3.2 简单的三角恒等变换

3.2 简单的三角恒等变换

3.2 简单的三角恒等变换问题 1 ：已知 cosα=0.8 ， 0

2

α （，），计算：

sin ,cos , tan2 2 2

α α α 的值。

思考：一般的，如何用 cosα表示 2 2 2sin ,cos , tan2 2 2

α α α？

变式 1 ：已知 cosα=0.8 ， α是第一象限角，计算：sin ,cos , tan

2 2 2

α α α的值。

变式 2 ：已知 cosα=0.8 ，计算的值。tan2

α

变式 3 ：已知 sinα=0.8 ， α是第二象限的角，计算：sin ,cos , tan

2 2 2

α α α 的值。

3.2 简单的三角恒等变换问题 2 ：使用不同的方法计算：的值。

sin 52.5 cos 7.5

1sin cos [sin( ) sin( )]

2α α α

1cos sin [sin( ) sin( )]

2α α α

1cos cos [cos( ) cos( )]

2α α α

1sin sin [cos( ) cos( )]

2α α α

乘积形式

和差形式

思考：根据上面的式子，利用 30° 、 45° 、 135° 、210° 等等特殊角，你能设计一个类似于“问题 2”的计算题吗？

3.2 简单的三角恒等变换1

sin cos [sin( ) sin( )]2

α α α

1cos sin [sin( ) sin( )]

2α α α

1cos cos [cos( ) cos( )]

2α α α

1sin sin [cos( ) cos( )]

2α α α

乘积形式

和差形式

思考：通过上面的式子，我们发现可以将两个角的正、余弦的“乘积”的形式转化成为“和差”的形式，那么能否将两个角的正、余弦的“和差”的形式转化成为“乘积”形式呢？如果能，怎么转化？

• 例 1 、求证：

2cos

2sin2sinsin



4

α ＋＝，例 2 ：若求：(1 tan )(1 tan )α ( 的值。

三角恒等变换时应注意公式的变形：tan tan

tan( )1 tan tan

α α α

tan( )(1 tan tantan )tan α α α

tan1

tan

tta

n )n

(a

at n

α α

α

tan tantan( )

1 tan tan

α α α

tan( )(1 tan tantan )tan α α α

tan1

tan

tta

n )n

(a

at n

α α

α

例 3 、已知函数 f(x) ＝ 2sinx(sinx－ cosx) 。

（ 1 ）求 f(x) 的最小正周期和最大值；

（ 2 ）画出函数 y＝ f(x) 在区间上的图象。

（ 3 ）指出函数 y＝ f(x) 是由函数 y＝ sinx经过怎样的变换得到的。

]2

,2

[

)sin(cossin 22 xbaxbxa

这里的由2222

sin,cosba

b

ba

a

来确定！


• 例 4 、如图，已知 OPQ是半径为 1 ，圆心

角为的扇形， C是扇形弧上的动点， AB

CD是扇形的内接矩形。请问：矩形 ABCD

的最大面积是多少？

3



1 cos cos sin21 cossin sin

2

例 5 、求证：

练习：已知，求的值。tan 22

α sin ,cos , tanα α α

一般的，设，有：tan2

t

2

2 2 2

2 1 2sin ;cos ;tan

1 1 1

t t t

t t t

3.2 简单的三角恒等变换例 6 、求下列函数的值域：

2

2

2 2

sin 2 cos(1) ( ) ;

1 sin

(sin cos )(2) ( ) ;

2 2sin 2 cos 2

(3) ( ) 1 .

x xf x

x

x xf x

x x

f x x x x

综合应用：

例 7 、在锐角三角形 ABC中，已知 sin(A+B)= ，sin(A-B)= 。

（ 1 ）求证： tanA=2tanB；

（ 2 ）若 AB=3 ，求 AB边上的高。

1

5

3

5

综合应用：

例 8 、已知 (1 cos ,sin ), (1 cos ,sin ), (1,0),a b cα α

(0, ), ( , 2 ),a cα 与的夹角为 θ1 ，b c

与的夹角为 θ2 ，

且 θ1 -θ2 = ，求的值。6

sin

2

α

综合应用：

综合应用：

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