3-1 质点和质点系的动量守恒3-2 动量守恒定律3-3 系统内质量流动问题

大学物理学电子教案

武警学院教学课件

动量与动量守恒定律

复 习牛顿运动三定律几种常见的力

万有引力、弹性力、摩擦力惯性参考系 力学相对性原理

牛顿运动定律成立的参考系称为惯性系牛顿运动定律的应用惯性力f=-ma’

•牛顿第二定律——外力的作用，质点产生加速度，运动状态发生变化。•力的作用需要持续一段时间，或者需要持续一段距离，这就是力对时间的累积作用和力对空间的累积作用。•质点或质点系的动量、动能或能量将发生变化或转移。在一定条件下，质点系内的动量或能量将保持守恒。

第三章第三章

动量守恒定律和能量守恒定律动量守恒定律和能量守恒定律

3-1 质点和质点系的动量守恒一、冲量 质点的动量定理一、冲量 质点的动量定理

1 、冲量（力的作用对时间的积累，矢量）

大小：

方向：速度变化的方向

单位： N·s

量纲： MLT － 1

说明

•冲量是表征力持续作用一段时间的累积效应；• 矢量： 大小和方向；• 过程量， 改变物体机械运动状态的原因。

2

1

t

tdtFI

＝

t1

F

0 tt2dt

F

2 、动量 定义：物体的质量与速度的乘积叫做物体的动量

vmP

•动量是矢量，大小为 mv ，方向就是速度的方向；• 表征了物体的运动状态 •单位： kg·m·s-1 •量纲： MLT － 1

牛顿第二定律的另外一种表示方法

dt

Pdvm

dt

d

dt

vdmamF

)(

3 、动量定理

2

112

t

tdtFIPP

＝

F 为恒力时，可以得出 I ＝ F tF 作用时间很短时，可用力的平均值来代替。

PtFI

PdtFI

＝

在给定的时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于该质点在此时间内动量的增量——动量定理

2

1

2

1

t

t

P

PdtFPd

dtFPd

dt

PdF

说明•冲量的方向不是与动量的方向相同，而是与动量增量的方向相同•动量定理说明质点动量的改变是由外力和外力作用时间两个因素，即冲量决定的•动量定理的分量式

zz

t

zz

yy

t

yy

xx

t

xx

mvmvdtFI

mvmvdtFI

mvmvdtFI

12

12

12

•应用： 利用冲力：增大冲力，减小作用时间——冲床 避免冲力：减小冲力，增大作用时间——轮船靠岸时的缓冲

求作用力

PdtFI

＝

t

PF

＝

例 1 、质量为 2.5g 的乒乓球以 10m/s 的速率飞来，被板推挡后，又以 20m/s 的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为 45o 和 30o ，求：（ 1 ）乒乓球得到的冲量；（ 2 ）若撞击时间为 0.01s ，求板施于球的平均冲力的大小和方向。

45o

30o

n

v2

v1

45o

30o

n

v2

v1

Ox

y解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。设挡板对球的冲力为 F 则有：

12 vmvmdtFI

tFmvmvdtFI

tFmvmvdtFI

yyy

xxx

45sin30sin

45cos)(30cos

12

12

2.5g m/s20 m/s10 0.01s 21 m vvt

N14.6 N7.0 N1.622

yxyx FFFFF

为 I 与 x 方向的夹角。

1148.0tg x

y

II

Ns1014.6 222 yx III

Ns007.0 Ns061.0 yx II

6.54

二、质点系的动量定理二、质点系的动量定理

1 、两个质点的情况

20222212

10111121

2

1

2

1

vmvmdtFF

vmvmdtFF

t

t

t

t

＋

＋

)()( 2021012211

211221

2

1

2

1

vmvmvmvm

dtFFdtFFt

t

t

t

＋＋＋

2112 FF

)()( 202101221121

2

1

vmvmvmvmdtFFt

t

＋

作用在两质点组成的系统的合外力的冲量等于系统内两质点动量之和的增量，即系统动量的增量。

2 、多个质点的情况

n

iii

n

iii

t

t

n

ii

t

t

n

ii vmvmdtFdtF

10

111

2

1

2

1

内外 ＋

n

iiF

0

0内

n

iii

n

iii

t

t

vmvmdtF1

01

2

1

外力

0PPI

－＝

作用在系统的合外力的冲量等于系统动量的增量——质点系的动量定理

0

0

0

zzz

yyy

xxx

PPI

PPI

PPI

－＝

－＝－＝

例 2 、一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。

o

x证明：取如图坐标，设 t 时刻已有 x 长的柔绳落至桌面，随后的 dt 时间内将有质量为 dx(Mdx/L) 的柔绳以 dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：

dtdtdx

dx

dt

dP

根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：

2vdt

dtdx

dx

dt

dPF

＝－＝

柔绳对桌面的冲力 F ＝－ F’ 即：

LMgxFgxvvL

MvF /2 2 222 而

而已落到桌面上的柔绳的重量为

mg=Mgx/L

所以

F 总 =F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg

3-2 动量守恒定律一、内容一、内容当系统所受合外力为零时，即 F 外 =0 时，系统的动量的增量为零，即系统的总动量保持不变

恒矢量＝

n

iiivmP

1

0

0

0

zziziz

yyiyiy

xxixix

FCvmp

FCvmP

FCvmP

二、说明二、说明•守恒的意义：动量守恒是指系统的总动量的矢量和不变，而不是指某一个质点的动量不变。•守恒的条件：系统所受的合外力为零。•内力的作用：不改变系统的总动量，但可以引起系统内动量的变化•动量是描述状态的物理量，而冲量是过程量•动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。

解题步骤：1．选好系统，分析要研究的物理过程；2．进行受力分析，判断守恒条件；3．确定系统的初动量与末动量；4．建立坐标系，列方程求解；5．必要时进行讨论。

例题：水平光滑铁轨上有一车，长度为 l ，质量为 m2 ，车的一端有一人（包括所骑自行车），质量为 m1 ，人和车原来都静止不动。当人从车的一端走到另一端时，人、车各移动了多少距离？

解：以人、车为系统，在水平方向上不受外力作用，动量守恒。建立如图所示的坐标系，有m1v1-m2v2=0 或 v2=m1v1/m2

人相对于车的速度 u=v1+v2=(m1+m2)v1/m2

设人在时间 t 内从车的一端走到另一端，则有

ttt

dtvm

mmdtv

m

mmudtl

0 12

21

0 12

21

0

在这段时间内人相对于地面的位移为

lm

mmdtvx

t

2

21

0 11

小车相对于地面的位移为 l

mm

mxlx

21

112

3 － 3 系统内质量流动问题

一、火箭运动的微分方程一、火箭运动的微分方程

在 t 时刻，火箭－燃料系统的质量为 M ，速度为 v ；在 t→t+△t 时间间隔内，有质量为△ m 的燃料变为气体，并以速度 u相对火箭喷射出去。在时刻 t+△t火箭相对选定的惯性参考系的速度为 v+△v ，而燃烧气体粒子相对选定的惯性参考系的速度则为 v+△v+u 。

vMtp

uvvmvvmMttp ＋

muvMtpttpp

dt

dmu

dt

vdM

dt

pd

dt

dM

dt

dm

dt

dMu

dt

vdM

dt

pd

dt

dMu

dt

vdM

dt

pdF

dt

dMuF

dt

vdM

dt

dMu 叫作火箭发动机的推力

二、火箭运动的速度公式二、火箭运动的速度公式对于在远离地球大气层之外，星际空间中飞行的火箭，可以认为系统不受外力作用，即 F=0

dMuvMddt

dMu

dt

vdM

M

M

v

v M

dMuvd

00

M

Mu

M

Muvv 0

00 lnln

M

Muv 0ln

考虑初速度为零，则火箭的速度大小为

M0/M 叫做质量比

三、多级火箭三、多级火箭

nnn Nuvv

Nuvv

Nuv

ln

ln

ln

1

212

11

质量比Ni =M0/M

)ln

)lnlnln

21

21

n

nn

NNNu

NNNuv

（＋＋＋（

但级数越多，技术越复杂。一般采用三级火箭。

例题：一长为 l ，密度均匀的柔软链条，其单位长度的密度为 λ 。将其卷成一堆放在地面上。若手握链条的一端，以匀速 v 将其上提。当绳端提离地面的高度为 x 时，求手的提力。

解：取地面为惯性参考系，地面上一点为坐标原点 O ，竖直向上为 x轴。以整个链条为一系统。设在时刻 t ，链条一端距原点的高度为 x ，其速率为 v ，由于在地面部分的链条的速度为零，故在在时刻 t ，链条的动量为

ixvtp

链条的动量随时间的变化率为

ividt

dxv

dt

tpd 2

作用在整个链条的外力，有手的提力 F ，重力 λxg 和 λ(l-x)g 以及地面对链条的支持力 N ，由牛顿第三定律知 N 与 λ(l-x)g 大小相等，方向相反，所以系统所受的合外力为

ixgFgxF

) ( －＝－

ivixgF

2 ) ( －xgvF 2 ＋

小 结•冲量

2

1

t

tdtFI

＝

•动量定理 PdtFI ＝

•质点系的动量定理0PPI

－＝

•动量守恒定律 恒矢量＝

n

iiivmP

1

•变质量物体的运动方程dt

dMuF

dt

vdM

作 业思考题： P100 2 ， 4 ， 5 ， 7

习 题： P102 1 ， 6 ， 9 ， 11

预 习： 3-4 ， 3-5 ， 3-6