ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ КАЗЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«АКСАЙСКИЙ ДАНИЛЫ ЕФРЕМОВА КАЗАЧИЙ КАДЕТСКИЙ КОРПУС»

МИНИСТЕРСТВА ОБОРОНЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

СБОРНИК

МЕТОДИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ ПО ТЕМАМ

САМООБРАЗОВАНИЯ, ПО ПОДГОТОВКЕ К

ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ

(Предметно-методическая комиссия – математика,

информатика и ИКТ)

п. Рассвет

2017

2

УДК 372.851

ББК 74.262.21

С 23

С 23

Сборник методических материалов по темам самообразования, по

подготовке к государственной итоговой аттестации – пос. Рассвет: Изд-во

АДЕККК, 2017. – 80 с.

В сборнике представлены методические материалы по темам

самообразования и подготовке к ГИА преподавателей ПМК «Математика,

информатика и ИКТ».

Сборник предназначен для преподавателей довузовских

образовательных организаций.

Рекомендовано к изданию методическим советом АДЕККК

(протокол № 7 от 24.03.2017 г.)

УДК 372.851

ББК 74.262.21

Материалы опубликованы в авторской редакции.

Ответственные за выпуск:

Стрельцова М.В., Горлач С.Е.

© ФГКОУ «Аксайский Данилы Ефремова

казачий кадетский корпус» МО РФ, 2017

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.Методическая разработка рабочей программы по теме «Неравенства» в

логике ФГОС для 8-го класса

Хачатурова Татьяна Федоровна, преподаватель математики, высшая

квалификационная категория……………………………………………………......

2. Методическая разработка системы итогового повторения

курса алгебры 7-9 классов

Хачатурова Татьяна Федоровна, преподаватель математики, высшая

квалификационная категория………………………………………………………..

3. Методическая разработка «Подготовка к ЕГЭ, часть 1»

Ламок Владимир Юрьевич, преподаватель информатики и ИКТ……………

4. Методическая разработка по алгебре и началам анализа для 10 класса

(Тема самообразования «Формы организации самостоятельной

деятельности на уроках математики»)

Тема «Решение тригонометрических уравнений»

Петрова Светлана Сергеевна, преподаватель математики, первая

квалификационная категория………………………………………………………..

5. Методическая разработка «Подготовка к ЕГЭ. Уравнения. Приемы и

методы решения»

Трофимова Ирина Александровна, преподаватель математики…………….

4

Методическая разработка рабочей программы по теме «Неравенства»

в логике ФГОС для 8-го класса

Хачатурова Татьяна Федоровна,

преподаватель математики,

высшая квалификационная категория

1. Пояснительная записка

1.1 Актуальность

1.2 Цели и задачи методической разработки

1.3 Планируемый результат

2. Разработка программы по теме «Неравенства»

3. Список использованной литературы и интернет-ресурсов

«Каждый день, в который вы не пополнили своего

образования хотя бы маленьким, но новым для вас

куском знания... считайте бесплодно и невозвратно

для себя погибшим»

К.С. Станиславский

1. Пояснительная записка

Развитие личности в системе образования обеспечивается, прежде

всего, через формирование универсальных учебных действий (УУД),

которые выступают инвариантной основой образовательного и

воспитательного процесса. УУД создают возможность самостоятельного

5

успешного усвоения новых знаний, умений и компетентностей, включая

организацию усвоения, то есть умения учиться.

В широком значении термин «универсальные учебные действия»

означает умение учиться, т.е. способность субъекта к саморазвитию и

самосовершенствованию путем сознательного и активного присвоения

нового социального опыта.

В более узком термин «универсальные учебные действия» можно

определить как совокупность способов действия обучающегося,

обеспечивающих его способность к самостоятельному усвоению новых

знаний и умений, включая организацию этого процесса.

Современному обществу требуется человек, способный самостоятельно

ставить учебные цели, проектировать пути их достижения, контролировать и

оценивать свои достижения. Иначе говоря, обладающий умением учиться.

1.1 Актуальность

Рабочая программа педагога - это нормативный документ, созданный

на основе примерной программы по учебному предмету, с учетом типа

образовательного учреждения, средств обучения, особенностей контингента

обучающихся и т.д.

Главное назначение рабочей программы педагога – обеспечение

гарантий получения учащимися образования в соответствии с ФГОС.

1.2 Цели и задачи методической разработки

Цели и задачи разработки Рабочей программы – это повышение

качества образования, повышение профессионального мастерства педагога,

обеспечение достижения обучающимися результатов освоения обязательного

минимума содержания образования, обеспечение конституционного права

граждан Российской Федерации на получении качественного общего

образования.

6

1.3 Планируемый результат

Успешное усвоение данной темы всеми учащимися. Формирование у

обучающихся самостоятельно выстраивать маршрут своих действий при

изучении математики

2. Разработка темы «Неравенства»

1 этап

Оценочно-ценностная рефлексия нормативно-методической

документации в логике ФГОС: основные результаты и выводы

1. Вербальная форма описания требований к математической

подготовке

Уровень обязательной подготовки (УОП) обучающегося

(использованы в качестве методического ориентира материала «Требования

к математической подготовке», Примерная программа. Москва.

Просвещение. 1994г.):

• правильно употреблять термин «неравенство»: линейное

неравенство, система неравенств, понимать его в тексте, в речи учителя;

• понимать формулировку задания: решить неравенство, решить

систему неравенств.

Уровень возможностей (УВ) обучающегося (Сборник заданий для

проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы,

Кузнецов Л.В., Дрофа, 2002г., стр.108-111 , степень сложности 2)

• осмыслить понятия: строгое и нестрогое неравенство, линейное

неравенство, система неравенств, двойное неравенство;

• освоить приёмы решения линейных неравенств и их систем;

• уметь осуществлять перенос знаний в изменённую ситуацию.

• Знать/понимать: как используются неравенства; примеры их

применения для решения математических и практических задач;

7

• Уметь: уметь решать неравенства с одной переменной и их

системы; изображать множество решений линейного неравенства на

числовой прямой.

• Использовать приобретённые знания и умения в

практической деятельности и повседневной жизни.

В вербальной форме требований на уровне возможностей выпускников

нет ни в одном нормативе.

2.Описание требований к подготовке выпускника на языке

«математических задач»

Уровень обязательной подготовки выпускника (Сборник заданий

для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9

класс, Дрофа, 2005, используемый в ходе аттестации выпускников основной

школы за курс алгебр в традиционном формате):

• Решите неравенство: стр. 168 - № 651, 663;

• Ответить на вопрос, решив неравенство: стр. 169- № 699;

• Решить двойное неравенство: стр. 172- № 773;

• Решить двойное неравенство и указать два каких -нибудь

числа, являющихся его решением: стр. 172 – № 767, 770

• Ответить на вопрос, решив двойное неравенство: стр. 172- № 781;

• Решить систему неравенств: стр. 170 - № 711, 727..

Аналогичные задания - в методических ориентирах:

• «Оценка качества». Дрофа, 2000, на стр.27 № 131, 132, 133, 134, 135,

136, на стр. 21 № 46, 47.

Уровень возможностей выпускника (Сборник заданий для

проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9

класс, Дрофа, 2002): Неравенства, сводящиеся к квадратным неравенствам

• Решите неравенство: стр. 108 - №122;

• Найти наибольшее (наименьшее) целое решение, при котором

разность (сумма) дробей положительна (отрицательна): стр. 108 - № 123;

• Найти решения двойного неравенства, принадлежащие данному

8

промежутку: стр. 109 - № 127;

• Решить систему неравенств: стр. 111 - № 139, 142.

Используя в своей работе разнообразные методические пособия

находишь противоречия между требованиями к уровню подготовки

обучающихся. Возникает необходимость отсроченности результатов во

времени и поэтапности, в предъявлении обязательных требований к

подготовке каждого обучающегося, чтобы он смог к окончанию 9-ого класса

осознанно овладеть прочной базовой математической подготовкой.

Контрольные работы по данной теме в дидактических материалах по алгебре

не учитывают этот факт. Вот почему в школьной практике современному

учителю, заботящемуся о хорошем конечном результате, необходимо

разработать соответствующую систему контроля математической подготовки

школьников на основании оценочно-ценностной рефлексии нормативно -

методической документации в логике ФГОС.

Вывод. Отсюда вытекает необходимость в составлении учителем

нормативно-обоснованной контрольной работы в логике ФГОС,

учитывающей вышеназванный принцип и поэтапность требований к

математической подготовке школьника.

На основании анализа всего вышеперечисленного можно

сформулировать цель данной темы и спроектировать ее реализацию в

образовательном процессе в логике ФГОС следующим образом.

2 этап

Постановка цели и проектирование процесса ее реализации

Пояснительная записка

Рабочая программа по теме «Неравенства» к учебнику «Алгебра».

Учебник для общеобразовательных учреждений 8 класс. Авторы Ю.Н.

Макарычев, Н.Г.Миндюк и др., Просвещение, 2015.

9

Нормативно-методические документы, обеспечивающие

реализацию программы:

1. Закон РФ «Об образовании».

2. Обязательный минимум содержания основного общего образования

по математике, 2004 г.

3. Программа для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев.

Математика. Дрофа, Москва, 2004 г.

4. Федеральный компонент государственного стандарта общего

образования по математике. Москва. Дрофа. 2004 г.

Тема «Неравенства» изучается 19 часов.

Раздел математики. Сквозная линия. Уравнения и неравенства.

Основное содержание темы:

• Числовые неравенства и их свойства. Почленное сложение и

умножение числовых неравенств. Погрешность и точность приближения.

Линейные неравенства с одной переменной и их системы.

Цель в логике ФГОС:

организация в процессе изучения данной темы продуктивной

деятельности обучающихся, направленной на достижение ими следующих

результатов:

• Личностные

приобрести или реализовать:

1. Ответственность, инициативность, находчивость, активность при

решении математических задач.

2. Трудолюбие, усидчивость, заинтересованность.

3. Любознательность, стремление к самостоятельности в поисках

дополнительных источников информации.

4. Критичность мышления.

10

• Метапредметные: Познавательные:

1. Излагать информацию, интерпретируя факты, разъясняя значение и

смысл теории.

2. Применять знания в стандартной ситуации (самостоятельное

выполнение заданий).

3. Осуществлять перенос знаний в изменённую ситуацию, видеть

задачу в контексте проблемной ситуации.

4. Находить в различных источниках информацию, необходимую для

решения практической задачи, представлять её в понятной форме.

5. Устанавливать взаимосвязь полученных знаний с окружающей

действительностью.

6. Моделировать практическую ситуацию, исследовать построенные

модели с использованием имеющейся системы знаний.

Коммуникативные:

1. Уметь точно, грамотно излагать свои мысли, выстраивать

аргументацию.

2. Использовать примеры для иллюстрации и контрпримеры для

опровержения утверждений.

3. Участвовать в диалоге, признавать право на иное мнение.

4. Владеть умениями совместной деятельности.

Регулятивные:

1. Уметь самостоятельно обнаруживать и формулировать учебную

проблему, определять цель учебной деятельности.

2. Фиксировать затруднения и устанавливать их причины, а затем

устранять их.

3. Овладеть навыками самоконтроля и оценки собственной

деятельности.

• Предметные:

Уровень обязательной подготовки

1. Знать и правильно употреблять термин «неравенство»: числовое

11

неравенство, линейное неравенство, система неравенств; понимать его в

тексте, в речи учителя;

2. Различать линейное уравнение и линейное неравенство;

3. Знать и уметь формулировать свойства числовых неравенств;

4. Видеть свойства числовых неравенств в алгоритме решения

линейных неравенств;

5. Понимать формулировку задания «решить неравенство»: линейное

неравенство, двойное неравенство, систему линейных неравенств;

6. Знать понятие числового промежутка (интервал, отрезок, луч), уметь

изображать их на числовой прямой;

7. Определять, является ли данный промежуток решением данного

неравенства;

8. Понимать суть понятия: алгоритм;

9. Уметь решать неравенства вида ax<b, ax>b при a<0 и a>0.

10.Усвоить алгоритм решения линейных неравенств и их систем,

приводить линейное неравенство к стандартному виду ax<b, ax>b;

11.Уметь решать по алгоритму линейные неравенства, двойные

неравенства, системы линейных неравенств и изображать их решение на

числовой прямой.

Уровень возможностей обучающихся

1. Знать и правильно употреблять понятие строгого и нестрогого

неравенств;

2. Доказывать алгебраически свойства числовых неравенств, уметь

применять свойства числовых неравенств в ходе решения задач, в частности

при выполнении упражнений на оценку выражений по методу границ;

3. Уметь осуществлять перенос знаний в изменённую ситуацию,

видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации;

Уровень возможностей обучающихся*

1. Расширить систему знаний о способах решения линейных

неравенств (понимать и решать неравенства 0x>b и 0x<b при b<0, b>0, b =0)

12

, систем неравенств и двойных неравенств, в нестандартных ситуациях

(рассмотреть решение линейных неравенств, систем линейных неравенств,

двойных неравенств различного уровня сложности).

Тематическое планирование «Неравенства»

№

урока

Содержание материала. Степень

сложности

Количество

часов

1 Числовые неравенства. 1

2-3 Свойства числовых

неравенств.

2

4-5 Сложение и умножение

числовых неравенств.

Решение неравенств вида

ax<b, ax>b.

2

6-7 Числовые промежутки. 2

8-10 Решение неравенств с одной

переменной.

3

11-14 Решение систем неравенств с

одной переменной

4

15 Доказательство неравенств.

Решение линейных

неравенств и их систем.

1

16 Погрешность и точность

приближения. Решение

линейных неравенств и их

систем.

1

17 Пересечение и объединение

множеств. Решение линейных

неравенств и их систем.

1

18-19 Контрольная работа. 2

Обозначения:

1. «Зеленый» треугольник - учебный материал, обязательный для

усвоения каждым школьником (или вариант содержания; уровень требований

к усвоению, соответствующий уровню обязательной подготовки ), (УОП).

13

2. «Желтый» квадрат – учебный материал который могут усвоить

обучающиеся (или вариант содержания; уровень требований к усвоению,

соответствующий уровню возможностей ), (УВ).

3. «Красный» круг – учебный материал, который могут усвоить

одаренные в математической области школьники, любящие математику

(вариант содержания или дополнительный материал; уровень усвоения

определяет степень конкурентноспособности ученика в математическом

«мире»),(УВ*).

Нормативно - обоснованная контрольная работа в логике ФГОС

Пояснения к контрольной работе по алгебре для 8 класса по теме

«Линейные неравенства и их системы»

Структура контрольной работы

Работа состоит из трёх частей и содержит 24 задания.

Часть I содержит 10 заданий базового уровня: 6 заданий с выбором

верного ответа и 4 задания с кратким ответом.

Часть II содержит 7 заданий с развернутым ответом, соответствующих

уровню возможностей и доступных учащимся, хорошо успевающим по

математике.

Часть III содержит 7 заданий с развернутым ответом, соответствующих

уровню возможностей, но доступных учащимся с высоким уровнем

математической подготовки, любящим занятия математикой. Это задания

повышенной сложности, задания математических олимпиад.

Порядок проведения работы

На выполнение данной работы даётся 80 минут.

Проводится работа в два этапа. При этом реализуется основной

принцип итоговой аттестации в основной школе: успешное выполнение

заданий второй части работы не компенсирует отсутствие результата

выполнения заданий первой части. Оценивание осуществляется способом

«сложения».

14

На первом этапе в первый день в течение 35 мин обучающиеся

выполняют только первую часть работы (один вариант для всех) и сдают

тетради, выписав ответы в рабочую тетрадь. В оставшиеся 10 минут урока

(урок длится 45 минут) после сдачи обучающимися контрольных работ

проводится проверка ответов и устанавливается, кто из учеников преодолел

«порог» (50% верно выполненных заданий первой части, позволяющий

получить положительную отметку). Проводится анализ возможных причин

затруднений школьников и допущенных ошибок.

На втором этапе во второй день в течение 45 минут обучающиеся, не

прошедшие «порог» в первый день, вновь пытаются это сделать, решая

задания первой части (другой вариант). Остальные выполняют задания

второй и третьей части работы. При этом некоторые из них могут попытаться

улучшить результат выполнения заданий первой части.

Оценивание

Правильное решение каждого из заданий 1-10 части I контрольной

работы оценивается 1 баллом. Полное правильное решение каждого из

заданий II части оценивается следующим образом: 11-14 - по 2 балла; 15 - 17

- 3балла; III часть: 18-24 -по 4 балла.

Максимальное количество баллов - 55.

Для получения положительной отметки необходимо преодолеть

«порог», то есть выполнить верно не менее пяти заданий первой части

контрольной работы. Это отвечает минимальному уровню подготовки,

подтверждающему освоение учеником 8 класса содержания основной

общеобразовательной программы по данной теме.

К каждому заданию с развёрнутым ответом, включённому в

контрольную работу, учащимся может быть предложено несколько способов

решения, за каждый из которых даётся бонус - дополнительный балл.

Предполагается, что такой подход даёт возможность обучающемуся:

- проконтролировать себя, подтвердив правильный ответ, решая

задачу другим способом, или обнаружить ошибку в решении при

15

несовпадении ответов (опыт рефлексивной деятельности -

метапредметный результат);

- проявить оригинальность мышления и математические

способности (личностный результат);

Проверяющим: выявить обучающихся, обладающих способностями

мыслить творчески, оригинально, критично; а также математически

одаренных детей.

Нормы оценивания

Для оценивания результатов выполнения работы применяются два

количественных показателя: отметки «2», «3», «4», или «5» и рейтинг - сумма

баллов за верно выполненные задания. За задание, выполненное несколькими

способами, начисляются бонусы (дополнительные баллы) - по одному баллу

за каждый способ решения. За каждое верно выполненное задание базового

уровня (части I) начисляется 1 балл.

Отметка «3» выставляется за верное выполнение 50 - 80% заданий

базового уровня ( 5 - 8 заданий) - 5 - 8 баллов. Тем самым задается динамика

достижений обучающихся на базовом уровне.

Отметка «4» выставляется, если набрано от 9 до 15 баллов. Тем

самым задается динамика достижений обучающихся на повышенном уровне.

Для получения отметки «5» необходимо верно выполнить 90%-100%

заданий части I* и любые 2 задания (одно из которых трехбалльное) части П.

Кроме того, за каждые дополнительные 4-5 баллов (каждые две

дополнительно решенные задачи из части II или одну задачу из части III)

ученик получает дополнительно отметку «5» (это личностный результат).

Тем самым задается динамика достижений обучающихся на высоком уровне,

поощряется стремление к оригинальности решения математических задач, то

есть к достижению личностного результата.

*3амечание для преподавателя:

ученик должен иметь право на ошибку в процессе учения, как любой

человек в стрессовой ситуации, коей является урок контроля.

16

• Инструкция по выполнению работы для обучающегося**

Работа состоит из трёх частей и содержит 24 задания.

Часть I содержит 10 заданий базового уровня: 6 заданий с выбором

верного ответа и 4 задания с кратким ответом. Задания части I считаются

выполненными, если указана буква верного ответа (в заданиях 4,5,6,7, 8, 9),

дан верный ответ в виде числа или величины (в заданиях 1,2,3,10) и при этом

верно обоснован*** любым способом (приведена цепочка логических

умозаключений; даны контр примеры, представлено кратко или полностью

письменное решение и др.).

Часть II содержит 7 заданий с развернутым ответом, соответствующих

уровню возможностей и доступных учащимся, хорошо успевающим по

математике. При их выполнении надо записать полное решение и ответ.

Часть III содержит 7 заданий с развернутым ответом, соответствующих

уровню возможностей, но доступных учащимся с высоким уровнем

математической подготовки, любящим занятия математикой. Это задания

повышенной сложности, задания математических олимпиад.

На выполнение контрольной работы даётся 80 минут.

Проводится работа в два этапа. При этом реализуется основной

принцип итоговой аттестации в основной школе: успешное выполнение

заданий второй части работы не компенсирует отсутствие результата

выполнения заданий первой части. Оценивание осуществляется способом

«сложения».

На первом этапе в первый день в течение 35 мин ученики выполняют

только первую часть работы. В оставшиеся 10 минут урока после сдачи

обучающимися контрольных работ проводится проверка ответов и

устанавливается, кто из школьников не преодолел «порог», позволяющий

получить положительную отметку. Проводится анализ возможных причин

затруднений школьников и допущенных ошибок.

17

На втором этапе во второй день в течение 45 минут ученики, не

прошедшие «порог» в первый день, вновь пытаются это сделать, решая

задания первой части (другой вариант). Остальные обучающиеся выполняют

задания второй и третьей части работы. При этом некоторые могут

попытаться улучшить результат выполнения заданий первой части.

Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не

удаётся выполнить сразу, и переходить к следующему. К выполнению

пропущенных заданий можно вернуться, если у вас останется время.

Желаем успеха!

**Замечание для преподавателя

С данной инструкцией необходимо ознакомить школьников до проведения контрольной работы. Инструкция и текст работы выдаются каждому школьнику.

***3амечание для преподавателя

Полугодовые и годовые работы по объему контролируемого содержания намного превосходят текущие контрольные работы, поэтому в них не требуется обоснование ответа в заданиях первой части. В текущих же - это важный элемент контроля, поскольку на этом этапе учения важен не столько верный ответ, сколько путь к нему.

Контрольная работе по алгебре для 8 класса по теме «Линейные

неравенства и их системы»

Часть 1(УОП)

№1. Изобразите на числовой прямой промежуток [−2; 5].

№2. Запишите обозначение промежутка, изображенного на числовой

прямой:

5

№3. Какое выражение является линейным неравенством с одной переменной:

1) 2х + 6 = 1,23; 2) 56 – 3х < 4х + 21 3) 5х2 - 3 > 6 4) х – у ≥ 8?

№4. Решите неравенство: -2х >16.

-2

18

№5. Выберите числовой промежуток, который является решением

неравенства : 3 – х > 3х + 5

1) (−∞; 0,5); 2) (−0,8; +∞) ; 3) (−∞; 0,5]; 4) (−0,8; +∞).

№6. Решите неравенство 7х − 3 > 3х + 5 и укажите, на каком рисунке

изображено его решение:

1) 3)

2) 4)

№7. Решите неравенство: 3(х + 3) > −6 − 2х.

1) х > −3; 2) х < −3; 3) х > 3; 4) х < 3.

№8. Решите систему неравенств:{х + 5 < 6;4 − х > 7.

1) (−∞; −3); 2) (−3; 1); 3) (−∞; −11); 4) (-11;11).

№9.Решить систему неравенств:{5х ≥ −5,2х < 3.

№10. На каком рисунке показано решение системы неравенств:

{2х − 10 < 0;−3х − 6 < 0.

1) 3)

2) 4)

Часть 2. (УВ)

№ 11. Решите неравенство: 7 – 2х ≤ -23 – 5(х – 3).

№12. Решите систему неравенств:{−2х − 5 < 0,

5х + 8 ≥ −3х,−3х + 3 ≥ −5 − 8х.

-2

-2

-2 2

- 2 5 -2

5 2 -5

2

19

№13. О числах a и с известно, что 𝑎 < 𝑐. Какое из следующих неравенств

неверно?

1) 𝑎 − 31 < 𝑐 − 31; 2) 𝑎 + 34 < 𝑐 + 34; 3) −𝑎

10< −

𝑐

10; 4)

𝑎

19<

𝑐

19.

№15. Найдите наибольшее целое значение х, при котором

выражение 5х−10

2принимает отрицательные значения.

№16.При каких значениях х верно неравенство: х+8

12>

7+х

4 -

5−х

3

№17. Оцените периметр прямоугольника со сторонами а (см) и в(см),

если известно, что 4<а < 5,9<в <10.

Часть3. (УВ*)

№18.Найдите решения двойного неравенства 1 ≤ 0,5х − 3 ≤ 3 ,

принадлежащие промежутку: [3;10].

№ 19. Решите неравенство: 3(х – 2) + 2 – (4 – 3х).

№20. Найдите область определения функции: √3х−21

7−х.

№21. Найдите значения х, при которых решения неравенства

1

5−

5х−6

8≥

−3х+2

4, принадлежат промежутку [−6; 0].

№22*.Три друга живут в соседних домах, следующих друг за другом: под

номерами 34, 36 и 38. У каждого из них разный цвет волос и разное хобби.

Брюнет любит удить рыбу. Блондин живет в доме, номер которого делится на

4. А тот, кто любит играть в футбол, счастлив, потому, что сумма цифр

номера его дома в точности равна 11, что равно числу игроков команды в его

любимом виде спорта. В доме, с каким номером живет человек, чье хобби -

музыкальная жизнь?

№23*. Автобусу нужно 30 минут, чтобы добраться из пункта А в пункт Б.

Автобусы из пункта А отправляются каждые две минуты. Одновременно с

одним из автобусов из пункта А в пункт Б отправился автомобиль.

Автомобилю требуется 7,5 минут, чтобы добраться до пункта Б. Сколько

автобусов обгонит на своем пути автомобиль?

20

№24*. Улитка, длина туловища которой 5 см, хочет выползти из сырого

колодца, используя для этого вертикальные стены. Улитка поднимается на 10

размеров своего туловища за 1 минуту, на 9 размеров за вторую и т.д.

После 10 минут подъема улитка останавливается для небольшого отдыха.

Отдохнув, она продолжает двигаться в той же манере. Улитка стартовала со

дна колодца, но на полпути соскользнула вниз и оказалась на высоте, равной

1/4 всей глубины колодца. Здесь она отдохнула снова, и затем, после 10

минут подъема тем же способом, что и раньше, она была все еще только на

2/3 оставшейся ей дороги наверх. Какова глубина колодца?

3. Список использованной литературы и интернет-ресурсов

1. Ю.Н. Макарычев, К.И. Нешков, Н.Г. Миндюк, С.Б. Суворова. Алгебра. 7

класс: учебник для общеобразовательных учреждений. Москва:

«Просвещение», 2015г.

2. Л.И. Звавич, Л.В. Кузнецова, С.Б .Суворова. Алгебра. Дидактические

материалы. 7класс. Москва: «Просвещение», 2015г.

3. И.Л. Гусева, С.А. Пушкин, Н.В. Рыбакова. Сборник тестовых заданий для

тематического и итогового контроля. Алгебра. 7.8 класс. Москва:

«Интеллект – центр», 2007г.

4. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. Программы для общеобразовательных

школ, гимназий, лицеев: математика. 5-11 классы. Москва: Дрофа, 2004г.

5. Л.В. Кузнецова. С.В. Суворова и др. Сборник заданий для подготовки к

государственной итоговой аттестации в 9 классе. Просвещение 2009г.

6. Э.Д. Днепров, А.Г. Аркадьев. Сборник нормативных документов.

Математика. Москва: Дрофа, 2004г.

7. «Оценка качества». Дрофа, 2000

Интернет- ресурсы: http://www.prosv.ru - сайт издательства «Просвещение» (рубрика

«Математика»)

http:/www.drofa.ru - сайт издательства Дрофа (рубрика «Математика»)

http://www.center.fio.ru/som - методические рекомендации учителю-

предметнику (представлены все школьные предметы). Материалы для

самостоятельной разработки профильных проб и активизации процесса

обучения в старшей школе.

http://www.edu.ru - Центральный образовательный портал, содержит

нормативные документы Министерства, стандарты, информацию о

проведение эксперимента, сервер информационной поддержки Единого

государственного экзамена.

21

http://www.internet-scool.ru - сайт Интернет – школы издательства

Просвещение. Учебный план разработан на основе федерального базисного

учебного плана для общеобразовательных учреждений РФ и представляет

область знаний «Математика». На сайте представлены Интернет-уроки по

алгебре и началам анализа и геометрии, включают подготовку сдачи ЕГЭ,

ГИА.

http://www.legion.ru – сайт издательства «Легион»

http://www.intellectcentre.ru – сайт издательства «Интеллект-Центр», где

можно найти учебно-тренировочные материалы, демонстрационные версии,

банк тренировочных заданий с ответами, методические рекомендации и

образцы решений

http://www.fipi.ru - портал информационной поддержки мониторинга

качества образования, здесь можно найти Федеральный банк тестовых

заданий.

Методическая разработка

системы итогового повторения курса алгебры 7-9 классов

Хачатурова Татьяна Федоровна,

преподаватель математики,

высшая квалификационная категория

Для успешного прохождения итоговой аттестации необходима

регулярная и целенаправленная подготовка.

Главной дидактической целью уроков повторения курса алгебры

является обобщение и систематизация знаний, полученных обучающимися в

VII-IX классах. На этих уроках обучающиеся должны усвоить связи и

отношения между понятиями, получить целостное представление об

изученном материале, решить ряд комбинированных задач и упражнений.

Особую роль в математике отводят вопросам итогового повторения, в ходе

которого осуществляется систематизация знаний изученного курса алгебры

7-9 классов и подготовка к итоговой аттестации.

Курс рассчитан на 34 занятия (1 час в неделю). Включенный в

программу материал предполагает повторение и углубление следующих

разделов алгебры:

22

1. Числа и вычисления.

2. Алгебраические выражения.

3. Уравнения, системы уравнений.

4. Неравенства, системы неравенств.

5. Числовые последовательности.

6. Функции и графики.

7. Статистика и теория вероятностей.

8. Итоговая тестовая работа.

После каждого раздела предусматривается выполнение тематических

тестовых работ. Завершением курса является итоговая тестовая работа,

которая может быть составлена из материала ГИА.

Программа курса позволяет осуществить подготовку к

государственной итоговой аттестации по математике в 9 классе в новой

форме. Изучая курс, обучающиеся познакомятся со всеми типами заданий, со

всеми идеями и методами их решений. На занятиях рассматриваются

наиболее ценные, содержательные и поучительные задачи, проверяющие не

только подготовку учащихся, но и их умение мыслить в нестандартной

ситуации.

Данная программа составлена на основе обязательного минимума

содержания основного общего образования по математике. Основная

методическая линия курса – организация самостоятельной работы

обучающихся, при направляющей роли преподавателя.

Методика преподавания данного курса предполагает уровневую

дифференциацию, которая задает различную глубину освоения

фиксированного содержания и достижения различных уровней планируемых

результатов обучения.

Тематическое планирование учебного времени.

№ Содержание материала Кол-во

часов

Сроки

1. Числа и вычисления 3

1.1 Натуральные числа 1

1.2 Дроби

1.3 Рациональные числа

23

1.4 Действительные числа 1

1.5 Измерения, приближения, оценки

1.6. Тематическая тестовая работа №1 1

2. Алгебраические выражения 4

2.1 Буквенные выражения (выражения с переменными) 1

2.2 Свойства степени с целым показателем

2.3 Многочлены

2.4 Рациональные дроби 1

2.5 Свойства квадратных корней и их применение в вычислениях 1

2.6 Тематическая тестовая работа №2 1

3. Уравнения, системы уравнений. 6

3.1 Уравнения 2

3.2 Системы уравнений 1

3.3 Решение задач с помощью уравнений, систем уравнений 2

3.4 Тематическая тестовая работа №3 1

4. Неравенства, системы неравенств. 6

4.1 Неравенства 3

4.2 Системы неравенств 2

4.3 Тематическая тестовая работа №4 1

5. Числовые последовательности. 3

5.1 Понятие последовательности 1

5.2 Арифметическая прогрессии

5.3 Геометрическая прогрессии 1

5.4 Тематическая тестовая работа № 5 1

6. Функции и графики. 4

6.1 Числовые функции 2

6.2 Использование графиков функций для решения уравнений и

систем

1

6.3 Тематическая тестовая работа №6 1

7. Статистика и теория вероятностей. 2

7.1 Вероятностные задачи 1

7.2 Тематическая тестовая работа №8 1

8. Тестирование 6

8.1 Выполнение тестов 4

8.2 Обобщающая тестовая работа 2

24

34

Приложение 1

Тематическая тестовая работа №1

1. В каком случае числа 0,0157; 0,105; 0,07 расположены в порядке убывания?

1) 0,105; 0,0157; 0,07; 3) 0,105; 0,07; 0,0157;

2) 0,0157; 0,105; 0,07; 4) 0,0157; 0,07; 0,105.

2. Найдите значение выражения 30

)36( 2

.

1) 7

432 2)

7

8 3)

7

1728 4)

18

5.

3. Найдите значение выражения:. (5,6 ∙ 10-3)(6 ∙ 10-3).

1) 33600000000 2) 0,000336 3) 0,00000336 4) 0,0000336

4. Укажите выражение, значение которого является наименьшим.

1) 7,0

1 2)

5

3

2

5 3) 1 ∙ 0,7 4)

5

3

2

5

5. Для каждого выражения укажите его значение:

А) 4

5 + 0,4; Б) 1:

2

3; В)

0,5

1−0,7 . Ответ:

1) 2

3 ; 2) 1,2 ; 3) 1,5 ; 4) 1

2

3 .

6. Какое из чисел отмечено на координатной прямой точкой A?

1) 3 2) 5 3) 8 4) 12

7. Запишите десятичную дробь, равную сумме .

Ответ:_________

8. Найдите значение выражения √1

0,16+0,09 Ответ:_________

9. На первый курс университета могут принять 320 человек. Число поданных заявлений составило

250% от числа мест. Сколько заявлений подано в университет?

Ответ:_________

А Б В

25

10. (повышенный уровень) Хозяйка смешивает 3 кг творога с содержанием жира 18% и 3 кг с

содержанием жира 4%. Определите процент жирности полученного продукта. Запищите своё

решение.

Тематическая тестовая работа №2

Даны выражения: А. х

х−1; Б.

х−1

х; В.

1

х−1−

1

х.

Какие из них не имеют смысла при х= 1?

1) А и В 2) А и Б 3) Только А 4) А.Б и В.

Ответ: __________

2. Найдите значение выражения 26 yx при ; .

Ответ: __________

3. В выражении 4а2 – 6ав вынесли за скобки множитель -2а. В каком случае преобразование

выполнено верно?

1) -2а(2а – 3в) 2) -2а(2а – 6в) 3) -2а( 3в – 2а) 4) -2а( 6в – 2а).

4. Вычислите:14

88

5

55

1) 25

1 2) -25 3) 25

1 4) 25

5. Какое из данных выражений не равно √4

75 ?

1) √4

√3 ∙√25 ; 2)

2

5√3; 3)

4

5√3; 4)

2√3

15 .

6. Какое из следующих выражений равно ?

1.62 n 2. 3. 4.

7. Найдите значение выражения 2023109 . Ответ:________

8. Сократите дробь24

10

aab

ab

. Ответ: __________

9. Преобразуйте в многочлен выражение . Ответ: __________

10. Выполните деление aba

b

ba

b

2:

4

7222

2

. Ответ: __________

26

11. (повышенный уровень). Сократите дробь 6а2−а−1

8а+в−2ав−4 . Запишите своё решение.

Тематическая тестовая работа №3

1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 1,2х + 7=2-1,8х.

1) 1;2 2) ;4 3) 2;3 4) 2;1

2. Каждое уравнение соотнесите с множеством его корней:

А. х2 = х Б. х2 = -х В. х2 = -1 Г. х2 = 1

1) 1 и -1 2) 0 и 1 3) 0 и -1 4) корней нет

Ответ

3. Решите уравнение 4х2 +7х +3=0.

Ответ: ______

4.Найдите корни уравнения (х−2)(х+3)

х−3 = 0

1) 2; 2) 3; 3) 2; -3; 4) -3; 2; 3.

5. Сколько решений имеет система уравнений ?1662

,83

ху

ух

1. одно 2. два 3. бесконечно много 4. решений нет.

6. Решите систему уравнений {х + у = 2ху = −15

.

Ответ ___________

7. Турист от базы до деревни шел со скоростью 7 км/ч, а обратно – со скоростью 4 км/ч.

Сколько времени ушло у него на обратную дорогу, если на весь путь туда и обратно

турист затратил 2 часа? Пусть х часов – время, затраченное на обратную дорогу. Какое из

данных уравнений соответствует условию задачи?

1) 2

47

хх 2) )2(47 хх 3)

4

2

7

хх 4) . )2(74 хх

8.(повышенный уровень) Решите задачу и запишите её решение:

Болельщик хочет успеть на стадион к началу матча. Если он пойдёт пешком со скоростью

5 км/ч, то он опоздает на 10 мин, а если поедет на велосипеде со скоростью 10 км/ч, то

приедет за 20 мин до начала матча. Чему равно расстояние от дома до стадиона?

9. (высокий уровень) Докажите, что уравнение (х2 + 2х +2)(х2 – 4х +5) = 1 не имеет корней.

А Б В Г

27

Тематическая тестовая работа №4

1.О числах a и с известно, что 𝑎 < 𝑐. Какое из следующих неравенств неверно?

1)𝑎 − 31 < 𝑐 − 31; 2) 𝑎 + 34 < 𝑐 + 34; 3) −𝑎

10< −

𝑐

10; 4)

𝑎

19<

𝑐

19 .

2.Решите неравенство 4х + 5 ≥ 6х – 2.

1) [ 3,5; +∞); 2) (-∞; 3,5]; 3) ) (-∞; −1,5]; 4) [ -1,5; +∞).

3. На каком рисунке показано решение системы неравенств: {2х − 10 < 0;−3х − 6 < 0.

3) 3)

4) 4)

4. На рисунке изображён график функции у = х2 -2х -3. Используя график, решите неравенство

х2 > 2х + 3.

Ответ _________

5. Укажите наименьшее целое решение системы неравенств .63

,05

xx

х

1) - 4 2) - 5 3) 0 4) 2

6. Укажите неравенство, которое не имеет решений.

1) х2 + 6 ≥ 0; 2) х2 + 6 ≤ 0; 3) х2 - 6 ≤ 0; 4) х2 - 6 ≥ 0.

7. (повышенный уровень) Найдите значения х, при которых решения неравенства

1

5−

5х−6

8≥

−3х+2

4, принадлежат промежутку [−6; 0]. Запишите решение.

8. (повышенный уровень) Найдите область определения выражения √0,5 𝑥2 + х.

Запишите решение.

- 2 5 -2

5 2 -5

28

Тематическая тестовая работа № 5

1. Последовательность задана формулой 15 2 nсn . Какое из указанных чисел является членом

этой последовательности?

1) 18 2) 17 3) 20 4) 19 2.

Последовательность задана формулой 6

17

nаn . Сколько членов в этой последовательности

больше 2?

1) 4 2) 1 3) 2 4) 3

3. Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией?

1) Последовательность всех правильных дробей, числитель которых на 1 меньше

знаменателя. 2)

Последовательность натуральных степеней числа 8.

3) Последовательность квадратов натуральных чисел.

4) Последовательность натуральных чисел, кратных 3.

4. Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите

эту последовательность.

1) «4

3;

3

2;

2

1;1 » 2) «

4

5;

2

5;5;10 » 3) «1; 2; 3; 5» 4) «2; 4; 6; 8»

5. Дана арифметическая прогрессия: 28; 26; 24; … . Найдите первый отрицательный член

этой прогрессии.

1) -4 2) -3 3) -1 4) -2

6. Из данных геометрических прогрессий выберите ту, среди членов которой есть число

640.

1) 125 nnb 2) 124 n

nb 3) 173 nnb 4) 135 n

nb

7. Дана арифметическая прогрессия ( nа ), где 1а =40, 10а = 1030. Найдите разность

арифметической прогрессии.

1) 99 2) 110 3) 90 4) 103

8. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если известно, что пятый ее член

равен 4, а восьмой ее член равен 0,004.

1) 0,1 2) 0,01 3) 0,001 4) 1

9. Найдите сумму первых четырех членов геометрической прогрессии ( nb ), у которой 1b

= 2,3, q=2 Ответ: _________

10. Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии ( nа ), заданной

формулой 23 nаn Ответ: ___________

11. В первом ряду кинозала 28 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в

предыдущем. Сколько мест в 10 ряду? Ответ: _________

29

Тематическая тестовая работа № 6

1. График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?

1) у = х2 – 2х +3 2) у = -х2 + 2х +3

3) у = х2 + 2х - 3 4) у = -х2 – 2х -3

2. На одном из рисунков изображен график функции у = 3х2 + 6х + 5. Укажите номер

этого рисунка.

1) 2) 3) 4)

3. каждый график соотнесите с соответствующей ему формулой.

А) Б) В) Г)

1) у = -2х2- 4х + 4; 2) у = 2х; 3) у = - 0,2х; 4) у = 3

х.

Ответ

4.Найдите значение функции у =20х3 + 8х2 -1 при значении аргумента, равном 0,1.Ответ

_________

5. Укажите верный набор неравенств для дискриминанта D и коэффициентов а, b, с, если

на рисунке изображен график функции у = ах2 + b х + с.

1) 2) 3) 4)

а > 0 а> 0 а> 0 а> 0

b > 0 b < 0 b > 0 b < 0

D = 0 D > 0 с = 0 . с = 0

с > 0 с> 0 D > 0 D = 0

6. Какая из данных парабол имеет с гиперболой у= - 1

х три общие точки?

1) у = х2; 2) у = 1 - х2; 3) у = х2 + 100; 4) у = х2 – 100.

7. (повышенный уровень) Найдите значения b, при которых парабола у = 2х2 +bх +18 имеет с

осью х единственную общую точку. Для каждого значения b определите координаты этой точки.

Запишите решение.

А Б В Г

30

8. (повышенный уровень) Найдите с и постройте график функции у = х2 + с, если известно, что

прямая у = 6х имеет с этим графиком ровно одну общую точку. Решение запишите.

Тематическая работа № 7

1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в

сумме выпадет 9 очков. Результат округлить до сотых.

Ответ _________

2. Подбрасывают три монеты. Какова вероятность того, что все монеты упадут орлом вверх?

Ответ _________

3.Оля, Денис, Витя, Артур и Рита бросили жребия – кому начинать игру. Найдите вероятность

того, что начинать игру должна будет Рита.

Ответ _________

4. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков,

не меньше, чем 3?

Ответ _________

5.Участники жеребьевки тянут жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер

второго наудачу извлеченного жетона не содержит цифру 5.

Ответ _________

6. В фирме такси в данный момент свободно 30 машин: 4 черных, 12 желтых и 14 зеленых. По

вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите

вероятность того, что к нему приедет желтое такси.

Ответ _________

7. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 170 качественных сумок приходится шесть сумок со

скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной.

Результат округлите до сотых.

Ответ _________

8. В соревнованиях по кёрлингу выступает 20 команд из 5 стран: Швеции, Норвегии, Финляндии,

Канады и Дании, причём каждая страна выставила по 4 команды. Порядок выступления команд

определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что семнадцатой по счёту будет одна из

команд из Канады.

Ответ _________

9. Телевизор у Тани сломался и показывает только один случайный канал. Таня включает

телевизор. В это время по десяти каналам из тридцати пяти показывают новости. Найдите

вероятность того, что Таня попадет на канал, где новости не идут.

Ответ _________

10. В некоторой местности наблюдения показали:

1. Если июньское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,1.

2. Если июньское утро пасмурное, то вероятность дождя в течении дня равна 0,4.

3. Вероятность того, что утро в июне будет пасмурным, равна 0,3.

Найдите вероятность того, что в случайно взятый июньский день, дождя не буде..

Ответ _________

31

11. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,02.

Покупатель в магазине выбирает одну ручку. Найдите вероятность того, что ручка пишет плохо.

Ответ ________

Обобщающая тестовая работа

Часть 1

1.Укажите, какое из следующих выражений принимает наибольшее значение:

1) 9

7; 2)

15

16+

18

17

2; 3) 1,5 • 0,9; 4) 1

3

7.

2. Между какими соседними целыми числами расположено число 5√6 + 1?

Ответ: ______

3.На числовой прямой отмечены числа a и b. Какое из приведённых утверждений не

верно?

а 0 b

1) а + b > 0; 2) а – b < 0; 3) ab > 0; 4) ab2 <0.

4. Упростите выражение a

bba 22 4)2( и найдите его значение при a = 0, 3; b = −0, 35

Ответ: ______

5. Какое из следующих выражений равно ?

1) 2 n+6 2) 128 n 3) 2 6n 4) 64 n

Ответ: __________

6. Решите уравнение х+2

2−х = 2 Ответ: __________

7. Решите неравенство 10 – 4х > 4 – 8(х – 2). Ответ: ________

8. На рисунке изображён график функции у = ах2 + bх + с. Определите у

знаки коэффициента а и дискриминанта D.

1) а < 0, D > 0; 3) а > 0, D > 0;

2) а < 0, D < 0; 4) а >0, D < 0. 0 х

32

9. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них —

арифметическая прогрессия. Укажите ее.

1. 2; 4; 6; 8. 2. 1; 2; 3; 5 3. 1; .4

3;

3

2;

2

1 4. 1; 3; 9; 27.

10. Путь от посёлка до железнодорожной станции пешеход прошёл за 3 ч, а велосипедист проехал

за 1,2 ч. С какой скоростью (в км/ч) ехал велосипедист, если его скорость на 9 км/ч больше

скорости пешехода?

Ответ: _________

11. Для вычисления тормозного пути автомобиля часто используется формула s = 40𝑣+𝑣2

200, где

s – длина тормозного пути (в м ), 𝐯 – скорость ( в км/ч), с которой автомобиль ехал перед началом

торможения. На сколько метров длиннее будет тормозной путь автомобиля при скорости 110 км/ч,

чем при скорости 80 км/ч?

Ответ: __________

12. Средний рост мальчиков класса, где учится Миша, равен 171 см. Рост Миши 175 см. Какое из

утверждений верно?

1) В классе все мальчики, кроме Миши, имеют рост 171 см.

2) В классе обязательно есть мальчик ростом менее 171 см.

3) В классе обязательно есть мальчик ростом 171 см.

4) В классе обязательно есть мальчик ростом 167 см.

13. Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 13:7. Сколько процентов

деревьев в парке составляют лиственные?

14. Решите систему неравенств: {х + 5 < 6;4 − х > 7.

2) (−∞; −3); 2) (−3; 1); 3) (−∞; −11); 4) (-11;11).

15. На 500 электрических лампочек приходится 3 бракованных. Какова вероятность купить

исправную лампочку?

Часть 2

16. Решите уравнение ( х2 – 6х)2 + 2(х -3)2 = 81.

17. Магазин закупил футболки на оптовом складе и стал продавать их по цене на 40% больше

закупочной. Перед Новым годом цена футболки была снижена на 30% . Какая цена меньше (

закупочная или предновогодняя) и на сколько процентов?

18. постройте график функции у = х−1

х2−х и определите, при каких значениях k прямая у = kх имеет

с графиком ровно одну общую точку.

33

Оценивание отдельных заданий и работы в целом

За выполнение каждого задания № 1-15:

1 балл – задание выполнено верно ( указан верный ответ);

0 баллов – задание выполнено неверно (указан неверный ответ,

несколько ответов или ответ отсутствует).

За выполнение задания № 16- 18:

2 балла – задание выполнено верно, запись решения не содержит

ошибок и логических недочетов;

1 балл – ход решения верный, но имеется вычислительная ошибка;

0 баллов – другие случаи, не соответствующие указанным критериям.

Максимальный балл за выполнение работы – 21. Перевод тестовых баллов в 5-бальную шкалу

Общий балл Выполнено менее

9 заданий 1 части

При выполнении минимального критерия

9- 12 13 - 18 19-21

Отметка 2 3 4 5

Ответы к заданиям № 1- 15

№ 1 2 3 4 5

ответ 4 13; 14 3 1,5 1

№ 6 7 8 9 10

ответ 2

3

Х > 2,5 1 1 15 км/ч

№ 11 12 13 14 15

ответ На 34,5 м 2 3,5 1 0,994

Список литературы:

1. Алгебра: сб. заданий для подготовки к гос. итоговой аттестации в 9 кл.

/[Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, Е.А. Бунивович и др.]. – 7-е изд., перераб.

– М.: Просвещение, 2012.

2. Лекции дистанционных курсов. Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова,Л.О

Рослова.

34

3. Планируемые результаты. Система заданий. Математика 5-6 класы.

Алгебра 7-9 классы Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева,Л.О Рословаи др.М.

«Просвещение» 2013г.

4. Математика. 9-й класс. Подготовка к ГИА – 2012: Тренировочные задания

/ Под ред.Т.А.Корешковой, В.В.Мирошина, Н.В.Шевелевой. – М.: Эксмо,

2011.

5. ГИА 3000 задач. Под редакцией А.Л Семенова, И.В. Ященко.

Издательство «Экзамен» М. – 2014г.

6. ГИА 2014. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией А.Л

Семенова, И.В. Ященко

7. Электронные ресурсы.

Методическая разработка

«Подготовка к ЕГЭ, часть 1»

Ламок Владимир Юрьевич,

преподаватель информатики и ИКТ

Пояснительная записка

В связи с повсеместной информатизацией общества, тема «ЕГЭ по

информатике и ИКТ» становится все более актуальной, несмотря на то, что

предмет не входит в перечень обязательных предметов для сдачи экзамена.

Экзаменационные варианты состоят из 27 заданий, разделенных на две

части.

Часть 1 состоит из 23 вопросов, предполагающих краткий ответ. Из них

12 заданий относятся к базовому уровню знаний, 10 – к повышенному, и

одно – к высокому. Ответ к заданиям первой части записывается в виде

последовательности цифр и букв, в двух местах: в поле ответа в тексте

КИМов и в соответствующей строке бланка ответов №1. (http://beta-

ege.ru/ege-po-informatike/) Решение всех заданий 1 части принесет 72 балла.

1.1 Актуальность

Методическая разработка поможет в подготовке к ЕГЭ кадет 11 класса.

В сети довольно много рекомендаций для подготовки к экзамену, однако

простую, эффективную и четко выраженную структуру найти

проблематично.

35

1.2 Цели и задачи методической разработки

-демонстрация алгоритма работы с заданиями;

-использование методики на занятиях;

-повышение мотивации к изучению информатики и ИКТ.

1.3 Планируемый результат

Решение заданий первой части без затруднений.

Алгоритм работы

Для подготовки широко используется ресурс «Решу ЕГЭ» (https://inf-

ege.sdamgia.ru)

Первый этап

На первом занятии с целью выявления уровня подготовки кадета,

преподаватель предлагает решить все 23 задания. Затем кадет анализирует

результат, и сам выявляет темы, над которыми стоит работать.

Преподаватель контролирует и корректирует процесс. Данный метод с

первого дня подготовки позволяет кадету осознать всю серьезность

ситуации, реально оценить свои силы, а главное разработать план подготовки

согласно результатов. Таким образом, кадет в данной ситуации является

самостоятельным, он сам решает какое задание проработать с начала а какое

потом, а это, несомненно, влияет на позитивный настрой и, как следствие - на

мотивацию.

Пример задания ЕГЭ

Задание 1 № 6761

Даны 4 целых числа, записанных в двоичной системе: 10001011;

10111000; 10011011; 10110100. Сколько среди них чисел, больших, чем 9A16?

Второй этап

Пояснение.

36

Запишем число 9A16 в десятичной системе счисления, а затем пере-

ведём его в двоичную: 9A16 = 9 · 16 + 10 = 15410 = 100110102. Теперь сравним

число 9A16 = 100110102 с предложенными числами:

1000 1011 < 1001 1010,

1011 1000 > 1001 1010,

1001 1011 > 1001 1010,

1011 0100 > 1001 1010.

В случае возникновения затруднений преподаватель предлагает

воспользоваться системой пояснений, и только в случае, если пояснения не

помогли, выявляет причину и предлагает кадету варианты её устранения.

Третий этап

На данном этапе кадет решает аналогичное задание самостоятельно. В

случае затруднений обращается к преподавателю.

Эффективность

Для повышения эффективности занятий, преподаватель предлагает

кадету, который уже освоил, к примеру, задание 2, объяснить, как решать

данное задание другому кадету, который еще не разобрался в решении.

Таким образом, происходит эффективное взаимодействие. Пока

преподаватель объясняет кадету задание 1, остальные работают над заданием

2, и так до тех пор, пока задания 1 и 2 не будут вызывать затруднений, после

чего осуществляется переход к следующим заданиям.

Работая в группах, объясняя друг другу материал, помогая преодолеть

трудности, кадеты становятся самостоятельными, ответственными за

результат и отзывчивыми, что положительно сказывается на их развитие в

общем.

37

Приложение

1. Укажите целое число от 7 до 12, двоичная запись которого содержит ровно

две единицы. Если таких чисел несколько, укажите наибольшее из них.

Пояснение: Часто решая подобные задания, кадеты допускают одну и ту же

ошибку - недочитывают, или не уделяют должного внимания последнему предложению.

Соответственно дают неправильные ответ. То есть - " двоичная запись которого содержит

ровно две единицы", от 7 до 12 первое число с двумя единицами это 9 (1001), именно это

число и записывается в ответ. Однако помимо числа 9, есть также число 10 (1010) и число

12 (1100), которые тоже содержат по 2 единицы, таким образом, правильный ответ с

учетом " укажите наибольшее из них" - 12.

Подобные "уловки" встречаются и в следующих заданиях, они выделены жирным

с подчеркиванием.

2. Укажите наименьшее четырёхзначное восьмеричное число, двоичная за-

пись которого содержит 5 единиц. В ответе запишите только само восьме-

ричное число, основание системы счисления указывать не нужно.

3. В таблицах приведена протяженность автомагистралей между соседними

населенными пунктами. Если пересечение строки и столбца пусто, то соот-

ветствующие населенные пункты не являются соседними. Укажите номер

таблицы, для которой выполняется условие «Максимальная протяженность

маршрута от пункта C до пункта B не больше 6». Протяженность маршрута

складывается из протяженности автомагистралей между соответствующими

соседними населенными пунктами. При этом через любой населенный пункт

маршрут должен проходить не более одного раза.

1. 2. 3. 4.

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

4. Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n – натуральное число,

задан следующими соотношениями:

38

F(1) = 1

F(2) = 3

F(n) = F(n–1) * n + F(n–2) * (n – 1) , при n >2

Чему равно значение функции F(5)?

В ответе запишите только натуральное число.

Методическая разработка

по алгебре и началам анализа для 10 класса

Тема «Решение тригонометрических уравнений»

Петрова Светлана Сергеевна,

преподаватель математики,

первая квалификационная категория

Пояснительная записка

Методическая цель данной разработки – применение модульной

технологии на уроке алгебры и начала анализа, проверить эффективность

использования данной технологии. Данная работа рассчитана на три занятия.

При этом более успевающие обучающиеся могут оказывать помощь слабо

успевающим. Материалы разработки после проведения занятия хранятся у

обучающих в папках для подготовки к ЕГЭ. Также элементы данной

разработки могут использоваться преподавателями на различных этапах

уроков по данной теме.

Практическая часть

Тема: «Решение тригонометрических уравнений»

Цели урока:

Обучающая – усвоение, закрепление и систематизация знаний и

представлений обучающихся об основных видах тригонометрических

уравнений, сформировать умения и навыки решения тригонометрических

уравнений различных видов;

39

Развивающая – развитие умений применять приемы сравнения,

обобщения, выделения главного; развитие математического кругозора,

мышления и речи, внимания и памяти;

Воспитательная – воспитание навыков самоконтроля и

взаимоконтроля; воспитание положительного отношения к предмету;

формирование коммуникативных способностей.

Тип урока: усвоение, закрепление знаний, умений и навыков.

Вид урока: урок с использованием модульной технологии.

Оборудование: проектор, интерактивная доска, плакаты, раздаточный

материал.

Литература:

1.Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. и другие. Алгебра и начала анализа. 10-11

класс. Москва: «Просвещение», 2013г.

2.Журналы «Математика в школе», «Математика» - приложение к журналу

«Первое сентября».

3.Ященко И.В. и другие. ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все

задания. Базовый и профильный уровни. Москва: «Экзамен», 2015г.

4.Различные сборники для подготовки к единому государственному

экзамене.

Ход занятия

Задания данного модульного урока определяются по трем уровням:

I. Уровень – знаниями этого уровня должны овладеть все

обучающиеся;

II. Уровень – включает все, что достигнуто на первом уровне, но в

более сложном виде;

III. Уровень – включает все, что достигнуто на первых двух уровнях,

но должно применяться в нестандартных ситуациях.

В результате овладения содержанием модуля обучающиеся должны

уметь:

I. Уровень – решать простейшие тригонометрические уравнения,

решать тригонометрические уравнения по заданному алгоритму;

40

II. Уровень – решать тригонометрические уравнения,

самостоятельно выбирая метод решения;

III. Уровень – применять полученные знания в нестандартной

ситуации.

Ход работы модуля:

Работа состоит из шести учебных элементов. Учебные элементы №1 –

4 соответствуют первому уровню подготовки, №5 – обеспечивает второй

уровень подготовки, №6 – третий уровень.

Каждый учебный элемент содержит или указания учителя о том, что

нужно знать и уметь, или краткие пояснения к выполнению заданий, или

ссылки, где можно найти нужные пояснения, а также список заданий.

Вся работа над данным модулем сопровождается индивидуальным

оценочным листом.

Прочитав указания учителя, обучающийся выполняет самостоятельные

работы, которые включены в учебный элемент, и проверяет их по эталонам

решений. Эталон учитель демонстрирует после того, как ученик объявит о

завершении самостоятельной работы. Обучающийся сравнивает свои ответы

с эталоном и исправляет ошибки. Если он получил менее указанного в

инструкции количества баллов, то должен набрать дополнительные баллы в

корректирующих заданиях. Для этого ученик решает задания другого

варианта, аналогичные тем, в которых он допустил ошибки.

Оценка за весь модуль зависит от суммы набранных баллов по всем

учебным элементам.

«5» - сумма баллов 33 и более;

«4» - сумма баллов от 28 до 32;

«3» - сумма баллов от 22 до 27;

«2» - сумма баллов менее 22.

Цели учебных элементов

I.Уровень

41

№1. Закрепить умения решения простейших тригонометрических

уравнений.

№2. Закрепить умения решать тригонометрические уравнения методом

сведения к квадратному.

№3. Закрепить умения и навыки решения тригонометрических

уравнений методом разложения на множители.

№4. Закрепить умения и навыки решения однородных

тригонометрических уравнений.

II.Уровень

№5. Закрепить умения и навыки решения тригонометрических

уравнений разными способами.

III.Уровень

№6. Закрепить умения и навыки решения тригонометрических

уравнений разными способами в нестандартной ситуации.

Учебный элемент №1

Вспомните основные правила решения простейших

тригонометрических уравнений. Для этого прочитайте текст учебника

параграфа 33 задачи №1,2,3, параграфа 34 задачи №1,2,3, параграфа 35

задачи №1, 2, 3.

Выполните письменно самостоятельную работу.

Задания самостоятельной работы (10 минут)

Решите уравнения

Вариант 1 Вариант 2

cos х =1

2 (1 балл)

sin х = −√3

2 (1 балл)

𝑡𝑔𝑥 = 1 (1 балл)

cos (х +𝜋

3) = 0 (2 балла)

2 cos х = 1 (1 балл)

3𝑡𝑔𝑥 = 0 (1 балл)

sin 4х = 1 (2 балла)

sin х = −1

2 (1 балл)

cos х =√3

2 (1 балл)

𝑐𝑡𝑔𝑥 = −1 (1 балл)

sin (х −𝜋

3) = 0 (2 балла)

4 sin х = 2 (1 балл)

5𝑡𝑔𝑥 = 0 (1 балл)

cos 4х = 0 (2 балла)

42

Если набрано 6 баллов и более, переходите к следующему учебному

элементу. Если набрано меньше 6 баллов, то вам следует решить задания

другого варианта аналогичные тем, в которых была допущена ошибка.

Учебный элемент №2

Прочитайте внимательно данные ниже пояснения и выполните

самостоятельную работу.

Метод сведения к квадратному уравнению состоит в том, что пользуясь

изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы

какую-то функцию (например, sin х, cos х , 𝑡𝑔𝑥) или комбинацию функций

обозначить через 𝑦, получив при этом квадратное уравнение относительно 𝑦.

Пример. Решить уравнение: 4 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 4𝑠𝑖𝑛𝑥.

Решение. Вместо 𝑐𝑜𝑠2𝑥 подставим тождественно равное ему

выражение 1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥. Тогда исходное уравнение примет вид

4 − (1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥) = 4𝑠𝑖𝑛𝑥

4 − 1 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 4𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0,

𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 4𝑠𝑖𝑛𝑥 + 3 = 0.

Обозначим 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑦, тогда получим квадратное уравнение у2 − 4у +

3 = 0 . Его корни у1 = 1 и у2 = 3 . Таким образом, решение исходного

уравнения свелось к решению простейших тригонометрических уравнений

𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 и 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 3.

Уравнение 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 имеет корни х =𝜋

2+ 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.

Уравнение 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 3 корней не имеет.

Ответ: х =𝜋

2+ 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.

Задания для самостоятельной работы (10 минут)

Решите уравнения

Вариант 1 Вариант 2

𝑡𝑔2𝑥 − 3𝑡𝑔𝑥 + 2 = 0 (2 балла)

2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 5𝑠𝑖𝑛𝑥 − 4 = 0 (3 балла) 1−cos 2х

2+ 2 sin х = 3 (3 балла)

2 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 3 cos 𝑥 = 0 (2 балла)

4 − 5 cos х − 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 0 (3 балла) 1+cos 2х

2+ 2 cos х = 3 (3 балла)

43

Указания. Проверьте и оцените свою работу, исправьте ошибки, если

они есть, поставьте количество баллов в оценочные листы. Если вы набрали

5 баллов и более, переходите к следующему учебному элементу, если же

меньше 5 баллов, то решите задания другого варианта, аналогичные тем, в

которых допустили ошибки.

Учебный элемент №3

Внимательно прочитайте данные ниже пояснения и выполните задания

самостоятельной работы.

Под методом разложения на множители понимается представление

данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в

одной части уравнения стоит произведение нескольких множителей, а в

другой нуль, то каждый множитель приравнивается к нулю. Таким образом,

исходное уравнение можно представить в виде совокупности более простых

уравнений.

Пример 1 – задача 9 страница 186 учебника.

Пример 2. Решить уравнение 2𝑠𝑖𝑛3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0.

Решение. Сгруппируем первый член уравнения с третьим, а cos 2х

представим в виде 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥 . Получим (2𝑠𝑖𝑛3𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥) − (𝑐𝑜𝑠2𝑥 −

𝑠𝑖𝑛2𝑥) = 0.

Из выражения, стоящего в первой скобке, вынесем sin х , а в

выражении, стоящем во второй скобке, вместо 𝑐𝑜𝑠2𝑥 запишем 1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥 .

Уравнение примет вид 𝑠𝑖𝑛𝑥(2𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 1) − (1 − 2𝑠𝑖𝑛2𝑥) = 0,

𝑠𝑖𝑛𝑥(2𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 1) + (2𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 1) = 0.

Вынесем за скобки общий множитель (2𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 1) и получим

(2𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 1)(𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1) = 0.

Приравняем каждый множитель к нулю.

2𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 1 = 0, 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1 = 0, 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 1, 𝑠𝑖𝑛𝑥 = −1,

𝑠𝑖𝑛2𝑥 =1

2, 𝑥 = −

𝜋

2+ 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍,

44

𝑠𝑖𝑛𝑥 = ±√2

2,

𝑥 = ±𝜋

4+ 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.

Ответ: 𝑥 = ±𝜋

4+ 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍, 𝑥 = −

𝜋

2+ 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.

Задания для самостоятельной работы (10 минут)

Решите уравнения

Вариант 1 Вариант 2

𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0(2 балла)

3 cos х + 2 sin 2х = 0 (3 балла)

𝑐𝑡𝑔2𝑥 − 4𝑐𝑡𝑔𝑥 = 0 (2 балла)

5 sin 2х − 2 sin х = 0 (3 балла)

Указание. Если вы набрали 5 баллов, то переходите к следующему

элементу. Если меньше, то решите аналогичные задания другого варианта.

Учебный элемент №4

Прочитайте пояснения и выполните задания.

Однородными называются уравнения вида 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0,

𝑎𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑏𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0, где 𝑎, 𝑏, 𝑐 − некоторые числа.

Рассмотрим сначала решение однородного уравнения первой степени,

то есть уравнения вида 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0.

Пример 1. Решить уравнение 5 sin х − 2 cos х = 0.

Решение. Разделим обе части уравнения на cos х или sin х . Но

предварительно докажем, что это выражение никогда не обращается в нуль.

Предположим, что cos х = 0.Тогда 5 sin х − 2 ∙ 0 = 0, значит sin х = 0.

Получается, что если sin х = 0, то и cos х = 0. А этого быть не может, так как

𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1.Значит, можно поделить уравнение на cos х ≠ 0:

5sin х

cos х− 2

cos х

cos х=

0

cos х,

5𝑡𝑔𝑥 − 2 = 0, 5𝑡𝑔𝑥 = 2,

𝑡𝑔𝑥 =2

5,

𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2

5+ 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.

45

Ответ:

𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2

5+ 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.

Аналогично решаются однородные уравнения вида

𝑎𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑏𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0.

Их решение начинается с того, что обе части уравнения делят на 𝑐𝑜𝑠2𝑥 или 𝑠𝑖𝑛2𝑥.

Пример 2. Решить уравнение 12𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 3𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 2. Решение. Данное уравнение не является однородным, но его можно представить в

виде однородного, заменив 3 sin 2х на 6 sin х cos х, а число 2 на 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑥.

12𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 6𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑥, 12𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 6𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 0,

10𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 6𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 4𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 0 (∗). Докажем, что cos х ≠ 0.

Пусть cos х = 0, подставим это значение в уравнение (*).Получим 10𝑠𝑖𝑛2𝑥 =0 , то есть sin х = 0 , чего быть не может, так как 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 . Значит,

cos х ≠ 0.

Разделим уравнение (*) на 𝑐𝑜𝑠2𝑥 и получим

10𝑡𝑔2𝑥 + 6𝑡𝑔𝑥 − 4 = 0. Пусть 𝑡𝑔𝑥 = 𝑦, тогда 10у2 + 6у − 4 = 0,

у1 = −1, у2 =2

5.

Получаем: 𝑡𝑔𝑥 = −1, 𝑡𝑔𝑥 =2

5,

𝑥 = −𝜋

4+ 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

2

5+ 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍

Ответ:

𝑥 = −𝜋

4+ 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

2

5+ 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍

Задания для самостоятельной работы (15 минут)

Решите уравнения

Вариант 1 Вариант 2

𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0(2 балла)

𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠2𝑥 (3 балла)

5𝑠𝑖𝑛𝑥 + 6𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 (2 балла)

3𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 5𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 2 (3

балла)

Если вы набрали 5 баллов, то переходите к следующему учебному

элементу. Если вы набрали менее 5 баллов, то решите задания другого

варианта, соответствующие тем, в которых были допущены ошибки.

Учебный элемент №5

Указания. Вы прошли первый уровень усвоения материала. Теперь вы

можете самостоятельно выбрать метод решения уравнения. Вспомните

46

основные тригонометрические формулы и выполните самостоятельную

работу.

Задания для самостоятельной работы (30 минут)

Решите уравнения

Вариант 1 Вариант 2

cos 2х − 5 sin х − 3 = 0 (1 балл)

sin 2х + cos 2х = 0 (1 балл)

𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 (2 балла)

sin 4х − cos 2х = 0 (2 балла)

5 − 5𝑐𝑜𝑠 (𝜋

2− 𝑥) = 2𝑐𝑜𝑠2(𝜋 − 𝑥)

(2 балла)

cos 2х + 3 sin х = 2 (1 балл)

sin 2х − cos 2х = 0 (1 балл)

6 − 10𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥(2 балла)

cos х − cos 2х = 1 (2 балла)

𝑐𝑜𝑠2 (𝜋

2+ 𝑥) − 𝑐𝑜𝑠2(2𝜋 + 𝑥) =

√3

2

(2 балла)

Указания. Проверьте и оцените свою работу, исправьте ошибки, если

они есть. Проставьте баллы в оценочные листы.

Если набрали 6 баллов и больше – переходите к следующему элементу.

Если меньше 6 баллов – решите задания другого варианта, аналогичные тем,

в которых допустили ошибки.

Учебный элемент №6

Указания. Вы освоили решение уравнений второго уровня сложности.

Целью дальнейшей работы является применение своих знаний и умений в

более сложных ситуациях.

Задания для самостоятельной работы (не ограниченное время)

1)sin 6х + cos 6х = 1 − 2 sin 3х (2 балла)

2) 29 − 36𝑠𝑖𝑛2(𝑥 − 2) − 36 cos(𝑥 − 2) = 0 (3 балла)

3) 2 sin х cos х − √3 − 2 cos х + √3 sin х = 0 (2 балла)

4) 𝑠𝑖𝑛4𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 1 (2 балла)

5) sin х (sin х + cos х) = 1 (3 балла)

6) 1

1+𝑐𝑜𝑠2𝑥+

1

1+𝑠𝑖𝑛2𝑥=

16

11 (3 балла)

Указания. В случае затруднений воспользуйтесь подсказками,

приведенными ниже.

Подсказки.

1) Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 6х , cos 6х.

2) Обозначьте 𝑥 − 2 = 𝑡, решите уравнение, сводя его к квадратному с

помощью формулы 𝑠𝑖𝑛2𝑡 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑡.

47

3) Сгруппируйте первое и третье слагаемые, примените метод

разложения на множители.

4) Воспользуйтесь формулами двойного угла для sin 4х , cos 4х и

формулой понижения степени 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 1 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥.

5) Раскройте скобки, примените основное тригонометрическое

тождество.

6) приведите дроби к общему знаменателю. Затем воспользуйтесь

основным тригонометрическим тождеством, сведите уравнение к

квадратному.

Указание. Проверьте и оцените работы. Исправьте ошибки, если они

есть, подсчитайте количество баллов. Проставьте количество баллов в

оценочные листы. Оцените свои работы.

Оценочные листы

Фамилия, Имя___________________________________________

Учебные элементы Количество баллов

за основные

задания

Количество баллов

за корректирующие

задания

Общее количество

баллов за модуль

№1

№2

№3

№4

№5

№6

Итоговое количество баллов

Оценка

Заключение

Использование модульной технологии способствовало развитию

самостоятельности обучающихся, повышению их познавательной

активности. Обучающиеся с большим интересом и желанием вовлекались в

работу, так как каждый из них имел право выбора посильного для него

48

задания. Задания на всех этапах дифференцированы по уровням сложности,

домашние задания тоже дифференцированы. На каждом этапе урока

применялись различные формы контроля: контроль со стороны учителя,

самоконтроль, что способствовало активизации учащихся, обучающиеся

научились правильно распределять время работы над заданиями. В течение

всего урока учащиеся сами оценивали свою работу, и результаты оценивания

заносили в индивидуальные контрольно-оценочные листы.

Методическая разработка

«Подготовка к ЕГЭ. Уравнения. Приемы и методы решения»

Трофимова Ирина Александровна,

преподаватель математики

Недостаточно иметь только хороший ум,

Главное – это рационально его применять.

Р.Декарт

Введение

Вот уже несколько лет в нашей стране для получения школьного

аттестата выпускнику необходимо сдать обязательный экзамен по

математике в форме ЕГЭ. При этом на экзамене нужно набрать определенное

количество баллов, не ниже некоторого минимального числа.

В настоящий момент ЕГЭ по математике разделен на два уровня. В

соответствии с Концепцией развития математического образования в РФ

теперь школьники будут сдавать экзамены базового и\или профильного

уровня. Каждый кадет должен сказать себе «Я решу ЕГЭ по математике

базового уровня», если он планирует поступать в ВУЗ, в перечне

вступительных экзаменов которого предмет «Математика» отсутствует.

Вариант «Я решу ЕГЭ по математике профильного уровня» - для тех, кто

нацелен на поступление в ВУЗы технического направления.

Структура базовой экзаменационной работы включает в себя 20

заданий. На все задания нужно дать краткий ответ. Профильный уровень

49

экзамена требует набора как минимум 27 баллов, а его задания разделены на

две части и различаются по своему содержанию и уровню сложности. В

первой части экзамена содержатся только задания с кратким ответом, во

второй части задания более сложные, а ответы на них нужно дать как

краткие, так и развернутые.

При проведении итоговой аттестации используются тестовые методы

контроля знаний выпускников общеобразовательных учреждений. В

предлагаемых для этих целей тестовых материалах присутствуют логически

сложные разветвленные задачи, позволяющие выявить уровень

математической культуры тестируемых. При тестовой форме контроля

знаний на выполнение отдельного тестового задания обычно приходится

гораздо меньше времени, чем на задание с подробным решением. Поэтому на

первый план выдвигается уровень фундаментальной подготовки учащегося,

его умение выбрать наиболее рациональные методы решения поставленных

задач и критически оценить полученный ответ.

Интересно то, что для успешной сдачи ЕГЭ по математике никаких

дополнительных (по сравнению со школьным курсом) знаний не требуется.

Просто необходимо внимательно разобрать и глубоко усвоить теоретический

материал, получить твердые и прочные навыки в решении задач. Залог

успеха на экзаменах – систематическая самостоятельная работа в течении

всего оставшегося до экзамена времени. Математику нельзя выучить за день

или неделю – только планомерные длительные занятия сделают

экзаменационные задачи и вопросы простыми и легкими.

Важнейший компонент общего образования и общей культуры

современного человека – это математическое образование, т.к. практически

всё, что нас окружает, связано с математикой. Математика уже давно стала

основным аппаратом современных технологий. В последние годы

математические методы исследований широко используются не только в

точных, но и в таких науках, как химия, экономика, биология, геология,

медицина, лингвистика, археология и т.д. Поэтому не удивительно, что во

50

всех технических ВУЗах и на многих, в том числе и на некоторых

гуманитарных факультетах поступающие сдают экзамены по математике.

Решение многих практических задач сводится к решению различных

видов уравнений, следовательно, их просто необходимо научиться решать.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный

материал по выше указанной теме. Я расположила материал по степени его

сложности, начиная с самого простого.

Уравнение – это запись математического равенства с одним или

несколькими аргументами. Решение уравнения заключается в поиске

неизвестных значений аргументов – корней, при которых заданное равенство

истинно. Уравнения бывают алгебраические, неалгебраические, линейные,

квадратные, кубические и т.д. Для их решения необходимо освоить

тождественные преобразования, переносы, подстановки и другие операции,

позволяющие упрощать выражение, сохраняя заданное равенство.

Данная работа может быть рекомендована преподавателям математики

в качестве методического пособия при подготовке и проведении занятий.

УРАВНЕНИЯ.

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В алгебре рассматриваются два вида равенств – тождества и уравнения.

Тождество – это равенство, которое выполняется при всех

(допустимых) значениях входящих в него букв.

Уравнение – это равенство, которое выполняется лишь при некоторых

значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию

задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои

допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами

уравнения и обычно обозначают первыми буквами латинского алфавита:a , b

, c ... – или теми же буквами, снабженными индексами: 1a , 2a , ... или 1b , 2b ,

...); другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными

51

(их обычно обозначают последними буквами латинского алфавита: x , y , z ,

... – или теми же буквами, снабженными индексами: 1x , 2x , ... или 1y , 2y , ...).

В общем виде уравнение может быть записано так:

F( 1x , 2x , ..., nx ) 0 .

В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с

одним, двумя и т. д. неизвестными.

Значение неизвестных, обращающие уравнение в тождество, называют

решениями уравнения.

Решить уравнение – это значит найти множество его решений или

доказать, что решений нет. В зависимости от вида уравнения множество

решений уравнения может быть бесконечным, конечным и пустым.

Если все решения уравнения F 0 являются решениями уравнения G

0 , то говорят, что уравнение G 0 есть следствие уравнения F 0 , и

пишут F 0 G 0 .

Два уравнения F 0 и G 0 называют эквивалентными, если каждое из

них является следствие другого, и пишут F 0 G 0 .

Таким образом, два уравнения считаются эквивалентными, если

множество решений этих уравнений совпадают.

Уравнение F 0 считают эквивалентным двум (или нескольким)

уравнениям 1F 0 , 2F 0 , если множество решений уравнения F 0

совпадает с объединением множеств решений уравнений 1F 0 , 2F 0 .

Некоторые эквивалентные уравнения:

1) Уравнение GGF эквивалентно уравнению F 0 ,

рассматриваемому на множестве допустимых значений исходного уравнения.

2) Уравнение 0G

F эквивалентно уравнению F 0 , рассматриваемому

на множестве допустимых значений исходного уравнения.

3) 0GF эквивалентно двум уравнениям F 0 и G 0 .

4) Уравнение nF 0 эквивалентно уравнению F 0 .

52

5) Уравнение nF nG при нечетном n эквивалентно уравнению F G ,

а при четном n эквивалентно двум уравнениям F G и F G .

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида nP 0 , где nP –

многочлен n-й степени от одной или нескольких переменных.

Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется

уравнение, сводящееся к уравнению вида

0a nx 1a 1nx + 2a 2nx + ... + 1na x + na 0 , где n – неотрицательное

целое число; коэффициенты многочлена 0a , 1a , 2a , ..., 1na , na называются

коэффициентами (или параметрами) уравнения и считаются заданными; х

называется неизвестным и является искомым. Число n называется степенью

уравнения.

Значения неизвестного х, обращающие алгебраическое уравнение в

тождество, называются корнями (реже решениями) алгебраического

уравнения.

Есть несколько видов уравнений, которые решаются по готовым

формулам. Это линейное и квадратное уравнения, а также уравнения вида

F(х) a , где F – одна из стандартных функций (степенная или показательная

функция, логарифм, синус, косинус, тангенс или котангенс). Такие уравнения

считаются простейшими. Так же существуют формулы и для кубического

уравнения, но его к простейшим не относят.

Так вот, главная задача при решении любого уравнения – свести его к

простейшим.

Все ниже перечисленные уравнения имеют так же и свое графическое

решение, которое заключается в том, чтобы представить левую и правую

части уравнения как две одинаковые функции от неизвестного. Затем

строится график сначала одной функции, а затем другой и точка(и)

53

пересечения двух графиков даст решение(я) исходного уравнения. Примеры

графического решения всех уравнений даны в приложении.

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ

Линейным уравнением называется уравнение первой степени.

0bax ,

(1)

где a и b – некоторые действительные числа.

Линейное уравнение всегда имеет единственный корень a

bx ,

который находится следующим образом.

Прибавляя к обеим частям уравнения (1) число b , получаем

уравнение

bax ,

(2)

эквивалентное уравнению (1). Разделив обе части уравнения (2) на

величину 0a , получаем корень уравнения (1):

a

bx .

КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ

Алгебраическое уравнение второй степени.

0cbxax2 ,

(3)

где a , b , c – некоторые действительные числа, называется квадратным

уравнением. Если 1a , то квадратное уравнение (3) называется

приведенным.

Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле

a2

ac4bbx

2

2,1

,

54

Выражение ac4b2 называется дискриминантом квадратного уравнения.

При этом:

если 0ac4b2 , то уравнение имеет два различных действительных

корня;

если 0ac4b2 , то уравнение имеет один действительный корень кратности

2;

если 0ac4b2 , то уравнение действительных корней не имеет, а

имеет два комплексно сопряженных корня:

ia2

bac4

a2

bx

2

1

, i

a2

bac4

a2

bx

2

2

,

Частными видами квадратного уравнения (3) являются:

1) Приведенное квадратное уравнение (в случае, если 1a ), которое

обычно записывается в виде 0qpxx2 .

Корни приведенного квадратного уравнения вычисляются по формуле

q2

p

2

px

2

21

, .

(4)

Эту формулу называют формулой Виета – по имени французского

математика конца XVI в., внесшего значительный вклад в становление

алгебраической символики.

2) Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом, которое

обычно записывается в виде 0ckx2ax2 (k - целое число).

Корни этого квадратного уравнения удобно вычислять по формуле

a

ackkx

2

2,1

. (5)

Формулы (4) и (5) являются частными видами формулы для

вычисления корней полного квадратного уравнения.

Корни приведенного квадратного уравнения 0qpxx2

55

связаны с его коэффициентами Формулами Виета: pxx 21 , qxx 21 .

В случае, если приведенное квадратное уравнение имеет

действительные корни, формулы Виета позволяют судить как о знаках, так и

об относительной величине корней квадратного уравнения, а именно:

если 0q , 0p , то оба корня отрицательны;

если 0q , 0p , то оба корня положительны;

если 0q , 0p , то уравнение имеет корни разных знаков, причем

отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного;

если 0q , 0p , уравнение имеет корни разных знаков, причем

отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного

корня.

Перепишем еще раз квадратное уравнение 0cbxax2 (6)

и покажем еще один способ как можно вывести корни квадратного уравнения

(6) через его коэффициенты и свободный член. Если a+b+ 0c , (7)

то корни квадратного уравнения вычисляются по формуле

)(

)(,

ba2

c2bbx 21

,

откуда

1x1 , a

cx2 .

которая может быть получена в результате следующих преобразований

исходного уравнения, а так же с учетом формулы (7).

)(

)(,

bc2

bcc4bbx

2

21

)(,

bc2

cb4c4bbx

22

21

,

Заметим, что 222 c2bcb4c4b , поэтому

)(

,bc2

c2bbx

2

21

)(

)(,

bc2

c2bbx 21

, откуда

bc2

c2bbx1

bc2

cb2x1

1x1 .

56

)(

)(

bc2

c2bbx2

)( bc

cx2

,

но abc , из формулы (7) поэтому окончательноa

cx2 .

Если положить, что a b+ 0c , то

)(

)(,

cb2

cbc4bbx

2

21

)(,

cb2

cb4c4bbx

22

21

,

Заметим, что 222 c2bcb4c4b , поэтому

)(

,cb2

c2bbx

2

21

)(

)(,

cb2

c2bbx 21

,

откуда

)(

)(

cb2

c2bbx1

)( cb2

c2x1

,

но acb , abc поэтому окончательноa

cx1 ;

cb2

c2bbx2

cb2

bc2x 2

a

ax2 1x2 .

КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Начнем с упрощения:

Если кубическое уравнение общего вида 0dcxbxax 23 , где 0a ,

разделить на a , то коэффициент при 3x станет равен 1. Поэтому в дальнейшем

будем исходить из уравнения 0RQxPxx 23 . (8)

Так же как в основе решения квадратного уравнения лежит формула квадрата

суммы, решение кубического уравнения опирается на формулу куба суммы:

32233 bab3ba3a)ba(

Чтобы не путаться в коэффициентах, заменим здесь a на x и перегруппируем

слагаемые:

57

32233 bxb3bx3xbx )( .

(9)

Мы видим, что надлежащим выбором b , а именно взяв 3/Pb , можно

добиться того, что правая часть этой формулы будет отличаться от левой части

уравнения (8) только коэффициентом при x и свободным членом. Сложим

уравнения (8) и (9) и приведем подобные:

0bRx)b3Q()bx( 323 .

Если здесь сделать замену bxy , получим кубическое уравнение

относительно y без члена с 2y : 0qpyy3 .

Итак, мы показали, что в кубическом уравнении (8) с помощью подходящей

подстановки можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного.

Поэтому теперь будем решать уравнение вида

0qpxx3 .

(10)

ФОРМУЛА КАРДАНО

Давайте еще раз обратимся к формуле куба суммы, но запишем ее иначе:

)ba(ab3ba)ba( 333 .

Сравните эту запись с уравнением (10) и попробуйте установить связь между

ними. Даже с подсказкой это непросто. Надо отдать должное математикам

эпохи Возрождения, решившим кубическое уравнение, не владея буквенной

символикой. Подставим в нашу формулу bax :

abx3bax 333 , или

0)ba(abx3x 333 .

Теперь уже ясно: для того, чтобы найти корень уравнения (10), достаточно

решить систему уравнений

58

,pab3

,qba 33

или

,3

pba

,qba

333

33

и взять в качестве x сумму a и b . Заменой 3au , 3bv эта система

приводится к совсем простому виду:

.3

puv

,qvu

3

Дальше можно действовать по-разному, но все "дороги" приведут к одному и

тому же квадратному уравнению. Например, согласно теореме Виета, сумма

корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при x со

знаком минус, а произведение – свободному члену. Отсюда следует, что u и v -

корни уравнения

0)3/p(qtt 32 .

Выпишем эти корни:

.3

q

2

q

2

qt

32

2,1

Переменные a и b равны кубическим корням из 1t и 2t , а искомое решение

кубического уравнения (10) – сумма этих корней:

3

32

3

32

27

p

4

q

2

q

27

p

4

q

2

qх .

Эта формула известная как формула Кардано.

БИКВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ

Алгебраическое уравнение четвертой степени.

0cbxax 24 ,

где a, b, c – некоторые действительные числа, называется биквадратным

уравнением. Заменой yx 2 уравнение сводится к квадратному уравнению

59

0cbyay2 с последующим решением двух двучленных уравнений

12 yx и 2

2 yx ( 1y и 2y - корни соответствующего квадратного уравнения).

Если 0y1 и 0y2 , то биквадратное уравнение имеет четыре действительных

корня:

12,1 yx , 24,3 yx .

УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ

Метод решения уравнений четвертой степени нашел в XVI в. Лудовико

Феррари, ученик Джероламо Кардано. Он так и называется – метод Феррари.

Как и при решении кубического и квадратного уравнений, в уравнении

четвертой степени 0srxqxpxx 234

можно избавиться от члена 3px подстановкой 4/pyx . Поэтому будем

считать, что коэффициент при кубе неизвестного равен нулю:

0cbxaxx 24 .

Идея Феррари состояла в том, чтобы представить уравнение в виде

22 BA , где левая часть – квадрат выражения sxA 2 , а правая часть –

квадрат линейного уравнения B от x , коэффициенты которого зависят от s .

После этого останется решить два квадратных уравнения: BA и BA .

Конечно, такое представление возможно только при специальном выборе

параметра s . Удобно взять s в виде t2/a , тогда уравнение перепишется так:

4

acattbxtx2t

2

ax

222

22

.

(11)

Правая часть этого уравнения – квадратный трехчлен от x . Полным квадратом

он будет тогда, когда его дискриминант равен нулю, т.е.

04

acattt24bD

222

, или

60

c4aat4t4t2b 222 .

Это уравнение называется резольвентным (т.е. "разрешающим"). Относительно

t оно кубическое, и формула Кардано позволяет найти какой-нибудь его корень

0t . При 0tt правая часть уравнения (11) принимает вид

2

00

t4

bxt2

, а само уравнение сводится к двум квадратным:

0

002

t4

bxt2t

2

ax .

Их корни и дают все решения исходного уравнения.

Решим для примера уравнение

05x8x10x 24 .

Здесь удобнее будет воспользоваться не готовыми формулами, а самой

идеей решения. Перепишем уравнение в виде

5x8x10x 24

и добавим к обеим частям выражение 22 ssx2 , чтобы в левой части

образовался полный квадрат:

5sx8xs210sx 2222 .

Теперь приравняем к нулю дискриминант правой части уравнения:

05ss21016 2 ,

или, после упрощения, 033s5s5s 23 .

Один из корней полученного уравнения можно угадать, перебрав делители

свободного члена: 3s0 . После подстановки этого значения получим

уравнение

2222 1x44x8x43x ,

откуда 1x23x2 . Корни образовавшихся квадратных уравнений -

61x 21 , и 21x 43 , . Разумеется, в общем случае могут получиться

и комплексные корни.

61

РЕШЕНИЕ ДЕКАРТА-ЭЙЛЕРА

0dcxbxaxx 234

подстановкой 4/ayx приводится к "неполному" виду

0rqypyy 24 .

(12)

Корни 1y , 2y , 3y , 4y "неполного" уравнения четвертой степени (12) равны

одному из выражений 1z 2z 3z ,

в которых сочетания знаков выбираются так, чтобы удовлетворялось условие

1z 2z8

qz3 ,

причем 1z , 2z и 3z - корни кубичного уравнения

064

qz

16

r4pz

2

pz

2223

.

УРАВНЕНИЯ ВЫСОКИХ СТЕПЕНЕЙ

РАЗРЕШИМОСТЬ В РАДИКАЛАХ

Формула корней квадратного уравнения известна с незапамятных

времен, а в XVI в. итальянские алгебраисты решили в радикалах уравнения

третьей и четвертой степеней. Таким образом, было установлено, что корни

любого уравнения не выше четвертой степени выражаются через

коэффициенты уравнения формулой, в которой используются только четыре

арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и

извлечение корней степени, не превышающей степень уравнения. Более того,

все уравнения данной степени n ( 4n ) можно "обслужить" одной общей

формулой. При подстановке в нее коэффициентов уравнения получим все

корни – и действительные, и комплексные.

62

После этого естественно возник вопрос: а есть ли похожие общие

формулы для решения уравнений пятой степени и выше Ответ на него смог

найти норвежский математик Нильс Хенрик Абель в начале XIX в. Чуть

раньше этот результат был указан, но недостаточно обоснован итальянцем

Паоло Руффини. Теорема Абеля-Руффини звучит так:

Общее уравнение степени n при 5n неразрешимо в радикалах.

Таким образом, общей формулы, применимой ко всем уравнениям

данной степени 5n , не существует. Однако это не значит, что невозможно

решить в радикалах те или иные частные виды уравнений высоких степеней.

Сам Абель нашел такое решение для широкого класса уравнений

произвольно высокой степени – так называемых абелевых уравнений.

Теорема Абеля-Руффини не исключает даже и того, что корни каждого

конкретного алгебраического уравнения можно записать через его

коэффициенты с помощью знаков арифметических операций и радикалов, в

частности, что любое алгебраическое число, т.е. корень уравнения вида

0axa...xaxa 011n

1nn

n , 0an ,

с целыми коэффициентами, можно выразить в радикалах через

рациональные числа. На самом деле такое выражение существует далеко не

всегда. Это следует из теоремы разрешимости алгебраических уравнений,

построенной выдающимся французским математиком Эваристом Галуа в его

"Мемуаре об условиях разрешимости уравнений в радикалах" (1832 г.;

опубликован в 1846 г.).

Подчеркнем, что в прикладных задачах нас интересует только

приближенные значения корней уравнения. Поэтому его разрешимость в

радикалах здесь обычно роли не играет. Имеются специальные

вычислительные методы, позволяющие найти корни любого уравнения с

любой наперед заданной точностью, ничуть не меньшей, чем дают

вычисления по готовым формулам.

63

УРАВНЕНИЯ, КОТОРЫЕ РЕШАЮТСЯ

Хотя уравнения высоких степеней в общем случае неразрешимы в

радикалах, да и формулы Кардано и Феррари для уравнений третьей и

четвертой степеней в школе не проходят, в учебниках по алгебре, на

вступительных экзаменах в институты иногда встречаются задачи, где

требуется решить уравнения выше второй степени. Обычно их специально

подбирают так, чтобы корни уравнений можно было найти с помощью

некоторых элементарных приемов.

В основе одного из таких приемов лежит теорема о рациональных

корнях многочлена:

Если несократимая дробь q/p является корнем многочлена

011n

1nn

n axa...xaxa)x(P с целыми коэффициентами, то ее

числитель p является делителем свободного члена 0a , а знаменатель q -

делителем старшего коэффициента na .

Для доказательства достаточно подставить в уравнение 0)x(P q/px

и умножить уравнение на nq . Получим

0qapqa...qpapa n0

1n1

1n1n

nn

.

Все слагаемые в левой части, кроме последнего, делятся на p , поэтому и

n0qa делится на p , а поскольку q и p - взаимно простые числа, p является

делителем 0a . Доказательство для q аналогично.

С помощью этой теоремы можно найти все рациональные корни

уравнения с целыми коэффициентами испытанием конечного числа

"кандидатов". Например, для уравнения 02xx3x 23 , старший

коэффициент которого равен 1, "кандидатами" будут делители числа –2. Их

всего четыре: 1, -1, 2 и –2. Проверка показывает, что корнем является только

одно из этих чисел: 2x0 .

Если один корень найден, можно понизить степень уравнения. Согласно

теореме Безу,

64

остаток от деления многочлена )x(P на двучлен cx равен )c(P , т. е.

cPxQcx)x(P .

Из теоремы непосредственно следует, что

Если c - корень многочлена )x(P , то многочлен делится на cx , т. е.

xQcx)x(P , где )x(Q - многочлен степени, на 1 меньшей, чем )x(P

.

Продолжая наш пример, вынесем из многочлена

2xx3x)x(P 23

множитель 2xxx 0 . Чтобы найти частное )x(Q , можно выполнить

деление "уголком":

2xx3x 23 2x

23 x2x 1xx2

xx2

x2x2

2x

2x

0

Но есть и более простой способ. Он станет понятен из примера:

.1xx2x2xx2xx2x2xx3x)x(P 222323

Теперь остается решить квадратное уравнение 01xx2 . Его корни:

2

51x 2,1

.

65

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Если у многочлена с целыми коэффициентами рациональных корней не

оказалось, можно попробовать разложить его на множители меньшей

степени с целыми коэффициентами. Рассмотрим, например, уравнение

03x8x2x 24 .

Представим левую часть в виде произведения двух квадратных трехчленов с

неизвестными (неопределенными) коэффициентами:

qpxxbaxx3x8x2x 2224 .

Раскроем скобки в правой части и приведем подобные:

bqxbpaqxqapbxpax3x8x2x 23424 .

Теперь, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих

частях, получим систему уравнений

.3bq

,8bpaq

,2qapb

,0pa

Попытка решить эту систему в общем виде вернула бы нас назад, к

решению исходного уравнения. Но целые корни, если они существуют,

нетрудно найти и подбором. Не ограничивая общности, можно считать, что

qb , тогда последнее уравнение показывает, что надо рассмотреть лишь два

варианта: 3b , 1q и 1b 3q . Подставляя эти пары значений в

остальные уравнения, убеждаемся, что первая из них дает искомое

разложение: 1x2x3x2x3x8x2x 2224 . Этот способ

решения называется методом неопределенных коэффициентов.

Если уравнение имеет вид 0))x(Q(P , где P и Q - многочлены, то

замена xQy сводит его решение к решению двух уравнений меньших

степеней: 0)y(P и y)x(Q .

66

ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Возвратным алгебраическим уравнением называется уравнение четной

степени вида

0axa...xaxa 011n2

1n2n2

n2 ,

в которых коэффициенты, одинаково отстоят от концов, равны: 0n2 aa ,

11n2 aa и т. д. Такое уравнение сводится к уравнению вдвое меньшей

степени делением на nx и последующей заменой x/1xy .

Рассмотрим, например, уравнение

01bxaxx 234 .

Поделив его на 2x (что законно, так как 0x не является корнем), получаем

0x

1

x

abaxx

2

2 .

Заметим, что

2x

1x

x

1x 2

2

.

Поэтому величина x/1xy удовлетворяет квадратному уравнению

02bayy2 ,

решив которое можно найти x из уравнения 01yxx2 .

При решении возвратных уравнений более высоких степеней обычно

используют тот факт, что выражение kk x/1x при любом k можно

представить как многочлен степени k от x/1xy .

РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Рациональным алгебраическим уравнением называется уравнение вида

0)x(Q

)x(P ,

(13)

67

где )x(P и )x(Q - многочлены. Далее для определенности будем

полагать, что )x(P - многочлен m-й степени, а )x(Q - многочлен n-й степени.

Множество допустимых значений рационального алгебраического

уравнения (13)

задается условием 0)x(Q , т. е. 1cx , 2cx , ..., ncx где 1c , 2c , ...,

nc - корни многочлена )x(Q .

Метод решения уравнения (13) заключается в следующем. Решаем

уравнение 0)x(P , корни которого обозначим через m321 x...,x,x,x .

Сравниваем множества корней многочленов )x(P и )x(Q . Если

никакой корень многочлена )x(P не является корнем многочлена )x(Q , то

все корни многочлена )x(P являются корнями уравнения (13). Если какой-

нибудь корень многочлена )x(P является корнем многочлена )x(Q , то

необходимо сравнить из кратности: если кратность корня многочлена )x(P

больше кратности корня многочлена )x(Q , то этот корень является корнем

(13) с кратностью, равной разности кратностей корней делимого и делителя;

в противном случае корень многочлена )x(P не является корнем

рационального уравнения (13).

П р и м е р. Найдем действительные корни уравнения

0)x(Q

)x(P ,

где 1x)x(P 4 , 1x)x(Q .

Многочлен )x(P имеет два действительных корня (оба простые): 1x1 ,

1x2 .

Многочлен )(xQ имеет один простой корень 1c . Следовательно,

уравнение имеет один действительный корень 1x .

68

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Уравнение, содержащее неизвестное (либо рациональное

алгебраическое выражение от неизвестного) под знаком радикала, называют

иррациональным уравнением. В элементарной математике решения

иррациональных уравнений отыскивается в множестве действительных

чисел.

Всякое иррациональное уравнение с помощью элементарных

алгебраических операций (умножение, деление, возведение в целую степень

обеих частей уравнения) может быть сведено к рациональному

алгебраическому уравнению. При этом следует иметь в виду, что полученное

рациональное алгебраическое уравнение может оказаться неэквивалентным

исходному иррациональному уравнению, а именно может содержать

"лишние" корни, которые не будут корнями исходного иррационального

уравнения. Поэтому, найдя корни полученного рационального

алгебраического уравнения, необходимо проверить, а будут ли все корни

рационального уравнения корнями иррационального уравнения.

В общем случае трудно указать какой-либо универсальный метод

решения любого иррационального уравнения, так как желательно, чтобы в

результате преобразований исходного иррационального уравнения

получилось не просто какое-то рациональное алгебраическое уравнение,

среди корней которого будут и корни данного иррационального уравнения, а

рациональное алгебраическое уравнение образованное из многочленов как

можно меньшей степени. Желание получить то рациональное алгебраическое

уравнение, образованное из многочленов как можно меньшей степени,

вполне естественно, так как нахождение всех корней рационального

алгебраического уравнения само по себе может оказаться довольно трудной

задачей, решить которую полностью мы можем лишь в весьма ограниченном

числе случаев.

Приведем некоторые стандартные, наиболее часто применяемые методы

решения иррациональных алгебраических уравнений.

69

1) Одним из самых простых приемов решения иррациональных

уравнений является метод освобождения от радикалов путем

последовательного возведения обеих частей уравнения в соответствующую

натуральную степень. При этом следует иметь в виду, что при возведении

обеих частей уравнения в нечетную степень полученное уравнение,

эквивалентное исходному, а при возведении обеих частей уравнения в

четную степень полученное уравнение будет, вообще говоря,

неэквивалентным исходному уравнению. В этом легко убедиться, возведя

обе части уравнения

)x(g)x(f

в любую четную степень. В результате этой операции получается уравнение

n2n2)x(g)x(f

множество решений которого представляет собой объединение множеств

решений:

)x(g)x(f и )x(g)x(f .

Однако, несмотря на этот недостаток, именно процедура возведения обеих

частей уравнения в некоторую (часто четную) степень является самой

распространенной процедурой сведения иррационального уравнения к

рациональному уравнению.

П р и м е р 1. Решить уравнение

)x(R)x(Q)x(P ,

(14)

где )x(P , )x(Q , )x(R - некоторые многочлены.

В силу определения операции извлечения корня в множестве

действительных чисел допустимые значения неизвестного x определяются

условиями

0)x(P , 0)x(Q .

Возведя обе части уравнения (14) в квадрат, получим уравнение

70

)x(Q)x(P)x(R)x(Q)x(P2 2 .

После повторного возведения в квадрат уравнение превращается в

алгебраическое уравнение

22 )x(Q)x(P)x(R)x(Q)x(P4 .

(15)

Так как обе части уравнения (14) возводились в квадрат, может

оказаться, что не все корни уравнения (15) будет являться решениями

исходного уравнения, необходима проверка корней.

2) Другим примером решения иррациональных уравнений является

способ введения новых неизвестных, относительно которых получается либо

более простое иррациональное уравнение, либо рациональное уравнение.

П р и м е р 2. Решить иррациональное уравнение

2x3

1x1x

1x

x3x3 33

)()( .

Множество допустимых значений этого уравнения:

);(;);( 3311x .

Положив y1x

x33

, после подстановки получим уравнение

2y

1xy)x3(

или эквивалентное ему уравнение

01xy2y)x3( 2 ,

которое можно рассматривать как квадратное уравнение относительно y .

Решая это уравнение, получим

1y1 , x3

1xy2

.

Следовательно, множество решений исходного иррационального уравнения

представляет собой объединение множеств решений следующих двух

уравнений:

71

11x

x33

,

x3

1x

1x

x33

.

Возведя обе части каждого из этих уравнений в куб, получим два

рациональных алгебраических уравнения:

11x

x3

,

3

x3

1x

1x

x3

.

Решая эти уравнения, находим, что данное иррациональное уравнение

имеет единственный корень 2x .

В заключение заметим, что при решении иррациональных уравнений

не следует начинать решение уравнение с возведения обеих частей

уравнений в натуральную степень, пытаясь свести решение иррационального

уравнения к решению рационального алгебраического уравнения. Сначала

необходимо посмотреть, нельзя ли сделать какое-нибудь тождественное

преобразование уравнения, которое может существенно упростить его

решение.

П р и м е р 3. Решить уравнение

444 xx1x

ax1a .

(16)

Множество допустимых значений данного уравнения: );0(x . Сделаем

следующие преобразования данного уравнения:

444 xx1x

ax1a 44 x

x

11x1a

1

x

11

x

11a4

.

Далее, записывая уравнение в виде

1x

11a

45

/

,

получим:

при 0a уравнение решений иметь не будет;

при 0a уравнение может быть записано в виде

72

a

1

x

11a

45

/

.

При 0a данное уравнение решений не имеет, так как при любом x ,

принадлежащем множеству допустимых значений уравнения, выражение,

стоящее в левой части уравнения, положительно.

При 0a уравнение имеет решение

1a1

1x

5 4

/.

Принимая во внимание, что множество допустимых решений

уравнения определяется условием 0x , получаем окончательно:

При 1a0 решением иррационального уравнения (16) будет

1a1

1x

5 4

/.

При всех остальных значениях a уравнение решений не имеет, т. е.

множество его решений – пустое множество.

УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ НЕИЗВЕСТНОЕ ПОД ЗНАКОМ

АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины,

можно свести к уравнениям, не содержащим знака абсолютной величины,

используя определение модуля. Так, например, решение уравнения

02

13

2

5x5x2

(17)

сводится к решению двух уравнений с дополнительными условиями.

1) Если 02

5x , то уравнение (17) приводится к виду

06x5x2 .

(18)

73

Решения этого уравнения: 2x1 , 3x2 . Условию 02

5x

удовлетворяет второй корень квадратного уравнения (22), и число 3 является

корнем уравнения (21).

2) Если 02

5x , уравнение (17) приводится к виду 019x5x2 .

Корнями этого уравнения будут числа 2

1015x1

и

2

1015x2

. Первый корень

2

1015x1

не удовлетворяет условию

02

5x и поэтому не является решением данного уравнения (17).

Таким образом, решениями уравнения (17) будут числа 3 и 2

1015.

Заметим, что коэффициенты уравнения, содержащего неизвестное под

знаком абсолютной величины, можно подобрать таким образом, что

решениями уравнения будут все значения неизвестного, принадлежащие

некоторому промежутку числовой оси.

Например, решим уравнение

3x3x .

(19)

Рассмотрим числовую ось Ох и отметим на ней точки 0 и 3 (ноли

функций, стоящих под знаком абсолютной величины). Эти точки разобьют

числовую ось на три промежутка (рис. 1):

0x , 3x0 , x3 .

0 3 x

рис. 1.

74

1) При )0;(x уравнение (19) приводится к виду 3x23 .

В промежутке )0;( последнее уравнение решений не имеет.

Аналогично, при );3(x уравнение (19) приводится к виду 33x2

и в промежутке );3( решений не имеет.

2) При 3;0x уравнение (19) приводится к виду 3)x3(x ,

т. е. обращается в тождество. Следовательно, любое значение 3;0x

является решением уравнения (19).

ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Уравнение, не сводящееся к алгебраическому уравнению с помощью

алгебраических преобразований, называется трансцендентным уравнением.

Простейшими трансцендентными уравнениями являются

показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения.

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное

входит только в показатели степеней при некоторых постоянных основаниях.

Простейшим показательным уравнением, решение которого сводится к

решению алгебраического уравнения, является уравнение вида

ba )x(f ,

(20)

где a и b - некоторые положительные числа )1a( . Показательное

уравнение (20) эквивалентно алгебраическому уравнению blog)x(f a .

В простейшем случае, когда x)x(f , показательное уравнение (24)

имеет решение blogx a

Множество решений показательного уравнения вида

0)a(R x ,

(21)

75

где R - некоторый многочлен, находится следующим образом.

Вводится новая переменная xay , и уравнение (21) решается как

алгебраическое относительно неизвестного y . После этого решение

исходного уравнения (21) сводится к решению простейших показательных

уравнений вида (20).

П р и м е р 1. Решить уравнение

042241889 xxx .

Записывая уравнение в виде

042221829 x2x3x

и вводя новую переменную x2y , получаем кубическое уравнение

относительно переменной y:

04y2y18y9 23 .

Нетрудно убедиться, что данное кубическое уравнение имеет

единственный рациональный корень 2y1 и два иррациональных корня:

3

2y2 и

3

2y3 .

Таким образом, решение исходного уравнения сведено к решению

простейших показательных уравнений:

22x , 3

22x ,

3

22x .

Последнее из перечисленных, уравнений решений не имеет. Множество

решений первого и второго уравнений:

1x и 3

2logx 2 .

Н е к о т о р ы е п р о с т е й ш и е п о к а з а т е л ь н ы е у р а в н е н и

я:

1) Уравнение вида 0aa xx2

заменой ya x сводится к квадратному уравнению 0yy2 .

76

2) Уравнение вида 0aa xx заменой ya x сводится к

квадратному уравнению 0yy2 .

3) Уравнение вида 0baba x2xx2 заменой yb

ax

сводится к квадратному уравнению 0yy2 .

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором

неизвестное входит в виде аргумента логарифмической функции.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

b)x(floga ,

(22)

где a - некоторое положительно число, отличное от единицы, b - любое

действительное число. Логарифмическое уравнение (22) эквивалентно

алгебраическому уравнению ba)x(f .

В простейшем случае, когда x)x(f , логарифмическое уравнение (22)

имеет решение bax .

Множество решений логарифмического уравнения вида 0)x(logR a ,

где R - некоторый многочлен указанного неизвестного, находится

следующим образом.

Вводится новая переменная yxloga , и уравнение решается как

алгебраическое уравнение относительно y . После этого решаются

простейшие логарифмические уравнения вида (22).

П р и м е р 1. Решить уравнение

02xlogxlog 222 .

(23)

Относительно неизвестного yxlog2 данное уравнение – квадратное:

77

02yy2 .

Корни этого уравнения: 1y1 , 2y2 .

Решая логарифмические уравнения 1xlog2 , 2xlog2 ,

получаем решения логарифмического уравнения (23): 2x1 , 4/1x2 .

В некоторых случаях, для того чтобы свести решение

логарифмического уравнения к последовательному решению

алгебраического и простейших логарифмических уравнений, необходимо

предварительно сделать подходящие преобразования логарифмов, входящих

в уравнение. Такими преобразованиями могут быть преобразование суммы

логарифмов двух величин в логарифм произведения этих величин, переход

от логарифма с одним основанием к логарифму с другим основанием и т. д.

П р и м е р 2. Решить уравнение

06xx22 32

316

2 loglog .

(24)

Для того чтобы свести решение данного уравнения к

последовательному решению алгебраического и простейших

логарифмических уравнений, необходимо прежде всего привести все

логарифмы к одному основанию (здесь, например, к основанию 2). Для этого

воспользуемся формулой

alog

NlogNlog

b

ba ,

в силу которой 4

xlog

16log

xlogxlog 2

2

216 . Подставив в уравнение (24) вместо

xlog16 равную ему величину4

xlog2 , получаем уравнение

06xx 32

32

2 loglog .

Заменой yx32 log это уравнение сводится к квадратному

уравнению относительно неизвестного y:

78

06yy2 .

Корни этого квадратного уравнения: 3y1 , 2y2 . Решаем уравнения

3x32 log и 2x3

2 log :

3x32 log 27x2 log 272x ,

2x32 log 8xlog2 82x ,

П р и м е р 3. Решить уравнение

1)1x(log1x2log 33 .

Преобразуя разность логарифмов двух величин в логарифм частного

этих величин:

1x

1x2log)1x(log1x2log 333

,

сводим данное уравнение к простейшему логарифмическому уравнению

11x

1x2log3

3

1x

1x2

2x .

Заключение

Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с

развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и

идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров

внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их

облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен,

контрольная работа), поэтому знание хотя бы самых главных способов

решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в

повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих

отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.

В данной работе были представлены далеко не все способы решения

уравнений и даже не все их виды, а только самые основные. Я надеюсь, что

данная работа может послужить неплохим справочным материалом при

решении тех или иных уравнений.

79

ДЛЯ ЗАМЕТОК

80

Методическое издание

Авторский коллектив

СБОРНИК

МЕТОДИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ ПО ТЕМАМ САМООБРАЗОВАНИЯ,

ПО ПОДГОТОВКЕ К ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ

(Предметно-методическая комиссия – математика, информатика и ИКТ)

Компьютерная верстка М.В. Стрельцова

________________________________________________________________ Подписано в печать 15.04.2017. Объем 2,09 усл.п.л.

Печать оперативная Тираж 100 экз.

Федеральное государственное казенное

общеобразовательное учреждение

«Аксайский Данилы Ефремова казачий кадетский корпус»

Министерства обороны Российской Федерации

346735, Ростовская область, Аксайский район, п. Рассвет, ул. Институтская, 4