19.10.2017. - University of Belgradetelekomunikacije.etf.bg.ac.rs/predmeti/ef2em/merenja_07.pdf–Tip A procene merne nesigurnosti –metod procene koji se zasnivana statističkoj

Merna nesigurnost

19.10.2017.

Merna nesigurnost

• Rezultat merenja je „samo“ procena vrednosti veličine

koja se meri, pa je potpun samo ako se navede i

podatak o mernoj nesigurnosti

• Merna nesigurnost karakteriše „rasipanje“ vrednosti

• Po pravilu, merna nesigurnost uključuje više različitih

komponenti koje se procenjuju statističkim metodama i

na osnovu drugih pretpostavki proisteklih iz poznavanja

fizičkih zakonitosti, merne procedure, karakteristika

komponenti sistema…

Merna nesigurnost

• Rezultat merenja je slučajna promenljiva

• Slučajna promenljiva je broj pridružen

svakom ishodu nekog eksperimenta

(Papoulis)

• Ova definicija, zapravo „lepo opisuje“

proces merenja

• Koriste se različiti modeli koji počivaju na

teoriji slučajnih promenljivih i slučajnih

procesa

Merna nesigurnost

• Rezultat merenja može da se dobije na

osnovu ponavljanja merenja ili na osnovu

jednog merenja

• U oba slučaja, međutim, rezultat merenja

se „tumači“ imajući u vidu da je rezultat

merenja slučajna promenljiva

Merna nesigurnost

• Kao broj pridružen rezultatu merenja - merna

nesigurnost je interval u okviru koga se nalazi

merna veličina sa određenom verovatnoćom

• Procena merne nesigurnosti:

– Tip A procene merne nesigurnosti – metod procene

koji se zasnivana statističkoj analizi serije ponovljenih

merenja

– Tip B procene merne nesigurnosti – metod procene

koji se zasniva na svemu ostalom osim direktne

statističke analize serije ponovljenih merenja

Slučajne promenljive

• Kontinulane

• Diskretne

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

x

f(x)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X: 20

Y: 0.9707

x

F(x

)

X: 15

Y: 0.8679

Gustina raspodele verovatnoća

i funkcija raspodele verovatnoća

gustina

raspodele

verovatnoća

funkcija

raspodele

verovatnoća

1221

21

2

1

xFxFxXxP

dxxfxXxP

x

x

X – slučajna

promenljvia

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

x

f(x)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

F(x

)

Gustina raspodele verovatnoće

i funkcija raspodele verovatnoće

1

1

x

dxxfxF

gustina

raspodele

verovatnoća

funkcija

raspodele

verovatnoća

1

0

dxxf

xf

F(x1) monotono neopadajuća funkcija

Matematičko očekivanje

slučajne veličine

dxxxfXE

Ako je X neprekidna slučajna

promenljiva sa gustinom raspodele

f(x), njena matematičko očekivanje

(srednja vrednost) definisano je kao:

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

x

f(x)

x*f(x)

E(X)=10

Varijansa

slučajne veličine

22

222

22

2

2

2

XEXE

XEXEXE

XEXEEXEXE

XEXEXD

Ako je X neprekidna slučajna

promenljiva sa gustinom raspodele

f(x), njena varijansa definisana je

kao:

D(X)=20

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

f(x)

x*f(x)

x2*f(x)

Standardna devijacija:

XD

Normalna (Gausova) gustina

raspodele verovatnoća

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

x

pdf(x)

=10

P=99%

P=95%

P=68%

2

2 2

2

2

1

XD

XE

exf

x


raspodele verovatnoće

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

x

pdf(x)

=-2,=5

=0,=5

=5,=5

Kriva je

simetrična

oko µ

Sa grafika se

može odrediti

µ kao

vrednost za

koju funkcija

dostiže

maksimum


raspodele verovatnoće

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

x

pdf(x)

=2,=2

=2,=5

=2,=10Posmatrano iz

„meračke“

perspektive, σ je

mera „rasipanja“

rezultata merenja

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4


raspodele verovatnoća

2

20

1

2

x

f x e

Ako slučajna promenljiva X ima

Gausovu raspodelu sa parametrima µ

i σ, slučajna promenljiva Z ima

„normalizovanu“ Gausovu raspodelu

srednje vrednosti 0 i varijanse 1.

XZ

yerfcyerf

dxeyerf

yerfdxey

y

x

y x

1

2

22

1

2

1

0

0

2

2

2

2

221

2

x

f x e

Uniformna gustina raspodele

verovatnoće

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

14

x

f(x)

x*f(x)

x2*f(x)

2

22

3 2 22

2

1,

0,

1

2 2

1

3 3

12

12

b

a

b

a

a x bf x b a

inače

x b aE X

b a

D X E X E X

x b ba aE X

b a

b aD X

b a

a=3, b=7


verovatnoće

1

,2

0,

3

x x xf x x

inače

x

a b

x xx2

1


verovatnoće

a b

1

2 x

U intevalu (-, +) je približno 58% ishoda

Diskretne slučajne promenljive

1 2 3 4 5

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 2 3 4 5

0.2

pi

F(x)

n

i

ii

n

i

ii

pxExXD

xpXE

1

2

1

Procena merne nesigurnosti

• U opštem slučaju, merenje nije direktno nego se

rezultat dobija na osnovu više veličina

• Kombinovana (standardna) merna nesigurnost –

dobija se na osnovu pojedinih komponenti

merne nesigurnosti* (biće objašnjeno u daljem

toku kursa)

Nxxxfy ,...,, 21

*Standardne merne nesigurnosti dobijene na osnovu procene tipa A i procene

tipa B se, takođe posmatraju na ovaj način

Ponovljena merenja

• Ponavlja se merenje iste velične više puta

• Pretpostavka je da su zadovoljeni uslovi

koji se odnose na ponovljivost uslova

merenja*

*Repeatability conditions include the same measurement procedure, same

operators, same measuring system, same operating conditions and same

location, and replicate measurements on the same or similar objects over a

short period of time

Prikaz rezultata ponovljenih

merenja

• Ukoliko se merenje sprovodi tako da se

veliki broj puta ponavlja isto merenje

dobija se veliki broj podataka koje treba na

pogodan način prikazati i obraditi

• Uobičajeno je da se rezultati prikazuju u

formi histograma

Histogram

1 nm

n broj ponovljenih merenja

m broj intervala

u opsegu (xmin, xmax)

ni broj ishoda u intervalu

opsega i

nnm

i

i 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

5

10

15

20

25

Bin Count: 23

Bin Center: 4.74

Bin Edges: [4.38, 5.09]

x

bro

j is

hoda u

svakom

inte

rvalu

Histogram

1 nm

n broj ponovljenih merenja

m broj intervala

u opsegu (xmin, xmax)

pi relativan broj ishoda u

intervalu opsega i, pi=ni/n

11

m

i

ip0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

X = 4.74

Y = 0.23

x

rela

tivan b

roj is

hoda u

svakom

inte

rvalu

Histogram

• Broj ishoda u intervalu ni naziva se i

učestanost intervala

• Relativna učestanost intervala može da se

tumači kao verovatnoća intervala

• Veličina koja odgovara gustini verovatnoće

intervala dobija se kada se relativna

učestanost podeli sa širinom intervala što

je normalizovan histogram

test2

Statistički test kojim se proverava hipoteza o poklapanju

gustine raspodele (rezultata merenja) sa nekom

unapred pretpostavljenom gustinom raspodele.

Parametri gustine raspodele mogu da se odrede na

osnovu rezultata merenja (ili ne moraju).

Testira se i prihvata ili odbacuje hipoteza H0 – “gustina

raspodele odgovara...”

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

x

pdf(x)

df=3

df=5

df=10

df=20

df=50

raspodela2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

x

pdf(x)

df=10

df=20

Osenčene površine

odgovaraju

verovatnoćama od po 2.5%

test - primer2

Hipoteza – gustina

raspodele je uniformna

raspodela na intervalu 3 - 7

3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 70

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

mereno

teorija

0.0920

1

2

2

K

k frt

frtfrm

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

test - primer

0.0920

1

2

2

K

k frt

frtfrm

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

dvostrani

jednostrani

2 Raspodela, df=9

Procena parametara raspodele

rezultata merenja

• Ukoliko se vrši veliki broj ponovljenih merenja,

mogu se, na osnovu dobijenih rezultata, proceniti

(estimirati) parametri raspodele rezultata

merenja

• Svaki od rezultata merenja xi je uzorak slučajne

promenljive X. Srednja vrednost svih rezultata

merenja je procena matematičkog očekivanja

slučajne promenjive X.


rezultata merenja

n

i

ixn

x1

1̂

n

i

i xxn 1

22

1

1̂

(Nepristrasna) procena varijanse

Procena matematičkog

očekivanja (srednje

vrednosti)

xi – pojedinačni

rezultati merenja


rezultata merenja – sednja vrednost

• Ako zamislimo da se ponavlja cela

sekvenca od n merenja, nećemo svaki put

dobiti istu srednju vrednost na osnovu n

merenja

• Srednje vrednosti rezultata merenja je

slučajna promenljiva

• Da bismo je pravilno „tumačili“ potrebno je

da na neki način „opišemo“ tu slučajnu

promenljivu Xsv



• Xsv je (normalizovan sa n) zbir slučajnih

promenljivih Xi koje imaju istu srednju

vrednost i varijansu

• U skladu sa centralnom graničnom

teoremom*, slučajna promenljiva koja je

zbir n „istih“ slučajnih promenljivih (srednje

vrednosti µ i varijanse σ2) teži Gausovoj

raspodeli srednje vrednosti nµ i varijanse

nσ2

*tačan iskaz prevazilazi obim ovog kursa



• Matematičko očekivanje slučajne

promenljive Xsv je µ

• Varijansa slučajne promenljive je σ2/n

• Raspodela slučajne promenljive Xsv je

Gausova N(µ,σ2/n)



Ponavljamo eksperiment „mnogo“

puta* i na taj način „simuliramo“

proračun matematičkog očekivanja

Isprekidane linije su granice +/-

3σSV, gde je σSV standardna

devijacija procene srednje

vrednosti

*Monte Carlo simulacija


rezultata merenja – varijansa

• Nepristrasna procena varijanse

• Naravno, isto je slučajna promenljiva

• Matematičko očekivanje nepristrasne

procene varijanse jednako je varijansi

n

i

i xxn 1

22

1

1̂



n

i

i xxn 1

22

1

1̂

22

1

1ˆ

n

i

i

x xn

nepristrasna

pristrasna



Ponavljamo eksperiment „mnogo“

puta i na taj način „simuliramo“

proračun matematičkog očekivanja


rezultata merenja

• Ukoliko su rezultati prikazani u formi histograma,

srednja vrednost može da se proceni i kao:

gde je xi sredina intervala i

m

i

ii pxx1

Procena merne nesigurnosti –

tip A• Tip A procene merne nesigurnosti zasniva

se na statističkoj obradi rezultata

ponovljenih merenja (treba da budu

zadovoljene pretpostavke o ponovljivosti)

• Standardna nesigurnos dobijena na

osnovu procene tipa A naziva se merna

nesigurnost tipa A

• Oznaka uA

Standardna merna nesigurnost -

Tip A• Najčešća je pretpostavka da je raspodela

rezultata merenja Gausova (ne mora da bude)

• Na osnovu rezultata merenja određuje se srednja vrednost koja predstavlja procenu merene veličine

• Srednja vrednost je, takođe, slučajna veličina

• Varijansa srednje vrednosti (kao slučajne veličine) je

n

MSV

22

Procenjena

varijansa

merenjaBroj

merenja

Standardna merna nesigurnost -

Tip A• Standardna devijacija srednje vrednosti merenja

je procena standardne merne nesigurnosti

11

2

nn

xx

u

n

i

i

A

Merna nesigurnost tipa A

• Ovako definisanoj mernoj nesigurnosti –

standardnoj mernoj nesigurnosti, odgovara

verovatnoća od 68%

• Ukoliko se zahteva verovatnoća od 95% (što

odgovara 2) računa se proširena merna

nesigurnost s faktorom proširenja 2

• Rezultat merenja se iskazuje kao:

• Uz napomenu o verovatnoći (ili faktoru proširenja)

Aux

Primer

• Meri se relativno mali napon u prisustvu

šuma

• Digitalnim osciloskopom vrši se akvizicija

signala tako što se snima segment od

2500 odbiraka (bez obrade,

usrednjavanja, na samom osciloskopu)

• Odbirci se statistički obrađuju i procenjuje

se merena nesigurnost tipa A

Primer

Gruba procena:

Oko 4.5 mV

Primer (lab. vežba)

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

4.05

E-0

3

4.17

E-0

3

4.29

E-0

3

4.41

E-0

3

4.53

E-0

3

4.65

E-0

3

4.77

E-0

3

4.89

E-0

3

5.01

E-0

3

5.12

E-0

3

5.24

E-0

3

5.36

E-0

3

Mereno

Teorija

Normalizovan histogram rezultata merenja (crveno) i teorijska gustina raspodele

za iste vrednosti srednje vrednosti i standardne devijacije

Primer

mV005.02500

000238.0

_

n

umerenja

vrednostisrednjeA

mV0.014.71

U

uUU Asr

S faktorom proširenja 2 (s

verovatnoćom od 95% rezultat

se nalazi u naznačenom

intervalu)

Primer –

merna nesigurnost tipa A• Na je prikazan histogram dobijen pri

ponovljenom merenju nepoznatog napona.

• Proceniti mernu nesigurnost tipa A. Pri

proračunu smatrati da je srednja vrednost

svakog intervala reprezentativna vrednost za

ceo interval.

• Odrediti rezultat merenja pod pretpostavkom da

je faktor proširenja k=2 i da se merna

nesigurnost tipa B može zanemariti.

Primer –

merna nesigurnost tipa A

4.7

5

4.8

4.8

5

4.9

4.9

5

5

5.0

5

5.1

5.1

5

5.2

5.2

5

0

5

10

15

20

25

Napon [V]

Bro

j is

ho

da

Primer – merna nesigurnost

tipa A - rešenje

Interval 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

xi 4.775 4.825 4.875 4.925 4.975 5.025 5.075 5.125 5.175 5.225

ni 1 4 7 19 20 23 18 5 2 1

10

101

1

14.994 Vi i

ii

i

x x n

n

10

2

101

1

10.0843V

1

x i i

i

i

i

x x n

n

10

1

0.00843VxA

i

i

u

n

2 4.99 0.02 VAU x u

Documents

19.10.2017. - University of Belgradetelekomunikacije.etf.bg.ac.rs/predmeti/ef2em/merenja_07.pdf–Tip A procene merne nesigurnosti –metod procene koji se zasnivana statističkoj