1 רועי בר' פרופ/ מבוא לקשר כימי

1

חופשי חלקיק .5

הקדמה

" מוזרים" קשרים. רבות ניסיוניות תופעותנותנת הסבר ל אינה הקלאסית הפיזיקה כי למדנו הקודמים בפרקים

גליות תכונות עם חלקיקים הם שהגלים מראים כולם ברוגלי-ודה קומפטון, אינשטיין, פלאנק שפיתחו

שבה חדשהה המכאניקה את כעת נבנה אנו. דואלי אופי בטבע הישויות לכל יש כלומר. גליים הם והחלקיקים

למושג אינטרפרטציה לבנות היא המטרה. גלית וגם חלקיקית התגלמות גם להן שיש למהויות מקום יהיה

חייבת המסגרת '.דוכ הכימי הקשר נוצר וכיצד מדוע, האטומים יציבות להבנת מסגרת גם המהווה הדואליות

.גבוהה דיוק ברמת כמותי באופן הנמדדות התופעות את להסביר תוכל שנבנה התיאוריה כלומר, כמותית להיות

חלקיק של הגל-פונקצית

על פי חוקי המכניקה החדשה, בכל פעם שעושים ניסוי כלשהו, שבו מכינים חלקיק במצב מסויים ואז מודדים

מההנחה של הפיסיקה את מקומו, אין אפשרות יכולים לדעת מראש את תוצאת הניסוי. הנחה בסיסית זו שונה

הישנה בה בכל פעם נקבל בדיוק את אותה תוצאה!

אבל כעת שימו לב: חוזרים על הניסוי אינספור פעמים ובכל פעם רושמים את מקום החלקיק כפי שנמדד.

מבחינת רשימת המקומות הללו ניתן לראות שיש תבנית: באזורים מסויימים החלקיק מופיע מספר כדול של

ת אחרים מספרי קטן של פעמים ובמקומות אחרים מספר בינוני של מקרים. מתברר אם כך, פעמים ובמקומו

שיש לחלקיק פונקציית התפלגות של מקום האומרת לו באיזה מקומות הוא יימצא בסבירות גבוהה ובאילו

יק.בסבירות נמוכה. כל חלקיק מתגלה במקום אקראי אבל הסיכוי להתגלות במקום מסויים נקבעת ממצב החלק

, מעניקה לנו כלים לתיאור התופעה ההסתברותית הזו. הקוואנטים ניקתאמכ המכונההמכניקה המחדשה,

–חלקיקולצורך כך היא משתמשת במושג חדש -המכניקה זו צריכה גם לקשר את מושג הדואליות של גל

ידי-על מתואר יהפיזיקאל מצבו אבל נקודתי הוא החלקיק הקוונטית המכניקה לפי. "החלקיק של הגל-פונקצית"

בהצגת מושג זה, . הגל בפונקצית מגולמת לחלקיק באשר לקבוע או למדוד שניתן האינפורמציה כל. גל-פונקצית

.ומקבלים בתמורה אפשרות להתאבכות דטרמיניסטיות עלאנו מוותרים

ERWIN WITH HIS PSI CAN DO

Calculations quite a few.

But one thing has not been seen

Just what does psi really mean.

Felix Bloch's translation of a poem by Walter Hückel.

סיכוייםה-אמפליטודת המכונה 𝜓(𝒓))מרוכב( מספר במרחב 𝒓 נקודה לכל מתאימה חלקיק של הגל פונקצית

שמבצעים בפועל לפניתשובה וודאית איןהחלקיק?" יתגלה לשאלה "היכן לכן, . 𝒓 -ב להימצא החלקיק של

לעבר מסך פוספורסנטי, אין אפשרות לקבוע "נזרק"כאשר חלקיק כמו אלקטרון !מדידה שמטרתה לענות על כך

הסיכוי את לקבוע המכניקה החדשה מגישה לנו כלימראש באיזו נקודה נבחין בנצנוץ על המסך. במקום וודאות,

-צפיפותמפיקים את ממנה .𝜓(𝒓)גל -הסיכוי הזה נגזר מפונקציית. נתונה נקודהכל ב החלקיקתגלות לה

𝜓(𝒓)|2|ולמעשה, . 𝒓 הבנקודתגלה י שהחלקיק הסיכויים = 𝜓∗(𝒓)𝜓(𝒓) פונקציית .הזו הסיכויים-צפיפות היא

2 רועי בר' פרופ/ מבוא לקשר כימי

2

הגל מכילה בתוכה את כל המידע בנוגע למצב החלקיק. עלינו לוותר על וודאות לא רק לגבי המקום אלא גם,

לגילוי הסיכויים-צפיפותלמשל, לגבי במהירות. לכן, פונקציית הגל מכילה גם את המידע המאפשר לקבל את

.כלשהי 𝒗החלקיק כאשר הוא נע במהירות

מהות החלקיקית מתבטאת בכך, ה .חלקיקיתוה גליתה ,המהויות שתי אתהיא הישות שמשלבת הגל פונקצית

שכאשר מתבצעת המדידה של מקום הגרעין )באמצעות חיישנים( רק אחד הגלאים "ינצנץ". במילים אחרות

נתון , כלשהו V בנפחשהחלקיק יתגלה, נאמר, 𝑝(𝑉) הסיכויהחלקיק הוא יחיד ונמצא במקום יחיד. מאידך,

:המרשם לפי, 𝜓(𝒓)נקבע על ידי פונקציית הגל

𝑃(𝑉) = ∫|𝜓(𝒓)|2𝑑3𝑟

𝑉

(5.1)

הסיכוי מה חשב. |𝑒−𝛼|𝑥 -ל הפרופורציונית גל פונקצית ידי-על המתואר במצב מצוי ממדי-חד חלקיק: דוגמה

𝑦 במרחק ימצא שהחלקיק > .מהראשית יותר או 0

𝜓(𝑥)פונקציית הגל. נרשום את "ננרמל, "ראשית: פתרון = 𝑁𝑒−𝛼|𝑥| ונקבע את𝑁 נאי הנורמליזציהמת:

1 = ⟨𝜓|𝜓⟩ = ∫ |𝜓(𝑥)|2𝑑𝑥∞

−∞

= 𝑁2∫ 𝑒−2𝛼|𝑥|𝑑𝑥∞

−∞

= 2𝑁2∫ 𝑒−2𝛼𝑥𝑑𝑥∞

0

=𝑁2

𝛼

𝜓(𝑥) :היא המנורמלת הגל פונקצית = √𝛼𝑒−𝛼|𝑥|. מ הקטן מהראשית במרחק ימצא שהחלקיק הסיכוי- 𝑦:

𝑃(|𝑥| < 𝑦) = ∫ |𝜓(𝑥)|2𝑑𝑥 𝑦

−𝑦

= 𝛼∫ 𝑒−2𝛼|𝑥|𝑑𝑥 𝑦

−𝑦

= 2𝛼∫ 𝑒−2𝛼𝑥𝑑𝑥 𝑦

0

= 1 − 𝑒−2𝛼𝑦

|y: 𝑃(|𝑥 -מ גדול במרחק שיהא הסיכוי לכן > 𝑦) = 1 − 𝑃(|𝑥| < 𝑦) = 𝑒−2𝛼𝑦

:. לכן נדרוש1הוא נפח המרחב כולו הרי הסיכוי שהחלקיק יתגלה במקום כלשהו ביקום הוא Vכמובן, אם

𝑃(𝑎𝑙𝑙 𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒) = ∫ |𝜓(𝒓)|2𝑑3𝑟

𝑎𝑙𝑙 𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒

= ⟨𝜓|𝜓⟩ = 1 (5.1)

פונקציה של המרוכב בצמוד 𝜓(𝑥)פונקציה מכפלת של לאינגרל מקוצר בסימון השתמשנו בשוויון האחרון כאן

:𝜙(𝑥) שניה

∫ 𝜙(𝑥)∗𝜓(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞

= ⟨𝜙|𝜓⟩ (5.2)

3 רועי בר' פרופ/ מבוא לקשר כימי

3

(EXPECTATION VALUE) החלקיק מקום של תצפיתה ערך

𝜓(𝑥) גל פונקצית לחלקיק: דוגמה = 𝑒𝑖𝑘𝑥𝑒−𝛼(𝑥−𝑎)2

שימו לב שהפונקציה תלויה בשני פרמטרים, מספר .

מהי אי הוודאות? ?החלקיק מקום של התצפית ערך מהו. 𝑥 – 𝑎ונקודה על ציר 𝑘גל

:ננרמלראשית, :פתרון

𝜓(𝑥) = 𝑁𝑒𝑖𝑘𝑥𝑒−(𝑥−𝑎)2

2𝜎2 1 = 𝑁2∫ 𝑒−(𝑥−𝑎)2

𝜎2∞

−∞

𝑑𝑥 = 𝑁2𝜎∫ 𝑒−𝑦2

∞

−∞

𝑑𝑦 = 𝑁2√𝜋𝜎.

𝑁לכן = 1/√√𝜋𝜎 .הוא המקום של התצפית ערך:

⟨𝑥⟩ = 𝑁2∫ 𝑒−(𝑥−𝑎)2

𝜎2∞

−∞

𝑥𝑑𝑥 = 𝑁2𝜎∫ 𝑒−𝑦2

∞

−∞

(𝜎𝑦 + 𝑎)𝑑𝑦

= 𝑁2𝜎 [𝜎∫ 𝑒−𝑦2

∞

−∞

𝑦𝑑𝑦 + 𝑎∫ 𝑒−𝑦2

∞

−∞

𝑑𝑦] = 𝑎

הוא מקדם 𝑁 -בגלל ש 1הוא 𝑁2שימו לב שהאינטרל הראשון מתאפס בשל סימטריה ואינטגרל השני, כפול

:)ניתן להיעזר בטבלת אינטגרלים בסוף הפרק( נחשב גם ,הוודאות-מנת לחשב את אי-עלנרמול.

⟨𝑥2⟩ = 𝑁2∫ 𝑒−(𝑥−𝑎)2

𝜎2∞

−∞

𝑥2𝑑𝑥 = 𝑁2𝜎∫ 𝑒−𝑦2

∞

−∞

(𝜎𝑦 + 𝑎)2𝑑𝑦

= 𝑁2𝜎 [𝜎2∫ 𝑒−𝑦2

∞

−∞

𝑦2𝑑𝑦 + 2𝑎𝜎∫ 𝑒−𝑦2

∞

−∞

𝑦𝑑𝑦 + 𝑎2∫ 𝑒−𝑦2

∞

−∞

𝑑𝑦] =

=1

2𝜎2 + 𝑎2

Δ𝑥 :, אי הודאות היאמכאן = √⟨𝑥2⟩ − ⟨𝑥⟩2 =𝜎

√2

תנת לנו מכניקת הקוונטים כלי שבעזרתו נוכל לקבוע את תמורת הויתור על וודאות בקביעת מקום החלקיק, נו

או התוחלת מהיהסיכויים להמצאו בנפח כלשהו. לעיתים רוצים לדעת איפה "בממוצע" נמצא החלקיק. כלומר,

מקום של התצפית ערך" מכונה זה גודל. מומקו של ונשנות חוזרות מדידותמקום החלקיק ב של הממוצע

:מפונקציית באמצעות הביטוימחושב והוא" החלקיק

⟨𝑥⟩ = ∫ |𝜓(𝑥′)|2𝑥′𝑑𝑥′

∞

−∞

= ∫ 𝜓(𝑥′)∗𝑥′𝜓(𝑥′)𝑑𝑥′∞

−∞

≡ ⟨𝜓|𝑥|𝜓⟩ (5.1)

במקרים רבים זהו גודל מאד שימושי, שכן למרות שאיננו מצפים לוודאות במיקום, הרי שערך התצפית נותן לנו

וודאות. מקובל לאמוד -מושג לגבי איפה כדאי לצפות שהוא יתגלה. כמו כל גודל סטטיסטי, עם הממוצע יש גם אי

4 רועי בר' פרופ/ מבוא לקשר כימי

4

Δ𝑥2נות": אי וודאות זו באמצעות הסטייה הממוצעת, שריבועה נתון על ידי ה"שו = ⟨(𝑥 − ⟨𝑥⟩)2⟩ קיים גם לגבי .

ריבוע אי הודאות הקשר הבא:

Δ𝑥2 = ⟨𝑥2 − 2𝑥⟨𝑥⟩ + ⟨𝑥⟩2⟩ = ⟨𝑥2⟩ − ⟨𝑥⟩2 (5.2)

ובצורה מפורשת:

Δ𝑥2 = ⟨𝑥2⟩ − ⟨𝑥⟩2 = ⟨𝜓|𝑥2|𝜓⟩ − ⟨𝜓|𝑥|𝜓⟩2 (5.3)

(MOST PROBABLE LOCATIONS) החלקיק מקום של המסתבר הערך

מירב בהם( הנקודות או) הנקודה: החלקיק למקום המסתבר הערך את להגדיר גם ניתן, התצפית לערך פרט

. מקבל את ערכו המכסימלי 𝜓(𝒓)|2| ש התנאי ידי על מרופיינות אלה נקודות. להתגלות לחלקיק הסיכויים

5 רועי בר' פרופ/ מבוא לקשר כימי

5

𝜓(𝑥) : גל פונקצית לחלקיק: דוגמה = {0, 𝑥 < 0

𝑥𝑒−𝛼

2𝑥 , 𝑥 ≥ 0

והערך התצפית ערך מהו.

?החלקיק מקום של המסתבר

:פתרון

:לאפס ונשווה נגזור. 𝑁2𝑥2𝑒−𝛼𝑥של במכסימום הוא המסתבר הערך

0 = (𝑁2𝑥2𝑒−𝛼𝑥)′ = 𝑁2(2𝑥 − 𝛼𝑥2)𝑒−𝛼𝑥⟹ 𝑥𝑚𝑝 =2

𝛼

:הוא נדרשערך התצפית עבור שימו לב, שערכו של מקדם הנירמול אינו משפיע על ערך המסתבר. אבל

⟨𝑥⟩ = 𝑁2∫ 𝑥2𝑒−𝛼𝑥𝑥𝑑𝑥∞

0

= −𝑁2𝜕3

𝜕𝛼31

𝛼= 𝑁2

6

𝛼4

וזה החישוב

𝑁−2 = ∫ 𝑥2𝑒−𝛼𝑥𝑑𝑥∞

0

=𝜕2

𝜕𝛼2∫ 𝑒−𝛼𝑥𝑑𝑥∞

0

=𝜕2

𝜕𝛼21

𝛼=2

𝛼3

:ומכאן

⟨𝑥⟩ = 𝑁26

𝛼4=3

𝛼

f (x)| 2| של המכסימום זהו) ביותר המסתבר המקום הינו Xmp. ממוקם לגל דוגמה: 1 איור <x> הינו המקום של התצפית ערך(.

(.<X> של צדדיו בשני שווה f (x)| 2| -ל מתחת שהשטח התנאי לפי נקבע)

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30

xmp <X>

|f(x)|2

6 רועי בר' פרופ/ מבוא לקשר כימי

6

. x=15 סביב שני ומקום x = 5 סביב אחד וםקמי חלקיק של מיקומים שני המתארת גל פונקצית: 2 איור

גאוסיאנית גלים חבילת

גאוסיאניתה הגלים חבילת הינה גלים לחבילת ביותר הנפוצה הדוגמה

𝑓(𝑥) = 𝑁𝑒−𝑥2

2𝜎2לעיל חושבש הנרמול מקדם , עם 𝑁2 =1

√𝜋𝜎 זו.

⟨𝑥⟩ הינו המקום של התצפית ערך לכן, סימטרית פונקציה = הערך ,0

ודאותה-אי , וגם(המכסימום שם) בראשיתמצוי המקום של המסתבר𝜎

√2

. )חושבה לעיל(

?ביניהם קשר יש: מונוכרומטים וגלים ממוקמים גלים

גלים אותם – בניין אבני של( סופרפוזיציה) לינארית כקומבינציה לרשום ניתן מיתר על גל כל כי ראינו 2 בפרק

של חלקיק חופשי )כלומר הבניין אבני. גל לפונקציות גם נכוןזה ". נורמלים תנודה אופני" המכונים פשוטים

, אפשר להכין מאידך. מונוכרומטיםה גליםה הםמבלי שפועלים עליו כוחות כל שהם Xחלקיק הנמצא על ציר

חלקיק במצב בו הוא ממוקם כלומר בעל סיכויים גבוהים להיות במקום אחד ולא בשום מקום מרוחק ממנו.

𝑓(𝑥): תלמשל פנוקציית הגל הגאוסי = 𝑒−𝑥2

2𝜎2 לרוב עד כדימתארת חלקיק שנמצא בסביבות הראשית ,

±σ/√2 . שובה ניתנת על ידי משפט הת ?מונוכרומטים גלים של תליניארי קומבינציה הנו ממוקם גלהאם

:מונוכרומטים גלים של סופרפוזיציה להרכיב נוכל, 𝑓(𝑥) גל-פונקצית עבור. פורייה

𝑓(𝑥) =

1

√2𝜋∫ 𝑔(𝑘)𝑒𝑖𝑘𝑥𝑑𝑘∞

−∞

(5.4)

ד כה ע !מונוכרומטים גלים של סופרפוזיציה היא פונקציה כל. הסופרפוזיציה מקדמי הם 𝑔(𝑘) כאשר

𝑘𝑛 ,𝑛בניין עם מספרי גל -אבני-כלל סכום על מספר בדיד של גלים הסופרפוזציה = 1,2, . כאן הכללנו את …

. 𝑘המושג גם לסכום על פני רצף של מספרי גל כלומר אינטגרל על

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 10 20 30

| f (x) |2

7 רועי בר' פרופ/ מבוא לקשר כימי

7

𝑓(𝑥) הממוקמת הגל פונקציית כי והרא: 1 דוגמה = 𝑒−𝑥2

2𝜎2

הראה. מונוכרומטים גלים של סופרפוזיציה היא

𝑔(𝑘):הם שהמקדמים = 𝜎𝑒−𝜎2𝑘2/2 .)בהדגמות לצפות מומלץ wavepacketBuilder.html להדגמה.)

הבא הפיתוח אחר לעכוב יש: פתרון

1

√2𝜋∫ 𝑔(𝑘)𝑒𝑖𝑘𝑥𝑑𝑘∞

−∞

=𝜎

√2𝜋∫ 𝑒−𝜎

2𝑘2/2 𝑒𝑖𝑘𝑥𝑑𝑘∞

−∞

=𝜎

√2𝜋∫ 𝑒−𝜎

2𝑘2/2−𝑖𝑘𝑥 𝑑𝑘∞

−∞

נשלים את לריבוע:

−𝜎2𝑘2

2− 𝑖𝑘𝑥 = −

𝜎2

2(𝑘2 +

2𝑖𝑘𝑥

𝜎2) = −

𝜎2

2(𝑘2 +

2𝑖𝑘𝑥

𝜎2+ (𝑖𝑥

𝜎2)2

− (𝑖𝑥

𝜎2)2

)

= −𝜎2

2(𝑘 + 𝑖 (

𝑥

𝜎2))

2

−𝑥2

2𝜎2

1

√2𝜋∫ 𝑔(𝑘)𝑒𝑖𝑘𝑥𝑑𝑘∞

−∞

=𝜎

√2𝜋𝑒−𝑥2

2𝜎2 ∫ 𝑒−

𝜎2(𝑘+𝑖𝑥𝜎2)2

2 𝑑𝑘

∞

−∞

= 𝑒−𝑥2

2𝜎2

∫ :בזהות השתמשנו האחרון בשוויון כאשר 𝑒−𝜎2(𝑘−𝐴)2

2 𝑑𝑘 =

√2𝜋

𝜎

∞

−∞ . מרוכב A אם אפילו הנכונה,

𝑔(𝑘) כלומר, 𝑘 -ה הרכיב משקל, מונוכרומטים לרכיבים גאוסיאנית גלים חבילת מפרקים שכאשר רואים =

𝜎𝑒−𝜎2𝑘2

גאוסיאנית צורה בעל כן גם הוא ,𝑘 של פונקציה שהוא, 2

− -מ כלומר הזה הגאוסיאן של המכסימום מאיזור מגיע המשקל עיקר1

𝜎< 𝑘 <

1

𝜎 .

יש "אחות", התמרת פורייה, המוגרת על ידי: 𝜓(𝑥)לכל פונקציית גל

𝜓(𝑥) =1

√2𝜋∫ 𝑒𝑖𝑘𝑥𝑔(𝑘)𝑑𝑘∞

−∞

𝑥ת פורייה בכיוון רהיא התמ 𝑔(𝑘)אם כך, וכמו שאחותה של אחותי זו אני, → 𝑘כם ההיפך נכון: , הרי ש𝜓(𝑥)

𝑘בכיוון ההפוך 𝑔(𝑘)היא התמרת פוריה של → 𝑥

𝑔(𝑘) =1

√2𝜋∫ 𝑒−𝑖𝑘𝑥𝜓(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞

8 רועי בר' פרופ/ מבוא לקשר כימי

8

מה המשמעות היא צפיפות הסיכויים למקום החלקיק. 𝜓(𝑥)|2| -היא בכל ש 𝜓(𝑥)שמשמעוצתה של אנו יודעים

ℏ𝑘ברוי -? לפי דה𝑔(𝑘)של = 𝑝 הוא התנע של החלקיק. אז|𝑔(𝑘)|2 היא צפיפות הסיכויים ל- 𝑘 כלומר ממנה

𝑝 -ל 𝑝 בין הסיכוי שבמדידת התנע יתקבל ערךלכן, את הסיכוי לתנע מסויים.גזור אפשר ל + 𝑑𝑝 :הוא

|𝑔 (𝑝

ℏ)|2

𝑑𝑝

ℏ . במילים אחרות, אם נגדיר

�̃�(𝑝) =𝑔(𝑝/ℏ)

√ℏ=

1

√2𝜋ℏ∫ 𝑒−𝑖𝑝𝑥/ℏ𝜓(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞

|�̃�(𝑝)|אז 2

היא צפיפות הסיכויים למדידת התנע.

𝑒𝑖𝑝0𝑥/ℏ 𝜓(𝑥)אז ההתמרה של ψ̃(𝑝) היא 𝜓(𝑥)אם התמרת פורייה של כי והרא: 2 דוגמה היא

�̃�(𝑝 − 𝑝0).

קיים: פתרון

1

√2𝜋ℏ∫ 𝜓(𝑥)𝑒𝑖𝑝0𝑥/ℏ 𝑒−𝑖𝑝𝑥/ℏ 𝑑𝑥∞

−∞

=1

√2𝜋ℏ∫ 𝜓(𝑥)𝑒𝑖𝑝0𝑥/ℏ 𝑒−𝑖(𝑝−𝑝0)𝑥/ℏ 𝑑𝑥∞

−∞

= �̃�(𝑝 − 𝑝0)

ψ̃(𝑝)בשוויון האחרון השתמשנו בהגדרה כאשר =1

√2𝜋ℏ∫ 𝜓(𝑥)𝑒𝑖𝑝0𝑥/ℏ 𝑒−𝑖𝑝𝑥/ℏ 𝑑𝑥∞

−∞ .

הייזנברג של הודאות-אי עיקרון

𝜓(𝑥)גלים בחבילת נתבונן. החומר של והגלי החלקיקי האופי של שילוב מאפשר הגל חבילת מושג =

1

√√𝜋𝜎𝑒−𝑥2

2𝜎2 .החלקיק למקום וודאות-אי בה שיש אומרים אנו, לחלקיק מדויק מקום מגדירה אינה שזו מכיוון .

:(. עבור צפיפות גאוסית�‎(5.2)וודאות, כממוצע הסטייה )משוואה -כבר הגדרנו למעלה את מושג האי

Δ𝑥 = √⟨𝑥2⟩ − ⟨𝑥⟩2:במקרה של הגאוסיאן .

9 רועי בר' פרופ/ מבוא לקשר כימי

9

⟨𝑥⟩ =

1

√𝜋𝜎∫ 𝑥𝑒

−𝑥2

𝜎2𝑑𝑥∞

−∞

= 0

⟨𝑥2⟩ =1

√𝜋𝜎∫ 𝑥2𝑒

−𝑥2

𝜎2𝑑𝑥∞

−∞

=𝜎2

2

(5.1)

מכאן :

Δ𝑥 =𝜎

√2 (5.2)

עם גאוסיאן הוא גם 𝑔(𝑘) שיש רואים, הגלים חבילת של המונוכרומטי ההרכב על מסתכלים כאשר, שראינו כפי

:𝜎−1 רוחב פרמטר

𝑔(𝑘) = √𝜎

√𝜋𝑒−𝑘2𝜎2

2 (5.3)

וודאות במספר הגל:-גם כאן יש אי

Δ𝑘 = √⟨𝑘2⟩ − ⟨𝑘⟩2 =

1

√2𝜎 (5.4)

וודאות בתנע:-וודאות במספר הגל היא אי-ברוי אי-לפי יחס דה

Δ𝑝 = √⟨𝑝2⟩ − ⟨𝑝⟩2 = ℏΔ𝑘 =

ℏ

√2𝜎 (5.5)

הודאויות היא:נשים לב לקשר מעניין, שמכפלת אי

Δ𝑝Δ𝑥 =

ℏ

2 (5.6)

הודאות איננה תלויה בדבר פרט לקבוע פלאנק. המשמעות של השוויון -כלומר, בחבילות גל גאוסיות מכפלת אי

הזה היא, שלא ניתן למדוד גם את המקום של חלקיק וגם את המהירות שלו בצורה מדוייקת. אם נצליח לקבוע

גבוהה את מקום החלקיק נצטרך לוותר על הוודאות בתנע. וההפך, אם נקבע בוודאות גבוהה את התנע בודאות

נאבד בהכרח את הוודאות לגבי מיקום החלקיק.

המדען הגרמני הראה האם הדבר נכון גם לגבי פונקציות אחרות, לאו דווקא גאוסיאניות? כהכללה של קשר זה,

הוודאויות במקום ובתנע:-השוויון הבא בין אי-שהיא גאוסיאנית או לא, קיים אי שבכל פונקציית גל, בין הייזנברג

10 רועי בר' פרופ/ מבוא לקשר כימי

10

Δ𝑝Δ𝑥 ≥

ℏ

2 (5.7)

לגבי היכולת שלנו לקבוע את המצב הקלאסי של חלקיק. אנו יכולים פונדמנטאליתיחס זה מראה שיש מגבלה

ביחס לתנע של להקטין את אי הודאות במקום החלקיק ככל שנרצה, אבל אז, בהכרח, "נשלם" באי ודאות

החלקיק. מעניין שבקשר זה מופיע קבוע פלאנק. זה מראה את תפקידו של קבוע פלאנק כמגביל את יכולתינו

לקבוע בודאות תנע ומקום. עיקרון אי הודאות מראה את ההבדל התפיסתי שאינו ניתן לגישור בין מכניקה

קוונטית למכניקה קלאסית: אי הוודאות איננה ניתנת להסרה.

חופשי חלקיק של התנוע

בתווך אחיד גל חבילות תנועת

עד כה הקפאנו את הזמן ודנו ) חזיר את מימד הזמן לתמונהשל חבילת גלים כלשהי. כלומר, נכעת, נדון בתנועה

אחיד, כמו מיתר אינסופי בו מתקדם גל של מתיחות או חומר ך. אנו נניח תוו(𝑥המרחבית בקואורדינאטהרק

𝜓𝑘(𝑥)שקוף אחיד בו מתקדם גל אור. במצב זה כל גל מונוכרומטי = 𝑒𝑖𝑘𝑥 :הינו בעל תלות זמן פשוטה

𝜓𝑘(𝑥) = 𝑒𝑖𝑘𝑥 → 𝜓𝑘(𝑥, 𝑡) = 𝑒

𝑖(𝑘𝑥−𝜔(𝑘)𝑡) (8.5)

, כלומר התדירות 𝜔(𝑘)יש לשים לב שכמו בגלים על מיתר, מספר הגל קובע את התדירות, והדבר מסומן כך:

נפרק אותה לגלים מונוכרומטים: 𝜙(𝑥). בכדי לקבוע את ההתקדמות בזמן של חבילת גלים כלשהי 𝑘 -תלויה ב

𝜙(𝑥) = ∫ 𝑔(𝑘)𝑒𝑖𝑘𝑥𝑑𝑘∞

−∞ (5.8) משוואה בהתאם ל לכל רכיב מונוכרומטי להתפתח בזמןוניתן

𝜙(𝑥) = ∫ 𝑔(𝑘)𝑒𝑖𝑘𝑥𝑑𝑘

∞

−∞

→ 𝜙(𝑥, 𝑡) = ∫ 𝑔(𝑘)𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔(𝑘)𝑡)𝑑𝑘∞

−∞

(8.5)

לדוגמה, נתבונן בתלות הפשוטה ביותר, היא התלות הלינארית:

𝜔(𝑘) = 𝜔0 + 𝑣𝑘 (𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑒𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛) (8..5)

בתווך בו מתקדם הגל. יחס מסוג זה מכונה יחס דיספרסיה לינארי. הוא ההיא מהירות הפאזה, התלוי 𝑣באשר

דוגמה לגל כזה הוא גל האור בריק, בו מתקיים בכל מקרה בו הגל אינו משנה את תכונות התווך בו הוא נע.

𝜔0 = 𝑣 -ו 0 = 𝑐 .נעים באותה , ללא תלות במספר הגל,ביחס דיספרסיה זה כל הגליםהיא מהירות האור

תנוע , המורכבת מהרבה גלים מונוכרומטים עם מספרי גל שונים,𝜙(𝑥) . לכן גם חבילת גלים𝑣מהירות

את יב צובה יש לה (5.9) משוואה מתקבלת מ 𝜙(𝑥)תלות הזמן שלה . הבה נבחן טענה זו בפירוט. 𝑣 במהירות

𝑘𝑥 -, כך שיחס הדיספרסיה הליניארי − 𝜔(𝑘)𝑡 = 𝑘(𝑥 − 𝑣𝑡) − 𝜔0𝑡:

11 רועי בר' פרופ/ מבוא לקשר כימי

11

𝜙(𝑥) = ∫ 𝑔(𝑘)𝑒𝑖𝑘𝑥𝑑𝑘

∞

−∞

→ 𝜙(𝑥, 𝑡) = 𝑒−𝑖𝜔0𝑡 ∫ 𝑔(𝑘)𝑒𝑖𝑘(𝑥−𝑣𝑡)𝑑𝑘∞

−∞

= 𝑒−𝑖𝜔0𝑡𝜙(𝑥 − 𝑣𝑡) (5.11)

.𝑒−𝑖𝜔0𝑡אבל היא גם מוכפלת בגורם פאזה תלוי בזמן 𝑣רואים, שחבילת הגלים אמנם נוסעת במהירות

לינארי. בחבילות -לאיחס דיספרסיה ניתן במקרים מסויימים להשתמש בקרוב הלינארי כדי לבחון מה קורה ב

. אם החבילהידי "לינאריזציה" של יחס הדספרסיה-על קצראת הדינאמיקה לזמן ניתן לקבוע גלים רחבות מאד

𝜙(𝑥) רחבה מאד הרי ש- 𝑔(𝑘) היא צרה מאד. נניח אם כן ש- 𝑔(𝑘) כלשהומספר גל היא מאד מחודדת סביב

:𝑘0סביב בטור טיילור 𝜔(𝑘)פתח את נ. 𝑘0 -שנסמנו ב

𝜔(𝑘) = 𝜔(𝑘0) + 𝜔′(𝑘0)(𝑘 − 𝑘0) + ⋯ (5.12)

קרוב 𝑘מגיעה מרכיבים עם (5.9) הרי שהתרומה המכרעת לאינגטרל במשוואה , 𝑘0סביב צרה 𝑔(𝑘) -מכיוון ש

𝑘כלומר שעבורם 𝑘0ל − 𝑘0 ות הגבוהות של קקטן. לכן, ניתן להזניח את החז𝑘 − 𝑘0רואים שגם ן. מכא

מחודדת, אפשר לעשות קירוב לינארי, ומהירות החבורה נקבעת מיחס 𝑔(𝑘)לינארי, אם -במקרה הלא

:𝑘0הדספרסיה ב

𝜔(𝑘) = 𝜔0 + 𝑣𝑔𝑘

𝑣𝑔 = 𝜔′(𝑘0)

𝜔0 = 𝜔(𝑘0) − 𝑣𝑔𝑘0

(5.13)

𝑣𝑔כך, מקבלים, שחבילת הגלים נעה במהירות = 𝜔′(𝑘0) מהירות החבורה" של יחס גודל המכונה"

בזמן בקירוב כך: תמתפתח יםהגלוחבילת הדיספרסיה.

𝜙(𝑥, 𝑡) ≈ 𝑒−𝑖(𝜔(𝑘0)−𝜔′(𝑘0)𝑘0)𝑡𝜙(𝑥 − 𝜔′(𝑘0)𝑡) (5.14)

נקודתי חלקיק: קלאסית מכאניקה

כלשהו 𝑘0 -ראינו שחבילת גלים מאד רחבה מבחינה מרחבית וצרה במספר הגל, כך שרק מספרי גל קרובים ל

𝑣𝑔מתנהגת בדומה לחלקיק הנע במהירות קבועה = 𝜔′(𝑘0) מכיוון שאנו יודעים כיצד מתנהג חלקיק לפי חוקי .

המכניקה הקלאסית ננסה להשתמש בנוסחת איינשטיין ודה ברוי לקבוע איך תתנהג חבילת הגלים אם עליה

להדמות ככל הניתן לחלקיק קלאסי.

. 𝑣 קבועה ובמהירות ריש בקונע , אפס שווה עליו הפועל כוחה שסך חלקיק היינו, חופשי חלקיק, ניוטון חוק לפי

𝑝: הוא התנע = 𝜇𝑣 ,באשר 𝜇 היא הקינטית והאנרגיה, החלקיק מסת:𝑇 =1

2𝜇𝑣2 =

𝑝2

2𝜇 וגם התנע גם.

.חופשי חלקיק עבור קבועים הקינטית האנרגיה

12 רועי בר' פרופ/ מבוא לקשר כימי

12

ת שלושה מכבדשבמובן כלשהו חלקיק החופשי המתארת תנועה של יםגלחבילת המשימה שלנו היא לבנות

𝐸י המכניקה הקלאסית את חוק חוקים: =𝑝2

2𝜇𝑝 ברוגלי-דה , את יחס = ℏ𝑘 איינשטייןיחס ו 𝐸 = ℏ𝜔 שילוב .

:החוקים האלה נותן

ℏ𝜔 = 𝐸⏟ איינשטיין

=𝑝2

2𝜇

⏞

"ניוטון"

=(ℏ𝑘)2

2𝜇⏟ דה ברוי

(5.15)

במיליםהגל" המשלב את כל האלמנטים הללו. אופירואים, שקיבלנו יחס דיספרסיה. כלומר, קיבלנו את "

הדיספרסיה שקשר לדרוש יש, חופשי חלקיק של תנועה , בקרוב,תתאררחבה גלים שחבילת מנת-על, אחרות

:יהיה

𝜔(𝑘) =

ℏ𝑘2

2𝜇 (5.16)

הגלים חבילתבמצב שהוא חלקיקהבה נבחן מה קורה לחלקיק בעל חבילת גלים רחבה במקרה זה. נסתכל על

𝜓(𝑥) = 𝑒𝑖𝑘0𝑥𝑒−𝑥2

2𝜎2 שבהσ גדול כך שהחבילה𝑔(𝑘) צרה וממוקמת סביב𝑘0 .נוע במהירות חבית הגלים ת

𝑣𝑔החבורה = 𝜔′(𝑘0) =

ℏ𝑘0

𝜇𝜇𝑣𝑔ברוי -זה באמת תואם את יחס דהו. = ℏ𝑘0 .

חופשי חלקיק של עצמיים מצבים

𝐸(𝑘) באנרגיה להשתמש מקובל, 𝜔(𝑘)-ב להשתמש במקום = ℏ𝜔(𝑘) . של גלים חבילתכל (5.9) לפי משוואה

𝜓(𝑥) חופשי חלקיק = ∑ 𝑔(𝑘)𝑒𝑖𝑘𝑥𝑘 מתפתחת בזמן כך:

𝜓(𝑥, 𝑡) = ∫ 𝑔(𝑘)𝑒−𝑖𝐸(𝑘)𝑡/ℏ𝑒𝑖𝑘𝑥𝑑𝑘

∞

−∞

(5.17)

,𝜓(𝑥 החבילה 𝑡) מהסוג רכיבים של סופרפוזיציה היא :𝜑𝑘(𝑥) = 𝑒𝑖𝑘𝑥 ה הרכיב של בזמן והשינוי-𝑘 כרוך

𝐸(𝑘)באשר 𝑒−𝑖𝐸(𝑘)𝑡/ℏ - טהור פאזה גורםב בהכפלה = ℏ2𝑘2/2𝜇 .

, להן קראנו עד כה "אבני בניין",טהור פאזה גורםב בהכפלה רק כרוך בזמן שלהם שהשינוי גל-פונקציות

שם אלטרנטיבי: מצבים עצמיים של ההתקדמות בזמן.. בזמן ההתקדמות של עצמיות פונקציות גם נקראות

בהמשך הקורס ננתח מערכות רבות ובכל אחת נזהה את המצבים העצמיים של ההתקמות בזמן.

:למדנו על, סיכום

|𝜓(𝑥)|2 = 𝜓(𝑥)∗𝜓(𝑥) ש כך" לנרמל" יש. סיכויים-צפיפות היא- ∫|𝜓(𝑥, 𝑡)|2𝑑𝑥 = 1 .

האלקטרון למיקום מדדים – המסתבר והמקום, המקום של תצפית ערך.

13 רועי בר' פרופ/ מבוא לקשר כימי

13

חופשי חלקיק המתארים מונוכרומטיים גלים 𝑒𝑖𝑘𝑥, כאשר 𝜔(𝑘) =ℏ𝑘2

2𝜇

"אם לחבילה זו מונוכרומטים גלים של לינארית קומבינאציה היא חופשי חלקיק עבור" גלים חבילת .

𝑣𝑔מהירות ההתקדמות של החבילה היא ℏ𝑘0יש תנע סביב = 𝜔′(𝑘0).

המסה חלקי לתנע השווה במהירות – כלשהו תנע עם גלים חבילת נעה כיצד ראינו

:אינטגרלים שימוישיים

∫ 𝑒−𝛼𝑥𝑑𝑥∞

0

=1

𝛼

∫ 𝑥𝑒−𝛼𝑥𝑑𝑥∞

0

= −𝜕

𝜕𝛼∫ 𝑒−𝛼𝑥𝑑𝑥∞

0

= −𝜕

𝜕𝛼

1

𝛼=1

𝛼2

∫ 𝑥2𝑒−𝛼𝑥𝑑𝑥∞

0

= −𝜕

𝜕𝛼∫ 𝑥𝑒−𝛼𝑥𝑑𝑥∞

0

= −𝜕

𝜕𝛼

1

𝛼2=2

𝛼3

∫ 𝑥3𝑒−𝛼𝑥𝑑𝑥∞

0

= −𝜕

𝜕𝛼∫ 𝑥2𝑒−𝛼𝑥𝑑𝑥∞

0

= −𝜕

𝜕𝛼

2

𝛼3=6

𝛼4

∫ 𝑒−𝛼𝑥2𝑑𝑥

∞

−∞

= √𝜋

𝛼

∫ 𝑥2𝑒−𝛼𝑥2𝑑𝑥

∞

−∞

= −𝜕

𝜕𝛼∫ 𝑒−𝛼𝑥

2𝑑𝑥

∞

−∞

= −𝜕

𝜕𝛼√𝜋

𝛼=1

2√𝜋

𝛼3

∫ 𝑥4𝑒−𝛼𝑥2𝑑𝑥

∞

−∞

= −𝜕

𝜕𝛼∫ 𝑥2𝑒−𝛼𝑥

2𝑑𝑥

∞

−∞

= −𝜕

𝜕𝛼

1

2√𝜋

𝛼3=3

4√𝜋

𝛼5

∫ 𝑥6𝑒−𝛼𝑥2𝑑𝑥

∞

−∞

= −𝜕

𝜕𝛼∫ 𝑥4𝑒−𝛼𝑥

2𝑑𝑥

∞

−∞

= −𝜕

𝜕𝛼

3

4√𝜋

𝛼5=15

8√𝜋

𝛼7