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第三章 函数

3.1 函数的概念 函数是一种多对一的二元关系，即该类关系中定

义域的任何元素仅与值域中的某个元素发生关系。[ 函数 ] 为集合 X 到集合 Y 的函数当且仅当：

① 为 X 到 Y 的二元关系 , 记为 ： X Y

② Dom() = X , Ran() Y

③ (x)(y)(y)(xXy,yYxyxy y=y)

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3.1 函数的概念

函数 ： XY 也称为映射。 通常用 (x)=y 表示 xy ( 或 y= (x))

此时 y= (x) 也称 x 为自变量， y 为 x 在下的像， x 为 y 在下的原像。

对函数 ： XY ， AX ，定义 [A]={y|(x)(xAy= (x))} 为 A 在下的像。

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3.1 函数的概念

[ 例 ] 1 = {<x1,x2>|x1,x2N 且 x1+x2<10}

2 = {<y1,y2>|y1,y2R 且 y22=y1}

3 = {<z1,z2>|z1,z2N,z2 为小于 z1 的素数个数 }

上述中， 1， 2 不是函数， 3 是函数。

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3.1 函数的概念

[ 函数相等 ] 设函数 f ： AB, g ： CD 。若 A=C,

B=D, 且对所有 xA, 有 f (x)=g(x) ，则称 f 和 g

相等，记作 f = g 。[ 满射 ] 设函数 f : XY, 称 f 是一个满射 , 若 Ran(f)=Y 。[ 单射 ] 设函数 f : XY ，称 f 是一个入射 ( 或单射 ) ，

若对任意 x1,x2X ，有 x1 x2 f(x1) f(x2) 。[ 双射 ] 设函数 f : XY ，称 f 是一个双射，若 f 既是

满射又是入射。

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3.1 函数的概念

若干常用的函数：常函数、恒等函数、单调函数、严格单调函数、特征函数、自然映射。

[ 常函数 ] 函数 f : XY 称为常函数 (y0)(y0YRan(f)={y0})

[ 恒等函数 ] 函数 Idx ： XY 称为 X 上的一个恒等函数 XY Idx(x) = x

X=Y 时， Idx 记为 Ix

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3.1 函数的概念

[ 单调函数 ] 函数 f : RR (R 为实数 ) 称为 R 上的单调递增函数 (x)(y)(x,yRxy f (x) f (y))

函数 f : RR (R 为实数 ) 称为 R 上的严格单调递增函数 (x)(y)(x,yRx<y f (x) < f (y))

[ 自然映射 ] 设 R 是 X 上的等价关系，令 f ： XX/R

定义为 f (x)=[x]R ，则 f 是函数，称之为从 X 到

X/R 的自然映射。

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[ 定义 ] 设有集合 A 、 B ， BA = { | 为函数且 : A

B } ( 从 A 到 B 的所有函数的集合 )

[ 问题 ] B= {T, F}, BB 包含多少个不同的函数？

3.1 函数的概念

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3.2 逆函数

符合函数定义的关系的逆关系不一定能定义一个逆函数。

[ 定理 ] 设 f ： X Y 是一个双射函数，则其逆关系 f 1 ： Y X 也构成一个双射函数。[ 证明 ] (1) f 1 符合函数的定义； (2) f 1 是满射； (3) f 1 是入射。

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3.2 逆函数

[ 逆函数 ] 设 f ： XY 是一个双射函数，则其逆关系 f 1 ： YX 构成的双射函数称为其逆函数（或反函

数），记为 f 1 。[ 例 ] A={1,2,3}, B={a,b,c}, f ： AB

f = {<1,a>,<2,b>,<3,c>}

f 1 = {<a,1>,<b,2>,<c,3>} 为 f 的逆函数。[ 定理 ] 设 f ： XY 是一个双射函数，则 f 1 f =IB ， f f 1 =IA 。

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3.3 复合函数[ 函数复合 ] 设函数 f : XY, g: WZ, 且 Ran(f)W, 令 g◦ f = {<x,z>|xXzZ(y)(yYy=f(x)z=g(y)}

称 g 在 f 的左边复合。[ 定理 ] 上述 g◦ f 是一个函数。 g ◦ f ： X Z 。

[ 证明 ] 按照函数定义的 3 个要点逐一证明。 (1) g ◦ f 是 X Z 的二元关系 (2) dom(g ◦ f )=X

(3) 设有 xX, z1,z2Z, 且 z1= (g◦ f )(x), z2= (g◦ f )(x)

证明 z1 = z2

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3.3 复合函数

g◦ f 的另外定义：设 g, f 分别如上所述，可定义 g ◦ f = f g ( 关系的复合 )

[ 定理 ] 设 g◦ f 是一个复合函数，则 ① 若 g 和 f 是满射的，则 g ◦ f 也是满射的。 ② 若 g 和 f 是入射的，则 g ◦ f 也是入射的。 ③ 若 g 和 f 是双射的，则 g ◦ f 也是双射的。[ 问题 ] 上述命题的逆是否成立？

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3.3 复合函数

[ 定理 ] 设函数 f ： XY ，则 f = f ◦ Ix = Iy ◦ f 。

[ 定理 ] 设函数 f ： XY 存在逆函数 f 1 ： YX ，

则 f- 1 ◦ f = Ix ， f ◦ f 1 = Iy 。

[ 定理 ] 设双射函数 f ： XY ，则 (f 1)1 = f 。[ 定理 ] 设双射函数 f ： XY ， g ： YZ 则 (g ◦ f )1 = f 1 ◦ g1 。

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3.4 特征函数[ 特征函数 ] 当 AB 时，函数 A: B {0,1} 定义为：

称函数 A: B{0,1} 为集合 A ( 关于 B) 的特征函数。[ 定理 ] 有集合 B ， F ： P (B) {0,1}B

定义为：对 A P (B) ， F(A)= A ，

则 F 是双射函数。[ 证明 ] (1) 是函数； (2) 是入射； (3) 是满射。

1 若 xA

0 若 xA

A(x) =

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3.5 可数集、无穷集的比较[ 等势 ] 两个集合能够建立一一对应，则称两个集合等

势。记作 A ~ B。[ 可数集 ] 与自然数集 N 等势的集合称为（无穷） 可

数集。 可数集，又称可列集，可枚举集，意即集合中的元素

可以列举： a0,a1,a2,…, an,…

[ 例 ] 可数集的例子：所有素数的集合，有理数集，ＮＮ。

实数集Ｒ，无理数集，任何实数区间是不可数集。

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3.6 递归函数

[ 例 ] 阶乘的计算： n! = n (n-1) … 1

用 f(n) 记 n!

则 f(n) = n (n-1)!

一个定义在自然数集上的函数称为递归的，如果它的定义中使用了它本身。

例 f (0) = 1

f (n+1) = (n+1)* f(n)

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3.6 递归函数

[ 例 ] Fibonacci 序列： 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

初始条件： f1 = 1, f2 = 2;

递归关系： fn=fn1+ fn2 , n3

一般地，递归函数定义格式为

f(0) = g -- 递归基

f(n+1) = h(n, f(n)) -- 递归步

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3.6 递归函数

[ 例 ] 汉诺塔（ Tower of Hanoi Puzzle ， Lucas ）。如图，A 柱上从小到大套着 n 个圆盘，利用 B 柱将圆盘搬到 C 柱，要求：每次只能移动一个圆盘；只有处于最顶端的圆盘才能被移动；在操作过程中，不能将较大尺寸的圆盘放在较小尺寸的圆盘上面。

A B C A B C

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3.6 递归函数 归约为三个需要解决的子问题：

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3.6 递归函数

即： 1. 将 A 柱上部的 n1 个圆盘搬到 B 柱； 2. 将 A 柱剩下的最大圆盘移到 C 柱； 3. 将 B 柱的 n1 个圆盘搬到 C 柱。 设完成问题要求需要移动圆盘的次数为 Cn ，则由上述讨论

得到： Cn = Cn1 +1+ Cn1 = 2Cn1 +1

初始条件： C1 = 1 （只有一个圆盘时）可以证明， Cn = 2n1 。当 n = 64 时，C ６４ 1.61019

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3.7 归纳集 inductively defined sets

自然数集 N 的归纳定义：1. 0 是自然数；2. 如果 n 是自然数，那么 n 的后继 n’ 也是自然数 ;

3. 所有的自然数都可以利用规则 1 ， 2 有限次得到。

如果我们用 1 表示 0’ ， 2 表示 1’ ，… ,

则自然数集 N= {0 ， 1 ， 2 ， 3 ，… }

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3.7 归纳集许多集合都是归纳定义的。[ 例 ] 命题公式集合 WFF 的定义。假定存在一个命题

变元的无穷集 P0={p0,p1,…}.

(1) T, F 是命题公式；(2) 任意命题变元 pi 是命题公式；(3) 如果 p, q 是命题公式，则 p, pq, pq 是命题公

式。(4) 所有的命题公式都可以通过有限次利用规则 (1),

(2),(3) 得到。

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3.7 归纳集

[ 例 ] 二叉树集合 BT 的归纳定义：(1) 空树 Nil 是二叉树；(2) 如果 t1, t2 时二叉树，则 Node t1 t2 是以

t1,t2 为左右子树的二叉树。(3) 所有的二叉树都可以利用以上规则得到。

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3.6 归纳集归纳集合上的函数往往是递归函数。[ 例 ] 定义一个命题公式的复杂度为其中包含的

连接词个数： degree (T) = 0 degree (F) = 0

degree (p) = 0 p P0

degree(p) = 1+degree (p) degree(pq) = degree(p) + degree(q) degree(pq) = degree(p) + degree(q)

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3.7 归纳集

[ 例 ] 定义二叉树的结点数 number 和二叉树的高度 height ：

number (Nil) = 0

number(Node t1 t2) = 1+ number(t1) + number(t2)

height(Nil) = 0

height(Node t1 t2) = 1 +

max(height(t1), height(t2))

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3.7 归纳集[结构归纳法 ] 假定归纳集 S 的定义是(1) s0 S;

(2) 如果 t1, t2, …, tmS, 则 R(t1, t2, …, tm)S;(3) S 所有的元素有规则 (1),(2) 生成。那么 S 上的一个性质 (xS) P(x) 的证明可以使

用 S 上的结构归纳法：(1) 归纳基：证明 P(s0) 成立；(2) 归纳步：如果 P(t1), P(t2), …,P( tm ) 成立，则 P(R(t1, t2, …, tm)) 成立。

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3.7 归纳集[ 例 ] 证明对于任意二叉树 t: height(t) number(t)[ 证明 ] ：归纳基： height(Nil) = 0 , number(NIL0 = 0故 height(Nil) number(Nil)归纳步：假设 height(t1) number(t1); height(t2) nubmer(t2)则 height(Node t1 t2) = 1 + max(height(t1),height(t2) 1

+ number(t1) + number(t2) = number(Node t1 t2)

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习题

1. 设有函数 f:A->B, g: B->C . 证明：– 如果 g◦ f 是单射，则 f是单射；– 如果 g◦ f 是满射，则 g是满射。

2. 构造 N 与 NN之间的一一对应。3. 写出 A={a,b,c}的所有子集的特征函数。4. 构造 P(A) 与 {0 ， 1}A之间的一一对应。