42
1 © כל הזכויות שמורות לפרופסור רפי אלדור מודל בלק שולס מרטון פרס נובל לכלכלה1997 אופציות וחוזים עתידיים אופציות וחוזים עתידיים פרופ' רפי אלדור פרופ' רפי אלדור

מודל בלק שולס מרטון

  • Upload
    -

  • View
    128

  • Download
    5

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: מודל בלק שולס מרטון

1

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

מרטון שולס בלק מודללכלכלה נובל 1997פרס

אופציות וחוזים עתידייםאופציות וחוזים עתידייםפרופ' רפי אלדורפרופ' רפי אלדור

Page 2: מודל בלק שולס מרטון

2

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

אופציות ואנילה אופציות ואנילה

ב- 1973• מסחר CBOEפתיחתבלק- 1973• של מאמריהם ומרטון פרסום שולס

–1973ולמרטון- 1997• לשולס לכלכלה נובל פרס•1993" א- בת בבורסה מסחר פתיחת

Page 3: מודל בלק שולס מרטון

3

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

השפעתם של גורמים שונים על מחירהשפעתם של גורמים שונים על מחירהאופציההאופציה

השפעה על מחירי ה-PUT

השפעה על מחירי ה-CALL

הגורם (עליה ב:)

מחיר המניה

מחיר המימוש

סטיית התקן

שער הריבית

שיעור הדיבידנדים

אורך חיי האופציה *

לעלות* מסוימים במקרים יכול אירופאיות באופציות. לרדת אחרים ובמקרים

Page 4: מודל בלק שולס מרטון

4

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

מודל נאיבימודל נאיבי

: דרכים בשתי נכסים לקנות ניתן

כיום – • נשלם זה במקרה ישירה קניהS.

זה – • במקרה האופציה דרך קניהכיום נשלם

הפרמיה ( מחיר X)Cאת את ובעתיד.Xהמימוש

Page 5: מודל בלק שולס מרטון

5

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

נוסחת המודל הנאיבינוסחת המודל הנאיבי

SXXC =+)(

שקולות אלו דרכים כי טוען הנאיבי המודלריבית ( בהנחת ):0%היינו

:( ריבית ( כל כללי ובאופן

( ) Sr

XXC T =

++1

)(

Page 6: מודל בלק שולס מרטון

6

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

ונקבל אגפים נעביר

Tr

XSXC

)1()(

+−=

המודל הנאיביהמודל הנאיבי

Page 7: מודל בלק שולס מרטון

7

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

+−=0

)1()( Tr

XS

MaxXC

CALLCALLנוסחת המודל הנאיבי עבור אופציית נוסחת המודל הנאיבי עבור אופציית

Page 8: מודל בלק שולס מרטון

8

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

PUTPUTנוסחת המודל הנאיבי עבור אופציית נוסחת המודל הנאיבי עבור אופציית

+=0)1()(

Sr

XMaxXP T

Page 9: מודל בלק שולס מרטון

9

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

CALLCALLגרף הערך הנאיבי של אופציית גרף הערך הנאיבי של אופציית

נאיבי שווי

כיום מדד

Page 10: מודל בלק שולס מרטון

10

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

PUTPUTגרף הערך הנאיבי של אופציית גרף הערך הנאיבי של אופציית

נאיבי שווי

כיום מדד

Page 11: מודל בלק שולס מרטון

11

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

הערות למודל הנאיביהערות למודל הנאיבי

עמוק • אופציות לתמחור טוב קרוב מהווה המודל. הכסף בתוך

•. ודאות של בעולם הינו המודל

Page 12: מודל בלק שולס מרטון

12

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

התכנסות מודל בינומי לבלק ושולסהתכנסות מודל בינומי לבלק ושולס

. תקופתי – דו בינומי מודל כמו רקורסיבית צורה באותה חישוב

ל למספר – , BSהתכנסות אותו מחלקים אם נתון זמן עבורתקופה כל של הזמן משך כאשר תקופות של וגדל הולךבגבול , הרי מצטמצם תקופה כל של הזמן משך כאשר

תקופה( כל ואורך לאינסוף שואף התקופות מספר כאשר ,( לחישוב מתכנס הבינומי המודל לפי החישוב לאפס שואף

. ושולס בלק מודל לפי

Page 13: מודל בלק שולס מרטון

13

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

הערכת שווי אופציותהערכת שווי אופציותSCHOLESSCHOLES ו- ו- BLACKBLACKהמודל של המודל של

למימון 1973בשנת הפרופסורים שני פרסמוFISHER BLACK- וMYRON SCHOLES אתמאמרם

מחיר הערכת . CALLאופציה על אירופית בתחום דרך פריצת היווה זה . מאמר אופציות מחירי הערכת

הנוסחה את פיתח אליהן מרטון ( במקביל ).1973רוברטמרטון 1997בשנת ורוברט שולס למירון נובל פרס הוענק

ב ( - ניפטר בלק פישר זה מדעי הישג ).1995בזכות

Page 14: מודל בלק שולס מרטון

14

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

SCHOLESSCHOLES ו- ו- BLACKBLACKהנחות מודל הנחות מודל

. ההנחות אחת זוהי רציף הוא בבורסה המסחרעל ושמירה סיכון חסר תיק יצירת המאפשרות

" של מכירה או קנייה י ע הוודאית התשואהומכירות ( קניות בהתאם אופציות או מניות

סיכון המנטרל היחס על לשמור מאפשרות אלה.( הזמן שחולף ככל המשתנה הנכון

. ומיסים עמלות אין. קבוע סיכון חסר ריבית שער

. קבועה הבסיס נכס תשואת של התקן סטיית

ולכן לוגנורמלי מתפלג הבסיס נכס מחירהתפלגות בעלת היא הבסיס נכס תשואת

נורמלית.

Page 15: מודל בלק שולס מרטון

15

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

עולם של ודאותעולם של ודאות

( בוודאות ( בפקיעה הכסף בתוך שתהיה אופציה ערך

( )[ ] rTrT XeSXTSeC −− −=−=

Page 16: מודל בלק שולס מרטון

16

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

נוסחת בלק ושולסנוסחת בלק ושולס

( ) ( )

( ) ( )

T

T

5.0/

12

2

1

21

σ

σσ

−=

++=

−= −

dd

TrXSLnd

dXNedSNC rT

Page 17: מודל בלק שולס מרטון

17

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

CALLCALLשווי אופציית שווי אופציית

)2(*)1(*)( dNXedNSXC rt−−=

t

trXSnd

σσ )5.0()/(1

12++=

אופציית של ערכה זה מודל :CALLלפי

נכס * – * הסתברותי גורם מהוון מימוש מחיר הסתברותי גורםאופציה = בסיסכאשר:

tdd σ−= 12

-)N(d1ו- ערכי )N(d2ו -d1הינם ההתפלגות d2ו בטבלת. סטנדרטית הנורמאלית

N(d1) -בקרובל למימושהאופציה. N(d2)שווה להסתברות בקרוב שווה

Page 18: מודל בלק שולס מרטון

18

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

דוגמא מהספר דוגמא מהספר

שולס – : בלק של בנוסחה לשימוש דוגמא נביא: ש נניח

%20

%20

2466.0365/90

200

205

==

===

=

σr

T

X

S

. שנתיים במונחים מצוינים האחרונים הנתונים ששלושת לב שים

Page 19: מודל בלק שולס מרטון

19

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

המשך דוגמאהמשך דוגמא

( ) ( ) N200205 )2466.0(2.021

−−= eddNC

Page 20: מודל בלק שולס מרטון

20

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

מושגים שימושיים של הדוגמאמושגים שימושיים של הדוגמא

37.9

0014.0

78.0

21.17

62.14

5

=Ω≡=≡=≡=≡

=−≡=−=

χh

C

XeS

XSrT

. האופציה של הפנימי הערך

. האופציה למחיר התחתון הגבול

ושולס בלק לפי האופציה מחיר .

האופציה של הדלתא .

האופציה של הגמא .

. האופציה גמישות

Page 21: מודל בלק שולס מרטון

21

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

CALLCALLהצגה גראפית הצגה גראפית

אופציית שווי של גראפית הצגה מודל CALLלהלן : BSלפי

כיום אופציה שווי

כיום מדד

BSערך

פנימי ערך

נאיבי ערך

Page 22: מודל בלק שולס מרטון

22

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

אופציה שוויC(200)

" פ" ע ח בשושולס בלק

SBC /

מחיר המניה

תחתון גבוללמחיר ,האופציה פנימי( שווי

( בפקיעה שווי

5

205200

14.62

C=17.21

Page 23: מודל בלק שולס מרטון

23

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

אופציה של ערכהPUT:

)1(*)2(*)( dNSdNXeXP rt −−−= −

פנימי ערך

BSערך

נאיבי ערך

כיום אופציה שווי

כיום מדד

PUTPUTהצגה גראפית הצגה גראפית

Page 24: מודל בלק שולס מרטון

24

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

הגורמים המשפיעים על שווי אופציה הגורמים המשפיעים על שווי אופציה

בנוסחא מוצב גורם סימול

מעוף בסיס X 100 מדד נכס S

מימוש מחיר X 100מחירמימוש

X

, לתקופה סיכון חסרת ריבית. שנתיים במונחים

ריבית r

נכס תשואת של תקן סטיית. שנתיים, במונחים הבסיס

תקן סטיית

. , שנתיים במונחים למימוש זמן זמן למימוש

t

מודל :5יש BSלפי האופציה מחיר על המשפיעים גורמים

σ

Page 25: מודל בלק שולס מרטון

25

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

דוגמא מהחוברתדוגמא מהחוברת

: בנוסחה לשימוש דוגמא

על עומד מעוף היא. 500מדד השנתית תקן .20%סטייתלשנה – סיכון חסרת .8%ריבית

ערך את .90ל – ) C(490של BSחשב יום

Page 26: מודל בלק שולס מרטון

26

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

BSBS לפי לפי CALLCALLערך ערך

30866368.0*98.0*490006763.0*50000)490(

98.0

6368.0)35.0( 6763.0)45.0(

35.0365/902.045.02

45.01.0

0246.00202.0365/902.0

365/90)2.0*5.008.0()490/500ln(1

365/90*08.0

2

=−===

===−=

=+

=++=

−−

C

ee

NN

d

d

rt

Page 27: מודל בלק שולס מרטון

27

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

השפעת הגורמיםהשפעת הגורמים

: האופציות מחירי על השונים בפרמטרים עליה השפעת להלן

על השפעהPUT

על CALLהשפעה גורם סימול

בסיס נכס S

מימוש מחיר X

ריבית r

תקן סטיית

? למימוש זמן t

σ

Page 28: מודל בלק שולס מרטון

28

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

סטיות תקן גלומותסטיות תקן גלומות

ערך את לנו תיתן בנוסחא הפרמטרים חמשת של .BSהצבה , לשאול ניתן כלשהו במחיר נסחרת האופציה בשוק כי נניח

. מתוך שארבעה מכיוון זה במחיר הגלומים הפרמטרים מהם , התקן סטיית מהי לשאול ניתן ידועים הפרמטרים חמשת

. האופציה במחיר הגלומהשל התיאורטי ערכן עולה כך עולה התקן שסטיית CALLככל

התקן PUTו – סטיית כך יותר גבוה השוק שמחיר ככל מכאן . יותר גבוהה באופציה הגלומה

Page 29: מודל בלק שולס מרטון

29

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

סטיות תקן גלומות והדרישה לביטחונותסטיות תקן גלומות והדרישה לביטחונות

הגלומות התקן בסטיות משתמשת אביב בתל ערך לניירות הבורסההבא והמחזור הנוכחי למחזור לכסף מסביב האופציות ארבעת של

. ביטחונות לצרכי לאופציות הנכונה התקן סטיית לחישוב . מבחינתה הנכונה התקן סטיית מהי הבורסה מודיעה בוקר בכל כך

Page 30: מודל בלק שולס מרטון

30

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

VIXVIXסטיות תקן גלומות ומדד הפחד- סטיות תקן גלומות ומדד הפחד-

בשוקי כונתה המניות מדד על האופציות בשערי הגלומה התנודתיות " שערי " של שהתנודתיות העובדה בשל הפחד מדד המערביים ההון

. כלכליים משברים של בתקופות משמעותי באופן עולה המניות

בשיקגו 1993בשנת האופציות בורסת –CBOEהשיקה - ה התנודתיות מדד VOLTILITY INDEX -VIX את

Page 31: מודל בלק שולס מרטון

31

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

מדד התנודתיות בארה"במדד התנודתיות בארה"ב

Page 32: מודל בלק שולס מרטון

32

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

מקדמי רגישותמקדמי רגישות

. מהפרמטרים אחד לכל ביחס הנוסחה את לגזור יכולים אנו: כלהלן באותיות מסומנות אלו נגזרות

נגזרות גורם סימולהנגזרת ( גמא דלתא

השנייה)

האופציה מנוף

בסיס נכס S

מחיר מימוש

X

רו ריבית rווגא תקן סטייתתטא למימוש זמן t

σ

∆ΓΩ

ρ

θ

Λ

Page 33: מודל בלק שולס מרטון

33

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

דלתאדלתא

. הבסיס נכס למחיר ביחס האופציה של הראשונה הנגזרת הינההמדד כאשר האופציה בשווי בשקלים השינוי בקירוב הינה

. סיכון חסר תיק לבניית המשמש ההגנה יחס הינה בנקודה עולה

:CALLעבור . תמיד חיובית

. עולה שהמדד ככל עולהבאופציות 100ל 0בין ( 1ל 0בין

( ף" מעו : ל )N(d1שווה

1

0 מדד

Page 34: מודל בלק שולס מרטון

34

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

דלתאדלתא

. הבסיס נכס למחיר ביחס האופציה של הראשונה הנגזרת הינההמדד כאשר האופציה בשווי בשקלים השינוי בקירוב הינה

. סיכון חסר תיק לבניית המשמש ההגנה יחס הינה בנקודה עולה

:PUTעבור . תמיד שלילית

( שהמדד ( ככל מוחלט בערך יורדתעולה.

- 100ל 0בין- ( 1ל 0בין ( " ף מעו באופציות

: ל N(d1(0- 1שווה

-1 מדד

Page 35: מודל בלק שולס מרטון

35

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

גמאגמא

מדד

Γ

. הבסיס נכס למחיר ביחס האופציה של השנייה הנגזרת הינהעולה המדד כאשר בדלתא בשקלים השינוי בקרוב הינה

. ( ל( בנקודה מימוש PUTו – CALLיורד מחיר אותו עם. . תמיד חיובית גמא אותה יש

. בכסף האופציה כאשר היא ביותר הגבוהה הגמא

Page 36: מודל בלק שולס מרטון

36

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

תטאתטא

. לזמן ביחס האופציה של הראשונה הנגזרת הינה. , יום חולף כאשר האופציה בשווי בשקלים השינוי בקרוב הינה

. הכסף באזור הינה ביותר הגבוהה התטא

CALLעבור PUTעבור , חיובית להיות עשויה

. אפס, או שלילית. תמיד שלילית

מדד מדד

θ θ0 0

Page 37: מודל בלק שולס מרטון

37

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

ווגאווגא

. התקן לסטיית ביחס האופציה של הראשונה הנגזרת הינהסטיית כאשר האופציה בשווי בשקלים השינוי בקרוב הינה

ב – עולה .1%התקן.PUTו – CALLל ווגא אותה יש מימוש מחיר אותו עם

. חיובית תמיד הווגא

מדד

Λ

Page 38: מודל בלק שולס מרטון

38

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

רורו

. לריבית ביחס האופציה של הראשונה הנגזרת הינההריבית שער כאשר האופציה בשווי בשקלים השינוי בקרוב הינה

ב – .1%עולהעבור תמיד עבור CALLחיובית תמיד .PUTושלילית

Page 39: מודל בלק שולס מרטון

39

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

, , גמא , תטא הדלתא ,מהי , גמא , תטא הדלתא מהישלאסטרטגיית שלאסטרטגיית ווגא ? ווגא ?בוקס בוקס

Page 40: מודל בלק שולס מרטון

40

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

ערך פנימי וערך זמןערך פנימי וערך זמן

ערך את לחלק למימוש – BSניתן האופציה ערך פנימי לערךערך, – זמן וערך .BSמידי הפנימי הערך פחות

אופציית של הזמן .CALLערך חיובי תמידאופציית של הזמן , PUTערך שלילי חיובי להיות עשוי

. ,( אפס( או הכסף בתוך עמוק האופציה כאשר , ערך מתקצר לפקיעה שהזמן .BSככל הפנימי לערך מתכנס

ערך המימוש , BSבמועד ערך היינו הפנימי לערך שווההינו .0הזמן

Page 41: מודל בלק שולס מרטון

41

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

אופציית מט"חאופציית מט"ח

( ) )2(*1*)( * dNXedNSeXC rttr −− −=

אופציית של בסיס CALLערכה נכס על אירופאיתריבית ):*rהמשלם הדולר ( על היא האופציה כאשר לדוגמא

כאשר:

tddt

trrXSd σ

σσ −=+−+= 12

)5.0*()/ln(1

2

Page 42: מודל בלק שולס מרטון

42

לפרופסור © שמורות הזכויות כלאלדור רפי

על שער הדולר על שער הדולרPUTPUTאופציה אופציה

של יהיה PUTערכה

)1(*)2(*)( * dNSedNXeXP trrt −−−= −−