第十一章 滤波器设计

11.1 引言

滤波器的设计是为了实现对输入信号的频率选择性。

在实际应用中，我们往往需要限制输入信号的带宽，或者对输入信号的某些频率成分感兴趣，或者希望降低输入信号中的噪声功率。

因此我们需要针对各种应用设计不同频率选择特性的滤波器。

滤波器的分类

模拟滤波器有限冲激响应滤波器无限冲激响应滤波器

数字滤波器滤波器 FIR

IIR

模拟滤波器 h(t) 是连续信号，依托模拟电路（电感、电容、电阻等）来实现。

数字滤波器 h(n) 是离散信号，可以用数字电路来实现，也可以用软件来实现。

就目前的应用情况而言，一般情况下，输入信号首先要经过采样（ A/D ）变成数字信号，在后面的处理中几乎全是数字信号的处理和传输，仅在最后的输出端才用（ D/A ）变成模拟信号，因而，模拟滤波器的应用领域越来越小，其应用大多局限在射频部分，其理论也十分复杂，故我们不做详细介绍

数字滤波器应用越来越广，其未来的方向是软件无线电，软件无线电需要高性能的主机和相应的硬件设备支撑。目前计算机的性能还不能满足要求。

所谓无限冲激响应 IIR 滤波器，是指 h(n) 是无限长的序列。

所谓有限冲激响应 FIR 滤波器，是指 h(n) 是有限长的序列。

显然， FIR 滤波器是应用需求的重点， IIR 滤波器实现起来相对困难。

11.2 模拟滤波器简介

1 、概述

模拟滤波器的设计主要包括两块内容：

首先要构造相应的付里叶频谱 )(wH

然后获得拉氏频谱 )(sH 并构造模拟电路。

注：之所以要获得 )(sH ，是因为可以从 )(sH

出发构造硬件模拟电路的理论十分成熟。

模拟滤波器的核心是设计低通滤波器，由低通滤

波器可以经过变量替换获得高通或带通滤波器。

经典的低通滤波器模板有：

巴特沃斯低通滤波器

切比雪夫低通滤波器

2 、巴特沃斯滤波器巴特沃斯低通滤波器：

2

2

2)

/1

1()(

Ncww

wH

其中cw被称为截止频率。

因为 2/1)(2cwH ，而 db3)2/1log(10 所以，cw

被称为-3db截止频率，意味着该频率点上，滤波器的通

过系数为最大通过系数的1/2。

0 w 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

N=2

N=3

N=4

wc

通带 阻带 过渡带

巴特沃斯低通滤波器的幅度谱

可以看出：

1 ）随着阶数 N 的增加，巴特滤波器的阻带变窄、通带变平坦。性能改善。

2 ）不管阶数如何变，截止频率不变。

在设计巴特滤波器时，可以首先确定系统的低通截止频率，以及通带内允许起伏指标、阻带截止指标。

然后根据上述指标确定滤波器阶数 再查表确定滤波器的 H(s) 根据 H(s) 构造硬件模拟电路即可。

3 、切比雪夫滤波器切 比 雪 夫 低 通 滤 波 器 ：

2

22

2)

/1

1()(

cN wwTwH

其 中 cw 被 称 为 截 止 频 率 。

1)](arccoscosh[

1)]arccos(cos[)(

xxhN

xxNxT N

0N ， 1)( xT N

1N ， xxT N )(

2N ， 12)( 2 xxT N

0 w 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2

3

4

wc

通带 过渡带 阻带

切比雪夫滤波器的幅度谱

可以看出：

1 ）随着阶数 N 的增加，切比滤波器的阻带变窄、通带波纹变密。性能改善。

2 ）不管阶数如何变，截止频率不变。

在设计切比雪夫滤波器时，可以首先确定系统的低通截止频率，以及通带内允许起伏指标、阻带截止指标。

然后根据上述指标确定滤波器阶数和决定通带内波纹的。

再查表确定滤波器的 H(s) 根据 H(s) 构造硬件模拟电路即可。

4 、低通变高通

对低通滤波器 )(sH做一个变换：

令 )/()( swHsH rg ，

所得的 )(sHg 即为高通滤波器。

rw为高通的截止频率

5 、低通变带通

对低通滤波器 )(sH 做一个变换：

构造 )(sHl 使： ])(

[)(12

20

2

wws

wsHsHl

，

其中 210 www

21 ~ ww 构成了通带

所得的 )(sHl 即为带通滤波器。

6 、低通变带阻

对低通滤波器 )(sH 做一个变换：

构造 )(sH k 使： ])(

[)(20

212

ws

wwsHsH k

，

其中 210 www

21 ~ ww 构成了阻带

所得的 )(sH k 即为带阻滤波器。

11.3 无限冲激响应数字滤波器

冲激不变法：第一步，设计模拟滤波器 H(s)第二步，根据拉氏反变换求冲激响应 h(t)第三步，对 h(t) 采样得 h(n)

双线性变换法略

11.4 有限冲激响应数字滤波器

1 、概述 与 IIR 无限冲激滤波器相比， FIR 有限冲

激响应的最大优点是具有良好的线性相位特性。

而 IIR 的优点是良好的幅度特性。 FIR 有限冲激响应的设计方法包括： 1 ）窗函数法 2 ）频率采样法

2 、线性相位 线性相位是保证信号无失真传输的重要条件。

所谓线性相位是指 h(n) 的相位谱满足： (w)=-w， 其中为常数。下面对线性相移的概念做一个举例说明

假 设 某 信 号 )300cos(4)200cos(3)100cos(2)( ttttf

如 果 某 滤 波 器 )( th 能 将 )( tf 所 有 的 频 率 成 分 通 过 ，

但 因 为 通 过 一 个 系 统 ， 故 会 引 入 一 个 延 迟 。

即 通 过 系 统 )( th 之 后 ， )( tf 的 响 应 为 )( Ttf 。

这 样 的 系 统 仅 引 入 了 延 迟 ， 但 没 有 引 入 失 真 。

)](300cos[4)](200cos[3)](100cos[2

)()(1

TtTtTt

Ttftf

对频率100，相位延迟为 T100

对频率200，相位延迟为 T200

对频率300，相位延迟为 T300

根据上述特点，显然满足线性相位 wT

而 假 设 ：

对 频 率 100 ， 相 位 延 迟 为 T150 ；

对 频 率 200 ， 相 位 延 迟 为 T100 ；

对 频 率 300 ， 相 位 延 迟 为 T200 ；

则 输 出 信 号 为 ： )200300cos(4)100200cos(3)150100cos(2)(2 TtTtTttf

显 然 不 满 足 线 性 相 位 条 件 ， 从 下 图 可 以 看 出 ， 这 将 引 入 失 真

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

f(t)

f1(t)f2(t)

f(t) 为原信号

f1(t) 为线性相位系统的输出信号，仅对 f(t) 有一定的延迟，波形完全一样。

f2(t) 为非线性相位系统的输出信号， f2(t) 引入了失真，波形与 f(t)不同

线 性 相 位 的 条 件 ：

对 )( nh 来 说 ， 相 位 谱

}cos)(

sin)({)( 1

0

1

0

N

n

N

n

nwnh

nwnharctgw

令 ww )( 则 要 求 ：

10)1()( NnnNhnh ， 此 时 ， 2/)1( N

以下的 h(n) 能保证线性相位吗？

0 1 2 3 4 5 6

N=7

0 1 2 3 4 5

N=6

h(n) h(n)

n n

上面的情况相当与对具有线性相位的 h(n) 做时域平移：

h’(n)=h(n-K) 根据离散付里叶变换的性质 H’(w)=H(w)ejwK h’(n) 的相位谱：’ (w)= (w)+Kw ’(w)=(-+K)w 显然 h’(n) 也能保证线性相位

结论：对 h(n) 而言，所谓偶对称是指相对位置上的幅度值相等，而与绝对位置无关。

假设系统 h(n) 对输入 x(n) 的输出为 y(n) 。

则系统 h’(n)=h(n-K) 对 x(n) 的输出为y(n-K)

即系统 h’(n) 的输出比系统 h(n) 的输出仅在时间上有 K的延迟，而输出波形完全一样。

h(n)

h(n-K)

K

n n

n n

x(n) y(n)

x(n) y(n-K)

也就是说对类似下图的两类比 h(n) ，可以保证线性相位，这两种对称方式统称为偶对称

0 1 2 3 4 5 6

N=7

0 1 2 3 4 5

N=6

h(n) h(n)

n n

3 、窗函数法 窗函数是人们经过长期研究后找到的一些函数，

用这些函数去乘 IIR 无限长冲激响应滤波器的h1(n) ，实现窗口截断，达到构造 FIR 有限长冲激响应滤波器 h(n) 的目的。

我们知道，时域乘积等价于频域卷积，所以通常意义上的矩形窗未必是最好的截断窗，人们又研究了其他的性能更好的窗函数，如汉明窗，布莱克曼窗等。

3.1 窗函数法基本原理 从理想特性的滤波器 H() 出发，经过离

散付里叶反变换可以得到 h1(n) 对 h1(n) 再乘一个窗函数w(n) ，可以得到

h(n)=h1(n)w(n) 窗函数w(n) 有两个作用，一个作用是对

频谱的修整，另一个作用是做截断，使无限长序列 h1(n) 变成有限长序列 h(n) ，从而构成 FIR 滤波器。

3.2 理想低通滤波器幅度谱

… …

2-2 - 0

幅度谱

… …

2-2 - 0

wc

理想低通滤波器的 )(1nh 为：

n

nwnh c )sin()(1 ，为无限长序列

- 5 0 - 4 0 - 3 0 - 2 0 - 1 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0- 0 . 0 5

0

0 . 0 5

0 . 1

0 . 1 5

0 . 2

3.3 矩形窗 所谓矩形窗就是： w(n)=1, 0 nN-1 w(n)=0, n 为其他值

为 了 保 证 线 性 相 位 和 滤 波 器 的 因 果 性 ， 即 要 求 ：

1 ） )( nh 为 偶 对 称 ， 我 们 选 N 为 奇 数

2 ） 00)( nnh ，

考 虑 到 我 们 要 用 N 点 的 窗 截 断 )(1 nh ， 同 时 要 保 证 对 称

性 ， 所 以 要 先 将 )(1 nh 右 移 2/)1( N ， 再 用 矩 形 窗 截 断 。

于 是 经 过 矩 形 窗 截 断 的 低 通 滤 波 器 为 ：

102/)1(

]}2/)1([sin{)(]2/)1([1)(

NnNn

NnwnwNnhnh c

为 有 限 长 序 列 ，

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0 .05

0

0 .05

0 .1

0 .15

0 .2

显然这样的 h(n) 是偶对称的，满足线性相位的要求

当然对上面的 h(n) 做移位，也是满足线性相位要求的，但不一定能满足因果性的要求，此例中我们选用的点数N 为奇数

经矩形窗截断后的 h(n)频谱

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0

0.5

1

1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -400

-200

0

200

400

幅度谱

相位谱

N 选用偶数也是可以的，下图是偶数点的 h(n)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

对应的频谱

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0

0.5

1

1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -400

-200

0

200

400

幅度谱

相位谱

3.4 汉明窗汉 明 窗 函 数 如 下 ：

10)1

2cos(46.054.0)(

Nn

N

nnw

同 矩 形 窗 截 断 的 情 形 类 似 ， 经 过 汉 明 窗 截 断 后

10)()2

1(1)(

Nnnw

Nnhnh

10)]1

2cos(46.054.0[

)2

1(

)]2

1(sin[

Nn

N

nN

n

Nnw c

经过汉明窗截断的h(n)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

经过汉明窗截断的 h(n)的频谱

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0

0.5

1

1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -400

-200

0

200

400

幅度谱

相位谱

3.5 布莱克曼窗布 莱 克 曼 窗 函 数 如 下 ：

10)1

4cos(08.0)

1

2cos(5.042.0)(

Nn

N

n

N

nnw

同 矩 形 窗 截 断 的 情 形 类 似 ， 经 过 布 莱 克 曼 窗 截 断 后

10)()2

1(1)(

Nnnw

Nnhnh

10)]1

4cos(08.0)

1

2cos(5.042.0[

)2

1(

)]2

1(sin[

Nn

N

n

N

nN

n

Nnw c

经过布莱克曼窗截断的h(n)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

经过布莱克曼窗截断的 h(n)的频谱

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0

0.2

0.4

0.6

0.8 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -400

-200

0

200

400

幅度谱

相位谱

需要说明的是，对任何窗函数， h(n) 的点数 N均即可为偶数也可为奇数。

从频谱图上看，矩形窗的性能不如汉明窗及布莱克曼窗。

3.6 其他类型的 FIR 设计 我们仅介绍了低通滤波器的设计方法，

对其他类型，如高通、带通等，可以采用相同的设计步骤：即首先在频域内设计滤波器的频谱，然后，根据该频谱获得时域 h1(n) ， h1(n) 经移位后，再用窗函数截断，得最终的 h(n) 。

其他的窗函数还有很多，需要用时可以在参考书上查到

4 、频率采样法 频率采样法的基本思路是： 根据需要的滤波器频谱，每隔一个频率间隔采一次样，在一个周期内，可得 H(k) ， k=0， 1 ， 2 ，… N-1 。

然后对 H(k) 做逆 DFT即可得到 h(n) 。 这里需要注意的是：在设计滤波器频谱时一定要注意相位谱的设计。

如 采 样 点 数 为 奇 数 ， 相 位 谱 为 两 段 直 线 ( 保 证 线 性

相 位 ) ， 斜 率 均 为 - ( N - 1 ) / 2 ， 零 点 分 别 为 n = 0 ， 和 n = N 。

前 一 段 直 线 的 起 止 点 为 0 ~ （ N - 1 ） / 2 ， 后 一 段 直 线 的 起

止 点 为 （ N - 1 ） / 2 ~ N - 1 。 这 样 可 以 保 证 h ( n ) 为 实 数

采 样 间 隔 为 2 / N

H ( k ) 为 复 数 ， 即 ： )(|)(|)( kjekHkH

如 采 样 点 为 偶 数 ， 相 位 谱 为 两 段 直 线 ( 保 证 线 性 相 位 ) ，

斜 率 为 - ( N - 1 ) / 2 ， 零 点 分 别 为 n = 0 ， 和 n = N 。 前 半 段 直 线 的

起 止 点 为 0 ~ N / 2 - 1 ， 后 一 段 直 线 的 起 止 点 为 N / 2 + 1 ~ N - 1 。 要

求 N / 2 点 处 的 幅 度 值 必 须 为 0 ， 即 H ( N / 2 ) = 0 ， N / 2 点 的 相 位

可 取 0 ， 这 样 可 以 保 证 h ( n ) 为 实 数 。

采 样 间 隔 为 2 / N ， H ( k ) 为 复 数 ， 即 ： )(|)(|)( kjekHkH

4.1 不加过渡点的情况

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

幅度谱采样

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -100

-50

0

50

100

相位谱采样

采样点 N=64

经过逆FFT可得h(n)

0 10 20 30 40 50 60-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

h(n)

对应 h(n)的频谱：

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0

0.5

1

1.5 h(n)的幅度谱

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -200

-100

0

100

200

h(n)的相位谱

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

幅度谱采样

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -100

-50

0

50

100 相位谱采样

采样点为 65

0 10 20 30 40 50 60-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

h(n)

经过 IDFT 得到的 h(n)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0

0.5

1

1.5 h(n)对应的幅度谱

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -200

-100

0

100

200 h(n)对应的相位谱

奇数点采样的频谱

4.2 加过渡点的情况 在具体实施过程中，应添加过渡点以改善滤波器的性能

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0

0.2

0.4

0.6

0.8 1

幅度谱采样

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -100

-50

0

50

100

相位谱采样

加 过 渡 点 后 得 到 的 h (n )

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0

0

0 .0 5

0 .1

0 .1 5

0 .2 h (n )

加过渡点后得到的 h(n)对应的频谱

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0

0.5

1

1.5 h(n)的幅度谱

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -200

-100

0

100

200 h(n)的相位谱

可见通过添加过渡点，可以改善滤波器的性能。

5 、滤波器的应用实例 以下是有关图象和音频的滤波器处理的

实例，涉及： 图象经过低通滤波、图象经过高通滤波、图象的边沿提取

音频的低通滤波、音频的高通滤波

5.1 低通滤波器用于图象处理

0 5 10 15 20 25 30

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

h(n)

用于行和列滤波的低通滤波器 h(n)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0

0.5

1

1.5 h(n)的幅度谱

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -100

-50

0

50

100 h(n)的相位谱 ×

×

h(n) 的频谱

原图象

5

0

10

0

15

0

20

0

25

0

30

0

35

0

5

0 10

0 15

0 20

0 25

0 30

0 35

0 40

0 45

0 50

0 55

0

低通后的图象

5

0

10

0

15

0

20

0

25

0

30

0

35

0

5

0 10

0 15

0 20

0 25

0 30

0 35

0 40

0 45

0 50

0 55

0

5.2 高通滤波器用于图象处理

0 5 10 15 20 25 30

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

h(n)

用于行和列滤波的高通滤波器 h(n)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0

0.5

1

1.5 h(n)的幅度谱

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -100

-50

0

50

100 h(n)的相位谱

×

×

h(n) 的频谱

原图象

5

0

10

0

15

0

20

0

25

0

30

0

35

0

5

0 10

0 15

0 20

0 25

0 30

0 35

0 40

0 45

0 50

0 55

0

高通后的图象

50 10

0

15

0

20

0

25

0

30

0

35

0

50

10

0 15

0 20

0 25

0 30

0 35

0 40

0 45

0 50

0 55

0

5.3 图象边沿提取举例 对一幅图象 IM(m,n) 用 h(m)=[-1/2,1,-1/2]对 IM(m,n) 做行滤波得 IM_L(m,n)；

再用 h(n)=[-1/2,1,-1/2]对 IM(m,n) 做列滤波得IM_C(m,n)；

对点m,n ，如果 IM_L(m,n)> 或 IM_C(m,n) > ，则令 IM_R(m,n)=255；否则令 IM_R(m,n)=0 ；

为门限

原图象

5

0

10

0

15

0

20

0

25

0

30

0

35

0

5

0 10

0 15

0 20

0 25

0 30

0 35

0 40

0 45

0 50

0 55

0

边沿提取

50 100 150 200 250 300 350 400

100

200

300

400

500

600

h(n)=[-1/2，1，1/2]的频谱如下：

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0

0.5

1

1.5

2 h(n)的幅度谱

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -5

0

5 h(n)的相位谱

5.4 低通滤波器用于语音处理低通滤波器的冲激响应：h(n)

0 5 10 15-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6h(n)

低通滤波器冲激响应 h(n)的频谱

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0

0.5

1

1.5 幅度谱

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -40

-20

0

20

40 相位谱

5.5 高通滤波器用于语音处理高通滤波器的冲激响应：h(n)

0 2 4 6 8 10 12 14 16-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

高通滤波器冲激响应 h(n)的频谱

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0

0.5

1

1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -40

-20

0

20

40

幅度谱

相位谱

11.5 总结

在这一章，我们首先简单介绍了模拟滤波器的设计方法，其基本思路是，先构建模拟滤波器的频谱，再求解其拉氏变换，然后根据拉氏变换构建硬件电路。模拟滤波器以低通滤波器为原型，可以经过变量替换的方法获得高通和带通及带阻滤波器。基本的低通滤波器原型我们介绍了巴特沃斯型低通滤波器和切比雪夫型低通滤波器

我们还介绍了数字滤波器的设计方法，其中简单介绍了无限冲激响应数字滤波器设计的冲激不变法。

我们重点介绍了有限冲激响应的数字滤波器设计方法。其中包括窗函数法和频率采样法。

窗函数法的核心是截断窗的选择，其基本思路是通过希望得到的滤波器频谱 H() ，对 H()做离散时间付里叶反变换 IDTFT 得时域冲激响应 h(n) ，此时的 h(n) 是无限冲激相应，然后对 h(n) 采用某种窗函数截断。

我们介绍了三种窗函数，包括矩形窗、汉明窗以及布莱克曼窗，后两种窗的性能优于矩形窗。

频率采样法的基本思路是，首先在频域对希望得到的滤波器频谱采样 H(k) ，注意相位谱的约束问题。然后将采样后的频谱经离散付里叶反变换 IDFT 得到 h(n) ，这时的 h(n) 就已经是有限冲激响应了。

我们采用设计出的低通和高通滤波器分别对图象及音频信号做了处理，根据处理的结果可以看出，所谓低通就是使信号变化较小的成分通过，而滤除那些变化较大的成分。而高通正好相反。

另外通过设计特定的滤波器，我们可以从想分析的信号中提取出有用的信息。

可以说：“任何信息处理和分析的过程从本质上讲都是滤波过程。”