Методы решения Методы решения тригонометрических тригонометрических

уравненийуравнений

урок ndash семинарурок ndash семинар

Цели урока1Рассмотреть некоторые методы решения тригонометрических уравнений2Научиться находить и использовать наиболее рациональные способы решения для данного уравнения

Евклид (иначе Эвклид) ndash Евклид (иначе Эвклид) ndash древнегреческий математик древнегреческий математик автор первого из дошедших автор первого из дошедших до нас теоретических до нас теоретических трактатов по математике трактатов по математике Биографические сведения об Биографические сведения об Евклиде крайне скудны Евклиде крайне скудны Известно лишь что Известно лишь что учителями Евклида в Афинах учителями Евклида в Афинах были ученики Платона а в были ученики Платона а в правление Птолемея правление Птолемея II (306- (306-283 до нэ) он преподавал в 283 до нэ) он преподавал в Александрийской академии Александрийской академии Евклид ndash первый математик Евклид ndash первый математик александрийской школыалександрийской школы

Главная работа Евклида ndash Начала (лат Главная работа Евклида ndash Начала (лат ElementaElementa) ndash содержит изложение ) ndash содержит изложение планиметрии стереометрии и ряда вопросов планиметрии стереометрии и ряда вопросов теории чисел (например алгоритм Евклида) теории чисел (например алгоритм Евклида) состоит из 13-ти книг к которым состоит из 13-ти книг к которым присоединяют две книги о пяти правильных присоединяют две книги о пяти правильных многогранниках иногда приписываемых многогранниках иногда приписываемых Гипсиклу Александрийскому В Началах он Гипсиклу Александрийскому В Началах он подвёл итог предшествующему развитию подвёл итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики На дальнейшего развития математики На протяжении более двух тысячелетий протяжении более двух тысячелетий евклидовы Начала оставались основным евклидовы Начала оставались основным трудом по элементарной математикетрудом по элементарной математике

laquoМетодlaquoМетод разложение на разложение на множителиraquoмножителиraquo Слово laquoтригонометрияraquo впервые встречается Слово laquoтригонометрияraquo впервые встречается

(1505г) в заглавии книги немецкого теолога и (1505г) в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса Происхождение этого математика Питискуса Происхождение этого слова греческое от слов laquoтреугольникraquo и laquoмераraquo слова греческое от слов laquoтреугольникraquo и laquoмераraquo Те тригонометрия ndash наука об измерении Те тригонометрия ndash наука об измерении треугольников Хотя название возникло треугольников Хотя название возникло сравнительно недавно многие относимые сейчас сравнительно недавно многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны к тригонометрии понятия и факты были известны уже две тысячи лет назадуже две тысячи лет назад

Длительную историю имеет понятие laquoсинусаraquo Длительную историю имеет понятие laquoсинусаraquo Фактически различные отношения отрезков Фактически различные отношения отрезков треугольника к окружности (а по существу и треугольника к окружности (а по существу и тригонометрические функции) встречаются уже в тригонометрические функции) встречаются уже в IIIIII в до нэ в работах великих математиков в до нэ в работах великих математиков Древней Греции ndash Евклида Архимеда Аполлония Древней Греции ndash Евклида Архимеда Аполлония В римский период эти отношения уже достаточно В римский период эти отношения уже достаточно систематично исследовались Менелаем (систематично исследовались Менелаем (I I внэ) внэ) хотя и не приобрели специального названияхотя и не приобрели специального названия

В последующий период математика В последующий период математика долгое время наиболее активно развивалась долгое время наиболее активно развивалась индийскими и арабскими учеными В индийскими и арабскими учеными В IVIV--V V вв вв появился уже специальный термин появился уже специальный термин I I в laquoард-в laquoард-ходживаraquo (ардх ndash половина джива ndash тетива ходживаraquo (ардх ndash половина джива ndash тетива лука которую напоминает хорда) Позднее лука которую напоминает хорда) Позднее привилось более краткое название laquoдживаraquoпривилось более краткое название laquoдживаraquo

Слово косинус намного моложе Косинус Слово косинус намного моложе Косинус ndash это сокращение латинского выражения ndash это сокращение латинского выражения complementy sinuscomplementy sinus те laquoдополнительный те laquoдополнительный синусraquo (или laquoсинус дополнительной дугиraquo синусraquo (или laquoсинус дополнительной дугиraquo вспомните вспомните cos α cos α = = sin sin (90deg - α))(90deg - α))

11

sinsup2x ndash sin x = 0sinsup2x ndash sin x = 0

sin x (sin x ndash 1) = 0sin x (sin x ndash 1) = 0

sin x = 0 sin x = 0 или или sin x ndash 1 = 0 sin x ndash 1 = 0

x =x =ππnn n є Z n є Z sin x = 1 sin x = 1

x =x =ππ22+2+2ππkk kk є Z є Z

ОтветОтветππ2+22+2ππkk где где nn kk є є ZZ

22radicradic2 2 cos x + cos x + ((|sin x ndash 1| |sin x ndash 1| ((sin x ndash 1sin x ndash 1)) )) timestimes sin 2x = 0sin 2x = 0sin x ndash 1 ne 0sin x ndash 1 ne 0sin x ndash 1 lt 0sin x ndash 1 lt 0sin x lt 1sin x lt 1radicradic2 2 cos x + cos x + ((((1 ndash 1 ndash sin x) sin x) (sin x ndash 1) (sin x ndash 1))) times times sin 2x = 0sin 2x = 0radicradic2 2 cos x ndash 1 times 2sin x times cos x = 0cos x ndash 1 times 2sin x times cos x = 0cos x (cos x (radic2 radic2 ndash 2sin x) = 0ndash 2sin x) = 0cos x = 0 cos x = 0 илиили radic2radic2 ndash 2sin x = 0 ndash 2sin x = 0x =x =ππ22 ++ ππkk kk єє Z sin x = Z sin x = radic2radic222

x = (-1)ⁿ times x = (-1)ⁿ times ππ4 + 4 + ππnn nn єє Z ZОтветОтвет ππ2+ 2+ ππkk (-1)ⁿ times (-1)ⁿ times ππ4 + 4 + ππnn где где nn kk є є ZZ

Выполнила Барышникова ЕленаВыполнила Барышникова Елена10 класс10 класс

Метод использования условия равенства Метод использования условия равенства одноименных тригонометрических функцийодноименных тригонометрических функций

Длительное время тригонометрия развивалась как часть Длительное время тригонометрия развивалась как часть геометрии т е факты которые мы сейчас формулируем в геометрии т е факты которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций формулировались терминах тригонометрических функций формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений Пожалуй наибольшие стимулы к развитию утверждений Пожалуй наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решение задач тригонометрии возникали в связи с решение задач астрономии что представляло большой практический астрономии что представляло большой практический интерес (например для решения задач определения интерес (например для решения задач определения местонахождения судна предсказания затмений и т д) местонахождения судна предсказания затмений и т д) Астрономов интересовали соотношения между сторонами и Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников составленных из углами сферических треугольников составленных из больших кругов лежащих на сфере И надо заметить что больших кругов лежащих на сфере И надо заметить что математики древности удачно справлялись с задачами математики древности удачно справлялись с задачами существенно более трудными нежели задачи на решение существенно более трудными нежели задачи на решение плоских треугольниковплоских треугольниковВ геометрической форме многие известные нам формулы В геометрической форме многие известные нам формулы тригонометрии открывались и переоткрывались тригонометрии открывались и переоткрывались древнегреческими индийскими арабскими математиками древнегреческими индийскими арабскими математиками

Гиппарх

Способы решения треугольников основанные на

зависимостях между сторонами и углами

треугольника

Клавдий Птолемей

Астрономы 2 век до

н э

и 2 век н э

Николай КоперникАстроном 1473-1543

Творец гелиоцентрической

системы мира

Астроном 1473-1543

sin f(x) = sin φ(x)sin f(x) = sin φ(x)

f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = φ(x) + 2πk

f(x) = π- φ+2πn f(x) = π- φ+2πn

n k є Zn k є Z

cos f(x) = cos φ(x)cos f(x) = cos φ(x)

f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = φ(x) + 2πk

f(x) = -φ(x) + 2πnf(x) = -φ(x) + 2πn

n k n k єє Z Z

tg f(x) = tg φ(x)tg f(x) = tg φ(x)

f(x) = φ(x) + πnf(x) = φ(x) + πn

φ(x) ne φ(x) ne π π + πl+ πl

2 2

n l n l єє Z Z

Пример 1Пример 1

sin 2x = sin 5xsin 2x = sin 5x

Ответ Ответ 2π2π k (1 - 2π) k (1 - 2π) ππ

3 3 77

ггде де n u k Є Zn u k Є Z

5x = 2x + 2πk

5x = π- 2x + 2πn

3x = 2πk

7x = (1 + 2π)π

x = 2πk 3 πx = (1 + 2π) 7

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 2Пример 2 sin 5x = -sin xsin 5x = -sin x sin 5x = sin (-x)sin 5x = sin (-x)

ОтветОтвет ππ k ( 1+2n) k ( 1+2n) π π

3 43 4 ГдеГде n n ии k Є Z k Є Z

5x ndash (-x) = 2πk

5x =π- (-x)+2πn

x = π k 3 πx = ( 1+2n) 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 3Пример 3 cos 3x = cos 5xcos 3x = cos 5x

Ответ πОтвет πk k ππ n n

44

где где n u k Є Zn u k Є Z

3x=5x+2πk

3x=-5x+2πn

2x=2πk

8x=2πn

x=πkx=π n 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 4Пример 4tg 3x tg (5x+tg 3x tg (5x+ππ)=1 tg 3x)=1 tg 3x 3 tg 3xne03 tg 3xne0 tg (5x+tg (5x+ππ)= )= 1 1 3 3 tg 3xtg 3xtg (5x+tg (5x+ππ)= ctg 3x )= ctg 3x

3 3 tg (5x+tg (5x+ π π)=tg ()=tg (ππ-3x)-3x) 3 3 22

Ответ Ответ ππ (1+6(1+6n)n) 4848n n єє Z ZВыполнила Шумакова Екатерина 10 классВыполнила Шумакова Екатерина 10 класс

5x+π=π-3x+πn32

π-3xneπ+πl2 2

8x=π+πn 6-3xneπl

x=π+πn48

xneπl 3

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Метод Метод ccведения к ведения к алгебраическому алгебраическому уравнениюуравнению

Член Петербургской Академиинаук аналитическая теория

тригонометрическихфункций

Современный вид тригонометрии придал крупнейший Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик математик XVIII XVIII столетия Л Эйлер (1707-1783) столетия Л Эйлер (1707-1783) швейцарец по происхождению долгие годы работавший швейцарец по происхождению долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук Именно Эйлер первым ввёл известные наук Именно Эйлер первым ввёл известные определения тригонометрических функций стал определения тригонометрических функций стал рассматривать функции произвольного угла получил рассматривать функции произвольного угла получил формулы приведенияформулы приведения

Несомненно Эйлер принадлежит к числу Несомненно Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времён В истории гениальнейших математиков всех времён В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 году Эйлер продолжал работать Его математический году Эйлер продолжал работать Его математический гений и великолепная память позволили ему гений и великолепная память позволили ему продолжать работупродолжать работу

Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям диктовал новые работы Характерно что гений и диктовал новые работы Характерно что гений и творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней старости о чём свидетельствует непрерывно растущее старости о чём свидетельствует непрерывно растущее количество написанных им трудов Ещё в день своей количество написанных им трудов Ещё в день своей смерти он вёл оживлённый спор со своими смерти он вёл оживлённый спор со своими сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в НекропольНекрополь

После Эйлера тригонометрия приобрела форму После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления различные факты стали доказываться исчисления различные факты стали доказываться путём формального применения формул тригонометрии путём формального применения формул тригонометрии доказательства стали намного компактнее и прощедоказательства стали намного компактнее и проще

11 2 sinsup2 2 sinsup2 хх -- 7cos x - 5 = 0 7cos x - 5 = 0 2(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 02(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 0 2 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 02 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 0 - 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0- 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0 Пусть Пусть cos xcos x = = y y и | у | le 1 и | у | le 1 2уsup2 + 7у + 3 = 02уsup2 + 7у + 3 = 0 уı = - 3 у = - нет уı = - 3 у = - нет

решений решений cos xcos x = - = -

xx = plusmn π = plusmn π + 2π+ 2πnn n n є є

Ответ plusmn π + 2πОтвет plusmn π + 2πnn n n euro poundeuro pound

22 cos2x + 3 sin x = 2cos2x + 3 sin x = 2 11-- sinsup2 x + 3 sin x = 2 sinsup2 x + 3 sin x = 2 --sinsup2 x + 3 sin x sinsup2 x + 3 sin x -- 1 = 0 1 = 0 Пусть sin x = Пусть sin x = yy | у | le 1 | у | le 1 ysup2 ysup2 -- 3y + 1 = 0 3y + 1 = 0 a + b + c = 0 =gt y = 1 a + b + c = 0 =gt y = 1 или или y = y = sin x = 1 sin x = sin x = 1 sin x = x = x = ππ + 2πk k є Z x = + 2πk k є Z x =

(˗1) middotπ + πn n є Z(˗1) middotπ + πn n є Z ОтветОтвет ππ + 2πk x = (-1) middotπ + πn + 2πk x = (-1) middotπ + πn гдегде

n k є Zn k є Z Выполнила Мамедова Айнура 10 Выполнила Мамедова Айнура 10

класскласс

Метод исполнения Метод исполнения свойства свойства ограниченности ограниченности функции функции (метод оценки)(метод оценки)

laquoМетод решения хорош если с самого начала мы можем предвидеть ndash и впоследствии подтвердить это - что следуя этому методу мы достигнем

целиraquo Лейбниц

Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово functionfunction переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров связанных с положением точки на плоскостиназвания различных параметров связанных с положением точки на плоскости

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не интересовался педагогической деятельностьюинтересовался педагогической деятельностью

В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика Именно Лейбниц является создателем современной символики символика Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше публикованыпубликованы

Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механикебыло только средством решения задач по механике

Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 ноября 1716 г За его гробом шел только один его верный другноября 1716 г За его гробом шел только один его верный друг

Если функции Если функции ff((xx) ) b gb g((xx) таковы что для всех х выполняется неравенства) таковы что для всех х выполняется неравенства FF((xx) le) leαα и и gg((xx)le)leββ и дано уравнение и дано уравнение FF((xx) + ) + gg((xx)=)=αα++ββ то оно равносильно системе то оно равносильно системе

ff((xx)=)=αα gg((xx)=)=ββ

11 sin sin xx - cos 6x = 2 - cos 6x = 2 33 |Sin |Sin xx| le 1 |cos 6x| le 1 | le 1 |cos 6x| le 1

Cos 6x = -1

Sin x = 1 3 Cos 6x = -1

lt=gt x = π + 2 π k k Є Z 2 3

6x = π + 2 π k n Є Z

lt=gt x= 3π +6 π k k ЄZ 2

x= π + πn n Є Z x= π + πn n Є Z

x= π + πn n Є Z 6 3

Ответ 3π+6 π ι ι= Z 2

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Цели урока1Рассмотреть некоторые методы решения тригонометрических уравнений2Научиться находить и использовать наиболее рациональные способы решения для данного уравнения

Евклид (иначе Эвклид) ndash Евклид (иначе Эвклид) ndash древнегреческий математик древнегреческий математик автор первого из дошедших автор первого из дошедших до нас теоретических до нас теоретических трактатов по математике трактатов по математике Биографические сведения об Биографические сведения об Евклиде крайне скудны Евклиде крайне скудны Известно лишь что Известно лишь что учителями Евклида в Афинах учителями Евклида в Афинах были ученики Платона а в были ученики Платона а в правление Птолемея правление Птолемея II (306- (306-283 до нэ) он преподавал в 283 до нэ) он преподавал в Александрийской академии Александрийской академии Евклид ndash первый математик Евклид ndash первый математик александрийской школыалександрийской школы

Главная работа Евклида ndash Начала (лат Главная работа Евклида ndash Начала (лат ElementaElementa) ndash содержит изложение ) ndash содержит изложение планиметрии стереометрии и ряда вопросов планиметрии стереометрии и ряда вопросов теории чисел (например алгоритм Евклида) теории чисел (например алгоритм Евклида) состоит из 13-ти книг к которым состоит из 13-ти книг к которым присоединяют две книги о пяти правильных присоединяют две книги о пяти правильных многогранниках иногда приписываемых многогранниках иногда приписываемых Гипсиклу Александрийскому В Началах он Гипсиклу Александрийскому В Началах он подвёл итог предшествующему развитию подвёл итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики На дальнейшего развития математики На протяжении более двух тысячелетий протяжении более двух тысячелетий евклидовы Начала оставались основным евклидовы Начала оставались основным трудом по элементарной математикетрудом по элементарной математике

laquoМетодlaquoМетод разложение на разложение на множителиraquoмножителиraquo Слово laquoтригонометрияraquo впервые встречается Слово laquoтригонометрияraquo впервые встречается

(1505г) в заглавии книги немецкого теолога и (1505г) в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса Происхождение этого математика Питискуса Происхождение этого слова греческое от слов laquoтреугольникraquo и laquoмераraquo слова греческое от слов laquoтреугольникraquo и laquoмераraquo Те тригонометрия ndash наука об измерении Те тригонометрия ndash наука об измерении треугольников Хотя название возникло треугольников Хотя название возникло сравнительно недавно многие относимые сейчас сравнительно недавно многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны к тригонометрии понятия и факты были известны уже две тысячи лет назадуже две тысячи лет назад

Длительную историю имеет понятие laquoсинусаraquo Длительную историю имеет понятие laquoсинусаraquo Фактически различные отношения отрезков Фактически различные отношения отрезков треугольника к окружности (а по существу и треугольника к окружности (а по существу и тригонометрические функции) встречаются уже в тригонометрические функции) встречаются уже в IIIIII в до нэ в работах великих математиков в до нэ в работах великих математиков Древней Греции ndash Евклида Архимеда Аполлония Древней Греции ndash Евклида Архимеда Аполлония В римский период эти отношения уже достаточно В римский период эти отношения уже достаточно систематично исследовались Менелаем (систематично исследовались Менелаем (I I внэ) внэ) хотя и не приобрели специального названияхотя и не приобрели специального названия

В последующий период математика В последующий период математика долгое время наиболее активно развивалась долгое время наиболее активно развивалась индийскими и арабскими учеными В индийскими и арабскими учеными В IVIV--V V вв вв появился уже специальный термин появился уже специальный термин I I в laquoард-в laquoард-ходживаraquo (ардх ndash половина джива ndash тетива ходживаraquo (ардх ndash половина джива ndash тетива лука которую напоминает хорда) Позднее лука которую напоминает хорда) Позднее привилось более краткое название laquoдживаraquoпривилось более краткое название laquoдживаraquo

Слово косинус намного моложе Косинус Слово косинус намного моложе Косинус ndash это сокращение латинского выражения ndash это сокращение латинского выражения complementy sinuscomplementy sinus те laquoдополнительный те laquoдополнительный синусraquo (или laquoсинус дополнительной дугиraquo синусraquo (или laquoсинус дополнительной дугиraquo вспомните вспомните cos α cos α = = sin sin (90deg - α))(90deg - α))

11

sinsup2x ndash sin x = 0sinsup2x ndash sin x = 0

sin x (sin x ndash 1) = 0sin x (sin x ndash 1) = 0

sin x = 0 sin x = 0 или или sin x ndash 1 = 0 sin x ndash 1 = 0

x =x =ππnn n є Z n є Z sin x = 1 sin x = 1

x =x =ππ22+2+2ππkk kk є Z є Z

ОтветОтветππ2+22+2ππkk где где nn kk є є ZZ

22radicradic2 2 cos x + cos x + ((|sin x ndash 1| |sin x ndash 1| ((sin x ndash 1sin x ndash 1)) )) timestimes sin 2x = 0sin 2x = 0sin x ndash 1 ne 0sin x ndash 1 ne 0sin x ndash 1 lt 0sin x ndash 1 lt 0sin x lt 1sin x lt 1radicradic2 2 cos x + cos x + ((((1 ndash 1 ndash sin x) sin x) (sin x ndash 1) (sin x ndash 1))) times times sin 2x = 0sin 2x = 0radicradic2 2 cos x ndash 1 times 2sin x times cos x = 0cos x ndash 1 times 2sin x times cos x = 0cos x (cos x (radic2 radic2 ndash 2sin x) = 0ndash 2sin x) = 0cos x = 0 cos x = 0 илиили radic2radic2 ndash 2sin x = 0 ndash 2sin x = 0x =x =ππ22 ++ ππkk kk єє Z sin x = Z sin x = radic2radic222

x = (-1)ⁿ times x = (-1)ⁿ times ππ4 + 4 + ππnn nn єє Z ZОтветОтвет ππ2+ 2+ ππkk (-1)ⁿ times (-1)ⁿ times ππ4 + 4 + ππnn где где nn kk є є ZZ

Выполнила Барышникова ЕленаВыполнила Барышникова Елена10 класс10 класс

Метод использования условия равенства Метод использования условия равенства одноименных тригонометрических функцийодноименных тригонометрических функций

Длительное время тригонометрия развивалась как часть Длительное время тригонометрия развивалась как часть геометрии т е факты которые мы сейчас формулируем в геометрии т е факты которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций формулировались терминах тригонометрических функций формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений Пожалуй наибольшие стимулы к развитию утверждений Пожалуй наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решение задач тригонометрии возникали в связи с решение задач астрономии что представляло большой практический астрономии что представляло большой практический интерес (например для решения задач определения интерес (например для решения задач определения местонахождения судна предсказания затмений и т д) местонахождения судна предсказания затмений и т д) Астрономов интересовали соотношения между сторонами и Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников составленных из углами сферических треугольников составленных из больших кругов лежащих на сфере И надо заметить что больших кругов лежащих на сфере И надо заметить что математики древности удачно справлялись с задачами математики древности удачно справлялись с задачами существенно более трудными нежели задачи на решение существенно более трудными нежели задачи на решение плоских треугольниковплоских треугольниковВ геометрической форме многие известные нам формулы В геометрической форме многие известные нам формулы тригонометрии открывались и переоткрывались тригонометрии открывались и переоткрывались древнегреческими индийскими арабскими математиками древнегреческими индийскими арабскими математиками

Гиппарх

Способы решения треугольников основанные на

зависимостях между сторонами и углами

треугольника

Клавдий Птолемей

Астрономы 2 век до

н э

и 2 век н э

Николай КоперникАстроном 1473-1543

Творец гелиоцентрической

системы мира

Астроном 1473-1543

sin f(x) = sin φ(x)sin f(x) = sin φ(x)

f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = φ(x) + 2πk

f(x) = π- φ+2πn f(x) = π- φ+2πn

n k є Zn k є Z

cos f(x) = cos φ(x)cos f(x) = cos φ(x)

f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = φ(x) + 2πk

f(x) = -φ(x) + 2πnf(x) = -φ(x) + 2πn

n k n k єє Z Z

tg f(x) = tg φ(x)tg f(x) = tg φ(x)

f(x) = φ(x) + πnf(x) = φ(x) + πn

φ(x) ne φ(x) ne π π + πl+ πl

2 2

n l n l єє Z Z

Пример 1Пример 1

sin 2x = sin 5xsin 2x = sin 5x

Ответ Ответ 2π2π k (1 - 2π) k (1 - 2π) ππ

3 3 77

ггде де n u k Є Zn u k Є Z

5x = 2x + 2πk

5x = π- 2x + 2πn

3x = 2πk

7x = (1 + 2π)π

x = 2πk 3 πx = (1 + 2π) 7

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 2Пример 2 sin 5x = -sin xsin 5x = -sin x sin 5x = sin (-x)sin 5x = sin (-x)

ОтветОтвет ππ k ( 1+2n) k ( 1+2n) π π

3 43 4 ГдеГде n n ии k Є Z k Є Z

5x ndash (-x) = 2πk

5x =π- (-x)+2πn

x = π k 3 πx = ( 1+2n) 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 3Пример 3 cos 3x = cos 5xcos 3x = cos 5x

Ответ πОтвет πk k ππ n n

44

где где n u k Є Zn u k Є Z

3x=5x+2πk

3x=-5x+2πn

2x=2πk

8x=2πn

x=πkx=π n 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 4Пример 4tg 3x tg (5x+tg 3x tg (5x+ππ)=1 tg 3x)=1 tg 3x 3 tg 3xne03 tg 3xne0 tg (5x+tg (5x+ππ)= )= 1 1 3 3 tg 3xtg 3xtg (5x+tg (5x+ππ)= ctg 3x )= ctg 3x

3 3 tg (5x+tg (5x+ π π)=tg ()=tg (ππ-3x)-3x) 3 3 22

Ответ Ответ ππ (1+6(1+6n)n) 4848n n єє Z ZВыполнила Шумакова Екатерина 10 классВыполнила Шумакова Екатерина 10 класс

5x+π=π-3x+πn32

π-3xneπ+πl2 2

8x=π+πn 6-3xneπl

x=π+πn48

xneπl 3

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Метод Метод ccведения к ведения к алгебраическому алгебраическому уравнениюуравнению

Член Петербургской Академиинаук аналитическая теория

тригонометрическихфункций

Современный вид тригонометрии придал крупнейший Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик математик XVIII XVIII столетия Л Эйлер (1707-1783) столетия Л Эйлер (1707-1783) швейцарец по происхождению долгие годы работавший швейцарец по происхождению долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук Именно Эйлер первым ввёл известные наук Именно Эйлер первым ввёл известные определения тригонометрических функций стал определения тригонометрических функций стал рассматривать функции произвольного угла получил рассматривать функции произвольного угла получил формулы приведенияформулы приведения

Несомненно Эйлер принадлежит к числу Несомненно Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времён В истории гениальнейших математиков всех времён В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 году Эйлер продолжал работать Его математический году Эйлер продолжал работать Его математический гений и великолепная память позволили ему гений и великолепная память позволили ему продолжать работупродолжать работу

Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям диктовал новые работы Характерно что гений и диктовал новые работы Характерно что гений и творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней старости о чём свидетельствует непрерывно растущее старости о чём свидетельствует непрерывно растущее количество написанных им трудов Ещё в день своей количество написанных им трудов Ещё в день своей смерти он вёл оживлённый спор со своими смерти он вёл оживлённый спор со своими сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в НекропольНекрополь

После Эйлера тригонометрия приобрела форму После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления различные факты стали доказываться исчисления различные факты стали доказываться путём формального применения формул тригонометрии путём формального применения формул тригонометрии доказательства стали намного компактнее и прощедоказательства стали намного компактнее и проще

11 2 sinsup2 2 sinsup2 хх -- 7cos x - 5 = 0 7cos x - 5 = 0 2(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 02(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 0 2 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 02 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 0 - 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0- 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0 Пусть Пусть cos xcos x = = y y и | у | le 1 и | у | le 1 2уsup2 + 7у + 3 = 02уsup2 + 7у + 3 = 0 уı = - 3 у = - нет уı = - 3 у = - нет

решений решений cos xcos x = - = -

xx = plusmn π = plusmn π + 2π+ 2πnn n n є є

Ответ plusmn π + 2πОтвет plusmn π + 2πnn n n euro poundeuro pound

22 cos2x + 3 sin x = 2cos2x + 3 sin x = 2 11-- sinsup2 x + 3 sin x = 2 sinsup2 x + 3 sin x = 2 --sinsup2 x + 3 sin x sinsup2 x + 3 sin x -- 1 = 0 1 = 0 Пусть sin x = Пусть sin x = yy | у | le 1 | у | le 1 ysup2 ysup2 -- 3y + 1 = 0 3y + 1 = 0 a + b + c = 0 =gt y = 1 a + b + c = 0 =gt y = 1 или или y = y = sin x = 1 sin x = sin x = 1 sin x = x = x = ππ + 2πk k є Z x = + 2πk k є Z x =

(˗1) middotπ + πn n є Z(˗1) middotπ + πn n є Z ОтветОтвет ππ + 2πk x = (-1) middotπ + πn + 2πk x = (-1) middotπ + πn гдегде

n k є Zn k є Z Выполнила Мамедова Айнура 10 Выполнила Мамедова Айнура 10

класскласс

Метод исполнения Метод исполнения свойства свойства ограниченности ограниченности функции функции (метод оценки)(метод оценки)

laquoМетод решения хорош если с самого начала мы можем предвидеть ndash и впоследствии подтвердить это - что следуя этому методу мы достигнем

целиraquo Лейбниц

Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово functionfunction переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров связанных с положением точки на плоскостиназвания различных параметров связанных с положением точки на плоскости

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не интересовался педагогической деятельностьюинтересовался педагогической деятельностью

В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика Именно Лейбниц является создателем современной символики символика Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше публикованыпубликованы

Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механикебыло только средством решения задач по механике

Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 ноября 1716 г За его гробом шел только один его верный другноября 1716 г За его гробом шел только один его верный друг

Если функции Если функции ff((xx) ) b gb g((xx) таковы что для всех х выполняется неравенства) таковы что для всех х выполняется неравенства FF((xx) le) leαα и и gg((xx)le)leββ и дано уравнение и дано уравнение FF((xx) + ) + gg((xx)=)=αα++ββ то оно равносильно системе то оно равносильно системе

ff((xx)=)=αα gg((xx)=)=ββ

11 sin sin xx - cos 6x = 2 - cos 6x = 2 33 |Sin |Sin xx| le 1 |cos 6x| le 1 | le 1 |cos 6x| le 1

Cos 6x = -1

Sin x = 1 3 Cos 6x = -1

lt=gt x = π + 2 π k k Є Z 2 3

6x = π + 2 π k n Є Z

lt=gt x= 3π +6 π k k ЄZ 2

x= π + πn n Є Z x= π + πn n Є Z

x= π + πn n Є Z 6 3

Ответ 3π+6 π ι ι= Z 2

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Евклид (иначе Эвклид) ndash Евклид (иначе Эвклид) ndash древнегреческий математик древнегреческий математик автор первого из дошедших автор первого из дошедших до нас теоретических до нас теоретических трактатов по математике трактатов по математике Биографические сведения об Биографические сведения об Евклиде крайне скудны Евклиде крайне скудны Известно лишь что Известно лишь что учителями Евклида в Афинах учителями Евклида в Афинах были ученики Платона а в были ученики Платона а в правление Птолемея правление Птолемея II (306- (306-283 до нэ) он преподавал в 283 до нэ) он преподавал в Александрийской академии Александрийской академии Евклид ndash первый математик Евклид ndash первый математик александрийской школыалександрийской школы

Главная работа Евклида ndash Начала (лат Главная работа Евклида ndash Начала (лат ElementaElementa) ndash содержит изложение ) ndash содержит изложение планиметрии стереометрии и ряда вопросов планиметрии стереометрии и ряда вопросов теории чисел (например алгоритм Евклида) теории чисел (например алгоритм Евклида) состоит из 13-ти книг к которым состоит из 13-ти книг к которым присоединяют две книги о пяти правильных присоединяют две книги о пяти правильных многогранниках иногда приписываемых многогранниках иногда приписываемых Гипсиклу Александрийскому В Началах он Гипсиклу Александрийскому В Началах он подвёл итог предшествующему развитию подвёл итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики На дальнейшего развития математики На протяжении более двух тысячелетий протяжении более двух тысячелетий евклидовы Начала оставались основным евклидовы Начала оставались основным трудом по элементарной математикетрудом по элементарной математике

laquoМетодlaquoМетод разложение на разложение на множителиraquoмножителиraquo Слово laquoтригонометрияraquo впервые встречается Слово laquoтригонометрияraquo впервые встречается

(1505г) в заглавии книги немецкого теолога и (1505г) в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса Происхождение этого математика Питискуса Происхождение этого слова греческое от слов laquoтреугольникraquo и laquoмераraquo слова греческое от слов laquoтреугольникraquo и laquoмераraquo Те тригонометрия ndash наука об измерении Те тригонометрия ndash наука об измерении треугольников Хотя название возникло треугольников Хотя название возникло сравнительно недавно многие относимые сейчас сравнительно недавно многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны к тригонометрии понятия и факты были известны уже две тысячи лет назадуже две тысячи лет назад

Длительную историю имеет понятие laquoсинусаraquo Длительную историю имеет понятие laquoсинусаraquo Фактически различные отношения отрезков Фактически различные отношения отрезков треугольника к окружности (а по существу и треугольника к окружности (а по существу и тригонометрические функции) встречаются уже в тригонометрические функции) встречаются уже в IIIIII в до нэ в работах великих математиков в до нэ в работах великих математиков Древней Греции ndash Евклида Архимеда Аполлония Древней Греции ndash Евклида Архимеда Аполлония В римский период эти отношения уже достаточно В римский период эти отношения уже достаточно систематично исследовались Менелаем (систематично исследовались Менелаем (I I внэ) внэ) хотя и не приобрели специального названияхотя и не приобрели специального названия

В последующий период математика В последующий период математика долгое время наиболее активно развивалась долгое время наиболее активно развивалась индийскими и арабскими учеными В индийскими и арабскими учеными В IVIV--V V вв вв появился уже специальный термин появился уже специальный термин I I в laquoард-в laquoард-ходживаraquo (ардх ndash половина джива ndash тетива ходживаraquo (ардх ndash половина джива ndash тетива лука которую напоминает хорда) Позднее лука которую напоминает хорда) Позднее привилось более краткое название laquoдживаraquoпривилось более краткое название laquoдживаraquo

Слово косинус намного моложе Косинус Слово косинус намного моложе Косинус ndash это сокращение латинского выражения ndash это сокращение латинского выражения complementy sinuscomplementy sinus те laquoдополнительный те laquoдополнительный синусraquo (или laquoсинус дополнительной дугиraquo синусraquo (или laquoсинус дополнительной дугиraquo вспомните вспомните cos α cos α = = sin sin (90deg - α))(90deg - α))

11

sinsup2x ndash sin x = 0sinsup2x ndash sin x = 0

sin x (sin x ndash 1) = 0sin x (sin x ndash 1) = 0

sin x = 0 sin x = 0 или или sin x ndash 1 = 0 sin x ndash 1 = 0

x =x =ππnn n є Z n є Z sin x = 1 sin x = 1

x =x =ππ22+2+2ππkk kk є Z є Z

ОтветОтветππ2+22+2ππkk где где nn kk є є ZZ

22radicradic2 2 cos x + cos x + ((|sin x ndash 1| |sin x ndash 1| ((sin x ndash 1sin x ndash 1)) )) timestimes sin 2x = 0sin 2x = 0sin x ndash 1 ne 0sin x ndash 1 ne 0sin x ndash 1 lt 0sin x ndash 1 lt 0sin x lt 1sin x lt 1radicradic2 2 cos x + cos x + ((((1 ndash 1 ndash sin x) sin x) (sin x ndash 1) (sin x ndash 1))) times times sin 2x = 0sin 2x = 0radicradic2 2 cos x ndash 1 times 2sin x times cos x = 0cos x ndash 1 times 2sin x times cos x = 0cos x (cos x (radic2 radic2 ndash 2sin x) = 0ndash 2sin x) = 0cos x = 0 cos x = 0 илиили radic2radic2 ndash 2sin x = 0 ndash 2sin x = 0x =x =ππ22 ++ ππkk kk єє Z sin x = Z sin x = radic2radic222

x = (-1)ⁿ times x = (-1)ⁿ times ππ4 + 4 + ππnn nn єє Z ZОтветОтвет ππ2+ 2+ ππkk (-1)ⁿ times (-1)ⁿ times ππ4 + 4 + ππnn где где nn kk є є ZZ

Выполнила Барышникова ЕленаВыполнила Барышникова Елена10 класс10 класс

Метод использования условия равенства Метод использования условия равенства одноименных тригонометрических функцийодноименных тригонометрических функций

Длительное время тригонометрия развивалась как часть Длительное время тригонометрия развивалась как часть геометрии т е факты которые мы сейчас формулируем в геометрии т е факты которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций формулировались терминах тригонометрических функций формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений Пожалуй наибольшие стимулы к развитию утверждений Пожалуй наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решение задач тригонометрии возникали в связи с решение задач астрономии что представляло большой практический астрономии что представляло большой практический интерес (например для решения задач определения интерес (например для решения задач определения местонахождения судна предсказания затмений и т д) местонахождения судна предсказания затмений и т д) Астрономов интересовали соотношения между сторонами и Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников составленных из углами сферических треугольников составленных из больших кругов лежащих на сфере И надо заметить что больших кругов лежащих на сфере И надо заметить что математики древности удачно справлялись с задачами математики древности удачно справлялись с задачами существенно более трудными нежели задачи на решение существенно более трудными нежели задачи на решение плоских треугольниковплоских треугольниковВ геометрической форме многие известные нам формулы В геометрической форме многие известные нам формулы тригонометрии открывались и переоткрывались тригонометрии открывались и переоткрывались древнегреческими индийскими арабскими математиками древнегреческими индийскими арабскими математиками

Гиппарх

Способы решения треугольников основанные на

зависимостях между сторонами и углами

треугольника

Клавдий Птолемей

Астрономы 2 век до

н э

и 2 век н э

Николай КоперникАстроном 1473-1543

Творец гелиоцентрической

системы мира

Астроном 1473-1543

sin f(x) = sin φ(x)sin f(x) = sin φ(x)

f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = φ(x) + 2πk

f(x) = π- φ+2πn f(x) = π- φ+2πn

n k є Zn k є Z

cos f(x) = cos φ(x)cos f(x) = cos φ(x)

f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = φ(x) + 2πk

f(x) = -φ(x) + 2πnf(x) = -φ(x) + 2πn

n k n k єє Z Z

tg f(x) = tg φ(x)tg f(x) = tg φ(x)

f(x) = φ(x) + πnf(x) = φ(x) + πn

φ(x) ne φ(x) ne π π + πl+ πl

2 2

n l n l єє Z Z

Пример 1Пример 1

sin 2x = sin 5xsin 2x = sin 5x

Ответ Ответ 2π2π k (1 - 2π) k (1 - 2π) ππ

3 3 77

ггде де n u k Є Zn u k Є Z

5x = 2x + 2πk

5x = π- 2x + 2πn

3x = 2πk

7x = (1 + 2π)π

x = 2πk 3 πx = (1 + 2π) 7

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 2Пример 2 sin 5x = -sin xsin 5x = -sin x sin 5x = sin (-x)sin 5x = sin (-x)

ОтветОтвет ππ k ( 1+2n) k ( 1+2n) π π

3 43 4 ГдеГде n n ии k Є Z k Є Z

5x ndash (-x) = 2πk

5x =π- (-x)+2πn

x = π k 3 πx = ( 1+2n) 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 3Пример 3 cos 3x = cos 5xcos 3x = cos 5x

Ответ πОтвет πk k ππ n n

44

где где n u k Є Zn u k Є Z

3x=5x+2πk

3x=-5x+2πn

2x=2πk

8x=2πn

x=πkx=π n 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 4Пример 4tg 3x tg (5x+tg 3x tg (5x+ππ)=1 tg 3x)=1 tg 3x 3 tg 3xne03 tg 3xne0 tg (5x+tg (5x+ππ)= )= 1 1 3 3 tg 3xtg 3xtg (5x+tg (5x+ππ)= ctg 3x )= ctg 3x

3 3 tg (5x+tg (5x+ π π)=tg ()=tg (ππ-3x)-3x) 3 3 22

Ответ Ответ ππ (1+6(1+6n)n) 4848n n єє Z ZВыполнила Шумакова Екатерина 10 классВыполнила Шумакова Екатерина 10 класс

5x+π=π-3x+πn32

π-3xneπ+πl2 2

8x=π+πn 6-3xneπl

x=π+πn48

xneπl 3

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Метод Метод ccведения к ведения к алгебраическому алгебраическому уравнениюуравнению

Член Петербургской Академиинаук аналитическая теория

тригонометрическихфункций

Современный вид тригонометрии придал крупнейший Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик математик XVIII XVIII столетия Л Эйлер (1707-1783) столетия Л Эйлер (1707-1783) швейцарец по происхождению долгие годы работавший швейцарец по происхождению долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук Именно Эйлер первым ввёл известные наук Именно Эйлер первым ввёл известные определения тригонометрических функций стал определения тригонометрических функций стал рассматривать функции произвольного угла получил рассматривать функции произвольного угла получил формулы приведенияформулы приведения

Несомненно Эйлер принадлежит к числу Несомненно Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времён В истории гениальнейших математиков всех времён В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 году Эйлер продолжал работать Его математический году Эйлер продолжал работать Его математический гений и великолепная память позволили ему гений и великолепная память позволили ему продолжать работупродолжать работу

Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям диктовал новые работы Характерно что гений и диктовал новые работы Характерно что гений и творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней старости о чём свидетельствует непрерывно растущее старости о чём свидетельствует непрерывно растущее количество написанных им трудов Ещё в день своей количество написанных им трудов Ещё в день своей смерти он вёл оживлённый спор со своими смерти он вёл оживлённый спор со своими сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в НекропольНекрополь

После Эйлера тригонометрия приобрела форму После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления различные факты стали доказываться исчисления различные факты стали доказываться путём формального применения формул тригонометрии путём формального применения формул тригонометрии доказательства стали намного компактнее и прощедоказательства стали намного компактнее и проще

11 2 sinsup2 2 sinsup2 хх -- 7cos x - 5 = 0 7cos x - 5 = 0 2(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 02(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 0 2 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 02 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 0 - 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0- 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0 Пусть Пусть cos xcos x = = y y и | у | le 1 и | у | le 1 2уsup2 + 7у + 3 = 02уsup2 + 7у + 3 = 0 уı = - 3 у = - нет уı = - 3 у = - нет

решений решений cos xcos x = - = -

xx = plusmn π = plusmn π + 2π+ 2πnn n n є є

Ответ plusmn π + 2πОтвет plusmn π + 2πnn n n euro poundeuro pound

22 cos2x + 3 sin x = 2cos2x + 3 sin x = 2 11-- sinsup2 x + 3 sin x = 2 sinsup2 x + 3 sin x = 2 --sinsup2 x + 3 sin x sinsup2 x + 3 sin x -- 1 = 0 1 = 0 Пусть sin x = Пусть sin x = yy | у | le 1 | у | le 1 ysup2 ysup2 -- 3y + 1 = 0 3y + 1 = 0 a + b + c = 0 =gt y = 1 a + b + c = 0 =gt y = 1 или или y = y = sin x = 1 sin x = sin x = 1 sin x = x = x = ππ + 2πk k є Z x = + 2πk k є Z x =

(˗1) middotπ + πn n є Z(˗1) middotπ + πn n є Z ОтветОтвет ππ + 2πk x = (-1) middotπ + πn + 2πk x = (-1) middotπ + πn гдегде

n k є Zn k є Z Выполнила Мамедова Айнура 10 Выполнила Мамедова Айнура 10

класскласс

Метод исполнения Метод исполнения свойства свойства ограниченности ограниченности функции функции (метод оценки)(метод оценки)

laquoМетод решения хорош если с самого начала мы можем предвидеть ndash и впоследствии подтвердить это - что следуя этому методу мы достигнем

целиraquo Лейбниц

Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово functionfunction переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров связанных с положением точки на плоскостиназвания различных параметров связанных с положением точки на плоскости

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не интересовался педагогической деятельностьюинтересовался педагогической деятельностью

В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика Именно Лейбниц является создателем современной символики символика Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше публикованыпубликованы

Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механикебыло только средством решения задач по механике

Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 ноября 1716 г За его гробом шел только один его верный другноября 1716 г За его гробом шел только один его верный друг

Если функции Если функции ff((xx) ) b gb g((xx) таковы что для всех х выполняется неравенства) таковы что для всех х выполняется неравенства FF((xx) le) leαα и и gg((xx)le)leββ и дано уравнение и дано уравнение FF((xx) + ) + gg((xx)=)=αα++ββ то оно равносильно системе то оно равносильно системе

ff((xx)=)=αα gg((xx)=)=ββ

11 sin sin xx - cos 6x = 2 - cos 6x = 2 33 |Sin |Sin xx| le 1 |cos 6x| le 1 | le 1 |cos 6x| le 1

Cos 6x = -1

Sin x = 1 3 Cos 6x = -1

lt=gt x = π + 2 π k k Є Z 2 3

6x = π + 2 π k n Є Z

lt=gt x= 3π +6 π k k ЄZ 2

x= π + πn n Є Z x= π + πn n Є Z

x= π + πn n Є Z 6 3

Ответ 3π+6 π ι ι= Z 2

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Главная работа Евклида ndash Начала (лат Главная работа Евклида ndash Начала (лат ElementaElementa) ndash содержит изложение ) ndash содержит изложение планиметрии стереометрии и ряда вопросов планиметрии стереометрии и ряда вопросов теории чисел (например алгоритм Евклида) теории чисел (например алгоритм Евклида) состоит из 13-ти книг к которым состоит из 13-ти книг к которым присоединяют две книги о пяти правильных присоединяют две книги о пяти правильных многогранниках иногда приписываемых многогранниках иногда приписываемых Гипсиклу Александрийскому В Началах он Гипсиклу Александрийскому В Началах он подвёл итог предшествующему развитию подвёл итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики На дальнейшего развития математики На протяжении более двух тысячелетий протяжении более двух тысячелетий евклидовы Начала оставались основным евклидовы Начала оставались основным трудом по элементарной математикетрудом по элементарной математике

laquoМетодlaquoМетод разложение на разложение на множителиraquoмножителиraquo Слово laquoтригонометрияraquo впервые встречается Слово laquoтригонометрияraquo впервые встречается

(1505г) в заглавии книги немецкого теолога и (1505г) в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса Происхождение этого математика Питискуса Происхождение этого слова греческое от слов laquoтреугольникraquo и laquoмераraquo слова греческое от слов laquoтреугольникraquo и laquoмераraquo Те тригонометрия ndash наука об измерении Те тригонометрия ndash наука об измерении треугольников Хотя название возникло треугольников Хотя название возникло сравнительно недавно многие относимые сейчас сравнительно недавно многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны к тригонометрии понятия и факты были известны уже две тысячи лет назадуже две тысячи лет назад

Длительную историю имеет понятие laquoсинусаraquo Длительную историю имеет понятие laquoсинусаraquo Фактически различные отношения отрезков Фактически различные отношения отрезков треугольника к окружности (а по существу и треугольника к окружности (а по существу и тригонометрические функции) встречаются уже в тригонометрические функции) встречаются уже в IIIIII в до нэ в работах великих математиков в до нэ в работах великих математиков Древней Греции ndash Евклида Архимеда Аполлония Древней Греции ndash Евклида Архимеда Аполлония В римский период эти отношения уже достаточно В римский период эти отношения уже достаточно систематично исследовались Менелаем (систематично исследовались Менелаем (I I внэ) внэ) хотя и не приобрели специального названияхотя и не приобрели специального названия

В последующий период математика В последующий период математика долгое время наиболее активно развивалась долгое время наиболее активно развивалась индийскими и арабскими учеными В индийскими и арабскими учеными В IVIV--V V вв вв появился уже специальный термин появился уже специальный термин I I в laquoард-в laquoард-ходживаraquo (ардх ndash половина джива ndash тетива ходживаraquo (ардх ndash половина джива ndash тетива лука которую напоминает хорда) Позднее лука которую напоминает хорда) Позднее привилось более краткое название laquoдживаraquoпривилось более краткое название laquoдживаraquo

Слово косинус намного моложе Косинус Слово косинус намного моложе Косинус ndash это сокращение латинского выражения ndash это сокращение латинского выражения complementy sinuscomplementy sinus те laquoдополнительный те laquoдополнительный синусraquo (или laquoсинус дополнительной дугиraquo синусraquo (или laquoсинус дополнительной дугиraquo вспомните вспомните cos α cos α = = sin sin (90deg - α))(90deg - α))

11

sinsup2x ndash sin x = 0sinsup2x ndash sin x = 0

sin x (sin x ndash 1) = 0sin x (sin x ndash 1) = 0

sin x = 0 sin x = 0 или или sin x ndash 1 = 0 sin x ndash 1 = 0

x =x =ππnn n є Z n є Z sin x = 1 sin x = 1

x =x =ππ22+2+2ππkk kk є Z є Z

ОтветОтветππ2+22+2ππkk где где nn kk є є ZZ

22radicradic2 2 cos x + cos x + ((|sin x ndash 1| |sin x ndash 1| ((sin x ndash 1sin x ndash 1)) )) timestimes sin 2x = 0sin 2x = 0sin x ndash 1 ne 0sin x ndash 1 ne 0sin x ndash 1 lt 0sin x ndash 1 lt 0sin x lt 1sin x lt 1radicradic2 2 cos x + cos x + ((((1 ndash 1 ndash sin x) sin x) (sin x ndash 1) (sin x ndash 1))) times times sin 2x = 0sin 2x = 0radicradic2 2 cos x ndash 1 times 2sin x times cos x = 0cos x ndash 1 times 2sin x times cos x = 0cos x (cos x (radic2 radic2 ndash 2sin x) = 0ndash 2sin x) = 0cos x = 0 cos x = 0 илиили radic2radic2 ndash 2sin x = 0 ndash 2sin x = 0x =x =ππ22 ++ ππkk kk єє Z sin x = Z sin x = radic2radic222

x = (-1)ⁿ times x = (-1)ⁿ times ππ4 + 4 + ππnn nn єє Z ZОтветОтвет ππ2+ 2+ ππkk (-1)ⁿ times (-1)ⁿ times ππ4 + 4 + ππnn где где nn kk є є ZZ

Выполнила Барышникова ЕленаВыполнила Барышникова Елена10 класс10 класс

Метод использования условия равенства Метод использования условия равенства одноименных тригонометрических функцийодноименных тригонометрических функций

Длительное время тригонометрия развивалась как часть Длительное время тригонометрия развивалась как часть геометрии т е факты которые мы сейчас формулируем в геометрии т е факты которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций формулировались терминах тригонометрических функций формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений Пожалуй наибольшие стимулы к развитию утверждений Пожалуй наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решение задач тригонометрии возникали в связи с решение задач астрономии что представляло большой практический астрономии что представляло большой практический интерес (например для решения задач определения интерес (например для решения задач определения местонахождения судна предсказания затмений и т д) местонахождения судна предсказания затмений и т д) Астрономов интересовали соотношения между сторонами и Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников составленных из углами сферических треугольников составленных из больших кругов лежащих на сфере И надо заметить что больших кругов лежащих на сфере И надо заметить что математики древности удачно справлялись с задачами математики древности удачно справлялись с задачами существенно более трудными нежели задачи на решение существенно более трудными нежели задачи на решение плоских треугольниковплоских треугольниковВ геометрической форме многие известные нам формулы В геометрической форме многие известные нам формулы тригонометрии открывались и переоткрывались тригонометрии открывались и переоткрывались древнегреческими индийскими арабскими математиками древнегреческими индийскими арабскими математиками

Гиппарх

Способы решения треугольников основанные на

зависимостях между сторонами и углами

треугольника

Клавдий Птолемей

Астрономы 2 век до

н э

и 2 век н э

Николай КоперникАстроном 1473-1543

Творец гелиоцентрической

системы мира

Астроном 1473-1543

sin f(x) = sin φ(x)sin f(x) = sin φ(x)

f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = φ(x) + 2πk

f(x) = π- φ+2πn f(x) = π- φ+2πn

n k є Zn k є Z

cos f(x) = cos φ(x)cos f(x) = cos φ(x)

f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = φ(x) + 2πk

f(x) = -φ(x) + 2πnf(x) = -φ(x) + 2πn

n k n k єє Z Z

tg f(x) = tg φ(x)tg f(x) = tg φ(x)

f(x) = φ(x) + πnf(x) = φ(x) + πn

φ(x) ne φ(x) ne π π + πl+ πl

2 2

n l n l єє Z Z

Пример 1Пример 1

sin 2x = sin 5xsin 2x = sin 5x

Ответ Ответ 2π2π k (1 - 2π) k (1 - 2π) ππ

3 3 77

ггде де n u k Є Zn u k Є Z

5x = 2x + 2πk

5x = π- 2x + 2πn

3x = 2πk

7x = (1 + 2π)π

x = 2πk 3 πx = (1 + 2π) 7

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 2Пример 2 sin 5x = -sin xsin 5x = -sin x sin 5x = sin (-x)sin 5x = sin (-x)

ОтветОтвет ππ k ( 1+2n) k ( 1+2n) π π

3 43 4 ГдеГде n n ии k Є Z k Є Z

5x ndash (-x) = 2πk

5x =π- (-x)+2πn

x = π k 3 πx = ( 1+2n) 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 3Пример 3 cos 3x = cos 5xcos 3x = cos 5x

Ответ πОтвет πk k ππ n n

44

где где n u k Є Zn u k Є Z

3x=5x+2πk

3x=-5x+2πn

2x=2πk

8x=2πn

x=πkx=π n 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 4Пример 4tg 3x tg (5x+tg 3x tg (5x+ππ)=1 tg 3x)=1 tg 3x 3 tg 3xne03 tg 3xne0 tg (5x+tg (5x+ππ)= )= 1 1 3 3 tg 3xtg 3xtg (5x+tg (5x+ππ)= ctg 3x )= ctg 3x

3 3 tg (5x+tg (5x+ π π)=tg ()=tg (ππ-3x)-3x) 3 3 22

Ответ Ответ ππ (1+6(1+6n)n) 4848n n єє Z ZВыполнила Шумакова Екатерина 10 классВыполнила Шумакова Екатерина 10 класс

5x+π=π-3x+πn32

π-3xneπ+πl2 2

8x=π+πn 6-3xneπl

x=π+πn48

xneπl 3

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Метод Метод ccведения к ведения к алгебраическому алгебраическому уравнениюуравнению

Член Петербургской Академиинаук аналитическая теория

тригонометрическихфункций

Современный вид тригонометрии придал крупнейший Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик математик XVIII XVIII столетия Л Эйлер (1707-1783) столетия Л Эйлер (1707-1783) швейцарец по происхождению долгие годы работавший швейцарец по происхождению долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук Именно Эйлер первым ввёл известные наук Именно Эйлер первым ввёл известные определения тригонометрических функций стал определения тригонометрических функций стал рассматривать функции произвольного угла получил рассматривать функции произвольного угла получил формулы приведенияформулы приведения

Несомненно Эйлер принадлежит к числу Несомненно Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времён В истории гениальнейших математиков всех времён В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 году Эйлер продолжал работать Его математический году Эйлер продолжал работать Его математический гений и великолепная память позволили ему гений и великолепная память позволили ему продолжать работупродолжать работу

Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям диктовал новые работы Характерно что гений и диктовал новые работы Характерно что гений и творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней старости о чём свидетельствует непрерывно растущее старости о чём свидетельствует непрерывно растущее количество написанных им трудов Ещё в день своей количество написанных им трудов Ещё в день своей смерти он вёл оживлённый спор со своими смерти он вёл оживлённый спор со своими сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в НекропольНекрополь

После Эйлера тригонометрия приобрела форму После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления различные факты стали доказываться исчисления различные факты стали доказываться путём формального применения формул тригонометрии путём формального применения формул тригонометрии доказательства стали намного компактнее и прощедоказательства стали намного компактнее и проще

11 2 sinsup2 2 sinsup2 хх -- 7cos x - 5 = 0 7cos x - 5 = 0 2(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 02(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 0 2 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 02 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 0 - 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0- 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0 Пусть Пусть cos xcos x = = y y и | у | le 1 и | у | le 1 2уsup2 + 7у + 3 = 02уsup2 + 7у + 3 = 0 уı = - 3 у = - нет уı = - 3 у = - нет

решений решений cos xcos x = - = -

xx = plusmn π = plusmn π + 2π+ 2πnn n n є є

Ответ plusmn π + 2πОтвет plusmn π + 2πnn n n euro poundeuro pound

22 cos2x + 3 sin x = 2cos2x + 3 sin x = 2 11-- sinsup2 x + 3 sin x = 2 sinsup2 x + 3 sin x = 2 --sinsup2 x + 3 sin x sinsup2 x + 3 sin x -- 1 = 0 1 = 0 Пусть sin x = Пусть sin x = yy | у | le 1 | у | le 1 ysup2 ysup2 -- 3y + 1 = 0 3y + 1 = 0 a + b + c = 0 =gt y = 1 a + b + c = 0 =gt y = 1 или или y = y = sin x = 1 sin x = sin x = 1 sin x = x = x = ππ + 2πk k є Z x = + 2πk k є Z x =

(˗1) middotπ + πn n є Z(˗1) middotπ + πn n є Z ОтветОтвет ππ + 2πk x = (-1) middotπ + πn + 2πk x = (-1) middotπ + πn гдегде

n k є Zn k є Z Выполнила Мамедова Айнура 10 Выполнила Мамедова Айнура 10

класскласс

Метод исполнения Метод исполнения свойства свойства ограниченности ограниченности функции функции (метод оценки)(метод оценки)

laquoМетод решения хорош если с самого начала мы можем предвидеть ndash и впоследствии подтвердить это - что следуя этому методу мы достигнем

целиraquo Лейбниц

Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово functionfunction переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров связанных с положением точки на плоскостиназвания различных параметров связанных с положением точки на плоскости

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не интересовался педагогической деятельностьюинтересовался педагогической деятельностью

В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика Именно Лейбниц является создателем современной символики символика Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше публикованыпубликованы

Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механикебыло только средством решения задач по механике

Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 ноября 1716 г За его гробом шел только один его верный другноября 1716 г За его гробом шел только один его верный друг

Если функции Если функции ff((xx) ) b gb g((xx) таковы что для всех х выполняется неравенства) таковы что для всех х выполняется неравенства FF((xx) le) leαα и и gg((xx)le)leββ и дано уравнение и дано уравнение FF((xx) + ) + gg((xx)=)=αα++ββ то оно равносильно системе то оно равносильно системе

ff((xx)=)=αα gg((xx)=)=ββ

11 sin sin xx - cos 6x = 2 - cos 6x = 2 33 |Sin |Sin xx| le 1 |cos 6x| le 1 | le 1 |cos 6x| le 1

Cos 6x = -1

Sin x = 1 3 Cos 6x = -1

lt=gt x = π + 2 π k k Є Z 2 3

6x = π + 2 π k n Є Z

lt=gt x= 3π +6 π k k ЄZ 2

x= π + πn n Є Z x= π + πn n Є Z

x= π + πn n Є Z 6 3

Ответ 3π+6 π ι ι= Z 2

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

laquoМетодlaquoМетод разложение на разложение на множителиraquoмножителиraquo Слово laquoтригонометрияraquo впервые встречается Слово laquoтригонометрияraquo впервые встречается

(1505г) в заглавии книги немецкого теолога и (1505г) в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса Происхождение этого математика Питискуса Происхождение этого слова греческое от слов laquoтреугольникraquo и laquoмераraquo слова греческое от слов laquoтреугольникraquo и laquoмераraquo Те тригонометрия ndash наука об измерении Те тригонометрия ndash наука об измерении треугольников Хотя название возникло треугольников Хотя название возникло сравнительно недавно многие относимые сейчас сравнительно недавно многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны к тригонометрии понятия и факты были известны уже две тысячи лет назадуже две тысячи лет назад

Длительную историю имеет понятие laquoсинусаraquo Длительную историю имеет понятие laquoсинусаraquo Фактически различные отношения отрезков Фактически различные отношения отрезков треугольника к окружности (а по существу и треугольника к окружности (а по существу и тригонометрические функции) встречаются уже в тригонометрические функции) встречаются уже в IIIIII в до нэ в работах великих математиков в до нэ в работах великих математиков Древней Греции ndash Евклида Архимеда Аполлония Древней Греции ndash Евклида Архимеда Аполлония В римский период эти отношения уже достаточно В римский период эти отношения уже достаточно систематично исследовались Менелаем (систематично исследовались Менелаем (I I внэ) внэ) хотя и не приобрели специального названияхотя и не приобрели специального названия

В последующий период математика В последующий период математика долгое время наиболее активно развивалась долгое время наиболее активно развивалась индийскими и арабскими учеными В индийскими и арабскими учеными В IVIV--V V вв вв появился уже специальный термин появился уже специальный термин I I в laquoард-в laquoард-ходживаraquo (ардх ndash половина джива ndash тетива ходживаraquo (ардх ndash половина джива ndash тетива лука которую напоминает хорда) Позднее лука которую напоминает хорда) Позднее привилось более краткое название laquoдживаraquoпривилось более краткое название laquoдживаraquo

Слово косинус намного моложе Косинус Слово косинус намного моложе Косинус ndash это сокращение латинского выражения ndash это сокращение латинского выражения complementy sinuscomplementy sinus те laquoдополнительный те laquoдополнительный синусraquo (или laquoсинус дополнительной дугиraquo синусraquo (или laquoсинус дополнительной дугиraquo вспомните вспомните cos α cos α = = sin sin (90deg - α))(90deg - α))

11

sinsup2x ndash sin x = 0sinsup2x ndash sin x = 0

sin x (sin x ndash 1) = 0sin x (sin x ndash 1) = 0

sin x = 0 sin x = 0 или или sin x ndash 1 = 0 sin x ndash 1 = 0

x =x =ππnn n є Z n є Z sin x = 1 sin x = 1

x =x =ππ22+2+2ππkk kk є Z є Z

ОтветОтветππ2+22+2ππkk где где nn kk є є ZZ

22radicradic2 2 cos x + cos x + ((|sin x ndash 1| |sin x ndash 1| ((sin x ndash 1sin x ndash 1)) )) timestimes sin 2x = 0sin 2x = 0sin x ndash 1 ne 0sin x ndash 1 ne 0sin x ndash 1 lt 0sin x ndash 1 lt 0sin x lt 1sin x lt 1radicradic2 2 cos x + cos x + ((((1 ndash 1 ndash sin x) sin x) (sin x ndash 1) (sin x ndash 1))) times times sin 2x = 0sin 2x = 0radicradic2 2 cos x ndash 1 times 2sin x times cos x = 0cos x ndash 1 times 2sin x times cos x = 0cos x (cos x (radic2 radic2 ndash 2sin x) = 0ndash 2sin x) = 0cos x = 0 cos x = 0 илиили radic2radic2 ndash 2sin x = 0 ndash 2sin x = 0x =x =ππ22 ++ ππkk kk єє Z sin x = Z sin x = radic2radic222

x = (-1)ⁿ times x = (-1)ⁿ times ππ4 + 4 + ππnn nn єє Z ZОтветОтвет ππ2+ 2+ ππkk (-1)ⁿ times (-1)ⁿ times ππ4 + 4 + ππnn где где nn kk є є ZZ

Выполнила Барышникова ЕленаВыполнила Барышникова Елена10 класс10 класс

Метод использования условия равенства Метод использования условия равенства одноименных тригонометрических функцийодноименных тригонометрических функций

Длительное время тригонометрия развивалась как часть Длительное время тригонометрия развивалась как часть геометрии т е факты которые мы сейчас формулируем в геометрии т е факты которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций формулировались терминах тригонометрических функций формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений Пожалуй наибольшие стимулы к развитию утверждений Пожалуй наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решение задач тригонометрии возникали в связи с решение задач астрономии что представляло большой практический астрономии что представляло большой практический интерес (например для решения задач определения интерес (например для решения задач определения местонахождения судна предсказания затмений и т д) местонахождения судна предсказания затмений и т д) Астрономов интересовали соотношения между сторонами и Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников составленных из углами сферических треугольников составленных из больших кругов лежащих на сфере И надо заметить что больших кругов лежащих на сфере И надо заметить что математики древности удачно справлялись с задачами математики древности удачно справлялись с задачами существенно более трудными нежели задачи на решение существенно более трудными нежели задачи на решение плоских треугольниковплоских треугольниковВ геометрической форме многие известные нам формулы В геометрической форме многие известные нам формулы тригонометрии открывались и переоткрывались тригонометрии открывались и переоткрывались древнегреческими индийскими арабскими математиками древнегреческими индийскими арабскими математиками

Гиппарх

Способы решения треугольников основанные на

зависимостях между сторонами и углами

треугольника

Клавдий Птолемей

Астрономы 2 век до

н э

и 2 век н э

Николай КоперникАстроном 1473-1543

Творец гелиоцентрической

системы мира

Астроном 1473-1543

sin f(x) = sin φ(x)sin f(x) = sin φ(x)

f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = φ(x) + 2πk

f(x) = π- φ+2πn f(x) = π- φ+2πn

n k є Zn k є Z

cos f(x) = cos φ(x)cos f(x) = cos φ(x)

f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = φ(x) + 2πk

f(x) = -φ(x) + 2πnf(x) = -φ(x) + 2πn

n k n k єє Z Z

tg f(x) = tg φ(x)tg f(x) = tg φ(x)

f(x) = φ(x) + πnf(x) = φ(x) + πn

φ(x) ne φ(x) ne π π + πl+ πl

2 2

n l n l єє Z Z

Пример 1Пример 1

sin 2x = sin 5xsin 2x = sin 5x

Ответ Ответ 2π2π k (1 - 2π) k (1 - 2π) ππ

3 3 77

ггде де n u k Є Zn u k Є Z

5x = 2x + 2πk

5x = π- 2x + 2πn

3x = 2πk

7x = (1 + 2π)π

x = 2πk 3 πx = (1 + 2π) 7

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 2Пример 2 sin 5x = -sin xsin 5x = -sin x sin 5x = sin (-x)sin 5x = sin (-x)

ОтветОтвет ππ k ( 1+2n) k ( 1+2n) π π

3 43 4 ГдеГде n n ии k Є Z k Є Z

5x ndash (-x) = 2πk

5x =π- (-x)+2πn

x = π k 3 πx = ( 1+2n) 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 3Пример 3 cos 3x = cos 5xcos 3x = cos 5x

Ответ πОтвет πk k ππ n n

44

где где n u k Є Zn u k Є Z

3x=5x+2πk

3x=-5x+2πn

2x=2πk

8x=2πn

x=πkx=π n 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 4Пример 4tg 3x tg (5x+tg 3x tg (5x+ππ)=1 tg 3x)=1 tg 3x 3 tg 3xne03 tg 3xne0 tg (5x+tg (5x+ππ)= )= 1 1 3 3 tg 3xtg 3xtg (5x+tg (5x+ππ)= ctg 3x )= ctg 3x

3 3 tg (5x+tg (5x+ π π)=tg ()=tg (ππ-3x)-3x) 3 3 22

Ответ Ответ ππ (1+6(1+6n)n) 4848n n єє Z ZВыполнила Шумакова Екатерина 10 классВыполнила Шумакова Екатерина 10 класс

5x+π=π-3x+πn32

π-3xneπ+πl2 2

8x=π+πn 6-3xneπl

x=π+πn48

xneπl 3

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Метод Метод ccведения к ведения к алгебраическому алгебраическому уравнениюуравнению

Член Петербургской Академиинаук аналитическая теория

тригонометрическихфункций

Современный вид тригонометрии придал крупнейший Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик математик XVIII XVIII столетия Л Эйлер (1707-1783) столетия Л Эйлер (1707-1783) швейцарец по происхождению долгие годы работавший швейцарец по происхождению долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук Именно Эйлер первым ввёл известные наук Именно Эйлер первым ввёл известные определения тригонометрических функций стал определения тригонометрических функций стал рассматривать функции произвольного угла получил рассматривать функции произвольного угла получил формулы приведенияформулы приведения

Несомненно Эйлер принадлежит к числу Несомненно Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времён В истории гениальнейших математиков всех времён В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 году Эйлер продолжал работать Его математический году Эйлер продолжал работать Его математический гений и великолепная память позволили ему гений и великолепная память позволили ему продолжать работупродолжать работу

Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям диктовал новые работы Характерно что гений и диктовал новые работы Характерно что гений и творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней старости о чём свидетельствует непрерывно растущее старости о чём свидетельствует непрерывно растущее количество написанных им трудов Ещё в день своей количество написанных им трудов Ещё в день своей смерти он вёл оживлённый спор со своими смерти он вёл оживлённый спор со своими сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в НекропольНекрополь

После Эйлера тригонометрия приобрела форму После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления различные факты стали доказываться исчисления различные факты стали доказываться путём формального применения формул тригонометрии путём формального применения формул тригонометрии доказательства стали намного компактнее и прощедоказательства стали намного компактнее и проще

11 2 sinsup2 2 sinsup2 хх -- 7cos x - 5 = 0 7cos x - 5 = 0 2(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 02(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 0 2 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 02 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 0 - 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0- 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0 Пусть Пусть cos xcos x = = y y и | у | le 1 и | у | le 1 2уsup2 + 7у + 3 = 02уsup2 + 7у + 3 = 0 уı = - 3 у = - нет уı = - 3 у = - нет

решений решений cos xcos x = - = -

xx = plusmn π = plusmn π + 2π+ 2πnn n n є є

Ответ plusmn π + 2πОтвет plusmn π + 2πnn n n euro poundeuro pound

22 cos2x + 3 sin x = 2cos2x + 3 sin x = 2 11-- sinsup2 x + 3 sin x = 2 sinsup2 x + 3 sin x = 2 --sinsup2 x + 3 sin x sinsup2 x + 3 sin x -- 1 = 0 1 = 0 Пусть sin x = Пусть sin x = yy | у | le 1 | у | le 1 ysup2 ysup2 -- 3y + 1 = 0 3y + 1 = 0 a + b + c = 0 =gt y = 1 a + b + c = 0 =gt y = 1 или или y = y = sin x = 1 sin x = sin x = 1 sin x = x = x = ππ + 2πk k є Z x = + 2πk k є Z x =

(˗1) middotπ + πn n є Z(˗1) middotπ + πn n є Z ОтветОтвет ππ + 2πk x = (-1) middotπ + πn + 2πk x = (-1) middotπ + πn гдегде

n k є Zn k є Z Выполнила Мамедова Айнура 10 Выполнила Мамедова Айнура 10

класскласс

Метод исполнения Метод исполнения свойства свойства ограниченности ограниченности функции функции (метод оценки)(метод оценки)

laquoМетод решения хорош если с самого начала мы можем предвидеть ndash и впоследствии подтвердить это - что следуя этому методу мы достигнем

целиraquo Лейбниц

Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово functionfunction переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров связанных с положением точки на плоскостиназвания различных параметров связанных с положением точки на плоскости

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не интересовался педагогической деятельностьюинтересовался педагогической деятельностью

В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика Именно Лейбниц является создателем современной символики символика Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше публикованыпубликованы

Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механикебыло только средством решения задач по механике

Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 ноября 1716 г За его гробом шел только один его верный другноября 1716 г За его гробом шел только один его верный друг

Если функции Если функции ff((xx) ) b gb g((xx) таковы что для всех х выполняется неравенства) таковы что для всех х выполняется неравенства FF((xx) le) leαα и и gg((xx)le)leββ и дано уравнение и дано уравнение FF((xx) + ) + gg((xx)=)=αα++ββ то оно равносильно системе то оно равносильно системе

ff((xx)=)=αα gg((xx)=)=ββ

11 sin sin xx - cos 6x = 2 - cos 6x = 2 33 |Sin |Sin xx| le 1 |cos 6x| le 1 | le 1 |cos 6x| le 1

Cos 6x = -1

Sin x = 1 3 Cos 6x = -1

lt=gt x = π + 2 π k k Є Z 2 3

6x = π + 2 π k n Є Z

lt=gt x= 3π +6 π k k ЄZ 2

x= π + πn n Є Z x= π + πn n Є Z

x= π + πn n Є Z 6 3

Ответ 3π+6 π ι ι= Z 2

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

В последующий период математика В последующий период математика долгое время наиболее активно развивалась долгое время наиболее активно развивалась индийскими и арабскими учеными В индийскими и арабскими учеными В IVIV--V V вв вв появился уже специальный термин появился уже специальный термин I I в laquoард-в laquoард-ходживаraquo (ардх ndash половина джива ndash тетива ходживаraquo (ардх ndash половина джива ndash тетива лука которую напоминает хорда) Позднее лука которую напоминает хорда) Позднее привилось более краткое название laquoдживаraquoпривилось более краткое название laquoдживаraquo

Слово косинус намного моложе Косинус Слово косинус намного моложе Косинус ndash это сокращение латинского выражения ndash это сокращение латинского выражения complementy sinuscomplementy sinus те laquoдополнительный те laquoдополнительный синусraquo (или laquoсинус дополнительной дугиraquo синусraquo (или laquoсинус дополнительной дугиraquo вспомните вспомните cos α cos α = = sin sin (90deg - α))(90deg - α))

11

sinsup2x ndash sin x = 0sinsup2x ndash sin x = 0

sin x (sin x ndash 1) = 0sin x (sin x ndash 1) = 0

sin x = 0 sin x = 0 или или sin x ndash 1 = 0 sin x ndash 1 = 0

x =x =ππnn n є Z n є Z sin x = 1 sin x = 1

x =x =ππ22+2+2ππkk kk є Z є Z

ОтветОтветππ2+22+2ππkk где где nn kk є є ZZ

22radicradic2 2 cos x + cos x + ((|sin x ndash 1| |sin x ndash 1| ((sin x ndash 1sin x ndash 1)) )) timestimes sin 2x = 0sin 2x = 0sin x ndash 1 ne 0sin x ndash 1 ne 0sin x ndash 1 lt 0sin x ndash 1 lt 0sin x lt 1sin x lt 1radicradic2 2 cos x + cos x + ((((1 ndash 1 ndash sin x) sin x) (sin x ndash 1) (sin x ndash 1))) times times sin 2x = 0sin 2x = 0radicradic2 2 cos x ndash 1 times 2sin x times cos x = 0cos x ndash 1 times 2sin x times cos x = 0cos x (cos x (radic2 radic2 ndash 2sin x) = 0ndash 2sin x) = 0cos x = 0 cos x = 0 илиили radic2radic2 ndash 2sin x = 0 ndash 2sin x = 0x =x =ππ22 ++ ππkk kk єє Z sin x = Z sin x = radic2radic222

x = (-1)ⁿ times x = (-1)ⁿ times ππ4 + 4 + ππnn nn єє Z ZОтветОтвет ππ2+ 2+ ππkk (-1)ⁿ times (-1)ⁿ times ππ4 + 4 + ππnn где где nn kk є є ZZ

Выполнила Барышникова ЕленаВыполнила Барышникова Елена10 класс10 класс

Метод использования условия равенства Метод использования условия равенства одноименных тригонометрических функцийодноименных тригонометрических функций

Длительное время тригонометрия развивалась как часть Длительное время тригонометрия развивалась как часть геометрии т е факты которые мы сейчас формулируем в геометрии т е факты которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций формулировались терминах тригонометрических функций формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений Пожалуй наибольшие стимулы к развитию утверждений Пожалуй наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решение задач тригонометрии возникали в связи с решение задач астрономии что представляло большой практический астрономии что представляло большой практический интерес (например для решения задач определения интерес (например для решения задач определения местонахождения судна предсказания затмений и т д) местонахождения судна предсказания затмений и т д) Астрономов интересовали соотношения между сторонами и Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников составленных из углами сферических треугольников составленных из больших кругов лежащих на сфере И надо заметить что больших кругов лежащих на сфере И надо заметить что математики древности удачно справлялись с задачами математики древности удачно справлялись с задачами существенно более трудными нежели задачи на решение существенно более трудными нежели задачи на решение плоских треугольниковплоских треугольниковВ геометрической форме многие известные нам формулы В геометрической форме многие известные нам формулы тригонометрии открывались и переоткрывались тригонометрии открывались и переоткрывались древнегреческими индийскими арабскими математиками древнегреческими индийскими арабскими математиками

Гиппарх

Способы решения треугольников основанные на

зависимостях между сторонами и углами

треугольника

Клавдий Птолемей

Астрономы 2 век до

н э

и 2 век н э

Николай КоперникАстроном 1473-1543

Творец гелиоцентрической

системы мира

Астроном 1473-1543

sin f(x) = sin φ(x)sin f(x) = sin φ(x)

f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = φ(x) + 2πk

f(x) = π- φ+2πn f(x) = π- φ+2πn

n k є Zn k є Z

cos f(x) = cos φ(x)cos f(x) = cos φ(x)

f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = φ(x) + 2πk

f(x) = -φ(x) + 2πnf(x) = -φ(x) + 2πn

n k n k єє Z Z

tg f(x) = tg φ(x)tg f(x) = tg φ(x)

f(x) = φ(x) + πnf(x) = φ(x) + πn

φ(x) ne φ(x) ne π π + πl+ πl

2 2

n l n l єє Z Z

Пример 1Пример 1

sin 2x = sin 5xsin 2x = sin 5x

Ответ Ответ 2π2π k (1 - 2π) k (1 - 2π) ππ

3 3 77

ггде де n u k Є Zn u k Є Z

5x = 2x + 2πk

5x = π- 2x + 2πn

3x = 2πk

7x = (1 + 2π)π

x = 2πk 3 πx = (1 + 2π) 7

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 2Пример 2 sin 5x = -sin xsin 5x = -sin x sin 5x = sin (-x)sin 5x = sin (-x)

ОтветОтвет ππ k ( 1+2n) k ( 1+2n) π π

3 43 4 ГдеГде n n ии k Є Z k Є Z

5x ndash (-x) = 2πk

5x =π- (-x)+2πn

x = π k 3 πx = ( 1+2n) 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 3Пример 3 cos 3x = cos 5xcos 3x = cos 5x

Ответ πОтвет πk k ππ n n

44

где где n u k Є Zn u k Є Z

3x=5x+2πk

3x=-5x+2πn

2x=2πk

8x=2πn

x=πkx=π n 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 4Пример 4tg 3x tg (5x+tg 3x tg (5x+ππ)=1 tg 3x)=1 tg 3x 3 tg 3xne03 tg 3xne0 tg (5x+tg (5x+ππ)= )= 1 1 3 3 tg 3xtg 3xtg (5x+tg (5x+ππ)= ctg 3x )= ctg 3x

3 3 tg (5x+tg (5x+ π π)=tg ()=tg (ππ-3x)-3x) 3 3 22

Ответ Ответ ππ (1+6(1+6n)n) 4848n n єє Z ZВыполнила Шумакова Екатерина 10 классВыполнила Шумакова Екатерина 10 класс

5x+π=π-3x+πn32

π-3xneπ+πl2 2

8x=π+πn 6-3xneπl

x=π+πn48

xneπl 3

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Метод Метод ccведения к ведения к алгебраическому алгебраическому уравнениюуравнению

Член Петербургской Академиинаук аналитическая теория

тригонометрическихфункций

Современный вид тригонометрии придал крупнейший Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик математик XVIII XVIII столетия Л Эйлер (1707-1783) столетия Л Эйлер (1707-1783) швейцарец по происхождению долгие годы работавший швейцарец по происхождению долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук Именно Эйлер первым ввёл известные наук Именно Эйлер первым ввёл известные определения тригонометрических функций стал определения тригонометрических функций стал рассматривать функции произвольного угла получил рассматривать функции произвольного угла получил формулы приведенияформулы приведения

Несомненно Эйлер принадлежит к числу Несомненно Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времён В истории гениальнейших математиков всех времён В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 году Эйлер продолжал работать Его математический году Эйлер продолжал работать Его математический гений и великолепная память позволили ему гений и великолепная память позволили ему продолжать работупродолжать работу

Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям диктовал новые работы Характерно что гений и диктовал новые работы Характерно что гений и творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней старости о чём свидетельствует непрерывно растущее старости о чём свидетельствует непрерывно растущее количество написанных им трудов Ещё в день своей количество написанных им трудов Ещё в день своей смерти он вёл оживлённый спор со своими смерти он вёл оживлённый спор со своими сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в НекропольНекрополь

После Эйлера тригонометрия приобрела форму После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления различные факты стали доказываться исчисления различные факты стали доказываться путём формального применения формул тригонометрии путём формального применения формул тригонометрии доказательства стали намного компактнее и прощедоказательства стали намного компактнее и проще

11 2 sinsup2 2 sinsup2 хх -- 7cos x - 5 = 0 7cos x - 5 = 0 2(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 02(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 0 2 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 02 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 0 - 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0- 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0 Пусть Пусть cos xcos x = = y y и | у | le 1 и | у | le 1 2уsup2 + 7у + 3 = 02уsup2 + 7у + 3 = 0 уı = - 3 у = - нет уı = - 3 у = - нет

решений решений cos xcos x = - = -

xx = plusmn π = plusmn π + 2π+ 2πnn n n є є

Ответ plusmn π + 2πОтвет plusmn π + 2πnn n n euro poundeuro pound

22 cos2x + 3 sin x = 2cos2x + 3 sin x = 2 11-- sinsup2 x + 3 sin x = 2 sinsup2 x + 3 sin x = 2 --sinsup2 x + 3 sin x sinsup2 x + 3 sin x -- 1 = 0 1 = 0 Пусть sin x = Пусть sin x = yy | у | le 1 | у | le 1 ysup2 ysup2 -- 3y + 1 = 0 3y + 1 = 0 a + b + c = 0 =gt y = 1 a + b + c = 0 =gt y = 1 или или y = y = sin x = 1 sin x = sin x = 1 sin x = x = x = ππ + 2πk k є Z x = + 2πk k є Z x =

(˗1) middotπ + πn n є Z(˗1) middotπ + πn n є Z ОтветОтвет ππ + 2πk x = (-1) middotπ + πn + 2πk x = (-1) middotπ + πn гдегде

n k є Zn k є Z Выполнила Мамедова Айнура 10 Выполнила Мамедова Айнура 10

класскласс

Метод исполнения Метод исполнения свойства свойства ограниченности ограниченности функции функции (метод оценки)(метод оценки)

laquoМетод решения хорош если с самого начала мы можем предвидеть ndash и впоследствии подтвердить это - что следуя этому методу мы достигнем

целиraquo Лейбниц

Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово functionfunction переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров связанных с положением точки на плоскостиназвания различных параметров связанных с положением точки на плоскости

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не интересовался педагогической деятельностьюинтересовался педагогической деятельностью

В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика Именно Лейбниц является создателем современной символики символика Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше публикованыпубликованы

Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механикебыло только средством решения задач по механике

Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 ноября 1716 г За его гробом шел только один его верный другноября 1716 г За его гробом шел только один его верный друг

Если функции Если функции ff((xx) ) b gb g((xx) таковы что для всех х выполняется неравенства) таковы что для всех х выполняется неравенства FF((xx) le) leαα и и gg((xx)le)leββ и дано уравнение и дано уравнение FF((xx) + ) + gg((xx)=)=αα++ββ то оно равносильно системе то оно равносильно системе

ff((xx)=)=αα gg((xx)=)=ββ

11 sin sin xx - cos 6x = 2 - cos 6x = 2 33 |Sin |Sin xx| le 1 |cos 6x| le 1 | le 1 |cos 6x| le 1

Cos 6x = -1

Sin x = 1 3 Cos 6x = -1

lt=gt x = π + 2 π k k Є Z 2 3

6x = π + 2 π k n Є Z

lt=gt x= 3π +6 π k k ЄZ 2

x= π + πn n Є Z x= π + πn n Є Z

x= π + πn n Є Z 6 3

Ответ 3π+6 π ι ι= Z 2

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

11

sinsup2x ndash sin x = 0sinsup2x ndash sin x = 0

sin x (sin x ndash 1) = 0sin x (sin x ndash 1) = 0

sin x = 0 sin x = 0 или или sin x ndash 1 = 0 sin x ndash 1 = 0

x =x =ππnn n є Z n є Z sin x = 1 sin x = 1

x =x =ππ22+2+2ππkk kk є Z є Z

ОтветОтветππ2+22+2ππkk где где nn kk є є ZZ

22radicradic2 2 cos x + cos x + ((|sin x ndash 1| |sin x ndash 1| ((sin x ndash 1sin x ndash 1)) )) timestimes sin 2x = 0sin 2x = 0sin x ndash 1 ne 0sin x ndash 1 ne 0sin x ndash 1 lt 0sin x ndash 1 lt 0sin x lt 1sin x lt 1radicradic2 2 cos x + cos x + ((((1 ndash 1 ndash sin x) sin x) (sin x ndash 1) (sin x ndash 1))) times times sin 2x = 0sin 2x = 0radicradic2 2 cos x ndash 1 times 2sin x times cos x = 0cos x ndash 1 times 2sin x times cos x = 0cos x (cos x (radic2 radic2 ndash 2sin x) = 0ndash 2sin x) = 0cos x = 0 cos x = 0 илиили radic2radic2 ndash 2sin x = 0 ndash 2sin x = 0x =x =ππ22 ++ ππkk kk єє Z sin x = Z sin x = radic2radic222

x = (-1)ⁿ times x = (-1)ⁿ times ππ4 + 4 + ππnn nn єє Z ZОтветОтвет ππ2+ 2+ ππkk (-1)ⁿ times (-1)ⁿ times ππ4 + 4 + ππnn где где nn kk є є ZZ

Выполнила Барышникова ЕленаВыполнила Барышникова Елена10 класс10 класс

Метод использования условия равенства Метод использования условия равенства одноименных тригонометрических функцийодноименных тригонометрических функций

Длительное время тригонометрия развивалась как часть Длительное время тригонометрия развивалась как часть геометрии т е факты которые мы сейчас формулируем в геометрии т е факты которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций формулировались терминах тригонометрических функций формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений Пожалуй наибольшие стимулы к развитию утверждений Пожалуй наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решение задач тригонометрии возникали в связи с решение задач астрономии что представляло большой практический астрономии что представляло большой практический интерес (например для решения задач определения интерес (например для решения задач определения местонахождения судна предсказания затмений и т д) местонахождения судна предсказания затмений и т д) Астрономов интересовали соотношения между сторонами и Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников составленных из углами сферических треугольников составленных из больших кругов лежащих на сфере И надо заметить что больших кругов лежащих на сфере И надо заметить что математики древности удачно справлялись с задачами математики древности удачно справлялись с задачами существенно более трудными нежели задачи на решение существенно более трудными нежели задачи на решение плоских треугольниковплоских треугольниковВ геометрической форме многие известные нам формулы В геометрической форме многие известные нам формулы тригонометрии открывались и переоткрывались тригонометрии открывались и переоткрывались древнегреческими индийскими арабскими математиками древнегреческими индийскими арабскими математиками

Гиппарх

Способы решения треугольников основанные на

зависимостях между сторонами и углами

треугольника

Клавдий Птолемей

Астрономы 2 век до

н э

и 2 век н э

Николай КоперникАстроном 1473-1543

Творец гелиоцентрической

системы мира

Астроном 1473-1543

sin f(x) = sin φ(x)sin f(x) = sin φ(x)

f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = φ(x) + 2πk

f(x) = π- φ+2πn f(x) = π- φ+2πn

n k є Zn k є Z

cos f(x) = cos φ(x)cos f(x) = cos φ(x)

f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = φ(x) + 2πk

f(x) = -φ(x) + 2πnf(x) = -φ(x) + 2πn

n k n k єє Z Z

tg f(x) = tg φ(x)tg f(x) = tg φ(x)

f(x) = φ(x) + πnf(x) = φ(x) + πn

φ(x) ne φ(x) ne π π + πl+ πl

2 2

n l n l єє Z Z

Пример 1Пример 1

sin 2x = sin 5xsin 2x = sin 5x

Ответ Ответ 2π2π k (1 - 2π) k (1 - 2π) ππ

3 3 77

ггде де n u k Є Zn u k Є Z

5x = 2x + 2πk

5x = π- 2x + 2πn

3x = 2πk

7x = (1 + 2π)π

x = 2πk 3 πx = (1 + 2π) 7

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 2Пример 2 sin 5x = -sin xsin 5x = -sin x sin 5x = sin (-x)sin 5x = sin (-x)

ОтветОтвет ππ k ( 1+2n) k ( 1+2n) π π

3 43 4 ГдеГде n n ии k Є Z k Є Z

5x ndash (-x) = 2πk

5x =π- (-x)+2πn

x = π k 3 πx = ( 1+2n) 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 3Пример 3 cos 3x = cos 5xcos 3x = cos 5x

Ответ πОтвет πk k ππ n n

44

где где n u k Є Zn u k Є Z

3x=5x+2πk

3x=-5x+2πn

2x=2πk

8x=2πn

x=πkx=π n 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 4Пример 4tg 3x tg (5x+tg 3x tg (5x+ππ)=1 tg 3x)=1 tg 3x 3 tg 3xne03 tg 3xne0 tg (5x+tg (5x+ππ)= )= 1 1 3 3 tg 3xtg 3xtg (5x+tg (5x+ππ)= ctg 3x )= ctg 3x

3 3 tg (5x+tg (5x+ π π)=tg ()=tg (ππ-3x)-3x) 3 3 22

Ответ Ответ ππ (1+6(1+6n)n) 4848n n єє Z ZВыполнила Шумакова Екатерина 10 классВыполнила Шумакова Екатерина 10 класс

5x+π=π-3x+πn32

π-3xneπ+πl2 2

8x=π+πn 6-3xneπl

x=π+πn48

xneπl 3

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Метод Метод ccведения к ведения к алгебраическому алгебраическому уравнениюуравнению

Член Петербургской Академиинаук аналитическая теория

тригонометрическихфункций

Современный вид тригонометрии придал крупнейший Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик математик XVIII XVIII столетия Л Эйлер (1707-1783) столетия Л Эйлер (1707-1783) швейцарец по происхождению долгие годы работавший швейцарец по происхождению долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук Именно Эйлер первым ввёл известные наук Именно Эйлер первым ввёл известные определения тригонометрических функций стал определения тригонометрических функций стал рассматривать функции произвольного угла получил рассматривать функции произвольного угла получил формулы приведенияформулы приведения

Несомненно Эйлер принадлежит к числу Несомненно Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времён В истории гениальнейших математиков всех времён В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 году Эйлер продолжал работать Его математический году Эйлер продолжал работать Его математический гений и великолепная память позволили ему гений и великолепная память позволили ему продолжать работупродолжать работу

Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям диктовал новые работы Характерно что гений и диктовал новые работы Характерно что гений и творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней старости о чём свидетельствует непрерывно растущее старости о чём свидетельствует непрерывно растущее количество написанных им трудов Ещё в день своей количество написанных им трудов Ещё в день своей смерти он вёл оживлённый спор со своими смерти он вёл оживлённый спор со своими сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в НекропольНекрополь

После Эйлера тригонометрия приобрела форму После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления различные факты стали доказываться исчисления различные факты стали доказываться путём формального применения формул тригонометрии путём формального применения формул тригонометрии доказательства стали намного компактнее и прощедоказательства стали намного компактнее и проще

11 2 sinsup2 2 sinsup2 хх -- 7cos x - 5 = 0 7cos x - 5 = 0 2(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 02(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 0 2 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 02 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 0 - 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0- 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0 Пусть Пусть cos xcos x = = y y и | у | le 1 и | у | le 1 2уsup2 + 7у + 3 = 02уsup2 + 7у + 3 = 0 уı = - 3 у = - нет уı = - 3 у = - нет

решений решений cos xcos x = - = -

xx = plusmn π = plusmn π + 2π+ 2πnn n n є є

Ответ plusmn π + 2πОтвет plusmn π + 2πnn n n euro poundeuro pound

22 cos2x + 3 sin x = 2cos2x + 3 sin x = 2 11-- sinsup2 x + 3 sin x = 2 sinsup2 x + 3 sin x = 2 --sinsup2 x + 3 sin x sinsup2 x + 3 sin x -- 1 = 0 1 = 0 Пусть sin x = Пусть sin x = yy | у | le 1 | у | le 1 ysup2 ysup2 -- 3y + 1 = 0 3y + 1 = 0 a + b + c = 0 =gt y = 1 a + b + c = 0 =gt y = 1 или или y = y = sin x = 1 sin x = sin x = 1 sin x = x = x = ππ + 2πk k є Z x = + 2πk k є Z x =

(˗1) middotπ + πn n є Z(˗1) middotπ + πn n є Z ОтветОтвет ππ + 2πk x = (-1) middotπ + πn + 2πk x = (-1) middotπ + πn гдегде

n k є Zn k є Z Выполнила Мамедова Айнура 10 Выполнила Мамедова Айнура 10

класскласс

Метод исполнения Метод исполнения свойства свойства ограниченности ограниченности функции функции (метод оценки)(метод оценки)

laquoМетод решения хорош если с самого начала мы можем предвидеть ndash и впоследствии подтвердить это - что следуя этому методу мы достигнем

целиraquo Лейбниц

Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово functionfunction переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров связанных с положением точки на плоскостиназвания различных параметров связанных с положением точки на плоскости

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не интересовался педагогической деятельностьюинтересовался педагогической деятельностью

В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика Именно Лейбниц является создателем современной символики символика Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше публикованыпубликованы

Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механикебыло только средством решения задач по механике

Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 ноября 1716 г За его гробом шел только один его верный другноября 1716 г За его гробом шел только один его верный друг

Если функции Если функции ff((xx) ) b gb g((xx) таковы что для всех х выполняется неравенства) таковы что для всех х выполняется неравенства FF((xx) le) leαα и и gg((xx)le)leββ и дано уравнение и дано уравнение FF((xx) + ) + gg((xx)=)=αα++ββ то оно равносильно системе то оно равносильно системе

ff((xx)=)=αα gg((xx)=)=ββ

11 sin sin xx - cos 6x = 2 - cos 6x = 2 33 |Sin |Sin xx| le 1 |cos 6x| le 1 | le 1 |cos 6x| le 1

Cos 6x = -1

Sin x = 1 3 Cos 6x = -1

lt=gt x = π + 2 π k k Є Z 2 3

6x = π + 2 π k n Є Z

lt=gt x= 3π +6 π k k ЄZ 2

x= π + πn n Є Z x= π + πn n Є Z

x= π + πn n Є Z 6 3

Ответ 3π+6 π ι ι= Z 2

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

22radicradic2 2 cos x + cos x + ((|sin x ndash 1| |sin x ndash 1| ((sin x ndash 1sin x ndash 1)) )) timestimes sin 2x = 0sin 2x = 0sin x ndash 1 ne 0sin x ndash 1 ne 0sin x ndash 1 lt 0sin x ndash 1 lt 0sin x lt 1sin x lt 1radicradic2 2 cos x + cos x + ((((1 ndash 1 ndash sin x) sin x) (sin x ndash 1) (sin x ndash 1))) times times sin 2x = 0sin 2x = 0radicradic2 2 cos x ndash 1 times 2sin x times cos x = 0cos x ndash 1 times 2sin x times cos x = 0cos x (cos x (radic2 radic2 ndash 2sin x) = 0ndash 2sin x) = 0cos x = 0 cos x = 0 илиили radic2radic2 ndash 2sin x = 0 ndash 2sin x = 0x =x =ππ22 ++ ππkk kk єє Z sin x = Z sin x = radic2radic222

x = (-1)ⁿ times x = (-1)ⁿ times ππ4 + 4 + ππnn nn єє Z ZОтветОтвет ππ2+ 2+ ππkk (-1)ⁿ times (-1)ⁿ times ππ4 + 4 + ππnn где где nn kk є є ZZ

Выполнила Барышникова ЕленаВыполнила Барышникова Елена10 класс10 класс

Метод использования условия равенства Метод использования условия равенства одноименных тригонометрических функцийодноименных тригонометрических функций

Длительное время тригонометрия развивалась как часть Длительное время тригонометрия развивалась как часть геометрии т е факты которые мы сейчас формулируем в геометрии т е факты которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций формулировались терминах тригонометрических функций формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений Пожалуй наибольшие стимулы к развитию утверждений Пожалуй наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решение задач тригонометрии возникали в связи с решение задач астрономии что представляло большой практический астрономии что представляло большой практический интерес (например для решения задач определения интерес (например для решения задач определения местонахождения судна предсказания затмений и т д) местонахождения судна предсказания затмений и т д) Астрономов интересовали соотношения между сторонами и Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников составленных из углами сферических треугольников составленных из больших кругов лежащих на сфере И надо заметить что больших кругов лежащих на сфере И надо заметить что математики древности удачно справлялись с задачами математики древности удачно справлялись с задачами существенно более трудными нежели задачи на решение существенно более трудными нежели задачи на решение плоских треугольниковплоских треугольниковВ геометрической форме многие известные нам формулы В геометрической форме многие известные нам формулы тригонометрии открывались и переоткрывались тригонометрии открывались и переоткрывались древнегреческими индийскими арабскими математиками древнегреческими индийскими арабскими математиками

Гиппарх

Способы решения треугольников основанные на

зависимостях между сторонами и углами

треугольника

Клавдий Птолемей

Астрономы 2 век до

н э

и 2 век н э

Николай КоперникАстроном 1473-1543

Творец гелиоцентрической

системы мира

Астроном 1473-1543

sin f(x) = sin φ(x)sin f(x) = sin φ(x)

f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = φ(x) + 2πk

f(x) = π- φ+2πn f(x) = π- φ+2πn

n k є Zn k є Z

cos f(x) = cos φ(x)cos f(x) = cos φ(x)

f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = φ(x) + 2πk

f(x) = -φ(x) + 2πnf(x) = -φ(x) + 2πn

n k n k єє Z Z

tg f(x) = tg φ(x)tg f(x) = tg φ(x)

f(x) = φ(x) + πnf(x) = φ(x) + πn

φ(x) ne φ(x) ne π π + πl+ πl

2 2

n l n l єє Z Z

Пример 1Пример 1

sin 2x = sin 5xsin 2x = sin 5x

Ответ Ответ 2π2π k (1 - 2π) k (1 - 2π) ππ

3 3 77

ггде де n u k Є Zn u k Є Z

5x = 2x + 2πk

5x = π- 2x + 2πn

3x = 2πk

7x = (1 + 2π)π

x = 2πk 3 πx = (1 + 2π) 7

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 2Пример 2 sin 5x = -sin xsin 5x = -sin x sin 5x = sin (-x)sin 5x = sin (-x)

ОтветОтвет ππ k ( 1+2n) k ( 1+2n) π π

3 43 4 ГдеГде n n ии k Є Z k Є Z

5x ndash (-x) = 2πk

5x =π- (-x)+2πn

x = π k 3 πx = ( 1+2n) 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 3Пример 3 cos 3x = cos 5xcos 3x = cos 5x

Ответ πОтвет πk k ππ n n

44

где где n u k Є Zn u k Є Z

3x=5x+2πk

3x=-5x+2πn

2x=2πk

8x=2πn

x=πkx=π n 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 4Пример 4tg 3x tg (5x+tg 3x tg (5x+ππ)=1 tg 3x)=1 tg 3x 3 tg 3xne03 tg 3xne0 tg (5x+tg (5x+ππ)= )= 1 1 3 3 tg 3xtg 3xtg (5x+tg (5x+ππ)= ctg 3x )= ctg 3x

3 3 tg (5x+tg (5x+ π π)=tg ()=tg (ππ-3x)-3x) 3 3 22

Ответ Ответ ππ (1+6(1+6n)n) 4848n n єє Z ZВыполнила Шумакова Екатерина 10 классВыполнила Шумакова Екатерина 10 класс

5x+π=π-3x+πn32

π-3xneπ+πl2 2

8x=π+πn 6-3xneπl

x=π+πn48

xneπl 3

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Метод Метод ccведения к ведения к алгебраическому алгебраическому уравнениюуравнению

Член Петербургской Академиинаук аналитическая теория

тригонометрическихфункций

Современный вид тригонометрии придал крупнейший Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик математик XVIII XVIII столетия Л Эйлер (1707-1783) столетия Л Эйлер (1707-1783) швейцарец по происхождению долгие годы работавший швейцарец по происхождению долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук Именно Эйлер первым ввёл известные наук Именно Эйлер первым ввёл известные определения тригонометрических функций стал определения тригонометрических функций стал рассматривать функции произвольного угла получил рассматривать функции произвольного угла получил формулы приведенияформулы приведения

Несомненно Эйлер принадлежит к числу Несомненно Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времён В истории гениальнейших математиков всех времён В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 году Эйлер продолжал работать Его математический году Эйлер продолжал работать Его математический гений и великолепная память позволили ему гений и великолепная память позволили ему продолжать работупродолжать работу

Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям диктовал новые работы Характерно что гений и диктовал новые работы Характерно что гений и творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней старости о чём свидетельствует непрерывно растущее старости о чём свидетельствует непрерывно растущее количество написанных им трудов Ещё в день своей количество написанных им трудов Ещё в день своей смерти он вёл оживлённый спор со своими смерти он вёл оживлённый спор со своими сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в НекропольНекрополь

После Эйлера тригонометрия приобрела форму После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления различные факты стали доказываться исчисления различные факты стали доказываться путём формального применения формул тригонометрии путём формального применения формул тригонометрии доказательства стали намного компактнее и прощедоказательства стали намного компактнее и проще

11 2 sinsup2 2 sinsup2 хх -- 7cos x - 5 = 0 7cos x - 5 = 0 2(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 02(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 0 2 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 02 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 0 - 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0- 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0 Пусть Пусть cos xcos x = = y y и | у | le 1 и | у | le 1 2уsup2 + 7у + 3 = 02уsup2 + 7у + 3 = 0 уı = - 3 у = - нет уı = - 3 у = - нет

решений решений cos xcos x = - = -

xx = plusmn π = plusmn π + 2π+ 2πnn n n є є

Ответ plusmn π + 2πОтвет plusmn π + 2πnn n n euro poundeuro pound

22 cos2x + 3 sin x = 2cos2x + 3 sin x = 2 11-- sinsup2 x + 3 sin x = 2 sinsup2 x + 3 sin x = 2 --sinsup2 x + 3 sin x sinsup2 x + 3 sin x -- 1 = 0 1 = 0 Пусть sin x = Пусть sin x = yy | у | le 1 | у | le 1 ysup2 ysup2 -- 3y + 1 = 0 3y + 1 = 0 a + b + c = 0 =gt y = 1 a + b + c = 0 =gt y = 1 или или y = y = sin x = 1 sin x = sin x = 1 sin x = x = x = ππ + 2πk k є Z x = + 2πk k є Z x =

(˗1) middotπ + πn n є Z(˗1) middotπ + πn n є Z ОтветОтвет ππ + 2πk x = (-1) middotπ + πn + 2πk x = (-1) middotπ + πn гдегде

n k є Zn k є Z Выполнила Мамедова Айнура 10 Выполнила Мамедова Айнура 10

класскласс

Метод исполнения Метод исполнения свойства свойства ограниченности ограниченности функции функции (метод оценки)(метод оценки)

laquoМетод решения хорош если с самого начала мы можем предвидеть ndash и впоследствии подтвердить это - что следуя этому методу мы достигнем

целиraquo Лейбниц

Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово functionfunction переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров связанных с положением точки на плоскостиназвания различных параметров связанных с положением точки на плоскости

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не интересовался педагогической деятельностьюинтересовался педагогической деятельностью

В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика Именно Лейбниц является создателем современной символики символика Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше публикованыпубликованы

Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механикебыло только средством решения задач по механике

Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 ноября 1716 г За его гробом шел только один его верный другноября 1716 г За его гробом шел только один его верный друг

Если функции Если функции ff((xx) ) b gb g((xx) таковы что для всех х выполняется неравенства) таковы что для всех х выполняется неравенства FF((xx) le) leαα и и gg((xx)le)leββ и дано уравнение и дано уравнение FF((xx) + ) + gg((xx)=)=αα++ββ то оно равносильно системе то оно равносильно системе

ff((xx)=)=αα gg((xx)=)=ββ

11 sin sin xx - cos 6x = 2 - cos 6x = 2 33 |Sin |Sin xx| le 1 |cos 6x| le 1 | le 1 |cos 6x| le 1

Cos 6x = -1

Sin x = 1 3 Cos 6x = -1

lt=gt x = π + 2 π k k Є Z 2 3

6x = π + 2 π k n Є Z

lt=gt x= 3π +6 π k k ЄZ 2

x= π + πn n Є Z x= π + πn n Є Z

x= π + πn n Є Z 6 3

Ответ 3π+6 π ι ι= Z 2

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Выполнила Барышникова ЕленаВыполнила Барышникова Елена10 класс10 класс

Метод использования условия равенства Метод использования условия равенства одноименных тригонометрических функцийодноименных тригонометрических функций

Длительное время тригонометрия развивалась как часть Длительное время тригонометрия развивалась как часть геометрии т е факты которые мы сейчас формулируем в геометрии т е факты которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций формулировались терминах тригонометрических функций формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений Пожалуй наибольшие стимулы к развитию утверждений Пожалуй наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решение задач тригонометрии возникали в связи с решение задач астрономии что представляло большой практический астрономии что представляло большой практический интерес (например для решения задач определения интерес (например для решения задач определения местонахождения судна предсказания затмений и т д) местонахождения судна предсказания затмений и т д) Астрономов интересовали соотношения между сторонами и Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников составленных из углами сферических треугольников составленных из больших кругов лежащих на сфере И надо заметить что больших кругов лежащих на сфере И надо заметить что математики древности удачно справлялись с задачами математики древности удачно справлялись с задачами существенно более трудными нежели задачи на решение существенно более трудными нежели задачи на решение плоских треугольниковплоских треугольниковВ геометрической форме многие известные нам формулы В геометрической форме многие известные нам формулы тригонометрии открывались и переоткрывались тригонометрии открывались и переоткрывались древнегреческими индийскими арабскими математиками древнегреческими индийскими арабскими математиками

Гиппарх

Способы решения треугольников основанные на

зависимостях между сторонами и углами

треугольника

Клавдий Птолемей

Астрономы 2 век до

н э

и 2 век н э

Николай КоперникАстроном 1473-1543

Творец гелиоцентрической

системы мира

Астроном 1473-1543

sin f(x) = sin φ(x)sin f(x) = sin φ(x)

f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = φ(x) + 2πk

f(x) = π- φ+2πn f(x) = π- φ+2πn

n k є Zn k є Z

cos f(x) = cos φ(x)cos f(x) = cos φ(x)

f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = φ(x) + 2πk

f(x) = -φ(x) + 2πnf(x) = -φ(x) + 2πn

n k n k єє Z Z

tg f(x) = tg φ(x)tg f(x) = tg φ(x)

f(x) = φ(x) + πnf(x) = φ(x) + πn

φ(x) ne φ(x) ne π π + πl+ πl

2 2

n l n l єє Z Z

Пример 1Пример 1

sin 2x = sin 5xsin 2x = sin 5x

Ответ Ответ 2π2π k (1 - 2π) k (1 - 2π) ππ

3 3 77

ггде де n u k Є Zn u k Є Z

5x = 2x + 2πk

5x = π- 2x + 2πn

3x = 2πk

7x = (1 + 2π)π

x = 2πk 3 πx = (1 + 2π) 7

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 2Пример 2 sin 5x = -sin xsin 5x = -sin x sin 5x = sin (-x)sin 5x = sin (-x)

ОтветОтвет ππ k ( 1+2n) k ( 1+2n) π π

3 43 4 ГдеГде n n ии k Є Z k Є Z

5x ndash (-x) = 2πk

5x =π- (-x)+2πn

x = π k 3 πx = ( 1+2n) 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 3Пример 3 cos 3x = cos 5xcos 3x = cos 5x

Ответ πОтвет πk k ππ n n

44

где где n u k Є Zn u k Є Z

3x=5x+2πk

3x=-5x+2πn

2x=2πk

8x=2πn

x=πkx=π n 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 4Пример 4tg 3x tg (5x+tg 3x tg (5x+ππ)=1 tg 3x)=1 tg 3x 3 tg 3xne03 tg 3xne0 tg (5x+tg (5x+ππ)= )= 1 1 3 3 tg 3xtg 3xtg (5x+tg (5x+ππ)= ctg 3x )= ctg 3x

3 3 tg (5x+tg (5x+ π π)=tg ()=tg (ππ-3x)-3x) 3 3 22

Ответ Ответ ππ (1+6(1+6n)n) 4848n n єє Z ZВыполнила Шумакова Екатерина 10 классВыполнила Шумакова Екатерина 10 класс

5x+π=π-3x+πn32

π-3xneπ+πl2 2

8x=π+πn 6-3xneπl

x=π+πn48

xneπl 3

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Метод Метод ccведения к ведения к алгебраическому алгебраическому уравнениюуравнению

Член Петербургской Академиинаук аналитическая теория

тригонометрическихфункций

Современный вид тригонометрии придал крупнейший Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик математик XVIII XVIII столетия Л Эйлер (1707-1783) столетия Л Эйлер (1707-1783) швейцарец по происхождению долгие годы работавший швейцарец по происхождению долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук Именно Эйлер первым ввёл известные наук Именно Эйлер первым ввёл известные определения тригонометрических функций стал определения тригонометрических функций стал рассматривать функции произвольного угла получил рассматривать функции произвольного угла получил формулы приведенияформулы приведения

Несомненно Эйлер принадлежит к числу Несомненно Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времён В истории гениальнейших математиков всех времён В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 году Эйлер продолжал работать Его математический году Эйлер продолжал работать Его математический гений и великолепная память позволили ему гений и великолепная память позволили ему продолжать работупродолжать работу

Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям диктовал новые работы Характерно что гений и диктовал новые работы Характерно что гений и творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней старости о чём свидетельствует непрерывно растущее старости о чём свидетельствует непрерывно растущее количество написанных им трудов Ещё в день своей количество написанных им трудов Ещё в день своей смерти он вёл оживлённый спор со своими смерти он вёл оживлённый спор со своими сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в НекропольНекрополь

После Эйлера тригонометрия приобрела форму После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления различные факты стали доказываться исчисления различные факты стали доказываться путём формального применения формул тригонометрии путём формального применения формул тригонометрии доказательства стали намного компактнее и прощедоказательства стали намного компактнее и проще

11 2 sinsup2 2 sinsup2 хх -- 7cos x - 5 = 0 7cos x - 5 = 0 2(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 02(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 0 2 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 02 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 0 - 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0- 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0 Пусть Пусть cos xcos x = = y y и | у | le 1 и | у | le 1 2уsup2 + 7у + 3 = 02уsup2 + 7у + 3 = 0 уı = - 3 у = - нет уı = - 3 у = - нет

решений решений cos xcos x = - = -

xx = plusmn π = plusmn π + 2π+ 2πnn n n є є

Ответ plusmn π + 2πОтвет plusmn π + 2πnn n n euro poundeuro pound

22 cos2x + 3 sin x = 2cos2x + 3 sin x = 2 11-- sinsup2 x + 3 sin x = 2 sinsup2 x + 3 sin x = 2 --sinsup2 x + 3 sin x sinsup2 x + 3 sin x -- 1 = 0 1 = 0 Пусть sin x = Пусть sin x = yy | у | le 1 | у | le 1 ysup2 ysup2 -- 3y + 1 = 0 3y + 1 = 0 a + b + c = 0 =gt y = 1 a + b + c = 0 =gt y = 1 или или y = y = sin x = 1 sin x = sin x = 1 sin x = x = x = ππ + 2πk k є Z x = + 2πk k є Z x =

(˗1) middotπ + πn n є Z(˗1) middotπ + πn n є Z ОтветОтвет ππ + 2πk x = (-1) middotπ + πn + 2πk x = (-1) middotπ + πn гдегде

n k є Zn k є Z Выполнила Мамедова Айнура 10 Выполнила Мамедова Айнура 10

класскласс

Метод исполнения Метод исполнения свойства свойства ограниченности ограниченности функции функции (метод оценки)(метод оценки)

laquoМетод решения хорош если с самого начала мы можем предвидеть ndash и впоследствии подтвердить это - что следуя этому методу мы достигнем

целиraquo Лейбниц

Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово functionfunction переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров связанных с положением точки на плоскостиназвания различных параметров связанных с положением точки на плоскости

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не интересовался педагогической деятельностьюинтересовался педагогической деятельностью

В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика Именно Лейбниц является создателем современной символики символика Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше публикованыпубликованы

Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механикебыло только средством решения задач по механике

Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 ноября 1716 г За его гробом шел только один его верный другноября 1716 г За его гробом шел только один его верный друг

Если функции Если функции ff((xx) ) b gb g((xx) таковы что для всех х выполняется неравенства) таковы что для всех х выполняется неравенства FF((xx) le) leαα и и gg((xx)le)leββ и дано уравнение и дано уравнение FF((xx) + ) + gg((xx)=)=αα++ββ то оно равносильно системе то оно равносильно системе

ff((xx)=)=αα gg((xx)=)=ββ

11 sin sin xx - cos 6x = 2 - cos 6x = 2 33 |Sin |Sin xx| le 1 |cos 6x| le 1 | le 1 |cos 6x| le 1

Cos 6x = -1

Sin x = 1 3 Cos 6x = -1

lt=gt x = π + 2 π k k Є Z 2 3

6x = π + 2 π k n Є Z

lt=gt x= 3π +6 π k k ЄZ 2

x= π + πn n Є Z x= π + πn n Є Z

x= π + πn n Є Z 6 3

Ответ 3π+6 π ι ι= Z 2

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Метод использования условия равенства Метод использования условия равенства одноименных тригонометрических функцийодноименных тригонометрических функций

Длительное время тригонометрия развивалась как часть Длительное время тригонометрия развивалась как часть геометрии т е факты которые мы сейчас формулируем в геометрии т е факты которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций формулировались терминах тригонометрических функций формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений Пожалуй наибольшие стимулы к развитию утверждений Пожалуй наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решение задач тригонометрии возникали в связи с решение задач астрономии что представляло большой практический астрономии что представляло большой практический интерес (например для решения задач определения интерес (например для решения задач определения местонахождения судна предсказания затмений и т д) местонахождения судна предсказания затмений и т д) Астрономов интересовали соотношения между сторонами и Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников составленных из углами сферических треугольников составленных из больших кругов лежащих на сфере И надо заметить что больших кругов лежащих на сфере И надо заметить что математики древности удачно справлялись с задачами математики древности удачно справлялись с задачами существенно более трудными нежели задачи на решение существенно более трудными нежели задачи на решение плоских треугольниковплоских треугольниковВ геометрической форме многие известные нам формулы В геометрической форме многие известные нам формулы тригонометрии открывались и переоткрывались тригонометрии открывались и переоткрывались древнегреческими индийскими арабскими математиками древнегреческими индийскими арабскими математиками

Гиппарх

Способы решения треугольников основанные на

зависимостях между сторонами и углами

треугольника

Клавдий Птолемей

Астрономы 2 век до

н э

и 2 век н э

Николай КоперникАстроном 1473-1543

Творец гелиоцентрической

системы мира

Астроном 1473-1543

sin f(x) = sin φ(x)sin f(x) = sin φ(x)

f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = φ(x) + 2πk

f(x) = π- φ+2πn f(x) = π- φ+2πn

n k є Zn k є Z

cos f(x) = cos φ(x)cos f(x) = cos φ(x)

f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = φ(x) + 2πk

f(x) = -φ(x) + 2πnf(x) = -φ(x) + 2πn

n k n k єє Z Z

tg f(x) = tg φ(x)tg f(x) = tg φ(x)

f(x) = φ(x) + πnf(x) = φ(x) + πn

φ(x) ne φ(x) ne π π + πl+ πl

2 2

n l n l єє Z Z

Пример 1Пример 1

sin 2x = sin 5xsin 2x = sin 5x

Ответ Ответ 2π2π k (1 - 2π) k (1 - 2π) ππ

3 3 77

ггде де n u k Є Zn u k Є Z

5x = 2x + 2πk

5x = π- 2x + 2πn

3x = 2πk

7x = (1 + 2π)π

x = 2πk 3 πx = (1 + 2π) 7

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 2Пример 2 sin 5x = -sin xsin 5x = -sin x sin 5x = sin (-x)sin 5x = sin (-x)

ОтветОтвет ππ k ( 1+2n) k ( 1+2n) π π

3 43 4 ГдеГде n n ии k Є Z k Є Z

5x ndash (-x) = 2πk

5x =π- (-x)+2πn

x = π k 3 πx = ( 1+2n) 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 3Пример 3 cos 3x = cos 5xcos 3x = cos 5x

Ответ πОтвет πk k ππ n n

44

где где n u k Є Zn u k Є Z

3x=5x+2πk

3x=-5x+2πn

2x=2πk

8x=2πn

x=πkx=π n 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 4Пример 4tg 3x tg (5x+tg 3x tg (5x+ππ)=1 tg 3x)=1 tg 3x 3 tg 3xne03 tg 3xne0 tg (5x+tg (5x+ππ)= )= 1 1 3 3 tg 3xtg 3xtg (5x+tg (5x+ππ)= ctg 3x )= ctg 3x

3 3 tg (5x+tg (5x+ π π)=tg ()=tg (ππ-3x)-3x) 3 3 22

Ответ Ответ ππ (1+6(1+6n)n) 4848n n єє Z ZВыполнила Шумакова Екатерина 10 классВыполнила Шумакова Екатерина 10 класс

5x+π=π-3x+πn32

π-3xneπ+πl2 2

8x=π+πn 6-3xneπl

x=π+πn48

xneπl 3

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Метод Метод ccведения к ведения к алгебраическому алгебраическому уравнениюуравнению

Член Петербургской Академиинаук аналитическая теория

тригонометрическихфункций

Современный вид тригонометрии придал крупнейший Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик математик XVIII XVIII столетия Л Эйлер (1707-1783) столетия Л Эйлер (1707-1783) швейцарец по происхождению долгие годы работавший швейцарец по происхождению долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук Именно Эйлер первым ввёл известные наук Именно Эйлер первым ввёл известные определения тригонометрических функций стал определения тригонометрических функций стал рассматривать функции произвольного угла получил рассматривать функции произвольного угла получил формулы приведенияформулы приведения

Несомненно Эйлер принадлежит к числу Несомненно Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времён В истории гениальнейших математиков всех времён В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 году Эйлер продолжал работать Его математический году Эйлер продолжал работать Его математический гений и великолепная память позволили ему гений и великолепная память позволили ему продолжать работупродолжать работу

Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям диктовал новые работы Характерно что гений и диктовал новые работы Характерно что гений и творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней старости о чём свидетельствует непрерывно растущее старости о чём свидетельствует непрерывно растущее количество написанных им трудов Ещё в день своей количество написанных им трудов Ещё в день своей смерти он вёл оживлённый спор со своими смерти он вёл оживлённый спор со своими сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в НекропольНекрополь

После Эйлера тригонометрия приобрела форму После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления различные факты стали доказываться исчисления различные факты стали доказываться путём формального применения формул тригонометрии путём формального применения формул тригонометрии доказательства стали намного компактнее и прощедоказательства стали намного компактнее и проще

11 2 sinsup2 2 sinsup2 хх -- 7cos x - 5 = 0 7cos x - 5 = 0 2(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 02(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 0 2 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 02 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 0 - 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0- 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0 Пусть Пусть cos xcos x = = y y и | у | le 1 и | у | le 1 2уsup2 + 7у + 3 = 02уsup2 + 7у + 3 = 0 уı = - 3 у = - нет уı = - 3 у = - нет

решений решений cos xcos x = - = -

xx = plusmn π = plusmn π + 2π+ 2πnn n n є є

Ответ plusmn π + 2πОтвет plusmn π + 2πnn n n euro poundeuro pound

22 cos2x + 3 sin x = 2cos2x + 3 sin x = 2 11-- sinsup2 x + 3 sin x = 2 sinsup2 x + 3 sin x = 2 --sinsup2 x + 3 sin x sinsup2 x + 3 sin x -- 1 = 0 1 = 0 Пусть sin x = Пусть sin x = yy | у | le 1 | у | le 1 ysup2 ysup2 -- 3y + 1 = 0 3y + 1 = 0 a + b + c = 0 =gt y = 1 a + b + c = 0 =gt y = 1 или или y = y = sin x = 1 sin x = sin x = 1 sin x = x = x = ππ + 2πk k є Z x = + 2πk k є Z x =

(˗1) middotπ + πn n є Z(˗1) middotπ + πn n є Z ОтветОтвет ππ + 2πk x = (-1) middotπ + πn + 2πk x = (-1) middotπ + πn гдегде

n k є Zn k є Z Выполнила Мамедова Айнура 10 Выполнила Мамедова Айнура 10

класскласс

Метод исполнения Метод исполнения свойства свойства ограниченности ограниченности функции функции (метод оценки)(метод оценки)

laquoМетод решения хорош если с самого начала мы можем предвидеть ndash и впоследствии подтвердить это - что следуя этому методу мы достигнем

целиraquo Лейбниц

Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово functionfunction переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров связанных с положением точки на плоскостиназвания различных параметров связанных с положением точки на плоскости

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не интересовался педагогической деятельностьюинтересовался педагогической деятельностью

В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика Именно Лейбниц является создателем современной символики символика Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше публикованыпубликованы

Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механикебыло только средством решения задач по механике

Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 ноября 1716 г За его гробом шел только один его верный другноября 1716 г За его гробом шел только один его верный друг

Если функции Если функции ff((xx) ) b gb g((xx) таковы что для всех х выполняется неравенства) таковы что для всех х выполняется неравенства FF((xx) le) leαα и и gg((xx)le)leββ и дано уравнение и дано уравнение FF((xx) + ) + gg((xx)=)=αα++ββ то оно равносильно системе то оно равносильно системе

ff((xx)=)=αα gg((xx)=)=ββ

11 sin sin xx - cos 6x = 2 - cos 6x = 2 33 |Sin |Sin xx| le 1 |cos 6x| le 1 | le 1 |cos 6x| le 1

Cos 6x = -1

Sin x = 1 3 Cos 6x = -1

lt=gt x = π + 2 π k k Є Z 2 3

6x = π + 2 π k n Є Z

lt=gt x= 3π +6 π k k ЄZ 2

x= π + πn n Є Z x= π + πn n Є Z

x= π + πn n Є Z 6 3

Ответ 3π+6 π ι ι= Z 2

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Гиппарх

Способы решения треугольников основанные на

зависимостях между сторонами и углами

треугольника

Клавдий Птолемей

Астрономы 2 век до

н э

и 2 век н э

Николай КоперникАстроном 1473-1543

Творец гелиоцентрической

системы мира

Астроном 1473-1543

sin f(x) = sin φ(x)sin f(x) = sin φ(x)

f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = φ(x) + 2πk

f(x) = π- φ+2πn f(x) = π- φ+2πn

n k є Zn k є Z

cos f(x) = cos φ(x)cos f(x) = cos φ(x)

f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = φ(x) + 2πk

f(x) = -φ(x) + 2πnf(x) = -φ(x) + 2πn

n k n k єє Z Z

tg f(x) = tg φ(x)tg f(x) = tg φ(x)

f(x) = φ(x) + πnf(x) = φ(x) + πn

φ(x) ne φ(x) ne π π + πl+ πl

2 2

n l n l єє Z Z

Пример 1Пример 1

sin 2x = sin 5xsin 2x = sin 5x

Ответ Ответ 2π2π k (1 - 2π) k (1 - 2π) ππ

3 3 77

ггде де n u k Є Zn u k Є Z

5x = 2x + 2πk

5x = π- 2x + 2πn

3x = 2πk

7x = (1 + 2π)π

x = 2πk 3 πx = (1 + 2π) 7

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 2Пример 2 sin 5x = -sin xsin 5x = -sin x sin 5x = sin (-x)sin 5x = sin (-x)

ОтветОтвет ππ k ( 1+2n) k ( 1+2n) π π

3 43 4 ГдеГде n n ии k Є Z k Є Z

5x ndash (-x) = 2πk

5x =π- (-x)+2πn

x = π k 3 πx = ( 1+2n) 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 3Пример 3 cos 3x = cos 5xcos 3x = cos 5x

Ответ πОтвет πk k ππ n n

44

где где n u k Є Zn u k Є Z

3x=5x+2πk

3x=-5x+2πn

2x=2πk

8x=2πn

x=πkx=π n 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 4Пример 4tg 3x tg (5x+tg 3x tg (5x+ππ)=1 tg 3x)=1 tg 3x 3 tg 3xne03 tg 3xne0 tg (5x+tg (5x+ππ)= )= 1 1 3 3 tg 3xtg 3xtg (5x+tg (5x+ππ)= ctg 3x )= ctg 3x

3 3 tg (5x+tg (5x+ π π)=tg ()=tg (ππ-3x)-3x) 3 3 22

Ответ Ответ ππ (1+6(1+6n)n) 4848n n єє Z ZВыполнила Шумакова Екатерина 10 классВыполнила Шумакова Екатерина 10 класс

5x+π=π-3x+πn32

π-3xneπ+πl2 2

8x=π+πn 6-3xneπl

x=π+πn48

xneπl 3

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Метод Метод ccведения к ведения к алгебраическому алгебраическому уравнениюуравнению

Член Петербургской Академиинаук аналитическая теория

тригонометрическихфункций

Современный вид тригонометрии придал крупнейший Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик математик XVIII XVIII столетия Л Эйлер (1707-1783) столетия Л Эйлер (1707-1783) швейцарец по происхождению долгие годы работавший швейцарец по происхождению долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук Именно Эйлер первым ввёл известные наук Именно Эйлер первым ввёл известные определения тригонометрических функций стал определения тригонометрических функций стал рассматривать функции произвольного угла получил рассматривать функции произвольного угла получил формулы приведенияформулы приведения

Несомненно Эйлер принадлежит к числу Несомненно Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времён В истории гениальнейших математиков всех времён В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 году Эйлер продолжал работать Его математический году Эйлер продолжал работать Его математический гений и великолепная память позволили ему гений и великолепная память позволили ему продолжать работупродолжать работу

Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям диктовал новые работы Характерно что гений и диктовал новые работы Характерно что гений и творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней старости о чём свидетельствует непрерывно растущее старости о чём свидетельствует непрерывно растущее количество написанных им трудов Ещё в день своей количество написанных им трудов Ещё в день своей смерти он вёл оживлённый спор со своими смерти он вёл оживлённый спор со своими сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в НекропольНекрополь

После Эйлера тригонометрия приобрела форму После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления различные факты стали доказываться исчисления различные факты стали доказываться путём формального применения формул тригонометрии путём формального применения формул тригонометрии доказательства стали намного компактнее и прощедоказательства стали намного компактнее и проще

11 2 sinsup2 2 sinsup2 хх -- 7cos x - 5 = 0 7cos x - 5 = 0 2(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 02(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 0 2 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 02 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 0 - 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0- 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0 Пусть Пусть cos xcos x = = y y и | у | le 1 и | у | le 1 2уsup2 + 7у + 3 = 02уsup2 + 7у + 3 = 0 уı = - 3 у = - нет уı = - 3 у = - нет

решений решений cos xcos x = - = -

xx = plusmn π = plusmn π + 2π+ 2πnn n n є є

Ответ plusmn π + 2πОтвет plusmn π + 2πnn n n euro poundeuro pound

22 cos2x + 3 sin x = 2cos2x + 3 sin x = 2 11-- sinsup2 x + 3 sin x = 2 sinsup2 x + 3 sin x = 2 --sinsup2 x + 3 sin x sinsup2 x + 3 sin x -- 1 = 0 1 = 0 Пусть sin x = Пусть sin x = yy | у | le 1 | у | le 1 ysup2 ysup2 -- 3y + 1 = 0 3y + 1 = 0 a + b + c = 0 =gt y = 1 a + b + c = 0 =gt y = 1 или или y = y = sin x = 1 sin x = sin x = 1 sin x = x = x = ππ + 2πk k є Z x = + 2πk k є Z x =

(˗1) middotπ + πn n є Z(˗1) middotπ + πn n є Z ОтветОтвет ππ + 2πk x = (-1) middotπ + πn + 2πk x = (-1) middotπ + πn гдегде

n k є Zn k є Z Выполнила Мамедова Айнура 10 Выполнила Мамедова Айнура 10

класскласс

Метод исполнения Метод исполнения свойства свойства ограниченности ограниченности функции функции (метод оценки)(метод оценки)

laquoМетод решения хорош если с самого начала мы можем предвидеть ndash и впоследствии подтвердить это - что следуя этому методу мы достигнем

целиraquo Лейбниц

Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово functionfunction переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров связанных с положением точки на плоскостиназвания различных параметров связанных с положением точки на плоскости

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не интересовался педагогической деятельностьюинтересовался педагогической деятельностью

В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика Именно Лейбниц является создателем современной символики символика Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше публикованыпубликованы

Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механикебыло только средством решения задач по механике

Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 ноября 1716 г За его гробом шел только один его верный другноября 1716 г За его гробом шел только один его верный друг

Если функции Если функции ff((xx) ) b gb g((xx) таковы что для всех х выполняется неравенства) таковы что для всех х выполняется неравенства FF((xx) le) leαα и и gg((xx)le)leββ и дано уравнение и дано уравнение FF((xx) + ) + gg((xx)=)=αα++ββ то оно равносильно системе то оно равносильно системе

ff((xx)=)=αα gg((xx)=)=ββ

11 sin sin xx - cos 6x = 2 - cos 6x = 2 33 |Sin |Sin xx| le 1 |cos 6x| le 1 | le 1 |cos 6x| le 1

Cos 6x = -1

Sin x = 1 3 Cos 6x = -1

lt=gt x = π + 2 π k k Є Z 2 3

6x = π + 2 π k n Є Z

lt=gt x= 3π +6 π k k ЄZ 2

x= π + πn n Є Z x= π + πn n Є Z

x= π + πn n Є Z 6 3

Ответ 3π+6 π ι ι= Z 2

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Николай КоперникАстроном 1473-1543

Творец гелиоцентрической

системы мира

Астроном 1473-1543

sin f(x) = sin φ(x)sin f(x) = sin φ(x)

f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = φ(x) + 2πk

f(x) = π- φ+2πn f(x) = π- φ+2πn

n k є Zn k є Z

cos f(x) = cos φ(x)cos f(x) = cos φ(x)

f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = φ(x) + 2πk

f(x) = -φ(x) + 2πnf(x) = -φ(x) + 2πn

n k n k єє Z Z

tg f(x) = tg φ(x)tg f(x) = tg φ(x)

f(x) = φ(x) + πnf(x) = φ(x) + πn

φ(x) ne φ(x) ne π π + πl+ πl

2 2

n l n l єє Z Z

Пример 1Пример 1

sin 2x = sin 5xsin 2x = sin 5x

Ответ Ответ 2π2π k (1 - 2π) k (1 - 2π) ππ

3 3 77

ггде де n u k Є Zn u k Є Z

5x = 2x + 2πk

5x = π- 2x + 2πn

3x = 2πk

7x = (1 + 2π)π

x = 2πk 3 πx = (1 + 2π) 7

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 2Пример 2 sin 5x = -sin xsin 5x = -sin x sin 5x = sin (-x)sin 5x = sin (-x)

ОтветОтвет ππ k ( 1+2n) k ( 1+2n) π π

3 43 4 ГдеГде n n ии k Є Z k Є Z

5x ndash (-x) = 2πk

5x =π- (-x)+2πn

x = π k 3 πx = ( 1+2n) 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 3Пример 3 cos 3x = cos 5xcos 3x = cos 5x

Ответ πОтвет πk k ππ n n

44

где где n u k Є Zn u k Є Z

3x=5x+2πk

3x=-5x+2πn

2x=2πk

8x=2πn

x=πkx=π n 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 4Пример 4tg 3x tg (5x+tg 3x tg (5x+ππ)=1 tg 3x)=1 tg 3x 3 tg 3xne03 tg 3xne0 tg (5x+tg (5x+ππ)= )= 1 1 3 3 tg 3xtg 3xtg (5x+tg (5x+ππ)= ctg 3x )= ctg 3x

3 3 tg (5x+tg (5x+ π π)=tg ()=tg (ππ-3x)-3x) 3 3 22

Ответ Ответ ππ (1+6(1+6n)n) 4848n n єє Z ZВыполнила Шумакова Екатерина 10 классВыполнила Шумакова Екатерина 10 класс

5x+π=π-3x+πn32

π-3xneπ+πl2 2

8x=π+πn 6-3xneπl

x=π+πn48

xneπl 3

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Метод Метод ccведения к ведения к алгебраическому алгебраическому уравнениюуравнению

Член Петербургской Академиинаук аналитическая теория

тригонометрическихфункций

Современный вид тригонометрии придал крупнейший Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик математик XVIII XVIII столетия Л Эйлер (1707-1783) столетия Л Эйлер (1707-1783) швейцарец по происхождению долгие годы работавший швейцарец по происхождению долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук Именно Эйлер первым ввёл известные наук Именно Эйлер первым ввёл известные определения тригонометрических функций стал определения тригонометрических функций стал рассматривать функции произвольного угла получил рассматривать функции произвольного угла получил формулы приведенияформулы приведения

Несомненно Эйлер принадлежит к числу Несомненно Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времён В истории гениальнейших математиков всех времён В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 году Эйлер продолжал работать Его математический году Эйлер продолжал работать Его математический гений и великолепная память позволили ему гений и великолепная память позволили ему продолжать работупродолжать работу

Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям диктовал новые работы Характерно что гений и диктовал новые работы Характерно что гений и творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней старости о чём свидетельствует непрерывно растущее старости о чём свидетельствует непрерывно растущее количество написанных им трудов Ещё в день своей количество написанных им трудов Ещё в день своей смерти он вёл оживлённый спор со своими смерти он вёл оживлённый спор со своими сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в НекропольНекрополь

После Эйлера тригонометрия приобрела форму После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления различные факты стали доказываться исчисления различные факты стали доказываться путём формального применения формул тригонометрии путём формального применения формул тригонометрии доказательства стали намного компактнее и прощедоказательства стали намного компактнее и проще

11 2 sinsup2 2 sinsup2 хх -- 7cos x - 5 = 0 7cos x - 5 = 0 2(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 02(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 0 2 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 02 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 0 - 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0- 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0 Пусть Пусть cos xcos x = = y y и | у | le 1 и | у | le 1 2уsup2 + 7у + 3 = 02уsup2 + 7у + 3 = 0 уı = - 3 у = - нет уı = - 3 у = - нет

решений решений cos xcos x = - = -

xx = plusmn π = plusmn π + 2π+ 2πnn n n є є

Ответ plusmn π + 2πОтвет plusmn π + 2πnn n n euro poundeuro pound

22 cos2x + 3 sin x = 2cos2x + 3 sin x = 2 11-- sinsup2 x + 3 sin x = 2 sinsup2 x + 3 sin x = 2 --sinsup2 x + 3 sin x sinsup2 x + 3 sin x -- 1 = 0 1 = 0 Пусть sin x = Пусть sin x = yy | у | le 1 | у | le 1 ysup2 ysup2 -- 3y + 1 = 0 3y + 1 = 0 a + b + c = 0 =gt y = 1 a + b + c = 0 =gt y = 1 или или y = y = sin x = 1 sin x = sin x = 1 sin x = x = x = ππ + 2πk k є Z x = + 2πk k є Z x =

(˗1) middotπ + πn n є Z(˗1) middotπ + πn n є Z ОтветОтвет ππ + 2πk x = (-1) middotπ + πn + 2πk x = (-1) middotπ + πn гдегде

n k є Zn k є Z Выполнила Мамедова Айнура 10 Выполнила Мамедова Айнура 10

класскласс

Метод исполнения Метод исполнения свойства свойства ограниченности ограниченности функции функции (метод оценки)(метод оценки)

laquoМетод решения хорош если с самого начала мы можем предвидеть ndash и впоследствии подтвердить это - что следуя этому методу мы достигнем

целиraquo Лейбниц

Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово functionfunction переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров связанных с положением точки на плоскостиназвания различных параметров связанных с положением точки на плоскости

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не интересовался педагогической деятельностьюинтересовался педагогической деятельностью

В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика Именно Лейбниц является создателем современной символики символика Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше публикованыпубликованы

Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механикебыло только средством решения задач по механике

Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 ноября 1716 г За его гробом шел только один его верный другноября 1716 г За его гробом шел только один его верный друг

Если функции Если функции ff((xx) ) b gb g((xx) таковы что для всех х выполняется неравенства) таковы что для всех х выполняется неравенства FF((xx) le) leαα и и gg((xx)le)leββ и дано уравнение и дано уравнение FF((xx) + ) + gg((xx)=)=αα++ββ то оно равносильно системе то оно равносильно системе

ff((xx)=)=αα gg((xx)=)=ββ

11 sin sin xx - cos 6x = 2 - cos 6x = 2 33 |Sin |Sin xx| le 1 |cos 6x| le 1 | le 1 |cos 6x| le 1

Cos 6x = -1

Sin x = 1 3 Cos 6x = -1

lt=gt x = π + 2 π k k Є Z 2 3

6x = π + 2 π k n Є Z

lt=gt x= 3π +6 π k k ЄZ 2

x= π + πn n Є Z x= π + πn n Є Z

x= π + πn n Є Z 6 3

Ответ 3π+6 π ι ι= Z 2

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

sin f(x) = sin φ(x)sin f(x) = sin φ(x)

f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = φ(x) + 2πk

f(x) = π- φ+2πn f(x) = π- φ+2πn

n k є Zn k є Z

cos f(x) = cos φ(x)cos f(x) = cos φ(x)

f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = φ(x) + 2πk

f(x) = -φ(x) + 2πnf(x) = -φ(x) + 2πn

n k n k єє Z Z

tg f(x) = tg φ(x)tg f(x) = tg φ(x)

f(x) = φ(x) + πnf(x) = φ(x) + πn

φ(x) ne φ(x) ne π π + πl+ πl

2 2

n l n l єє Z Z

Пример 1Пример 1

sin 2x = sin 5xsin 2x = sin 5x

Ответ Ответ 2π2π k (1 - 2π) k (1 - 2π) ππ

3 3 77

ггде де n u k Є Zn u k Є Z

5x = 2x + 2πk

5x = π- 2x + 2πn

3x = 2πk

7x = (1 + 2π)π

x = 2πk 3 πx = (1 + 2π) 7

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 2Пример 2 sin 5x = -sin xsin 5x = -sin x sin 5x = sin (-x)sin 5x = sin (-x)

ОтветОтвет ππ k ( 1+2n) k ( 1+2n) π π

3 43 4 ГдеГде n n ии k Є Z k Є Z

5x ndash (-x) = 2πk

5x =π- (-x)+2πn

x = π k 3 πx = ( 1+2n) 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 3Пример 3 cos 3x = cos 5xcos 3x = cos 5x

Ответ πОтвет πk k ππ n n

44

где где n u k Є Zn u k Є Z

3x=5x+2πk

3x=-5x+2πn

2x=2πk

8x=2πn

x=πkx=π n 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 4Пример 4tg 3x tg (5x+tg 3x tg (5x+ππ)=1 tg 3x)=1 tg 3x 3 tg 3xne03 tg 3xne0 tg (5x+tg (5x+ππ)= )= 1 1 3 3 tg 3xtg 3xtg (5x+tg (5x+ππ)= ctg 3x )= ctg 3x

3 3 tg (5x+tg (5x+ π π)=tg ()=tg (ππ-3x)-3x) 3 3 22

Ответ Ответ ππ (1+6(1+6n)n) 4848n n єє Z ZВыполнила Шумакова Екатерина 10 классВыполнила Шумакова Екатерина 10 класс

5x+π=π-3x+πn32

π-3xneπ+πl2 2

8x=π+πn 6-3xneπl

x=π+πn48

xneπl 3

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Метод Метод ccведения к ведения к алгебраическому алгебраическому уравнениюуравнению

Член Петербургской Академиинаук аналитическая теория

тригонометрическихфункций

Современный вид тригонометрии придал крупнейший Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик математик XVIII XVIII столетия Л Эйлер (1707-1783) столетия Л Эйлер (1707-1783) швейцарец по происхождению долгие годы работавший швейцарец по происхождению долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук Именно Эйлер первым ввёл известные наук Именно Эйлер первым ввёл известные определения тригонометрических функций стал определения тригонометрических функций стал рассматривать функции произвольного угла получил рассматривать функции произвольного угла получил формулы приведенияформулы приведения

Несомненно Эйлер принадлежит к числу Несомненно Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времён В истории гениальнейших математиков всех времён В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 году Эйлер продолжал работать Его математический году Эйлер продолжал работать Его математический гений и великолепная память позволили ему гений и великолепная память позволили ему продолжать работупродолжать работу

Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям диктовал новые работы Характерно что гений и диктовал новые работы Характерно что гений и творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней старости о чём свидетельствует непрерывно растущее старости о чём свидетельствует непрерывно растущее количество написанных им трудов Ещё в день своей количество написанных им трудов Ещё в день своей смерти он вёл оживлённый спор со своими смерти он вёл оживлённый спор со своими сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в НекропольНекрополь

После Эйлера тригонометрия приобрела форму После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления различные факты стали доказываться исчисления различные факты стали доказываться путём формального применения формул тригонометрии путём формального применения формул тригонометрии доказательства стали намного компактнее и прощедоказательства стали намного компактнее и проще

11 2 sinsup2 2 sinsup2 хх -- 7cos x - 5 = 0 7cos x - 5 = 0 2(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 02(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 0 2 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 02 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 0 - 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0- 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0 Пусть Пусть cos xcos x = = y y и | у | le 1 и | у | le 1 2уsup2 + 7у + 3 = 02уsup2 + 7у + 3 = 0 уı = - 3 у = - нет уı = - 3 у = - нет

решений решений cos xcos x = - = -

xx = plusmn π = plusmn π + 2π+ 2πnn n n є є

Ответ plusmn π + 2πОтвет plusmn π + 2πnn n n euro poundeuro pound

22 cos2x + 3 sin x = 2cos2x + 3 sin x = 2 11-- sinsup2 x + 3 sin x = 2 sinsup2 x + 3 sin x = 2 --sinsup2 x + 3 sin x sinsup2 x + 3 sin x -- 1 = 0 1 = 0 Пусть sin x = Пусть sin x = yy | у | le 1 | у | le 1 ysup2 ysup2 -- 3y + 1 = 0 3y + 1 = 0 a + b + c = 0 =gt y = 1 a + b + c = 0 =gt y = 1 или или y = y = sin x = 1 sin x = sin x = 1 sin x = x = x = ππ + 2πk k є Z x = + 2πk k є Z x =

(˗1) middotπ + πn n є Z(˗1) middotπ + πn n є Z ОтветОтвет ππ + 2πk x = (-1) middotπ + πn + 2πk x = (-1) middotπ + πn гдегде

n k є Zn k є Z Выполнила Мамедова Айнура 10 Выполнила Мамедова Айнура 10

класскласс

Метод исполнения Метод исполнения свойства свойства ограниченности ограниченности функции функции (метод оценки)(метод оценки)

laquoМетод решения хорош если с самого начала мы можем предвидеть ndash и впоследствии подтвердить это - что следуя этому методу мы достигнем

целиraquo Лейбниц

Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово functionfunction переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров связанных с положением точки на плоскостиназвания различных параметров связанных с положением точки на плоскости

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не интересовался педагогической деятельностьюинтересовался педагогической деятельностью

В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика Именно Лейбниц является создателем современной символики символика Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше публикованыпубликованы

Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механикебыло только средством решения задач по механике

Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 ноября 1716 г За его гробом шел только один его верный другноября 1716 г За его гробом шел только один его верный друг

Если функции Если функции ff((xx) ) b gb g((xx) таковы что для всех х выполняется неравенства) таковы что для всех х выполняется неравенства FF((xx) le) leαα и и gg((xx)le)leββ и дано уравнение и дано уравнение FF((xx) + ) + gg((xx)=)=αα++ββ то оно равносильно системе то оно равносильно системе

ff((xx)=)=αα gg((xx)=)=ββ

11 sin sin xx - cos 6x = 2 - cos 6x = 2 33 |Sin |Sin xx| le 1 |cos 6x| le 1 | le 1 |cos 6x| le 1

Cos 6x = -1

Sin x = 1 3 Cos 6x = -1

lt=gt x = π + 2 π k k Є Z 2 3

6x = π + 2 π k n Є Z

lt=gt x= 3π +6 π k k ЄZ 2

x= π + πn n Є Z x= π + πn n Є Z

x= π + πn n Є Z 6 3

Ответ 3π+6 π ι ι= Z 2

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

cos f(x) = cos φ(x)cos f(x) = cos φ(x)

f(x) = φ(x) + 2πk f(x) = φ(x) + 2πk

f(x) = -φ(x) + 2πnf(x) = -φ(x) + 2πn

n k n k єє Z Z

tg f(x) = tg φ(x)tg f(x) = tg φ(x)

f(x) = φ(x) + πnf(x) = φ(x) + πn

φ(x) ne φ(x) ne π π + πl+ πl

2 2

n l n l єє Z Z

Пример 1Пример 1

sin 2x = sin 5xsin 2x = sin 5x

Ответ Ответ 2π2π k (1 - 2π) k (1 - 2π) ππ

3 3 77

ггде де n u k Є Zn u k Є Z

5x = 2x + 2πk

5x = π- 2x + 2πn

3x = 2πk

7x = (1 + 2π)π

x = 2πk 3 πx = (1 + 2π) 7

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 2Пример 2 sin 5x = -sin xsin 5x = -sin x sin 5x = sin (-x)sin 5x = sin (-x)

ОтветОтвет ππ k ( 1+2n) k ( 1+2n) π π

3 43 4 ГдеГде n n ии k Є Z k Є Z

5x ndash (-x) = 2πk

5x =π- (-x)+2πn

x = π k 3 πx = ( 1+2n) 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 3Пример 3 cos 3x = cos 5xcos 3x = cos 5x

Ответ πОтвет πk k ππ n n

44

где где n u k Є Zn u k Є Z

3x=5x+2πk

3x=-5x+2πn

2x=2πk

8x=2πn

x=πkx=π n 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 4Пример 4tg 3x tg (5x+tg 3x tg (5x+ππ)=1 tg 3x)=1 tg 3x 3 tg 3xne03 tg 3xne0 tg (5x+tg (5x+ππ)= )= 1 1 3 3 tg 3xtg 3xtg (5x+tg (5x+ππ)= ctg 3x )= ctg 3x

3 3 tg (5x+tg (5x+ π π)=tg ()=tg (ππ-3x)-3x) 3 3 22

Ответ Ответ ππ (1+6(1+6n)n) 4848n n єє Z ZВыполнила Шумакова Екатерина 10 классВыполнила Шумакова Екатерина 10 класс

5x+π=π-3x+πn32

π-3xneπ+πl2 2

8x=π+πn 6-3xneπl

x=π+πn48

xneπl 3

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Метод Метод ccведения к ведения к алгебраическому алгебраическому уравнениюуравнению

Член Петербургской Академиинаук аналитическая теория

тригонометрическихфункций

Современный вид тригонометрии придал крупнейший Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик математик XVIII XVIII столетия Л Эйлер (1707-1783) столетия Л Эйлер (1707-1783) швейцарец по происхождению долгие годы работавший швейцарец по происхождению долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук Именно Эйлер первым ввёл известные наук Именно Эйлер первым ввёл известные определения тригонометрических функций стал определения тригонометрических функций стал рассматривать функции произвольного угла получил рассматривать функции произвольного угла получил формулы приведенияформулы приведения

Несомненно Эйлер принадлежит к числу Несомненно Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времён В истории гениальнейших математиков всех времён В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 году Эйлер продолжал работать Его математический году Эйлер продолжал работать Его математический гений и великолепная память позволили ему гений и великолепная память позволили ему продолжать работупродолжать работу

Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям диктовал новые работы Характерно что гений и диктовал новые работы Характерно что гений и творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней старости о чём свидетельствует непрерывно растущее старости о чём свидетельствует непрерывно растущее количество написанных им трудов Ещё в день своей количество написанных им трудов Ещё в день своей смерти он вёл оживлённый спор со своими смерти он вёл оживлённый спор со своими сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в НекропольНекрополь

После Эйлера тригонометрия приобрела форму После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления различные факты стали доказываться исчисления различные факты стали доказываться путём формального применения формул тригонометрии путём формального применения формул тригонометрии доказательства стали намного компактнее и прощедоказательства стали намного компактнее и проще

11 2 sinsup2 2 sinsup2 хх -- 7cos x - 5 = 0 7cos x - 5 = 0 2(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 02(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 0 2 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 02 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 0 - 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0- 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0 Пусть Пусть cos xcos x = = y y и | у | le 1 и | у | le 1 2уsup2 + 7у + 3 = 02уsup2 + 7у + 3 = 0 уı = - 3 у = - нет уı = - 3 у = - нет

решений решений cos xcos x = - = -

xx = plusmn π = plusmn π + 2π+ 2πnn n n є є

Ответ plusmn π + 2πОтвет plusmn π + 2πnn n n euro poundeuro pound

22 cos2x + 3 sin x = 2cos2x + 3 sin x = 2 11-- sinsup2 x + 3 sin x = 2 sinsup2 x + 3 sin x = 2 --sinsup2 x + 3 sin x sinsup2 x + 3 sin x -- 1 = 0 1 = 0 Пусть sin x = Пусть sin x = yy | у | le 1 | у | le 1 ysup2 ysup2 -- 3y + 1 = 0 3y + 1 = 0 a + b + c = 0 =gt y = 1 a + b + c = 0 =gt y = 1 или или y = y = sin x = 1 sin x = sin x = 1 sin x = x = x = ππ + 2πk k є Z x = + 2πk k є Z x =

(˗1) middotπ + πn n є Z(˗1) middotπ + πn n є Z ОтветОтвет ππ + 2πk x = (-1) middotπ + πn + 2πk x = (-1) middotπ + πn гдегде

n k є Zn k є Z Выполнила Мамедова Айнура 10 Выполнила Мамедова Айнура 10

класскласс

Метод исполнения Метод исполнения свойства свойства ограниченности ограниченности функции функции (метод оценки)(метод оценки)

laquoМетод решения хорош если с самого начала мы можем предвидеть ndash и впоследствии подтвердить это - что следуя этому методу мы достигнем

целиraquo Лейбниц

Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово functionfunction переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров связанных с положением точки на плоскостиназвания различных параметров связанных с положением точки на плоскости

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не интересовался педагогической деятельностьюинтересовался педагогической деятельностью

В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика Именно Лейбниц является создателем современной символики символика Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше публикованыпубликованы

Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механикебыло только средством решения задач по механике

Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 ноября 1716 г За его гробом шел только один его верный другноября 1716 г За его гробом шел только один его верный друг

Если функции Если функции ff((xx) ) b gb g((xx) таковы что для всех х выполняется неравенства) таковы что для всех х выполняется неравенства FF((xx) le) leαα и и gg((xx)le)leββ и дано уравнение и дано уравнение FF((xx) + ) + gg((xx)=)=αα++ββ то оно равносильно системе то оно равносильно системе

ff((xx)=)=αα gg((xx)=)=ββ

11 sin sin xx - cos 6x = 2 - cos 6x = 2 33 |Sin |Sin xx| le 1 |cos 6x| le 1 | le 1 |cos 6x| le 1

Cos 6x = -1

Sin x = 1 3 Cos 6x = -1

lt=gt x = π + 2 π k k Є Z 2 3

6x = π + 2 π k n Є Z

lt=gt x= 3π +6 π k k ЄZ 2

x= π + πn n Є Z x= π + πn n Є Z

x= π + πn n Є Z 6 3

Ответ 3π+6 π ι ι= Z 2

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

tg f(x) = tg φ(x)tg f(x) = tg φ(x)

f(x) = φ(x) + πnf(x) = φ(x) + πn

φ(x) ne φ(x) ne π π + πl+ πl

2 2

n l n l єє Z Z

Пример 1Пример 1

sin 2x = sin 5xsin 2x = sin 5x

Ответ Ответ 2π2π k (1 - 2π) k (1 - 2π) ππ

3 3 77

ггде де n u k Є Zn u k Є Z

5x = 2x + 2πk

5x = π- 2x + 2πn

3x = 2πk

7x = (1 + 2π)π

x = 2πk 3 πx = (1 + 2π) 7

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 2Пример 2 sin 5x = -sin xsin 5x = -sin x sin 5x = sin (-x)sin 5x = sin (-x)

ОтветОтвет ππ k ( 1+2n) k ( 1+2n) π π

3 43 4 ГдеГде n n ии k Є Z k Є Z

5x ndash (-x) = 2πk

5x =π- (-x)+2πn

x = π k 3 πx = ( 1+2n) 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 3Пример 3 cos 3x = cos 5xcos 3x = cos 5x

Ответ πОтвет πk k ππ n n

44

где где n u k Є Zn u k Є Z

3x=5x+2πk

3x=-5x+2πn

2x=2πk

8x=2πn

x=πkx=π n 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 4Пример 4tg 3x tg (5x+tg 3x tg (5x+ππ)=1 tg 3x)=1 tg 3x 3 tg 3xne03 tg 3xne0 tg (5x+tg (5x+ππ)= )= 1 1 3 3 tg 3xtg 3xtg (5x+tg (5x+ππ)= ctg 3x )= ctg 3x

3 3 tg (5x+tg (5x+ π π)=tg ()=tg (ππ-3x)-3x) 3 3 22

Ответ Ответ ππ (1+6(1+6n)n) 4848n n єє Z ZВыполнила Шумакова Екатерина 10 классВыполнила Шумакова Екатерина 10 класс

5x+π=π-3x+πn32

π-3xneπ+πl2 2

8x=π+πn 6-3xneπl

x=π+πn48

xneπl 3

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Метод Метод ccведения к ведения к алгебраическому алгебраическому уравнениюуравнению

Член Петербургской Академиинаук аналитическая теория

тригонометрическихфункций

Современный вид тригонометрии придал крупнейший Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик математик XVIII XVIII столетия Л Эйлер (1707-1783) столетия Л Эйлер (1707-1783) швейцарец по происхождению долгие годы работавший швейцарец по происхождению долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук Именно Эйлер первым ввёл известные наук Именно Эйлер первым ввёл известные определения тригонометрических функций стал определения тригонометрических функций стал рассматривать функции произвольного угла получил рассматривать функции произвольного угла получил формулы приведенияформулы приведения

Несомненно Эйлер принадлежит к числу Несомненно Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времён В истории гениальнейших математиков всех времён В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 году Эйлер продолжал работать Его математический году Эйлер продолжал работать Его математический гений и великолепная память позволили ему гений и великолепная память позволили ему продолжать работупродолжать работу

Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям диктовал новые работы Характерно что гений и диктовал новые работы Характерно что гений и творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней старости о чём свидетельствует непрерывно растущее старости о чём свидетельствует непрерывно растущее количество написанных им трудов Ещё в день своей количество написанных им трудов Ещё в день своей смерти он вёл оживлённый спор со своими смерти он вёл оживлённый спор со своими сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в НекропольНекрополь

После Эйлера тригонометрия приобрела форму После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления различные факты стали доказываться исчисления различные факты стали доказываться путём формального применения формул тригонометрии путём формального применения формул тригонометрии доказательства стали намного компактнее и прощедоказательства стали намного компактнее и проще

11 2 sinsup2 2 sinsup2 хх -- 7cos x - 5 = 0 7cos x - 5 = 0 2(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 02(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 0 2 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 02 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 0 - 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0- 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0 Пусть Пусть cos xcos x = = y y и | у | le 1 и | у | le 1 2уsup2 + 7у + 3 = 02уsup2 + 7у + 3 = 0 уı = - 3 у = - нет уı = - 3 у = - нет

решений решений cos xcos x = - = -

xx = plusmn π = plusmn π + 2π+ 2πnn n n є є

Ответ plusmn π + 2πОтвет plusmn π + 2πnn n n euro poundeuro pound

22 cos2x + 3 sin x = 2cos2x + 3 sin x = 2 11-- sinsup2 x + 3 sin x = 2 sinsup2 x + 3 sin x = 2 --sinsup2 x + 3 sin x sinsup2 x + 3 sin x -- 1 = 0 1 = 0 Пусть sin x = Пусть sin x = yy | у | le 1 | у | le 1 ysup2 ysup2 -- 3y + 1 = 0 3y + 1 = 0 a + b + c = 0 =gt y = 1 a + b + c = 0 =gt y = 1 или или y = y = sin x = 1 sin x = sin x = 1 sin x = x = x = ππ + 2πk k є Z x = + 2πk k є Z x =

(˗1) middotπ + πn n є Z(˗1) middotπ + πn n є Z ОтветОтвет ππ + 2πk x = (-1) middotπ + πn + 2πk x = (-1) middotπ + πn гдегде

n k є Zn k є Z Выполнила Мамедова Айнура 10 Выполнила Мамедова Айнура 10

класскласс

Метод исполнения Метод исполнения свойства свойства ограниченности ограниченности функции функции (метод оценки)(метод оценки)

laquoМетод решения хорош если с самого начала мы можем предвидеть ndash и впоследствии подтвердить это - что следуя этому методу мы достигнем

целиraquo Лейбниц

Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово functionfunction переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров связанных с положением точки на плоскостиназвания различных параметров связанных с положением точки на плоскости

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не интересовался педагогической деятельностьюинтересовался педагогической деятельностью

В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика Именно Лейбниц является создателем современной символики символика Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше публикованыпубликованы

Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механикебыло только средством решения задач по механике

Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 ноября 1716 г За его гробом шел только один его верный другноября 1716 г За его гробом шел только один его верный друг

Если функции Если функции ff((xx) ) b gb g((xx) таковы что для всех х выполняется неравенства) таковы что для всех х выполняется неравенства FF((xx) le) leαα и и gg((xx)le)leββ и дано уравнение и дано уравнение FF((xx) + ) + gg((xx)=)=αα++ββ то оно равносильно системе то оно равносильно системе

ff((xx)=)=αα gg((xx)=)=ββ

11 sin sin xx - cos 6x = 2 - cos 6x = 2 33 |Sin |Sin xx| le 1 |cos 6x| le 1 | le 1 |cos 6x| le 1

Cos 6x = -1

Sin x = 1 3 Cos 6x = -1

lt=gt x = π + 2 π k k Є Z 2 3

6x = π + 2 π k n Є Z

lt=gt x= 3π +6 π k k ЄZ 2

x= π + πn n Є Z x= π + πn n Є Z

x= π + πn n Є Z 6 3

Ответ 3π+6 π ι ι= Z 2

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Пример 1Пример 1

sin 2x = sin 5xsin 2x = sin 5x

Ответ Ответ 2π2π k (1 - 2π) k (1 - 2π) ππ

3 3 77

ггде де n u k Є Zn u k Є Z

5x = 2x + 2πk

5x = π- 2x + 2πn

3x = 2πk

7x = (1 + 2π)π

x = 2πk 3 πx = (1 + 2π) 7

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 2Пример 2 sin 5x = -sin xsin 5x = -sin x sin 5x = sin (-x)sin 5x = sin (-x)

ОтветОтвет ππ k ( 1+2n) k ( 1+2n) π π

3 43 4 ГдеГде n n ии k Є Z k Є Z

5x ndash (-x) = 2πk

5x =π- (-x)+2πn

x = π k 3 πx = ( 1+2n) 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 3Пример 3 cos 3x = cos 5xcos 3x = cos 5x

Ответ πОтвет πk k ππ n n

44

где где n u k Є Zn u k Є Z

3x=5x+2πk

3x=-5x+2πn

2x=2πk

8x=2πn

x=πkx=π n 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 4Пример 4tg 3x tg (5x+tg 3x tg (5x+ππ)=1 tg 3x)=1 tg 3x 3 tg 3xne03 tg 3xne0 tg (5x+tg (5x+ππ)= )= 1 1 3 3 tg 3xtg 3xtg (5x+tg (5x+ππ)= ctg 3x )= ctg 3x

3 3 tg (5x+tg (5x+ π π)=tg ()=tg (ππ-3x)-3x) 3 3 22

Ответ Ответ ππ (1+6(1+6n)n) 4848n n єє Z ZВыполнила Шумакова Екатерина 10 классВыполнила Шумакова Екатерина 10 класс

5x+π=π-3x+πn32

π-3xneπ+πl2 2

8x=π+πn 6-3xneπl

x=π+πn48

xneπl 3

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Метод Метод ccведения к ведения к алгебраическому алгебраическому уравнениюуравнению

Член Петербургской Академиинаук аналитическая теория

тригонометрическихфункций

Современный вид тригонометрии придал крупнейший Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик математик XVIII XVIII столетия Л Эйлер (1707-1783) столетия Л Эйлер (1707-1783) швейцарец по происхождению долгие годы работавший швейцарец по происхождению долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук Именно Эйлер первым ввёл известные наук Именно Эйлер первым ввёл известные определения тригонометрических функций стал определения тригонометрических функций стал рассматривать функции произвольного угла получил рассматривать функции произвольного угла получил формулы приведенияформулы приведения

Несомненно Эйлер принадлежит к числу Несомненно Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времён В истории гениальнейших математиков всех времён В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 году Эйлер продолжал работать Его математический году Эйлер продолжал работать Его математический гений и великолепная память позволили ему гений и великолепная память позволили ему продолжать работупродолжать работу

Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям диктовал новые работы Характерно что гений и диктовал новые работы Характерно что гений и творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней старости о чём свидетельствует непрерывно растущее старости о чём свидетельствует непрерывно растущее количество написанных им трудов Ещё в день своей количество написанных им трудов Ещё в день своей смерти он вёл оживлённый спор со своими смерти он вёл оживлённый спор со своими сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в НекропольНекрополь

После Эйлера тригонометрия приобрела форму После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления различные факты стали доказываться исчисления различные факты стали доказываться путём формального применения формул тригонометрии путём формального применения формул тригонометрии доказательства стали намного компактнее и прощедоказательства стали намного компактнее и проще

11 2 sinsup2 2 sinsup2 хх -- 7cos x - 5 = 0 7cos x - 5 = 0 2(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 02(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 0 2 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 02 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 0 - 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0- 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0 Пусть Пусть cos xcos x = = y y и | у | le 1 и | у | le 1 2уsup2 + 7у + 3 = 02уsup2 + 7у + 3 = 0 уı = - 3 у = - нет уı = - 3 у = - нет

решений решений cos xcos x = - = -

xx = plusmn π = plusmn π + 2π+ 2πnn n n є є

Ответ plusmn π + 2πОтвет plusmn π + 2πnn n n euro poundeuro pound

22 cos2x + 3 sin x = 2cos2x + 3 sin x = 2 11-- sinsup2 x + 3 sin x = 2 sinsup2 x + 3 sin x = 2 --sinsup2 x + 3 sin x sinsup2 x + 3 sin x -- 1 = 0 1 = 0 Пусть sin x = Пусть sin x = yy | у | le 1 | у | le 1 ysup2 ysup2 -- 3y + 1 = 0 3y + 1 = 0 a + b + c = 0 =gt y = 1 a + b + c = 0 =gt y = 1 или или y = y = sin x = 1 sin x = sin x = 1 sin x = x = x = ππ + 2πk k є Z x = + 2πk k є Z x =

(˗1) middotπ + πn n є Z(˗1) middotπ + πn n є Z ОтветОтвет ππ + 2πk x = (-1) middotπ + πn + 2πk x = (-1) middotπ + πn гдегде

n k є Zn k є Z Выполнила Мамедова Айнура 10 Выполнила Мамедова Айнура 10

класскласс

Метод исполнения Метод исполнения свойства свойства ограниченности ограниченности функции функции (метод оценки)(метод оценки)

laquoМетод решения хорош если с самого начала мы можем предвидеть ndash и впоследствии подтвердить это - что следуя этому методу мы достигнем

целиraquo Лейбниц

Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово functionfunction переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров связанных с положением точки на плоскостиназвания различных параметров связанных с положением точки на плоскости

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не интересовался педагогической деятельностьюинтересовался педагогической деятельностью

В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика Именно Лейбниц является создателем современной символики символика Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше публикованыпубликованы

Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механикебыло только средством решения задач по механике

Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 ноября 1716 г За его гробом шел только один его верный другноября 1716 г За его гробом шел только один его верный друг

Если функции Если функции ff((xx) ) b gb g((xx) таковы что для всех х выполняется неравенства) таковы что для всех х выполняется неравенства FF((xx) le) leαα и и gg((xx)le)leββ и дано уравнение и дано уравнение FF((xx) + ) + gg((xx)=)=αα++ββ то оно равносильно системе то оно равносильно системе

ff((xx)=)=αα gg((xx)=)=ββ

11 sin sin xx - cos 6x = 2 - cos 6x = 2 33 |Sin |Sin xx| le 1 |cos 6x| le 1 | le 1 |cos 6x| le 1

Cos 6x = -1

Sin x = 1 3 Cos 6x = -1

lt=gt x = π + 2 π k k Є Z 2 3

6x = π + 2 π k n Є Z

lt=gt x= 3π +6 π k k ЄZ 2

x= π + πn n Є Z x= π + πn n Є Z

x= π + πn n Є Z 6 3

Ответ 3π+6 π ι ι= Z 2

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Пример 2Пример 2 sin 5x = -sin xsin 5x = -sin x sin 5x = sin (-x)sin 5x = sin (-x)

ОтветОтвет ππ k ( 1+2n) k ( 1+2n) π π

3 43 4 ГдеГде n n ии k Є Z k Є Z

5x ndash (-x) = 2πk

5x =π- (-x)+2πn

x = π k 3 πx = ( 1+2n) 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 3Пример 3 cos 3x = cos 5xcos 3x = cos 5x

Ответ πОтвет πk k ππ n n

44

где где n u k Є Zn u k Є Z

3x=5x+2πk

3x=-5x+2πn

2x=2πk

8x=2πn

x=πkx=π n 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 4Пример 4tg 3x tg (5x+tg 3x tg (5x+ππ)=1 tg 3x)=1 tg 3x 3 tg 3xne03 tg 3xne0 tg (5x+tg (5x+ππ)= )= 1 1 3 3 tg 3xtg 3xtg (5x+tg (5x+ππ)= ctg 3x )= ctg 3x

3 3 tg (5x+tg (5x+ π π)=tg ()=tg (ππ-3x)-3x) 3 3 22

Ответ Ответ ππ (1+6(1+6n)n) 4848n n єє Z ZВыполнила Шумакова Екатерина 10 классВыполнила Шумакова Екатерина 10 класс

5x+π=π-3x+πn32

π-3xneπ+πl2 2

8x=π+πn 6-3xneπl

x=π+πn48

xneπl 3

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Метод Метод ccведения к ведения к алгебраическому алгебраическому уравнениюуравнению

Член Петербургской Академиинаук аналитическая теория

тригонометрическихфункций

Современный вид тригонометрии придал крупнейший Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик математик XVIII XVIII столетия Л Эйлер (1707-1783) столетия Л Эйлер (1707-1783) швейцарец по происхождению долгие годы работавший швейцарец по происхождению долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук Именно Эйлер первым ввёл известные наук Именно Эйлер первым ввёл известные определения тригонометрических функций стал определения тригонометрических функций стал рассматривать функции произвольного угла получил рассматривать функции произвольного угла получил формулы приведенияформулы приведения

Несомненно Эйлер принадлежит к числу Несомненно Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времён В истории гениальнейших математиков всех времён В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 году Эйлер продолжал работать Его математический году Эйлер продолжал работать Его математический гений и великолепная память позволили ему гений и великолепная память позволили ему продолжать работупродолжать работу

Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям диктовал новые работы Характерно что гений и диктовал новые работы Характерно что гений и творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней старости о чём свидетельствует непрерывно растущее старости о чём свидетельствует непрерывно растущее количество написанных им трудов Ещё в день своей количество написанных им трудов Ещё в день своей смерти он вёл оживлённый спор со своими смерти он вёл оживлённый спор со своими сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в НекропольНекрополь

После Эйлера тригонометрия приобрела форму После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления различные факты стали доказываться исчисления различные факты стали доказываться путём формального применения формул тригонометрии путём формального применения формул тригонометрии доказательства стали намного компактнее и прощедоказательства стали намного компактнее и проще

11 2 sinsup2 2 sinsup2 хх -- 7cos x - 5 = 0 7cos x - 5 = 0 2(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 02(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 0 2 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 02 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 0 - 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0- 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0 Пусть Пусть cos xcos x = = y y и | у | le 1 и | у | le 1 2уsup2 + 7у + 3 = 02уsup2 + 7у + 3 = 0 уı = - 3 у = - нет уı = - 3 у = - нет

решений решений cos xcos x = - = -

xx = plusmn π = plusmn π + 2π+ 2πnn n n є є

Ответ plusmn π + 2πОтвет plusmn π + 2πnn n n euro poundeuro pound

22 cos2x + 3 sin x = 2cos2x + 3 sin x = 2 11-- sinsup2 x + 3 sin x = 2 sinsup2 x + 3 sin x = 2 --sinsup2 x + 3 sin x sinsup2 x + 3 sin x -- 1 = 0 1 = 0 Пусть sin x = Пусть sin x = yy | у | le 1 | у | le 1 ysup2 ysup2 -- 3y + 1 = 0 3y + 1 = 0 a + b + c = 0 =gt y = 1 a + b + c = 0 =gt y = 1 или или y = y = sin x = 1 sin x = sin x = 1 sin x = x = x = ππ + 2πk k є Z x = + 2πk k є Z x =

(˗1) middotπ + πn n є Z(˗1) middotπ + πn n є Z ОтветОтвет ππ + 2πk x = (-1) middotπ + πn + 2πk x = (-1) middotπ + πn гдегде

n k є Zn k є Z Выполнила Мамедова Айнура 10 Выполнила Мамедова Айнура 10

класскласс

Метод исполнения Метод исполнения свойства свойства ограниченности ограниченности функции функции (метод оценки)(метод оценки)

laquoМетод решения хорош если с самого начала мы можем предвидеть ndash и впоследствии подтвердить это - что следуя этому методу мы достигнем

целиraquo Лейбниц

Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово functionfunction переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров связанных с положением точки на плоскостиназвания различных параметров связанных с положением точки на плоскости

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не интересовался педагогической деятельностьюинтересовался педагогической деятельностью

В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика Именно Лейбниц является создателем современной символики символика Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше публикованыпубликованы

Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механикебыло только средством решения задач по механике

Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 ноября 1716 г За его гробом шел только один его верный другноября 1716 г За его гробом шел только один его верный друг

Если функции Если функции ff((xx) ) b gb g((xx) таковы что для всех х выполняется неравенства) таковы что для всех х выполняется неравенства FF((xx) le) leαα и и gg((xx)le)leββ и дано уравнение и дано уравнение FF((xx) + ) + gg((xx)=)=αα++ββ то оно равносильно системе то оно равносильно системе

ff((xx)=)=αα gg((xx)=)=ββ

11 sin sin xx - cos 6x = 2 - cos 6x = 2 33 |Sin |Sin xx| le 1 |cos 6x| le 1 | le 1 |cos 6x| le 1

Cos 6x = -1

Sin x = 1 3 Cos 6x = -1

lt=gt x = π + 2 π k k Є Z 2 3

6x = π + 2 π k n Є Z

lt=gt x= 3π +6 π k k ЄZ 2

x= π + πn n Є Z x= π + πn n Є Z

x= π + πn n Є Z 6 3

Ответ 3π+6 π ι ι= Z 2

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Пример 3Пример 3 cos 3x = cos 5xcos 3x = cos 5x

Ответ πОтвет πk k ππ n n

44

где где n u k Є Zn u k Є Z

3x=5x+2πk

3x=-5x+2πn

2x=2πk

8x=2πn

x=πkx=π n 4

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Пример 4Пример 4tg 3x tg (5x+tg 3x tg (5x+ππ)=1 tg 3x)=1 tg 3x 3 tg 3xne03 tg 3xne0 tg (5x+tg (5x+ππ)= )= 1 1 3 3 tg 3xtg 3xtg (5x+tg (5x+ππ)= ctg 3x )= ctg 3x

3 3 tg (5x+tg (5x+ π π)=tg ()=tg (ππ-3x)-3x) 3 3 22

Ответ Ответ ππ (1+6(1+6n)n) 4848n n єє Z ZВыполнила Шумакова Екатерина 10 классВыполнила Шумакова Екатерина 10 класс

5x+π=π-3x+πn32

π-3xneπ+πl2 2

8x=π+πn 6-3xneπl

x=π+πn48

xneπl 3

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Метод Метод ccведения к ведения к алгебраическому алгебраическому уравнениюуравнению

Член Петербургской Академиинаук аналитическая теория

тригонометрическихфункций

Современный вид тригонометрии придал крупнейший Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик математик XVIII XVIII столетия Л Эйлер (1707-1783) столетия Л Эйлер (1707-1783) швейцарец по происхождению долгие годы работавший швейцарец по происхождению долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук Именно Эйлер первым ввёл известные наук Именно Эйлер первым ввёл известные определения тригонометрических функций стал определения тригонометрических функций стал рассматривать функции произвольного угла получил рассматривать функции произвольного угла получил формулы приведенияформулы приведения

Несомненно Эйлер принадлежит к числу Несомненно Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времён В истории гениальнейших математиков всех времён В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 году Эйлер продолжал работать Его математический году Эйлер продолжал работать Его математический гений и великолепная память позволили ему гений и великолепная память позволили ему продолжать работупродолжать работу

Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям диктовал новые работы Характерно что гений и диктовал новые работы Характерно что гений и творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней старости о чём свидетельствует непрерывно растущее старости о чём свидетельствует непрерывно растущее количество написанных им трудов Ещё в день своей количество написанных им трудов Ещё в день своей смерти он вёл оживлённый спор со своими смерти он вёл оживлённый спор со своими сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в НекропольНекрополь

После Эйлера тригонометрия приобрела форму После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления различные факты стали доказываться исчисления различные факты стали доказываться путём формального применения формул тригонометрии путём формального применения формул тригонометрии доказательства стали намного компактнее и прощедоказательства стали намного компактнее и проще

11 2 sinsup2 2 sinsup2 хх -- 7cos x - 5 = 0 7cos x - 5 = 0 2(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 02(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 0 2 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 02 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 0 - 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0- 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0 Пусть Пусть cos xcos x = = y y и | у | le 1 и | у | le 1 2уsup2 + 7у + 3 = 02уsup2 + 7у + 3 = 0 уı = - 3 у = - нет уı = - 3 у = - нет

решений решений cos xcos x = - = -

xx = plusmn π = plusmn π + 2π+ 2πnn n n є є

Ответ plusmn π + 2πОтвет plusmn π + 2πnn n n euro poundeuro pound

22 cos2x + 3 sin x = 2cos2x + 3 sin x = 2 11-- sinsup2 x + 3 sin x = 2 sinsup2 x + 3 sin x = 2 --sinsup2 x + 3 sin x sinsup2 x + 3 sin x -- 1 = 0 1 = 0 Пусть sin x = Пусть sin x = yy | у | le 1 | у | le 1 ysup2 ysup2 -- 3y + 1 = 0 3y + 1 = 0 a + b + c = 0 =gt y = 1 a + b + c = 0 =gt y = 1 или или y = y = sin x = 1 sin x = sin x = 1 sin x = x = x = ππ + 2πk k є Z x = + 2πk k є Z x =

(˗1) middotπ + πn n є Z(˗1) middotπ + πn n є Z ОтветОтвет ππ + 2πk x = (-1) middotπ + πn + 2πk x = (-1) middotπ + πn гдегде

n k є Zn k є Z Выполнила Мамедова Айнура 10 Выполнила Мамедова Айнура 10

класскласс

Метод исполнения Метод исполнения свойства свойства ограниченности ограниченности функции функции (метод оценки)(метод оценки)

laquoМетод решения хорош если с самого начала мы можем предвидеть ndash и впоследствии подтвердить это - что следуя этому методу мы достигнем

целиraquo Лейбниц

Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово functionfunction переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров связанных с положением точки на плоскостиназвания различных параметров связанных с положением точки на плоскости

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не интересовался педагогической деятельностьюинтересовался педагогической деятельностью

В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика Именно Лейбниц является создателем современной символики символика Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше публикованыпубликованы

Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механикебыло только средством решения задач по механике

Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 ноября 1716 г За его гробом шел только один его верный другноября 1716 г За его гробом шел только один его верный друг

Если функции Если функции ff((xx) ) b gb g((xx) таковы что для всех х выполняется неравенства) таковы что для всех х выполняется неравенства FF((xx) le) leαα и и gg((xx)le)leββ и дано уравнение и дано уравнение FF((xx) + ) + gg((xx)=)=αα++ββ то оно равносильно системе то оно равносильно системе

ff((xx)=)=αα gg((xx)=)=ββ

11 sin sin xx - cos 6x = 2 - cos 6x = 2 33 |Sin |Sin xx| le 1 |cos 6x| le 1 | le 1 |cos 6x| le 1

Cos 6x = -1

Sin x = 1 3 Cos 6x = -1

lt=gt x = π + 2 π k k Є Z 2 3

6x = π + 2 π k n Є Z

lt=gt x= 3π +6 π k k ЄZ 2

x= π + πn n Є Z x= π + πn n Є Z

x= π + πn n Є Z 6 3

Ответ 3π+6 π ι ι= Z 2

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Пример 4Пример 4tg 3x tg (5x+tg 3x tg (5x+ππ)=1 tg 3x)=1 tg 3x 3 tg 3xne03 tg 3xne0 tg (5x+tg (5x+ππ)= )= 1 1 3 3 tg 3xtg 3xtg (5x+tg (5x+ππ)= ctg 3x )= ctg 3x

3 3 tg (5x+tg (5x+ π π)=tg ()=tg (ππ-3x)-3x) 3 3 22

Ответ Ответ ππ (1+6(1+6n)n) 4848n n єє Z ZВыполнила Шумакова Екатерина 10 классВыполнила Шумакова Екатерина 10 класс

5x+π=π-3x+πn32

π-3xneπ+πl2 2

8x=π+πn 6-3xneπl

x=π+πn48

xneπl 3

k є Zn є Z

k є Zn є Z

k є Zn є Z

Метод Метод ccведения к ведения к алгебраическому алгебраическому уравнениюуравнению

Член Петербургской Академиинаук аналитическая теория

тригонометрическихфункций

Современный вид тригонометрии придал крупнейший Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик математик XVIII XVIII столетия Л Эйлер (1707-1783) столетия Л Эйлер (1707-1783) швейцарец по происхождению долгие годы работавший швейцарец по происхождению долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук Именно Эйлер первым ввёл известные наук Именно Эйлер первым ввёл известные определения тригонометрических функций стал определения тригонометрических функций стал рассматривать функции произвольного угла получил рассматривать функции произвольного угла получил формулы приведенияформулы приведения

Несомненно Эйлер принадлежит к числу Несомненно Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времён В истории гениальнейших математиков всех времён В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 году Эйлер продолжал работать Его математический году Эйлер продолжал работать Его математический гений и великолепная память позволили ему гений и великолепная память позволили ему продолжать работупродолжать работу

Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям диктовал новые работы Характерно что гений и диктовал новые работы Характерно что гений и творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней старости о чём свидетельствует непрерывно растущее старости о чём свидетельствует непрерывно растущее количество написанных им трудов Ещё в день своей количество написанных им трудов Ещё в день своей смерти он вёл оживлённый спор со своими смерти он вёл оживлённый спор со своими сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в НекропольНекрополь

После Эйлера тригонометрия приобрела форму После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления различные факты стали доказываться исчисления различные факты стали доказываться путём формального применения формул тригонометрии путём формального применения формул тригонометрии доказательства стали намного компактнее и прощедоказательства стали намного компактнее и проще

11 2 sinsup2 2 sinsup2 хх -- 7cos x - 5 = 0 7cos x - 5 = 0 2(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 02(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 0 2 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 02 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 0 - 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0- 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0 Пусть Пусть cos xcos x = = y y и | у | le 1 и | у | le 1 2уsup2 + 7у + 3 = 02уsup2 + 7у + 3 = 0 уı = - 3 у = - нет уı = - 3 у = - нет

решений решений cos xcos x = - = -

xx = plusmn π = plusmn π + 2π+ 2πnn n n є є

Ответ plusmn π + 2πОтвет plusmn π + 2πnn n n euro poundeuro pound

22 cos2x + 3 sin x = 2cos2x + 3 sin x = 2 11-- sinsup2 x + 3 sin x = 2 sinsup2 x + 3 sin x = 2 --sinsup2 x + 3 sin x sinsup2 x + 3 sin x -- 1 = 0 1 = 0 Пусть sin x = Пусть sin x = yy | у | le 1 | у | le 1 ysup2 ysup2 -- 3y + 1 = 0 3y + 1 = 0 a + b + c = 0 =gt y = 1 a + b + c = 0 =gt y = 1 или или y = y = sin x = 1 sin x = sin x = 1 sin x = x = x = ππ + 2πk k є Z x = + 2πk k є Z x =

(˗1) middotπ + πn n є Z(˗1) middotπ + πn n є Z ОтветОтвет ππ + 2πk x = (-1) middotπ + πn + 2πk x = (-1) middotπ + πn гдегде

n k є Zn k є Z Выполнила Мамедова Айнура 10 Выполнила Мамедова Айнура 10

класскласс

Метод исполнения Метод исполнения свойства свойства ограниченности ограниченности функции функции (метод оценки)(метод оценки)

laquoМетод решения хорош если с самого начала мы можем предвидеть ndash и впоследствии подтвердить это - что следуя этому методу мы достигнем

целиraquo Лейбниц

Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово functionfunction переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров связанных с положением точки на плоскостиназвания различных параметров связанных с положением точки на плоскости

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не интересовался педагогической деятельностьюинтересовался педагогической деятельностью

В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика Именно Лейбниц является создателем современной символики символика Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше публикованыпубликованы

Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механикебыло только средством решения задач по механике

Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 ноября 1716 г За его гробом шел только один его верный другноября 1716 г За его гробом шел только один его верный друг

Если функции Если функции ff((xx) ) b gb g((xx) таковы что для всех х выполняется неравенства) таковы что для всех х выполняется неравенства FF((xx) le) leαα и и gg((xx)le)leββ и дано уравнение и дано уравнение FF((xx) + ) + gg((xx)=)=αα++ββ то оно равносильно системе то оно равносильно системе

ff((xx)=)=αα gg((xx)=)=ββ

11 sin sin xx - cos 6x = 2 - cos 6x = 2 33 |Sin |Sin xx| le 1 |cos 6x| le 1 | le 1 |cos 6x| le 1

Cos 6x = -1

Sin x = 1 3 Cos 6x = -1

lt=gt x = π + 2 π k k Є Z 2 3

6x = π + 2 π k n Є Z

lt=gt x= 3π +6 π k k ЄZ 2

x= π + πn n Є Z x= π + πn n Є Z

x= π + πn n Є Z 6 3

Ответ 3π+6 π ι ι= Z 2

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Метод Метод ccведения к ведения к алгебраическому алгебраическому уравнениюуравнению

Член Петербургской Академиинаук аналитическая теория

тригонометрическихфункций

Современный вид тригонометрии придал крупнейший Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик математик XVIII XVIII столетия Л Эйлер (1707-1783) столетия Л Эйлер (1707-1783) швейцарец по происхождению долгие годы работавший швейцарец по происхождению долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук Именно Эйлер первым ввёл известные наук Именно Эйлер первым ввёл известные определения тригонометрических функций стал определения тригонометрических функций стал рассматривать функции произвольного угла получил рассматривать функции произвольного угла получил формулы приведенияформулы приведения

Несомненно Эйлер принадлежит к числу Несомненно Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времён В истории гениальнейших математиков всех времён В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 году Эйлер продолжал работать Его математический году Эйлер продолжал работать Его математический гений и великолепная память позволили ему гений и великолепная память позволили ему продолжать работупродолжать работу

Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям диктовал новые работы Характерно что гений и диктовал новые работы Характерно что гений и творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней старости о чём свидетельствует непрерывно растущее старости о чём свидетельствует непрерывно растущее количество написанных им трудов Ещё в день своей количество написанных им трудов Ещё в день своей смерти он вёл оживлённый спор со своими смерти он вёл оживлённый спор со своими сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в НекропольНекрополь

После Эйлера тригонометрия приобрела форму После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления различные факты стали доказываться исчисления различные факты стали доказываться путём формального применения формул тригонометрии путём формального применения формул тригонометрии доказательства стали намного компактнее и прощедоказательства стали намного компактнее и проще

11 2 sinsup2 2 sinsup2 хх -- 7cos x - 5 = 0 7cos x - 5 = 0 2(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 02(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 0 2 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 02 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 0 - 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0- 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0 Пусть Пусть cos xcos x = = y y и | у | le 1 и | у | le 1 2уsup2 + 7у + 3 = 02уsup2 + 7у + 3 = 0 уı = - 3 у = - нет уı = - 3 у = - нет

решений решений cos xcos x = - = -

xx = plusmn π = plusmn π + 2π+ 2πnn n n є є

Ответ plusmn π + 2πОтвет plusmn π + 2πnn n n euro poundeuro pound

22 cos2x + 3 sin x = 2cos2x + 3 sin x = 2 11-- sinsup2 x + 3 sin x = 2 sinsup2 x + 3 sin x = 2 --sinsup2 x + 3 sin x sinsup2 x + 3 sin x -- 1 = 0 1 = 0 Пусть sin x = Пусть sin x = yy | у | le 1 | у | le 1 ysup2 ysup2 -- 3y + 1 = 0 3y + 1 = 0 a + b + c = 0 =gt y = 1 a + b + c = 0 =gt y = 1 или или y = y = sin x = 1 sin x = sin x = 1 sin x = x = x = ππ + 2πk k є Z x = + 2πk k є Z x =

(˗1) middotπ + πn n є Z(˗1) middotπ + πn n є Z ОтветОтвет ππ + 2πk x = (-1) middotπ + πn + 2πk x = (-1) middotπ + πn гдегде

n k є Zn k є Z Выполнила Мамедова Айнура 10 Выполнила Мамедова Айнура 10

класскласс

Метод исполнения Метод исполнения свойства свойства ограниченности ограниченности функции функции (метод оценки)(метод оценки)

laquoМетод решения хорош если с самого начала мы можем предвидеть ndash и впоследствии подтвердить это - что следуя этому методу мы достигнем

целиraquo Лейбниц

Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово functionfunction переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров связанных с положением точки на плоскостиназвания различных параметров связанных с положением точки на плоскости

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не интересовался педагогической деятельностьюинтересовался педагогической деятельностью

В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика Именно Лейбниц является создателем современной символики символика Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше публикованыпубликованы

Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механикебыло только средством решения задач по механике

Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 ноября 1716 г За его гробом шел только один его верный другноября 1716 г За его гробом шел только один его верный друг

Если функции Если функции ff((xx) ) b gb g((xx) таковы что для всех х выполняется неравенства) таковы что для всех х выполняется неравенства FF((xx) le) leαα и и gg((xx)le)leββ и дано уравнение и дано уравнение FF((xx) + ) + gg((xx)=)=αα++ββ то оно равносильно системе то оно равносильно системе

ff((xx)=)=αα gg((xx)=)=ββ

11 sin sin xx - cos 6x = 2 - cos 6x = 2 33 |Sin |Sin xx| le 1 |cos 6x| le 1 | le 1 |cos 6x| le 1

Cos 6x = -1

Sin x = 1 3 Cos 6x = -1

lt=gt x = π + 2 π k k Є Z 2 3

6x = π + 2 π k n Є Z

lt=gt x= 3π +6 π k k ЄZ 2

x= π + πn n Є Z x= π + πn n Є Z

x= π + πn n Є Z 6 3

Ответ 3π+6 π ι ι= Z 2

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Современный вид тригонометрии придал крупнейший Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик математик XVIII XVIII столетия Л Эйлер (1707-1783) столетия Л Эйлер (1707-1783) швейцарец по происхождению долгие годы работавший швейцарец по происхождению долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской Академии в России и являвшийся членом Петербургской Академии наук Именно Эйлер первым ввёл известные наук Именно Эйлер первым ввёл известные определения тригонометрических функций стал определения тригонометрических функций стал рассматривать функции произвольного угла получил рассматривать функции произвольного угла получил формулы приведенияформулы приведения

Несомненно Эйлер принадлежит к числу Несомненно Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времён В истории гениальнейших математиков всех времён В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 Декарта Галилея Несмотря на потерю зрения в 1776 году Эйлер продолжал работать Его математический году Эйлер продолжал работать Его математический гений и великолепная память позволили ему гений и великолепная память позволили ему продолжать работупродолжать работу

Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям Формулы он писал мелом на доске а своим друзьям диктовал новые работы Характерно что гений и диктовал новые работы Характерно что гений и творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней творчество Эйлера развивалось вплоть до поздней старости о чём свидетельствует непрерывно растущее старости о чём свидетельствует непрерывно растущее количество написанных им трудов Ещё в день своей количество написанных им трудов Ещё в день своей смерти он вёл оживлённый спор со своими смерти он вёл оживлённый спор со своими сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском сотрудниками Эйлер был похоронен на Смоленском кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в кладбище в Петербурге ныне его прах перенесён в НекропольНекрополь

После Эйлера тригонометрия приобрела форму После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления различные факты стали доказываться исчисления различные факты стали доказываться путём формального применения формул тригонометрии путём формального применения формул тригонометрии доказательства стали намного компактнее и прощедоказательства стали намного компактнее и проще

11 2 sinsup2 2 sinsup2 хх -- 7cos x - 5 = 0 7cos x - 5 = 0 2(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 02(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 0 2 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 02 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 0 - 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0- 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0 Пусть Пусть cos xcos x = = y y и | у | le 1 и | у | le 1 2уsup2 + 7у + 3 = 02уsup2 + 7у + 3 = 0 уı = - 3 у = - нет уı = - 3 у = - нет

решений решений cos xcos x = - = -

xx = plusmn π = plusmn π + 2π+ 2πnn n n є є

Ответ plusmn π + 2πОтвет plusmn π + 2πnn n n euro poundeuro pound

22 cos2x + 3 sin x = 2cos2x + 3 sin x = 2 11-- sinsup2 x + 3 sin x = 2 sinsup2 x + 3 sin x = 2 --sinsup2 x + 3 sin x sinsup2 x + 3 sin x -- 1 = 0 1 = 0 Пусть sin x = Пусть sin x = yy | у | le 1 | у | le 1 ysup2 ysup2 -- 3y + 1 = 0 3y + 1 = 0 a + b + c = 0 =gt y = 1 a + b + c = 0 =gt y = 1 или или y = y = sin x = 1 sin x = sin x = 1 sin x = x = x = ππ + 2πk k є Z x = + 2πk k є Z x =

(˗1) middotπ + πn n є Z(˗1) middotπ + πn n є Z ОтветОтвет ππ + 2πk x = (-1) middotπ + πn + 2πk x = (-1) middotπ + πn гдегде

n k є Zn k є Z Выполнила Мамедова Айнура 10 Выполнила Мамедова Айнура 10

класскласс

Метод исполнения Метод исполнения свойства свойства ограниченности ограниченности функции функции (метод оценки)(метод оценки)

laquoМетод решения хорош если с самого начала мы можем предвидеть ndash и впоследствии подтвердить это - что следуя этому методу мы достигнем

целиraquo Лейбниц

Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово functionfunction переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров связанных с положением точки на плоскостиназвания различных параметров связанных с положением точки на плоскости

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не интересовался педагогической деятельностьюинтересовался педагогической деятельностью

В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика Именно Лейбниц является создателем современной символики символика Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше публикованыпубликованы

Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механикебыло только средством решения задач по механике

Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 ноября 1716 г За его гробом шел только один его верный другноября 1716 г За его гробом шел только один его верный друг

Если функции Если функции ff((xx) ) b gb g((xx) таковы что для всех х выполняется неравенства) таковы что для всех х выполняется неравенства FF((xx) le) leαα и и gg((xx)le)leββ и дано уравнение и дано уравнение FF((xx) + ) + gg((xx)=)=αα++ββ то оно равносильно системе то оно равносильно системе

ff((xx)=)=αα gg((xx)=)=ββ

11 sin sin xx - cos 6x = 2 - cos 6x = 2 33 |Sin |Sin xx| le 1 |cos 6x| le 1 | le 1 |cos 6x| le 1

Cos 6x = -1

Sin x = 1 3 Cos 6x = -1

lt=gt x = π + 2 π k k Є Z 2 3

6x = π + 2 π k n Є Z

lt=gt x= 3π +6 π k k ЄZ 2

x= π + πn n Є Z x= π + πn n Є Z

x= π + πn n Є Z 6 3

Ответ 3π+6 π ι ι= Z 2

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

11 2 sinsup2 2 sinsup2 хх -- 7cos x - 5 = 0 7cos x - 5 = 0 2(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 02(1 - cossup2 x) - 7cos x - 5 = 0 2 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 02 - 2 cossup2 x - 7cos x - 5 = 0 - 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0- 2 cossup2 x ndash 7cos x - 3=0 Пусть Пусть cos xcos x = = y y и | у | le 1 и | у | le 1 2уsup2 + 7у + 3 = 02уsup2 + 7у + 3 = 0 уı = - 3 у = - нет уı = - 3 у = - нет

решений решений cos xcos x = - = -

xx = plusmn π = plusmn π + 2π+ 2πnn n n є є

Ответ plusmn π + 2πОтвет plusmn π + 2πnn n n euro poundeuro pound

22 cos2x + 3 sin x = 2cos2x + 3 sin x = 2 11-- sinsup2 x + 3 sin x = 2 sinsup2 x + 3 sin x = 2 --sinsup2 x + 3 sin x sinsup2 x + 3 sin x -- 1 = 0 1 = 0 Пусть sin x = Пусть sin x = yy | у | le 1 | у | le 1 ysup2 ysup2 -- 3y + 1 = 0 3y + 1 = 0 a + b + c = 0 =gt y = 1 a + b + c = 0 =gt y = 1 или или y = y = sin x = 1 sin x = sin x = 1 sin x = x = x = ππ + 2πk k є Z x = + 2πk k є Z x =

(˗1) middotπ + πn n є Z(˗1) middotπ + πn n є Z ОтветОтвет ππ + 2πk x = (-1) middotπ + πn + 2πk x = (-1) middotπ + πn гдегде

n k є Zn k є Z Выполнила Мамедова Айнура 10 Выполнила Мамедова Айнура 10

класскласс

Метод исполнения Метод исполнения свойства свойства ограниченности ограниченности функции функции (метод оценки)(метод оценки)

laquoМетод решения хорош если с самого начала мы можем предвидеть ndash и впоследствии подтвердить это - что следуя этому методу мы достигнем

целиraquo Лейбниц

Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово functionfunction переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров связанных с положением точки на плоскостиназвания различных параметров связанных с положением точки на плоскости

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не интересовался педагогической деятельностьюинтересовался педагогической деятельностью

В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика Именно Лейбниц является создателем современной символики символика Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше публикованыпубликованы

Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механикебыло только средством решения задач по механике

Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 ноября 1716 г За его гробом шел только один его верный другноября 1716 г За его гробом шел только один его верный друг

Если функции Если функции ff((xx) ) b gb g((xx) таковы что для всех х выполняется неравенства) таковы что для всех х выполняется неравенства FF((xx) le) leαα и и gg((xx)le)leββ и дано уравнение и дано уравнение FF((xx) + ) + gg((xx)=)=αα++ββ то оно равносильно системе то оно равносильно системе

ff((xx)=)=αα gg((xx)=)=ββ

11 sin sin xx - cos 6x = 2 - cos 6x = 2 33 |Sin |Sin xx| le 1 |cos 6x| le 1 | le 1 |cos 6x| le 1

Cos 6x = -1

Sin x = 1 3 Cos 6x = -1

lt=gt x = π + 2 π k k Є Z 2 3

6x = π + 2 π k n Є Z

lt=gt x= 3π +6 π k k ЄZ 2

x= π + πn n Є Z x= π + πn n Є Z

x= π + πn n Є Z 6 3

Ответ 3π+6 π ι ι= Z 2

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

22 cos2x + 3 sin x = 2cos2x + 3 sin x = 2 11-- sinsup2 x + 3 sin x = 2 sinsup2 x + 3 sin x = 2 --sinsup2 x + 3 sin x sinsup2 x + 3 sin x -- 1 = 0 1 = 0 Пусть sin x = Пусть sin x = yy | у | le 1 | у | le 1 ysup2 ysup2 -- 3y + 1 = 0 3y + 1 = 0 a + b + c = 0 =gt y = 1 a + b + c = 0 =gt y = 1 или или y = y = sin x = 1 sin x = sin x = 1 sin x = x = x = ππ + 2πk k є Z x = + 2πk k є Z x =

(˗1) middotπ + πn n є Z(˗1) middotπ + πn n є Z ОтветОтвет ππ + 2πk x = (-1) middotπ + πn + 2πk x = (-1) middotπ + πn гдегде

n k є Zn k є Z Выполнила Мамедова Айнура 10 Выполнила Мамедова Айнура 10

класскласс

Метод исполнения Метод исполнения свойства свойства ограниченности ограниченности функции функции (метод оценки)(метод оценки)

laquoМетод решения хорош если с самого начала мы можем предвидеть ndash и впоследствии подтвердить это - что следуя этому методу мы достигнем

целиraquo Лейбниц

Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово functionfunction переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров связанных с положением точки на плоскостиназвания различных параметров связанных с положением точки на плоскости

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не интересовался педагогической деятельностьюинтересовался педагогической деятельностью

В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика Именно Лейбниц является создателем современной символики символика Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше публикованыпубликованы

Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механикебыло только средством решения задач по механике

Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 ноября 1716 г За его гробом шел только один его верный другноября 1716 г За его гробом шел только один его верный друг

Если функции Если функции ff((xx) ) b gb g((xx) таковы что для всех х выполняется неравенства) таковы что для всех х выполняется неравенства FF((xx) le) leαα и и gg((xx)le)leββ и дано уравнение и дано уравнение FF((xx) + ) + gg((xx)=)=αα++ββ то оно равносильно системе то оно равносильно системе

ff((xx)=)=αα gg((xx)=)=ββ

11 sin sin xx - cos 6x = 2 - cos 6x = 2 33 |Sin |Sin xx| le 1 |cos 6x| le 1 | le 1 |cos 6x| le 1

Cos 6x = -1

Sin x = 1 3 Cos 6x = -1

lt=gt x = π + 2 π k k Є Z 2 3

6x = π + 2 π k n Є Z

lt=gt x= 3π +6 π k k ЄZ 2

x= π + πn n Є Z x= π + πn n Є Z

x= π + πn n Є Z 6 3

Ответ 3π+6 π ι ι= Z 2

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Метод исполнения Метод исполнения свойства свойства ограниченности ограниченности функции функции (метод оценки)(метод оценки)

laquoМетод решения хорош если с самого начала мы можем предвидеть ndash и впоследствии подтвердить это - что следуя этому методу мы достигнем

целиraquo Лейбниц

Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово functionfunction переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров связанных с положением точки на плоскостиназвания различных параметров связанных с положением точки на плоскости

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не интересовался педагогической деятельностьюинтересовался педагогической деятельностью

В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика Именно Лейбниц является создателем современной символики символика Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше публикованыпубликованы

Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механикебыло только средством решения задач по механике

Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 ноября 1716 г За его гробом шел только один его верный другноября 1716 г За его гробом шел только один его верный друг

Если функции Если функции ff((xx) ) b gb g((xx) таковы что для всех х выполняется неравенства) таковы что для всех х выполняется неравенства FF((xx) le) leαα и и gg((xx)le)leββ и дано уравнение и дано уравнение FF((xx) + ) + gg((xx)=)=αα++ββ то оно равносильно системе то оно равносильно системе

ff((xx)=)=αα gg((xx)=)=ββ

11 sin sin xx - cos 6x = 2 - cos 6x = 2 33 |Sin |Sin xx| le 1 |cos 6x| le 1 | le 1 |cos 6x| le 1

Cos 6x = -1

Sin x = 1 3 Cos 6x = -1

lt=gt x = π + 2 π k k Є Z 2 3

6x = π + 2 π k n Є Z

lt=gt x= 3π +6 π k k ЄZ 2

x= π + πn n Є Z x= π + πn n Є Z

x= π + πn n Є Z 6 3

Ответ 3π+6 π ι ι= Z 2

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

laquoМетод решения хорош если с самого начала мы можем предвидеть ndash и впоследствии подтвердить это - что следуя этому методу мы достигнем

целиraquo Лейбниц

Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово functionfunction переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров связанных с положением точки на плоскостиназвания различных параметров связанных с положением точки на плоскости

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не интересовался педагогической деятельностьюинтересовался педагогической деятельностью

В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика Именно Лейбниц является создателем современной символики символика Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше публикованыпубликованы

Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механикебыло только средством решения задач по механике

Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 ноября 1716 г За его гробом шел только один его верный другноября 1716 г За его гробом шел только один его верный друг

Если функции Если функции ff((xx) ) b gb g((xx) таковы что для всех х выполняется неравенства) таковы что для всех х выполняется неравенства FF((xx) le) leαα и и gg((xx)le)leββ и дано уравнение и дано уравнение FF((xx) + ) + gg((xx)=)=αα++ββ то оно равносильно системе то оно равносильно системе

ff((xx)=)=αα gg((xx)=)=ββ

11 sin sin xx - cos 6x = 2 - cos 6x = 2 33 |Sin |Sin xx| le 1 |cos 6x| le 1 | le 1 |cos 6x| le 1

Cos 6x = -1

Sin x = 1 3 Cos 6x = -1

lt=gt x = π + 2 π k k Є Z 2 3

6x = π + 2 π k n Є Z

lt=gt x= 3π +6 π k k ЄZ 2

x= π + πn n Є Z x= π + πn n Є Z

x= π + πn n Є Z 6 3

Ответ 3π+6 π ι ι= Z 2

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика Сам термин ldquoфункцииrdquo впервые встречается в рукописи великого немецкого математика и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово и философа Лейбница- сначала в рукописи (1673) а затем и в печати (1692) слово functionfunction переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для переводиться как ldquoсвершениеrdquo ldquoисполнениеrdquo Лейбниц ввел это понятие для названия различных параметров связанных с положением точки на плоскостиназвания различных параметров связанных с положением точки на плоскости

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 в г Лейпциге Его отец- юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в юрист и профессор философии умер когда Готфриду было всего шесть лет Среда в которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у которой рос Лейбниц оказала большое влияние на развитие интереса к науке у молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и молодого человека Первоначально Лейбниц интересовался только юриспруденцией и философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды философией В 1666 г Он получил звание доктора наук Полезно отметить что труды Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того Лейбница написанные в восемнадцатилетнем возрасте были достаточны для того чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по чтобы присвоить Лейбницу докторское звание но ему в этом было отказано по молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не молодости лет Лейбниц не принял предложение руководить кафедрой тк не интересовался педагогической деятельностьюинтересовался педагогической деятельностью

В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая В научном наследии Лейбница важным элементом была его математическая символика Именно Лейбниц является создателем современной символики символика Именно Лейбниц является создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал дифференциального и интегрального исчислений Делу символики Лейбниц придавал очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку очень большое значение Судьба играла с этим великим человеком злую шутку Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор согласованию спорных взглядов в последние годы своей жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых А правда состояла в том что первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию первые результаты получил действительно Ньютон а Лейбниц пришел к открытию собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше собственным путем но результаты Лейбница стали известны раньше тк были раньше публикованыпубликованы

Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной Дифференциальное исчисление по Лейбницу отличается более удачной символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно символикой и составило самостоятельный раздел математики тогда как у Ньютона оно было только средством решения задач по механикебыло только средством решения задач по механике

Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 Упомянутый спор с Ньютоном отравил остаток жизни Лейбница Умер он 14 ноября 1716 г За его гробом шел только один его верный другноября 1716 г За его гробом шел только один его верный друг

Если функции Если функции ff((xx) ) b gb g((xx) таковы что для всех х выполняется неравенства) таковы что для всех х выполняется неравенства FF((xx) le) leαα и и gg((xx)le)leββ и дано уравнение и дано уравнение FF((xx) + ) + gg((xx)=)=αα++ββ то оно равносильно системе то оно равносильно системе

ff((xx)=)=αα gg((xx)=)=ββ

11 sin sin xx - cos 6x = 2 - cos 6x = 2 33 |Sin |Sin xx| le 1 |cos 6x| le 1 | le 1 |cos 6x| le 1

Cos 6x = -1

Sin x = 1 3 Cos 6x = -1

lt=gt x = π + 2 π k k Є Z 2 3

6x = π + 2 π k n Є Z

lt=gt x= 3π +6 π k k ЄZ 2

x= π + πn n Є Z x= π + πn n Є Z

x= π + πn n Є Z 6 3

Ответ 3π+6 π ι ι= Z 2

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

11 sin sin xx - cos 6x = 2 - cos 6x = 2 33 |Sin |Sin xx| le 1 |cos 6x| le 1 | le 1 |cos 6x| le 1

Cos 6x = -1

Sin x = 1 3 Cos 6x = -1

lt=gt x = π + 2 π k k Є Z 2 3

6x = π + 2 π k n Є Z

lt=gt x= 3π +6 π k k ЄZ 2

x= π + πn n Є Z x= π + πn n Є Z

x= π + πn n Є Z 6 3

Ответ 3π+6 π ι ι= Z 2

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

22 xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos xsup2 - 4x = ( 2 ndash cos πxπx) (2 + cos ) (2 + cos πxπx) ndash 8) ndash 8 4 44 4 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 xsup2 - 4x +8 = 2sup2 - cossup2 πxπx 44 E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) E(xsup2 - 4x + 8) = [4 infin) XXвв = - = - вв = = 44 =2 =2 2a 22a 2 YYвв = 4- 8 + 8 = 4 = 4- 8 + 8 = 4 E (4 - cossup2 E (4 - cossup2 πxπx) = [3 4]) = [3 4] 44 0 le cossup2 0 le cossup2 πxπx le 1 le 1 44 -1le -cossup2 -1le -cossup2 πxπxle 0le 0 4 4 EE ( (xxsup2 -4sup2 -4xx +8) = +8) = EE (4- (4- coscossup2sup2πxπx) = 4 при х=2) = 4 при х=2 44 Ответ 2Ответ 2 Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс Выполнила Камзаракова Наталия 10 класс

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Уравнение видаУравнение вида

a sinxa sinx + + b cosxb cosx = = cc

aa bb cc ndash любые числа ndash любые числа

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Франсуа ВиетФрансуа Виет

Несмотря на то что Франсуа Виет был по Несмотря на то что Франсуа Виет был по образованию и специальности юристом он образованию и специальности юристом он отличался любовью и точным наукам и отличался любовью и точным наукам и способностями к математике Будучи совсем способностями к математике Будучи совсем молодым офицером он путем математических молодым офицером он путем математических рассуждений нашел ключ к шифру которым рассуждений нашел ключ к шифру которым пользовался испанский король Филипп пользовался испанский король Филипп II II при при переписке Благодаря этому французы могли переписке Благодаря этому французы могли расшифровать все секретные испанские документырасшифровать все секретные испанские документы

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Заинтересовавшись астрономией Заинтересовавшись астрономией Виет был вынужден заняться Виет был вынужден заняться тригонометрией и алгеброй Виет тригонометрией и алгеброй Виет дал в своих трудах основы общей дал в своих трудах основы общей теории алгебраических уравнений теории алгебраических уравнений почему и получил почетное имя почему и получил почетное имя современной алгебры Виет первый современной алгебры Виет первый ввел буквенные обозначения не ввел буквенные обозначения не только для неизвестных (что только для неизвестных (что иногда делали его иногда делали его предшественники) но и для предшественники) но и для коэффициентов уравненийкоэффициентов уравнений

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Поэтому благодаря трудам Виета Поэтому благодаря трудам Виета открылась возможность открылась возможность выражения свойств уравнений и выражения свойств уравнений и их корней общими формуламиих корней общими формулами

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

a sinx + b cosx = ca sinx + b cosx = c

Условия на коэффициенты Решения

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 0 x = 2middotarctgmiddot a plusmn radicasup2+bsup2-csup2 + 2πn b + c

b+cne0 аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 0 x = 2middotarctgmiddot a + 2πn n є Z b + c

аsup2 + bsup2 ndash csup2 lt 0 x = oslash

b + c = 0 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2 x arctg b + 2πk k є Z a

a=b=c=0 то x ndash любое числоa=b=0 cne0 уравнение теряет смысл

middot

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

1 1 33middotmiddot sinx + 4middotsinx + 4middot cosx = cosx = 33

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 gt 09 + 16 ndash 9 gt 0

x = 2middot arctg 3 plusmn radic9 + 16 ndash 9 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 3 plusmn4 + 2πn n є Z 7

x = 2middot arctg 1 + 2πn x = 2middot arctg - 1 + 2k 7 x = π(1 + 2n) n є Z x = -2middot arctg 1 + 2πk k є Z 7

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

2 3 sinx ndash 4 cosx = 2 3 sinx ndash 4 cosx = 55

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Решение

аsup2 + bsup2 ndash csup2 = 09 + 16 ndash 25 = 0

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z 1

x = 2middot arctg 3 + 2πn n є Z

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

3 3 5 sinx ndash 4 5 sinx ndash 4 cosx = 4cosx = 4

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Решение

c + b = 0c + b = 0

4 ndash 4 = 04 ndash 4 = 0

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = -2arctg (-08) + 2πkx = -2arctg (-08) + 2πk

x = (1 + 2n)πx = (1 + 2n)π

x = 2 arctg 08 + 2πkx = 2 arctg 08 + 2πk

Выполнила Давыдова Елена 10 Выполнила Давыдова Елена 10 класскласс

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Графический м етод решен ия тригон ом етрическихурав н ен ий

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Рене Декарт

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Рене Декарт больше известен как великий филосов чем математик Но именно он был пионером современной математики и его заслуги в этой области столь велики что он по справедливости входит в число великих математиков современности О жизни Декарта известно так же под латинизированным именем Картезия мы знаем немного

Родился Декарт во Франции После окончания незуитского колледжа для сыновей аристократических семейств он по примеру своего брата стал изучать правоведение В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных военноначальников учавствовавших в тринадцатилетней войне

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Декарт в своём филосовском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума и поэтому преследовался католической церковью Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике которыми он интересовался с детства Декарт в 1629г поселился в Голландии где прожил почти до конца жизни

Декарт ввёл в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных чисел обозначение степени XbullX=X и знак бесконечности

Рене Декарт ввёл прямоугольную систему координат на плоскости В Европе используется название предложенное автором Картезианская система координат У нас по имени автора Декартова или прямоугольная система координат

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

11 февраля 1650г Декарт скончался Последние слова произнесённые им были laquoПора в путь душа мояraquo

В 1666г передовые люди Франции перевезли прах Декарта на родину

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

1 1+cosX+sinX=0 1+cosX=-sinX Y=1+cosX Y=-sinX

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

xy sin

На содержание

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

xy sin

На содержание

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Zkkx

Znnx

22

3

2

xy cos1

xy sin

На содержание

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Sin x = 2x

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

xy sin

На содержание

xy 2

X=0

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Метод решений Метод решений однородного уравненияоднородного уравнения

Рассотрим уравнениеРассотрим уравнениеasinasinsup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0sup2x+bsinx cosx+c cossup2x=0

Разделим уравнение на Разделим уравнение на cossup2xcossup2x cos xne0cos xne0тк иначе тк иначе sin x=0 sin x=0 чего быть не можетчего быть не может

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

11

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-sin2x=0sup2x-5 sinsup2x-sin2x=0

3 cos3 cossup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0sup2x-5 sinsup2x-2sinx cosx=0

3-5 tgsup2x-2 tgx=03-5 tgsup2x-2 tgx=0

Пусть Пусть tgx=ytgx=y тогда тогда

5ysup2+2tgx-3=05ysup2+2tgx-3=0

==

yy11=-1 y=-1 y22=06=06

Произведём обратную заменуПроизведём обратную замену

tgx=tgx=11 x=x=ππ4 4 ππ∙n n ∙n n єє Z Z

tgx=06tgx=06 x=arctg06+x=arctg06+ππ∙k k ∙k k єє Z Z

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

22

sinsinsup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-sup2x-sinx∙cosx-cossup2x+sinsup2x-sinsup2x-cossup2x=0cossup2x=0

sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0sinsup2x-sinx∙cosx-2cossup2x=0

tgsup2x-tgx-2=0tgsup2x-tgx-2=0

tgx=2tgx=2 tg=-1tg=-1

x=arctg2+x=arctg2+ππk k k k єє Z Z

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

33coscossup2x+sinx∙cosx=0sup2x+sinx∙cosx=0на на coscossup2x sup2x делить нельзя можно делить нельзя можно утверждать что утверждать что sinsinsup2xne0sup2xne0

ctgsup2x+ctgx=0ctgsup2x+ctgx=0ctgx(ctgx+1)=0ctgx(ctgx+1)=0

ctgx=0ctgx=0 илиили ctgx=1ctgx=1

X=X=ππ2+2+ππn n n n єє Z ZX=3X=3ππ4+4+ππk k k k єє Z Z

Выполнила Усатова Анастасия 10 классВыполнила Усатова Анастасия 10 класс

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

laquoМне приходится делить время laquoМне приходится делить время между политикой и между политикой и

уравнениями Однако уравнениями Однако уравнения по-моему гораздо уравнения по-моему гораздо важнее Политика существует важнее Политика существует только для данного момента а только для данного момента а уравнения будут существовать уравнения будут существовать

вечноraquoвечноraquo

А ЭйнштейнА Эйнштейн

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

7 способов решения уравнения

Sinx + Cosx = 1

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

1 способ Возведение в квадрат левой и правой

части уравнения

znnzkkОтвет

xk

кореньxk

xn

кореньxn

проверка

zkkxznnx

SinxилиCosx

SinxCosx

SinxCosxxSinxCos

SinxCosx

22

2

1cossin1

10cos0sin00

12

3cos

2

3sin

2

31

12

cos2

sin2

0

2

00

02

12

122

2

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

2 способ Приведение к однородному уравнению второй степени относительно Sinx и

Cosx

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

xTgznnx

xTgznn

xxCos

xSin

xSin

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

xSin

xCos

xCos

xSin

xSin

xCos

22

2

22

42

12

2

012

2

0222

2

20

220

220

222

22

)1(022

22

2

22222

22

2

2

2222

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

3 способ разложение

на множители

zkkznnОтвет

zkkx

zkkx

znnx

xTgznn

x

xCos

xCos

xSinили

xSin

xCos

xSin

xSin

xCos

xSin

xSin

SinxCosx

22

2

22

42

2

12

2

20

220

2

0222

2

022

22

2

01

2

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

4 способ Преобразование суммы тригонометрических функций в

произведение

kkznnОтвет

zkkxzkkx

znnxznnx

xCos

xCosCos

xCosCosx

xxxx

22

2

2244

22

244

2

2

4

144

2

12

)2

cos(sin)2

sin(cos

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

5 способ Метод оценки

znnzkkОтвет

zkkxCosx

znnxSinx

zkkxCosx

znnxSinx

тоCosxиSinxкТ

22

2

2

0

22

1

21

0

11

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

xy cos

На содержание

6 способ Графический

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

xy cos1

На содержание

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

xy cos1

На содержание

xy sin

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

xy cos1

На содержание

xy sin

zkkznnОтвет 22

2

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Метод 7 уравнение вида Метод 7 уравнение вида asinx+bcosx=asinx+bcosx=00 sinx+cosx=1sinx+cosx=1X=2arctg X=2arctg 11plusmnradic1=1-1plusmnradic1=1-1 +2 +2ππn n n n єє Z Z

1+11+1X=2arctg X=2arctg 1plusmn11plusmn1 +2 +2ππn n n n єє Z Z 22X=2arctg0+2X=2arctg0+2ππn n n n єє Z ZX=2arcgt1+2X=2arcgt1+2ππk k k k єє Z ZX= 2X= 2ππn n n n єє Z ZX=2timesX=2timesππ+2+2ππkk 44X=2X=2ππn n n n єє Z ZX= X= ππ+2+2ππk k k k єє Z Z 22

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

laquoДороги не те знания которые laquoДороги не те знания которые откладываются в мозгу как откладываются в мозгу как

жир дороги те которые жир дороги те которые превращаются в умственные превращаются в умственные

мышцыraquoмышцыraquo

Герберт Герберт СпенсерСпенсер

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

1122

1111

1100

99

88

77

66

55

44

33

22

11

Классификация Классификация тригонометрических уравнений по тригонометрических уравнений по

методам решенийметодам решений

26cos3

sin xx

xx sin4cos4 2

1cos2sin5 xx

xx sin3cos

1)3

5(3

xtgxtg

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xx 2sin2cos3

05sin3sin xx

222 )sin(coscossin xxxx

12cos3sin xx

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

25sin4sin

3sin2sin22

22

xx

xx

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Самостоятельная работа

Первый вариант

xx sin4cos4 2 05sin3sin xx

xxxx

xcossin4sin

cos1

cos1 2

xxx

xx 22 sinsin

cos1

cos1sin3

Второй вариант

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Znnxx

xуслудне

yy

D

yy

yxпусть

xx

xx

22

1sin

1sin

13

4

034

sin

0sin4sin14

sin4cos4

21

2

2

2

Zx

Znnx

Zx

Znnx

Zxx

Znnxx

xx

xx

48

28

22

253

253

5sin3sin

05sin3sin

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61

Zlknnlkответ

x

услудне

x

Zllx

ZkkxZnnx

xилиx

xxx

xxx

x

xxxx

x

212

5

12

1cos

1cos)2

12

5

12

2

12sin0sin

0)cossin41(sin

0cossin4sin

1cos)1

cossin4sincos1

cos1

2

2

Zknmnkmответ

x

услудне

x

Zkkx

ZmmxZnnx

xилиx

xx

xx

xxx

x

xxx

xx

223

22

3

1cos

1cos)2

23

2

23

2

3sin0sin

0)sin23(sin

0sin2sin3

sinsinsin3

1cos1)1

sinsincos1

cos1sin3

2

22

22

• Slide 56
• Slide 57
• Slide 58
• Slide 59
• Slide 60
• Slide 61