روش عناصر محدود

Finite Element Procedures

روش عناصر محدود

Finite Element Procedures

کریم عابدیکریم عابدی

- مقدمه:- مقدمه:11-گف�تیم ک�ه اگ�ر ه�دف اص�لی تحلی�ل س�ازه، تع�یین تغی�یر مک�ان ه�ای دو انته�ای عنص�ر ی�ا ب�ه عب�ارت دیگ�ر مش�خص ک�ردن تغی�یر مک�ان ه�ای مرب�وط ب�ه گ�ره ه�ای ه�ا مک�ان تغی�یر روش ب�ه س�ازه تحلی�ل ص�ورت این در باش�د، س�ازه

(Displacement Method) یا روش سختی(Stiffness Method) .انجام می گیرد- در روش س�ختی مجه�والت ش�امل تغی�یر مک�ان ه�ای گ�ره ه�ا اس�ت و تع�داد

معادالت حاصل برابر درجه آزادی کل گره های سازه می باشد.- بن�ابراین در روش س�ختی ابت�دا تغی�یر مک�ان ه�ای نق�اط مش�خص ب�ه ط�ور اخص داخلی محاس�به می نیروه�ای تع�یین می ش�ود و س�پس ه�ای س�ازه گ�ره در

شوند.- در روش س�ختی مع�ادالتی بین نیروه�ا و تغی�یر مک�ان ه�ای س�ازه در دو س�طح

. شوند عضو و کل سازه ایجاد می

- پس در یک جمع بندی روش سختی شامل مراحل عمومی زیر - پس در یک جمع بندی روش سختی شامل مراحل عمومی زیر است:است:

تعیین یک مجموعه از تغییر مکان های سیستم سازه ای نوشتن روابط نیرو- تغییر مکان ارضای شرط تعادل ارضای شرط سازگاری یافتن معادالت سازگاری حل معادالت و به دست آوردن تغییر مکان های سیستم سازه ای به دست آوردن نیروهای اعضاء و واکنش های تکیه گاهی

در تحلیل ماتریسی سازه ها به روش سختی در واقع معادالت مذکور در فرم ماتریسی استخراج می شوند و

مبانی جبر ماتریسی به کار گرفته می شوند. این معادالت ماتریسی شامل بردار نیرو و بردار تغییر مکان و در ضمن ماتریس دیگری خواهد بود که به ماتریس سختی معروف است و بستگی به هندسه سازه، خواص هندسی و خواص مصالح اعضاء، نوع اتصاالت موجود در سازه، تکیه گاه ها،

نحوه بهم بندی اعضا و ... دارد.

- تعیین معادله روش سختی:- تعیین معادله روش سختی:22

را در نظ�ر بگیری�د ک�ه تحت اث�ر (Deformable body)- جس�م تغی�یر ش�کل پ�ذیری ب�ه Piنیروه�ای ب�ه ط�ور خطی )بارگ�ذاری از ص�فر ش�روع ش�ده و ق�رار دارد

نق�اطی از س�ازه می باش�ند ک�ه نیروه�ای i رس�یده اس�ت( )Piمق�دار نه�ایی خ�ود Pi.)بر آن نقاط وارد می شوند

در Δi را متحم�ل می ش�ود )Δi- در اث�ر بارگ�ذاری م�ذکور س�ازه تغی�یر مک�ان ه�ای می باشند(.Pi راستای اعمال نیروهای

ب�ا توج�ه ب�ه ف�رض رفت�ار خطی س�ازه، ک�ار انج�ام ش�ده توس�ط نیروه�ای وارد ب�ر -( ب�ه ص�ورت زی�ر خواه�د ب�ود Δi( ناش�ی از تغی�یر مک�ان ه�ای س�ازه )Piس�ازه )

)کار انجام یافته مذکور معادل انرژی تغییر شکل جسم است(:

1

2 i iU P

1 1 2 2

1( ... )

2 n nU P P P

t ( تغی�یر ک�وچکی داده می Δ1- ف�رض کنی�د ک�ه در یکی از تغییرمک�ان ه�ا )مثًالش�ود، در این ص�ورت تغی�یرات ان�رژی تغی�یر ش�کل جس�م نس�بت ب�ه تغی�یرات در

Δ1 ب�ه ص�ورت زی�ر درمی آی�د )الزم ب�ه ذک�ر اس�ت ک�ه س�ایر تغی�یر مک�ان ه�ا ث�ابت نگه داشته می شوند(:

1 21 1 2

1 1 1 1

1( ... )

2n

n

P P PUP

- اما با توجه به قضیه اول کاستیلیانو داریم:

11

1 21 1 2

1 1 1

... nn

UP

P P PP

( انجام دهیم به طور کلی Δiها ) تغییرمکان تمامی فوق را برای عمل - حال اگررابطه زیر خواهیم رسید: به

1 21 2 ... n

i ni i i

P P PP

1 1 2 2

1( ... )

2 n nU P P P

- اگر مجموعه معادالت مذکور را به فرم ماتریسی بیان کنیم خواهیم داشت:

1 11 2

1 1 1

2 21 2

2 2 2

1 2

n

n

n

n n nn n

P P P P

P P P P

P P P

P

شامل تغییر مکان های نقاط گرهی )به انضمام تغییر

مکان های تکیه گاه ها(

نیروهای خارجی مؤثر بر سیستم )به انضمام عکس

العمل ها(

ماتریس مربعی

- پس کل مسأله به تعیین ماتریس مربعی مذکور- یا تعیین اعضای از ماتریس مربعی- و سپس حل این معادالت ماتریسی برمی گردد.

- می توان تقارن ماتریس مذکور را نشان داد )با استفاده از قضیه اول کاستیلیانو(:

2

2

ii

j j j i ji

j i

jj

i i i j

UP U

PP

UP U

- بنابراین با توجه به تقارن ماتریسی مربعی می توان نوشت:

1 11 1 1

1 2

2 22 2 2

1 2

1 2

n

n

n n n

nn n

P P P P

P P P P

P P P

P

1 11 2

1 1 1

2 21 2

2 2 2

1 2

n

n

n

n n nn n

P P P P

P P P P

P P P

P

- اکنون ببینیم مفهوم اعضای ماتریس مربعی چیست؟

وارد ش�ود و از تغی�یر مک�ان تم�ام نق�اط Δ1، تغی�یر مک�ان کوچ�ک 1اگ�ر در نقط�ه

در Δ1دیگ�ر جلوگ�یری ب�ه عم�ل آی�د، ن�یروی الزم ب�رای ایج�اد تغی�یر مک�ان کوچ�ک

مع�ادل و ن�یروی الزم ب�رای جلوگ�یری از تغی�یر مک�ان 1نقط�ه

نقاط دیگر به ترتیب عبارت خواهد بود:

11 1

1

PP

21 2 1

1 1

...,nn

P PP P

وارد ش�ود و از تغی�یر مک�ان تم�ام نق�اط Δi، تغی�یر مک�ان کوچ�ک iو اگ�ر در نقط�ه

در Δiدیگ�ر جلوگ�یری ب�ه عم�ل آی�د، ن�یروی الزم ب�رای ایج�اد تغی�یر مک�ان کوچ�ک

مع�ادل و ن�یروی الزم ب�رای جلوگ�یری از تغی�یر مک�ان نق�اط iنقط�ه

دیگر به ترتیب عبارت خواهد بود:

ii i

i

PP

1...,nn i i i

i i

P PP P

براب�ر واح�د باش�د، در این ص�ورت ن�یروی الزم Δiتغی�یر مک�ان اگ�ر

خواه�د ب�ود و ن�یروی م�ورد نی�از ب�رای iب�رای ایج�اد تغی�یر مک�ان واح�د در نقط�ه

، و ن�یروی م�ورد نی�از ب�رای 1جلوگ�یری از تغی�یر مک�ان نقط�ه

، خواهد بود.nجلوگیری از تغییر مکان نقطه

iii

i

PK

11..., i

i

PK

nni

i

PK

i- پس با نمایش خواهیم داشت:ij

j

PK

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

1 2

n

n

n n n nn n

P K K K

P K K K

P K K K

نیروی تعمیم یافته مورد نیاز

ایجاد تغییر مکان برایتعمیم یافته واحد در گره

i وقتی که سایر گره ها ،ثابت نگه داشته شوند.

iii

i

PK

P- درنتیجه معادله معروف و مشهور روش سختی به دست می آید:- درنتیجه معادله معروف و مشهور روش سختی به دست می آید: K ji

ij jij i

PPK K

  ==PP بردار نیروی تعمیم یافته بردار نیروی تعمیم یافته ((Generalized force VectorGeneralized force Vector))

==KK ماتریس سختی سازه ماتریس سختی سازه ((Stiffness matrixStiffness matrix))

= = ΔΔ بردار تغییر مکان تعمیم یافته بردار تغییر مکان تعمیم یافته((Generalized Displacement Generalized Displacement VectorVector))

ب/دین س/ازه س/ختی م/اتریس تع/یین ب/رای روش ی/ک بن/ابراین ب/دین - س/ازه س/ختی م/اتریس تع/یین ب/رای روش ی/ک بن/ابراین -ه/ا گ/ره ب/رای واح/د مک/ان تغی/یر دفع/ه ه/ر در ک/ه اس/ت ه/ا ص/ورت گ/ره ب/رای واح/د مک/ان تغی/یر دفع/ه ه/ر در ک/ه اس/ت ص/ورت

t ب�رای خرپ�ای مس�طح تغی�یر مک�ان واح�د در جهت t ب�رای خرپ�ای مس�طح تغی�یر مک�ان واح�د در جهت )برحس�ب ن�وع س�ازه، مثًال ه�ا ه�ا xx)برحس�ب ن�وع س�ازه، مثًاله�ا- ب�رای خرپ�ای فض�ایی، تغی�یر مک�ان واح�د در ه�ا- ب�رای خرپ�ای فض�ایی، تغی�یر مک�ان واح�د در yyو تغی�یر مک�ان واح�د در جهت و تغی�یر مک�ان واح�د در جهت

ه�ا- ه�ا- zzه�ا و تغی�یر مک�ان واح�د در جهت ه�ا و تغی�یر مک�ان واح�د در جهت yyه�ا و تغی�یر مک�ان واح�د در جهت ه�ا و تغی�یر مک�ان واح�د در جهت xxجهت جهت ه�ا و دوران واح�د در ه�ا و دوران واح�د در yyه�ا و ه�ا و xxب�رای ق�اب مس�طح تغی�یر مک�ان واح�د در جهت ب�رای ق�اب مس�طح تغی�یر مک�ان واح�د در جهت

و دوران و دوران z ,y ,xz ,y ,xه�ا و ب�رای ق�اب فض�ایی تغی�یر مک�ان ه�ای واح�د در جهت ه�ا و ب�رای ق�اب فض�ایی تغی�یر مک�ان ه�ای واح�د در جهت zzجهت جهت در نظ/ر گرفت/ه ش/ده و ن/یروی م/ورد نی/از در نظ/ر گرفت/ه ش/ده و ن/یروی م/ورد نی/از ( ( z ,y ,xz ,y ,xه�ای واح�د در جهت ه�ای واح�د در جهت

ب/رای ایج/اد آن تغی/یر مک/ان و نیروه/ای نگ/ه دارن/ده گ/ره ه/ای دیگ/ر ب/رای ایج/اد آن تغی/یر مک/ان و نیروه/ای نگ/ه دارن/ده گ/ره ه/ای دیگ/ر در مقابل تغییر مکان مذکور محاسبه می شوند.در مقابل تغییر مکان مذکور محاسبه می شوند.

, , ,xi xi xi xi

xi xiyi yi yi yii i i i i i

yi yi

zi zi zi zi

P PP

P PP P PP

P M

برای خرپای برای خرپای مسطحمسطح

برای خرپای برای خرپای فضائیفضائی

برای قاب برای قاب مسطحمسطح

( مطلوب است تعیین ماتریس سختی سازه شکل زیر:( مطلوب است تعیین ماتریس سختی سازه شکل زیر:11مثال مثال

هنگ�امی ک�ه تغی�یر مک�ان تعمیم یافت�ه هنگ�امی ک�ه تغی�یر مک�ان تعمیم یافت�ه ΔΔ22=1=1 اعم�ال می ک�نیم، اعم�ال می ک�نیم، 22 را ب�ه گ�ره را ب�ه گ�ره

ب�رای ایج�اد آن م�ورد نی�از ب�رای ایج�اد آن م�ورد نی�از KK2222ن�یروی ن�یروی نیروه�ای و نیروه�ای اس�ت و و KK2121اس�ت و KK2323و و KK2424

ب�رای جلوگ�یری از تغی�یر مک�ان ه�ای ب�رای جلوگ�یری از تغی�یر مک�ان ه�ای م�ورد نی�از می م�ورد نی�از می 44 و و 33 و و 11گ�ره ه�ای گ�ره ه�ای

و و 66، ، 55باش�ند و ت�اثیری در گ�ره ه�ای باش�ند و ت�اثیری در گ�ره ه�ای بعب�ارت دیگ�ر 77 ندارن�د؛ بعب�ارت دیگ�ر ندارن�د؛ , ,KK5252 KK6262 و و

KK7272 همگی مس�اوی ص�فرند. بن�ابراین همگی مس�اوی ص�فرند. بن�ابرایندی�ده می ش�ود هنگ�امی دی�ده می ش�ود هنگ�امی ب�ه روش�نی ب�ه روش�نی

عض�وی وج�ود عض�وی وج�ود jj و و ii ک�ه بین دو گ�ره ک�ه بین دو گ�ره باش��د باش��د نداش��ته ص��فر KKijijنداش��ته مس��اوی ص��فر مس��اوی

است. است.

نواری سماتری

نواری سقطریماتری

قطری

- ب/ه نظ/ر می رس/د ک/ه تش/کیل م/اتریس س/ختی ب/ه این طری/ق دارای باشد: ای می نکات ضعف عمده

t برای سازه هایی با الف( نیاز به محاسبات زیاد و وقت گیر )خصوصادرجات آزادی باال(،

ب( پیاده سازی آن در یک برنامه کامپیوتری بسیار دشوار )یا حتی غیر ممکن( است.

هایی برای تشکیل ماتریس سختی - بنابراین باید به دنبال روشسازه بود که:

الف( نیاز به محاسبات زیاد و وقت گیر نداشته باشد، ب( قابل پیاده سازی در یک برنامه کامپیوتری باشد، پ( به صورت ساده تر و مؤثرتر ماتریس سختی سازه را تشکیل نماید.

از ترکیب معقول و متناسب (K)باتوجه به اینکه ماتریس سختی سازه - تشکیل شده است، به نظر (k)ماتریس های سختی هرکدام از اعضای سازه

می رسد که بتوان به صورت ساده تر و مؤثرتر با استفاده از ماتریس های سختی هرکدام از اعضاء و انجام عملیات ماتریسی، ماتریس سختی سازه را

تشکیل داد.

:: ((MemberMember))- تعیین ماتریس سختی عضو سازه- تعیین ماتریس سختی عضو سازه33

مشخص می شود: (Node)- یک عضو با دو گره

در ح�الت کلی )در فض�ای س�ه بع�دی( ه�ر گ�ره عض�و دارای ش�ش درج�ه آزادی -تغی�یر ب�ردار مش�خص ب�ه عب�ارت دیگ�ر در فض�ای س�ه بع�دی ف�یزیکی، اس�ت. مک�ان ه�ا در ی�ک گ�ره دارای ش�ش مؤلف�ه مس�تقل اس�ت، س�ه مؤلف�ه خطی و

سه مؤلفه دورانی.

دستگاه مختصات کلی زیر را در نظر می گیریم: -(Global Coordinate System )

i j

درج�ه آزادی اس�ت. بن�ابراین 12- بن�ابراین در مجم�وع ی�ک عض�و در فض�ا دارای ماتریس�ی عض�و، ی�ک س�ختی م�اتریس 12×12م�اتریس ت�وان می اس�ت.

س�ختی ی�ک عض�و را ب�ه ط�ور مس�تقیم در دس�تگاه مختص�ات کلی محاس�به نم�ود. ط�بیعی اس�ت ک�ه در این ص�ورت م�اتریس س�ختی عض�و را ب�ا وارد ک�ردن تغی�یر مک�ان ه�ا )ی�ک ب�ه ی�ک( در امت�داد ه�ر ی�ک از محوره�ای مختص�ات کلی سیس�تم و محاس�به ن�یروی م�ورد نی�از ب�رای ایج�اد آن تغی�یر مک�ان در امت�داد آن مح�ور خ�اص و نیروه�ای م�ورد نی�از ب�رای جلوگ�یری از تغی�یر مک�ان در س�ایر امت�دادها )در دو

انتهای عضو( ایجاد می گردد.

t محاس�به م�اتریس س�ختی عض�و ب�ه ط�ور مس�تقیم در - ب�ه نظ�ر می رس�د ک�ه اوالدستگاه مختصات کلی سیستم هم طوالنی و هم وقت گیر خواهد بود.

- همچ�نین در این ح�الت نیروه�ای داخلی حاص�ل در انته�ای اعض�اء ک�ه در پای�ان t الزام�ا و ش�ده بی�ان کلی مختص�ات دس�تگاه در آین�د می بدس�ت محاس�بات نش�انگر ن�یروی مح�وری، برش�ی و ی�ا لنگ�ر خمش�ی عض�و نخواه�د ب�ود. بن�ابراین در انته�ای عملی�ات ب�رای ی�افتن این مولف�ه ه�ا ک�ه در عم�ل بیش�تر م�ورد ل�زوم هس�تند

تبدیل مختصات ضروری خواهد بود.

- بن�ابراین ب�رای س�ادگی و ن�یز ط�والنی و وقت گ�یر نب�ودن محاس�بات به�تر اس�ت ک�ه م�اتریس س�ختی عض�و در ی�ک دس�تگاه مختص�ات مخصوص�ی ک�ه دس�تگاه مختص�ات محلی نامی�ده می ش�ود، محاس�به ش�ود و س�پس تب�دیل مختص�ات روی

آن انجام گیرد.

(Local Coordinate System)- ب�ر این اس�اس دس�تگاه مختص�ات محلی عض�و

منطب�ق ب�ر مح�ور ط�ولی عض�و xتعری�ف می ش�ود. در این دس�تگاه محلی مح�ور ij )Longitudinal Axis( می باش�د و دو مح�ور دیگ�ر منطب�ق ب�ر محوره�ای اص�لی

مقطع عضو می باشند. - ب�ا توج�ه ب�ه اینک�ه ب�ر مبن�ای این تعری�ف گ�ذارده ف�رقی عض�و انته�ای دو بین نمی ش�ود، از ای�نرو مش�کل مرب�وط ب�ه ن�وع نیروه�ای داخلی )کشش�ی، فش�اری انته�ای عض�و بوج�ود ... ( ک�ه در دو و

می آید از بین می رود.

را ی�ک عض�و م�اتریس س�ختی ح�ال -می ت�وان نس�بت ب�ه دس�تگاه مختص�ات محلی بدس�ت آورد. ب�ه عب�ارت دیگ�ر در ب�ا عض�و س�ختی م�اتریس ح�الت این وارد ک�ردن تغی�یر مک�ان در امت�داد ه�ر

محوره��ای از و ی�ک محلی مختص�ات محاسبه نیروی مورد

- ف�رض کنی�د و نیروه�ا و تغی�یر مک�ان ه�ای حاص�ل در دو انته�ای ی�ک عض�و در دس�تگاه مختص�ات محلی باش�ند. زم�انی ک�ه جهت این مؤلف�ه ه�ا ب�ا جهت محوره�ای مختص�ات یکی باش�ند، مق�دار مثبت داش�ته در غ�یر

این صورت منفی خواهند بود.رواب�ط از اس�تفاده ب�ا اکن�ون از ش/یب-افتش/یب-افت- دو مجموع�ه این بین رابط�ه

مقادیر را به دست می آوریم.

اعمال می کنیم(i را به گره )ابتدا تغییر مکان های

1 2 6, ,...,

1 2 6, ,...,

621 ,...,, ppp

( اعمال می کنیمj را به گره اکنون تغییر مکان های ) 1 2 6, ,...,

ij از عض�و i- براس�اس قض�یه متقاب�ل ماکس�ول، نیروه�ای حاص�ل در انته�ای تحت اث�ر هم�ان j براب�ر نیروه�ای حاص�ل در jتحت اث�ر ی�ک تغی�یر مک�ان در گ�ره

ji است. به عبارت دیگراز نظر عددی:iمقدار تغییر مکان در گره ijk k

نظ�ر در محلی مختص�ات محوره�ای ب�رای ک�ه ق�راردادی ن�وع ب�ه توج�ه ب�ا -گرف�تیم، برمبن�ای آن تعری�ف بین دو انته�ای عض�و ف�رقی گ�ذارده نمی ش�ود ب�ه

عبارت دیگر داریم: )از نظر عددی(

j iii jjk k

jij ii ij ij

iji ji jj ji

p k k

p k k

- بنابراین داریم:تغییر از ناشی نیروهای

گره iمکان

نیروهای iگره

jij ii ij ij jip k k

تغییر از ناشی نیروهایگره jمکان

تغییر از ناشی نیروهایگره iمکان

نیروهای jگره

iji ji ij jj jip k k

تغییر از ناشی نیروهایگره jمکان

دس�تگاه در عض�و س�ختی م�اتریس معادل�ه ، معادل�ه -

شود. می نامیده محلی مختصات

jij ii ij ij

iji jiji jj

p k k

p k k

خواه�د 12×12- ب�رای ی�ک عض�و در ق�اب ص�لب فض�ایی، م�اتریس س�ختی عض�و بود.

از بعض�ی نباش�د، آزادی درج�ه دارای ش�ش س�ازه از عض�وی ک�ه زم�انی -س�طرها و س�تون ه�ای م�اتریس ح�ذف خواه�د ش�د. ب�ه عن�وان مث�ال گ�ره ه�ای بن�ابراین هس�تند، آزادی درج�ه س�ه دارای فق�ط مس�توی ص�لب ه�ای ق�اب

سطرها و ستون های مربوط به برای این سازه الزم نخواهد بود.آزادی هس�تند، فق�ط س�طرو ش�بکه ه�ا ک�ه دارای س�ه درج�ه ب�رای گ�ره ه�ای -

برای این سازه الزم خواهد بود. های مربوط به ستون مورد نیاز خواهند بود. برای خرپاها فقط سطر و ستون مربوط به -

5 4 3, ,

5 4 3, ,

1

Assembly of the Structural Assembly of the Structural))تش/کیل م/اتریس س/ختی ی/ک س/ازه: تش/کیل م/اتریس س/ختی ی/ک س/ازه: --44Stiffness MatrixStiffness Matrix))

گ�ردد: در دس�تگاه مختص�ات کلی تش�کیل می م�اتریس س�ختی س�ازه -((11 - -- اختیاری(- اختیاری(44- ثابت و - ثابت و 33- راستگرد، - راستگرد، 22، ، ((XYZXYZ))متعامد متعامد

- در تشکیل ماتریس سازه از دو اصل مهم استفاده می شود:الف( اصل سازگاری تغییر مکان ها در گره های سازه،الف( اصل سازگاری تغییر مکان ها در گره های سازه،

ب( تعادل در گره های سازه. ب( تعادل در گره های سازه.

- اصل سازگاری تغییر مکان ها در گره های سازه ایجاب می کند که:های انتهای اعضای متصل به یک گره خاص برابر عبارت دیگر تغییرمکان به

باشد. تغییرمکان آن گره می

- اصل تعادل نیروها در گره های سازه ایجاب می کند که:به عب�ارت دیگ�ر ب�ر اس�اس این اص�ل، نیروه�ای انته�ایی اعض�ای متص�ل ب�ه ی�ک

گره خاص باید برابر نیروی خارجی موثر در آن گره باشند.

- در دستگاه مختصات محلی داریم:

- اگ�ر دس�تگاه مختص�ات محلی را ب�ه عن�وان دس�تگاه جدی�د و دس�تگاه مختص�ات کلی را به عنوان دستگاه مختصات قدیمی در نظر بگیریم خواهیم داشت:

ماتریسی است که یک بردار را از دستگاه مختصات کلی Rijماتریس دوران (XYZ) به دستگاه مختصات محلی (xyz) در گره( i تبدیل می کند. ماتریس )

به (XYZ) ماتریسی است که یک بردار را از دستگاه مختصات کلی Rjiدوران ( تبدیل می کند.j)در گره (xyz) دستگاه مختصات محلی

i ij im in

i ij im inP P P P

jij ii ij ij jip k k

, ,ij ij ij ij ij ij ji ji jip R P R R

- از جایگذاری در معادله مورد نظر داریم:

( ) ( )

,

jij ij ii ij ij ij ji ji

T j Tij ij ii ij ij ij ij ji ji

j T j Tii ij ii ij ij ij ij ji

jij ii ij ij ji

R P k R k R

P R k R R k R

K R k R K R k R

P K K

t ارائه خواهد شد.Rij- فرم دقیق ماتریس برای انواع مختلف سازه ها بعدا

و ن�یز ب�ا i- از جایگ�ذاری رواب�ط م�ذکور در معادل�ه حاص�ل از اص�ل تع�ادل در گ�رهمًالحظه اصل سازگاری تغییر مکان ها داریم:

( ) ( ) ( )

( )

j m ni ii i ij j ii i im m ii i in n

j m ni ii ii ii i ij j im m in n

i ii i ij j im m in n

P K K K K K K

P K K K K K K

P K K K K

- ب�ا نوش�تن معادل�ه م�ذکور ب�رای تم�ام گ�ره ه�ا و ت�رتیب مناس�ب آنه�ا رابط�ه ماتریسی زیر به دست می آید.

ij imii ini i

ji jnj jj jm j

m mi mj mm mn m

n ni nj nm nn n

K KK KP

K KP K K

P K K K K

P K K K K

سختی ماتریسدر سازهدستگاه

کلی مختصات

های تغییرمکان بردارو آزاد های گره مجهولمعلوم های تغییرمکان

ها گاه تکیه در

معلوم نیروهای بردارو آزاد های گره بر واردتکیه در مجهول نیروهای

ها گاه

اکنون کامًالQ روشن می شود که چگونه می توان ماتریس سختی اکنون کامًالQ روشن می شود که چگونه می توان ماتریس سختی سازه را تشکیل دادسازه را تشکیل داد

)در یک برنامه کامپیوتری تحلیل ماتریسی سازه ها(.)در یک برنامه کامپیوتری تحلیل ماتریسی سازه ها(.

11 و اض�افه نم�ودن ع�دد و اض�افه نم�ودن ع�دد 11ابت�دا تم�ام گ�ره ه�ا ب�ه ت�رتیب و ب�ا ش�روع از ابت�دا تم�ام گ�ره ه�ا ب�ه ت�رتیب و ب�ا ش�روع از ال/ف( ال/ف( گ�ره(. در این گ�ره(. در این NNب�رای ه�ر ش�ماره و ب�ه ط�ور پیوس�ته ش�ماره گ�ذاری می ش�وند )ب�رای ه�ر ش�ماره و ب�ه ط�ور پیوس�ته ش�ماره گ�ذاری می ش�وند )

ص�ورت ه�ر عض�و ب�ه ط�ور منحص�ر ب�ه ف�رد توس�ط دو ش�ماره در ابت�دا و انته�ای ص�ورت ه�ر عض�و ب�ه ط�ور منحص�ر ب�ه ف�رد توس�ط دو ش�ماره در ابت�دا و انته�ای خ�ود مش�خص می گ�ردد. به�تر اس�ت ک�ه تف�اوت بین دو ش�ماره مرب�وط ب�ه ی�ک خ�ود مش�خص می گ�ردد. به�تر اس�ت ک�ه تف�اوت بین دو ش�ماره مرب�وط ب�ه ی�ک المق�دور می�نیمم مق�دار ممکن را داش�ته باش�د. توج�ه ب�ه ش�ماره المق�دور می�نیمم مق�دار ممکن را داش�ته باش�د. توج�ه ب�ه ش�ماره عض�و ح�تی عض�و ح�تی

و در نتیج�ه ب�اعث ص�رفه و در نتیج�ه ب�اعث ص�رفه KKه�ا ب�اعث ک�اهش ع�رض ن�وار م�اتریس ه�ا ب�اعث ک�اهش ع�رض ن�وار م�اتریس گ�ذاری گ�رهگ�ذاری گ�رهجویی در انبار کردن اطًالعات در پردازشگر می گردد.جویی در انبار کردن اطًالعات در پردازشگر می گردد.

دستگاه مختصات کلی را برای سازه تعیین می کنیم.دستگاه مختصات کلی را برای سازه تعیین می کنیم.ب( ب(

مختص�ات گ�ره ه�ا در دس�تگاه مختص�ات کلی را ب�ه عن�وان ورودی وارد می مختص�ات گ�ره ه�ا در دس�تگاه مختص�ات کلی را ب�ه عن�وان ورودی وارد می پ( پ( دهیم. دهیم.

( هر عضو را به عنوان ورودی وارد می کنیم. ( هر عضو را به عنوان ورودی وارد می کنیم. jj( و انتهای )( و انتهای )iiابتدا ) ابتدا ) ت( ت(

,A, Aمشخص�ات هندس�ی و مک�انیکی اعض�ا را ب�ه عن�وان ورودی وارد می ک�نیم)مشخص�ات هندس�ی و مک�انیکی اعض�ا را ب�ه عن�وان ورودی وارد می ک�نیم)ث( ث(

E, J, G, IE, J, G, IYY, I, IZZ.).)

باره�ای وارد ب�ر گ�ره ه�ا را در دس�تگاه مختص�ات کلی ب�ه عن�وان ورودی وارد باره�ای وارد ب�ر گ�ره ه�ا را در دس�تگاه مختص�ات کلی ب�ه عن�وان ورودی وارد ج( ج( می کنیم. می کنیم.

ش�رایط تکی�ه گ�اهی را در دس�تگاه مختص�ات کلی ب�ه عن�وان ورودی وارد می ش�رایط تکی�ه گ�اهی را در دس�تگاه مختص�ات کلی ب�ه عن�وان ورودی وارد می چ( چ( کنیم. کنیم.

و را تش�کیل می دهیم )توج�ه ش�ود و را تش�کیل می دهیم )توج�ه ش�ود م�اتریس ه�ای م�اتریس ه�ای i-ji-jب�رای عض�و ب�رای عض�و ح( ح( ٍ©ٍ©(. (. که که

)م�اتریس ه�ای س�ختی اعض�ا در دس�تگاه مختص�ات )م�اتریس ه�ای س�ختی اعض�ا در دس�تگاه مختص�ات محلی(محلی(

، ماتریس های و را تشکیل می دهیم.، ماتریس های و را تشکیل می دهیم.ijij برای هر انتهای عضو برای هر انتهای عضو خ(خ(

م�اتریس ه�ای را تش�کیل می دهیم) م�اتریس ه�ای را تش�کیل می دهیم) i-ji-jب�رای ه�ر عض�و ب�رای ه�ر عض�و د( د( توجه شود که :توجه شود که :

)م�اتریس ه�ای س�ختی اعض�ا در )م�اتریس ه�ای س�ختی اعض�ا در دستگاه مختصات کلی((.دستگاه مختصات کلی((.

jiikijk,T j i

ij ji ii jjk k k k

ijRjiR

, , ,i jjj ji ij iiK K K K

i T ijj ji jj jiK R k RT

ji ji ji ijK R k R

ص�فر ب�ا کلی�ه درای�ه ه�ای ص�فر تعری�ف می ک�نیم )ب�ا ص�فر ب�ا کلی�ه درای�ه ه�ای ص�فر تعری�ف می ک�نیم )ب�ا ((a*N × a*Na*N × a*N))ی�ک م�اتریس ی�ک م�اتریس ذ( ذ(

N × NN × N بل�وک ماتریس�ی ص�فر ب�ه ابع�اد بل�وک ماتریس�ی ص�فر ب�ه ابع�اد a × aa × a))( .( .aa تع�داد درج�ات آزادی = تع�داد درج�ات آزادی = در هر گره(در هر گره(

قرار می دهیم، قرار می دهیم، امامiiام و ستون بلوکی ام و ستون بلوکی ii را در محل سطر بلوکی را در محل سطر بلوکی ر(ر(

ام قرار می دهیم،ام قرار می دهیم،jjام و ستون بلوکی ام و ستون بلوکی jj را در محل سطر بلوکی را در محل سطر بلوکی ام قرار می دهیم،ام قرار می دهیم،jjام و ستون بلوکی ام و ستون بلوکی ii در محل سطر بلوکی در محل سطر بلوکی ام قرار می دهیم.ام قرار می دهیم.iiام و ستون بلوکی ام و ستون بلوکی jj در محل سطر بلوکی در محل سطر بلوکی

مراح�ل )ح( ت�ا )ر( را ب�رای تم�امی اعض�اء تک�رار می ک�نیم. ب�دیهی اس�ت مراح�ل )ح( ت�ا )ر( را ب�رای تم�امی اعض�اء تک�رار می ک�نیم. ب�دیهی اس�ت د( د( عض�وی وج�ود نداش�ته باش�د، در این ص�ورت عمًال عض�وی وج�ود نداش�ته باش�د، در این ص�ورت عمًال j , ij , i هنگ�امی ک�ه بین دو گ�رههنگ�امی ک�ه بین دو گ�ره

بلوک صفر منظور می شود.بلوک صفر منظور می شود.

رسم فلوچارت برنامه رسم فلوچارت برنامه

jiiK

ijjK

ijK

jiK

((Imposition of Boundary ConditionsImposition of Boundary Conditions))اعمال شرایط مرزی: اعمال شرایط مرزی: --55

قب�ل از اعم�ال ش�رایط م�رزی ی�ک م�اتریس K- م�اتریس س�ختی ک�ل س�ازه وی�ژه اس�ت )دترمین�ان آن براب�ر ص�فر اس�ت( و نش�انگر این واقعیت می باش�د

که سازه بدون تکیه گاه ناپایدار است.

باش�د ک�ه در ه�ر - معادل�ه ماتریس�ی ، ی�ک دس�تگاه مع�ادالت مختل�ط میطرف آن مقادیر معلوم و مجهول وجود دارند. دو

یافت�ه تعمیم ن�یروی ب�ردار -P نیروه�ای ش�امل معادل�ه این چپ ط�رف در خ�ارجی معل�وم م�وثر ب�ر گ�ره ه�ای آزاد س�ازه و ن�یز ح�اوی عکس العم�ل ه�ای

مجهول نیز می باشد.

تغییرمک�ان ب�ردار این معادل�ه ش�امل - یافت�ه درس�مت راس�ت تعمیم ه�ای ه�ای معل�وم ه�ای آزاد س�ازه و ن�یز ح�اوی تغییرمک�ان ه�ای مجه�ول گ�ره تغییرمک�ان

ه�ای ب�دون نشس�ت، براب�ر مق�دار مش�خص گ�اهی )براب�ر ص�فر ب�رای تکی�ه گ�اه تکی�هه�ای ارتج�اعی( گ�اهی، ب�ه ص�ورت ت�ابعی ب�رای تکی�ه گ�اه ب�رای ح�الت نشس�ت تکی�ه

باشد. می

ای تنظیم ش�ده اس�ت ک�ه گ�ره - ف�رض کنی�د ک�ه م�اتریس س�ختی س�ازه ب�ه گون�هه�ای معل�وم مش�خص کنن�ده گ�ره ه�ای تکی�ه گ�اهی )تغی�یر مک�انm ت�ا 1ه�ای

آزاد ه�ای گ�ره ن�یز بی�انگرn ت�ا m+1تعمیم یافت�ه )براب�ر ص�فر(( باش�ند و گ�ره ه�ایت�ا تعمیم یافت�ه ت�ا مجه�ول(. بن�ابراین نیروه�ای ) باش�ند س�ازه

بی�انگر عکس العم�ل ه�ای مجه�ول س�ازه و ت�ا بی�انگر نیروه�ای تعمیم یافته وارد بر گره های آزاد سازه می باشند.

P K

1n m 1mP P

1n mP P

1

1

m

m

n

P

P

P

P

11 1 1, 1 1

1 , 1

1, 1 1,

m m n

m mm m m mn

m m m n

nn

K K K K

K K K K

K K

Sym

K

1

1

0

0m

m

n

I

II

P

P

, ,

, ,

I I I II

II I II II

K K

K K

0

II

,

,

.

.II II II II

I I II II

P K

P K

- رابط�ه ، رابط�ه ماتریس�ی نه�ایی س�ازه اس�ت؛ زی�را مجه�والت تغی�یر مک�انی گ�ره ه�ا را ب�ه نیروه�ای خ�ارجی معل�وم م�وثر در این گ�ره ه�ا مرتب�ط

می سازد.

- بن�ابراین معادل�ه نه�ایی ماتریس�ی س�ازه در حقیقت از ح�ذف س�طرها و س�تون ه�ای مرب�وط ب�ه تغی�یر مک�ان ه�ای معل�وم ص�فر س�ازه در تکی�ه گ�اه ه�ا ب�ه دس�ت

می آید.

Satisfying the)شوند این طریق شرایط مرزی نیز ارضاء می عبارت دیگر به - به

Boundary Condition) گردن�د می اعم�ال م�رزی ش�رایط دیگ�ر س�خن ب�ه ی�ا (Imposition of Boundary Conditions) . بن�ابراین ب�ه ط�ور خًالص�ه وق�تی ش�رایط م�رزی

ه�ا در امت�داد محوره�ای مختص�ات کلی براب�ر ص�فر باش�ند، برحس�ب تغی�یر مک�انه�ای و س�تون ح�ذف س�طرها ب�ا م�اتریس س�ختی مع�ادالت در آنه�ا مع�رفی

مربوطه انجام می گیرد.

روش این در دارد. وج�ود م�رزی ش�رایط اعم�ال ب�رای ن�یز دیگ�ری روش -ه�ای ث�ابت معل�وم ک�ه مرب�وط ب�ه تغی�یر مک�انKاعض�ای قط�ری م�اتریس س�ختی

ض�رب می ک�نیم. ب�رای می باش�ند ، را در ی�ک ع�دد ب�زرگ مانن�د تکی�ه گ�اهی برابر صفر است داریم: که iمثال در درجه آزادی

عضو را در عدد ضرب می کنیم.

را ن�یز مس�اوی در این روش ب�ه هنگ�ام ح�ل مع�ادالت در برنام�ه ک�امپیوتری صفر قرار می دهیم.

,II II II IIP K

2010

i

1 1 2 2i i i ii i in nP K K K K

201 1 2 2

1 1 2 220

(10 )

( )0

10

i i i ii i in n

i i i in ni

ii

P K K K K

P K K K

K

iP

2010 iiK

((Analysis of TrussesAnalysis of Trusses))- تحلیل خرپاها - تحلیل خرپاها 66

t الغ�ر هس�تند ک�ه توس�ط گ�ره - خرپاه�ا س�ازه ه�ای متش�کل از اعض�اء مس�تقیم نس�بتا

ه�ا تحت اث�ر گ�ره و فق�ط در ش�ده هم�دیگر متص�ل ه�ای مفص�لی ب�دون اص�طکاک ب�هال(. )خرپای ایده گیرند می قرار خارجی بارهای

- در عم�ل ایج�اد گ�ره ه�ای مفص�لی ب�دون اص�طکاک ک�ار دش�وار و ی�ا غ�یر ممکن ک�ه اس�ت این در ی�ک خرپ�ای حقیقی و ال ای�ده ی�ک خرپ�ای بین تف�اوت اس�ت. اعض�ای خرپ�ای حقیقی عًالوه ب�ر نیروه�ای مح�وری، تحت اث�ر ن�یروی برش�ی و لنگ�ر این ن�یز ق�رار می گیرن�د. هرچ�ه الغ�ری اعض�ای خرپ�ا بیش�تر می ش�ود، خمش�ی

شود. تفاوت کمتر می ب�ا در چ�نین تحلیلی ص�لب ن�یز تحلی�ل ک�رد. این ه�ای گ�ره خرپاه�ا را ب�ا ف�رض ت�وان می-

ه�ای خمش�ی اعض�اء، نیروه�ای ثانوی�ه )ب�رش و لنگ�ر( و همچ�نین نظ�ر گ�رفتن س�ختینیروهای اولیه )نیروهای محوری( را نتیجه می دهد.

تحلیل تنش های ثانویه در دو مورد پیشنهاد می گردد: - ،سختی خمشی عضوها زیاد باشد.نتایج با دقت بیشتری خواسته شده باشد

t به تحلیل خرپاهای ایده ال خواهیم پرداخت. - در اینجا صرفا

( )

( , )

( , , )

x

x y

x y z

i

i

دستگاه مختصات محلی

گره

گره

دستگاه مختصات کلی

درجه آزادی 1

درجه آزادی 2

درجه آزادی 3

ای خرپای صفحه

خرپای فضائی

را در نظر می گیریم.x خرپا فقط محور محلی ij- برای هر عضو t دارای مؤلفه تغییر مکانی در امتداد محور ها می x- هر گره صرفا

باشد.

- مراحل تشکیل ماتریس سختی یک سازه خرپایی عبارتند از:

الف( تعیین ماتریس سختی عضو در دستگاه مختصات الف( تعیین ماتریس سختی عضو در دستگاه مختصات محلی:محلی:

jij ijii ij

iji jj

ij ij i

EA EAL Lk k

kk k EA EA

L L

cos( , ) cos( , ) cos( , )

, , ,

cos(180 , ) cos(180 , ) cos(180 , )

ij

i j i j i jij

ji

ji

R x X x Y x Z

X X Y Y Z ZR l m n l m n

L L LR x X x Y x Z

R l m n

x

ij ij y

z i

x

ij ij y

z i

x

ji ji y

z j

x

ji ji y

z j

P

p R P

P

R

P

p R P

P

R

ij,ب( تعیین ماتریس های دوران برای هر عضو:ب( تعیین ماتریس های دوران برای هر عضو: jiR R

2

2

2

ln

,

j T jii ij ii ij ij

ij ij ij

i T i jjj ji jj ji ii ij

ij

Tij ij ij ji ij ij

ij ij

l l lmEA EA EA

K R k R m l m n ml m mn BL L L

n nl nm n

EAK R k R K B

L

lEA EA

K R k R m l m n B KL L

n

TjiK

پ( تعیین برای هر عضو )هرکدام پ( تعیین برای هر عضو )هرکدام می باشند(: می باشند(:33××33ماتریس های ماتریس های

, , ,i jjj ji ij iiK K K K

- برای حالت خرپای دو بعدی مسطح داریم:

2

2, ,

x x

i i ijy yi i

P l lmP B

P ml m

( ) ( ) ( )

jij ii ij ij ji

ij ij ji ij ij ji ji ij i j

p k k

EA EA EAp R R R

L L L

- همچ�نین می ت�وان عکس العم�ل ه�ای تکی�ه گ�اهی را ب�ا اس�تفاده از نیروه�ای اعضای خرپا به دست آورد:

- بع�د از تش�کیل م�اتریس س�ختی و اعم�ال ش�رایط م�رزی و ح�ل مع�ادالت می

ه�ای آزاد س�ازه اس�ت، ب�ه ت�وان ب�ردار ∆ را ک�ه ش�امل تغی�یر مک�ان ه�ای گ�رهدس�ت آورد. بع�د از تع�یین می ت�وان نیروه�ای اعض�ای خرپ�ا

را به دست آورد.

2 1,..., ,..., ,n i

T Tm mi mj mi mi mj mjP P P R p R p

- ب�ا اس�تفاده از م�اتریس س�ختی اولی�ه )ب�دون اعم�ال ش�رایط م�رزی( خ�واهیم داشت:

1 1 2 2m m m mm m mn nP K K K K

نیز از رابطه زیر استفاده می کنیم:iبرای بررسی تعادل گره -

)بررسی چند مثال( -T

i ij ijP R p

((Planar Rigid FramesPlanar Rigid Frames))- تحلیل قاب های صلب مسطح - تحلیل قاب های صلب مسطح 77

- در ق�اب ه�ای ص�لب اعض�اء توس�ط گ�ره ه�ای ص�لب ب�ه هم دیگ�ر اتص�ال یافت�ه اند، یعنی در یک گره زاویه بین اعضاء پس از تغییر شکل تغییر نمی کند.

t ب�ر روی - باره�ا ممکن اس�ت نظ�یر خرپاه�ا در گ�ره ه�ا وارد ش�وند و ی�ا مس�تقیماt ح�التی را در نظ�ر خ�واهیم گ�رفت ک�ه باره�ا اعض�اء اث�ر نماین�د )در این ج�ا ص�رفا

بر گره ها وارد می شوند(.

- وضعیت محورهای مختصات محلی و کلی:- وضعیت محورهای مختصات محلی و کلی:

x

ij y

z i

x

ij y

z i

p

p p

m

- مراحل تشکیل ماتریس سختی یک قاب صلب دوبعدی عبارتند از:

الف( تعیین ماتریس سختی هر عضو در دستگاه مختصات الف( تعیین ماتریس سختی هر عضو در دستگاه مختصات محلی:محلی:

3 2 3 2

2 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 4 6 20 0

z z z z

jii ij z z z z

iji jj

EA EAL L

EI EI EI EIL L L L

k k EI EI EI EIkL L L Lk k

Sym Sym

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1

2 2 2

3 3 3

cos( , ) cos( , ) cos( , )

cos( , ) cos( , ) cos( , )

cos( , ) cos( , ) cos( , )

cos , , 0

sin , cos , 0

0 , 0 , 1

ij

i j i j

x X x Y x Z l m n

R y X y Y y Z l m n

z X z Y z Z l m n

X X Y Yl m sin n

L L

l m n

l m n

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1ijR

x

ij ij y

z i

x

ij ij y ij i

z i

x

ji ji y

z j

x

ji ji y ji j

z j

P

p R P

M

R R

P

p R P

M

R R

ij,ب( تعیین ماتریس های دوران برای هر عضو:ب( تعیین ماتریس های دوران برای هر عضو: jiR R

X

Y

Zj

i

α

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1jiR

ji- از روی به راحتی می توان را نیز بدست آورد:- از روی به راحتی می توان را نیز بدست آورد: ijR R

2 23 3 2

2 23 2

2 23 3 2

12 12 6cos sin cos .sin sin

12 6sin cos cos

4

12 12 6cos sin cos .sin sin

j T jii ij ii ij

i T ijj ji jj ji

EA EI EA EI EI

L L L L L

EA EI EIK R k R

L L LEI

SymL

EA EI EA EI EI

L L L L L

EAK R k R

2 23 2

2 23 3 2

2 23 3 2

2

12 6sin cos cos

4

12 12 6cos sin cos .sin sin

12 12 6cos .sin sin cos cos

6si

Tij ij ij ji

EI EI

L L LEI

SymL

EA EI EA EI EI

L L L L L

EA EI EA EI EIK R k R

L L L L L

EI

L

2

,

6 2n cos

Tij jiK K

EI EI

L L

پ( تعیین برای هر عضو )هرکدام پ( تعیین برای هر عضو )هرکدام می باشند(: می باشند(:33××33ماتریس های ماتریس های

, , ,i jjj ji ij iiK K K K

- همچ�نین می ت�وان عکس العمله�ای تکی�ه گ�اهی را ب�ا اس�تفاده از تغییرمک�ان ه�ای تعمیم یافت�ه و ب�ا اس�تفاده از م�اتریس س�ختی اولی�ه )ب�دون اعم�ال ش�رایط

مرزی( بصورت زیر به دست آورد:

ت�وان ب�ردار ∆ را ک�ه ش�امل - بع�د از اعم�ال ش�رایط م�رزی و ح�ل مع�ادالت میه�ای آزاد س�ازه اس�ت، ب�ه دس�ت آورد. بع�د از تغی�یر مک�ان ه�ای تعمیم یافت�ه گ�ره

تعیین می توان نیروهای انتهای اعضاء را به دست آورد.2 1,..., ,..., ,n i

1 1 2 2i i i ii i in nP K K K K

- برای بررسی تعادل گرهها از رابطه زیر استفاده می کنیم:T

i ij ijP R p

ت( به همان روال قبلی ماتریس سختی سازه را تشکیل می ت( به همان روال قبلی ماتریس سختی سازه را تشکیل می دهیم.دهیم.

jij ii ij ij ji

xj

ij ii ij ij ij ji ji y

z ij

p k k

p

p k R k R p

m

نیروی

محوری

برشی نیروی

خمشی لنگر

)بررسی چند مثال(

((GridsGrids))تحلیل شبکه ها تحلیل شبکه ها --88

- در ق�اب ه�ای مس�طح باره�ا در ص�فحه ق�اب وارد می ش�وند. ب�ه عب�ارت دیگ�ر t اگ�ر ق�اب مس�طح در ص�فحه باش�د، در این ص�ورت نیروه�ای وارد ب�ر آن XYمثًال

خواهند بود.Z و لنگرهای خمشی وارده حول محور XYنیز در صفحه - ش�بکه ه�ا ق�اب ه�ای مس�طحی هس�تند ک�ه در آنه�ا باره�ا بص�ورت ق�ائم ب�ر ص�فحه س�ازه اث�ر می کنن�د )بح�ثی در م�ورد مؤلف�ه ه�ای ن�یرو در ق�اب ه�ای فض�ایی(. ب�ه

t اگ�ر ش�بکه در ص�فحه باش�د، در این ص�ورت نیروه�ای وارد XYعب�ارت دیگ�ر مثًال خواهد بود.Y , Xها و لنگرهای وارده حول محورهای Zبر آن در امتداد محور

- ب�ا توج�ه ب�ه این ک�ه باره�ای خ�ارجی ق�ائم ب�ر ص�فحه س�ازه اث�ر می کنن�د، ل�ذا تغییر شکل های محوری قابل صرف نظر کردن می باشند.

- ی�ک گ�ره آزاد س�ازه ش�بکه ای عًالوه ب�ر تغی�یر مک�ان ه�ای ق�ائم ب�ر ص�فحه س�ازه ای در ص�فحه ه�ا در ص�ورتی ک�ه س�ازه ش�بکهZش�بکه ای )مثًال در امت�داد مح�ور

XY)ق�رار ه�ای مولف�ه در ص�فحه خ�ود س�ازه ب�ا دورانی تحت اث�ر واق�ع باش�د می گیرد.

بن�ابر این تغی�یر ش�کل ی�ک گ�ره ب�ه ص�ورت -[∆Z , θX , θY] ،بی�ان اس�ت قاب�ل مشخص شده باشد.XYمشروط بر این که صفحه سازه به صورت

,x y

- وضعیت محورهای مختصات محلی و کلی:- وضعیت محورهای مختصات محلی و کلی:

,z z

ij x ij x

y y

p

p m

m

- مراحل تشکیل ماتریس سختی یک شبکه عبارتند از:

الف( تعیین ماتریس سختی عضو:الف( تعیین ماتریس سختی عضو:

3 2 3 2

2 2

12 6 12 60 0

0 0 0 0

6 4 6 20 0

y y y y

jii ij y y y y

iji jj

EI EI EI EIL L L L

GJ GJL L

k k EI EI EI EIkLk k L L L

Sym Sym

cos( , ) cos( , ) cos( , ) 1 0 0

cos( , ) cos( , ) cos( , ) 0 cos sin

cos( , ) cos( , ) cos( , ) 0 sin cos

1 0 0

0 cos sin , cos ,

0 sin cos

ij

i j i jji

z Z z X z Y

R x Z x X x Y

y Z y X y Y

X X Y YR sin

L L

ij,ب( تعیین ماتریس های دوران :ب( تعیین ماتریس های دوران : jiR R

Z

ij ij X ij ij

Y ij

Z

ij ij X ij i

Y i

Z

ji ji X ji ji

Y ji

Z

ji ji X ji j

Y j

P

p R M R P

M

R R

P

p R M R P

M

R R

,

,

j T j i T iii ij ii ij jj ji jj ji

T Tij ij ij ji ij ji

K R k R K R k R

K R k R K K

پ( تعیین برای هر عضو )هرکدام پ( تعیین برای هر عضو )هرکدام می باشند(: می باشند(:33××33ماتریس های ماتریس های

, , ,i jjj ji ij iiK K K K

ت( به همان روال قبلی ماتریس سختی سازه را تشکیل می ت( به همان روال قبلی ماتریس سختی سازه را تشکیل می دهیم.دهیم.

- همچ�نین می ت�وان عکس العم�ل ه�ای تکی�ه گ�اهی را ب�ا اس�تفاده از تغییرمک�ان ه�ای تعمیم یافت�ه و ب�ا اس�تفاده از م�اتریس س�ختی اولی�ه )ب�دون اعم�ال ش�رایط

مرزی( بصورت زیر به دست آورد:

ت�وان ب�ردار ∆ را ک�ه ش�امل - بع�د از اعم�ال ش�رایط م�رزی و ح�ل مع�ادالت میه�ای آزاد س�ازه اس�ت، ب�ه دس�ت آورد. بع�د از تغی�یر مک�ان ه�ای تعمیم یافت�ه گ�ره

تعیین می توان نیروهای انتهای اعضاء را به دست آورد.2 1,..., ,..., ,n i

1 1 2 2i i i ii i in nP K K K K

T- برای بررسی تعادل گره ها از رابطه زیر استفاده می کنیم:i ij ijP R p

jij ii ij ij ji

zj

ij ii ij ij ij ji ji x

y ij

p k k

p

p k R k R m

m

برش

پیچشی لنگر

خمشی لنگر

)بررسی چند مثال(

((Three Dimensional Rigid FramesThree Dimensional Rigid Frames))- تحلیل قاب های صلب سه بعدی - تحلیل قاب های صلب سه بعدی 99

- ویژگی های این سازه ها عبارتند از: * سازه و بارهای مؤثر بر آن در فضای فیزیکی سه بعدی قرار دارند.

* تمام اعضا )بجز تکیه گاه ها( به صورت صلب به همدیگر مرتبط یافته اند.

- محورهای مختصات محلی و کلی- محورهای مختصات محلی و کلی

,

,

x x

y y

z zij ij

x x

y y

z zi i

X X

Y Y

Z Zi i

X X

Y Y

Z Zi i

p

p

pp

m

m

m

P

P

PP

M

M

M

- مراح/ل تش/کیل م/اتریس س/ختی ق/اب ه/ای ص/لب س/ه بع/دی، - مراح/ل تش/کیل م/اتریس س/ختی ق/اب ه/ای ص/لب س/ه بع/دی، در هنگ/امی ک/ه تش/کیل م/اتریس س/ختی س/ازه ب/رای ح/الت کلی در هنگ/امی ک/ه تش/کیل م/اتریس س/ختی س/ازه ب/رای ح/الت کلی در ابت/دای این فص/ل ش/رح داده می ش/د، ارائ/ه گردی/د. نکت/ه ای در ابت/دای این فص/ل ش/رح داده می ش/د، ارائ/ه گردی/د. نکت/ه ای ک/ه فق/ط بای/د تع/یین گ/ردد تع/یین م/اتریس دوران می ک/ه فق/ط بای/د تع/یین گ/ردد تع/یین م/اتریس دوران می

باشد. باشد.

- تعیین ماتریس دوران : - تعیین ماتریس دوران :

,ij jiR R

ijRj T j

ii ij ii ijij ij ij

i T iij ij i jj ji jj ji

Tji ji ji ij ij ij ji

Tji ji j ij ji

K R k Rp R P

R K R k R

p R P K R k R

R K K

خواه/د خواه/د 66××66- مش/خص اس/ت ک/ه م/اتریس دوران ی/ک م/اتریس - مش/خص اس/ت ک/ه م/اتریس دوران ی/ک م/اتریس بود که در حالت کلی صورت زیر را دارد: بود که در حالت کلی صورت زیر را دارد:

ijR

cos( , ) cos( , ) cos( , ) 0 0 0

cos( , ) cos( , ) cos( , ) 0 0 0

cos( , ) cos( , ) cos( , ) 0 0 0

0 0 0 cos( , ) cos( , ) cos( , )

0 0 0 cos( , ) cos( , ) cos( , )

0 0 0 cos( , ) cos( , ) cos( , )

ij

i

x X x Y x Z

y X y Y y Z

z X z Y z ZR

x X x Y x Z

y X y Y y Z

z X z Y z Z

- ب/ه ت/رتیب کوس/ینوس ه/ای - ب/ه ت/رتیب کوس/ینوس ه/ای می باشد. می باشد.Z, Y, XZ, Y, X نسبت به محورهای کلی نسبت به محورهای کلی xxهادی محور محلی هادی محور محلی

cos( , ),cos( , ),cos( , )x Z x Y x X

cos( , ) cos( , ) cos( , )i j i j i jX X Y Y Z Zx X l x Y m x Z n

L L L

بای/د -- بای/داکن/ون راzz, , yyمحلی محلی محوره/ایمحوره/ای ه/ایه/ای کوس/ینوسکوس/ینوس اکن/ون را ب/ه ب/ه نس/بتنس/بت بدست آوریم: بدست آوریم:Z, Y, XZ, Y, Xمحورهای کلی محورهای کلی

ب/ر مح/ور yyمح/ورمح/ور ب/ر مح/ور عم/ود و xx عم/ود و ZZانتخ/اب می انتخ/اب می ب/ه گون/ه ب/ه گون/هش/ود ک/ه ش/ود ک/ه ای ای رانتیجه بدهد: رانتیجه بدهد:yy، محور ، محور xx با با ZZحاصل برداری حاصل برداری

2 2

2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ0 0 1

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 ,

y Z x

Z i j k

x li mj nk

m ly lj mi y i j k l m D

l m l m

می می Z, Y, XZ, Y, X) بردارهای یکه در امتداد محورهای کلی ) بردارهای یکه در امتداد محورهای کلی باشند(باشند(

ˆ ˆ ˆ, ,k j i

,0 عبارتند از: عبارتند از:yy- بنابراین کوسینوس های محور محلی - بنابراین کوسینوس های محور محلی ,l m

D D

ت/وان کوس/ینوس ه/ای ه/ادی مح/ور -- ت/وان کوس/ینوس ه/ای ه/ادی مح/ور ح/ال می بدس/ت zzح/ال می ن/یز را بدس/ت ن/یز را آورد:آورد:

2 2

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,

z x y

x li mj nk

m ly i j k

D D

l m mn l n l n mnz k k j i z i j Dk z z

D D D D D D

, عبارتند از: عبارتند از:zz- بنابراین کوسینوس های محور محلی - بنابراین کوسینوس های محور محلی ,mn nl

DD D

- پس ماتریس دوران به صورت زیر بدست می آید:- پس ماتریس دوران به صورت زیر بدست می آید:

استفاده از این ماتریس آن است که استفاده از این ماتریس آن است که - شرط- شرط کلی نشود کلی نشود ZZ منطبق بر محور منطبق بر محور xxمحورمحلی محورمحلی

چرا که در این صورت عضو موازی محورچرا که در این صورت عضو موازی محور ZZبوده و بوده و D=oD=o خواهد بود و نمی توان خواهد بود و نمی توان yy

را تعیین نمود. را تعیین نمود.

00

0

ij

l m n

m l

D Dnl mn

DRD D

Sym

در می آی/د، در می آی/د، ZZ محلی م/وازی مح/ور محلی م/وازی مح/ور xx- در ح/الت خاص/ی ک/ه مح/ور - در ح/الت خاص/ی ک/ه مح/ور از دس/تگاه از دس/تگاه YY را می ت/وان ب/ه عن/وان مح/ور را می ت/وان ب/ه عن/وان مح/ور yyدر این ص/ورت مح/ور در این ص/ورت مح/ور

مختصات کلی انتخاب کرد. در این صورت داریم:مختصات کلی انتخاب کرد. در این صورت داریم:0 0 1

0 1 00

1 0 0

0

ijR

Sym

0 0 1

0 1 00

1 0 0

0

jiR

Sym

ij ij ijpP p p محورهای

کلی مختصات) قدیم)

محورهای محلی مختصات

) جدید)

محورهای اصلی مختصات

ij ij ij

ij ij i

ijp ijp ij

ijp ijp ij

p R P

R

p R p

R

1 0 0

0 cos sin0

0 sin cos

0

ijpR

Sym

ک/ه ش/ود می ایج/اد خاص/ی مس/أله بع/دی س/ه ه/ای ق/اب در ک/ه - ش/ود می ایج/اد خاص/ی مس/أله بع/دی س/ه ه/ای ق/اب در -عب/ارت اس/ت از ع/دم انطب/اق محوره/ای مختص/ات محلی تعری/ف عب/ارت اس/ت از ع/دم انطب/اق محوره/ای مختص/ات محلی تعری/ف ش/ده ب/ا ه/ای ف/وق ال/ذکر ب/ا محوره/ای اص/لی مقط/ع عض/و. ش/ده ب/ا ه/ای ف/وق ال/ذکر ب/ا محوره/ای اص/لی مقط/ع عض/و.

((x, y, zx, y, z))بن/ابراین در واق/ع تف/اوت بین محوره/ای مختص/ات محلی بن/ابراین در واق/ع تف/اوت بین محوره/ای مختص/ات محلی می باش/د. می باش/د. براب/ر زاوی/ه براب/ر زاوی/ه ((xxpp, y, ypp, z, zpp))ب/ا محوره/ای مختص/ات اص/لی ب/ا محوره/ای مختص/ات اص/لی

در این صورت یک تبدیل دورانی دیگری الزم خواهد شد.در این صورت یک تبدیل دورانی دیگری الزم خواهد شد.

ijR

1

2

3

4

jijp iip ijp ijp jip

j jijp iip ijp ij ijp jip ji iip ijp ij i ijp jip ji j

ijp ijp ij

T j Tij ijp iip ijp ij i ijp ijp jip ji j

ij ij ij

T T j T Tij ij ijp iip ijp ij i ij ijp ijp

p k k

p k R k R k R R k R R

p R p

p R k R R R k R R

p R P

P R R k R R R R k

jip ji jR R

( )

( )

j T T jii ij ijp iip ijp ij

T Tij ij ijp ijp jip ji

K R R k R R

K R R k R R

- نکت/ه قاب/ل توج/ه آن اس/ت ک/ه اگ/ر محوره/ای مختص/ات اص/لی و - نکت/ه قاب/ل توج/ه آن اس/ت ک/ه اگ/ر محوره/ای مختص/ات اص/لی و خواه/د ب/ود و خواه/د ب/ود و ص/ورت ص/ورت ایناین محلی ب/ر هم/دیگر منطب/ق ش/وند درمحلی ب/ر هم/دیگر منطب/ق ش/وند در

شود.شود. از معادالت حذف می از معادالت حذف میpp و لذا زیرنویسو لذا زیرنویس گرددگردد می می

0 ijpR I

- پس ب/رای ق/اب ه/ای ص/لب س/ه بع/دی اطًالع/ات ورودی ب/رای - پس ب/رای ق/اب ه/ای ص/لب س/ه بع/دی اطًالع/ات ورودی ب/رای تعریف هندسه سازه عبارتند از:تعریف هندسه سازه عبارتند از:

مختصات گره ها نحوه اتصال اعضا (ij) زاویه βبرای هر عضو

((Properties of the Stiffness MatricesProperties of the Stiffness Matrices))خواص ماتریس های سختی خواص ماتریس های سختی - - 1010

زیرم�اتریس س�ختی م�اتریس در غ�یر ال�ف( ترانس�پوز ه�ای مس�اوی قط�ری

همدیگر هستند، یعنی:

t ثابت کرده ایم که اما با توجه به این قبًال

مقادیری عددی هستند.Kب(عناصر ماتریس سختی

Tij jiK K

,T T

ij ij ij ji ji ji ji ij

TT T T Tji ji ji ij ij ji ji

K R k R K R k R

K R k R R k R

T Tij ji ij jiK K k k

2

2

11 1 1

2 2 221

12 2 2 2

2 221

12 2

,

1 1 1 1

2 2 2 2

1

2

1

2

ii

i i i

i ni i n n i i n

i i i i

i i i ni n

i i i i i i

i i

i i i

PU UP

P P PUU P P P P

P P P P PU

P P PU

2

2 2

2 2 2 2 2 21 1

12 2 2 2 2 20 0 , , 0 , , 0

n ii n

i i i

i n i ni n

i i i i i i

P P

P P P P P P

قضیه طبقکاستیلیانو

مثبت- م�اتریس ی�ک ش�رایط م�رزی( اعم�ال از )بع�د س�ازه نه�ایی س�ختی م�اتریس پ(

.(Positive-Definite) است معین

- ابتدا باید تعاریف زیر را بیان کنیم:م�اتریس مثبت- معین1 م�اتریس مثبت- معین: -A پیش ک�ه ماتریس�ی اس�ت ،

ی�ک مق�دار مثبت می (B)ض�رب و پس ض�رب آن ب�ا ی�ک ب�ردار دلخ�واه غیرص�فر | مثبت اس�ت Aباش�د: . می ت�وان اثب�ات نم�ود ک�ه دترمین�ان م�اتریس

A|>0. نیم�ه معین م�اتریس مثبت-:(Positive-Semi Definite)- م�اتریس مثبت- نیم�ه معین 2A دلخ�واه ب�ردار ی�ک ب�ا آن ض�رب پس و ض�رب پیش ک�ه اس�ت ماتریس�ی ،

مس�اوی ص�فر می باش�د، می ت�وان اثب�ات نمودک�ه دترمین�ان م�اتریس (B)غیرص�فر A صفر است|A|=0.

ن�امعین 3 م�اتریس -(Indefinite): ن�امعین م�اتریس A پیش ک�ه اس�ت ماتریس�ی ی�ک مق�دار منفی می (B)ض�رب و پس ض�رب آن ب�ا ی�ک ب�ردار دلخ�واه غ�یر ص�فر

|A| کوچکتر از صفر است Aباشد. می توان اثبات نمود که دترمینان ماتریس <0.

س�ازه )بع�د از اعم�ال ش�رایط م�رزی( نه�ایی م�اتریس س�ختی ت�وان اثب�ات نمودک�ه میمعین است: یک ماتریس مثبت-

معادل�ه م�اتریس س�ختی نهایی

انرژی تغییر شکل سیستم

متقارن است( K )چون

U ∆ بی�انگر ان�رژی تغی�یر ش�کل سیس�تم اس�ت ک�ه ی�ک مق�دار مثبت می باش�د و K|>O|: یک ماتریس مثبت- معین است ، و لذا داریمKاختیاری است، بنابراین

0TB AB

1

21 1

2 2

T

T T T

P K

U P

U K K

- م�اتریس س�ختی س�ازه )قب�ل از اعم�ال ش�رایط م�رزی(، ی�ک م�اتریس مثبت – نیمه معین است زیرا داریم:

اس�ت ک�ه در اث�ر تغی�یر (Rigid Body Mode)که متن�اظر ب�ا ی�ک م�د ص�لب جس�می مک�ان ک�اری در سیس�تم انج�ام نمی ش�ود. چ�را ک�ه س�ازه می توان�د ی�ک ح�رکت

انج�ام ده�د. ی�ادآوری می ش�ود ک�ه ب�رای ی�ک (Rigid Body Motion)ص�لب جس�می جسم صلب داریم:

” اگ�ر ی�ک سیس�تم ن�یرویی ب�ر ی�ک جس�م ص�لب در ح�ال تع�ادل باش�د، در اث�ر تغی�یر مک�ان کوچ�ک )مج�ازی(، ک�ار خ�ارجی )مج�ازی( انج�ام یافت�ه توس�ط این نیروه�ا

برابر صفر خواهد بود.“|K|- بنابراین برای یک ماتریس سختی )قبل از اعمال شرایط مرزی( داریم:

=0

از ماینوره�ای اص�لی م�اتریس س�ختی داد ک�ه هیچک�دام ت�وان نش�ان ت( می را ب�ه ص�ورت K براب�ر ص�فر نخواه�د ب�ود. اگ�ر م�اتریس س�ختی نه�ایی Kنه�ایی

زیر افراز کنیم:

در این صورت مثبت معین می باشند:

10

2TU K

, ,,II II I IK K

, ,0 , 0II II I IK K

, ,

, ,

I I I III I

II I II IIII II

K KP

K KP

ب�ه همین ت�رتیب می ت�وان ث�ابت ک�رد ک�ه ن�یز ی�ک م�اتریس مثبت- معین -است.

- مشخص است که به همین ترتیب می توان ثابت نمود که:

بن�ابر این تم�ام درای�ه ه�ای قط�ری م�اتریس س�ختی نه�ایی س�ازه )بع�د از اعم�ال شرایط مرزی( مثبت می باشند.

ث( م�اتریس ه�ای مثبت- معین، مثبت- نیم�ه معین و ن�امعین را ب�ه ص�ورت زی�ر نیز تعریف می کنند:

آن (Eigenvalues)م�اتریس مثبت- معین، ماتریس�ی اس�ت ک�ه وی�ژه مق�ادیر -همگی مثبت می باشند.

- م�اتریس مثبت- نیم�ه معین، ماتریس�ی اس�ت ک�ه وی�ژه مق�ادیر آن مس�اوی ی�ا بزرگتر از صفر می باشند.

- م�اتریس ن�امعین ماتریس�ی اس�ت ک�ه وی�ژه مق�ادیر آن منفی، ص�فر و مثبت می توانند باشند.

را می ت�وان ب�ه ص�ورت زی�ر K- وی�ژه مس�أله اس�تاندارد ب�رای م�اتریس س�ختی نوشت:

م��اتریس مق��ادیر وی��ژه از یکی (K وی��ژه از یکی و می باش�ند( ج�واب ه�ای این مس�أله وی�ژه K م�اتریس (Eigenvectors)برداره�ای

جفت های و می باشند.

iiK

0i ii i iiP K K

0iik

K

( , )i i 1,2,...,i n

چون اش�اره ک�ردیم ک�ه م�اتریس س�ختی نه�ایی ی�ک م�اتریس مثبت- معین می باشد، بنابراین تمامی ویژه مقادیر آن مثبت می باشند.

ب�ه این ک�ه ب�رای م�اتریس س�ختی- ب�ا توج�ه )قب�ل از اعم�ال ش�رایط م�رزی( از وی�ژه مق�ادیر م�اتریس س�ختی ص�فر ، K|=0|داریم تع�دادی ی�ا بن�ابراین یکی است:

- m مساوی تعداد مدهای صلب جسمی است (Rigid body modes):

1 2 ... 0m

ج( م�اتریس س�ختی بص�ورت م�اتریس ن�واری اس�ت. ب�ه عب�ارت دیگ�ر درای�ه ه�ای ه�ا ب�ه غ�یر ص�فر در اط�راف قط�ر اص�لی هس�تند، مش�روط ب�ر این ک�ه تم�ام گ�ره

هم�دیگر متص�ل نش�ده باش�ند. ش�ماره گ�ذاری ط�وری انج�ام ش�ود ک�ه تفاض�ل بین یع�نی باش�د. ح�داقل ممکن مح�دود ش�ده ب�ه ی�ک عض�و دو ش�ماره مش�خص تف�اوت بین دو ش�ماره مرب�وط ب�ه ی�ک عض�و ح�تی المق�دور می�نیمم مق�دار ممکن

را داشته باشد.

ماکزیمم تفاوت بین شماره دو انتهای اعضا =3K[= عرض نوار ماتریس 2+)ماکزیمم تفاوت(×1تعداد درجات آزادی×]

([=2()3+)1]3=21

ماکزیمم تفاوت بین شماره دو انتهای اعضا =4K[= عرض نوار ماتریس2+)ماکزیمم تفاوت(×1تعداد درجه آزادی×]

([=2()4+)1]3=27

و Kبنابراین توجه به شماره گذاری گره ها، باعث کاهش عرض نوار ماتریس بالنتیجه صرفه جویی در انبار نمودن اطًالعات در ماشین می گردد.

مثالی دیگر در مورد تاثیر شماره گذاری در عرض نوار ماتریس مثالی دیگر در مورد تاثیر شماره گذاری در عرض نوار ماتریس --سختی سازه:سختی سازه:

ماکزیمم تفاوت بین =4 شماره اعضاء

= عرض نوار ماتریس 27K

ماکزیمم تفاوت =2 بین

شماره اعضاء= عرض نوار 15

Kماتریس