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第 4 章 图形变换 ( 二维 ). 提出问题：. 如何对二维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换 如何方便地实现在显示设备上对二维图形进行观察. 基本概念. 几何变换. 图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、比例、旋转等变换后产生新的图形，是图形在方向、尺寸和形状方面的变换。. 二维图形几何变换. 平移变换 旋转变换 比例变换. 基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换. 二维变换矩阵. T1. T3. T2. T4. T1： 比例、旋转、对称、错切 T2： 平移 T3： 投影 T4： 整体缩放. 平移变换. - PowerPoint PPT Presentation
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第 4 章 图形变换 ( 二维 )
提出问题：如何对二维图形进行方向、尺寸和形状
方面的变换如何方便地实现在显示设备上对二维图
形进行观察
图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、比例、旋转等变换后产生新的图形，是图形在方向、尺寸和形状方面的变换。
基本概念几何变换
二维图形几何变换 平移变换 旋转变换 比例变换
基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换
二维变换矩阵
smlqdcpba
yxTyxyx D 111'' 2
T1 ：比例、旋转、对称、错切T2 ：平移T3 ：投影T4 ：整体缩放
T1 T3
T2 T4
平移是一种不产生变形而移动物体的刚 体 变 换 （ rigid-body transformation）
Y
X
TxTy
6-1 图 平移变换
P'
PT
平移变换平移是指将 p 点沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位过程。
TyyyTxxx
''
Tx ， Ty 称为平移矢量
1010001
yx TT
推导：
矩阵：
平移变换
smlqdcpba
yxTyxyx D 111'' 2
x’=x+Tx,y’=y+Ty
比例变换 比例变换是指对 p 点相对于坐标
原点沿 x 方向放缩 Sx 倍，沿 y方向放缩 Sy 倍。其中 Sx和 Sy称为比例系数。Y
X6-2 (Sx=2,Sy=3)图 比例变换
P'(4,3)P(2,1)
y
x
ysyxsx
''
推导：
矩阵：
1000000
y
x
SS
比例变换
smlqdcpba
yxTyxyx D 111'' 2
x’=Sx*X,y’=Sy*Y
(a) Sx=Sy比例
Ôͼ
(b) Sx<>Sy比例
Ôͼ
6-3 图 比例变换
Sx<Sy
Sx>Sy
Sx=Sy>1
Sx=Sy<1
比例变换
整体比例变换：
s00010001
比例变换
问题： S>1 时缩还是放？
smlqdcpba
yxTyxyx D 111'' 2
[x’ y’ 1]=[x y s]=[x/s y/s s/s]
旋转变换 二维旋转是指将 p 点绕坐标原点转动某个角度（逆时针为
正，顺时针为负）得到新的点 p’ 的重定位过程。
Y
X6-4 图 旋转变换
P'
Pr
rαθ
X’ = rcos(a+θ) = rcosacosθ-rsinasinθ = x cos θ-y sinθ
y’= rsin(a+θ) = rcosasinθ+rsinacosθ = x sin θ+y cosθ
推导：
矩阵：逆时针旋转 θ 角
1000cossin0sincos
顺时针旋转 θ 角 ?
旋转变换
smlqdcpba
yxTyxyx D 111'' 2
X’ = rcos(a+θ) = rcosacosθ-rsinasinθ = x cos θ-y sinθ
y’= rsin(a+θ) = rcosasinθ+rsinacosθ = x sin θ+y cosθ
简化计算（ θ 很小）
1000101
11''
yxyx
旋转变换
对称变换对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。
X
Y
(a) x关于 轴对称
X
Y
(b) y关于 轴对称
X
Y
(c)关于原点对称
X
Y
(d) x=y关于 对称
X
Y(e) x=-y关于 对称
对称变换对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。
(1) 关于 x 轴对称
100010001
Y
XP' (x, -y)
P(x, y)
(a) x关于 轴对称
对称变换X
Y
(a) x关于 轴对称
(2) 关于 y 轴对称Y
X
P' ( -x, y) p(x, y)
(b) y关于 轴对称
100010001
对称变换X
Y
(b) y关于 轴对称
(3) 关于原点对称Y
X
P(x, y)
(c)关于原点对称
100010001
X
Y
(c)关于原点对称
对称变换
(4) 关于 y=x 轴对称Y
X
p(x, y)
p' (y, x)
x=y
(d) x=y关于 对称
100001010
对称变换X
Y
(d) x=y关于 对称
(5) 关于 y=-x 轴对称Y
XP' ( -y, -x)
P(x, y)x=-y
(e) x=-y关于 对称
100001010
对称变换X
Y
(e) x=-y关于 对称
错切变换 错切变换，也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变
形处理。
Y
X
Y
X
Y
X(a) 原图 (b) x沿 方向错切
(c) y沿 方向错切6-7 图 错切变换
其变换矩阵为：
1000101
bd (1)沿 x 方向错切
(2)沿 y 方向错切(3) 两个方向错切
错切变换
二维图形几何变换的计算
几何变换均可表示成 P’ = P * T 的形式：1. 点的变换2. 直线的变换3. 多边形的变换4. 曲线的变换
4.1.3 复合变换
复合变换是指： 图形作一次以上的几何变换，变换结果是每次的变换矩阵相乘。 任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的组合形式。复合变换具有形式：
)1( )('
321
321
nTTTTPTTTTPTPP
n
n
6.3.1 二维复合平移两个连续平移是加性的。
6.3.2 二维复合比例连续比例变换是相乘的。
6.3.3 二维复合旋转两个连续旋转是相加的。可写为：
)( 21)()( 21 RRRR
4.1.3 复合变换
其它二维复合变换
1000cos000cos
1000101
1000101
1000cos000cos
1000 cos sin0 sincos
tgtg
tgtg
R
4.1.3 复合变换
6.3.5 相对任一参考点的二维几何变换相对某个参考点 (xF,yF) 作二维几何变换，其变换过程为：
(1) 平移(2) 针对原点进行二维几何变换。(3) 反平移
复合变换
x
y
F(xF,yF)
o
P
P’
θ
相对任一参考点的二维几何变换例 1. 相对点 (xF,yF) 的旋转变换
x
y
F(xF,yF)
o
P
x
y
o
Pθ
P
x
y
o
P
P
Tx
TyTx=- xF Ty=- yF
x
y
o
P
Tx
Ty
Tx= xF Ty= yF
P’
相对任意方向的二维几何变换 相对任意方向作二维几何变换，其变换的过程是：
(1) 旋转变换(2) 针对坐标轴进行二维几何变换；(3) 反向旋转例 3. 相对直线 y=x 的反射变换
复合变换
例 4. 将正方形 ABCO 各点沿图 6-8 所示的 (0,0)→(1,1) 方向进行拉伸，结果为如图所示的，写出其变换矩阵和变换过程。
Y
X1 3/ 21/2
1/2
3/2
2
2
6-8 图 针对固定方向的拉伸
O
A B
CC'
B'A'
复合变换
坐标系之间的变换问题：
6-9 图 坐标系间的变换
x
y
x'y'
θ
O
O'
x0
y0
p(xp, yp)
复合变换
分析：
x
yy'
O
O' (x0, y0)
6-11 图 坐标系变换的变换原理
x'p, p'也即
p* pxpy
*xOp
*yOp
坐标系之间的变换
可以分两步进行：
x
y
y'
θ
O
O'
x0
y0
x'
(a) x' y' xy将 坐标系的原点平移到 坐标系的原点
p(xp, yp)
x
y
θO
y'
x'(b) x' x将 轴旋转到 轴上
p(xp, yp)
坐标系之间的变换
于是：
RTtTpTp
Tpypxpy'px'p'
11
坐标系之间的变换
光栅变换直接对帧缓存中象素点进行操作的变换称为光栅变换。 光栅平移变换：
(a)读出象素块的内容 (b)复制象素块的内容 (c)擦除原象素块的内容
90° 、 180° 和 270° 的光栅旋转变换：
(a) 90°逆时针旋转
(x, y)(y, rowl en-x)
rowl en
光栅变换
阵列每个象素值颠倒
交换行与列
a11 a12 a13a21 a22 a23
a13 a12 a11a23 a22 a21
a13 a23a12 a22a11 a21
a13 a23a12 a22a11 a21
(x, y)(rowl en-x, vol l en-y)
(b) 180°逆时针旋转
rowl en
vol l en
光栅变换 90° 、 180° 和 270° 的光栅旋转变换：
a11 a12 a13a21 a22 a23
a23 a22 a21a13 a12 a11
阵列每个象素值颠倒
将行序颠倒
a13 a12 a11a23 a22 a21
a23 a22 a21a13 a12 a11
任意角度的光栅旋转变换： 旋转的象素阵列
光栅网格A A2
1 3
光栅变换
Gray(A)=∑ [Gray(i) × A 在 i 上的覆盖率 ](Gray(x) 表示某点的灰度等级 )i=1n
Gray(A)=Gray(1) × A 在 1 上的覆盖率 + Gray(2) × A 在 2 上的覆盖率 + Gray(3) × A 在 3 上的覆盖率
光栅比例变换：
(a)Sx=1/ 2, Xy=1/ 2 (b)原图 (a)Sx=1, Xy=3/ 2
缩小时原图中的相应象素区域
放大时原图中的相应象素区域
光栅变换
1 234 12
∑ [Gray(i) × Si]i=1
n
Gray(A)=∑ Sii=1n
G=(G1+G2+G3+G4)/4G=(G1×S1 + G2×S2)/(S1 + S2)
变换的性质
仿射变换具有平行线不变性和有限点数目的不变性 平移、比例、旋转、错切和反射等变换均是二维仿射变换的特例，反过
来，任何常用的二维仿射变换总可以表示为这五种变换的复合。
ndycxymbyaxx
''
二维仿射变换是具有如下形式的二维坐标变换：
二维几何变换具有如下一些性质： 直线的中点不变性； 平行直线不变性； 相交不变性； 仅包含旋转、平移和反射的仿射变换维持角度和长度的不变性； 比例变化可改变图形的大小和形状； 错切变化引起图形角度关系的改变，甚至导致图形发生畸变。
变换的性质
