РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВippo-vm.at.ua/reshenie_neravenstv_metodom_intervalov.pdfМинистерство образования и науки

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУК

ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

ДОНЕЦКИЙ РЕСПУБЛИКАНСКИЙ ИНСТИТУТ

ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Отдел образования администрации города Тореза

Общеобразовательная школа I-III ступеней №8 им. Д.А. Рыбалко г. Тореза

СОГЛАСОВАНО

Донецкий Республиканский институт

дополнительного педагогического

образования

Протокол заседания Учёного совета

от____________2016г. № ______

УТВЕРЖДЕНО

Министерство образования и науки

Донецкой Народной Республики

Донецкой Народной Республики

Приказ от_________2016 г. №_____

Программа факультативного курса

РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ

11 класс общеобразовательной школы

18 часов

Автор (составитель)

Смульская Алла Ивановна,

учитель математики, специалист

высшей категории, старший

учитель

Общеобразовательной школы

I-III ступеней № 8 г. Тореза

Донецк – 2016

«Одобрено к использованию в образовательных организациях»

Министерство образования и науки ДНР

Приказ от_________________№ _________

Рецензенты:

1. Карташова Валентина Васильевна, учитель математики, специалист

высшей категории, старший учитель общеобразовательной школы I-III

ступеней №8 им. Д.А.Рыбалко г. Тореза

2. Шамдан Наталья Анатольевна, учитель математики, специалист

высшей

категории, старший учитель лицея «Спектр» г. Тореза

Составитель:

Смульская Алла Ивановна, учитель математики, специалист высшей

категории, старший учитель Общеобразовательной школы I-III

ступеней №8 им. Д.А.Рыбалко г. Тореза

Программа составлена с целью развития, дополнения, углубления

содержания базового курса математики, удовлетворения познавательных

интересов школьников, развития различных сторон математического

мышления, воспитания мировоззрения и личностных качеств средствами

углублённого изучения математики.

3

Автор (составитель) Смульская Алла Ивановна, учитель математики,

специалист высшей категории, старший учитель

Общеобразовательной школы I-III ступеней № 8

им. Д.А. Рыбалко г. Тореза

Рецензенты:

1. Карташова Валентина Васильевна, учитель математики,

специалист высшей категории, старший учитель

Общеобразовательной школы I-III ступеней №8 им. Д.А.

Рыбалко г. Тореза

2. Шамдан Наталья Анатольевна, учитель математики, специалист

высшей категории, старший учитель лицея «Спектр» г. Тореза

Утверждено педагогическим советом школы

(протокол от15 декабря 2015г. № 12)

Директор Созанская Е.Н.

Согласовано с методическим центром г.Тореза

Директор Пашкевич Л.И.

Научно-методическая экспертиза ДРИДПО:

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

4

Пояснительная записка

Математическое образование в системе основного общего образования

занимает одно из ведущих мест, что объясняется практической значимостью

математики, её возможностями в развитии и формировании мышления

человека, её вкладом в создание представлений личности о научных методах

познания действительности.

Актуальным остаётся вопрос развития, дополнения, углубления

содержания базового и профильного курсов математики, удовлетворение

познавательных интересов школьников, развитие различных сторон

математического мышления, формирование личностных качеств средствами

углублённого изучения математики.

Решение неравенств – основной составляющий элемент усвоения

обучающимися системы математических знаний. Школьный курс

математики предполагает изучение неравенств при решении уравнений,

задач, исследовании функций, изучении производной и т.п.

Программа факультативного курса «Решение неравенств методом

интервалов» раскрывает содержание одного из основных методов решения

неравенств – метода интервалов. Решение неравенств методом интервалов

способствует развитию логического мышления, памяти, формированию УУД

в процессе работы с заданиями более высокого уровня сложности,

воспитанию информационной культуры обучающихся.

Программа разработана в соответствии с Государственным

образовательным стандартом основного общего образования Донецкой

Народной Республики, стандартом государственной услуги «Предоставление

дополнительного образования для детей».

Предназначена для 11 классов общеобразовательной школы.

Цели данного курса:

углубление и расширение знаний по предмету;

создание условий для самореализации обучающихся в процессе

учебной деятельности;

5

развитие интеллектуальных, метапредметных способностей

обучающихся.

Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются

следующие задачи:

приобщение обучающихся к работе с учебной литературой,

Internet-ресурсами;

овладение приёмами когнитивного мышления;

обеспечение диалогического процесса обучения математике.

Курс предназначен для обучающихся 11 класса и рассчитан на 18 часов.

Программа построена на принципах последовательности, системности,

вариативности.

Количество часов, отведённых на изучение тем, является

ориентировочным и может корректироваться учителем.

Курс предусматривает проведение как традиционных, так и

нестандартных форм обучения: проект, защита исследовательских работ,

урок-презентация и т.д.

Основными приёмами оценивания при изучении курса могут быть

самоанализ, самооценка учебно-познавательной деятельности, которые

направлены на формирование положительной мотивации к учебной

деятельности.

Требования к уровню подготовки обучающихся

Программа обеспечивает достижение следующих результатов:

предметные:

знать основную идею метода интервалов;

решать все виды неравенств методом интервалов;

составлять неравенства по условию задач;

изображать на координатной прямой множество решения неравенства;

6

уметь использовать приобретённые знания и умения в практической

деятельности для построения и исследования простейших

математических моделей;

личностные:

формировать мировоззрение, соответствующее современному уровню

развития науки;

формировать коммуникативную компетентность в учебно-

исследовательской, творческой и других видах деятельности;

понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию;

критически и креативно мыслить;

контролировать процесс и результат учебной деятельности;

метапредметные:

умение планировать пути достижения целей и способы решения

поставленных задач;

осознанное владение когнитивными процессами;

умение организовывать учебное сотрудничество и совместную

деятельность с учителем и сверстниками.

7

Учебно – тематический план

№

Наименование темы

Количество

часов

Индивидуальная,

самостоятельная

деятельность

обучающихся

Формы

контроля

всего теор.

занят.

практ

.

занят.

1. Теоретические основы метода 1 1 фронт.

опрос

2. Целые неравенства 1 1 тест

3,4 Рациональные неравенства 2 0,5 1,5 тест

5,6 Решение неравенств,

содержащих знак модуля

2 0,5 1,5 «страница в

Википедии»

индивид.

опрос

7,8 Иррациональные неравенства 2 0,5 1,5 защита

проектов

защита

проектов

9,

10

Показательные неравенства 2 0,5 1,5 кейс заданий самост.

работа

11,

12

Логарифмические неравенства 2 0,5 1,5 презентация индивид.

опрос

13,

14

Тригонометрические

неравенства

2 0,5 1,5 кейс заданий самост.

работа

15,

16

Смешанные неравенства 2 0,5 1,5 реферат индивид.

опрос

17,

18

Резерв времени 2 защита

исследоват.

проектов

защита

проектов

Всего 18 4,5 13,5

8

Программа факультативного курса

«Решение неравенств методом интервалов»

№ Название темы Содержание учебного

материала

Кол.

часов

Планируемые

результаты

1 Теоретические

основы метода

Теорема, выражающая

основу метода.

Алгоритм решения

неравенств методом

интервалов.

Преимущества метода

интервалов.

1 знать теорему,

выражающую

основу метода

интервалов;

знать алгоритм

решения неравенств

методом

интервалов;

определение точек

чётной и нечётной

кратности;

уметь осуществлять

выбор правильного

ответа

2 Целые неравенства Определение целого

рационального

неравенства. Основные

методы разложения на

множители. Теорема

Безу. Схема Горнера.

1 уметь раскладывать

многочлен на

множители;

уметь решать целые


3 Рациональные


Определение дробного

рационального

неравенства. Алгоритм

решения рациональных

2 уметь решать

рациональные


9

неравенств методом

интервалов. Решение

рациональных

неравенств, в том числе

с параметром.

4 Решение

неравенств,

содержащих знак

модуля

Определение модуля.

Некоторые свойства

модуля. Построение

графиков функций,

содержащих знак

модуля.

Решение неравенств с

модулем.

2 уметь использовать

свойства модуля;

уметь строить

графики функций,

содержащие знак

модуля;

уметь решать

неравенства,

содержащие знак

модуля

5 Иррациональные


Определение

иррационального


решения

иррациональных

неравенств чётной и

нечётной степени.

Решение

иррациональных



2 знать свойства

корня n-степени

уметь находить

область

определения

функции;


иррациональные


6 Показательные



показательного



показательной

функции;

10

решения показательных

неравенств. Решение

показательных




показательные


7 Логарифмические



логарифмического


решения

логарифмических


логарифмических




логарифмической

функции;


логарифмические


8 Тригонометриче-

ские неравенства


тригонометрических

неравенств. Алгоритм

решения








функций;


тригонометрические


9 Комбинированные


Алгоритм решения

неравенств, в которых

встречается несколько

функций. Решение

комбинированных

неравенств.

2 находить область

определения

сложной функции;


смешанные


11

10 Резерв времени Может быть

использован на

обобщение материала,

на защиту

индивидуальных

проектов

2 уметь организовать

сотрудничество на

совместную

учебную

деятельность

12

Информационное обеспечение

Литература, использованная при подготовке программы

1. Голубев В.И., Тарасов В.И. Эффективные пути решения неравенств //

Квантор.-1992.,-№10

2. Лукаш О.В., Прес Е.М. Метод інтервалів.- Х.:Вид.група «Основа», 2007

3. Сборник заданий по математике для поступающих во втузы / Под ред.

В.И.Сканави. – М.: Высшая школа, 1992.

4. Симонов А.Я. и др. Система тренировочных задач и упражнений по

математике.- М.: Просвещение: Владос, 1994.

5. Федченко Л.Я., Литвиненко Г.М. Разноуровневые задания для

тематических и итоговых контрольных работ по алгебре и началам

анализа в 10-11 классах. – Донецк: «Каштан», 2008.

Ресурсы для учителя и обучающихся

http://mathus.ru/math/metod-intervalov.pdf

http://mat.1september.ru/1998/no39.htm

http://lib.znate.ru/docs/index-167964.html

http://mathus.ru/math/metod-intervalov.pdf

http://mat.1september.ru/1998/no39.htm

http://lib.znate.ru/docs/index-167964.html

13

Приложение 1

Целые неравенства

Пример.

Решить неравенство: х5 - 5х

4 + 7х

3 - 2х

2 + 4х – 8 ≥ 0

Решение.

Найдём корни многочлена, которые находятся в левой части неравенства.

Целыми корнями могут числа среди делителей числа -8, т.е. ±1; ±2; ±4; ±8.

Понятно, что отрицательных корней многочлен не имеет, потому что при

отрицательных значениях переменной х левая часть неравенства также

является отрицательной.

1 -5 7 -2 4 -8

1 1 -4 3 1 5 -3

х = 1 корнем не является.

1 -5 7 -2 4 -8

2 1 -3 1 0 4 0

х = 2 является корнем многочлена.

(х – 2)(х4 - 3х

3 + х

2 + 4) ≥ 0.

Свободный член многочлена, находящегося в скобках, 4. Возможные корни:

±1; ±2; ±4.

Можно выяснить, что отрицательные числа и х = 1 не являются корнями

многочлена х4 - 3х

3 + х

2 + 4 могут быть числа 2 или 4.

1 -3 1 0 4

2 1 -1 -1 -2 0

(х – 2)2(х

3 – х

2 – х – 2) ≥ 0

14

Свободный член многочлена, который находится в скобках, - 2. Поэтому

продолжим проверку единственного из возможных целых корней – число 2.

1 -1 -1 -2

2 1 1 1 0

Получим: (х – 2)3(х

2 + х + 1) ≥ 0

2

_ +

▪2 х

Ответ: ;2 .

Задания для самостоятельного решения

1. Решить неравенства:

1) (х + 2)(х2 – х)(3х + 1)(7 – 4х) > 0,

2) (х3- х)(х

2-7х +12)(х - 2 ) ≥ 0;

3) (х2- 5)(1 – х

3) ≥0;

4) х4 ≤ 0;

5) (х + 1)(3 – х)(х – 2)2 > 0;

6) (х – 7)4(х + 5)

5(х – 2)х

6(х – 5) > 0;

7) (1 – 2х)2(3х – 9)(4 – 5х)

3(х +

2

1)

3(х -

2

1) < 0;

8) х3 + х

2 – х – 1 ≥ 0;

9) (х -4)(х2 + 5х + 7) < (х -4)(2х

2 + 4х + 5);

10) (х2 – 2х – 1)(х

2 – 2х -3) ≤ 0.

2. Найти область определения функции:

1) у = )82)(9( 2 xxx ;

2) у = )17152)(3(

62

2

xxx

x

15

Рациональные неравенства

Пример.

При каких значениях переменной b неравенство 43

22

2

xx

bxx > -1 выполняется

при всех действительных значениях x?

Решение.

43

22

2

xx

bxx + 1 > 0;

43

2)3(22

2

xx

xbx > 0.

Знаменатель неравенства корней не имеет, т.к. х2 – 3 + 4х > 0 при всех хR.

Следовательно, числитель должен принимать также только положительные

значения.

Квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом принимает

положительные значения при всех действительных значениях переменной,

если Д < 0.

Числителем является трёхчлен с положительным старшим коэффициентом,

следовательно, его дискриминант

Д = (3 + b)2 – 16 < 0;

(3 + b – 4)(3 + b + 4) < 0;

(b – 1)(b + 7) < 0.

+ -7 - 1 +

◦ ◦ b

Ответ: при b 1;7 .

Для самостоятельного решения


1) 126

32 xx

< 43

3

1510

4725

xx

x;

2) 0)45)(32(

)6)(2(22

22

xxxx

xxxx;

3) 65

92

65

7422

xx

x

xx

x;

16

4) 11

1322

2

x

xx

xx;

5) )1()2(

)7()4()3(2

63

xx

xxx≤ 0;

6) 01

)1)(1(3

2

x

xxx;

7) 2323 3

212

xx

x

xx

x

;

8) 0843

2

234

x

xxx;

9) (x2 -3x + 1)

2 + 3(x – 1)(x

2 – 3x + 1) ≥ 4(x – 1)

2;

2. Найти область определения функции

у = 2

322

2

xx

xx;

3. Найти промежутки возрастания и убывания, экстремумы функции

у = 5

22

x

x.

Неравенства, содержащие знак модуля

Пример.

Решить неравенство: ||2x + 1| - |x – 1|| ≤ x + 2.

Решение.

ОДЗ: х ≥ -2.

2х + 1 - + +

х – 1 - - +

х

-2 -2

1 1

Составим совокупность трёх систем неравенств:

17

1)

;2|112|

,2

12

xxx

x

.2|2|

,2

12

xx

x

Т.к. |-x-2| = |x + 2| и x + 2 ≥ 0, то |x + 2| = x + 2, т.е. то второе

неравенство системы выполняется, поэтому решение системы

2

1;2 .

2)

;2|112|

,12

1

xxx

x

;2|3|

,12

1

xx

x

;232

,12

1

xxx

x

;23

,23

,12

1

xx

xx

x

;2

1

,1

,12

1

x

x

x

1;

2

1;

3)

;2|2|

,1

xx

x х > 1; ;1 .

Ответ: ;2 .


1. Решить неравенство:

1) ||2x – 1| - 3| > 2;

2) (|x| - 1)2 > 2;

3) |x2 – 4|x| + 3| < 1;

4) |x2 - 5x| ≤ x + 3;

5) |x2 – 3x| ≥ x + 2;

6) |2x2 – x – 1| ≥ |x

2 – 3x – 1|;

7) 21|3|

|2|

x

xx;

8) |x3 – 3x + 1| ≤ x

3 + x

2 – 1;

9) |-1

20|

2

10

xx;

10) |x-1|+|x-2 |≥ 1;

11) 2|x-1| ≤ x + 3;

18

12) x2 - |5x – 3| - x < 2;

13) 1|1|

52

x

x;

14) 3|x – 2| + |5x + 4| ≤ 10;

15) |2|1|3|

3

x

x;

16) .11|2|

|3|

x

x

Иррациональные неравенства

Пример.

Для каждого значения a решить неравенство а 11 x .

Решение.

1) Если а = 0, то х + 1 ≥ 0, т.е. х ≥ -1.

2) Если а > 0, то

;01

,1)1(2

x

xa

1

,1

12

x

ax

1

1;1

2ax .

3) Если a < 0, то х ≥ -1.

Ответ: ;1 , если а ≤ 0;

1

1;1

2a, если а > 0.



1) xxx 22 ;

2) 322 xx ;

3) х + 2 < 14x ;

4) x+4 < 1282 xx ;

5) 33232 xxx ;

6) 13

227 2

x

xx;

7) 8 + 6|3 - xx |5 ;

8) 12

13

x

x;

9) x 0123 x ;

10) 12

52 2

x

x;

19

11) 1911 2

x

x;

12) 2

1|

4

1| xx ;

13) xxa 2 ;

14) x + 4a ≥ 5 ax .

2. Найти область определения функции y = 3

21517 2

x

xx.

Показательные неравенства

Пример.

Решить двойное неравенство xxx 6|2| 16212

.

Решение. xxx 424|2| 221

2 ;

;02

,424|2|

2

2

xx

xxx

;0424

,0)2(

,4242424 2

x

xx

xxxx

;2

,0

,6

,0246

,0242

2

2

x

x

x

xx

xx

.2

,0

,6

,0)4)(6(

x

x

x

xx

Ответ: )4;2()2;0(0;6 .


Решить неравенства:

1) ( 22223 23

)3

1()

3

1 xxxx ;

2) 1

2

2

32

)7,0()7,0(

x

x

x

x

;

3) 2055 3 xx ;

4) 022422

xx ;

5) 155

2

55

1

xx;

6) 431 2

23 xxx ;

20

7) 066736 xx ;

8) xx 5,0325,0 2 ;

9) |23||7| 2

)14

15()

14

15( xxx ;

10) 242 125613 )

5

3()

5

3()

5

3( xxx .

Логарифмические неравенства

Пример.

Решить неравенство: log2(9 – 2x) ≥ 3

log3

(3-x).

Решение.

;03

,3)29(log 2

x

xx

;3

229 ,3

x

xx

.3

,2

829

x

x

x

Т.к. 2х > 0 при всех действительных значениях х, то, умножив первое

неравенство системы на 2х, получим:

9 . 2

х – 2

2х ≥ 8;

22х

– 9 . 2

х + 8 ≤ 0;

(2х – 1)(2

х – 8) ≤ 0;

1 ≤ 2х ≤ 8.

Т.о., имеем

;3

,821

x

x

;3

,30

x

x .30 x

Ответ: .3;0



1) xlog

3x ≥ 81;

2) ;11

2loglog 3

2

1

x

x

3) ;12lg81000lg 2 xx

4) logx(2x + 3) < 2;

21

5) ;8)8

(log)4(log2

2

2

2

1 x

x

2. Найти область определения функции ).514(log)( 2

4 xxxf x

Тригонометрические неравенства

Пример.

Решить неравенство: .0

)1)(2

1(cos

)1)(2

1(sin

ctgxx

tgxx

Решение.

Общий период функции, которая находится в левой части неравенства,

Т = 2П. Нули знаменателя:

;2

1cos x ZкПк

Пx ,2

3

2;

;1ctgx .,4

ZnПnП

x

Нули числителя:

;2

1sin x ZтПт

Пx m ,

6)1( ;

;1tgx .,4

ZsПsП

x

Кроме того

,0sin

,0cos

x

x

;,

,,2

ZsПsx

ZsПsП

x .,

2Zs

Пsx

Обозначим на промежутке П2;0 все корни знаменателя («светлые

точки») и числителя («тёмные точки») и обозначим знаки функции на

полученных промежутках.

+ - + - + - + - + - + -

◦ ▪ ▪ ◦ ◦ ◦ ▪ ◦ ▪ ◦ ◦ ◦ ◦

0 6

П

4

П

2

П

3

2П

4

3П

6

5П П

4

5П

3

4П

2

3П

4

7П 2П

22

Ответ:

Пn

ППn

ППn

ППn 2

2;2

42

6;2

Пn

ППn

П2

4

3;2

3

2

.,24

7;2

2

32

3

4;2

4

52;2

6

5ZnПn

ППn

ППn

ППn

ППnППn

П



1) ;21cos3

3cos4

x

x

2) sin3x ≥ sinx;

3) tg2x + (2 - x )tgx - 2 3 < 0;

4) ctg2x + ctgx > 0;

5) tg3x + tg

2x > 1 + tgx;

6) ;21sin2

2sin2

x

x

7) )

22cos()

24cos(4)13sin(

)14(2)12sin(

2 ПxхПхП

ПxсosПxxtg

.

Комбинированные неравенства

Пример. Решить неравенство: x

xxx 12

222 loglog2

.

Решение:

.1loglog2 22

22

,0

xx

x

xx

1) х = 1 не является решением неравенства;

2)

;1log2log2

,1

222 xx

x

+ - +

◦ ◦ t

-3 1 ;log 2 tx

23

;0322 tt -3 < t < 1;

;1

,1log3 2

x

x

;1

,28

1

x

x ;2;1

3)

;1log2log2

,10

222 xx

x

;03log2log

,10

222 xx

x

+ - +

◦ ◦ x2log

-3 1

10

,3log 2

x

x или

;10

,1log 2

x

x

;10

,8

1

x

x

;10

,2

x

x

8

1;0 нет решений

Ответ: 2;18

1;0

.



1) ;lg xx x

2) ;23 2 xx xx

3) ;1)1( 862

xxx

4) ;23log 2

2

1

x

x

5) ;023

)22)(1|(|

xx

x x

6) .3)45(log)12(log2

1 2

1

2

4 xxxx xx

Метод интервалов достаточно универсальный и во многих случаях его

применение облегчает решение неравенств, однако это не означает, что все

неравенства необходимо решать методом интервалов.

24

Приложение 2

Тест по теме «Рациональные неравенства»

Вариант 1

1. Решить неравенство 02

252

x

x

А Б В Г Д

;52; ;2 2; 5;2 ;5


1

x

x

А Б В Г Д

3; 1;3 ;13; 1;3 1;33;


642

x

x

А Б В Г Д

;55; 5; ;85; 8;5 ;5

4. Решить неравенство xx

1

А Б В Г Д

;10;1 (-1;0) ;11; (-1;1) ;1


x

x

А Б В Г Г

0 ;30; ;03; 3;0 ;3

25


1

3

1

xxx

А Б В Г Д

;33; ;33;2 ;22; (2;3) ;2

7. Найти область определения функции 2

5

x

xy

А Б В Г Д

(-2;5) ;52; ;52; 5;2 5;2

8. Указать целое число решений неравенства 0)7()2(

)1)(4(2

xx

xx на

промежутке 4;8 .

9. Указать наименьшее целое число, которое является решением

неравенства 0|2|

322

x

xx.

Вариант 2

1. Решить неравенство xx 2

А Б В Г Д

0; 1; ;10; (0;1) ;1


362

x

x

А Б В Г Д

;11; ;1 1; (1;6) ;61;


x

xx

А Б В Г Д

;00;

;2

;02;

;00;2

;22;

26


2

x

А Б В Г Д

1;00; 1; 1;01; (-1;1) 1;00;1


562

x

xx

А Б В Г Д

;11; 5; 5;11; 5;1 ;51;


x

А Б В Г Д

0; 5; ;50; 5;0 ;5

7. Найти область определения функции 1

4

x

xy

А Б В Г Д

(1;4) ;41; ;41; 4;1 4;1

8. Указать наименьшее целое число, которое является решением

неравенства 098

)98)(10)(3(2

2

xx

xxxx.

9. Указать наибольшее целое число, которое является решением

неравенства 1

12

1

1

1

232

x

x

xxx.

Documents

РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВippo-vm.at.ua/reshenie_neravenstv_metodom_intervalov.pdfМинистерство образования и науки