10.4 Показательные уравнения и неравенства (10 класс).

Используемая литература: 1. Учебник «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» под редакцией

Ш.А.Алимова 2. 1. Учебник «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» под редакцией

А.Н.Колмогорова 3. Алгебраический тренажер под редакцией А.Г.Мерзляк

Теоретический материал.

Определение. Функцию вида называют показательной функцией. Основные свойства показательной функции у =аx

График функции у=ах для а> 1 изображен на рис. 201, а для 0 <а < 1 — на рис. 202. Кривую, изображенную на рис. 201 или 202, называют экспонентой. На самом деле математики экспонентой обычно .называют саму показательную функцию у=ах. Так что термин ♦экспонента» используется в двух смыслах: и для наименования показательной

функции, и для названия графика показательной функции. Обычно по смыслу бывает ясно, идет речь о показательной функции или о ее графике. Обратите внимание на геометрическую особенность графика показательной функции у=ах: ось х является горизонтальной асимптотой графика. Правда, обычно это утверждение уточняют следующим образом. Ось х является горизонтальной асимптотой графика функции

10.4.1 Тема « Показательные уравнения» (п.36)

Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения вида 𝒂𝒙 = 𝒂𝒃, где 𝒂 > 0,𝒂 ≠ 𝟏, x – неизвестное.

Решение заданий обязательного уровня.

1. Простейшие уравнения 𝟒 ∙ 𝟐𝒙 = 𝟏.

Решение Пояснения 4 ∙ 2𝑥 = 1 4 = 22 , по свойству степени левая

часть уравнения принимает вид 2𝑥+2 = 1 1 = 20 поэтому правая часть

уравнения принимает вид 2𝑥+2 = 20 Так как равны степени числа 2, то

равны и показатели степеней. X+2=0 X=-2

Ответ: -2.

𝟐𝟑𝒙 ∙ 𝟑𝒙 = 𝟓𝟕𝟔 Решение Пояснения

23𝑥 ∙ 3𝑥 = 576

Так как 23𝑥 = 8𝑥 , 576 = 242,

то уравнение можно записать в виде 8𝑥 ∙ 3𝑥 = 242

применив свойство степени 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛 = (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛,получим

24𝑥 = 242 откуда X=2

Ответ: 2. 2. Уравнения, решаемые их преобразованием

𝟑𝒙+𝟏 − 𝟐 ∙ 𝟑𝒙−𝟐 = 𝟐𝟓

Решение Пояснения 𝟑𝒙+𝟏 − 𝟐 ∙ 𝟑𝒙−𝟐 = 𝟐𝟓

применив свойство степени 𝑎𝑛 ÷ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚, и вынося общий множитель 3𝑥−2 за скобки,получим

3𝑥−2(33 − 2) = 25

3𝑥−2 ∙ 25 = 25

Разделим обе части уравнения на 25

3𝑥−2 = 1

1 = 30 поэтому правая часть уравнения принимает вид

3𝑥−2 = 30

откуда

x-2=0 X=2

Ответ: 2. Вынесение общего множителя за скобки можно использовать и при решении уравнений, содержащих степени с двумя разными основаниями.

𝟗𝒙 − 𝟐𝒙+𝟕𝟐 = 𝟐𝒙+

𝟏𝟐 − 𝟑𝟐𝒙−𝟏

Решение Пояснения

𝟗𝒙 − 𝟐𝒙+𝟕𝟐 = 𝟐𝒙+

𝟏𝟐 − 𝟑𝟐𝒙−𝟏

Сгруппируем члены уравнения, содержащие степени числа 3, в левой части, а члены, содержащие степени числа 2,- в правой.

9𝑥 + 32𝑥−1 = 2𝑥+12 + 2𝑥+

72 В левой части вынесем за скобки

общий множитель 32𝑥−1, в правой –

общий множитель 2𝑥+12

32𝑥−1(3 + 1) = 2𝑥+12(1 + 23) Преобразуем левые и правые части

уравнения

32𝑥−1 ∙ 4 = 2𝑥+12 ∙ 9

32𝑥−1 ∙ 22 = 2𝑥+12 ∙ 32

Разделим обе части уравнения на правую часть (очевидно, она не равна нулю)

32𝑥−1 ∙ 22

2𝑥+12 ∙ 32

= 1

9𝑥−32

2𝑥−32

= 1

�92�𝑥−32

= �92�0

Так как равны степени числа 9

2, то

равны и показатели степеней

𝑥 −32

= 0

X=32

Ответ: 32.

3. Уравнения, решаемые разложением на множители.

2𝑥+1 ∙ 32𝑥−1 ∙ 5𝑥 = 5400

Решение Пояснения 2𝑥+1 ∙ 32𝑥−1 ∙ 5𝑥 = 23 ∙ 33 ∙ 52

Число 5400 разложим на простые множители, тогда уравнение имеет вид

2𝑥+1 ∙ 32𝑥−1 ∙ 5𝑥

23 ∙ 33 ∙ 52= 1

Разделим обе части уравнения на его правую часть

2𝑥−2 ∙ 32𝑥−4 ∙ 5𝑥−2 = 1 Применяя свойства степеней, получим

(2 ∙ 32 ∙ 5)𝑥−2 = 1 90𝑥−2 = 900

x-2=0 𝑥 = 2

Ответ: 2. Разложение на множители также используется и в уравнениях, содержащих помимо показательных функций другие функции.

2 ∙ 5𝑥 sin 𝑥 + 1 = 2 sin 𝑥 + 5𝑥

Решение Пояснения

2 ∙ 5𝑥 sin 𝑥 + 1 = 2 sin 𝑥 + 5𝑥

Перенесем все члены уравнения в левую часть, сгруппируем их и вынесем общие множители за скобки.

2 ∙ 5𝑥 sin 𝑥 + 1 − 2 sin 𝑥 − 5𝑥 = 0

(2 ∙ 5𝑥 sin 𝑥 − 2 sin 𝑥) + (1 − 5𝑥) = 0

Так как произведение двух множителей равно нулю, тогда и только тогда, когда хотя бы один их них равен нулю, имеем

а)5𝑥 − 1 = 0 б)2 sin 𝑥 − 1 = 0

5𝑥 = 50 X=0 sin 𝑥 =

12

𝑥 = (−1)𝑛𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛12

+ 𝜋𝑛

𝑥 = (−1)𝑛 ∙𝜋6

+ 𝜋𝑛,𝑛 𝜖𝑍

Ответ: 0; (−1)𝑛 ∙ 𝜋6

+ 𝜋𝑛,𝑛 𝜖𝑍 4. Уравнения, решаемые с помощью замены неизвестной.

3𝑥+1 − 8 = 31−𝑥 Решение Пояснения

3𝑥+1 − 8 = 31−𝑥

Применяя свойства степени, преобразуем левую часть уравнения

3 ∙ 3𝑥 − 8 =3

3𝑥 Введем новую переменную

𝑡 = 3𝑥 , где 𝑡 > 0

3𝑡 − 8 =3𝑡

Так как t≠ 0, имеем

3𝑡2 − 8𝑡 − 3 = 0 Найдем корни этого уравнения

𝑡1 = 3, 𝑡2 = −13

Так как 𝑡 > 0, то 𝑡 = −1

3 не подходит

3𝑥 = 3 Получаем простейшее показательное уравнение

𝑥 = 1 Ответ: 1.

32(𝑥+6) + 3𝑥2 − 2 ∙ 3𝑥2+𝑥+6 = 0 Решение Пояснения

(3𝑥+6)2 + �3𝑥2�2− 2 ∙ 3𝑥+6 ∙ 3𝑥2 = 0 Применяя свойства степени,

преобразуем левую часть уравнения

Введем две новые переменные 𝑎 = 3𝑥+6 и 𝑏 = 3𝑥2.

Получаем однородное уравнение 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 = 0

(𝑎 − 𝑏)2 = 0 a-b=0 a=b

3𝑥+6 = 3𝑥2 Вернемся к старой неизвестной x.

𝑥 + 6 = 𝑥2 Решая квадратное уравнение, получаем его корни

𝑥1 = −2 и 𝑥2 = 3 Ответ: -2; 3.

4. Уравнения, решаемые с помощью их специфики. 7𝑥 + 24𝑥 = 25

Решение Пояснения

7𝑥 + 24𝑥 = 25

Легко угадать корень уравнения x=2.

�7

25�𝑥

+ �2425�𝑥

= 2 Покажем, что других решений уравнение не имеет. Разделим все члены уравнения на его правую часть

Очевидно, что функции � 725�𝑥

и �2425�𝑥

убывающие, т.к. их основания меньше 1. Сумма этих функций также является функцией убывающей. Поэтому по теореме о корне уравнение � 725�𝑥

+ �2425�𝑥

= 2 корней не имеет. Тогда исходное уравнение

7𝑥 + 24𝑥 = 25 имеет единственный корень X=2.

Ответ: 2.

5. Уравнения, решаемые графически.

3𝑥−1 =6𝑥

Построим графики функций 𝑦 = 3𝑥−1 и 𝑦 = 6𝑥

.

Видно, что графики этих функций пересекаются в единственной точке, абсцисса которой x=2 является решением данного уравнения.

x0

y

1

2

Задания для самостоятельной работы.

=⋅

=⋅

=−=⋅

=⋅−

−=

−=

=++−

=−⋅−

⋅=⋅

=−

=⋅+⋅+⋅

=−−+

=

⋅=⋅+

=

=

=

−−

++++

−

−

−−

+++−

−−

−−

−

−

+

2025955625253

.16

397223

.15

2274.14

22.13575.12

02332.110543759.10

27338.9067.8

037515259.7

13041

21)

21(2.6

)285()

528.(5

27252.45

55.3

222.2

)74()

1649.(1

23

937393103

1

2

221

212

5431

1275528

51

43 32

1

91

22

yx

yx

xy

xx

x

x

xx

xxxx

xx

xx

xx

xxx

xxxx

xx

xx

x

x

x

xy

x

x

10.4.2 Показательные неравенства.

При решении простейших показательных неравенств 𝒂𝒇(𝒙) ≤ 𝒃, 𝒂𝒇(𝒙) ≥ 𝒃, используется монотонность показательной функции: при 0 < 𝑎 < 1 функция убывающая, при 𝑎 > 1 – возрастающая. Поэтому при рассмотрении показателей степеней в первом случае знак неравенства меняется на противоположный, а во втором – сохраняется.

1. Решение простейших показательных неравенств 𝟑𝒙 < 81

Решение Пояснения 𝟑𝒙 < 81

преобразуем правую часть неравенства

𝟑𝒙 < 𝟑𝟒

Так как 3>1, то функция 𝑦 = 3𝑥является возрастающей, значит знак неравенства сохраняется.

X<4 Ответ: 𝑥 ∈ (−∞; 4)

2. �𝟏𝟐�𝒙

> √𝟖

Решение Пояснения

�𝟏𝟐�𝒙

> √𝟖

преобразуем правую часть неравенства

�𝟏𝟐�𝒙

> 𝟐𝟑𝟐

Используя свойство степени 𝑎−𝑛 = �1𝑎�𝑛

имеем

�𝟏𝟐�𝒙

> �𝟏𝟐�−𝟑𝟐

Так как функция 𝑦 = �12�𝑥

- убывающая, то знак неравенства меняется

𝒙 < −𝟑𝟐

Ответ: 𝑥 ∈ �−∞; −32�.

𝟑𝒙𝟐−𝒙 < 9

3. Решение Пояснения 𝟑𝒙𝟐−𝒙 < 9

преобразуем правую часть неравенства

𝟑𝒙𝟐−𝒙 < 𝟑𝟐

Так как 3>1 ,то

𝑥2 − 𝑥 < 2 𝑥2 − 𝑥 − 2 < 0 Решим квадратное неравенство

-1 2

Ответ: 𝑥 ∈ (−1; 2)

4. Решение показательных неравенств заменой переменной 𝟏𝟔𝒙 + 𝟒𝒙 − 𝟐 > 0

Решение Пояснения 𝟏𝟔𝒙 + 𝟒𝒙 − 𝟐 > 0

Пусть 4𝑥 = 𝑡 , t>0.

𝑡2 + 𝑡 − 2 > 0 Получим квадратное неравенство Решим квадратное неравенство

Решение Пояснения 4𝑥 < −2 и 4𝑥 > 1 Так как 4𝑥 = 𝑡, то получим два

неравенства 4𝑥 < −2

Не имеет решений, т.к. 4𝑥 > 0,при всех 𝑥 ∈ 𝑅

4𝑥 > 1 4𝑥 > 40 𝑥 > 0

Ответ: 𝑥 ∈ (0; +∞)

5. Графическое решение показательных неравенств

�13�𝑥

= 𝑥 −23

Построим графики функций 𝑦 = �13�𝑥

и 𝑦 = 𝑥 − 23

𝑦 = �13�𝑥

𝑦 = 𝑥 − 23

-2 1 t

0

1

3

y

1 x

Из рисунка видно, что графики функций пересекаются в точке с абсциссой x ≈1. Проверка показывает, что x=1 – корень данного уравнения.

�13�1

=13

и 1 −23

= 1

Покажем, что других корней нет.

Функция 𝑦 = �13�𝑥

убывающая, а функция 𝑦 = 𝑥 − 23. – возрастающая. Значит,

при x>1 значения первой функции меньше 13, а второй больше 1

3;

при x<1 значения первой функции больше 13 ; а второй меньше 1

3.

Геометрически это означает, что графики этих функций при x<1 и x>1

«расходятся» и поэтому не могут иметь точек пересечения при 𝑥 ≠ 1.

Ответ: 1.

6. �𝟐𝟓�√𝟐−𝒙

> �𝟐𝟓�𝒙

.

Решение Пояснения

�𝟐𝟓�√𝟐−𝒙

> �𝟐𝟓�𝒙

.

Так как 0 < 2

5< 1, то

данное неравенство равносильно

неравенству √2 − 𝑥 < 𝑥 Область определения этого неравенства

𝑥 ≤ 2. При 𝑥 ≤ 0 оно не имеет решений, так как

√2 − 𝑥 ≥ 0 Решения неравенства, содержатся в промежутке 0 < 𝑥 ≤ 2.

√2 − 𝑥 < 𝑥 Возведем неравенство в квадрат, получим 𝟐 − 𝒙 < 𝒙𝟐 𝒙𝟐+x-2>0 Решим квадратное неравенство

Ответ: 𝑥 ∈ (1�; 2]

Задание для самостоятельного решения.

Решите неравенство:

2 1 -2 0

( )

01232.80)433(3.7

61

6.6

425

52.5

6427

43.4

42

2.3

15,0.2

323.1

112

1

1

5256

106

5,02

2

25,0

1

2

2

<+⋅−

<−+

>+

>

<

≤−

<−

<−

−−

−

−

+−

−+

−

−

−

xx

xxx

xx

xx

xx

xx

x

xx

x

xx

Найдите наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству:

Найдите наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству:

( )1

11

32

5815653.12

33.11

++−+ <⋅+⋅

<

xxx

x

322 2151111152.1022.9

+

−

⋅−<⋅−

<xxxx

x