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复变函数第 5讲

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2

作业第 26 题的问题 .当用复数形式来表示一条曲线的时候 , 用参数方程的办法来进行表示经常是一种好办法 . 通常用 t 作参数 , 将 t 视为时间 , 质点在平面上随着时间的变化而作运动 , 运动的轨迹就形成曲线 .因此 , 首先将曲线表示成参数方程 x=x(t), y=y(t), 再令 z=x(t)+iy(t)=z(t), 就构成参数方程 , 然后研究 z 的函数 w=f(z) 将曲线 z(t) 映射成w(t)=u(t)+iv(t), 则 u=u(t) 和 v=v(t) 构成映射后w 平面上的曲线的参数方程 . 可视情况从一个方程中解出 t 代到另一个方程 , 就得到 u,v的曲线方程 .

3

应当注意的是参数方程的不唯一性 , 例如 , x=at, y=bt 是一个直线的参数方程 , 则 x=at3, y=bt3 表示同样的直线的参数方程 . 甚至x=af(t), y=bf(t), 只要时间函数 f(t) 在 t 由变到 + 的过程中也能够遍历所有的实数 , 只要 a,b 确定 , 就表示的是同样的直线 . 当然要选择常用的表示方法 , 如直线就用 x=at+x0, y=bt+y0, 圆就用 x=r cost, y=r sint, 椭圆就用x=a cos t, y=bsin t.如果是一个函数表示曲线 , y=f(x), 也可令x=t, y=f(t), 构成参数方程 . 当然 , 上面的 t 都用一个恰当的时间的函数来代替也是代表同样的曲线 .

4

26. 函数1

wz

把下列 z平面上的曲线映射成

w平面上的怎样的曲线? 解: 1) x2+y2=4; 写成参数方程形式 x=2cost, y=2sint, 则 z=z(t)=x(t)+iy(t)=2eit, 则 w=1/z=e it/2, 这是半径为 1/2的以原点为圆心的圆.

5

2) y=x 参数方程为 x(t)=t, y(t)=t, 复数形式为z(t)=x(t)+iy(t)=t+it=t(1+i), 则w=1/z将此直线映射成

1 1 1 1 1( )

( ) (1 ) 2 2 2

1 1( ) , ( ) ( )

2 2

iw t i

z t t i t t t

u t v t u tt t

因此是一条直线.

6

3) x=1 参数方程为 x=1, y=t, 复数形式 z(t)=1+it, w=1/z就是

2

2 2

2 2 2 2

1 1 1( )

( ) 1 1

1 1( ) , ( ) ,

1 11 1 1

( )4 2

itw t

z t it t

t uu t v t t

t t uu

v u u u uu

这是圆心在(1/2,0), 半径为 1/2的圆.

7

4) (x 1)2+y2=1 参数方程 x=cost+1, y=sint, 复数形式 z(t)=x+iy=1+cost+isint w=1/z将其映射为

2 2

1 1 cos sin

1 cos sin (1 cos ) sin

1 cos sin 1 sin

2 2cos 2 2(1 cos )

t i tw

t i t t t

t i t ti

t t

这是经过 z=1/2点的平行于 y轴的直线.

8

27 题的证明 其实在第 149 页有这个证明 , 如果给定 =|f(z0)|/2, 必存在 , 当 |zz0|< 时 , 有

0 0

0 0 0

0 0

0 0

1| ( ) ( ) | | ( ) |

21

| ( ) | | ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) |2

1| ( ) | | ( ) | | ( ) |,

21

| ( ) | | ( ) | 0, ( ) 02

f z f z f z

f z f z f z f z f z

f z f z f z

f z f z f z

9

§3 初等函数

10

1, 指数函数 希望能够在复平面内定义一个函数 f(z) 具有实函数中的指数函数 ex 的三个性质 :i) f(z) 在复平面内解析 ;ii) f '(z)=f(z)iii) 当 Im(z)=0 时 , f(z)=ex, 其中 x=Re(z)

11

前面的例 1 中已经知道 , 函数f(z)=ex(cos y+i sin y)

是一个在复平面处处解析的函数 , 且有f '(z)=f(z), 当 y=0 时 , f(z)=ex. f(z) 称为指数函数 .记作 exp z=ex(cos y+isin y). (2.3.1)等价于关系式 :

|exp z|=ex,Arg(exp z)=y+2k (2.3.2)

12

由 (2.3.2) 中的第一式可知exp z0.

跟 ex 一样 , exp z 也服从加法定理 :exp z1exp z2 = exp(z1+z2) (2.3.3)

13

事实上 , 设 z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, 按定义有

)exp(

)]sin()[cos(e

)]sincoscos(sin

)sinsincos[(cose

)sin(cose

)sin(coseexpexp

21

2121

2121

2121

22

1121

21

21

2

1

zz

yyiyy

yyyyi

yyyy

yiy

yiyzz

xx

xx

x

x

14

鉴于 exp z 满足条件iii), 且加法定理也成立 ,

为了方便 , 往往用 ez 代替 exp z. 但是必须注意 , 这里的 ez 没有幂的意义 , 仅仅作为代替 exp z 的符号使用 , 因此我们就有

ez=ex(cos y+isin y) (2.3.4)特别 , 当 x=0 时 , 有

eiy=cos y+isin y (2.3.5)

15

由加法定理 , 我们可以推出 exp z 的周期性 , 它的周期性是 2ki, 即

ez+2ki=eze2ki=ez

其中 k 为任何整数 .

16

2. 对数函数 对数函数定义为指数函数的反函数 . 将满足方程

ew=z (z0)的函数 w=f(z) 称为对数函数 . 令 w=u+iv, z=rei, 则 eu+iv=rei,所以 u=ln r, v=.因此 w=ln|z|+iArg z

17

由于 Arg z 为多值函数 , 所以对数函数w=f(z) 为多值函数 , 并且每两个值相差2i 的整数倍 , 记作

Ln z=ln|z|+iArg z (2.3.6)

18

Ln z=ln|z|+iArg z (2.3.6)如果规定上式中的 Arg z 取主值 arg z, 则Ln z 为一单值函数 , 记作 ln z, 称为 Ln z 的主值 , 因此

ln z = ln|z|+iarg z (2.3.7)而其余各值可由

Ln z=ln z+2ki (k=1,2,...)(2.3.8)表达 . 对于每一个固定的 k, (2.3.8) 式为一单值函数 , 称为 Ln z 的一个分支 .特别 , 当 z=x>0 时 , Ln z 的主值 ln z=ln x, 就是实变数对数函数 .

19

例 1 求 Ln 2, Ln(1) 以及它们相应的主值 .

[ 解 ] 因为 Ln 2=ln 2+2ki, 所以它的主值就是 ln2. 而 Ln(1)=ln 1+iArg(1)=(2k+1)i(k 为整数 ), 所以它的主值是 ln(1)=i.在实变函数中 , 负数无对数 , 此例说明在复数范围内不再成立 . 而且正实数的对数也是无穷多值的 .

20

因此 , 复变数对数函数是实变数对数函数的拓广 . 利用幅角的性质不难证明 :

212

1

2121

LnLnLn

LnLn)Ln(

zzzz

zzzz

21

对数函数的解析性 . 就主值 ln z 而言 , 其中 ln|z| 除原点外在其它点都是连续的 , 而arg z 在原点与负实轴上都不连续 . 因为若设 z=x+iy, 则当 x<0 时 ,

.πarglim,arglim00

zzyy

zw

zz

w

1

dde

1dlnd

所以 , 除去原点与负实轴 , 在复平面内其它点 ln z 处处连续 . 综上所述 , z=ew 在区域<v=arg z< 内的反函数 w=ln z 是单值的 , 由反函数求导法则可知 :

22

所以 , ln z 在除去原点及负实轴的平面内解析 . 由 (2.3.8) 式就可知道 , Ln z 的各个分支在除去原点及负实轴的平面内也解析 , 并且有相同的导数值 .

今后我们应用对数函数 Ln z 时 , 指的都是它在除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支 .

23

3. 乘幂 ab 与幂函数 在高等数学中 , 如果a 为正数 , b 为实数 , 则乘幂 ab 可表示为ab=eblna, 现在将它推广到复数的情形 . 设 a为不等于 0 的一个复数 , b 为任意一个复数 , 定义乘幂 ab 为 ebLna, 即

ab=ebLn a (2.3.9)由于 Ln a=ln|a|+i(arg a+2k) 是多值的 , 因而 ab 也是多值的 . 当 b 为整数时 , 由于

ab=ebLna=eb[ln|a|+i(arg a+2k)]

=eb(ln|a|+iarg a)+2kbi=eblna,所以这时 ab 具有单一的值 .

24

当 b=p/q(p 和 q 为互质的整数 , q>0) 时 , 由于

)10.3.2(

)],2(argsin)2(arg[cose

e

||ln

)2(arg||ln

kaqp

ikaqp

a

aqp

kaqp

iaqp

b

ab 具有 q 个值 , 即当 k=0,1,...,(q1) 时相应的各个值 .

除此而外 , 一般而论 ab 具有无穷多个值 .

25

2

22

22Ln

221Ln22

2

e,

).,2,1,0(,e

ee

);,2,1,0(

).22sin()22cos(

ee1][

.12

它的主值是是正实数由此可见

解

的值和求例

i

k

ikiiiii

ik

i

i

k

i

k

kik

i

26

)(.

)(eee

)(ee

,)

.

1

,e,

LnLnLn

LnLnLnLn

Ln

个因子个因子

项指数

根据定义时为正整数当因为全一致的

次根的定义是完的次幂及的时是与数

及分为正整数当定义应当指出

naaa

n

na

nbi

nanan

nba

aaa

aaaann

abb

27.,

,1

;

,,

).1(,,2,1,0

)11.3.2(,

2argsin

2argcos||

2argsin

2argcosee

,1

)

1

1

||ln1

Ln11

nnn

b

n

n

an

ann

zzwzw

nnbzw

za

nk

a

nka

in

kaa

nka

in

kaa

nbii

及幂函数

就分别得到通常的时与当函数

就得到一般的幂为一复变数如果所以其中

有时为分数当

28

zn 在复平面内是单值解析函数 , (zn)'=nzn1.

.1

,

,

Ln

,,

11

Ln11

1

nz

nnn

nn

zn

ezz

z

nzz

且有也是解析的和负实轴的复平面内的各个分支在除去原点

因而不难看出它析的负实轴的复平面内是解和的各个分支在除去原点由于对数函数

个分支具有是一个多值函数幂函数

29

.)(

,

,.

,,

)1

(

1

bb

b

bzz

bn

nbzw

并且有是解析的和负实轴的复平面内也点它的各个分支在除去原同样的道理多值的

是无穷为无理数或复数时当一个多值函数

也是两种情况外与除去幂函数

30

4. 三角函数和双曲函数 根据 (2.3.5)我们有eiy=cos y+isin yeiy=cos yisin y

将这两式相加与相减 , 分别得到

)12.3.2(.2

eesin,

2ee

cosi

yyiyiyiyiy

现将其推广到自变数取复值的情形 , 定义

)13.3.2(.2

eesin,

2ee

cosi

zziziziziz

当 z 为实数时 , 显然这与 (2.3.12)完全一致 .

31

由于 ez 是以 2i 为周期的周期函数 , 因此cos z 和 sin z 以 2 为周期 , 即

cos(z+2)=cos z, sin(z+2)=sin z.也容易推出 cos z 是偶函数 :

cos(z)=cos z而 sin z 是奇函数 :

sin(z)sin z由指数函数的导数公式可以求得

(cos z)'sin z, (sin z)'=cos z由 (2.3.13), 易知

eiz=cos z+isin z (2.3.14)普遍正确 , 即对于复数 , 欧拉公式仍然成立 .

32

由定义可知三角函数许多公式仍然成立

)15.3.2(

1cossin

sincoscossin)sin(

sinsincoscos)cos(

22212121

212121

zz

zzzzzz

zzzzzz

)16.3.2(sh

2ee

sin

ch2

eecos

yii

iy

yiyyy

yy

由此得 cos(x+iy)=cosxcosiysinxsiniy,

sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy.

但当 z 为纯虚数 iy 时 , 我们有

33

所以)17.3.2(

.shcoschsin)sin(

,shsinchcos)cos(

yxiyxiyx

yxiyxiyx

.sin

1csc,

cos1

sec

,sincos

ctg,cossin

tg

zz

zz

zz

zzz

z

这两个公式对于计算 cos z 与 sin z 的值有用 .

当 y 时 , |siniy| 和 |cosiy| 都趋于无穷大 , 因此 , |sinz|1 和 |cosz|1 在复数范围内不再成立 .

其它复变数三角函数的定义如下 :

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与三角函数密切相关的是双曲函数 , 定义

zz

zzzzzz

zzz

ee

eeth,

2ee

sh,2ee

ch

)20.3.2(.sinchcossh)sh(

,sinshcosch)ch(

yxiyxiyx

yxiyxiyx及

分别称为双曲余弦 , 正弦和正切函数 .chz 和 shz 都是以 2i 为周期的函数 , chz为偶函数 , shz 为奇函数 , 它们都是复平面内的解析函数 , 导数分别为 :

(chz)'=shz, (shz)'=chz (2.3.18)不难证明 chiy=cosy, shiy=isiny (2.3.19)

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5. 反三角函数与反双曲函数 反三角函数定义为三角函数的反函数 , 设

z=cos w,则称 w 为 z 的反余弦函数 , 记作

w=Arccos z.

两端取对数得应理解为双值函数其中

它的根为

得二次方程由

.1

,1e

.01e2e

)e(e21

cos

2

2

2

z

zz

z

wz

iw

iwiw

iwiw

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用同样的方法可以定义反正弦和反正切函数 , 并且重复上述步骤 , 可以得到它们的表达式 :

.Arccos

)1Ln(Arccos 2

是一个多值函数显然 z

zziz

.11

Ln2

Arctg

),1Ln(Arcsin 2

izizi

z

ziziz

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反双曲函数定义为双曲函数的反函数 . 用与推导反三角函数表达式完全类似的步骤 , 可以得到各反双曲函数的表达式 :

zz

z

zzz

zzz

11

Ln21

Arth

)1Ln(Arch

)1Ln(Arsh

2

2

反双曲正切

反双曲余弦

反双曲正弦

它们都是多值函数 .

38

平面场的复势1. 用复变函数表示平面的向量场 这里 , 只讨论平面定常向量场 . 向量场中的向量都平行于某个平面 S, 而且在垂直于 S 的任何一条直线上的所有点处的向量都是相等的 ; 场中的向量也都是与时间无关的 . 显然 , 这种向量场在所有平行于 S 的平面内的分布情况是完全相同的 , 因此它完全可以用一个位于平行于 S 的平面 S0 内的场来表示 .

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S0

S

O x

y

Ay

Ax

A

40

在平面 S0 内取定一直角坐标系 xOy, 于是场中每一个具有分量 Ax 与 Ay 的向量 A=Axi+Ayj便可用复数

A=Ax+iAy (2.4.1)

来表示 . 由于场中的点可用复数 z=x+iy 来表示 , 所以平面向量场 A=Ax(x,y)i+Ay(x,y)j可以借且于复变函数

A=A(z)=Ax(x,y)+iAy(x,y)

来表示 , 反之 , 已知某一复变函数 w=u(x,y)+iv(x,y), 由此也可作出一个对应的平面向量场 .

41

平面向量场与复变函数的这种密切关系 , 不仅说明了复变函数具有明确的物理意义 , 而且使我们可以利用复变函数的方法来研究平面向量场的有关问题 . 在应用中特别重要的是如何构造一个解析函数来表示无源无旋的平面向量场 , 这个解析函数就是所谓平面向量场的复势函数 .

42

2. 平面流速场的复势 设向量场 v 是不可压缩的 ( 即流体的密度是一个常数 ) 定常的理想流体的流速场 :

v=vx(x,y)i+vy(x,y)j,其中速度分量 vx(x,y) 与 vy(x,y) 都有连续的偏导数 . 如果它在单连域 B 内是无源场 ( 即管量场 ), 那末

div 0,

, (2.4.2)

yx

yx

vv

x y

vv

x y

v

即

43

从而可知 vydx+vxdy 是某一个二元函数 (x,y)的全微分 , 即

d(x,y)vydx+vxdy.由此得

, (2.4.3)y xv vx y

44

因为沿等值线(x,y)=c1

d(x,y) vydx+vxdy=0, 所以, d

dy

x

vy

x v . 这就

是说, 场 v在等值线(x,y)=c1上每一点处的向量 v都与等值线相切, 因而在流速场中等值线(x,y)=c1就是流线. 因此, 函数(x,y)称为场 v的流函数.

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如果 v又是 B 内的无旋场 ( 即势量场 ), 那末 ,

rot v=0,即这说明了表达式 vxdx+vydy 是某一个二元函数(x,y) 的全微分 , 即

d(x,y)=vxdx+vydy.

由此得

0 (2.4.4)y xv v

x y

, , (2.4.5)x yv vx y

从而有 grad = v.

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(x,y) 就称为场 v的势函数 (或位函数 ). 等值线 (x,y)=c2 就称为等势线 (或等位线 ).因此对于即无源又无旋的向量场 v, (2.4.3) 和(2.4.5) 同时成立 , 将它们比较一下 , 即得

而这就是柯西 -黎曼方程 . 因此 , 可作解析函数

w=f(z)=(x,y)+i(x,y),

称之为平面流速场的复势函数 , 简称复势 .

, ,x y y x

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根据(2.4.1)与(2.4.5)以及解析函数的导数公式(2.2.2), 可得

( )

(2.4.6)

x yv v iv i i f zx y x x

这表明流速场 v可以用复变函数 ( )f zv 表示.

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作业 第二章习题 第 67 页开始

第 13 题 1),2),3)小题第 15 题