מדדי מיקום יחסיוההתפלגות הנורמלית

השימוש של מדדי מיקום יחסי:

כאשר נרצה להשוות בין תצפיות הנמצאות על אותה סקאלה של יחידות מדידה, אך משתייכות להתפלגויות שונות )לכל התפלגות

ממוצע ופיזור משלה(. 

86 בפסיכולוגיה קוגניטיבית או 88דוגמא: מה יותר טוב - לקבל בפסיכולוגיה חברתית ?

 :כאשר נרצה להשוות בין תצפיות הנמדדות בסקאלות שונות

ס"מ. בהשוואה לשאר ילדי 165 ק"ג וגובהו 50דוגמא: דני שוקל הכיתה האם הוא בולט יותר במשקלו או בגובהו ?

 מדדי מיקום יחסי יעזרו לנו לענות על שאלות כגון אלו.

מדדי מיקום יחסי מאפשרים לבטא את ערכי ההתפלגות . יחסיים וטהוריםכערכים

ערך יחסי מאפשר לדעת מהו מיקומה של תצפית מסוימת יחסית לשאר התצפיות בהתפלגות

יחסית לתצפיות המשתייכות להתפלגויות של אומשתנים אחרים.

ערך טהור הוא ערך שאינו תלוי ביחידות המדידה הגולמיות.

מדדי מיקום יחסי:

Percentiles- אחוזונים / מאונים

Z scores- ציוני תקן

Percentilesאחוזונים / מאונים

# ערך המאון מבטא את הכמות היחסית של ערכי ההתפלגות הנמצאים מעל או מתחת לתצפית כלשהי.

 

# המאון מציין את מיקומה היחסי של התצפית בהתפלגות במונחים של סדר.

 

# המאון אינו מתייחס לערך התצפית או למרחקה ממרכז ההתפלגות.

Percentilesאחוזונים / מאונים # כלומר, מאונים הם בסולם סדר, ללא קשר האם המשתנה

הוא בסולם רווח או מנה )הם מספקים מידע על סדר הערכים בלבד ולא על המרווחים הקיימים בין הערכים(.

# חסרונו של המאון – המאון אינו מתקבל כטרנספורמציה ליניארית של הציון הגולמי ולכן קשה לטפל בו מבחינה

מתמטית. ציון התקן מתגבר על חיסרון זה ולכן עדיף להשתמש בו.

Px – מאון התצפית שערכהx 

) (*100F xPx

n

165

80%

20%

P165 = 80למשל, עבור התפלגות גבהים של ילדי כיתה ידוע כי

וגובהם 165 מילדי הכיתה הוא לכל היותר 80%כלומר, גובהם של .165 מילדי הכיתה הוא לפחות 20%של

מהם מאוני הרבעונים?

Q1 Q3Q2=Md Q4

PQ1 = 25PMd = 50PQ3 = 75

PQ4= 100

עבור סדרת ערכים בדידים

. כלשהו הינו אחוז התצפיות הקטנות או שוות לוXהמאון עבור ציון דוגמא – התפלגות איחורים לשיעור סטטיסטיקה

שכיחות מצטברת מס' סטודנטים מס' איחורים

2

5+

CF(X) f(x) X

20 20 0

33 13 1

45 12

51 6 3

56 5 4

60 4

n=60 n=60 סה"כ

איחורים ?0מהו המאון עבור סטודנטים אשר כלל לא איחרו, ולכן:20ישנם

P0 = CFx * 100 / n = 20*100 / 60 = 33.33 

66.67% מהסטודנטים לא איחרו בכלל ו- 33.33%כלומר, מהסטודנטים איחרו לפחות פעם אחת.

  איחורים ?3מהו המאון עבור

פעמים, ולכן:3 סטודנטים אשר איחרו לכל היותר 51ישנם  

P3 = CFx * 100 / n = 51*100 / 60 = 85  

15% פעמים ו- 3 מהסטודנטים איחרו לכל היותר 85%כלומר, פעמים.3מהסטודנטים איחרו יותר מ-

ערכי המאונים עבור סדרת ערכים בדידים מופיעים למעשה בעמודת (, עליה למדנו בשיעור על ארגון Cpהשכיחות היחסית המצטברת )

וקיבוץ נתונים:

שכיחות יחסית מצטברת

שכיחות מצטברת

מס' סטודנטים

מס' איחורים

2

5+

Cp = CFx * 100 / n CF(X) f(x) X

33.33% 20 20 0

55% 33 13 1

%75 45 12

%85 51 6 3

%93.33 56 5 4

%100 60 4

%100 n=60 n=60 סה"כ

עבור משתנים רציפים )טבלת קטגוריות(

ואנו מעוניינים למצוא את ערך Pxכאשר נתון ערך המאון X:המתאים לו נציב בנוסחה

 

 

ואנו מעוניינים למצוא את ערך המאון Xכאשר נתון ערך Px המתאים לו נציב בנוסחא )זהו פיתוח של הנוסחא

הקודמת(:

 

) * /100 (*1

n Px CF WX l

fi

*) 1( 100[ ]*fi X l

Px CFiW n

l1גבול אמיתי תחתון של מחלקת המאון –

nמספר התצפיות בסה"כ –

CFהשכיחות המצטברת עד מחלקת המאון –

Fiשכיחות המקרים במחלקת המאון –

Wרוחב הקטגוריה –

 

דוגמא: התפלגות זמני אכילה בדקות של מגש פיצה

שכיחות יחסית Cpמצטברת

שכיחות CFמצטברת

שכיחותf)x(

גבולות אמיתיים

( xזמן אכילה )

6.66% 2 2 5.5-15.5 6-15

23.33%7 5

15.5-25.5 16-25

76.66%23 16

25.5-35.5 26-35

100%30 7

35.5-45.5 36-45

100% N=30 N=30   סה"כ

 

?, כמה דקות לוקח לו לאכול מגש של פיצה74גדי נמצא במאון ה- @

:74נחשב את מספר התצפיות עד למאון ה- n*Px / 100 = 30*74 / 100 = 22.2

עמודת לפי )CFכלומר, השלישית במחלקה נמצא המאון 25.5- דקות(.35.5

עמודת על לחליפין אפשר להסתכל איזו Cp[כמובן, עד ולראות מהתצפיות]74%מחלקה הצטברו

נציב בנוסחה: 

)30*74 /100 7(*1025.5 35

16X

לוקח לגדי – 35כלומר, פיצה מגש לאכול דקות 74% ו- שלו בקצב לפחות או ממנו יותר מהר אוכלים מהנבדקים

מהנבדקים אוכלים לאט יותר ממנו. 26%

דקות, באיזה מאון הוא נמצא ?17דני אוכל מגש פיצה במשך

דקות(. 15.5-25.5עלינו להתייחס למחלקה השנייה )

נציב בנוסחה:

 

 

מהנבדקים 9.16% – 9.16כלומר, דני נמצא במאון ה- 90.84%אוכלים מהר יותר ממנו או לפחות בקצב שלו ו-

מהנבדקים אוכלים לאט יותר ממנו.

17

5*)17 15.5( 100[ 2]* 9.16

10 30P

חישוב עשירונים:

בהתפלגות זו?העשירון העליוןמהו -

בהתפלגות זו?העשירון התחתוןמהו -

)30*90 /100 23(*1035.5 41.21

7x

)30*10 /100 2(*1015.5 17.5

5x

Z scoresציוני תקן

] המבטא את מרחקו של הציון Zxi# ציון יחסי וטהור [] מתוחלת / ממוצע ההתפלגות [ ].Xiהגולמי [

 

- יחידות של [ σ, SD ]# המרחק נמדד ביחידות של ס"ת פיזור.

,X

נשתמש בפרמטרים:אוכלוסיה# עבור  

נשתמש בסטטיסטים:מדגםעבור #  

מסוים Xiכלומר, ציון התקן מלמד בכמה ס"ת רחוק ערך # מהממוצע.

 # לכן, בעזרת ציוני תקן נוכל להשוות ציונים המשתייכים

להתפלגויות השונות בממוצע או בפיזור.

i

XiZx

i

Xi XZx

SD

בפסיכולוגיה 87דוגמא: מה יותר טוב - לקבל ? בפסיכולוגיה חברתית86קוגניטיבית או

4 וס"ת = 88( הממוצע = Xבפסיכולוגיה קוגניטיבית )6 וס"ת = 85( הממוצע = Yבפסיכולוגיה חברתית )

 חישוב:

 86 850.167

6iZy

87 880.25

4iZx

Zxi < Zyi ניתן לראות כי

יחידות תקן 0.167 בפסיכולוגיה חברתית ולהיות 86כלומר, עדיף לקבל בפסיכולוגיה קוגניטיבית ולהיות 87מעל ממוצע הקורס, מאשר לקבל

. יחידות תקן מתחת לממוצע הקורס0.25

# כיוון שיחידות המדידה המקוריות מופיעות הן במונה והן ביניהן. היחסבמכנה – הן לא באות לידי ביטוי, אלא רק

שאינו תלוי ביחידות כלומר, ציון התקן הוא ערך טהור, . המדידה הגולמיות

 # לכן, בעזרת ציוני תקן נוכל להשוות ציונים הנמדדים על

סקאלות שונות.  

ס"מ. 165 ק"ג וגובהו 50 דני שוקל דוגמא:בהשוואה לשאר ילדי הכיתה האם הוא בולט יותר

במשקלו או בגובהו ?8, ס"ת 155( Xממוצע התפלגות הגבהים )3, ס"ת 45( היא Yממוצע התפלגות המשקלים )

165 1551.25

8iZx

50 45

1.673iZy

במשקלו בהשוואה בולט יותר כלומר, יחסית לילדי הכיתה דני לגובהו, כיוון שמשקלו סוטה ביותר יחידות תקן מעל הממוצע

הכיתתי בהשוואה לסטייה בגובה.

המשך- ציוני תקן

# ציון התקן בערך מוחלט מלמד על מידת המרחק בין הציון לבין הממוצע.

 # סימן ציון התקן, + או –, מלמד האם ציון הגלם גדול או קטן

מהממוצע, בהתאמה.  

# המרת ציונים גולמיים לציוני תקן הנה טרנספורמציה ליניארית .למשתנים כמותיים מסולם רווח ומעלהולכן מתאימה רק

 # ע"י המרת כל הציונים הגולמיים לציוני תקן נוכל ליצור

התפלגות סטנדרטית – התפלגות ציוני תקן. 

התפלגות ציוני הגלם

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 2 3 5 7 10

מס' מסטיקים

תחו

כיש

התפלגות ציוני התקן

0

2

4

6

8

10

12

14

16

-1.63 -0.82 -0.42 0.39 1.20 2.41

מס' מסטיקים ביחידות תקן

תחו

כיש

המשך- ציוני תקן

# טרנספורמציה ליניארית מצליחה לשמר את המרווחים בין הערכים, אך לא את היחסים בין הערכים.

 

, אף אם הציונים הגולמיים ציוני תקן הם בסולם רווח# לכן, הם בסולם מנה.

 

.#0 ממוצע ההתפלגות הסטנדרטית =

1 0

n

ii

ZxZ

n

המשך- ציוני תקן

. #1 שונות וס"ת ההתפלגות הסטנדרטית =

2

2 21

) (1

n

ii

Z Z Z

Zx ZS S SD

n

טרנספורמציות על ציוני התקן:. הוספת קבוע ?1

 . הכפלה בקבוע?2

 

) ( ) (Xi c X c Xi XZi Zi

Sx Sx

) (Xi c X c c Xi X Xi XZi Zi

Sx c c Sx Sx

ציוני לכל קבוע הוספת הגלם

אין שינוי בציוני התקן.

הכפלת כל ציוני הגלם בקבוע חיוביאין שינוי בציוני התקן

הכפלת כל ציוני הגלם בקבוע שליליהיפוך סימני ציוני התקן

תרגילים:

: 1תרגיל במחקר לגבי אוכלוסיית השכירים נמצא:

.400 ש"ח עם סטיית תקן 1500ממוצע השכר .3 שנים עם סטיית תקן 11.8ממוצע שנות הלימוד

שנה. באיזה 15 שקלים ולמד 1700שכיר מסוים משתכר משתנה מצבו היחסי של השכיר גבוה יותר?

:1פתרון . בשנות-לימוד ציון התקן הינו 0.5ציון התקן בשכר הינו  

. אי לכך, מצבו היחסי גבוה יותר בשנות לימוד.1.067

ציון התקן של סטודנט במבחן במבוא לסטטיסטיקה הוא . 2Z=+1.2 ואילו ציון התקן שלו במבחן במבוא לסוציולוגיה ,

. האם ציונו המקורי במבחן בסוציולוגיה בהכרח Z=+2הוא ? גבוה יותר מציונו במבחן בסטטיסטיקה

: 2פתרון לא בהכרח. הדבר תלוי בממוצע הגולמי ובסטיית התקן

הגולמית בשני המקצועות. 

 

לפניכם נתונים על היקף רגליהם של חייזרים שהגיעו    .3. 37, 36, 33, 33, 30, 29לארץ:

חשבו לסדרה זו את ציוני התקן.    א.        

חשבו את הממוצע וסטיית התקן של ציוני התקן.   ב.         

 :3פתרון . 1.38, +1.04, +0, 0, 1.04, -1.38-         א.        

1, ס.ת = 0ממוצע =  

על מנת להתקבל לאוניברסיטה מסוימת על המועמדים לעבור מבחן כניסה. הקבלה . 4 וסטיית 70לפקולטות השונות מותנית בגובה ציון התקן. ממוצע הציונים במבחן הוא

.10התקן Z=2לפקולטה לרפואה יתקבלו רק מועמדים שהשיגו מעל

Z=1ללימודי פסיכולוגיה יתקבלו רק מועמדים שהשיגו מעל מאפשר קבלה לפקולטות האחרות. Z = 1הישג של מעל -

. האם תתקבל לרפואה? 89דינה קבלה   א.         מהו הציון הגולמי הנמוך ביותר הנדרש כדי להתקבל לפסיכולוגיה ?   ב.         

? תחת איזה ציון אי אפשר להתקבל לאף פקולטה

:4פתרון Z = 1.9דינה לא תתקבל לרפואה:          א.          

10+70 = 80         ב.          60- = 10+70 .

 

. סטודנט נבחן בשלוש בחינות: מתמטיקה, אנגלית 5וספרות. להלן ציוני הסטודנט, ממוצעי הכיתות וסטיות

התקן:באיזה מקצוע מדורג הסטודנט במקום היחסי הגבוה

ביותר ובאיזה בנמוך ביותר ?

 :5פתרון (, Z = 2הסטודנט מדורג יחסית במקום הגבוה ביותר בספרות )

(. במתמטיקה Z = 0.83ובמקום היחסי הנמוך ביותר באנגלית ) (.Z = 1.5מקומו היחסי בין שני המקצועות האחרים )

 

. 1.8 וציון התקן שלו 83. ראובן קיבל בבחינה בסטטיסטיקה 6. 5ידוע כי סטית התקן של הציונים בסטטיסטיקה היא

מהו ממוצע ההתפלגות?   א.        

?  . כמה קיבל בבחינה 1.3ציון התקן של שמעון בבחינה היה -

:6פתרון

74ממוצע ההתפלגות:   א.        

 67.5ציון הגלם של שמעון בבחינה:

Normalההתפלגות הנורמלית- Distribution( או התפלגות Gaussמכונה גם התפלגות גאוסיאנית )על שמו של

פעמונית בשל צורתה. 

:תכונות נוספות סימטרית. 1.חד-שיאית / שכיחית.2.שכיחות ערכי המשתנה במרכז ההתפלגות היא הגבוהה ביותר.3.ככל שמתרחקים ממרכז ההתפלגות שכיחות ערכי המשתנה 4.

.0וקטנה, אבל אינה מגיעה ל-הולכת )גבולותיה בין + ל- -(.Xאסימפטוטית לציר ה- 5. מהמקרים(.100% )1כלל השטח תחת העקומה = 6.הממוצע, החציון והשכיח מתלכדים בציר הסימטרייה.7.עקומה רציפה..8

המשך פרמטרים, המבדילים אותן זו 2התפלגויות נורמאליות תלויות ב-

מזו:

        מיקום הפעמון, נקודת ציר תוחלת האוכלוסייה – הסימטרייה.

        רוחב הפעמון )ערך חיובי בלבד(. ס"ת האוכלוסייה –

כלומר, זו משפחה של התפלגויות, כאשר לכל התפלגות ישנה ס"ת וממוצע )וחציון ושכיח( שונים.

קיימים תנאים מינימליים של מידת "הכיפתיות" והסימטרייה של העקומה ע"מ שתיחשב התפלגות נורמלית.

X

X

המשךSkewness – של הסימטריות/א-סימטריות לבחינת מדד –: כאשר ההתפלגות היא התפלגות נורמלית, ערך ה ההתפלגות

skewness התפלגות שאינה נורמלית יכולה להיות ימנית 0 יהיה .ובעיקר יותר, גדול שהערך ככל שלילית. שמאלית או חיובית,

מ- גדול הוא שונה 1כאשר שההתפלגות אינדיקציה זוהי ,מהתפלגות נורמלית והיא ימנית או שמאלית.

Kurtosis – האם ההתפלגות מדד לבחינת הפיזור סביב הממוצע :הומוגנית ומרוכזת סביב הממוצע, או האם היא הטרוגנית ושטוחה

.0 יהיה kurtosis –יותר. עבור התפלגות נורמלית, ערך ה

מהתפלגות יותר ארוכים זנבות יש להתפלגות כי מראה חיובי ערך ה של שלילי ערך יותר; והטרוגנית שטוחה והיא – הנורמלית

kurtosis מאשר יותר קצרים זנבות יש להתפלגות כי מוכיח שמרוכזת יותר הומוגנית התפלגות וזוהי הנורמלית להתפלגות

סביב הממוצע.אין צורך לחשב!

1

3

4

2

5

6

דוג' :

, אך שונות במדדי המרכז – דומות 3, 2התפלגויות.בפיזור

במדדי , אך שונות בפיזור – דומות 4, 1התפלגויות .המרכז

סימון זה פירושו – המשתנהX מתפלג

נורמאלית והפרמטרים שלו הם ו- .

עקומת ההתפלגות הנורמאלית ניתנת לתיאור בעזרת פונקצית: הצפיפות של ההתפלגות הנורמאלית

2~ ) , (X N

2

2

) (

21) ( )exp(

2

X

f x

המשך- התפלגות נורמלית:

זו התפלגות תיאורטית.1.

התפלגויות שכיחויות של תכונות רבות בטבע 2.שואפות להתפלגות הנורמלית התיאורטית, וניתן

לאפיינן בקירוב ע"י תכונות ההתפלגות הנורמלית.למשל: תכונות כמו- משקל, גובה, אינטליגנציה 3.

ועוד.

התפלגות נורמאלית סטנדרטית # המרת ציונים גולמיים של התפלגויות נורמאליות שונות לציוני

של ציוני תקן, המכונה "התפלגות התפלגות אחתתקן יוצרת ". Zנורמאלית סטנדרטית" או "התפלגות

)נקבל התפלגות נורמלית של ציוני תקן(.

 

.1 וס"ת = #0 כמו בכל התפלגות של ציוני תקן, הממוצע =

 

# השטח מתחת לעקומה הנורמאלית סטנדרטית מחולק לתחומים ידועים )מס' סטיות תקן שלמות מעל או מתחת

לממוצע(, המייצגים כל אחד את ההסתברות לקבלת ערכים . בתחום

Zx

0.0215 0.0215

0.1359 0.1359

0.3413 0.3413

10 2-1-2 3-30.0013 0.0013

0.6826

0.9544

0.9974

# לכל ציון תקן ניתן להתאים אחוזון. .84+ היא בקירוב האחוזון ה- 1, בעוד סטית תקן 16- היא בקירוב האחוזון ה- 1למשל, ס"ת

Zלוח כאשר נרצה למצוא הסתברויות לקבלת ערכים בתחומים

.Zשאינם נופלים על סטיות תקן שלמות, נשתמש בלוח

:Zבין אחוזון לציון

. z יוצרת קשר קבוע בין אחוזונים לערכי Zהתפלגות

כלומר, ניתן להתאים לכל ציון תקן את האחוזון בו הוא נמצא.

מאפשר לנו לחשב איזה פרופורציה מהמקרים zלוח . שוניםzנמצאת בין ציוני

תרגול!

1תרגיל בהתפלגות נורמלית נתונה מצאו את ההסתברות לכך שערכו 1

- :1.82 יהיה גבוה מ- Zשל

0.9656         א.        

0.0344          ב.        

- 0.0344          ג.         

0.4656          ד.        

התשובה הנכונה היא א'.       .1:נתונה התפלגות נורמלית. ראשית נבדוק איזה שטח אנו צריכים למצוא

-(.1.82-. )השטח המקווקו שמימין ל -1.82 יהיה גבוה מ -Z- אנחנו צריכים למצוא את ההסתברות ש חיוביים. נשתמש בתכונת הסימטריה של ההתפלגות הנורמלית, ונראה Z מופיעים רק Z: אך בטבלת Z מכיוון שזו התפלגות נורמלית נשתמש בטבלת

.Z=1.82 זהה לשטח ההתפלגות שמתחת ל Z-=1.82שהשטח בהתפלגות שמעל

)שווה 1.82 יהיה מתחת ל Z מערכי ההתפלגות. כלומר ההסתברות לכך שערכו של 96.56% יש Z=1.82: עד Zשטח זה הוא השטח המופיע בטבלת .0.9656-( היא 1.82 יהיה מעל Zלהסתברות לכך שערכו של

(. -1.82זו בעצם ההסתברות שיהיו בהתפלגות ערכים שציון התקן שלהם גדול מ )

:2תרגיל וסטיית תקן 100 מתפלגים נורמלית עם ממוצע IQציוני       .1

נבדקים לכמה אנשים בקירוב 9000. במדגם אקראי של 15?120 לבין 85 הנעים בין IQיהיו ציוני

3674         א.        

750          ב.        

6143          ג.         

.6746          ד.        

:תשובהד'.

:3תרגיל ביישוב מסוים נמדד הזמן הדרוש לתושבים כדי להגיע למקלט מרגע השמעת האזעקה. נמצא       .1

שניות. מה אחוז התושבים 30 ועם סטיית תקן של 110כי זמן זה מתפלג נורמלית עם ממוצע שיידרש להם:

שניות כדי להגיע למקלט?120         א.         למעלה מ-

שניות כדי להגיע למקלט?180          ב.         למעלה מ-

שניות כדי להגיע למקלט?180 ל-120          ג.          בין

          ד.         בין דקה אחת לשתי דקות כדי להגיע למקלט?

שניות מרגע השמעת האזעקה, מה אחוז התושבים שלא 150         ה.         אם ייפול טיל כעבור ימצאו מקלט בעת נפילת טיל?

:4שאלה מהו התחום, בציוני תקן, שבתוכו נמצאים:      .1

המרכזיים של האוכלוסייה20%         א.        

הנמוכים ביותר באוכלוסייה25%          ב.        

הגבוהים ביותר10%          ג.         

. 0.5 מסביב לנקודה שהיא ציון תקן 30%          ד.        

מתחת לממוצע30% מעל הממוצע ו-20%         ה.        

:4תשובה מתחת לממוצע. 10% מעל הממוצע ו-10% המרכזיים הם 20%         א. 

z=0.25 מעל הממוצע( הוא 10% עד הממוצע ועוד 50% )60% שעד אליו מתפלגים z, ציון zלפי לוח .-Z> 0.25<0.25 האחוזים המרכזיים הוא 20. התחום שבו נמצאים z=±0.25התשובה היא

את ציון התקן שעד z הנמוכים ביותר באוכלוסייה יש לחפש בלוח 25%כדי למצוא את ציון התקן          ב.          .z=0.67 מהמקרים: 75%אליו מתפלגים

.-Z< 0.67. התחום הוא z=-0.67 מהמקרים הוא 25%ציון התקן שעד אליו מתפלגים את ציון z הגבוהים ביותר, יש למצוא את בלוח 10%כדי למצוא את ציון התקן שעד אליו מתפלגים           ג.         

.Z>1.28 הגבוהים הוא 10%. התחום בו נמצאים ה- z=1.28 מהמקרים: 90%התקן שעד אליו מתפלגים ולהוסיף אליו )z=0.5 ).6915כדי למצוא את ציוני התקן הדרושים, יש לחפש את השטח עד          ד.         

מצד ימין. 15 מצד שמאל ו-15%.0.8415=6915+0.15השטח שאנו מחפשים מצד ימין הוא .

z=1ציון התקן התואם את השטח הזה הוא 0.5415=0.6915-0.15 הוא z=0.5השטח שאנו מחפשים מצד שמאל ל-

z=0.1ציון התקן התואם את השטח הזה הוא >z>0.1התשובה היא

. 70%=20%+50% הוא z מעל הממוצע לפי לוח 20%השטח התואם          ה.         .0.52ציון התקן התואם לשטח זה הוא

את ציון התקן התואם z מתחת לממוצע, יש לחפש בלוח 30%כדי למצוא את ציון התקן התואם את השטח של 80%=50%+30%את השטח z=0.84ציון התקן הוא

.z=-0.84כיוון שאנו מחפשים ציון תקן המצוי מתחת לממוצע, הציון הוא

z<0.52>0.84התשובה היא -

6, 5תרגיל . X~N(74, 6). במחלקה מסוימת מתפלגים ציוני שנה א' כך: 5

אם רוצים לקבוע ציון שיהיה תנאי מעבר לשנה ב', כך שרק מהנבחנים יעברו, מה יהיה הציון?40%

 

10-באוכלוסייה בעלת התפלגות נורמלית ממוצע הציונים הוא . 6. מהו אחוז המקרים בעלי ציון חיובי?10וסטיית התקן היא

6, 5פתרון העליונים. 40%מחפשים את    .5   .1

לצורך כך, יש לחפש בלוח זה את ציון התקן שעד אליו מתפלגים z=0.25 מהמקרים: 60%

הציון יחושב כך:

יש לחשב את אחוז המקרים המצויים מעל סטיית תקן .  6    .2 ומעלה(:0אחת )ציון

:z=1 יש למצוא את השטח מתחת ל- zלצורך כך,בלוח 0.8413.

z=1: 1-0.8413=0.1587חישוב אחוז המקרים מעל

.0.1587*100=15.87