Показательная функция.Показательная функция.

Решение Решение показательных показательных

уравненийуравнений

Ермолаева Марина Викторовна , учитель математики высшей квалификационной категории

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Черемшанский лицей»

Черемшанского муниципального района Республики Татарстан

2013 год

Цели урока:Цели урока: углубление понимания сущности различных углубление понимания сущности различных

методов решения показательных уравнений для методов решения показательных уравнений для получения новых знаний; получения новых знаний;

установление внутрипредметных связей; установление внутрипредметных связей; воспитание у учащихся культуры мышления; воспитание у учащихся культуры мышления; формирование умений осуществлять самоконтроль формирование умений осуществлять самоконтроль

и взаимоконтроль и взаимоконтроль формирование умений анализировать, формирование умений анализировать,

устанавливать связи и отношения; устанавливать связи и отношения; формирование умений строить логическую цепочку формирование умений строить логическую цепочку

рассуждений; рассуждений; формирование умений проводить обобщение, формирование умений проводить обобщение,

переносить знания в новую ситуацию; переносить знания в новую ситуацию; формирование навыков коллективной и формирование навыков коллективной и

индивидуальной работы; индивидуальной работы;

Функцию видаФункцию вида

называют называют показательной показательной функциейфункцией

1,0, ааау х

Основные свойства

а>1а>1 0<а<10<а<1D(f)=(-∞D(f)=(-∞; +∞); +∞) D(f)=(-∞D(f)=(-∞; +∞); +∞)

Е(Е(f)=(0f)=(0; +∞); +∞) Е(Е(f)=(0f)=(0; +∞); +∞)

ВозрастаетВозрастает УбываетУбывает

Непрерывна Непрерывна Непрерывна Непрерывна

Ограничена снизуОграничена снизу Ограничена снизуОграничена снизу

Выпукла внизВыпукла вниз Выпукла внизВыпукла вниз

ДифференцируемаДифференцируема ДифференцируемаДифференцируема

а>1а>1 0<а<10<а<1

Какие из перечисленных ниже функций являются показательными

1) y = 21) y = 2xx; ;

2) 2) y = xy = x2 2 ; ;

3) 3) y =(-3)y =(-3)xx; ;

4) 4) y =(y =(22 ))xx; ;

5)5) y y == x; x;

6) 6) y =(x - 2)y =(x - 2)33; ;

7) 7) y =y = x;x;

8) 8) y = 3y = 3-x-x..

Какие из перечисленных показательных функций являются возрастающими:

1)1)y = 5y = 5xx; ;

2)2) y = (0,5) y = (0,5)xx; ;

3)3) y =( y =( 2 2 ))xx; ;

4)4) y = 10 y = 10xx; ;

5)5) y = y = xx; ;

6)6) y= ( y= (⅔⅔))xx;; 7)7) y =(14 cos y =(14 cos(( /3) /3)))-x-x..

На каком из рисунков изображен график функции:

1) у= , 1) у= , 2) у=32) у=3хх, ,

А Б В

Г Д Е

1

1

1

1

х

у

х

у

х

у

х

у

х

у

х

у

0 00

00

0

На рисунке изображены графики показательных функций. Соотнесите график функции с формулой.

1) 2)

3) 4)

12у х

1х2у

12у х

12 ху

Назовите функцию, возрастающую (убывающую) на множестве действительных чисел. Соотнесите

график с соответствующей формулой.

а)

б)

х)3(у х)3,0(у

Укажите множество значений функции.

а) (5;

);5)(а );0)(б );)(в );7)(г

Проверь себяПроверь себя

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

у=(1/2)х

у=3*х+10

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

у=3х

у=2х+5

Проверим правильность построения графиков

0

1

х

у

-1

у = 0,5у = 0,5хх-1-1

0 х

у

1

4

у = 3у = 3х-4х-4

Показательные уравненияПоказательные уравненияУравнения вида Уравнения вида aa ff (x) (x) = a= a gg (x(x)) (где а >0, (где а >0,

а ≠ 1) и уравнения, сводящиеся к этому виду а ≠ 1) и уравнения, сводящиеся к этому виду называются называются показательнымипоказательными..

Простейшие показательные уравнения: a = bb ( (aa == 1) 1)..

Уравнения вида Уравнения вида

aa = = aa . .Функционально – Функционально –

графический графический

Уравнения Уравнения приводимые к приводимые к квадратным.квадратным.

Способы решения показательных

уравнений

ff (x)(x)

ff (x)(x)ff (x)(x)

g(x)g(x)

11. . Простейшие Простейшие показательные уравненияпоказательные уравнения

54

logx :Ответ

.54

logxРешение

5x41.

уравнения Решить

11x :Ответ.11x10,1x,1021x2Решение

10241-x23.

корней нет :Ответ

0x2к.т.корней, нетРешение

-3x22.

11x :Ответ

.11x10,1x,1021x2Решение

10241-x2

корней нет :Ответ0x2к.т.корней, нетРешение

-3x2

Решите уравнения ( устно):

5 х =25х=27 х-2 =49х=44 х =1х = 05,7 х-3 = 1х = 3

2 2 х =64х = 53 9 х =81 х = 1,55 х =7 х

х = 03,4 х+2 =4,3 х+2

х = -2

2. Метод приведения к одному основанию

220,50,5xx == 3 30,5x0,5x

330,5x 0,5x > 0> 0

(2/3)(2/3) 0,5x0,5x = 1= 1

0,5х = 00,5х = 0

х = 0х = 0Ответ: 0Ответ: 0

44х+1х+1 + 4 + 4хх = 320 = 320

44хх . . 4 + 44 + 4хх = 320 = 320

44хх(4 + 1) = 320(4 + 1) = 320

44х х = 64= 64

44х х = 4= 433

х = 3х = 3

Ответ: 3.Ответ: 3.

a f (x) = a g (x)

2. Метод приведения к одному основанию

12

x 7,1

x :Ответ

12

862

x

72

861

x

2836D076x2x

292,56x2x

29

22,56x2x2

922,56x2x2

9232222264222128222562512Решение

5122,56x2x2

уравнение Решить

64

Уравнения приводимые к квадратным

9 – 263 – 27 = 0,

(3х) – 26 3 – 27 = 0,

Пусть 3 = t, t> 0, тогда:

t – 26 t– 27 = 0,

а + с = b

t1 = - 1 не имеет смысла, т.к. t> 0.

t2= 27 Переходим к переменной х:

3 = 27,

3 = 3 ,

х = 3.

Ответ: 3

х х

х2

х

2

х

х 3

4sinx+21+sinx-8=0

22sinx+2∙2sinx-8=0, 2sinx =t, t>0.

t²+2t-8=0, t1=-4, t2=2.

t1=-4 не удовлетворяет условию t>0.

Вернемся к переменной х, получаем 2sinx =2, sinx=1, х= .

Ответ: .

n2

2

n2

2

3. Способ подстановки

0x:Ответ0.x,05x5 1;x5Итак,

подходит).е (н31

2t1,

1tОтсюда

.012t2t3т.е.,51t

522t

53

тогда0,tx5Обозначим

0,25x52

52)x(53

:иначеуравнение ПерепишемРешение.

0,21x5212x53уравнение Решить

4. Метод почленного деления

12

x1,1

x:Ответ

1.2

x1,1

xчтоНаходим,

.32x

23и

23x

23уравнениядваПолучаем

.32

2t,

23

1t0613t2t6

Имеем0.tx

23Обозначим

0.2x

236

x

23136т.е.,0x4

x96x4x613-6

получаем0,x42x 2на уравнения частиобе Разделим0.2x36x3x2132x26

вид имеет Уравнение Решение.

0x96x613x46уравнение Решить

5. Способ группировки

1x:1x

x

254

254

x25

x4254

x45x2554

x452x554

01)(4x4)15(12x50x41x412x52x5

12x5x41x42x5

Ответ

Решение

уравнение Решить

(3х²-81)∙√1-х=0

Решение:Произведение двух выражений равно нулю, если хотя

бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла.

1) 3х²-81=0, 3х²=34, х²=4, х=2 или х=-2.При х=2 подкоренное выражение отрицательно, значит, число 2 не является корнем исходного уравнения.

2) √1-х=0 при х=1.Это число является корнем исходного уравнения, так как выражение 3х²-81имеет смысл при любом х.

Ответ: -2; 1.

Решение уравнения Решение уравнения ху 16

?316 х

У = 3

ху 16

X

Y

1

Методы решенияпоказательных уравнений

1. Простейшие показательные уравнения.2. Метод приведения к одному основанию.3. Способ подстановки.4. Метод почленного деления.5. Способ группировки.

Цели урока:Цели урока: углубление понимания сущности различных углубление понимания сущности различных

методов решения показательных уравнений для методов решения показательных уравнений для получения новых знаний; получения новых знаний;

установление внутрипредметных связей; установление внутрипредметных связей; воспитание у учащихся культуры мышления; воспитание у учащихся культуры мышления; формирование умений осуществлять самоконтроль формирование умений осуществлять самоконтроль

и взаимоконтроль и взаимоконтроль формирование умений анализировать, формирование умений анализировать,

устанавливать связи и отношения; устанавливать связи и отношения; формирование умений строить логическую цепочку формирование умений строить логическую цепочку

рассуждений; рассуждений; формирование умений проводить обобщение, формирование умений проводить обобщение,

переносить знания в новую ситуацию; переносить знания в новую ситуацию; формирование навыков коллективной и формирование навыков коллективной и

индивидуальной работы; индивидуальной работы;