גאומטרייה: כל המרובעים יחד

(ירוק+ כחול )12יחידה

מטרות היחידה הזו:

לעסוק בכל המרובעים שנלמדו, תוך הדגשת הקשרים ביניהם •

ובין תכונותיהם.

לעסוק בסיטואציות בעיה מקיפות, וביצירת שרשרות של •

משפטים.

וכמובן, תרגול נוסף של הוכחות, הסקת מסקנות, ניסוח •

משפטים, שימוש בתכונות, בדיקת תנאים מספיקים לקבלת

מרובעים מסוימים, הבחנה בין משפט למשפט ההפוך לו, וכו'...

: על קבוצות של מרובעים1שיעור

לפניכם דיאגרמה של קבוצות מרובעים שונות.היכן צריך לרשום את השמות: מקביליות, מלבנים, מעוינים,

ריבועים?

נעסוק ביחסים בין קבוצות המרובעים ובתכונות משותפות וייחודיות שיש לקבוצות האלה.

מרובעים

ן: תזכורת .קבוצות המבטא קשרים בין תרשים היא דיאגרמת ו�

שתי קבוצות להן איברים משותפים מיוצגות על ידי התרשים:

שתי קבוצות שאחת מהן מכילה את כל איברי הקבוצה האחרת

מיוצגות על ידי התרשים:

שתי קבוצות שאין להן אף איבר משותף מיוצגות על ידי התרשים:

קשרים בין קבוצותשמו את השמות הרשומים בכל סעיף, 1. רטטו את הדיאגרמה ור' ש)

במקומות המתאימים.

א. מקביליות, מלבנים, ריבועים.

ב. מקביליות, דלתונים, מעוינים

תכונות שעוברות ממרובע אחד לשני

א. הוכיחו כי אלכסוני המקבילית מחלקים אותה לארבעה משולשים

)הוכיחו תחילה כי שטח שווי שטח.AMB שווה לשטח BMC).

 

A B

CD

M

מהטענה שהוכחתם נובעות ישירותב. אילו מהטענות הבאות סבירו. בסעיף א? ה)

- אלכסוני המלבן מחלקים אותו לארבעה משולשים שווי שטח.

- אלכסוני הדלתון מחלקים אותו לארבעה משולשים שווי שטח.

- אלכסוני המעוין מחלקים אותו לארבעה משולשים שווי שטח.

- אלכסוני הטרפז מחלקים אותו לארבעה משולשים שווי שטח.

- אלכסוני הריבוע מחלקים אותו לארבעה משולשים שווי שטח.

עתיקו את הטבלה וסמנו √ בכל משבצת המתארת תכונה המתקיימת 3 . א. ה)במרובע.

כל הזוויות

שוות

הזוויות הנגדיות

שוות

כל הצלעות

שוות

הזוגות של

צלעות מקבילות

הצלעות הנגדיות

שוות

במקבילי

תבמלבן

במעוין בריבוע

ב. הסימונים בטבלה מראים כי תכונות המקבילית מתקיימות במלבן,

מעוין, וריבוע. סבירו כיצד זה מתבטא בטבלה, ומדוע זה נכון. ג. ה)

קשרים בין קבוצות

בכל סעיף משורטט מרובע ובו מסומנים נתונים.

יינו, מבין השמות הבאים, את השמות בהם מותר לכנות את כלצ)

הצורה המשורטטת: מרובע, מקבילית, מעוין, ריבוע, דלתון, טרפז.

ד. ג.

א.ב.

ה.

דוגמה:

מרובע, מקבילית, מלבן.

ן המתארת קשרים בין קבוצות המרובעים 7 . לפניכם דיאגרמת ו2השונות.

שמו בדיאגרמה, במקומות המתאימים, את השמות: מקביליות, ר'

מלבנים, דלתונים, וטרפזים.מרובעים

ריבועים

מעוינים

מקביליות

מלבנים דלתונים

טרפזים

.

חוצי הזוויות במלבן יוצרים ריבוע.הוכחה:

באוסף המשימות של השיעור השני: חוצי זוויות במרובעים שאינם מקביליות

6 .BE חוצה את הזווית B בדלתון ABCD .

עתיקו את הדלתון ושרטטו את חוצי הזוויות ה)

B -ו D.

שבו זוויות לפי הנתונים הרשומים בשרטוט. ח)

היכן נפגשים חוצי הזוויות בדלתון הזה? 

. א. שרטטו דלתון שאינו מעוין ואת חוצי הזוויות שלו.7

AC.ב. הוכיחו כי חוצי הזוויות נפגשים בנקודה על האלכסון

הוא טרפז.ABCD. מרובע 8

.G נפגשים בנקודה B ו- Cחוצי הזוויות

∢CBA = 44°

סבירו. צאו בשרטוט משולש ישר זווית. ה) שבו זוויות ומ' ח)

הוא טרפז.ABCD. מרובע 9

.G נפגשים בנקודה D ו- Cחוצי הזוויות

רטטו והוכיחו CGD=90°∢ש)

44°

. לפניכם טרפזים שווי שוקיים. 10משיכו את חוצי הזוויות עד שחוצי ניחו עליהם דף שקוף וה) ה)

זוויות כל בסיס יפגשו.

ערו איזה מרובע יוצרים חוצי הזוויות בטרפז שווה ב ש)שוקיים? הוא טרפז שווה שוקיים.ABCD. מרובע 11

∢GMQP DAB=50°ארבעת חוצי הזוויות של הטרפז יוצרים את המרובע שבו זוויות ומצאו בשרטוט משולשים שווי שוקיים. ח)סבירו. צאו בשרטוט זוג של משולשים חופפים וה) מ'

צאו בשרטוט משולשים ישרי זווית. מ'

D C

M

BA P

QG

50°

הוא טרפז שווה שוקיים.ABCD. מרובע 11ארבעת חוצי הזוויות של הטרפז יוצרים את

GMQPהמרובע AM =BMא. הוכיחו:

CP =DP  

DGA חופף למשולש CQBב. הוכיחו משולש דלתון.MGPQג. הוכיחו:

D C

M

BA P

QG

DGACQB DGACQB DGACQB

D C

M

BA P

QG

יינו באילו מהמרובעים הבאים חוצי הזוויות נפגשים בנקודה 12 . צ)סבירו: אחת וה)

בריבוע, במעוין, בדלתון, במלבן שאינו ריבוע, במקבילית שאינה מעוין, בטרפז.

חוצי זוויות במרובע

כמה נקודות חיתוך יכולות להיות לארבעה ישרים שונים? דונו בכל המקרים האפשריים.

כמה נקודות חיתוך יכולות להיות לארבעת חוצי הזוויות במרובע? חקרו את כל המקרים האפשריים:

?מה המספר הגדול ביותר של נקודות חיתוך שניתן לקבל מה תוכלו לומר על חוצי הזוויות ועל המרובע אם לחוצי

הזוויות יש נקודות חיתוך? נסחו טענה והוכיחו אותה.5 מה תוכלו לומר על חוצי הזוויות ועל המרובע אם לחוצי

נקודות חיתוך? נסחו טענות והוכיחו אותה.4הזוויות יש נקודות חיתוך? בדקו במחשב, נסחו טענה 3ומה בדבר

והוכיחו. .שנו את המרובע, כך שחוצי הזוויות ייפגשו בנקודה אחת

צרו שרטוטים שונים בהם קיימת נקודת מפגש יחידה.איזו תכונה מאפיינת את נקודת המפגש של חוצי הזוויות במרובע, כאשר ארבעתם נפגשים בנקודה אחת? נמקו.

 

סיכום הטענות בפעילות על חוצי זוויות במרובעלא ייתכן שלארבעה ישרים תהיינה שתי נקודות חיתוך.•

נקודות חיתוך אז במרובע יש זוג 5אם לחוצי זוויות במרובע יש •

זוויות נגדיות שוות.

נקודות חיתוך אז חוצי הזוויות 4אם לחוצי זוויות במרובע יש •

יוצרים מלבן והמרובע הוא מקבילית.

נקודות.3לא ייתכן שארבעת חוצי הזוויות במרובע ייחתכו ב- •

נקודות.0לא ייתכן שארבעת חוצי הזוויות במרובע ייחתכו ב- •

אם חוצי הזוויות במרובע נחתכים בנקודה אז הנקודה הזו נמצאת •

במרחק שווה מצלעות המרובע.

חוצי הזווית במשולש נחתכים תמיד בנקודה אחת. נקודה זו •

נמצאת במרחק שווה מהצלעות.

צר אם נחבר את קצות הרגליים של קרש איזה מרובע ִיו)

גיהוץ?

בדקו את קרש הגיהוץ בביתכם.  

היכן נמצאת נקודת החיבור של הרגליים?

מעל, מתחת או בדיוק בנקודת האמצע

של הרגליים. נזהה מרובע לפי תכונות אלכסוניו. בשיעור זה נשתמש בשלוש רצועות:

שתיים שוות באורכן והשלישית שונה מהן.

: מהאלכסונים אל 3שיעור המרובעים

רו בעזרת הרצועות מרובע המקיים את התנאים 1 Bבכל סעיף צ .

שלימו את המשפט למשפט נכון, ונמקו בעזרת הרשומים. ה)

משפטים שהוכחתם בשיעורים קודמים.

זה את זה הוא...חוצים א. מרובע שאלכסוניו

זה לזה הוא...ושוויםזה את זה חוצים ב. מרובע שאלכסוניו

זה לזה הוא...ומאונכיםזה את זה חוצים ג. מרובע שאלכסוניו

זה לזה הוא...ושווים מאונכיםזה את זה, חוצים ד. מרובע שאלכסוניו

ע" המקיים את התנאים. 2 רוַּב) Bמ ת) Bבכל סעיף היעזרו ברצועות וצרו "ס .

רטטו את המרובע. ש)

זה לזה.מאונכים א. מרובע שאלכסוניו

זה לזה.שוויםב. מרובע שאלכסוניו

זה לזה.מאונכים ושוויםג. מרובע שאלכסוניו

.חוצה את השניד. מרובע שאחד מאלכסוניו

זה שווים והאלכסונים חוצה את השניה. מרובע שאחד מאלכסוניו

לזה.

והאלכסונים חוצה את השני. א. איזה מרובע יתקבל אם אחד מאלכסוניו 3

זה לזה?מאונכים

ב. הוכיחו את המסקנה שרשמתם בסעיף א.

נחזור לרגליים של קרש הגיהוץ.

צר אם נחבר את קצות א. איזה מרובע ִייו)

הרגליים של קרש גיהוץ?

שמו מה נתון ומה צריך להוכיח כדי לאשר את הטענה ב. ר'

שרשמתם

בסעיף א, והוכיחו אותה.

A BM

C D

: סימטריה במרובעים4שיעור

פלו דף לאורכו. ק)

זרו חלונות בקו הקיפול כך שעם פתיחת הקיפול יתקבל ג'

יינו זאת. המרובע המבוקש. אם אי אפשר לקבל את המרובע, צ)

דלתון שאינו מעוין.•

מלבן שאינו ריבוע.•

מעוין שאינו ריבוע.•

טרפז שווה שוקיים.•

מקבילית שאינה מעוין או מלבן.•

ריבוע.•

רטטו את המרובע ואת צירי הסימטריה 1 . בכל סעיף ש)

שלו.

יינו כמה צירי סימטריה לכל אחד מהמרובעים. צ)

א. מלבן.

ב. מעוין.

ג. ריבוע.

ד. טרפז שווה שוקיים.

ה. דלתון.

לא מספיק : כדי להוכיח שיש לצורה ציר סימטריה רותי אמרהא.

ידי הציר חופפות. להוכיח ששתי הצורות משני צ'

רו דוגמה המראה כי רותי צודקת. Bצ

כדי להוכיח שישר הוא ציר סימטריה של מצולע יש להוכיח שאם

נקפל את המצולע לאורך הישר הזה, הצלעות המתאימות

.יתלכדווהזוויות המתאימות משני צידי הישר

: לכל הדלתונים יש ציר סימטריה. האם נעמה . נעמה אמרהב

צודקת?

לו מרובעים הם בעלי ציר סימטריה ואינם דלתונים? Eג. א

5 .ABCD.מקבילית

סבירו, מדוע למרות הצלעות השוות ה)

ידי האלכסון, והזוויות השוות משני צ'

AC .אינו ציר סימטריה של המקבילית

A B

D C

עקרונות גאומטריים

הגאומטריה בנויה נדבך על נדבך, כל משפט מבוסס על הנתונים

ועל משפטים קודמים.

הדגשת תפקיד ההוכחה כמשכנעת בנכונות וכמסבירה מדוע

משפט נכון.

לומדים להבחין בין תכונה של צורה לתנאי מספיק לקבלת

הצורה.

.משפט הפוך למשפט נכון אינו בהכרח משפט נכון

משפט נכון רק אם הוא נכון תמיד וכל דוגמה נגדית פוסלת את

המשפט.

הגדרה של צורה כוללת למעשה את התכונה ותנאי מספיק

לקבלת

הצורה.

סיטואציות מתמטיות ואחרות

קשר עם הסביבה

משימות הוכחה אבל לא רק

התנסויות

התלמידים שותפים לשרטוט המייצג את הבעיה

שימוש בדוגמאות

שימוש באביזרים

שימוש בדינאמיות במחשב וללא מחשב

עקרונות דידקטיים

ובמסלול הירוק:

התלמידים מזהים נתונים ומסקנות, מסבירים, מזהים

את המשפטים עליהם מבוססות המסקנות, משרטטים,

, בודקים ומבצעים חישובים בהתבסס על המשפטים

נכונות של טענות.

כתחליף להוכחות הפורמאליות, משתמשים בדוגמאות,

בהתנסויות בשרטוטים, בחישובים ובהסברים

אינדוקטיביים.

שיעור על חוצי זוויות במלבן, ורק אחר כך שיעור על חוצי זוויות במקבילית.

מבוסס על התנסות )קיפולים( שרטוטים חישובים ומעט הסברים.

ומבחינת התכנים:

אין דגש על ההבחנה בין תכונת האלכסונים במרובע ותנאים מספיקים לקבלת המרובע על פי האלכסונים.

ושוב חישובים, שרטוטים, ותרגול התכונות.

הוא על סימטריה 4שיעור