h z

z

的极限不存在 .

因此 , h(z)=|z|2 仅在 z=0 处可导 , 而在其他点都不可导 . 由定义 , 它在复平面内处处不解析 .

21

例 4 研究函数 的解析性 .1

wz

[解 ] 因为 w 在复平面内除点 z=0 外处处可导 , 且

2

1,

dw

dz z

所以在除 z=0 外的复平面内 , 函数1

wz

处处解析 , 而 z=0 是它的奇点 .

22

根据求导法则可知

定理 1) 在区域 D 内解析的两个函数 f(z)与 g(z) 的和 ,差 ,积 ,商 ( 除去分母为零的点 )在 D 内解析 .

2) 设函数 h=g(z)在 z 平面上的区域 D 内解析 , 函数 w=f(h)在 h 平面上的区域 G内解析 . 如果对 D 内的每一个点 z, 函数g(z) 的对应值 h 都属于 G, 则复合函数w=f[g(z)]在 D 内解析 .

23

从这个定理可推知 ,

所有多项式在复平面内是处处解析的 , 任何一个有理分式函数 P(z)/Q(z) 在不含分母为零的点的区域内是解析函数 , 使分母为零的点是它的奇点 .

24

§2 函数解析的充要条件

25

在工程中 , 往往是要用复变函数来解决实际问题 . 而实际问题中遇到的复变函数 , 通常都是某个实变函数延拓而来的 . 即 , 如果原来有一个实变函数 f(x), 自变量是实数 , 函数值也是实数 , 则将 x 用一个复数代替 , 就产生了一个自变量和函数值都是复数的复变函数 .事实上我们只关心这样的复变函数 . 比如说实变函数 f(x)=x2x+1, 则相应的延拓的复变函数就是 f(z)=z2z+1.经常就是实变函数中的基本初等函数及组合构成的初等函数延拓到复变函数 .

26

假设 f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) 是解析函数 , 我们也可以将它看作是变量 x,y 的二元函数 , 则对 x 求偏导和对 y 求偏导 , 得两个公式

yyxu

xyxv

yyxv

xyxu

uvvu

iuviyxf

ivuy

yxvi

yyxu

iyxfi

ivux

yxvi

xyxu

iyxf

yxyx

yy

yy

xx

),(),(,

),(),(

)(

),(),()(

),(),()(

及由此得

即

27

考察一个函数在一点可导 ( 或可微 ) 应当满足什么条件 . 设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 定义在区域 D内 , 并且在 D 内一点 z=x+iy 可导 . 由 (2.1.2) 式可知 , 对于充分小的 |z|=|x+iy|>0, 有

f(z+z)f(z)=f '(z)z+(z)z,其中

0lim ( ) 0.z

z

28

f(z+z)f(z)=f '(z)z+(z)z,在上式中令 f(z+z)f(z)=u+iv, f '(z)=a+ib, (z)=1+i2. 上式写为 u+iv=(a+ib)(x+iy)+(1+i2)(x+iy)

=(axby+1x2y)+i(bx+ay+2x+1y).

从而就有 u=axby+1x2y,v=bx+ay+2x+1y.

且当 z0,即 x0,y0时 , (z)0, 即有 10,20.

29

f '(z)=a+ib f(z+z)f(z)=u+iv u=axby+1x2y,v=bx+ay+2x+1y.

因此得知 u(x,y)和 v(x,y)在 (x,y) 可微 , 而且满足方程

,u v u v

a bx y y x

30

方程

,u v u v

x y y x

(2.2.1)

称为柯西 - 黎曼 (Cauchy-Riemann) 方程 .

31

定理一 设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 定义在区域 D内 , 而 f(z)在 D 内一点 z=x+iy 可导的充分必要条件是 : u(x,y)与 v(x,y) 在点 (x,y)可微 , 并且在该点满足柯西 - 黎曼 (Cauchy-Riemann) 方程

, (2.2.1)u v u v

x y y x

32

[证 ] 条件的必要性已经证明 , 现证充分性 ,由于

f(z+z)f(z)=u(x+x,y+y)u(x,y)+i[v(x+x,y+y)v(x,y)]

=u+iv,又因为 u(x,y)和 v(x,y) 在点 (x,y) 可微 , 可知

1 2

3 4

u uu x y x y

x y

v vv x y x y

x y

x,y0时 ,k0, (k=1,2,3,4)

33

根据柯西 - 黎曼方程2,

u v u v vi

x y y x x

所以

1 3 2 4

( ) ( )

( ) ( ) .

u v u vf z z f z i x i y

x x y y

i x i y

因此

1 3 2 4

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ,

u vf z z f z i x i y

x x

i x i y

34

或1 3

2 4

( ) ( )( )

( ) .

f z z f z u v xi i

z x x zy

iz

因为 1, 1x y

z z

故当 z 趋于零时 , 上式最后两项都趋于零 , 因此

0

( ) ( )( ) lim

z

f z z f z u vf z i

z x x

即函数 f(z) 在点 z=x+iy 处可导 . 证毕 .

35

由定理一证明的未尾及柯西 - 黎曼方程 , 立即可以得到函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在点z=x+iy 处的导数公式 :

1( ) (2.2.2)

u v u vf z i

x x i y y

36

根据函数在区域内解析的定义及定理一 , 就得到了判断函数在区域 D 内解析的一个充要条件 .

定理二 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在其定义域D 内解析的充要条件是 u(x,y)与 v(x,y)在 D内可微 , 并满足柯西 - 黎曼方程 (2.2.1).

37

例 1 判断下列函数在何处可导 , 在何处解析 : )Re()3);sin(cose)()2;)1 zzwyiyzfzw x

1,0,0,1

yv

xv

yu

xu

[解 ] 1) 因为 ux, vy,

可知柯西 - 黎曼方程不满足 , 所以 w =z 在复平面内处处不可导 , 处处不解析

38

2) 因为 u=excos y, v=exsin y,

yyv

yxv

yyu

yxu

xx

xx

cose,sine

sine,cose

柯西 - 黎曼方程成立 , 由于上面四个偏导数都是连续的 , 所以 f(z) 在复平面内处处可导 , 处处解析 , 且根据 (2.2.2) 式有

f '(z)=ex(cos y+isin y)=f(z)

今后将知道这个函数就是指数函数 ez.

39

3) 由 w=zRe(z)=x2+ixy, 得 u=x2, v=xy, 所以

容易看出 , 这四个偏导数处处连续 , 但仅当 x=y=0时 , 它们才满足柯西 - 黎曼方程 , 因而函数仅在 z=0 可导 , 但在复平面内任何地方都不解析 .

xyv

yxv

yu

xxu

,

0,2

40

例 2 设函数 f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2). 问常数 a,b,c,d 取何值时 , f(z) 在复平面内处处解析 ?[解 ] 由于 ux=2x+ay, uy=ax+2by,

vx=2cx+dy, vy=dx+2y从而要使 ux=vy, uyvx,只需 2x+ay=dx+2y, 2cx+dyax2by.因此 , 当 a=2, b1, c1, d=2时 , 此函数在复平面内处处解析 , 这时 f(z)=x2+2xyy2+i(x2+2xy+y2)

=(1i)(x+iy)2=(1i)z2

41

例 3 如果 f '(z) 在区域 D 处处为零 , 则 f(z)在 D 内为一常数 .[证 ] 因为

0

0)(

yv

xv

yu

xu

yu

iyv

xv

ixu

zf

故

所以 u= 常数 , v= 常数 , 因而 f(z)在D 内是常数 .

42

例 4 如果 f(z)=u+iv 为一解析函数 , 且 f '(z)0, 则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2 必互相正交 , 其中 c1, c2 为常数 .[证 ] 由于 f '(z)iuy+vy0, 故 uy与 vy 不全为零 .如果在曲线的交点处 uy与 vy 都不为零 , 由隐函数求导法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为 k1ux/uy和 k2vx/vy,利用柯西 - 黎曼方程得k1k2=(ux/uy)(vx/vy)=(vy/uy)(uy/vy)1因此 , 二曲线族互相正交 . 如果 uy与 vy 其中有一个为零 , 则另一个必不为零 , 此时易知交点的切线一条是垂直 , 一条是水平 ,仍然正交 .

43

§3 初等函数

44

1, 指数函数 希望能够在复平面内定义一个函数 f(z)具有实函数中的指数函数 ex 的三个性质 :i) f(z) 在复平面内解析 ;ii) f '(z)=f(z)iii) 当 Im(z)=0时 , f(z)=ex, 其中 x=Re(z)

45

前面的例 1 中已经知道 , 函数f(z)=ex(cos y+i sin y)

是一个在复平面处处解析的函数 , 且有f '(z)=f(z), 当 y=0时 , f(z)=ex. f(z) 称为指数函数 .记作 exp z=ex(cos y+isin y). (2.3.1)等价于关系式 :

|exp z|=ex,Arg(exp z)=y+2k (2.3.2)

46

由 (2.3.2) 中的第一式可知exp z0.

跟 ex 一样 , exp z 也服从加法定理 :exp z1exp z2 = exp(z1+z2) (2.3.3)

47

事实上 , 设 z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, 按定义有

)exp(

)]sin()[cos(e

)]sincoscos(sin

)sinsincos[(cose

)sin(cose

)sin(coseexpexp

21

2121

2121

2121

22

1121

21

21

2

1

zz

yyiyy

yyyyi

yyyy

yiy

yiyzz

xx

xx

x

x

48

鉴于 exp z 满足条件iii), 且加法定理也成立 , 为了方便 , 往往用 ez 代替 exp z. 但是必须注意 , 这里的 ez没有幂的意义 , 仅仅作为代替 exp z 的符号使用 , 因此我们就有

ez=ex(cos y+isin y) (2.3.4)特别 , 当 x=0时 , 有

eiy=cos y+isin y (2.3.5)

49

由加法定理 , 我们可以推出 exp z 的周期性 , 它的周期性是 2ki, 即

ez+2ki=eze2ki=ez

其中 k 为任何整数 .

50

2. 对数函数 对数函数定义为指数函数的反函数 . 将满足方程

ew=z (z0)的函数 w=f(z) 称为对数函数 . 令 w=u+iv, z=rei, 则 eu+iv=rei,所以 u=ln r, v=.因此 w=ln|z|+iArg z

51

由于 Arg z 为多值函数 , 所以对数函数w=f(z) 为多值函数 , 并且每两个值相差2i 的整数倍 , 记作

Ln z=ln|z|+iArg z (2.3.6)

52

Ln z=ln|z|+iArg z (2.3.6)如果规定上式中的 Arg z 取主值 arg z, 则Ln z 为一单值函数 , 记作 ln z, 称为 Ln z 的主值 , 因此

ln z = ln|z|+iarg z (2.3.7)而其余各值可由

Ln z=ln z+2ki (k=1,2,...)(2.3.8)表达 . 对于每一个固定的 k, (2.3.8) 式为一单值函数 , 称为 Ln z 的一个分支 .特别 , 当 z=x>0时 , Ln z 的主值 ln z=ln x, 就是实变数对数函数 .

53

例 1 求 Ln 2, Ln(1) 以及它们相应的主值 .[解 ] 因为 Ln 2=ln 2+2ki, 所以它的主值就是 ln2. 而 Ln(1)=ln 1+iArg(1)=(2k+1)i(k 为整数 ), 所以它的主值是 ln(1)=i.在实变函数中 , 负数无对数 , 此例说明在复数范围内不再成立 . 而且正实数的对数也是无穷多值的 .

54

因此 , 复变数对数函数是实变数对数函数的拓广 . 利用幅角的性质不难证明 :

212

1

2121

LnLnLn

LnLn)Ln(

zzzz

zzzz

55

对数函数的解析性 . 就主值 ln z 而言 , 其中 ln|z| 除原点外在其它点都是连续的 , 而arg z 在原点与负实轴上都不连续 . 因为若设 z=x+iy, 则当 x<0时 ,

.πarglim,arglim00

zzyy

zw

zz

w

1

dde

1dlnd

所以 , 除去原点与负实轴 , 在复平面内其它点 ln z 处处连续 . 综上所述 , z=ew 在区域<v=arg z< 内的反函数 w=ln z 是单值的 , 由反函数求导法则可知 :

56

所以 , ln z 在除去原点及负实轴的平面内解析 . 由 (2.3.8) 式就可知道 , Ln z 的各个分支在除去原点及负实轴的平面内也解析 , 并且有相同的导数值 .

今后我们应用对数函数 Ln z时 , 指的都是它在除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支 .

57

3. 乘幂 ab 与幂函数 在高等数学中 , 如果a 为正数 , b 为实数 , 则乘幂 ab 可表示为ab=eblna, 现在将它推广到复数的情形 . 设 a为不等于 0 的一个复数 , b 为任意一个复数 , 定义乘幂 ab为 ebLna, 即

ab=ebLn a (2.3.9)由于 Ln a=ln|a|+i(arg a+2k) 是多值的 , 因而 ab 也是多值的 . 当 b 为整数时 , 由于

ab=ebLna=eb[ln|a|+i(arg a+2k)]

=eb(ln|a|+iarg a)+2kbi=eblna,所以这时 ab具有单一的值 .

58

当 b=p/q(p和 q 为互质的整数 , q>0)时 , 由于

)10.3.2(

)],2(argsin)2(arg[cose

e

||ln

)2(arg||ln

kaqp

ikaqp

a

aqp

kaqp

iaqp

b

ab具有 q 个值 , 即当 k=0,1,...,(q1) 时相应的各个值 .

除此而外 , 一般而论 ab具有无穷多个值 .

59

2

22

22Ln

221Ln22

2

e,

).,2,1,0(,e

ee

);,2,1,0(

).22sin()22cos(

ee1][

.12

它的主值是是正实数由此可见

解

的值和求例

i

k

ikiiiii

ik

i

i

k

i

k

kik

i

60

)(.

)(eee

)(ee

,)

.

1

,e,

LnLnLn

LnLnLnLn

Ln

个因子个因子

项指数

根据定义时为正整数当因为全一致的

次根的定义是完的次幂及的时是与数

及分为正整数当定义应当指出

naaa

n

na

nbi

nanan

nba

aaa

aaaann

abb

61.,

,1

;

,,

).1(,,2,1,0

)11.3.2(,

2argsin

2argcos||

2argsin

2argcosee

,1

)

1

1

||ln1

Ln11

nnn

b

n

n

an

ann

zzwzw

nnbzw

za

nk

a

nka

in

kaa

nka

in

kaa

nbii

及幂函数

就分别得到通常的时与当函数

就得到一般的幂为一复变数如果所以其中

有时为分数当

62

zn 在复平面内是单值解析函数 , (zn)'=nzn1.

.1

,

,

Ln

,,

11

Ln11

1

nz

nnn

nn

zn

ezz

z

nzz

且有也是解析的和负实轴的复平面内的各个分支在除去原点

因而不难看出它析的负实轴的复平面内是解和的各个分支在除去原点由于对数函数

个分支具有是一个多值函数幂函数

63

.)(

,

,.

,,

)1

(

1

bb

b

bzz

bn

nbzw

并且有是解析的和负实轴的复平面内也点它的各个分支在除去原同样的道理多值的

是无穷为无理数或复数时当一个多值函数

也是两种情况外与除去幂函数

64

4. 三角函数和双曲函数 根据 (2.3.5)我们有eiy=cos y+isin yeiy=cos yisin y

将这两式相加与相减 , 分别得到

)12.3.2(.2

eesin,

2ee

cosi

yyiyiyiyiy

现将其推广到自变数取复值的情形 , 定义

)13.3.2(.2

eesin,

2ee

cosi

zziziziziz

当 z 为实数时 , 显然这与 (2.3.12)完全一致 .

65

由于 ez 是以 2i 为周期的周期函数 , 因此cos z和 sin z以 2 为周期 , 即

cos(z+2)=cos z, sin(z+2)=sin z.也容易推出 cos z 是偶函数 :

cos(z)=cos z而 sin z 是奇函数 :

sin(z)sin z由指数函数的导数公式可以求得

(cos z)'sin z, (sin z)'=cos z由 (2.3.13), 易知

eiz=cos z+isin z (2.3.14)普遍正确 , 即对于复数 , 欧拉公式仍然成立 .

66

由定义可知三角函数许多公式仍然成立

)15.3.2(

1cossin

sincoscossin)sin(

sinsincoscos)cos(

22212121

212121

zz

zzzzzz

zzzzzz

)16.3.2(sh

2ee

sin

ch2

eecos

yii

iy

yiyyy

yy

由此得 cos(x+iy)=cosxcosiysinxsiniy,

sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy.

但当 z 为纯虚数 iy时 , 我们有

67

所以)17.3.2(

.shcoschsin)sin(

,shsinchcos)cos(

yxiyxiyx

yxiyxiyx

.sin

1csc,

cos1

sec

,sincos

ctg,cossin

tg

zz

zz

zz

zzz

z

这两个公式对于计算 cos z与 sin z 的值有用 .

当 y时 , |siniy|和 |cosiy| 都趋于无穷大 , 因此 , |sinz|1和 |cosz|1 在复数范围内不再成立 .

其它复变数三角函数的定义如下 :

68

与三角函数密切相关的是双曲函数 , 定义

zz

zzzzzz

zzz

ee

eeth,

2ee

sh,2ee

ch

)20.3.2(.sinchcossh)sh(

,sinshcosch)ch(

yxiyxiyx

yxiyxiyx及

分别称为双曲余弦 , 正弦和正切函数 .chz和 shz 都是以 2i 为周期的函数 , chz为偶函数 , shz 为奇函数 , 它们都是复平面内的解析函数 , 导数分别为 :

(chz)'=shz, (shz)'=chz (2.3.18)不难证明 chiy=cosy, shiy=isiny (2.3.19)

69

5. 反三角函数与反双曲函数 反三角函数定义为三角函数的反函数 , 设

z=cos w,则称 w为 z 的反余弦函数 , 记作

w=Arccos z.

两端取对数得应理解为双值函数其中

它的根为

得二次方程由

.1

,1e

.01e2e

)e(e21

cos

2

2

2

z

zz

z

wz

iw

iwiw

iwiw

70

用同样的方法可以定义反正弦和反正切函数 , 并且重复上述步骤 , 可以得到它们的表达式 :

.Arccos

)1Ln(Arccos 2

是一个多值函数显然 z

zziz

.11

Ln2

Arctg

),1Ln(Arcsin 2

izizi

z

ziziz

71

反双曲函数定义为双曲函数的反函数 . 用与推导反三角函数表达式完全类似的步骤 , 可以得到各反双曲函数的表达式 :

zz

z

zzz

zzz

11

Ln21

Arth

)1Ln(Arch

)1Ln(Arsh

2

2

反双曲正切

反双曲余弦

反双曲正弦

它们都是多值函数 .

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作业 第二章习题 第 66页开始第 3,4 题