第四章 四边形性质探索第四章 四边形性质探索

4.1.2 4.1.2 平行四边形的性质平行四边形的性质

北师大版数学八年级上册北师大版数学八年级上册

福鼎市第五中学 数学组福鼎市第五中学 数学组

B

A

C

D

O

3.3. 如果对角线相交，如果对角线相交， 你还能得到那些相等的线段你还能得到那些相等的线段 ??

平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分

探索发现 深化提高探索发现 深化提高探索问题探索问题 11

已知直线已知直线 aa∥∥bb ，过直线，过直线 aa 上任意两点上任意两点 AA ，， BB 分别分别向向

直线直线 bb 作垂线，交直线作垂线，交直线 bb 于点于点 CC ，点，点 DD ．（如．（如图）图）（（ 11 ）线段）线段 ACAC ，， BDBD 所在的直线有怎样的位置关系？所在的直线有怎样的位置关系？

（（ 22 ）比较线段）比较线段 ACAC ，， BDBD 的长短．的长短．

AA BB

CC DD

解：（解：（ 11 ）由）由 ADAD ，， BDBD 同时垂直于直线同时垂直于直线 bb ，得，得 ACAC∥∥BBDD

结论结论 : : 平行线间的距离相等平行线间的距离相等议一议议一议 ::

你能举出反映你能举出反映“平行线间的垂线段处处相“平行线间的垂线段处处相等”等”的实例吗的实例吗 ??

探索发现 深化提高探索发现 深化提高

AA BB

CC DD

平行四边形平行四边形的性质：的性质：

边边平行四边形的对边平行平行四边形的对边平行

角角平行四边形的邻角互补平行四边形的邻角互补

对角线对角线 平行四边形的对角线平行四边形的对角线 互相平分互相平分

平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等

平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等

回顾思考 引入新课回顾思考 引入新课

1. ABCD1. ABCD 中，中，∠∠ AA 比比∠∠ BB 大大 20°20° 则则∠∠ CC 的度数为（ ）的度数为（ ）

A . 60 ° B . 80 ° C . 100° D . 120°A . 60 ° B . 80 ° C . 100° D . 120°

2 . ABCD2 . ABCD 的周长为的周长为 30cm30cm ，，⊿⊿ ABCABC 的周长为的周长为 25cm25cm ，，则对角线则对角线 ACAC 长为 （ ）长为 （ ）

A . 5cm B . 10cm C . 6cm D . 16cm A . 5cm B . 10cm C . 6cm D . 16cm

3 . 3 . 在 在 ABCDABCD 中中 ,, 对角线对角线 AC AC 和和 BDBD 交于交于 OO ，则图中全，则图中全等三角形的对数有等三角形的对数有 ..

4.4. 在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的枕木是否一样在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的枕木是否一样

长？长？

CC

BB

解：因为平行四边形的对边相等，所以：解：因为平行四边形的对边相等，所以： BC=AD=8BC=AD=8 ，， CD=AB=10CD=AB=10 在在 RtADBRtADB 中，中， AD=8AD=8 ，， AD=10AD=10 BD =BD =

探索问题探索问题 22 ［例［例 11 ］如图，四边形］如图，四边形 ABCDABCD 是平行四边形，是平行四边形， DB⊥ADDB⊥AD ，求，求 BCBC ，， CDCD 及及 OBOB 的长．的长．

因为平行四边形的因为平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分，所以 所以 OB = 3OB = 3

6810 2222 ADAB

例 2 在 ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点，连接 OB ， OD ，求∠ DOB 的度数．

探索问题探索问题 33

解：∵四边形解：∵四边形 ABCDABCD 是平行四边形是平行四边形 ∴ ∴ABAB==DCDC ，， ABAB∥∥DCDC ∴∠ ∴∠BACBAC=∠=∠ACDACD ．． ∵ ∵OO 是对角线是对角线 ACAC 的中点，的中点， ∴ ∴OAOA==OCOC在△在△ AOBAOB 和△和△ CODCOD 中，中，ABAB==CDCD ，∠，∠ BACBAC=∠=∠ACDACD ，， OAOA==OO

CC∴△∴△AOBAOB≌△≌△CODCOD ．．∴∠∴∠AOBAOB=∠=∠CODCOD∵∠∵∠AODAOD+∠+∠CODCOD=∠=∠AOCAOC=180°=180°∴∠∴∠AODAOD+∠+∠AOBAOB=180°=180° ，，即∠即∠ BODBOD=180°=180° ．．

例例 3 3 如下图，在 如下图，在 ABCDABCD 中，平行于对角线中，平行于对角线 ACAC 的的直线直线 MNMN 分别交分别交 DADA ，， DCDC 的延长线于点的延长线于点 MM ，， NN ，，交交 BABA ，， BCBC 于点于点 PP ，， QQ ，你能说明，你能说明 MQ=NPMQ=NP 吗吗 ??

观察分析 理性升华观察分析 理性升华

解解 :∵:∵ 四边形四边形 ABCDABCD 是平行四边是平行四边形形

∴ ∴AD∥BCAD∥BC ，， AB∥CDAB∥CD 即即 AM∥CQAM∥CQ ．． 又∵ 又∵ AC∥MNAC∥MN ，即，即 AC∥MQAC∥MQ ∴ ∴ 四边形四边形 MQCAMQCA 是平行四边形是平行四边形 ∴ ∴MQ=ACMQ=AC 同理可证：同理可证： NP=ACNP=AC ∴ ∴MQ=NPMQ=NP ．．

11 ． ． ABCDABCD 的两条对角线相交于的两条对角线相交于 OO 点，点， OAOA ，，OBOB ，， ABAB 的长度分别为的长度分别为 3cm3cm ，， 4cm4cm ，， 5cm5cm ，，求其他各边以及两条对角线的长度．求其他各边以及两条对角线的长度．

巩固反馈 总结提高巩固反馈 总结提高

解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ， AD=BC OA=OC ， OB=OD ∵OA=3cm ， OB=4cm ， AB=5cm ， ∴AC=6cm ， BD=8cm ， CD=5cm ． ∵32+42=52 ， ∴ 三角形 AOB 是直角三角形． ∴AC⊥BD ． 在 Rt△AOD 中， OA2+OD2=AD2

∴AD=5 cm ，∴ BC=5 cm ．因此，这个平行四边形的其他各边都是 5 cm ，

两条对角线的长分别是 6 cm ， 8 cm ．

练一练

2.2.在 在 ABCDABCD 中，∠中，∠ AA=150°=150° ，， ABAB=8cm=8cm ，， BCBC=1=10cm0cm ，，

求：四边形求：四边形 ABCDABCD 的面积．的面积．解：过点解：过点 AA 作作 AE⊥BCAE⊥BC 交交 BCBC 于于 EE ．．∵∵ 四边形四边形 ABCDABCD 是平行四边形，是平行四边形，∴∴AD∥BCAD∥BC ．．∴∠∴∠BAD+∠B=180°BAD+∠B=180° ．．∵∠∵∠BAD=150°BAD=150° ，，∴∠∴∠B=30°B=30° ．．在在 Rt△ABERt△ABE 中，∠中，∠ B=30°B=30° ，， AB=8AB=8 ，，∴∴AE=4AE=4SSABCDABCD=4×10=40=4×10=40（（ cmcm22））

巩固反馈 总结提高巩固反馈 总结提高练一练

评价反思 目标回顾评价反思 目标回顾

• 本节课你有哪些收获本节课你有哪些收获 ??

• 你能通过实例说明你能通过实例说明 “ “ 两条平行线间的距离处处相等”吗两条平行线间的距离处处相等”吗 ??• 利用平行四边形可以解决哪些问题利用平行四边形可以解决哪些问题 ??

已知：已知：如图，在 如图，在 ABCDABCD 中，中， ACAC 与与 BDBD 相交于相交于点点 OO ，，

点点 EE ，， FF 在在 ACAC 上，且上，且 BEBE∥∥DFDF ．．求证：求证： BE=DFBE=DF

作业作业1.1. 习题习题 4.2 14.2 1 ，， 22 ，， 33

2. 探究题 :

师生共勉师生共勉

把一件平凡的事情做好就是不平凡把一件平凡的事情做好就是不平凡 ,,把一件简单的事情做好就是不简单把一件简单的事情做好就是不简单 ..