Семинар 5

Сэдэв: Тодорхой интегралын геометр хэрэглээ

y=f(x) функц [a,b] хэрчим дээр тасралтгүй, f(x)>0 функц байг. Дээрээсээ y=f(x) функцийн

график доороосоо ОХ тэнхлэг баруун ба зүүн талаасаа x=а ба x=b шулуунуудаар

хүрээлэгдсэн дүрсийг муруй шугаман трапец гэнэ.

Муруй шугаман трапец f(x)<0 a<x<b бол түүний талбайг

Муруй шугаман трапец bxaxfxg ,0)( ,0)( 21 бол түүний талбайг

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

dxxfxg

dxxfdxxgdxxfdxxgS

)]()([

)()()()(

21

2121

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

dxxfxg

dxxfdxxgdxxfdxxgS

)]()([

)()()()(

21

2121

S=a

b

[g ( x )− f ( x ) ]dx

Туйлын координатын системд:

I=b

a

f ( x )dx= limλ−0

∑i=1

n

f (ξ i ) Δxi

S=|a

b

f ( x )dx|=−a

b

f (x )dx

Эргэлтийн биеийн гадаргуун талбай

[a,b] хэрчимд тасралтгүй

дифференциалчлагдах f(x) функц өгөгдсөн бол

түүнийг Ох тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүсэх

гадаргуун талбайг интеграл ашиглан дараах

томъёогоор олно.

Эргэлтийн биеийн эзэлхүүн

Т биеийг ОХ тэнхлэгт перпендикуляраар огтлоход үүсэх огтлолын талбайг S=S(x)

[a,b] хэрчимд тасралтгүй y=f(x) функц өгөгджээ. Энэ туруй ОХ тэнхлэгийг тойрон эргэхэд

үүсэх биеийн эзэлхүүн нь

Жишээ: y=a2

(exa +e

xa ) муруй, х=а шулуун болон координатын тэнхлэгүүдээр

хязгаарлагдсан муруй шугаман трапецийн талбайг ол.

S=a

b

f ( x )dx S=a20

a (exa +e

xa )dx=a

2(e

xa−e

− xa )|a0=a2

2 (e−1e )

Жишээ {x=2Rcost3+Rcos

23

t

y=2 Rsint3−Rsin

23

t муруй t 1=0−оос t 2=2π хүртэлх хэсгийн уртыг ол.

Бодолт. |¿dl

Нумын уртын дифференциалыг олъё. dl=√x '2 (t )+ y '2 ( t )dt

{x' (t )=−23

Rsint3−2

3Rsin

23

t

y ' (t )=23

Rcost3−2

3Rcos

23

t

x ' 2 (t )+ y '2 (t )=89

R2 (1−cos t )=169

R2 sin2 t2

dl=43

Rsint2

dl

Иймээс: |¿ 43

R0

2 π

sint2

dt=83

Rcost2|2 π

0=−3

8R (cosπ−1 )=16

3R

Жишээ: у=arctg x, x=0, y=π/4 шугамуудаар хязгаарлагдсан муруй шугамын трапец OY

тэнхлэгийг тойрон эргэхдэ үүсэх биеийн эзлэхүүнийг ол.

Бодолт: Эргэлтийн биеийн эзлэхүүн

V=πa

b

x2dy байдаг

y=arctgxбуюу х=tgy учир

V=π0

π4

tg2 ydy=π0

π4

( 1cos2 y

−1)dy=π ( tgy− y )|π4 ( 4−π )

Жишээ : R=0.5м радиустай Н=2м өндөртэй цилиндр атмооферийн даралтанд буй хийгээр

дүүргэгдсэн (103300 H / М 2 ) . Хий идеаль гэж тооцож хийг поршингоор изометрээр шахаах

үе дэх ажлыг тодорхойл. (Поршин нь цилиндрийн дотор h=1м өндөрт байрлана).

Бодолт: Поршин “х” м-д байрласан моментийг авч үзье. Энэ моментэд хийн эзлэхүүн V, даралт нь р(V). Энэ моментон дахь прошинд дарах даралтын хүч F=p(V)·S Үүнд: S- поршины талбай Поршинг dx зайнд шилжүүлэхэд хийгдэх ажил нь: dA=p(V)Sdx=p(V)dV Поршинг h зйан шилжүүлэхэд хийгдэх ажил нь: (анхны V0=πR2H эзэлхүүнээс эцсийн V1=πR2(H-h) эзэлхүүнд хүрэхэд)

A=V 0

V 1

p (V )dV Процесс нь изометр учир Бойл-Мариотны хуулиар PV=P0V0. Иймд

A=v0

v1 p0 v 0

vdV=p0 π R2 H ∙∈ H−h

H; p0=103300 H / м2 R=0.5мь H=2м, h=1м

Учир A=−0 .5 P0 ∙ π ∙∈2=−113 . 4 ∙103 Дж

Жишээ: Дэлхийн гадаргуугаас Н=200 км өндөрт луужинг хөөргөхөд хийх ажлыг тодорхойл. Пуужингийн масс m=6м. Дэлхийн радиус 6380 км, g=10м / сек2

Бодолт.

Дэлхийн төвөөс х зайнд пуужин оршин байх моментийг авч үзье. Пуужинд үйлчлэх

таталцлын хүч F= ym ∙ M

x2 Үүнд: у-таталцлын тогтмол, М-дэлхийн масс dx зайнд

шилжүүлэхэд хийгдэх ажил: dA=ym∙ M

x2dx A=

R

R+HymM

X2 dx

Дэлхийн гадаргуу дээр F=mg учир mg=ymM

R2 Иймд

yM=−g R2ба A=g R2 M R

R+Hdxx2 =g R2 m

x |R+HR

=gmRHR+H

Бие даан бодох бодлогууд:

Дүрсийн талбай ол

1. y=4 x , x=0 , y=0 , y=2 OY

2. y=√1+x2 , y=0 , x=0 , x=1OX

Гадаргуугийн талбай ол

3. y❑=4 x , x1=0 , x2=3 OX

4. x=a ( t−sint ) , y=a (1−cost ) ,t 1=0 , t 2=2 π OX

Дүрсийн эзэлхүүнийг ол

5. z=4− y2 , z= y2+2 , x=−1 , x=2

6. x2=z , z=0 , y=2 x , x+ y=9 , x=0

7. z=2−x , z=0 , y=2√2 , y=14

x2

Гадаргуугаар хязгаарлагдсан биеийн эзэлхүүн ол.

1. x2+ y2=az , z=2 a−√x2+ y2 , (a>0 )

2. z=1

x2+ y2−1, x2+ y2≤1, z≥0

3. z=e−( x2+ y2 ) , x2+ y2=R2 , z=0