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工程数学 第 15 讲. 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载 ( 单击 'ppt 讲义 ' 后选择 ' 工程数学 ' 子目录 ). 积分变换. 傅里叶 (Fourier) 级数展开. 在工程计算中 , 无论是电学还是力学 , 经常要和随时间而变的周期函数 f T ( t ) 打交道 . 例如 :. 具有性质 f T ( t + T )= f T ( t ), 其中 T 称作周期 , 而 1/ T 代表单位时间振动的次数 , 单位时间通常取秒 , 即每秒重复多少次 , 单位是赫兹 (Herz, 或 Hz). t. - PowerPoint PPT Presentation
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工程数学第 15讲
本文件可从网址http://math.vip.sina.com上下载( 单击 'ppt 讲义 ' 后选择 ' 工程数学 ' 子目录 )
积分变换
傅里叶 (Fourier) 级数展开
在工程计算中 , 无论是电学还是力学 , 经常要和随时间而变的周期函数 fT(t) 打交道 . 例如 :
具有性质 fT(t+T)=fT(t), 其中 T 称作周期 , 而 1/T 代表单位时间振动的次数 , 单位时间通常取秒 , 即每秒重复多少次 , 单位是赫兹 (Herz, 或 Hz).
t
最常用的一种周期函数是三角函数fT(t)=Asin(t+)
其中 =2/T
而 Asin(t+) 又可以看作是两个周期函数sint 和 cost 的线性组合
Asin(t+)=asint+bcost
t
人们发现 , 所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近 .
方波
4 个正弦波的逼近
100 个正弦波的逼近
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可 , 通常研究在闭区间 [T/2,T/2] 内函数变化的情况 . 并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近 , 而是要满足狄利克雷 (Dirichlet) 条件 , 即在区间 [T/2,T/2] 上1, 连续或只有有限个第一类间断点2, 只有有限个极值点这两个条件实际上就是要保证函数是可积函
数 .
第一类间断点和第二类间断点的区别 :
第二类间断点
第一类间断点
不满足狄氏条件的例 :
.0
)1
sin()(
tg)(
点处存在着无限多个极值在靠近
存在第二类间断点
ttf
ttf
而在工程上所应用的函数 , 尤其是物理量的变化函数 , 全部满足狄氏条件 . 实际上不连续函数都是严格上讲不存在的 , 但经常用不连续函数来近似一些函数 , 使得思维简单一些 .
在区间 [T/2,T/2] 上满足狄氏条件的函数的全体也构成一个集合 , 这个集合在通常的函数加法和数乘运算上也构成一个线性空间 V, 此空间的向量就是函数 , 线性空间的一切理论在此空间上仍然成立 . 更进一步地也可以在此线性空间 V 上定义内积运算 , 这样就可以建立元素 ( 即函数 ) 的长度 ( 范数 ), 及函数间角度 , 及正交的概念 . 两个函数 f 和 g 的内积定义为 :
2
2
d)()(],[T
Tttgtfgf
一个函数 f(t) 的长度为
.0],[
,,],[
cos
d)(d)(d)()(
],[
:
d)(],[||||
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
正交与称为则如果
间的夹角余弦是
这样可令
即
而许瓦兹不等式成立
gfgf
gfgf
gf
ttgttfttgtf
gfgf
ttffff
T
T
T
T
T
T
T
T
而在区间 [-T/2,T/2] 上的三角函数系1, cost, sint, cos 2t, sin 2t, ...,
cos nt, sin nt, ...是两两正交的 , 其中 =2/T, 这是因为cos nt 和 sin nt 都可以看作是复指数函数 ej
nt 的线性组合 . 当 nm 时 ,
d2
d,d2
d,2
0de2
dee )j(jj2
2
Tt
T
t
T
tt
Tt mntmtn
T
T
则其中
这是因为
0]1[ee)j(
1
]e[e)j(
1
e)j(
1de
)(2j)j(
)j()j(
)j()j(
mnmn
mnmn
mnmn
mn
mn
mn
由此不难验证
),,,3,2,1,(0dcoscos
),,,3,2,1,(0dsinsin
),,3,2,1,(0dcossin
),,3,2,1(0dsin
),,3,2,1(0dcos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
mnmnttmtn
mnmnttmtn
mnttmtn
nttn
nttn
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
而 1, cost, sint, ..., cos nt, sin nt, ... 的函数的长度计算如下 :
2d
2
2cos1dsinsin
2d
2
2cos1dcoscos
d11
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Tt
tnttntn
Tt
tnttntn
Tt
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
因此 , 任何满足狄氏条件的周期函数 fT(t), 可表示为三角级数的形式如下 :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
d)(2
2)dsindcos(
d2
d)(
],1,[,
)1.1()sincos(2
)(
0
0
1
0
0
1
0
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
ttfT
a
Ta
ttnbttna
ta
ttf
fa
tnbtnaa
tf
T
nnn
T
T
nnnT
即
即计算为求出
为求 an, 计算 [fT(t), cosnt], 即
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
dcos)(2
2dcos
dcossin
dcoscos
dcos2
dcos)(
2
1
1
0
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
ttntfT
a
Tattna
ttntmb
ttntma
ttna
ttntf
Tn
nn
n
mm
mm
T
即
同理 , 为求 bn, 计算 [fT(t), sin nt], 即
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
dsin)(2
2dsin
dsinsin
dsincos
dsin2
dsin)(
2
1
1
0
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
ttntfT
b
Tbttnb
ttntmb
ttntma
ttna
ttntf
Tn
nn
n
mm
mm
T
即
最后可得 :
),2,1(dsin)(2
),2,1(dcos)(2
d)(2
)1.1()sincos(2
)(
2
2
2
2
2
2
0
1
0
nttntfT
b
nttntfT
a
ttfT
a
tnbtmaa
tf
T
T
T
T
T
T
Tn
Tn
T
nnnT
其中
而利用三角函数的指数形式可将级数表示为 :
1
jj0
1
jjjj
0
jjjj
2
j
2
j
2
2j
2
2)(
:2
jsin,2
cos
n
tnnntnnn
n
tntn
n
tntn
n
T
eba
ebaa
eeb
eea
atf
eeee
得由
如令 n=n (n=0,1,2,...)
n
tjn
n
tjn
tjnT
nnn
nnn
nnn ecececctf
njba
c
njba
c
ac
10
00
)(
,3,2,1,2
,3,2,1,2
,2
且令
给定 fT(t), cn 的计算如下 :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
d)(1
d]sin)[cos(1
dsin)(1
dcos)(1
21
d)(1
20
0
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
tetfT
ttnjtntfT
ttntfT
j
ttntfT
jbacn
ttfT
ac
tjnT
T
T
Tnn
n
T
时当
n
tT
n
tnT
tTn
tnTn
nnn
n
T
Tn
n
T
Tn
T
T
eefT
ectf
ndtetfT
c
dtetfT
cba
c
jj
j
j
j
2
2
2
2
2
2
d)(1
)(
),2,1,0()(1
)(1
2
j
子因此可以合写成一个式
而
例 定义方波函数为
1||0
1||1)(
t
ttf
如图所示 :
11 o t
f(t)
1
现以 f(t) 为基础构造一周期为 T 的周期函数 fT
(t), 令 T=4, 则
2,
24
22
,)4()(4
nn
T
ntftf
n
n
11 3T=4
f4(t)
t
则
),2,1,0()sinc(2
1sin
2
1
4
11
14
1
4
1)(
4
1
)(1
1
1
2
2 4
2
2
n
eej
ej
dtedtetf
dtetfT
c
nn
n
jj
n
tj
n
tjtj
tjTn
nnn
nn
T
Tn
sinc 函数介绍
则函数在整个实轴连续
用不严格的形式就写作所以定义
但是因为处是无定义的严格讲函数在
函数定义为
,10
sin
,1)0sinc(
1sin
lim
,0
sin)sinc(
sinc
0
xx
x
x
x
xx
xx
x
sinc 函数的图形 :
sinc(x)
x
前面计算出
以竖线标在频率图上可将 nn
nn
cn
Tnn
nc
,2
2
),2,1,0()sinc(2
1
现在将周期扩大一倍 , 令 T=8, 以 f(t) 为基础构造一周期为 8 的周期函数 f8(t)
4,
48
22
,)8()(8
nn
T
ntftf
n
n
11 7T=8
f8(t)
t
则
),2,1,0()sinc(4
1sin
4
1
8
11
18
1
8
1)(
8
1
)(1
1
1
4
4 8
2
2
n
eej
ej
dtedtetf
dtetfT
c
nn
n
jj
n
tj
n
tjtj
tjTn
nnn
nn
T
Tn
则在 T=8 时 ,
以竖线标在频率图上再将 nn
nn
cn
nn
nc
,48
2
),2,1,0()sinc(4
1
如果再将周期增加一倍 , 令 T=16, 可计算出
以竖线标在频率图上再将 nn
nn
cn
nn
nc
,816
2
),2,1,0()sinc(8
1
一般地 , 对于周期 T
),2,1,0()sinc(2sin2
11
1
1
1
)(1
1
1
2
2
nTT
eeTj
eTj
dteT
dtetfT
c
nn
n
jj
n
tj
n
tj
tjTn
nnn
n
T
Tn
当周期 T 越来越大时 , 各个频率的正弦波的频率间隔越来越小 , 而它们的强度在各个频率的轮廓则总是 sinc 函数的形状 , 因此 , 如果将方波函数 f(t) 看作是周期无穷大的周期函数 , 则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成 , 将那个频率上的轮廓即 sinc函数的形状看作是 f(t) 的各个频率成份上的分布 , 称作 f(t) 的傅里叶变换 .
对任何一个非周期函数 f(t) 都可以看成是由某个周期函数 fT(t) 当 T 时转化而来的 . 作周期为 T 的函数 fT(t), 使其在 [-T/2,T/2]之内等于 f(t), 在 [-T/2,T/2]之外按周期 T延拓到整个数轴上 , 则 T 越大 , fT(t)与 f(t)相等的范围也越大 , 这就说明当 T 时 , 周期函数fT(t)便可转化为 f(t), 即有
)()(lim tftfTT
O t
f(t)
O t
fT1(t)
O t
fT2(t)
,,2
,
,
d)(1
lim)(
d)(1
)(
1
jj
jj
2
2
2
2
nnnn
n
n
tT
T
n
tTT
TT
n
eefT
tf
eefT
tf
n
T
Tn
n
T
Tn
或
两个相邻的点的距离为布在整个数轴上
所对应的点便均匀分取一切整数时当
可知
由公式
如图
nn
tT
n
tT
T
n
T
Tn
n
n
T
Tn
eef
eefT
tf
tf
jj
0
jj
2
2
2
2
d)(2
1lim
d)(1
lim)(
)( 又可写为
T
2
{
O 1 2 3 n-1n
T
2
{ T
2
{ T
2
{
tn
nnTn
nnnT
nn
tT
tTnT
nn
n
n
T
Tn
n
n
T
Tn
eef
T
eeftf
eef
jj
0
jj
0
jj
d)(2
1)(
)()(,,0
)(lim
d)(2
1lim)(
d)(2
1)(
2
2
2
2
即当
令
此公式称为函数 f(t) 的傅里叶积分公式 , 简称傅氏积分公式 ,
dd)(2
1)(
d)(d)(
)(lim)(
d)(2
1)(
jj
0
jj
t
nn
nnnT
tn
eeftf
tf
eef
n
nn
最后得
由
傅氏积分定理 若 f(t) 在 (, +) 上满足条件 : 1, f(t) 在任一有限区间上满足狄氏条件 ; 2, f(t) 在无限区间 (, +) 上绝对可积 , 则有
收敛绝对可积是指的在
来代替
应以处在它的间断点而左端的成立
ttf
tftf
ttf
eeftf t
d|)(|),(
.2
)0()0(
,)(,
)4.1(dd)(2
1)( jj
(1.4) 式也可以转化为三角形式
)5.1(dd)(cos)(2
1)(
,)(sin)(
)(sin)(
d)(cos)(2
1
dd)(2
1
dd)(2
1)(
)(j
jj
tftf
dtf
ddtfj
tf
ef
eeftf
t
t
的奇函数是因
又考虑到积分
)6.1(dd)(cos)(1
)(
)5.1(dd)(cos)(2
1)(
,
)(cos)(
0
tftf
tftf
dtf
可得
从的偶函数是
作业 习题一 第 8页
第 1,2题
请提问
![代数数论课程讲义 - 码云 Gitee · 前言 本文1 为2020 年春作者在中国科学技术大学教授代数数论(MA05109) 的课程讲义. 本文主要沿着[Neu] 的脉络进行的,](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5f0f17647e708231d442727c/eece-c-gitee-e-oe1-2020-oeeoecoeema05109.jpg)
