١

النزعة المركزیة ومقاییس التشتتمقاییس Populations and Samplesالمجتمعات والعینات ) ١-١(

د .تسجل نتیجة كل تجربة إحصائیة، إما بقیمة رقمیة أو تمثیل وصفى فعلى سبیل المثال عنان دة وإذا ك رد مره واح امإلقاء زھرة ن رد االھتم وي للن ى السطح العل ي تظھر عل اط الت دد النق بع

ة .فإننا نسجل قیمة رقمیة ا عن الحال ة م ي ھیئ املین ف ةبینما عند سؤال مجموعة من الع االجتماعیدة ر فائ ل الوصفي یكون أكث إن التمثی نھم، ف تم .لكل م إن اإلحصائيعادة یھ ذلك ف ة ل القیم الرقمی ب

ة إحصائیة تسمى .التمثیل الوصفي یمكن تحویلھ إلى قیم عددیة ن نتیجة تجرب ي تسجل م القیمة التاھ ان أو مش اس(دة بی ة .) مقی ب الحال ا حس ركة م ي ش املین ف نیف الع ث بتص وم باح دما یق عن

دد . ، في ھذه الحالة یكون لدیھ عدد محدود من المشاھداتاالجتماعیة رد ع اء زھرة ن د إلق ا عن بینمن ة م ة النھائی ى فئ ا نحصل عل النھائي من المرات وتسجیل عدد النقط التي تظھر في كل مرة فإنن

یم ل المش .الق ع ك مى مجتم دودة، تس ر مح دودة أو غی ت مح واء كان ة، س ت الدراس اھدات تحpopulationات ٠ ن دراس اھدات م ى مش یر إل ع تش ة مجتم ت كلم یة كان نوات الماض ي الس ف

أما اآلن فإن اإلحصائي یستخدم ھذه الكلمة لتشیر إلى مشاھدات عن أي .إحصائیة تشمل أشخاص .الخ ….شخاص، حیوانات، نباتاتسواء مجموعة من األ اھتمامھشيء موضع

.ا جتمع من كل األشیاء التي نھتم بھیتكون الم :تعریف الرمز ع ب م المجتم ، Nعدد المشاھدات في المجتمع تسمى حجم المجتمع وعادة یرمز لحج

د تصنیف .وفي ھذه الحالة نقول أن المجتمع محدود ال عن ى سبیل المث ي شركة 500فعل شخصا فة ةما حسب الحال ھ االجتماعی ع محدود وحجم ول أن المجتم ا نق األطوال واألوزان N=500٠، فإنن

دودة ات مح ة لمجتمع خاص أمثل ن األش ة م نوي لمجموع دخل الس ى .وال دد الكل ة الع ل حال ي ك فع كرات .للمشاھدات رقم محدود ل مجتم ر محدود، مث ع غی م المجتم ان یكون حج في بعض األحی

ي دم رى ف ي تس دم البیضاء الت ان ال غط .إنس اس الض ن قی ا م ي نحصل علیھ اھدات الت ا المش أیض .الجوى كل یوم من الماضي إلى المستقبل تمثل مجتمع غیر محدود

ر العشوائي یم المتغی ن ق ة م ل قیم ع تمث ي المجتم د . Xكل مشاھدة ف ال عن ى سبیل المث علان ن المرات وإذا ك ائي م نقط الX إلقاء زھرة نرد عدد النھ دد ال ل ع رد كل یمث ى الن ي تظھر عل ت

X، فإن كل مشاھدة في المجتمع تمثل قیمة من قیم المتغــیر العشوائـي x=1,2,3,4,5,6مرة، أي أن .

.القیم العددیة التي توصف المجتمع تسمى معالم :تعریفى ول إل ث بالوص تم الباح تنتاجاتیھ ن اس ون م ادة یك ن ع ع، ولك الم المجتم ص مع تخ

ن .المستحیل أو غیر عملي مالحظة كل قیم الفئة الممثلة للمجتمع د م ك الب ى ذل ادوعل ى االعتم على ي الوصول إل ع لتساعدنا ف یم المجتم ن ق ى استدالالتفئة جزئیة م ذنا إل ذا یأخ الم، وھ عن المع

. theory of samplingنظریة المعاینة . معھي فئة جزئیة من المجت sampleالعینة :تعریف

ة االستداللحتى یكون ة .صحیح البد من فھم العالقة بین المجتمع والعین د أن العین ن المؤك مزة ر متحی ون غی د أن تك ذلك الب ع ل ل المجتم وف تمث وائیة unbiasedس ة عش randomأي عین

sample . م :تعریف ن الحج ة جزئی nالعینة العشوائیة م ث أن كل فئ ار بحی ة تخت اھي عین ن nة حجمھ م

.في االختیار االحتمالمشاھدات المجتمع لھا نفس ة تسمى اإلحصاء ن . statisticالقیمة المحسوبة من العین رة یمك ات عشوائیة كثی ا أن عین وبم

ر اختیارھا ك یعتب ى ذل من نفس المجتمع فإننا نتوقع أن یختلف اإلحصاء من عینة إلى أخرى، وعل .اإلحصاء متغیر عشوائي

٢

.اإلحصاء متغیر عشوائي یعتمد فقط على قیم العینة المختارة :تعریف Frequency Distribution التوزیع التكراري) ٢-١(

ات اإلحصائیة .غالبا ما یكون التوزیع االحتمالي لمتغیر عشوائي غیر معروف ر البیان تعتبي دا ف دة ج رة مفی م عرضھا التي یجمعھا الباحث بكمیات كبی ر العشوائي إذا ت دراسة سلوك المتغی

ات .بشكل مناسب ي فئ ات ف ع البیان وحساب classesالمعلومات الكثیرة یمكن الحصول علیھا بتجمیات .مثل ھذا التنظیم یسمى التوزیع التكراري .عدد المشاھدات في كل فئة ع البیان وم بتجمی دما نق عن

ن في فئات فإننا نحصل على أحسن صورة للمج تمع موضع الدراسة ولكننا في المقابل نفقد الكثیر مة ي العین ة .التفصیالت عن المشاھدات ف ة خاصة یسمى تكرار الفئ ي فئ دد المشاھدات ف classع

frequency ویرمز لھ بالرمزf . وع 22یمثل التوزیع التكراري ألطوالالتالى الجدول ن ن ات م نبدینا .)المشاھدات معطاة ألقرب عدد صحیح(ما ال ل ذا المث م 6في ھ ات وھ , 44-40 , 39-35 :فئ

ة معطاة إلىیشار . 60-64 , 55-59 , 50-54 , 49- 45 ي فئ ع ف ي تق یم الت ر الق بحدود أصغر وأكبة سبیل المثال فعلى . class limitsھذه الفئة و 59 – 55 للفئ م ھ ى 55أصغر رق د األدن ل الح ویمث

و lower class limitللفئة م ھ ر رق ة 59وأكب ى للفئ ل الحد األعل ث ٠ upper class limitویمث وحیإن ة 4أن البیانات األصلیة مسجلة ألقرب رقم صحیح، ف ي الفئ ع ف ون كل 59-55مشاھدات تق یمثل

اوى ن أو یس ر م یمھم أكب ي ق ة الت ي العین اھدات ف ن 54.5المش غر م ام . 59.5وأص و 54.5األرقدو 59.5 مى الح ة تس ة class boundariesد الفعلی رقم . 55-59للفئ ى 54.5ال د األدن مى الح یس

رقم lower class boundaryالفعلي ي 59.5وال ى الفعل upper class boundary٠یسمى الحد األعلن أن . 64-60یسمى الحد األدنى الفعلي للفئة التالیة أي الفئة 59.5أیضا الرقم ویالحظ أنھ بالرغم م

ذه الحدود ال فئات لھا حدود فعلیة مشتركة إال أنھ من غیر الممكن أن تقع مشاھدة واحدة على أحد ھات ي البیان ك الموجودة ف ن تل ر م ات عشریة أكب ى خان وى عل ات تحت وذلك ألن الحدود الفعلیة للفئ

.نفسھا

حدود الفئة 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64

لتكرارا 1 2 3 4 4 8

ة ة بطول الفئ ي للفئ ى الفعل د األدن ي والح ى الفعل د األعل ین الح رق ب class widthیعرف الفن الوحدات دة م ة، أي وح دة دق ویساوى أیضا الفرق بین الحد األعلى والحد األدنى للفئة زائدا وح

ة ھي ال(التي قربت إلیھا األعداد في البیانات ا في ھذا المثال وحدة الدق ا قربن د الصحیح ألنن واحات ذات أطوال متساویة .)البیانات ألقرب رقم صحیح ى فئ من الناحیة العملیة یفضل الحصول عل

الرمز .ما أمكن سوف نرمز لطول الفئة ب ي . ات ف متساویة وتساوى السابقجدول الأطوال الفئ5.

ة ف الفئ ة midpoint منتص ز الفئ مى مرك ا class markأو class midpointتس ونحصل علیھ

ى ك تحت فرض أن 2بجمع الحد األدنى الفعلي والحد األعلى الفعلي للفئة وقسمة المجموع عل وذلة ك .جمیع المشاھدات داخل الفئة تأخذ قیما تتطابق مع مركز الفئ ال ذل راضمث تكرارات 8أن افت

ى مركز .والتي تمثل مركز ھذه الفئة 62تأخذ القیمة 64-60في الفئة ن الحصول عل أیضا یمكى ن . 2الفئة بجمع الحد األدنى والحد األعلى للفئة وقسمة المجموع عل مراكز السابقجدول الم

م ات ھ ل ٠ 62 , 57 , 52 , 47 , 42 , 37 :الفئ ذي السابقجدول الیمث وع ال ن الن ع تكراري م توزیي ا حفنشاھده ف ي الص اریر المنشورة ف ن األفضل الحصول .لتق لألغراض اإلحصائیة یكون م

ي الى جدول العلى توزیعات ذات تفصیالت أكثر، كما ھو موضح ف ي الت ات المعطاة ف نفس البیان ل . لسابقجدوالال

٣

الحدود الفعلیة مركز الفئة التكرار الفئة

حدود الفئة

1 37 34.5-39.5 35-39 2 42 39.5-44.5 40-44 3 47 44.5-49.5 45-49 4 52 49.5-54.5 50-54 4 57 54.5-59.5 55-59 8 62 59.5-64.5 60-64

Measures of Central Tendencyمقاییس النزعة المركزیة) ٣-١(

في بعض األحیان التمثیل البیاني وحده ال یمد الباحث بكل المعلومات التي یحتاج إلیھا واحد من الطرق لوصف فئة .ة المشاھدات تحت الدراسة، فالبیانات البد أن توصف وتحللمن فئ

مقاییس النزعة ( averages من المشاھدات، سواء عینة أو مجتمع ، ھو استخدام المتوسطاتفي ھذا البند سوف . فالمتوسط ھو القیمة التي تتركز حولھا معظم المشاھدات . )المركزیة

.مقاییس للنزعة المركزیة نستعرض أربعة

Arithmetic Mean الوسط الحسابي) ١-٣-١(

.سط الحسابي من أفضل مقاییس النزعة المركزیة لتمثیل مركز فئة من المشاھدات یعتبر الو

1إذا كانت الفئة من المشاھدات :تعریف 2 Nx ,x ,...,x لیس من الضروري أن تكون كلھا ،، فإن الوسط الحسابي للمجتمع N، تمثل مشاھدات مجتمع محدود من الحجم مختلفة

: یمكن حساب من الصیغة التالیةN

ii 1

x.

N

مثال

11,9,10,12,10,11,7,9,13,10,8. :لمجتمع مشاھداتھ ھي الحسابيأوجد الوسط

: ــلالحN

ii 1

x 8 10 13 9 7 11 10 12 10 9 11N 11

110 10.11

1إذا كانت الفئة من المشاھدات :تعریف 2 nx ,x ,...,x لیس من الضروري أن تكون كلھا ،، فإن الوسط الحسابي للعینة یمكن حسابھ nمختلفة ، تمثل مشاھدات عینة من الحجم

:لتالیة من الصیغة ا

٤

n

ii 1

xx .

n

مثال

.6,7,7,8 :أوجد الوسط الحسابي لعینة مشاھداتھا ھي

: الحــل

.7428

48776

n

xx

n

1ii

. عند وضع البیانات في توزیع تكراري فإننا نفقد الھویة ألي مشاھدة في العینةلحساب الوسط الحسابي من توزیع .شاھدات التي تقع في كل فئةالمعلومات التي تبقى ھي عدد الم

. تكراري نفترض أن كل المشاھدات داخل فئة معطاة تقع عند مركز الفئةk21إذا كانت :تعریف x,...,x,x ھي مراكز الفئات لتوزیع تكراري مع تكراراتھا المقابلة

k21 f,...,f,f )حیثk فإن الوسط الحسابي یحسب من الصیغة ) تمثل عدد الفئات :التالیة

.f

xfx k

1ii

k

1iii

مثال

: الحــل iالوسط الحسابي i

i

x fXf

. التالىجدول الھي مراكز الفئات ، النتائج معطاة في ixحیث

iixf مركز الفئةix التكرارif حدود الفئة 5.4522 5.904 5 909900

7316 5.914 8 919910 7396 5.924 8 929920 22428 5.934 24 939930

5.14167 5.944 15 949940

في عینة من الزجاجات سعة كل منھا لترا واحدا تم قیاس ما تحتویھ من سائل بالمللیتر وتم :التالىجدول الفي وضع البیانات

949940 939930 929920 919910 909900 حدود الفئة

التكرار 5 8 8 24 15 .أوجد الوسط الحسابي لما تحتویھ الزجاجات من سائل

٥

55830fx ii 60fi المجموع :إذا الوسط الحسابي ھو

i i

i

x f 55830x 930.5f 60

.

: ممیزات الوسط الحسابي وعیوبھ لوسط الحسابي أنھ مألوف وسھل الفھم كما أنھ معرف ألي فئة من البیانات من ممیزات ا

أما عیوبھ فھي تأثره بالقیم . تدخل في حسابھأیضا كل قیمة في فئة المشاھدات .وقیمتھ وحیدة أیضا ال یمكن تقدیره من .الشاذة ولذلك ال ینصح باستخدامھ للبیانات التي منحناھا شدید االلتواء

. وأخیرا ال یمكن حسابھ بالرسم .التوزیعات التكراریة التي تحتوى على فئات مفتوحة

عند حساب الوسط الحسابي یفترض أن كل قیمة لھا نفس األھمیة، مثل ھذا الفرض قد في الحقیقة، إذا كانت القیم لیس لھا نفس األھمیة یكون من األفضل حساب الوسط .یكون خاطئ

1فإذا كانت .الحسابي المرجح 2 nx ,x ,...,x تمثل قیم المتغیرX 1، وكانت 1 nw ,w ,...,w :األوزان المناظرة لھا فإن الوسط الحسابي المرجح یكون

n

i ii 1

nw

ii 1

w xx .

w

یعاب على الوسط الحسابي المرجح ھو عدم وجود قاعدة لتحدید األوزان وتخضع للتقدیر ط الحسابي حالة خاصة من الوسط الحسابي المرجح إذا كانت األوزان یعتبر الوس .الشخصي . متساویة

مثال

خص تري ش ن الشركة 4یش د Aقمصان م عر الواح ركة 4و $22بس ن الش Bقمصان م . أوجد متوسط سعر القمیص. $30بسعر الواحد Cقمصان من الشركة 7و$25بسعر الواحد

: الحــل

:إلیجاد متوسط سعر القمیص نوجد الوسط الحسابي المرجح الذي یساويn

i ii 1

w n

ii 1

w xx

w

1 2 3

1 2 3

x 22,x 25,x 30w 4, w 4,w 7

اآلن نعوض في القانون الذي یعطي قیمة الوسط الحسابي المرجح

w

22 4 25 4 30 7 398x 26.53.4 4 7 15

Medianالوسیط) ٢-٣-١(

٦

لوسیط المجتمع سوف نرمز .یعتبر الوسیط ھو المقیاس األفضل بعد الوسط الحسابي ھو ) أو تنازلیا ( الوسیط لفئة من المشاھدات مرتبة تصاعدیا .~xووسیط العینة بالرمز ~بالرمز

العدد األوسط منھا إذا كان عددھا فردیا وھو الوسط الحسابي للعددین األوسطیین إذا كان عددھا .زوجیا

1كانت إذا :تعریف 2 nx ,x ,...,x فإن ) أو تنازلیا ( تمثل فئة من المشاھدات المرتبة تصاعدیا

nالوسیط لھذه الفئة ھو العدد 1( )2

x إذا كانnفردیا وھو العددn n 2( ) ( )2 2

1[x x ]2 إذا

.زوجیا nكانت

مثال

. 10,9,8,6,7أوجد الوسیط للمجتمع الذي مشاھداتھ

:لــالحفردیا ولذلك فإن الوسیط n، ھنا عدد المشاھدات 6,7,8,9,10بترتیب المشاھدات تصاعدیا أي

8ھووسیط المجتمع ھو القیمة الوسطیة أي أن .

مثال

.10,9,6,1,2,7أوجد الوسیط للعینة التي مشاھداتھا ھي

:لــالحزوجي ولذلك الوسیط ھو الوسط n، عدد المشاھدات 10,9,7,6,2,1بترتیب البیانات تصاعدیا أي

: ھولعینة وسیط االحسابي للقیمتین الوسطیتین أي أن 6 7 13x 6.50

2 2

.

: ممیزات الوسیط وعیوبھ كما یمكن استخدامھ في .من ممیزات الوسیط أنھ سھل الفھم وال یتأثر بالقیم الشاذة

ومن عیوب الوسیط أن كل المشاھدات ال تدخل في . التوزیعات التي تحتوى على فئات مفتوحة، artificialفي بعض األحیان ، یكون قیمة صناعیة كما أنھ مثل الوسط الحسابي ، .حسابھ

.بمعنى عدم وجود قیمة في فئة المشاھدات ، في الحقیقة ، تمثل الوسیط medianألي توزیع تكراري فإن الفئة التي تحتوى على الوسیـط تسمى الفئة الوسیطة :تعریف

class . : ویمكن حساب الوسیط من الصیغة التالیة

m

n F2x L .

f

: حیث L ، الحد األدنى الفعلي لفئة الوسیط F ، التكرار المتجمع السابق لفئة الوسیط

٧

، طول فئة الوسیط mf . تكرار فئة الوسیط على ویتم تحدید موقع الوسیط لوسیط بالرسم من المضلع التكراري المتجمعیمكن إیجاد ا

المحور الرأسي ثم نسقط عمود من نقطة موقع الوسیط على المضلع التكراري المتجمع وعند . التقائھ بالمضلع نسقط عمود على المحور األفقي فتكون ھي قیمة الوسیط

مثال

: الحــل تكوین التوزیع التكراري ) أ(

3.1280= ، أكبر مشاھدة 01.118= أصغر مشاھدة 6= عدد الفئات المقترحة أصغر مشاھدة –أكبر مشاھدة = المدى

29.116201.1183.1280

01.0وحدة الدقة = طول الفئة التقریبي

عددالفئات= المدى

629.1162=715.193 72.193

.السابقیمثل التوزیع التكراري للبیانات المعطاة في جدول التالىجدول ال

iifx التكرارif

مركز الفئة ix

حدود الفئة الحدود الفعلیة للفئة

865.214 1 865.214 725.311005.118 72.31101.118 585.408 1 585.408 445.505725.311 44.50573.311

22.2409 4 305.602 165.699445.505 16.69945.505 25.7960 10 025.796 885.892165.699 88.89217.699 98.3958 4 745.989 605.1086885.892 6.108689.892 72.9467 8 465.1183 325.1280605.1086 32.128061.1086 المجموع 28 62.24419

قامت شركة متخصصة في بیع البرامج الجاھزة بتسجیل حصیلة البیع الشھري بالدوالر وذلك :شھرا وكانت المشاھدات كما یلي 28في مدة

99.710 54.820 29.858 54.871 01.118 16.990 34.757 6.1018 98.657 9.1230 09.876 06.723 3.1280 5.1150 5

89.345 75.800 8.1140 98.999 90.657 05.997 6.1140 6

98.678 01.670 0.1209 09.887 06.723 3.1280 8.1234 8 . راري مناسب كون توزیع تك) ا ( .أوجد الوسط الحسابي لھذا التوزیع) ب ( . أوجد الوسیط لھذا التوزیع حسابیا وبیانیا) جـ (

٨

:الوسط الحسابي )ب(i i

i

x f 24419.62x 872.129.f 28

:إلیجاد قیمة الوسیط حسابیا نستخدم القانون التالي ) جـ(

m

n F2x L .

f

السابق لفئة الوسیط المتجمع التكرار = F الحد األدنى الفعلي لفئة الوسیط ،= Lحیث نحسب فئة تكرار= mfطول فئة الوسیط ، = فئة الوسیط نحسب أوال التكرار المتجمع وثانیا

14: ب الوسیط ھوحیث ترتی الوسیط 228

2n

حیثn الحسابات یساوي مجموع التكرارات

:فى الجدول التالى اةالالزمھ معط

:اآلن نقوم بالتعویض في قانون الوسیط . إذا فئة الوسیط ھي الفئة الرابعة

141.854976.154165.69972.19310

614165.699x~

: من الشكل التالى حساب الوسیط بیانیا یتم

الحدود الفعلیة للفئة ifالتكرار الحدود العلیا للفئات التكرار المتجمع725.311005.118 1 725.311أقل من 1 445.505725.311 1 445.505أقل من 2 165.699445.505 4 165.699من أقل 6

885.892165.699 10 885.892أقل من 16 605.1086885.892 4 605.1086أقل من 20 325.1280605.1086 8 325.1280من أقل 28 المجموع 28

٩

Modeالمنوال) ٣-٣-١(

في بعض .یعرف المنوال بأنھ القیمة األكثر شیوعا أو التي تتكرر أكثر من غیرھااألحیان ال یوجد منوال لفئة من المشاھدات حیث ال تتكرر القیم أكثر من مرة ، وإذا وجد قد ال

. یكون وحیدا

مثال

3,5,5,5,5,5,5,5,7,7,9المنوال للمشاھدات أوجد

: لــالح . 5 التوزیع أحادي المنوال وقیمة المنوال تساوي

مثال

.2,4,5,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,8,9أوجد المنوال للمشاھدات

: لــالح . 6,7التوزیع في ھذه الحالة یكون ثنائي المنوال حیث المنوال ھو

للفئات الصغیرة من البیانات ال .یعتبر المنوال أقل مقاییس النزعة المركزیة استخداما ومن ممیزاتھ أنھ ال یحتاج إلى . یكون لھ فائدة ، فقط یكون لھ معنى إذا كان حجم البیانات كبیرا

المدرج ویمكن حساب المنوال بالرسم من . عملیات حسابیة، كما یمكن استخدامھ للبیانات الوصفیةتكرار بالرأس األیمن نصل الرأس األیمن العلوي للمستطیـل الذي یمثـل أكبر .التكراري

للمستطیل السابق لھ أیضا نصل الرأس األیسر العلوي ألطول مستطیل بالرأس األیسر العلوي ألفقي للمستطیل التالي لھ فیتقاطع المستقیمان في نقطة، نسقط عمود من ھذه النقطة على المحور ا

.المنوال فیكون ھوfفي حالة البیانات التكراریة فإن المنوال لدالة كثافة االحتمال (x) ھو قیمةx التي عندھا یأخذ

وعلى ذلك یمكن اعتبار مركز الفئة التي یقابلھا أعلى تكرار ھو تقدیر .المنحنى أعلى قیمة .للمنوال

The geometric Meanالوسط الھندسي ) ٤-٣-١(

في الحقیقة ، فإن الوسط الھندسي لھ استخدامات خاصة في المشاكل االقتصادیة وفي المجال

.السكانيn21إذا كان لدینا الفئة من المشاھدات :تعریف x,...,x,x فإن الوسط الھندسي یمكن حسابھ من ،

:ة التالیة الصیغn

1 2 nG x x ... x . :ولتسھیل حساب الوسط الھندسي تستخدم الصیغة التالیة

n

ii 1

log xLogG .

n

١٠

مثال

ة و %4في السنة األولى و %3إذا كان معدل التضخم لشعب ما ھو ي السنة الثانی للسنة %8ف . الثالثة أوجد الوسط الھندسي لمعدالت التضخم

: الحــل : لحساب الوسط الھندسي نستخدم القانون التالي

n

ii 1

log x 1LogG log3 log 4 log8n 3

1 1 0.4771 0.6020 0.9030 1.9821 0.6607.3 3

Gالتي تساوي الوسط الھندسي و Gاآلن نحسب قیمة 4.5782 .

كما أن الوسط الھندسي ال یمكن حسابھ .الحسابيدائما یكون الوسط الھندسي أصغر من الوسط حساب الوسط الھندسي من جداول یمكن .إذا كانت إحدى القیم مساویة للصفر أو رقم سالب

.التاليتكراریة من التعریف 1إذا كانت :تعریف 2 kx ,x ,...,x تمثل مراكز الفئات لتوزیع تكراري مع تكراراتھا المقابلة

1 2 kf ,f ,...,f )حیثk یحسب من G فإن الوسط الھندسي) تمثل عدد الفئات :الصیغة التالیة

k

i ii 1

k

ii 1

f log xLogG .

f

مثال ي ات ف الىجدول الالبیان ا الت وع م ن ن ات م ن خمسین نب ة م ع التكراري ألطوال عین ل التوزی تمث

٠والمطلوب إیجاد الوسط الھندسى

:لــالح -:من الجدول التالى فإن

k

i ii 1

k

ii 1

f log x 55.1799LogG 1.103598.50f

Gلى ذلك فإن الوسط الهندسي هووع 12 69399. .٠

١١

f xi ilog log xi مركز الفئةxi

حدود الفئة fiالتكرار

5.0706 0.8451 7 6 6-8 10.0000 1.0000 10 10 9-11 16.7085 1.1139 13 15 12-14 14.4492 1.2041 16 12 15-17 8.9516 1.2788 19 7 18-20

المجموع 50 55.1799

uartiles, Percentiles, Deciles الربیعات والمئینات والعشیرات) ٤-١(

ي تكون ة الت إن القیم ا تصاعدیا ف كما ذكرنا سابقا، إذا رتبنا فئة من المشاھدات حسب قیمھم البیان ي تقس ي المنتصف والت دد ھي الوسیطف ي الع ى قسمین متساویین ف رة ٠ات إل یم الفك وبتعم

ة أجزاء متساویة ى أربع ات إل ب المشاھدات تصاعدیا ( وتقسیم البیان د ترتی اط التقسیم ) بع إن نق فالرموز ا ب ث 3Q،2Q ،1Qیرمز لھ ع األول 1Qحی ى ( first quartileیسمى الربی ع األدن الربی

lower quartile ( 2وQ اني ع الث 3Qو) نفسھ الوسیط( second quartile یسمى الربی یسمى ث ع الثال ى ( third quartile الربی ع األعل و upper quartile الربی الربیع األول ھ ةف 1Qالقیم

ات اع البیان ة أرب ا ثالث ات ویلیھ ع البیان بقھا رب ي یس اني ٠الت ع الث و ) وھو أیضا الوسیط(والربی ھة ٠التي یسبقھا نصف البیانات ویلیھا نصف البیانات 2Qالقیمة و القیم ث وھ وفي النھایة الربیع الثال

3Q ات إن ٠التي یسبقھا ثالثة أرباع البیانات ویلیھا ربع البیان ن المشاھدات ف ة م د استخدام فئ عن

و ع األول ھ ع الربی ا أوال فموق ین موقعھ ابھا بتع تم حس ة ی ات الثالث nالربیع 24 اني ع الث والربی

nموقعھ ھو 12 3ھو والربیع الثالث موقعھn 2

4 ٠

ي اھدات ف كل الللمش الىش و الت ع األول ھ ع الربی 12موق 2 3.54

ي ھ فھ ا قیمت إم

1متوسط القیمة الثالثة والرابعة أي

5 7Q 62

ى ٠ ا عل ث ھم أیضا موقع الربیع الثاني والثال

12التوالي 1 6.52

،36 2 9.54

والي ى الت ث عل اني والثال ع الث وعلى ذلك فإن قیمة الربی

2ھما

11 13Q 122

،3

17 19Q 182

٠

19 20 22 13 16 17 7 10 11 1 4 5

-:لثالث تحسب من المعادلتین، فإن قیمة الربیع األول واالتكراریةعند استخدام التوزیعات

1

1Q

n F4Q L .f

،3

3Q

3n F4Q Lf

١٢

:حیث L الحد األدنى الفعلي لفئة الربیع، F التكرار المتجمع السابق لفئة الربیع طول فئة الربیع، Qf ٠تكرار فئة الربیع

مثال

:الحــل . التالىشكل الالمضلع التكراري المتجمع موضح في )أ(

1= وحدة الدقة :مقاییس النزعة المركزیة ) ب(

101= وحدة الدقة +الحد األدنى للفئة التقریبي –ى للفئة التقریبي الحد األعل= طول الفئة : التالىجدول الاآلن نوجد الوسط الحسابي من -

iifx مراكز الفئاتix التكرارif حدود الفئة 7650 450 17 500400

13775 551 25 601501 18908 652 29 702602

753 25 803703 23912 854 28 904804 المجموع 124 83070

:إذا الوسط الحسابي یساوي

i i

i

x f 83070x 669.919.f 124

: الوسیط ھو -

18825

التوزیع التكراري للضرائب التي تم تحصیلھا من مجموعة من الموظفین یمثل الجدول التالى . 1990 في شركة لتسخین البترول في عام

904804 803703 702602 601501 500400 حدود الفئة التكرار 17 25 29 25 28

رسم المضلع التكراري المتجمع ثم من الرسم حدد الوسیط والربیع األول والربیع الثالثا) ا ( . لنزعة المركزیةاس ییأحسب مقا) ب ( ؟ 5.702ما نسبة العاملین الذین یدفعون ضرائب أقل من ) ج(

١٣

m

n F2x L .

f

التكرار المتجمع السابق لفئة الوسیط = Fالحد األدنى الفعلي لفئة الوسیط ، = Lحیث = طول فئة الوسیط ،mf =فئة الوسیط تكرار.

اوي ي تس یط والت ة الوس ب فئ نحس ا ع وثانی رار المتجم ب أوال التك 62نحس2

1242n

ث ، حی

n التالىساوي مجموع التكرارات وذلك كما ھو موضح في الجدول ی:

فئة الوسیط ھي الفئة الثالثة

اآلن نعوض في القانون 62 42x 601.5 101 601.5 69.655 671.155.

29

.

ا - ي یقابلھ ة الت ىالمنوال ھو مركز الفئ ع المعطى ھو ،تكرار أعل ي التوزی ى تكرار ف وأعل . 652، أي أن المنوال یساوي 652ھو ومركز الفئة الذي یقابلھ 29

:من الجدول التالىحساب الوسط الھندسي -

ii xlogf ixlog رار التكif مراكز الفئاتix 1044.45 6532.2 17 450 5275.68 7411.2 25 551 6118.81 8142.2 29 652 9175.71 8767.2 25 753 0792.82 9314.2 28 854 المجموع 124 2404.349

اآلن نعوض في قانون الوسط الھندسي k

i ii 1

k

ii 1

f log x 349.2472logG 2.81651124f

.G 655.4058. 5.702عدد العاملین الذین یدفعون ضرائب أقل من ) ج( ك 71یساوي ة وعلي ذل النسبة المطلوب

:تساوي

الحدود العلیا التكرار المتجمع للفئات

الحدود الفعلیة ifالتكرار للفئة

5.5005.399 17 5.500أقل من 17 5.6015.500 25 5.601أقل من 42 5.7025.601 29 5.702أقل من 71 5.8035.702 25 5.803أقل من 96

5.9045.803 28 5.904أقل من 124 المجموع 124

١٤

. 71 (100) 0.5725 100 57.2580%.124

1 3Q 49.5 Q 77 اھدات ن المش ة م م فئ ي تقس یم الت اد الق ن إیج اعدیا(أیضا یمك ا تص د ترتیبھ ام ) بع رة أقس ى عش إل

921ونرمز لنقط التقسیم بالرموز D,...,D,D 1حیثD و ي یسبقھا العشیر األول وھ ة الت ل القیم یمث

10ا 1 من البیانات ویلیھ

10ات و 9 ن البیان ي یسبقھا 2Dم ة الت ل القیم اني وھو یمث العشیر الث

102

من البیانات ویلیھا 10ي ٠ذا للعشیرات األخرىمن البیانات وھك 8 یم الت ن إیجاد الق بنفس الشكل یمك

اھدات ن المش ة م م فئ اعدیا(تقس ا تص د ترتیبھ الرموز ) بع یم ب نقط التقس ز ل م ونرم ة قس ى مائ إل

9921 P,...,P,P 1حیثP المئین األول ھو یمثل القیمة التي یسبقھا100

ا من 1 البیانات ویلیھ100ن 99 م

ات و بقھا 2Pالبیان ي یس ة الت ل القیم و یمث اني وھ ین الث المئ100

ا 2 ات ویلیھ ن البیان م100ن 98 م

ن ٠البیانات وھكذا لباقي المئینات ة یمك ات في حالة التوزیعات التكراری حساب العشیرات و المئینتبدال ع اس یط م اب الوس ة حس نفس طریق ب

2n ـ ب

10n یر األول و للعش

10n2 ذا اني وھك یر الث للعش

یرات اقي العش تبدال ٠لب ا اس أیض2nـب

100n ین األول وللمئ

100n2 اقي ذا الب اني وھك ین الث للمئ

٠المئینات

مثال

:الحــل التالىجدول المعطاة في ) ب(و ) أ(الحسابات الالزمة لحساب

التكرار المتجمع

حدود العلیا ال للفئة

مركز الفئة

الحدود الفعلیة التكرار للفئة

حدود الفئة

025.1995.0 5 01.1 025.1أقل من 5 02.100.1 055.1025.1 25 04.1 055.1أقل من 30 05.103.1 085.1055.1 57 07.1 085.1أقل من 87 08.106.1

115.1085.1 40 1.1 115.1أقل من 127 11.109.1 145.1115.1 41 13.1 145.1أقل من 168 14.112.1 المجموع 168

.یع التكراري لتكالیف تجھیز عینة عشوائیة من نبات للتصدیریمثل التوز التالىالجدول

حدود الفئة 1.00-1.02 1.03-1.05 1.06-1.08 1.09-1.11 1.12-1.14 التكرار 5 25 57 40 41

:المطلوب إیجاد ٠الربیع األول والربیع الثالث) ب( ٠الوسیط والوسط الحسابي والمنوال) أ(

١٥

:الوسیط والوسط الحسابي والمنوال) أ( :الوسیط یحسب من الصیغة التالیة -

m

m

f

F2n

LQ

: حیث

L الحد األدنى الفعلي لفئة الوسیط، Fالتكرار المتجمع السابق لفئة الوسیط ،طول فئة الوسیط mf تكرار فئة الوسیط.

,842

1682n

,03.0,055.1L,57f,30F mm

083.10834.1)03.0(57

)3084(055.1Q

:یةالوسط الحسابي یحسب من الصیغة التال -

085.1168

37.182

f

xfx

i

k

1i

ii

k

1i

:المنوال ھو مركز الفئة التي یقابلھا أعلى تكرار أي - 070.1x

:الربیع األول والربیع الثالث) ب( :الربیع األول یحسب من الصیغة التالیة -

1

1Q

n F4Q Lf

1Q

n 168 42, F 30, f 57, L 1.055, 0.034 4

:أي أن

1

42 30Q 1.055 (0.03) 1.061357

:الربیع الثالث یحسب من الصیغة التالیة -

3

3Q

3n F4Q L .f

١٦

1Q

3n 3(168) 126, F 87, f 40, L 1.085, 0.03.4 4

:وعلى ذلك

3

126 87Q 1.085 (0.03) 1.114.40

Measures of Dispersionمقاییس التشتت ) ٥-١(

افي مقاییس النزعة المركزیة التي تمت مناقشتھا في البند السابق ال تكفي إلعطاء وصف كع مشاھداتھا ة توزی ا وال كیفی ال توضح طبیعتھ ط .لتوزیع فئة من المشاھدات ف اد فق ا أن االعتم كم

ن ة، فم ة المقارن ار حقیق ي إلظھ ة عدة مجموعات ال یكف ة لمقارن على أي مقیاس للنزعة المركزیوا نھم یختلف س الوسط الحسابي والوسیط ولك عن الممكن أن یكون لعدة مجموعات من البیانات نف

ام ھم تم تالفبعض ض .االخ ن بع ھا م ة بعض ات متقارب دى المجموع اھدات إح ون مش د تك فق .) متشتتة (أو مبعثرة ) متمركزة حول متوسطھا (

.في الجزء التالي سوف نقدم بعض مقاییس التشتت األكثر أھمیة المدى ونصف المدى الربیعي) ١-٥-١(

and semi interquartile range ngeThe ra

یعتبر المدى مقیاس للتشتت من السھل جدا حسابھ ویعطى فكرة سریعة جدا عن طبیعة ولكن من عیوبھ ٠البیانات ویستخدم كثیرا في مراقبة الجودة وكذلك في وصف األحوال الجویة

ظم البیانات كما أنھ ال أنھ یتأثر بالقیم الشاذة ویعطى معلومات خاطئة عن االنتشار الحقیقي لمع ٠یستخدم جمیع البیانات في حسابھ

:عند استخدام التوزیعات التكراریة فإن المدى یحسب بعدة طرق سوف نذكر منھا الطریقة التالیة .الحد األدنى الفعلي للفئة األولى-الحد األعلى الفعلي للفئة األخیرة= المدى

٠ال من المدى في حالة وجود قیم شاذةھناك مقاییس أخرى للتشتت یمكن استخدامھا بدتعتمد ھذه المقاییس على إھمال جزء من البیانات عند طرفي التوزیع حتى نتخلص من القیم

منھا 10%من المشاھدات وأصغر 10%فمثال بحذف أعلى ٠الشاذة وتسمى شبیھات المدى1090ي أ ينحصل على المدى المئین PP .

13منھا نحصل على المدى الربیعي أي 25%من البیانات وأصغر25%أیضا بحذف أعلى QQ

( الربیعي المدى وأخیرا ھناك مقیاس آخر یستنتج من المدى الربیعي وھو نصف ٠ 2ونحصل علیھ بقسمة المدى الربیعي على semi interquartile range)االنحراف الربیعي

- :فإن MRفإذا رمزنا لھ بالرمز .

2QQ

MR 13

مثال

ي ابیع ھ دى األس ام إح الل أی دن خ دى الم ي إح ة ف رارة المئوی ة الح ت درج : إذا كان9,15,18,12,13,9,22 : أحسب ما یلي

.الوسیط والوسط الحسابي والمنوال) ا (

١٧

.المدى الربیعي والمدى) ب ( :الحــل

الوسیط )أ( 22,18,15,13,12,9,9بالترتیب تصاعدیا

الوسیط ھو العدد الذي یقع في المنت 7وبما أن العدد فردي 13صف إذا :الوسط الحسابي

14798

7229131218159

: المنوال 9ھو القیمة األكثر شیوعااالنحراف الربیعي ) ب(

2QQ

MR 13

:یحدد من الصیغة التالیة موقع الربیع الثالث,75.5

42n3

ین المشاھدة ع ب م أي یق م 5رق ط 6والمشاھدة رق و الوس ث ھ ع الثال ة الربی ك یكون قیم ى ذل وعل :أي 6والمشاھدة رقم 5الحسابي للمشاھدة رقم

.5.162

1815Q3

:تالیة یحدد من الصیغة ال موقع الربیع األول.25.2

42n

م اھدة رق ین المش ع ب م 2أي یق اھدة رق ع 3والمش ة الربی ون قیم ك یك ى ذل ط االولوعل و الوس ھ :أي 3والمشاھدة رقم 2الحسابي للمشاھدة رقم

.5.102129Q1

.32

5.105.162

QQMR 13

:أصغر قیمة –أكبر قیمة : المدى22 9 13.

The average Deviationاالنحراف المتوسط) ٢-٥-١(

ل |x|تمث i أو|xx| i ابي ط الحس ن الوس ة ع راف أي قیم ة النح ة المطلق القیم ٠ع أو العینة على التوالىللمجتم

ف اھدات :تعری ن المش ة م دینا الفئ ت ل n21إذا كان x,...,x,x ن ط یمك راف المتوس إن االنح ، ف -:حسابھ من الصیغة التالیة

.n

|xx|D.M

n

1ii

مثال

ب خالل الفصل طالب في كلیة ما تم تسجیل ع 20 في عینة عشوائیة من اب لكل طال ام الغی دد أی 1,0,3,4,5,4,1,1,1,1,1,0,0,0,0,3,3,2,2,1: الدراسي األول وكانت كالتالي

١٨

:أحسب كال من .االنحراف المتوسط -المنوال -الوسیط -الوسط الحسابي

:الحــل :الوسط الحسابي

2010345411111000033221

n

xn

1ii

65.12033

:الوسیط ب التصاعدي للقیم بعد الترتی

5,4,4,3,3,3,2,2,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0

:وبما أن عدد القیم زوجي فإن الوسیط ھو الوسط الحسابي للقیمتین الوسطتین أي1

211

:المنوال xأي أن المنوال ھو ھو القیمة األكثر شیوعا 1.

:االنحراف المتوسط

28.120

6.25n

xxD.M

n

1ii

ف ت :تعری k21إذا كان x,...,x,x ة ا المقابل ع تكراراتھ راري م ع تك ة لتوزی ز الفئ ل مراك تمث

k21 f,...,f,f فإن االنحراف المتوسط ھو:-

.f

|xx|fD.M k

1ii

k

1iii

مثال

:التاليجدول الأوجد االنحراف المتوسط للبیانات في

|xx|f ii xx i التكرارif ixمركز الفئة 325.6 -29.6 11 34.5 235.2 -19.6 12 44.5 153.6 -9.6 16 54.5

9.2 0.4 23 64.5 176.8 10.4 17 74.5 224.4 20.4 11 84.5 304 30.4 10 94.5

المجموع 100 1428.8

١٩

:الحــل1.64xالوسط الحسابي ھو السابقجدول الوعلى ذلك فإن االنحراف المتوسط من ٠ :-

.288.14100

8.1428

f

|xx|fD.M k

1ii

k

1iii

The Variance التباین) ٣-٥-١(

N21إذا أعطیت مجتمع محدود :تعریف x,...,x,x فإن تباین المجتمع ھو:-

.N

)x(N

1i

2i

2

.یمكن الحصول علیھ بأخذ الجذر التربیعي للتباین االنحراف المعیاري، ویرمز لھ بالرمز n21 إذا سحبت العینة العشوائیة :تعریف x,...,x,x فإن تباین العینة الغیر متحیز ھو:-

n2

i2 i 1

(x x)s .

n 1

2sواالنحراف المعیاري للعینة ھو s -:وزیعات التكراریة فإن تباین العینة یحسب من المعادلة التالیة في حالة الت

].n

)fx(fx[

1n1s

k

1i

2iik

1ii

2i

2

) حیث

k

1ii nf (

مثال

:أوجد 8,10,6,14,14,12,18,20:أطفال، أعمارھم كالتالي 8أسرة لدیھا .ھذه البیاناتمقاییس النزعة المركزیة ل) ا ( .االنحراف المعیارى -االنحراف المتوسط -المدى الربیعي -المدى ) ب (

:الحــل :مقاییس النزعة المركزیة) ا (

: الوسط الحسابيn

ii 1

x 8 10 6 14 14 12 18 20 102 12.75.N 8 8

:الوسیط 20,18,14,14,12,10,8,6 بترتیب القیم تصاعدیا

ھو الوسط الحسابي للقیمتین الوسطتین، وبما أن عدد المشاھدات زوجي فإن الوسیط : أي

12 14x 13.2

٢٠

: المنوال 14X، أي أن المنوال ھو القیمة األكثر شیوعا . :الوسط الھندسي

8

ii 1

log xLog G

N

log8 log10 log6 log14 log14 log12 log18 log 20 8.6083.8 8

Log G 1.076G 11.915.

: أصغر قیمة –أكبر قیمة = المدى 20 6 14.

3:المدى الربیعي 1Q Q. :ترتیب الربیع األول ھو

n 2 8 2 2.5.4 4

بعد ترتیب المشاھدات 3والمشاھدة رقم 2أي أن الربیع األول ھو الوسط الحسابي للمشاھدة رقم :أن ، أي

1

8 10Q 9.2

:ترتیب الربیع الثالث ھو3n 2 (3 8) 2 6.5.

4 4

بعد ترتیب 7و المشاھدة رقم 6أي أن الربیع الثالث ھو الوسط الحسابي للمشاھدة رقم :أن ، أيالمشاھدات

3

14 18Q 16.2

:المدى الربیعي ھو

16 9 7. :االنحراف المتوسط

8

ii 1

x xM.D .

N

:ھو المتوسط االنحراف

875.122075.121875.121475.121475.121275.121075.12875.126

30 3.758

: التباین

28

i2 i 1

x

N

٢١

:واالنحراف المعیاري ھو2 19.938 4.465.

مثال

ان عدد أسماك ال م صیدھا بواسطة إذا ك ي ت المون الت م صیا 10س ن الموس وم األول م ي الی دین ف .ياراالنحراف المعی -االنحراف المتوسط -الوسیط : أوجد ، 3,5,6,7,7,7,7,8,9,10 :ھي

:الحــل ترتب:لحساب الوسیط 3,5,6,7,7,7,7,8,9,10القیم تصاعدیا

:زوجي فإن الوسیط ھو الوسط الحسابي للقیمتین الوسطتین وبما أن عدد المشاھدات

7الوسیط 7.72

:ھو االنحراف المتوسطn

ii 1

x x13.4M.D 1.34

n 10

: ھو التباین للعینة

n 2

i2 i 1

x x34.902s 3.878

n 1 9

s 3.878 1.969 -:لحاسبة وھي ھناك صیغة أخرى لحساب تباین العینة تفید عند استخدام اآللة ا

22 2 i

i( x )1s [ x ].

n 1 n

21 (69)[511 ] 3.878.9 10

ent of Variation Coefficiمعامل االختالف )٤-٥-١(

السابقة مقاییس مطلقة ألنھا تأخذ تمییز الوحدات األصلیة ولذلك تتعتبر كل مقاییس التشتلذلك سوف نناقش مقیاس نسبي . ال تصلح للمقارنة بین مجموعتین وحدات القیاس بینھما مختلفة

باعتبار أنھ نسبة مئویة یسمى معامل االختالف والذي یحول االنحراف المعیاري إلى مقیاس نسبي ویمكن حساب معامل االختالف. من الوسط الحسابي

:من إحدى المعادلتین التالیتین

100xsV

100أوV

لتسھیل استخدام معامل االختالف نقدم المثال التالي والذي یوضح كمیة اإلنتاج في شركة ما شھرا وقد تم حساب الوسط الحسابي 15ثم كمیة اإلنتاج خالل فترة ثانیة مقدارھا شھرا 80خالل

نالحظ . التالى االختالف لكل مجموعة والنتائج موجودة في الجدول واالنحراف المعیاري ومعاملحسابي أكبر ومعامل اختالف أقل والذي یعتبر شھرا لھ وسط 15من النتائج أن اإلنتاج خالل

٢٢

وبالرغم من أن . معامل االختالف نتاج وانخفاض نتائج جیدة لمدیر اإلنتاج والذي یھتم بزیادة اإلامل االختالف أن مع إال أنھ یمكن القول بناء على 15إلى 2.13االنحراف المعیاري قد زاد من

.كما ھو موضح فى الجدول التالى الفترة الثانیة أقل تشتتا من الفترة األولى

100xsV

s x الفترة

375.956.10

152.13

160125

1580

مثال

اري 15,000$في جامعة ما یتقاضى األستاذ في المتوسط ي 5,000$دوالر بانحراف معی ا ف بینمدره تاذ أجر ق ة أخرى یتقاضى األس اري 10,000$جامع انحراف معی د معامل 3,000$ب أوج

االختالف لكل جامعة وأي الجامعتین أكثر تشتتا ؟

: الحــل .الجدول التالىالحسابات الالزمة إلیجاد معامل االختالف لكل جامعة معطاة في

المتوسط االنحراف المعیاري معامل االختالف

333.0150005000

xsV

1

11 5000 15000 الجامعة األولى

3.0100003000

xsV

2

12 3000 10000 الجامعة الثانیة

.إذن الجامعة األولى أكثر تشتتا

مثال

>>>>>>>>>>

: الحــل

حدود الفئة الحدود الفعلية تكرار اإلناث تكرار الذكور مركز الفئة

5.15 110 100 5.165.14 1615

. ذكور واإلناث في كلیة ما یمثل التوزیع التكراري ألعمار مجموعة من ال التالى جدول ال

2423 2221 2019 1817 1615 العمر اإلناث 100 125 130 160 190

الذكور 110 131 150 146 200

.أوجد الوسط الحسابي واالنحراف المعیاري لكل من الذكور واإلناث ) أ( أوجد معامل االختالف لكل من الذك)ب( .ور واإلناث وأي المجموعتین أكثر تشتتا

٢٣

5.17 131 125 5.185.16 1817 5.19 150 130 5.205.18 2019 5.21 146 160 5.225.20 2221 5.23 200 190 5.245.22 2423

737 705

اإلناث الذكورx 14861.5/ 737 20.02 x 14272.5/ 705 20.10

2

2

s

1/ 736(306272.25) (14861.5) / 7372.822

1

2

s

1/ 704[295138.75 (14272.5) / 705]2.799

2V 2.822 / 20.02 0.1409 1V 2.799 / 20.20 0.139 نستنتج أن الذكور أكث . ر تشتتا

االلتواء والعالقة بین الوسط الحسابي والوسیط والمنوال) ٦-١(

Skewness and the Relation of the Mean , Median , and Mode

فإذا كان التوزیع ٠عرفنا مما سبق أن االلتواء ھو بعد التوزیع التكراري عن التماثل ىلاتلاشكل لاجانب من المنوال كما في من القیم تقع على كل %50متماثال فسوف نجد أن

وال واحد قباسلاشكل لاأیضا نالحظ من وال(unimodal أن التوزیع لھ من د المن وأن ) وحیابي ط الحس یط= الوس وال= الوس ي ٠المن ا ف كل لابینم ط ىلاتلاش ین الوس ة ب اك عالق د أن ھن نج

ا <الوسیط <وسیط والمنوال حیث الوسط الحسابيالحسابي وال ع ملتوی ك ألن التوزی وال وذل المنة الیسار ي ٠جھ ا ف ط الحسابي ریخالاشكل لابینم د أن الوس ك ألن >الوسیط >نج وال وذل المن

الوسط =الوسيط=المنوال الحسابي

50% 50%

x

f(x)

٢٤

ا ٠التوزیع ملتویا جھة الیمین وال كم ین الوسط الحسابي والمن ع ب وفي كلتا الحالتین فإن الوسیط یق ٠ط الحسابي یقع دائما في اتجاه القیم الشاذةأن الوس

حـواء والتفلطـس االلتـبعض مقایی) ٧-١(

Some Measures of Skewness and Kurtosis

بالنسبة لمقاییس االلتواء، سوف نتناول مقیاسین لاللتواء األول ویسمى معامل بیرسون أوال - :تعرف معادلة معامل بیرسون لاللتواء كالتالي Pearsonian coefficient for skewnessلاللتواء

s)x~x(3Sk

xحیث s الوسیط و ~xالوسط الحسابي و ینحصر قیمة معامل .االنحراف المعیاري للعینة 0Skعندما .3إلى 3بیرسون بین kSوإذا كانت قیمة .فھذا یعنى أن التوزیع متماثل

موجبة فھذا یعنى أن الوسط الحسابي أكبر من الوسیط ومن المنوال وبذلك یكون المنحنى ملتویا سالبة فھذا یعنى أن kSوأخیرا وإذا كانت قیمة .واء موجباولھ ذیل ناحیة الیمین ویكون االلت

.الوسط الحسابي أصغر من الوسیط ومن المنوال

مثال

f(x)

x

الوسيط

املنوال

الوسط احلسايب

f(x)

املنوال

الوسيط الوسط احلسايب

x

٢٥

ارب ، وارب للصید ق 10تمتلك شركة ما الیف صیانة كل ق دوالر(قامت الشركة بتسجیل تك ) بال :أوجد 500,505,460,470,530,506,994,880,600,460: وكانت كما یلي

. الربیع األول والربیع الثالث) ب( . الوسط الحسابي والوسیط والمنوال) ا( .لال لتواء بیرسونمقیاس ) د( . المدى والمدى الربیعي) ج(

:الحــل

الوسط الحسابي ) أ(5905x 590.5.10

: لتالي لحساب الوسیط ترتب البیانات ترتیب تصاعدي كا460,460,470,500,505,506,530,600,880,994.

~ 505 506x 505.5.2

460: ھو القیمة األكثر شیوعا أي أن المنوال ھو : المنوال :موقع الربیع األول ھو ) ب(

n 2 12 3.4 4

470=قیمة الربیع األول ھي :موقع الربیع الثالث

3n 2 32 8.4 4

600=قیمة الربیع الثالث ھي :المدى ھو ) ج(

994 460 534. : المدى الربیعي ھو

3 1Q Q 600 470 130. :لاللتواء یحسب من الصیغة التالیة مقیاس بیرسون ) د(

k

3(x x)S .s

:حیث 2 2

2 ( x)1 1 (5905)s x (3808497) 189.03.n 1 n 9 10

k

3(590.5 505.5)S 1.3489.189.031

.أي أن ھناك كمیة من االلتواء الموجبي ا ف ع تقریب إن الوسیط یق ة ف ات الملتوی ي التوزیع یعتمد المقیاس السابق لاللتواء على أنھ ف

31

ي شكل ا ف ( وشكل ) ١٧-٣( المسافة بین الوسط الحسابي والمنوال في اتجاه الوسط الحسابي كم

٢٦

در ولذلك سوف نتناول مقیاس آخر لاللتواء یعتمد عل .اوھذا غیر صحیح دائم ) ١٨-٣ ى العزم المق .من بیانات العینة

1حول المتوسط لفئة المشاھدات rالعزم :تعریف 2 nx ,x ,...,x ھو:-

nr

ir i 1

(x x)m .

n

:العزم الثالث حول الوسط الحسابي ھو المقیاس الثاني لاللتواء و الذي یعتمد على

.sma 3

3

1

1aإذا كانت 0 ذا لال، فھ ع متماث ى أن التوزی دل عل ان .ی 0a1وإذا ك ع موجب ون التوزی یك1aوإذا كان ٠اإللتواء 0 1aتماثل فإن إذا كان التوزیع م .االلتواءیكون التوزیع سالب 0.

تفلطح اییس ال بة لمق ا بالنس ط ثانی ول المتوس ع ح زم الراب ى الع د عل اس یعتم اول مقی وف نتن س -:معادلتھ ھي

4

2 4ma .s

ت 2aإذا كان 3 تفلطح ط ال ع متوس ى أن التوزی ذلك یعن ان .، ف 2aوإذا ك 3 ذ ى أن ف لك یعن2aالتوزیع لھ قمة مدببة وإذا كان 3 .فھذا یدل على أن التوزیع مفلطحا

مثال

ن وائیة م ة عش رت عین ت 10اختی مار وكان غط الضروري لكسر المس ة الض دیر كمی امیر لتق مسالي ائج كالت ال 18,22,26,25,27,26,19,17,22,20: النت ب ك ن أحس ابي : م ط الحس –الوس

یط وال –الوس ط –المن راف المتوس اري –االنح راف المعی واء -االنح اس االلت اس 1aمقی ومقی .2aالتفلطح

:الحــل :الوسط الحسابي

n

ii 1

x18 22 26 25 27 26 19 17 22 20x 22.2

n 10

:إلیجاد الوسیط :فإن وسیط العینة یكون 17,18,19,20,22,22,25,26,26,27أي بترتیب البیانات تصاعدیا

~ 22 22x 22

2

ھو القیمة األكثر شیوعا أي أن المنوال 22,26 :المنوال ھو

:االنحراف المتوسط یحسب من الصیغة التالیة

٢٧

n

ii 1

x x 4.2 0.2 3.8 2.8 4.8 3.8 3.2 5.2 0.2 2.2M..D 3.04.n 10

:االنحراف المعیاري ھو

n2

n i2 i 1

ii 1

( x )1s x ,n 1 n

s 3.64. :یحسب من الصیغة التالیة االلتواءمقیاس

3

1 3

mas

:حیث n

3i

3 i 1

1 3

(x x) 15.84m 1.58 ,n 10

1.584a 0.0327.(3.645)

.أي أن ھناك التواء سالب بسیط ألن قیمتھ سالبة :مقیاس التفلطح یحسب من الصیغة التالیة

4

2 4

ma ,s

:حیث n

4i

4 i 1(x x)

mn

2

2179.95 217.9 ,10217.9a 1.234.

176.510

. 3أي أن التوزیع مفلطح ألن قیمتھ أقل من

مثال

ام الل ع ھریا خ ذة ش اریع المنف دد المش ع ع ي توزی ا یل رول1995فیم ركة بت ي ش : ف :حسب ا 15,11,7,6,8,10,12,6,8,9,6,13

.المدى الربیعي -المدى –االنحراف المعیاري –المنوال –الوسیط –الوسط الحسابي ) أ( .مقیاس االلتواء لبیرسون -طحومقیاس للتفل 1aمقیاس لاللتواء )ب(

٢٨

:الحــل الوسط الحسابي

111x 9.25.12

:لحساب الوسیط نرتب المشاھدات تصاعدیا كالتالي

6,6,6,7,8,8,9,10,11,12,13,15. :فیكون الوسیط

8 9 8.5.2

6= المنوال المنوال ھو القیمة األكثر شیوعا أي أن

التباین أوالإلیجاد االنحراف المعیاري نوجد 2

2 i(x x) 98.25s 8.9318.n 1 11

إذن االنحراف المعیاري ھو7.178 2.9886.

: موقع الربیع األول ھو n 2 3.5.

4

:ي قیمة الربیع األول ھ

1

6 7Q 6.5.2

موقع الربیع الثالث ھو 3n 2 9.5.

4

:قیمة الربیع الثالث ھي

3

11 12Q 11.5.2

3 :المدى الربیعي ھو 1Q Q 5 مقیاس االلتواء لبیرسون ) ب(

3(9.25 8.5) 0.7530 .2.988

2یحسب كل من 1a ,a تمرینك.

)٩٤-٣(مثال

٢٩

ن وائیة م ة عش ؤال عین م س ا 10ت ن المس ال ع ال (فة عم ي یق) باألمی ذھالت ي ال ا ف ى طعونھ اب إلي ا یل ت كم ا وكان ون بھ ي یعمل د . 25,6,1,2,4,8,5,6,5,4:المزرعة الت ع : أوج الوسیط والربی

.مقیاس لاللتواء وآخر للتفلطح –األول والربیع الثالث والمدى الربیعي

:الحــل 25,8,6,6,5,5,4,4,2,1إلیجاد الوسیط نرتب الفئات تصاعدیا

5 :ھى الوسیط قیمة2

55

3 : موقع الربیع األول4

124

2n

. 4إذن الربیع األولQ1

8 : موقع الربیع الثالث4

324

2n3

. 6إذن الربیع الثالثQ3

246Q Q :المدى الربیعي 13 :معامل االلتواء ھو

3

3

1 sma

4

i )xx( 3i )xx( 2

i )xx( )xx( i ix 8736.114622 504.6229 56.338 4.18 25

1296. 216. 36. 6. 6 4496.983 616.175 36.31 6.5 1 7456.447 336.97 16.21 6.4 2 6976.45 576.17 76.6 6.2 4 8416.3 744.2 96.1 4.1 8 5536.6 096.4 56.2 6.1 5 1296. 216. 36. 6. 6 5536.6 096.4 56.2 6.1 5 6976.45 576.17 76.6 6.2 4

المجموع 5915.52 672.116162 :تباین العینة ھو

2

2 2 ii

( x )1 1s x 848 435.6 45.8222n 1 n 9

s 6.7692.

:معامل االلتواء یحسب من الصیغة التالیة 3

1 3ma ,s

:معامل التفلطح یحسب من الصیغة التالیة4

2 4

ma .s