Задача о наибольшем паросочетании в двудольном графе

Автор: Воробьева Еленаvorobeva@rain.ifmo.ru

2002 год

Граф G=(M,N) называется простым или двудольным, если множество его вершин разбито на два множества Mе и Mb, и все начала дуг принадлежат Mb, а все концы Mе, т.е. M = MeMb, MeMb=, eN: e=(i,k), iMb, kMe c неповторяющимися i и k.

Набор дуг J N называется паросочетанием, если для любых j1, j2 J, j1 j2, начала и концы этих дуг различны: beg j1 beg j2, end j1 end j2.

Рассмотрим далее построение паросочетания, максимального по числу входящих дуг.

Мы будем использовать метод Форда-Фалкерсона для поиска максимального паросочетания в двудольном графе G=(M,N). Для этого рассмотрим сеть G' = (M’,N'), соответствующую двудольному графу G.

Эта сеть строится так: добавляются две новые вершины, которые будут истоком (s) и стоком (t): M’ = M {s, t}. Множество (направленных) рёбер сети G' таково:

N' = {(s,u): uMb} {(u,v): uMb , vMe , (u,v)N} {(v,t): vMe}

(напомним, что через Mb и Me обозначаются доли графа). Будем считать, что пропускная способность каждого ребра равна единице.

Построение наибольшего паросочетания с помощью максимального потока в сети.

Алгоритм построения паросочетания:

1. соединяем s дугами с i Mb

2. соединяем t дугами с j Me

3. направление на ребрах устанавливаем от i к j

4. ( i, j ): Cij = 15. методом Форда-Фалкерсона ищем максимальный поток.

Насыщенные ребра потока соответствуют наибольшему паросочетинию исходного графа.

Рассмотрим пример:

Сеть G’ и максимальный поток в ней.Пропускная способность любого ребра равна 1. Поток по фиолетовым ребрам равен единице, по остальным – нулю.Построив максимальный поток через эту сеть, насыщенные ребра будут соответствовать наибольшему паросоче- танию в графе.

Следующая лемма устанавливает соответствие между потоками в G’ и паросочетаниями в G. Поток f в сети G называется целочисленным, если все значения f(u,v) = целые. Метод Форда-Фалкерсона всегда дает целочисленный максимальный поток, если только пропускная способность всех ребер целые числа (на каждом шаге, при каждом добавлении потока по дополняющему пути, поток остается целочисленным ).

Лемма. Пусть G = (M,N) – двудольный граф с долями Mb и Me, и G`=(M`,N`) – соответствующая сеть. Пусть J – паросочетание в G. Тогда существует целочисленный поток в G` с величиной |f| = |J|. Обратно, если существует целочисленный поток в G’, то в G найдется паросочетание с |f| рёбрами.

Доказательство. Сначала докажем, что паросочетание порождает поток, задав поток f следующим образом. Если (u,v) J, то

f(s,u) = f(u,v) = f(v,t) = 1 f(u,s) = f(u,v) = f(t,v) = -1

Для всех остальных рёбер (u,v) N` положим f(u,v) = 0. Иначе говоря, каждое ребро (u,v) J соответствует единичному потоку по пути suvt. Никакие два таких пути не содержат общих вершин (кроме истока и стока) или рёбер. Чтобы проверить, что f является потоком, достаточно заметить, что f представим в виде суммы потоков по этим путям. Поток через разрез (Mb{s} = S, Me{t} = T) равен |J|

|J|=f(S,T)=f(S,M’)–f(S,S) = f(S,M’)=f(s,M’) + f(S\s,M’)= f(s,M’) = |f|

поэтому величина потока |f| равна |J|.

Докажем обратное. Пусть f – целочисленный поток в G’; его значения на рёбрах могут быть равны 0 или 1, так как пропускная способность рёбер ограничена единицей. Определим

J = {(u, v) : u Mb, v Me, f(u, v) = 1}

Докажем, что J – паросочетание. В самом деле, из одной вершины u не могут выходить два ребра (u,v’) и (u,v’’), по которым поток равен 1, т.к. входящий в u поток не превосходит 1. По аналогичным причинам в любую вершину v входит не более одного ребра с единичным потоком.

Убедимся, что |J| = |f|. Заметим, что |J| есть поток через разрез (Mb{s}, Me{t}) (по каждому ребру паросочетания идёт поток 1, а число рёбер есть |J|).

Таким образом лемма сводит задачу о максимальном паросочетании к задаче о целочисленном максимальном потоке.

Рассмотрим еще один вариант постановки этой задачи. Обозначим существующие ребра матрицей A, где строки соответствуют Me, а столбцы Mb:

Введем неизвестную величину:

Помимо (1) величина xij удовлетворяет еще двум условиям:

1j ,m1, i где , нет ребра если 0

ребро есть если 1naij ,

,

,

(1) случае противном в 0

ниепаросочета в включено j)(i, ребро если 1

,

,ijx

m

1iij

1

(3) n1,..., j 1x

(2) m1,..., i 1

,

,n

jijx

Построение наибольшего паросочетания методом чередующихся цепей.

Чтобы было как можно большее паросочетание, надо максимизировать функционал:

Запись задачи состоит из оптимизируемого линейного функционала и нескольких условий (называемых ограничениями), которые линейны, как (2) или (3). Такая задача называется задачей линейного программирования.

m

i

n

jijij xa

1 1 (4) max

Для решения задачи о наибольшем паросочетании применяется метод чередующихся (или удлиняющихся) цепей. Пусть J - паросочетание в двудольном графе G. Цепь, в которую поочередно входят ребра из J и не из J назовем чередующейся (удлиняющейся) относительно J.

По определению, цепь, состоящая из одного ребра, тоже чередующаяся. Вершины, инцидентные ребрам из J назовем насыщенными, а прочие - ненасыщенными. Очевидно, что если в графе существует чередующаяся относительно J цепь с ненасыщенными концевыми вершинами, то в ней ребер, не принадлежащих паросочетанию, на одно больше, чем принадлежащих.

Если цепь «перекрасить», т. е. сделать все жирные ребра тонкими, а тонкие - жирными, то число жирных ребер, а, следовательно, и паросочетание, увеличатся на одно ребро. Чередующаяся относительно J цепь с ненасыщенными концевыми вершинами называется увеличивающей относительно J цепью.

Теорема 1. Паросочетание J является наибольшим тогда и только тогда, когда нет увеличивающих относительно J цепей.

Доказательство. Необходимость очевидна, а достаточность докажем от противного. Пусть увеличивающихся относительно J цепей нет, а большее, чем J, паросочетание Jо есть. Рассмотрим граф Н, состоящий из ребер, входящих или в J, или в Jо, но не в оба вместе. Вообще, Н — необязательно связный, и в нем ребер из Jо больше, чем ребер из J. Любая вершина H инцидентна самое большее одному ребру из J и одному из Jо.

Связная компонента из Н может быть: 1. циклом; 2. цепью, у которой одно концевое ребро из J, а второе из Jо; 3. цепью, у которой оба концевых ребра из J; 4. цепью, у которой оба концевых ребра принадлежат Jо.

Цикл в двудольном графе, очевидно, имеет четное число ребер, значит, в случае (1) число ребер из J равно числу ребер из Jо. То же соотношение верно для случая (2), а в случае (3) ребер из J больше, чем ребер из Jо. Но в графе Н ребер из Jо больше, чем из J, поэтому обязательно должен быть случай (4). Но цепь в этом случае является увеличивающей относительно J, что даст противоречие, доказывающее теорему.

Теорема 1 служит основой для алгоритма нахождения наибольшего паросочетания. Но прежде, чем описывать этот алгоритм, мы выделим вспомогательный алгоритм перечисления всех вершин ориентированного графа, достижимых из данной вершины.

В алгоритме данная вершина - s, результат (в виде номера предыдущей вершины на пути достижения) записывается в массиве Р из n чисел, где n - количество вершин графа; еще используются рабочие массив boolean R (из n элементов) и очередь обрабатываемых элементов Q.

Алгоритм 1:

Перечисление вершин орграфа, достижимых из s

1. (инициализация): prev:= s, для i = 1,…,n все R[i]:=false, P[i] := -1.

2. (общий шаг): 2.1. в цикле рассмотрим все вершины k в орграфе,

непосредственно следующие за prev. Если для вершины k R[k] = false, то enqueue(Q,k); P[k] := prev; R[k] := true.

2.2. Если Q != , то prev = dequeue (Q); перейти к 2.1.

3. (завершение): выдача Р, конец.

Рассмотрим пример: (дан ориентированный граф, найти все вершины, достижимые из s=1)

шаг 1 : все P и R равны -1 и false; prev := 1; Q := шаг 2.1 : Q = {2}

P = (-1, 1,-1, …) R = (f, t, f,…)

шаг 2.2 : Q = {} prev = 2;шаг 2.1 : Q ={3, 4}

P = (-1, 1, 2, 2, -1, -1, -1) R = (f, t, t, t, f,…)(вершины 3 и 4 включены в рабочую зону Q, в P

отмечено, что они достижимы из 2, в R мы отмечаем, что их уже посетили )

шаг 2.2: Q = {4} prev = 3шаг 2.1: Q = {4}

P = (-1,1,2,2,-1,-1,-1)R – не изменился, т.к. после рассмотрения вершины 3

множество достижимых вершин не изменилосьшаг 2.2: Q = {5} prev = 4шаг 2 : Q = {5} P = (-1,1,2,2,4,-1,-1)

R[5] = true (мы достигли 5-ой вершины)шаг 2 : Q = {}

P = (-1,1,2,2,4,-1,-1)новых достижимых вершин нет

шаг 3 : завершение

Массив Р можно «раскрутить» и узнать, по какому пути (кратчайшему по числу шагов) достижима каждая вершина. Скажем, массив Р показывает, что вершина 5 достижима из 4, 4 из 2, 2 из 1, т.е. существует путь [1,2,4,5].

Теперь вернемся к описанию алгоритма нахождения наибольшего паросочетания.

Пусть I={1,2,...,m} - номера верхних вершин, а K={1,2,...,n} - - номера нижних. Вначале все вершины ненасыщенные. Для построения начального паросочетания применим «жадный» алгоритм; будем просматривать по очереди вершины из I, если из

i I ведут ребра в ненасыщенные вершины из K будем жадно хватать и вводить в паросочетание первое попавшееся ребро, не думая о последствиях.

Далее, преобразуем двудольный граф В в ориентированный граф В’, введя ориентацию следующим образом:

все ребра, вошедшие в J, ориентируем снизу вверх, т.е. из K в I, а остальные ребра сверху вниз, т.е. из I в K.

Пусть I = I+ I-, K = K+ K-, где минус означает подмножество ненасыщенных ребер, а плюс — насыщенных. Очевидно, что увеличивающая относительно паросочетания J цепь существует в графе В тогда и только тогда, когда в графе B’ существует путь

из s в t, где s I-, t K-.

Алгоритм 2:

построение наибольшего паросочетания

1. (инициализация): 1.1. Построение начального J (производится описанным

выше «жадным» алгоритмом). 1.2. Построение ориентированного графа В (описано

выше).

2. (общий шаг):

2.1. В цикле по i I- применить алгоритм 1 нахождения

всех вершин В, достижимых из вершины I-. Если среди

достижимых вершин окажется вершина koK-,то (i,...,kо) есть увеличивающая относительно J цепь в графе B. Увеличить J и перейти к 1.2.

3. (завершение): выдача J, конец.

Посмотрим на примере построение паросочетания. Рассмотрим граф, приведенный ниже на рисунке.

Для построение начального парсочетания будет применять жадный алгоритм, а затем введем ориентацию.

На рисунке I-={4}. Из вершины 4 в графе В’ достижимы

вершины 1', 2, 3, 4' и 4'. Вершина 4‘ K-. Строится путь [4, 3', 3, 1', 2, 4']. В соответствующей увеличивающей цепи в графе В меняется цвет ребер. Полученное наибольшее паросочетание показано на следующем рисунке.

Список используемой литературы:

1. И.В.Романовский “Дискретный анализ”2. Т.Кормен, Ч.Лейзерсон, Р.Ривест “Алгоритмы построение и

анализ”3. В.М.Бондарев, В.И.Рублинецкий, Е.Г.Качко “Основы

программирования”