一、四边形的性质：

1 、四边形的内角和为 360°

——n 边形的内角和为（ n － 2 ） ·180°

2 、四边形的外角和为 360°

—— 任何多边形的外角和都为 360°

例 1 ：四边形 ABCD 中，∠ A ：∠ B ：∠ C ：∠ D＝ 3 ： 4 ： 5 ： 6 ，求各角度数。 例 2 ：有一多边形，其内角和度数为 1080° ，问：

1 ）为几边形？

2 ）其外角和度数？

四边形

平行四边形

矩形

菱形

正方形

梯形

等腰梯形

直角梯形

两组对边

分别平行

有一个角

是直角

邻边相等

一组邻边相等

有一个角

是直角

一组对边平行

另一组对边不平行

两腰相等

有一个角 是直角

有一个角是直角且一组邻边相等

二、四边形的分类：

三、几种特殊四边形的性质

平行四边形

矩 形

菱 形

正方形

等腰梯形

边对边平行 且相等

对边平行 且相等

对边平行，四 条边都相等

对边平行， 四条边 都相等

两底平行，两腰相等

角对角相等

四个角都是直角

对角相等

四个角都是直角

同一底上的两个角相等

对 角 线两条对角线互相平分

两条对角线互相平分且相等

两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角

两条对角线相等

对称性

中心对称

轴对称中心对称

轴对称中心对称

轴对称中心对称

轴对称

四、特殊四边形的常用判定方法

平行 四边形

（ 1 ）两组对边分别平行；（ 2 ）两组对边分别相等；

（ 3 ）一组对边平行且相等。（ 4 ）两条对角线互相平分；

矩 形（ 1 ）有三个角是直角；（ 2 ）是平行四边形，并且有一个角是直角；

菱 形（ 1 ）四条边都相等；

（ 2 ）是平行四边形，并且有一组邻边相等；

正方形 （ 1 ）是矩形，并且有一组邻边相等；（ 2 ）是菱形，并且有一个角是直角。

等 腰梯 形 （ 1 ）是梯形，并且两腰相等

（ 3 ）是平行四边形，并且对角线相等

1. 对角线互相平分的四边形是平行四边形

2. 对角线相等的平行四边形是矩形

五、对角线与特殊四边形的关系

3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

五、其他重要定理及性质

1 、关于中心对称的两个图形的性质：

（ 1 ）是全等形；（ 2 ）对称点的连线都经过对称中心 并且被对称中心平分。

2 、菱形的面积等于对角线乘积的一半

六、平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

七、三角形、梯形中位线定理1. 三角形的中位线定理：

A

B C

D E 如图，三角形 ABC 中， AD=DB ， AE=EC ，则有 ； 。DE // BC DE = BC

12

2. 梯形的中位线定理：A

B C

D

E F

如图，梯形 ABCD 中， AD//BC ， EF 是中位线，则有（ 1 ） ；

（ 2 ） 。

EF// AD// BC

EF = (AD+BC)12

A B

.E.F

.G

CD

P

八、巩固练习（一）判断题：

1. 平行四边形的对角线相等； （ ）2. 矩形的四个角都相等； （ ）3. 菱形的对角线互相垂直平分； （ ）4. 有一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形（ ）5. 一组对边平行的四边形是梯形； （ ）6. 有两个角相等的梯形是等腰梯形； （ ）7. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （ ）8. 对角线相等的四边形是矩形； （ ）9. 在梯形中上面的底叫做上底，下面的底叫做下底；（ ）

10. 正方形既是轴对称图形又是中心对称图形。（ ）

（二）选择题：

(A) 一组对边平行，另一组对边也平行； (B) 一组对角相等，另一组对角也相等；1. 下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（ ）。

(C ) 一组对边平行，一组对角相等； (D) 一组对边平行，另一组对边相等

D

2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）。 (A) 对角线互相平分。 (B) 对角线相等。

（ C ）对角线平分一组对角。 (D) 对角线互相垂直。

B

3. 顺次连结四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ）(A) 矩形。 (B) 正方形。 (C ) 菱形。 (D) 平行四边形

D

4. 内角和等于外角和的多边形是（ ）(A) 三角形。 (B) 四边形。 (C ) 五边形。 (D) 六边形。

B

5. 下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）(A) 对角相等。 (B) 邻角互补。 (C ) 对角互补。 (D) 内角和是 360° 。

C

6. 能够判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）(A) 一组对角相等。 (B) 两条对角线互相平分。(C ) 两条对角线互相垂直。 (D) 一对邻角的和为 180° 。

B

7. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）(A) 等边三角形。 (B) 平行四边形。 (C ) 菱形。 (D) 等腰梯形。

C

D

9. 不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的条件是（ ）//(A) AB =CD, AD =BC 。 (B) BC AD 。

(C ) AB//DC, AD//BC 。 (D) AB =CD ， AD//BC 。

D

8. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

(A)(B) (C ) (D)

（三）填空题：相 等

2. 两条对角线 的四边形是矩形。互相平分且相等3. 两条对角线 的平行四边形是菱形。 互 相 垂 直4. 两条对角线 的四边形是菱形。互相垂直平分5. 两条对角线 的矩形是正方形。互 相 垂 直6. 两条对角线 的菱形是正方形。相 等7. 两条对角线 的平行四边形是正方形。互相垂直并相等

8. 两条对角线 的四边形是正方形。互相垂直平分并相等9. 一个多边形的每一个外角都等于 40° ，这个多边形的 边数是 ，它的内角和是 。9 1260°

10. 等腰梯形在同一底上的两个角 ， 对角线 。

相 等相 等

1. 两条对角线 的平行四边形是矩形。

11. 如图 (1) ， ABCD 中，∠ 1 = B =50°,∠ 则∠ 2 = 。A

B C

D

12

(1)

80°

8 ㎝ 12. 如图（ 2 ），菱形有一个内角是 120° ，有一条对角线长是 8 ㎝，

A

B C

DO

(2)

那么菱形边长是 。13. 已知：正方形的边长是 4 ㎝，则它的对角线的长是 ， 面积是 。

4√216 2㎝

㎝

14. 已知，正方形的对角线的长是 6 ㎝，则它的边长是 ， 面积是 。

3√2 ㎝18 ㎝2

15. 已知：正方形的面积是 12 ㎝ ，则它的边长是 ， 对角线的长是 。

2 2√3 ㎝2√6 ㎝

或 38√3 ㎝

例 1 ：在平行四边形 ABCD 中， BC ＝ 7 厘米， CD ＝ 5 厘米，

∠D ＝ 50° ， BE 平分∠ ABC 。

1 ）求∠ C 的度数；

2 ）求 AE 的长。

例 2 ：在平行四边形 ABCD 中，周长为 80 厘米， O 为对角线的

交点，△ AOB 的周长与△ BOC 的周长之差为 8 厘米，

求平行四边形的周长。

例 3 ：矩形 ABCD 中，对角线交点 O 到短边的距离比到长边

的距离多 8 厘米，且矩形周长为 56 厘米，求矩形的各边长。

例 4 ：已知菱形的边长为 10 厘米，一内角为 120° 。

1 ）求两条对角线的长；2 ）求菱形的面积。

例 5 ：分别以△ ABC 的边 AC 、 BC 为边向外作正方形 ACDE

和正方形 BFGC ，连结 AG 、 BD ，

求证： 1 ） AG ＝ BD ； 2 ） AG⊥BD 。

九、几种常见的平行四边形辅助线的画法：1. 对角线

A

B C

D

2. 构建新的平行四边形

A

B C

D

A

BC

D

E

A

BC

D

E

3. 构建全等三角形

A

B C

D

E F

A

B C

D

E

F

4. 构建等腰三角形

A

BC

D

E

A

BC

D

E

十、几种常见的梯形的辅助线画法：

1. 构建平行四边形A

B C

D

F

A

B C

D

F

2. 平移一条对角线

A

BC

D

E

A

B C

D

E

3. 构建全等三角形

A

BC

D

E.

F

A

B C

D

F

4. 构建矩形

A

B C

D

F

A

B C

DE F

E

E

.

5. 作梯形的中位线

A

B C

D

E F

6. 构建大平行四边形

7. 构建三角形

A

B C

D

E

E

F

C

A

B

D

O