МОУ Аннинский лицей

Способы решения системы двух уравнений с двумя неизвестными.

Подготовила учитель математики Вантинская Людмила Валентиновна

2008г.

Решить систему - значит

найти все ее решения, т.е.

пары чисел ( х; у ), при

подстановки которых в оба

уравнения получаются

верные равенства или

установить, что их нет.

Выполните устно.

Задание №1.

Проверьте, что числа х = 40, у = 20 являются решением системы уравнений:

х + у = 60,

х – у = 20.

Задание №2.______________Из пар чисел: (0;3), (3;0), (0;6), (2;2)выберите ту,котораяудовлетворяет

даннойсистеме: 2х + у = 6,4у + х = 24.

Задание №3.

Известно, что пара чисел х=5, у=2 являются решением

системы: х – 3у = n, 3х+ 5у= m.

Найдите n и m.

Задание №4.

Имеет ли решения система уравнений:

х + у = 5,

х + у =-5?

Задание №5.

Имеет ли решения система уравнений:

х + у = 10,

2х + 2у = 20?

Задание №6.Сколько решений имеет система уравнений:

1) 3х – у = 12, 2) 0,5х + 2у = -3,

3х – у = 21; 0,5х + 2у = 3;

3) 2х + у = 4, 4) 23х – 17у = 125,

4х + 2у = 8; 23х + 2у = 254?

Составьте линейное уравнение с двумя неизвестными, чтобы оно

вместе с уравнением

2х – у = 5

образовала систему:1) не имеющую решений;

2) имеющую бесконечно много решений;

3) имеющую единственное решение.

Какие возможны случаи решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными?

Рассмотрим способы решений системы уравнений

Способырешений

Способ подстановки

Способсложения

Способ графический

СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ

Он заключается в следующем: 1) из одного уравнения системы (все равно из какого) выразить одно неизвестное через другое, например у через

х; 2) полученное выражение подставить в другое уравнение системы, получится одно уравнение с одним неизвестным х;

3) решив это уравнение, найти значение х; 4) подставив найденное значение х в выражение

для у, найти значение у.

Например, решить систему уравнений 2х – у = 3, 3х + 2у = 8;способом подстановки. 1) из первого уравнения 2х – у = 3,

у = 2х -3.

● 2) подставляем у =2х – 3 во второе уравнение системы:

3х + 2 (2х – 3) = 8.

● 3) решаем это уравнение:

7х = 14,

х = 2.

● 4) подставляя х = 2 в равенство у =2х – 3,

находим: у = 1.

Ответ: х = 2, у = 1

Решить систему уравнений способом подстановки

х – у = 2,

3х – 2у = 8;

● 2х + у = 2,

6х – 2у = 1;

● х + 6у = 4,

2х – 3у = 3.

СПОСОБ алгебраического СЛОЖЕНИЯ

1) уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных;

2) складывая или вычитая полученные уравнения, найти одно неизвестное;

3) подставляя найденное значение в одно из уравнений исходной системы, найти второе неизвестное.

Например, решим систему уравнений способом алгебраического сложения

4х – 3у =14, х + 2у = - 2.1) Оставляя первое уравнение без изменений, умножим

второе уравнение на 4: 4х – 3у = 14, 4х + 8у = -8.2) Вычитая из второго уравнения системы первое уравнение,

находим 11у = -22, отсюда у = -2.3) Подставляя у = - 2 во второе уравнение системы, находим х = 2. Ответ: х = 2, у = - 2.

Решите систему уравнений способом алгебраическогосложения.

4х – у = 12, 2х + 2у = 10,

3х + у = 2; 3х – 4у = 1;

2х – 6у =12, 0,5 х + 2у = 22,

16х + 3у = - 6; 0,5у + 2х = 13.

Графический способ решения систем уравнений.

Построить графики каждого из уравнений системы;

Найти координаты точки пересечения построенных прямых ( если они есть ).

Например, решить систему уравнений 2х - у =3, 5х - 5 у = 10; графическим способом. Выразим из каждого

уравнения системы у через х, получим: у = 2х – 3, у = х – 2.

● Построить графики каждого из уравнений системы.

● Найти координаты точки пересечения построенных прямых.

А(1; -1)

Ответ: х=1, у=-1.

●Решить систему уравнений графическим способом.

4х + 2у = 6, у – 2х = 5. ●Докажите, что данная система

уравнений не имеет решений, графическим способом.

2х + у = 5, 2х + у = о .

На плоскости возможны три случая взаимного расположения двух прямых.

Прямые пересекаются, т.е. они имеют одну общую точку.

Тогда система уравнений имеет единственное решение.

Прямые параллельны, т.е. не имеют общих точек,

Тогда система уравнений не имеет решений.

Прямые совпадают.

Тогда система уравнений

имеет

бесконечно

много решений.

Решить систему уравнений разными способами.

2х + у = 1, 1,5 х – 2у = 5.Решите системы уравнений более

удобным способом

у = 3х, 7х – 4у = 20, у = 0,5 +1, 2х + у =10; -7х +8у = -16; у = 2.

Выберите правильный ответ.1. Сколько решений имеет система уравнений: 123,7х + 9,87у = 3586,7 , 123,7х + 9,87у = 23?А) одно решение; Б) бесконечно много; В) не имеет решений.2. Какая пара чисел является решением системы уравнений: х + 2у = 5, 2х+ у = 4?А)(1;2), Б) (2;1), В) (4;5), Г) (5;4).3.Как расположены две прямые на плоскости – графики уравнений

системы, если система уравнений не имеет решений?А) пересекаются; Б) совпадают; В) параллельны.4. Сколько корней имеет система уравнений: 2х – у = 5, 3х – 1,5у = 7,5?А) одно решение; Б) множество решений; В) не имеет решений.5. Чему равно значение х, которое является корнем уравнения 3х+0,5у=7

при у = 2?А) 3; Б) 0,5; В) 2; Г) 1.

Проверь свои ответы!

№ 1 № 2 № 3 № 4 № 5

В А В Б В

Ответьте на вопросы

Что значит решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными?

Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя неизвестными?

Какими способами можно решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными?

Может ли система двух линейных уравнений с двумя неизвестными иметь два решения?

В чем заключается графический способ решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными?

Графики уравнений системы – параллельные прямые.

Сколько

решений имеет такая система уравнений?

Если прямые не пересекаются, то решений нет.

Графики уравнений системы -пересекающиеся прямые.

Сколько решений имеет такая система уравнений?

Если две прямые пересекаются в одной точке, то они имеют одно решение.

Графики уравнений системы совпадают.

Сколько решений

имеет такая система уравнений?

Если графики уравнений совпадают, то система уравнений имеет бесконечно много решение.

Решение задач с помощью систем уравнений.

Обычно задачу с помощью системы уравнений решают по следующей схеме:

1. Вводят обозначения неизвестных и составляют систему уравнений;

2. Решают систему уравнений;

3. Возвращаясь к условию задач и использованным обозначениям, записывают ответ.

Найдите 2 числа, если

сумма этих чисел равна 15, разность 1.

Пусть х - первое число, а у- второе.По условию задачи имеем:

х + у = 15, х – у = 1; Сложим эти уравнения. 2х = 16, х = 8, Подставим х=8 в первое уравнение системы,

найдем у, у = 7.

Ответ: 7 и 8.

Найдите два числа, если:

Сумма этих чисел равна 20, а их разность 10.