이학석사학위 청구논문

Sagnac 간섭계를 이용한

전기장의 Wigner 함수 측정

Measuring Wigner function of Electric field with Sagnac Interferometer

2005年 2月

인하대학교 대학원

물리학과 (광학전공)

김 의 석

이학석사학위 청구논문

Sagnac 간섭계를 이용한

전기장의 Wigner 함수 측정

Measuring Wigner function of Electric field with Sagnac Interferometer

2005年 2月

지도교수 노재우

이 논문을 석사학위 논문으로 제출함

인하대학교 대학원

물리학과 (광학전공)

김 의 석

- 3 -

이 논문을 김의석의 석사학위 논문으로 인정함.

2005 年 2 月

주심 이 민 희 (印)

부심 노 재 우 (印)

위원 김 경 헌 (印)

- 4 -

요 약

전기장의 공간 가간섭성[1]을 결정하는 일은 광학의 여러 분야에서 중요

한 문제이다. 의광학에서는 진단기기에 사용하는 광원의 공간 가간섭성이 산

란하는 매질의 내부구조를 밝히는 수단으로서 연구되며, 광통신 분야에서는

빛을 광섬유에 집어넣는 데에 있어 좋은 결합효율을 얻기 위해 광원의 공간

가간섭성을 알아야 한다. 양자통신에서와 같이 신호의 검출이 간섭효과에 의

존하는 경우는 광원의 공간 가간섭성을 결정하는 것은 특히 중요한 문제가

된다.

이 논문에서는 전기장의 공간 가간섭성을 결정하는 Wigner 함수를 소개

하고 Sagnac 간섭계를 이용하여 전기장의 Wigner 함수를 측정하는 방법과

여러 가지 형태의 전기장에 대한 Wigner 함수를 측정한 결과를 제시하고 전

산모의 실험을 비롯한 여러 방법으로 그 결과의 분석을 시도하여, 그 결과가,

측정하는 전기장의 공간 가간섭성을 나타내고 전파방향에 대한 횡평면의 공

간좌표 및 전파방향에 따른, 전기장의 조인트(joint) 분포를 나타냄을 확인하

였다.

- 5 -

Abstract

The problem of characterizing the spatial coherence of optical

fields is important in a variety of optics fields. In biomedical optics

spatial coherence is being studied as a means of revealing the internal

structure of scattering media, and in optical communications the

spatial coherence of light source is necessary for achieving efficient

coupling into fiber systems. It is critical in quantum communications,

where detection is often based on interference effects.

In this paper I introduce Wigner function which characterizes the

spatial coherence and how to measure Wigner function using Sagnac

interferometer and the results of measured Wigner functions of

various electric fields. And I tried to analyze the results with various

methods including computer simulation and verified that measured

Wigner functions showed the spatial coherence of electric fields and

joint distribution between transverse spatial positions and directions

of propagations for the fields.

- 6 -

차 례

요 약 문

Abstract

그림차례

제 1 장 서론 : Wigner 함수 ..................................................................... 1

1. 1 도입 ................................................................................................ 1

1. 2 위상공간에서의 빛의 전파 ............................................................... 1

1. 3 Wigner 분포 함수 ............................................................................ 2

제 2 장 Wigner 함수의 수식과 그 의미 ..................................................... 4

제 3 장 Wigner 함수 측정을 위한 실험장치 .............................................. 5

제 4 장 여러 가지 형태의 전기장에 대한 Wigner 함수 측정결과 ............. 12

4. 1 거울 M1에 빔 허리를 위치시킨 전기장의 Wigner 함수 .................. 12

4. 2 발산하는 전기장의 Wigner 함수 .................................................... 23

4. 3 수렴하는 전기장의 Wigner 함수 .................................................... 28

4. 4 단일 슬릿의 상을 맺는 전기장의 Wigner 함수 ............................... 33

제 5 장 결론 ........................................................................................... 39

참고문헌 ................................................................................................ 41

- 7 -

그 림 차 례

그림 1. Wigner 함수 측정을 위한 장치도 ................................................ 7

그림 2. 실험 장치를 전파해 나가는 전기장의 횡평면 ............................... 8

그림 3. 측정을 위한 자동제어계측 장치도 ............................................... 8

그림 4. Wigner 함수 측정을 위한 LabVIEW 프로그램 (Front panel) ...... 9

그림 5. Wigner 함수 측정을 위한 LabVIEW 프로그램 (Block diagram) 10

그림 6. 거울 M1에 입사하는 가우시안 전기장의 빔 허리 ....................... 12

그림 7. 빔 허리에서의 Wigner 함수 측정 결과 (surface) ...................... 14

그림 8. 빔 허리에서의 Wigner 함수 측정 결과 (contour) ...................... 14

그림 9. Wigner 함수의 전산모의 실험을 위한 Matlab 프로그램 ............ 18

그림 10. 빔 허리에서의 Wigner 함수 전산모의 실험 결과

(w0=0.142mm, z=2.6cm) .......................................................... 19

그림 11. 빔 허리에서의 Wigner 함수 전산모의 실험 결과 (contour)

(w0=0.142mm, z=2.6cm) .......................................................... 19

그림 12. 빔 허리에서의 Wigner 함수 전산모의 실험 결과

(w0=0.175mm) .......................................................................... 20

그림 13. 빔 허리에서의 Wigner 함수 전산모의 실험 결과 (contour)

(w0=0.175mm) .......................................................................... 20

그림 14. 빔 허리에서의 W(x)의 실험값과 전산모의 실험 결과

(w0=0.147mm) .......................................................................... 21

그림 15. 빔 허리에서의 W(k)의 실험값과 전산모의 실험 결과

(w0=0.147mm) .......................................................................... 21

그림 16. 빔 허리에서의 W(x)의 실험값과 전산모의 실험 결과

(w0=0.175mm) .......................................................................... 22

그림 17. 빔 허리에서의 W(k)의 실험값과 전산모의 실험 결과

(w0=0.175mm) .......................................................................... 22

- 8 -

그림 18. 거울 M1에 입사하는 발산하는 전기장 ...................................... 23

그림 19. 발산하는 전기장의 Wigner 함수 측정 결과 (surface) .............. 25

그림 20. 발산하는 전기장의 Wigner 함수 측정 결과 (contour) .............. 25

그림 21. 발산하는 전기장의 Wigner 함수 전산모의 실험 결과 (surface) 26

그림 22. 발산하는 전기장의 Wigner 함수 전산모의 실험 결과 (contour) 26

그림 23. 발산하는 전기장의 marginal, W(x) .......................................... 27

그림 24. 발산하는 전기장의 marginal, W(k) .......................................... 27

그림 25. 거울 M1에 입사하는 수렴하는 전기장 ...................................... 28

그림 26. 수렴하는 전기장의 Wigner 함수 측정 결과 (surface) .............. 30

그림 27. 수렴하는 전기장의 Wigner 함수 측정 결과 (contour) .............. 30

그림 28. 수렴하는 전기장의 Wigner 함수 전산모의 실험 결과 (surface) 31

그림 29. 수렴하는 전기장의 Wigner 함수 전산모의 실험 결과 (contour) 31

그림 30. 수렴하는 전기장의 marginal, W(x) .......................................... 32

그림 31. 수렴하는 전기장의 marginal, W(k) .......................................... 32

그림 32. 단일 슬릿을 투과한 후 슬릿의 상을 맺는 전기장 ...................... 33

그림 33. 단일 슬릿의 상을 맺는 전기장의 Wigner 함수 (surface) ......... 36

그림 34. 단일 슬릿의 상을 맺는 전기장의 Wigner 함수 (contour) ......... 36

그림 35. 단일 슬릿의 상을 맺는 전기장의 marginal, W(x) ..................... 37

그림 36. 단일 슬릿의 상을 맺는 전기장의 marginal, W(k) ..................... 37

그림 37. 측정값으로부터 DFT방법을 통해 W(k)를 구하기 위해 작성된

Matlab 프로그램 ........................................................................ 38

- 1 -

제 1 장 서 론 : Wigner 함수

1. 1 도입

Wigner 분포 함수는 Wigner가 1932년에 공간좌표와 운동량의 어떤 함

수의 기대값을 보정하기 위한 수학적 도구로써 양자역학에 도입하였다. [2]

광학에서 Wigner 함수 표현은, 위상공간에서 광학적 현상을 두 좌표에 대해

동시적으로 묘사할 수 있게 해 주는데, 이 두 좌표는 시간 조화파인 경우, 공

간좌표와 각도좌표가 되며, 펄스인 경우, 시간좌표와 각진동수좌표가 된다.

[3][4]

1. 2 위상공간에서의 빛의 전파

여기서 위상공간이란 r( rx,ry)과 p( p x, p y)에 의해 이뤄지는 4차원 공간이

된다.

즉 전파하는 방향 z에 대한 횡평면(z=const)에서 위치r 과 전파방향 p를

갖는 전기장은 위상공간에서의 한 점으로 표현될 수 있다. 일반적으로 전기

장의 전파에 대한 위상공간분석은 (r, p, t, ω)의 6차원 공간에서 이뤄져야 하

나, 특별한 경우는 그 중 일부의 좌표만으로도 가능하다.

시간조화파의 경우는 공간적 위상공간 좌표 (r, p)에 의해서, 펄스파인 경

우 시간적 위상공간 좌표 (t, ω)에 의해서, 그리고 횡평면 상에서 회전대칭인

전기장 분포를 갖는 경우는 공간적 위상공간 좌표( x,p x) 두 좌표에 의해 표

현이 가능하다.

결맞는, 스칼라 시간조화 전기장에 대한 공간적 위상공간 묘사는 다음과

같이 주어진다.

- 2 -

Cφ(r, p) = 1

4π 2⌠⌡exp[ik(

qr- ξp-qu)]Φ(q, ξ) φ(u+ξ2)φ*(u-

ξ2)dudξdu (1)

식(1) 에서 r을 t 로, kp를 ω로 바꿔주면 펼스파를 나타내는 시간적 위상

공간 분포에 관한 식이 된다.

여기서 Φ(q, ξ) 는 적분표현의 핵(kernel)이며, Φ(q, ξ)의 선택에 따라 다

른 종류의 위상공간 묘사를 얻을 수 있는 것이다. Wigner 분포 함수는 위상

공간 분포함수의 한 종류로서 Φ(q, ξ)=1 인 핵을 이용한 함수로서, 1차 광학

계에의 전파를 나타내는 매우 간단한 변환 법칙으로 인하여 그 응용 범위가

특히 넓다.

1. 3 Wigner 분포 함수

결맞는, 스칼라 시간조화 전기장 φ(r , z)에 대한 Wigner 함수는 z=const

평면에서 다음과 같이 주어진다.

Wφ( r, p)=⌠⌡φ( r+

r'2) φ*( r-

r'2) exp(ik rp)d r' (2)

그러한 결맞는 전기장에 대한 Wigner 분포 함수가 갖는 중요한 특성은 다음

과 같다.[4]

(1) Wigner 분포 함수는 음의 값을 가질 수 있다.

실수인 전기장 분포에 대한 Wigner 분포 함수는 각변수에 대한 짝함수

이다.

즉, Wφ( r,p) = Wφ( r,-p)

.

(2) 전기장 분포가 공간 좌표 상에서 이동하면 Wigner 분포 함수도 같은 양

만큼 이동한다.

- 3 -

즉, φ'( r)=φ( r+r 0)인 전기장 분포에 대한 Wigner 분포 함수는

Wφ( r+r 0, p)로 주어진다.

(3) 전기장 분포가 exp(ik rp)만큼 변하면, 즉 각좌표상에서의 이동하면,

Wigner 분포 함수도 같은 양 만큼 이동한다.

즉, φ'( r)=φ( r) exp(ik rp) 인 전기장 분포에 대한 Wigner 분포 함수는

Wφ( r,p)=Wφ( r, p+p 0)

로 주어진다.

(4) 전기장 분포가 공간상으로 제한되면 혹은 전기장분포의 푸리에 변환이

각좌표상으로 제한되면 Wigner 분포 함수도 각각 같은 영역으로 제한된

다.

(5) Wigner 분포 함수의 각변수에 대한 적분은 전기장 분포의 세기에 비례

하는 보다 구체적인 의미를 갖게 된다.

즉, ⌠⌡ Wφ( r,p)dp

=4π2

k2 |φ( r)|

2 .

(6) Wigner 분포 함수의 공간 좌표에 대한 적분은 전기장 분포의 푸리에 변

환의 세기와 같다.

즉, ⌠⌡ Wφ( r,p)

dr =| φ( p)|2

Wigner 분포 함수의 특성 (5), (6) 에 나타난 적분은 Wigner 분포 함수의

마지널(marginal)이라고 불리는 양이다.

(7) 다음과 같은 변환식에 의해서 Wigner 함수의 분포로부터 원래 전기장의

분포를 알아낼 수 있다.

φ( r 1)φ*( r 2)=k2

4π2⌠⌡Wφ( r 1+r 22

, p ) exp(-ik( r 1-r 2) p )dp

- 4 -

제 2 장 Wigner 함수의 수식과 그 의미

준단색광의 복소수 전기장 E( ξ)에 대한 Wigner 분포 함수는 다음과 같이

주어진다.[5]

W( x, k)=1

π 2⌠⌡d

2 ξ exp(2i kξ)<E*( x- ξ)E( x+ ξ)> (3)

여기서 ξ는 전기장의 전파방향에 대해 수직인 평면(횡평면)상의 2차원 벡

터를 나타내며, k 는 횡평면의 공간 주파수 벡터, 그리고 꺾음 괄호는 통계

적 평균을 나타낸다.

이 식은 실험적으로 Wigner 함수를 측정하기 위해 간단히 다음과 같이

고쳐 쓸 수가 있다.

W( x, k)=1

π2<⌠⌡d

2 ξ[exp(-i kξ)E( x-ξ)]* exp(i kξ)E( x+ξ)> (4)

이 식을 살펴보면 한 점 ( x,k) 에서의 Wigner 분포 함수는 전기장

exp(i kξ)E( x+ξ) 와 그 자신을 횡평면 상에서 180 회〫전시켜 얻는

exp(-i kξ)E( x-ξ) 의 켤레복소수를 공간적으로 적분해서 얻어진다. 전기장

exp(i kξ)E( x+ξ) 는 원래의 전기장을 공간상에서 x 만큼 이동시키고, 전파

방향을 k 만큼 변화시켜 만들 수 있다.

- 5 -

제 3 장 Wigner 함수 측정을 위한 실험 장치

식 (4) 에 따라 Wigner 함수를 측정하기 위하여 그림 1과 같이 세

개의 거울과 한 개의 빛살 가르개(beamsplitter, BS)로 이루어진 Sagnac

간섭계를 구성하였다.

Sagnac 간섭계는 빛이 빛살 가르개로 입사하여 투과한 빛과 반사한

빛이 같은 경로를 서로 반대방향으로 회전하도록 되어 있는데 이러한 구

조로 인해 회전운동의 각속도를 측정하는 데 이용되기도 한다. 이러한

Sagnac 간섭계는 광학 정렬이 비교적 쉽고 매우 안정적이라는 특성을 갖

는다.

광원으로는 파장 632.8nm 인 Uniphase 사의 헬륨-네온 레이저를

사용하였다.

거울(M1)은 스텝모터에 의해 작동되는 두 개의 스테이지 위에 장착

되어 회전하는 스테이지와 병진 운동하는 스테이지에 의해 Wigner 함수

가 측정되는 점 ( x,k) 를 결정한다. 거울M1에 의해 식(4)에서와 같이 변

형된 전기장이 Sagnac 간섭계로 입사하면, 50:50 빛살 가르개 (BS)에 의

해 반사-반사한 전기장과 투과-투과한 전기장이 다시 빛살 가르개를 지

나 렌즈에 의해 검출기로 입사하게 된다. 검출기는 수광부(active area)의

지름이 8mm로 넓은 것을 사용하였는데 이는 렌즈와 함께, 측정하고자

하는 전기장의 세기를 가능한 한 모두 검출하기 위한 것이다. 사용한 렌

즈의 초점거리는 7cm 이다.

이 실험 장치에서 중요한 역할을 하는 것이 간섭계 내에 위치한 도

브 프리즘이다. 이 도브 프리즘의 밑면이 간섭계 평면에 대해 45 기〫울어

져서 간섭계 안에 빛살 가르개 로부터 두 개의 방향에 대해 같은 거리에

위치해 있다. 각각의 방향으로 이 도브 프리즘을 통과한 전기장은 원래의

- 6 -

전기장에 대해 횡평면 상으로 서로 반대 방향으로 90 만〫큼 회전하게 되

고 이는 서로 간섭하는 두 개의 전기장이 횡평면상에서 상대적으로 180 〫

만큼 회전한 효과를 나타내게 되는 것이다. 이러한 효과는 Wigner 함수

를 측정하기 위한 식(4)에서 ξ 를 -ξ 로 변형시키는 결과를 준다.

정리하면 거울M1이 x만큼의 평행이동과 θ만큼의 회전에 의해

Wigner 함수가 측정되는 점 (x, k) 를 결정하고, M1에 의해 변형된 전기

장이 Sagnac 간섭계 내에서 간섭을 일으켜 그 전체 세기가 검출기에 의

해 측정되는 것이다.

그림 2는 전기장이 현재의 실험 장치에서 전파해 나가면서 어떻게

변화되는지를 보여준다.

그림 3은 측정을 위해 만들어진 간단한 자동제어계측 장치도이다.

두 개의 스테이지를 움직이는 스텝모터는 하나의 드라이버에 의해 제어

되고, 검출기에서 검출된 신호가 오실로스코프와 연결되어 다시 컴퓨터로

측정값을 전송하게 된다. 스테이지를 움직이고 변화된 측정값을 검출기로

부터 읽어서 저장하는 것이 하나의 LabVIEW 프로그램에 의해 이뤄지도

록 하였다. 그림 4와 그림 5에 측정을 위해 작성한 LabVIEW 프로그램을

나타내었다.

실험에 사용한 기기의 제원은 다음과 같다.

광원으로는 파장 632.8nm 의 헬륨-네온 레이저(Uniphase, 1101P)

를 사용하였으며 거울 M1을 동작시키기 위해 각각 최소 움직임이 1 μm

/pulse(Sigma Koki, SGSP20-20;translation stage), 0.0025 /〫pulse

(Sigma Koki, SKIDS 60 ; rotation stage) 인 스테이지를 사용하였다.

도브 프리즘(한국전광, DP-050-C-450-694)의 크기는 12.7 ×12.7 ×53.3

mm 3이고 450~694nm에서 무반사 코팅이 되어 있다. 빛살 가르개 (한국

전광, BSNP-633-50-1025) 는 중심파장이 633nm 인 50:50

- 7 -

non-polarizing plate beam splitter를 사용하였다. 검출기로 들어가는

가능한 모든 빛을 받아들이기 위해 사용한 렌즈는 초점거리가 7cm이고,

렌즈와 모든 거울의 지름은 1cm이다. 실험에 사용한 검출기(NEW

FOCUS,2031) 는 실리콘 광검출기(photodetector)로서, 400~1070nm

파장대에서 사용가능하며 실험에 사용한 광원인 633nm 파장에 대해 약

0.35A/W 의 변환효율을 보인다.

<그림 1> Wigner 함수 측정을 위한 장치도

- 8 -

<그림 2> 실험 장치를 전파해 나가는 전기장의 횡평면

<그림 3> 측정을 위한 자동제어계측 장치도

- 9 -

<그림 4> Wigner 함수 측정을 위한 LabVIEW 프로그램 (Front panel)

- 10 -

<그림 5> Wigner 함수 측정을 위한 LabVIEW 프로그램

(Block diagram)

- 11 -

검출기D2에서 측정되는 신호의 형태는 간섭을 일으키는 전체 전기

장의 일률(power)이다. 검출기D2에 입사하는 빛의 세기를 ID2 라고 하면

I D2=I 1+I 2+I 1,2 로 쓸 수 있으며 이중 처음 두 항은 간섭이 일어나지 않

을 때 빛살 가르개에 입사하는 두 전기장 각각의 세기이고 따라서 (x, k)

에 대해 상수이며 I1,2가 간섭에 의한 빛의 세기이므로 Wigner 함수와는

다음의 관계에 있다.

I 1,2=π2cosφ4W(x,k) (5)

그러므로 전체 Wigner 함수 W(x, k) 는 x, k를 변화시키면서 측정된

세기에서 상수성분을 빼주면 식(5)에 의해 계산될 수 있다. φ는 간섭하는

두 전기장의 상대적 위상으로 이 실험에서는 50:50 판형 빛살 가르개를

사용하여 반사-반사하는 전기장과 투과-투과하는 전기장이 180 의〫 상대

적 위상을 갖게 된다.

실험에서는 그림1의 장치도와 같이 두 개의 빛살 가르개와 검출기,

렌즈를 사용하였다. 측정하고자 하는 광원의 전기장을 E0라고 하면,

Wigner 함수의 측정이 이뤄지는 검출기 D2에는 빛살 가르개 BS1을 투

과한 후 두 번째 빛살 가르개에 대해 투과-투과 하는 전기장 t2t2t1E0 와

반사-반사하는 전기장 r2r2t1E0가 입사하고, 검출기 D1에는 빛살 가르개

BS1을 투과한 후 두 번째 빛살 가르개에 대해 투과-반사 하는 전기장

r2t2t1E0 와 반사-투과하는 전기장 t2r2t1E

0이 입사한다. 따라서 실험에 사

용한 두 개의 검출기로부터 얻은 빛의 세기 ID1과 ID2로부터 Wigner 함수

를 결정하는데 필요한 세기 I1,2를 다음과 같이 구할 수 있다.

I 1+I 2=12(I D2+2I D1)

I 1,2=I D1-12I D2 (6)

- 12 -

제 4 장 여러 가지 형태의 전기장에 대한

Wigner 함수 측정결과

광원으로는 빔 허리의 크기가 0.315mm인 헬륨-네온 레이저를 사용

하였고 측정결과의 분석에 있어서는 가우시안 빔을 그 이론적 모델로 삼

았다.[6]

4. 1 거울 M1에 빔 허리를 위치시킨 전기장의 Wigner 함수

<그림 6> 거울 M1에 입사하는 가우시안 전기장의 빔 허리

- 13 -

초점거리 f=30 cm 인 렌즈를 사용하여 거울 M1에 가우시안 빔의

새로운 빔 허리가 위치하도록 하여 Wigner 함수를 측정하였다. 그림 6에

실험 장치에 따른 가우시안 빔의 빔 크기(w(z))를 나타내었다. 빔 허리가

생기는 위치를 찾을 때 가우시안 빔의 매개변수들을 이용하여 계산한 결

과를 이용하였다. 실제 실험에 사용한 레이저는 렌즈로부터 36.5cm 되는

곳에 빔 허리가 생긴 것으로 보였는데 계산결과는 39cm인 곳에서 나타

나 2.5cm의 차이를 보였다. 렌즈를 지나 36.5cm 되는 곳에서의 빔의 크

기는 0.147mm로, 39cm인 곳에서는 0.142mm로 각각 계산되었다.

광학정렬을 한 상태에서 회전 스테이지를 θ만큼 움직이게 되면 실제

입사하는 전기장의 입사방향은 2 θ가 되고 이는 측정하고자 하는 Wigner

함수의 k값과 다음과 같은 관계를 갖게 된다.[6]

k= k x= k 0tan(θ×2)

=2πnλ 0tan(θ×2)

(7)

그림 7과 그림 8에 Matlab을 이용하여 측정결과를 나타내었다.

우선 측정결과가 가우시안의 형태를 갖는 것을 볼 수 있는데 이는 가

우시안 입사전기장에 대한 Wigner 함수역시 가우시안 형태라는 사실과

일치한다. 그림 8에 나타난 x축 상의 Wigner 함수의 분포가 전기장의 공

간적 분포를 나타내고 k축 상으로는 전기장의 방향의 분포를 나타냄을

알 수 있다.

- 14 -

<그림 7> 빔 허리에서의 Wigner 함수 측정 결과 (surface)

<그림 8> 빔 허리에서의 Wigner 함수 측정 결과 (contour)

- 15 -

측정결과의 분석을 위해 Matlab 을 이용하여 가우시안 빔에 대한

Wigner 함수의 전산모의 실험을 하였다. 그림 10에, 사용한 광원의 제원

에 따른 가우시안 빔의 매개변수를 계산하여 전산모의 실험을 한 결과를

나타내었는데 그림 7의 측정결과와 큰 차이를 보임을 알 수 있다. 이 때

사용한 가우시안 빔의 매개변수는 빔 허리의 크기 w0=0.142mm, 빔 허리

로부터의 진행거리 z=2.6cm 였는데, 이는 그림 6에서와 같이 가우시안

빔을 진행시켰을 때 계산 되는 매개변수이다. 빔 허리의 크기나 진행거리

(z)등의 매개변수를 바꿔가면서 실험결과와 맞는 전산모의 실험 결과를

그림 12에 나타내었는데 그때의 빔 허리의 크기와 진행거리는 각각

0.175mm, 0.1cm로 계산되었다. 이는 실험에 사용된 광원을 제원을 충실

히 따르는 이상적인 가우시안 빔으로 보기 어렵다는 뜻이 된다. 이 논문

의 4.2절과 4.3절에 제시된 실험 결과에서 알 수 있듯이 렌즈에 의해 레

이저 빔이 초점을 맺는 거리를 잘 못 정했다면 그림 8의 등고선그림의

축이 찌그러진 형태로 측정되었어야 할 것이다. 그러므로 실제 빔 허리의

크기가 레이저의 제원에 나타난 그것과 다른 것으로 생각된다. 그림 9는

전산모의 실험을 하기 위해 작성한 Matlab 프로그램이다.

보다 구체적인 결과의 분석을 위해 측정한 Wigner 함수와 전산모의

실험에 의한 Wigner 함수에 대해 마지널 분포를 구해 보았다. 그림 14와

그림 15에는 Wigner 함수의 측정값으로부터 구한 마지널 (W(x), W(k))

과 빔 허리의 크기가 0.147mm인 가우시안 빔에 대해 전산모의 실험으로

구한 마지널 (W(x), W(k))을 각각 비교하였고 그림 16과 그림 17에는

Wigner 함수의 측정값으로부터 구한 마지널 (W(x), W(k))과 빔허리의 크

기가 0.175mm인 가우시안 빔에 대해 전산모의 실험으로 구한 마지널

(W(x), W(k))을 각각 비교하였다.

Wigner 함수가 공간좌표와 전파방향에 따른 조인트 분포를 나타내는

데 비해 마지널 분포는 각각의 좌표에 대한 분포라는 보다 구체적인 의미

를 지닌다. 그림 14에 나타난 x에 따른 마지널 분포 W(x)는 횡평면상의

한 공간좌표(x) 에 따른 빔의 세기( |E(x)| 2)의 의미를 지니는데 이론적인

- 16 -

가우시안 빔에 비해 측정결과는 보다 넓게 퍼진 공간분포를 가짐을 알 수

있다.

이에 비해 그림 15에 나타난 전파방향 k에 따른 빔의 분포는 이론적

인 가우시안 빔의 그것에 비해 보다 좁은 분포를 보인다. 즉 측정에 사용

된 광원이 이론적인 가우시안 빔에 비해 공간적으로는 보다 퍼져 있고 전

체 Wigner 함수의 모습에서도 보았듯이 전파방향에 있어서는 보다 좁은

분포를 갖는다는 사실을 확인 할 수 있다. 그림14와 그림 15에서 각각의

마지널의 높이가 실험값과 차이가 나는 것은 각 좌표에 따른 마지널의 분

포가 실험값에 비해 좁거나 혹은 넓기 때문이다.

그림 14와 그림 15의 빔허리의 크기가 0.147mm인 경우에 비해 빔

허리의 크기를 0.175mm로 하여 계산한 마지널의 전산모의 실험결과를

나타낸 그림 16과 그림 17은 측정결과와 매우 잘 맞는 것을 확인 할 수

있고 이는 앞에서 살펴본 대로 측정에 사용된 레이저가 이상적인 가우시

안의 맺음변수를 따르지 않거나 제원에 표시된 빔허리의 크기가 실제와

다르다는 추론을 뒷받침한다.

두 개의 마지널 W(x), W(k)는 각각 두 함수 x에 대한 전기장 분포

E(x), k에 대한 전기장 분포 E(k)의 제곱이거나 혹은 제곱에 정비례하는

양인데, 두 함수 E(x)와 E(k)가 서로 푸리에 변환 관계에 있으므로 각 분

포함수의 폭을 결정하는 하나의 매개변수를 변화시킴으로서 하나의 분포

함수의 폭은 보다 넓게, 그리고 다른 하나는 보다 좁게 분포형태를 바꾸

어 실험결과에 보다 근접한 전산 모의실험 결과를 얻을 수 있었으며 이때

의 매개변수는 가우시안 빔의 빔 허리의 크기이다.

가우시안 빔의 경우, 빔의 크기는 빔의 중심에서부터 빛의 세기

(intensity)가 중심에서의 세기의 1e2

이 되는 곳까지의 높이로 정의된다.

마지널 분포가 실제적인 빔의 공간분포를 나타내므로 다음에 나타난

계산에 의해 측정결과로부터 빔의 크기를 결정해 보았다

- 17 -

W(x=⊿x/2= w(z) ) = ∑ W(x=⊿x/2, ki )

W(x=⊿x/2, ki ) ∼ I1,2 (x=⊿x/2, ki )

I1,2 (x=⊿x/2 ) = Itot - (I1+I2)

= Etot2 - (E1

2+E22)

= 1/e2 (Emax2 - (E1max

2+E2max2) )

= 1/e2 I1,2 (x=0)

W(x=w(z) ) = 1/e2 W(x=0) (8)

그 결과 레이저의 제원에 나타난 가우시안 빔의 맺음변수를 이용한

전산모의 실험결과로부터는 0.145mm, 측정값으로부터는 0.185mm로 빔

크기를 추정할 수 있었고 이는 레이저의 제원에 따른 전산모의 실험결과

에 비해 약 25% 큰 것을 알 수 있다.

- 18 -

<그림 9> Wigner 함수의 전산모의 실험을 위한 Matlab 프로그램

- 19 -

< 그림 10> 빔 허리에서의 Wigner 함수 전산모의 실험 결과

(w0 =0.142mm, z=2.6cm)

<그림 11> 빔 허리에서의 Wigner 함수 전산모의 실험 결과 (contour)

(w0 =0.142mm, z=2.6cm)

- 20 -

<그림 12> 빔 허리에서의 Wigner 함수 전산모의 실험 결과

(w0 =0.175mm)

<그림 13> 빔 허리에서의 Wigner 함수 전산모의 실험 결과 (contour)

(w0 =0.175mm)

- 21 -

-0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

W(x

), ar

bitra

ry u

nit

x (mm)

experiment w0.147simulation

<그림 14> 빔 허리에서의 W(x)의 실험값과

전산모의 실험(w0=0.147mm) 결과

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

0

1

2

3

4

5

W(k

), ar

bitra

ry u

nit

k (1/mm)

experimetn w0.147simulation

<그림 15> 빔 허리에서의 W(k)의 실험값과

전산모의 실험(w0=0.147mm) 결과

- 22 -

-0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

experiment w0.175simulat

W(x

), ar

bitra

ry u

nit

x (mm)

<그림 16> 빔 허리에서의 W(x)의 실험값과

전산모의 실험(w0=0.175mm) 결과

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

0

1

2

3

4

5

wkexperiment w0.175simulat

W(k

), ar

bitra

ry u

nit

k (1/mm)

<그림 17> 빔 허리에서의 W(k)의 실험값과

전산모의 실험(w0=0.175mm) 결과

- 23 -

4. 2 발산하는 전기장의 Wigner 함수

<그림 18> 거울 M1에 입사하는 발산하는 전기장

그림 18과 같이 렌즈 없이 레이저 빔을 진행시켜서 거울 M1에서 측

정하는 레이저 빔이 발산하도록 하여 Wigner 함수를 측정하였다. 그림

19와 그림 20에 그 측정결과를 나타내었다.

빔 허리가 생기는 위치에서 측정했던 결과인 그림 7과 그림 8에 비

해, 발산하는 전기장에 대한 Wigner 함수의 측정결과는 x-k 평면에서 양

(+)의 기울기를 갖는 직선의 방향으로 잡아 늘인 형태의 분포를 가짐을

알 수 있다. 이는 발산하는 전기장이 양의 x방향에 따라 양의 전파방향을

갖는 전기장 분포가 더 증가한다는 것을 생각할 때 당연한 결과이며, 이

- 24 -

러한 사실을 측정결과로부터 볼 수 있었던 것은 Wigner 함수가 x-k에

따른 조인트 분포를 나타내기 때문이다. 이것은 단순히 각각의 좌표에 대

한 분포함수만을 구하는 것 이상의 정보를 Wigner 함수를 통해서 얻을

수 있음을 보여준다.

그림 21과 그림 22에는 전산모의 실험 결과를 나타내었는데 전산실

험의 결과로부터도 발산하는 전기장의 특징인 x-k사이의 양의 상관관계

를 확인할 수 있었다. 이 경우에는 x에 대한 분포와 k에 대한 분포가 모

두 실험결과가 시뮬레이션 결과에 비해 각각의 좌표에 대해 좁은 폭으로

분포하는 것으로 나와서 두 좌표에 대해 모두 만족스러운 매개변수를 찾

을 수 없었다. 빔 허리의 크기와 진행거리를 변화시켜 주면서 얻은 가장

비슷한 결과가 그림 21과 그림 22인데 이 경우 빔 허리 크기는 0.37mm,

진행거리는 20cm로 결정되었다.

그림 23과 그림 24에는 마지널 분포를 나타내었다. 가우시안 빔의

전파로부터 계산한 빔의 크기는 0.326mm로 전산모의실험에 대한 W(x)

로부터 구한 빔의 크기 0.35mm와 대체로 비슷한 결과를 주었으나, 측정

값에 대한 W(x)로부터 구한 빔의 크기는 0.285mm 로 빔 허리가 거울

M1에 위치하도록 해서 측정했던 경우와는 달리 가우시안 빔에 대해 약

12.5% 더 작게 나왔다.

발산하는 전기장의 경우 k 의 변화에 대해 보다 민감해서 실험에 사

용한 스테이지의 최소움직임 각도로 얻을 수 있는 데이터의 수가 적었지

만 역시 k에 따른 전기장의 분포 그래프의 폭이 가우시안 빔에 대한 것

보다 확연히 좁은 것을 확인 할 수 있다.

- 25 -

<그림 19> 발산하는 전기장의 Wigner 함수 측정 결과 (surface)

<그림 20> 발산하는 전기장의 Wigner 함수 측정 결과 (contour)

- 26 -

<그림 21> 발산하는 전기장에 대한 Wigner 함수

전산모의 실험 결과 (surface)

<그림 22> 발산하는 전기장에 대한 Wigner 함수

전산모의 실험 결과(contour)

- 27 -

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.40

2

4

6

8

10

12

14

16

18

W(x

), ar

bitra

ry u

nit

x (mm)

0.37w200z experiment

<그림 23> 발산하는 전기장에 대한 marginal, W(x)

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

10

20

30

40

50

60

70

W(k

), ar

bitra

ry u

nit

k (1/mm)

0.37w200z experiment

<그림 24> 발산하는 전기장에 대한 marginal, W(k)

- 28 -

4. 3 수렴하는 전기장의 Wigner 함수

수렴하는 전기장에 대한 Wigner 함수를 측정하기 위하여 그림 25에

서와 같이 렌즈를 위치시켰다. 렌즈에 의한 빔 허리가 그림 1에 나타난

빛살 가르개(BS) 에 위치하도록 하여 거울 M1에는 수렴하는 전기장이

입사한다.

<그림 25> 거울 M1에 입사하는 수렴하는 전기장

- 29 -

Wigner 함수의 측정 결과를 나타낸 그림 26을 보면 수렴하는 전기

장의 경우 W(x, k)의 분포가 음의 기울기를 갖는 직선방향으로 잡아 늘

인 것과 같은 형태를 가짐을 볼 수 있는데 이것은 수렴하는 전기장의

x-k 분포가 음의 상관관계를 가진다는 사실을 확인시켜 준다.

그림 28, 그림 29 에는 전산모의 실험 결과를 나타내었다. 가우시안

맺음변수(w0, z)를 조정하면서 얻은 전산모의 실험 결과인 그림 29는 측

정값인 그림 27과 비교해서 분포의 기울기나 x, k 각각에 대한 분포 폭

등이 매우 잘 일치하였으며 그 때의 맺음변수는 빔 허리의 크기

w0=0.165mm, 빔 허리로부터의 진행거리 z=-220mm 로 결정되었다.

그림 30, 그림 31 에는 측정결과와 전산모의 실험에 대한 마지널 분

포 W(x), W(k)를 각각 나타내었다. x에 대한 마지널 분포인 경우, 실험

결과가 전산모의 실험의 결과와 매우 잘 일치하였다. 측정결과로부터 구

한 빔의 크기는 0.32mm, 전산모의 실험으로부터 구한 빔의 크기는

0.31mm로 역시 잘 일치함을 알 수 있다. 그러나 가우시안 빔을 모델로

한 경우 빔의 크기가 0.384mm 로 계산되어 약 17%의 차이를 보였다.

W(k)가 대칭적이지 않은 것은 측정 중에 빔이 광학소자의 크기를 벗어났

기 때문으로 생각된다.

- 30 -

<그림 26> 수렴하는 전기장에 대한 Wigner 함수 측정 결과(surface)

<그림 27> 수렴하는 전기장에 대한 Wigner 함수 측정 결과(contour)

- 31 -

<그림 28> 수렴하는 전기장에 대한 Wigner 함수

전산모의 실험 결과 (surface)

<그림 29> 수렴하는 전기장에 대한 Wigner 함수

전산모의 실험 결과 (contour)

- 32 -

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8W

(x),

arbi

trary

uni

t

x (mm)

experiment 0.165w220z

<그림 30> 수렴하는 전기장의 marginal, W(x)

-15 -10 -5 0 5 10 15

0

1

2

3

4

5

W(k

), ar

bitra

ry u

nit

k (1/mm)

experiment 0.165w220z

<그림 31> 수렴하는 전기장의 marginal, W(k)

- 33 -

4. 4 단일 슬릿의 상을 맺는 전기장의 Wigner 함수

이 실험에서는 레이저의 빔 허리로부터 36cm 되는 위치에 빔 크기

에 비해 충분히 작은 50 μm의 폭을 갖는 슬릿을 두고 초점거리 10cm 인

렌즈를 자신의 초점 거리 만큼 떨어뜨려 평행한 빔(collimated beam)을

만들고 다시 초점거리 30cm 인 렌즈를 지나 31cm 되는 곳에 거울 M1

을 두어 Wigner 함수를 측정하였다. 슬릿의 높이는 약 8mm로 빔 크기에

비해 충분히 크다. 슬릿에 의해 강하게 회절된 빛이 자신의 초점거리만큼

떨어진 곳에 놓인 렌즈를 지나 평행해지고 두 번째 렌즈에 의해 다시 슬

릿의 상이 거울에 맺히는 것을 확인 할 수 있었다.

<그림 32> 단일 슬릿을 투과한 후 슬릿의 상을 맺는 전기장

- 34 -

그림 33과 그림 34에 실험 결과를 나타내었다.

우선 k에 대한 분포 영역이 이전의 실험결과에 비해 매우 넓은데 이

것은 입사한 빛이 거울 M1을 지나면서 다시 강하게 회절할 것임을 나타

낸다. 그림 34를 보면 전기장이, 사각형의 마주보는 한 쌍의 변을 찌그러

뜨린 모양으로 분포하는 것을 볼 수 있다. 이것은 실험 4.1 의 단순히 렌

즈에 의해 빔 허리를 측정 거울면에 위치 시켰을 때 전기장이 타원형으로

x 축 위에서 x=0인 점을 중심으로 멀어질수록 k 에 따른 분포 영역이 점

점 좁아졌던 것과는 반대의 결과이다.

이렇게 x=0 인 점을 중심으로 멀어질수록 전기장이 분포하는 k의 영

역이 넓어진다는 것은, 거울 M1에서 공간 좌표 상으로 좁은 영역에 제한

되어 있는 빛의 바깥쪽에 있는 성분이 거울을 지난 후 곧 강하게 양과 음

의 방향으로 회절을 일으킬 것임을 뜻한다.

그림 35와 그림 36에 측정 결과에 대해 마지널 분포 W(x), W(k)를

각각 나타내었다.

그림 35를 보면, 실제 전기장의 세기 분포를 나타내는 W(x)가 이전

의 측정값들에서는 대체로 가우시안 함수의 형태를 가졌던 데 비해, 슬릿

의 상에 대한 측정 결과는 x=0를 중심으로 폭 ±50 μm 인 곳까지는 천천

히 감소하고 그 이후 ±100 μm 인 곳까지는 급격히 감소하는 모습을 보

인다. 이는 측정하는 거울 M1에 실험에 사용한 레이저에 의한 슬릿의 상

이 위치하기 때문이다. 즉 원래의 빔의 형태인 가우시안 함수에 슬릿을

나타내는 사각형 투과함수가 곱해진 형태이다. 사각형 형태에 가까운 x에

따른 빛의 세기의 분포의 폭을 최대값의 반이 되는 점을 기준으로 잡으면

전체 폭이 약 150 μm 인데 이는 기하광학적으로 슬릿의 상이 배율이 3배

인 두 개의 렌즈에 의해 맺혔을 때, 상의 크기가 물체의 크기의 3배가 된

다는 사실과 일치한다.[7] 그림 35에 실험값과 함께 나타낸 전산모의 실

험은 폭이 150 μm인 슬릿을 투과한 직후의 가우시안 빔에 대한 마지널

W(x)를 계산한 결과로 실험결과를 설명하는 이 모델이 잘 맞고 있음을

나타낸다.

- 35 -

W(k)를 그린 그림 36은 보다 흥미로운데, k=0을 중심으로 양쪽으로

약 35mm-1인 곳에서 그 값이 최소가 됨을 알 수 있다. 그림 36에는 k에

대한 마지널 W(k)의 측정값과 함께, x에 대한 마지널 W(x)의 측정값으로

부터 푸리에 변환을 이용하여 구한 W(k)를 나타내었다. 푸리에 변환은

불연속적인 데이터로부터 그 진동수 스펙트럼을 구하는 DFT(descrete

Fourier transform) 방법을 이용하였으며 그 프로그램을 그림 37에 나타

내었다.

1. 3절에서 다루었던 Wigner 함수의 특성(6)에 의하면 Wigner 함수

의 공간변수에 대한 적분인 W(k)는 전기장의 공간분포의 푸리에 변환의

제곱과 같고 이는 곧 전기장의 각좌표에 따른 분포의 제곱과 일치한다.

즉 슬릿을 투과하여 레이저의 의해 맺어지는 슬릿의 상에 의한 전기장은

가우시안 함수에 사각 투과 함수를 곱한 것과 같고 슬릿이 빔 크기에 비

해 매우 좁다면 근사적으로 사각형 분포에 가까워진다. 사각형 공간 분포

를 갖는 전기장의 k에 따른 분포는, 공간분포인 사각형 분포를 푸리에 변

환한 sinc 함수이다. 따라서 k에 대한 전기장 세기는 sinc2 함수와 같고

그림 36에 나타난 최소값은 다름 아닌 sinc2 함수가 0이 되는 곳을 나

타내는 것으로 볼 수 있다.[8]

이러한 마지널 분포에 대한 분석을 통해서 측정결과인 그림 33 과

그림 34를 더 잘 이해 할 수 있다. 슬릿의 상을 맺는 전기장에 대한 측정

결과는, 4.1, 4.2, 4.3 절의 실험결과들에서는 나타나지 않았던, Wigner

함수가 음의 값을 갖는 영역을 갖는다. 그림 34를 보면 Wigner 함수가

x=0일 때, k= ±35mm-1인 곳에서 최소값으로 음의 값을 갖는데 이 값이

그림 36의 마지널 W(k)에서 근사적으로 sinc2인 함수가 0의 값을 갖는 k

값임을 알 수 있다.

Wigner 함수의 마지널 분포는 실제적인 확률분포를 가지며, Wigner

함수 그 자체는 그러하지 못하나 그 분석을 통해 두 좌표에 대한 전기장

의 분포 형태를 알아낼 수 있음을 볼 수 있다.

- 36 -

<그림 33> 단일 슬릿의 상을 맺는 전기장의 Wigner 함수 (surface)

<그림 34> 단일 슬릿의 상을 맺는 전기장의 Wigner 함수 (contourf)

- 37 -

-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2

0

5

10

15

20

25 simmulation experiment

x (mm)

W(x

), ar

bitra

ry u

nit

<그림 35> 단일 슬릿의 상을 맺는 전기장의 marginal, W(x).

가우시안 빔 ×사각 투과함수 의 형태를 보인다.

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

0

5

10

15

20

25

30

W(k

), ar

bitra

ry u

nit

k (1/mm)

simulation experiment

<그림 36> 단일슬릿의 상을 맺는 전기장의 marginal, W(k).

근사적으로 sinc2 이고, 측정값은 그 일부로 볼 수 있다.

- 38 -

<그림 37> 측정값 W(x)로부터, DFT방법을 통해

W(k)를 구하기 위해 작성된 Matlab 프로그램

- 39 -

제 5 장 결 론

Wigner 함수란 무엇인지, 어떻게 정의되는지, 그리고 그 물리적 의

미는 무엇인지 살펴보았다. 펄스파가 아닌 시간 조화파 전기장에 대한

Wigner 함수는 공간좌표와 전파방향 k 좌표로 이뤄지는 위상공간에서 두

좌표에 대한 전기장의 조인트 확률분포를 의미한다. 이 조인트 확률분포

는 정의에 따라 음의 값을 갖기도 하므로 그 자체를 곧바로 실제적 의미

의 확률로 해석할 수는 없으나 그 조인트 분포가 표현되는 위상공간에 대

한 각 좌표간의 상관관계를 알 수 있다. 실제적인 확률분포 역시 이

Wigner 함수로부터 얻어질 수 있는데 이것이 각각의 좌표에 대해 구해지

는 마지널 분포이다. 마지널 분포는 나머지 좌표에 대해 Wigner 함수를

적분해서 얻을 수 있는데 이 실험에서는 공간좌표에 따른 빛의 세기

(intensity)분포와 방향에 따른 빛의 세기 분포가 마지널 분포가 되는 것

이다.

Sagnac 간섭계를 이용한 실험 장치를 구성하고 Wigner 함수를 측

정하였다. 측정한 결과들을 분석하면서 Wigner 함수의 개념을 이해할 수

있었다. 일부 측정결과에서 마지널 분포가 대칭적이지 않은 모습을 보이

기도 했는데 이는 빔이 광학소자를 벗어났거나 하는 등의 광학정렬에서의

문제로 생각된다.

렌즈를 사용하여 레이저 빔의 빔 허리에서, 빔 허리를 지나기 전 수

렴 할 때, 그리고 빔 허리를 지난 후 발산하는 빔에 대해 각각 Wigner

함수를 측정하였다. 각각의 경우 측정결과는 가우시안 형태, 혹은 변형된

가우시안의 형태를 보임을 확인할 수 있었고 빔 허리의 크기를 실험결과

로부터 계산하고 전산모의 실험을 통하여 확인하였고 실제의 광원이 레이

저의 제원에 나타난 이상적인 가우시안 빔을 따르지 않음을 확인하였다.

또한 측정하는 거울이 빔 허리에 대해 상대적으로 차지하는 위치에

따라 다른 측정결과를 얻을 수 있었고 각각의 경우에 대해 전기장의 수렴

- 40 -

과 발산을 확인할 수 있었는데 이는 마지널 W(x), W(k)에 의해서가 아니

라 Wigner 함수 자체를 분석함으로써 얻은 결과이다. 즉 Wigner 함수가

실제적인 확률의 의미를 갖진 못하지만 두 좌표(x,k)에 따른 전기장의 분

포에 대한 모든 정보를 담고 있어서, 각각의 좌표에 따른 전기장의 분포

에 대한 정보를 Wigner 함수로부터 마지널 W(x), W(k)를 구해서 얻어낼

수 있고 수렴이나 발산등과 같은 두 좌표가 동시에 관여하는 전기장의 분

포특성은 Wigner 함수 자체를 분석해서 얻을 수 있는 것이다.

단일 슬릿에 대한 측정결과를 분석하여 마지널 W(x)는 전기장의 공

간 분포의 세기, W(k)는 전기장의 전파방향의 분포의 세기임을 확인할

수 있었고 전기장의 전파방향에 따른 분포가 공간분포의 푸리에 변환이라

는 사실로부터 복잡한 Wigner 함수의 측정결과를 보다 명확하게 분석할

수 있었다.

앞에서 제기한 광학정렬에서의 문제와 전산모의 실험 방법등 이론적

인 부분에 대해 더 연구한다면 실험에 사용한 Wigner 함수 측정방법이

레이저 등의 특정한 광원에 대해 공간 가간섭성등을 분석할 수 있는 한

방법이 될 수 있음을 확인하였다.

- 41 -

참고 문헌

[1] Eugene Hecht, Optics, 4th ed. (2002)

[2] E. P. Wigner, Phys. Rev. 40, 749 (1932)

[3] Leonard Mandel, Emil Wolf, Optical Coherence and Quantum

Optics, (1995)

[4] D. Dragoman, Progress in Optics, V. XXXVII, E. Wolf, ed.

(Elsevier, Amsterdam, 1997)

[5] E. Mukamel, Konrad Banaszek, Ian A. Walmsley,

Optics Letters, V.28, No.15, 1317 (2003)

[6] Joseph T. Verdeyen, Laser Electronics, 3rd ed. (1995)

[7] Pantazis Mouroulis, John Macdonald, Geometrical Optics and

Optcal Design, (1997)

[8] Jack D. Gaskill, Linear Systems, Fourier Transforms, and

Optics, (1978)

- 42 -

감사의 글

욕심 내지 말고 원하던 일 하게 되었으니 그저 하나씩 기쁘게 하자는

욕심 속에서 시작한 대학원 생활이 이제 마무리 할 때가 되었습니다. 아

쉬움이 많이 남지만 그래도 여기까지 오는 동안 주위에 고마워해야 할 일

투성이 입니다.

가장 먼저 노재우 교수님께 감사의 말씀을 드립니다. 부족한 점이 많

은 저를 제자로 받아주시고 학문적인 가르침과 격려를 주신 것 감사드립

니다. 퇴임하신 이후에도 항상 관심과 애정 어린 지도를 주신 박대윤 교

수님, 엄격하게 물리학을 공부하는 학생의 자세를 가르쳐주시려고 항상

애쓰시는 이민희 교수님, 학부때부터 양자역학에 흥미를 갖게 해 주시고

항상 관심을 가져주신 김기식 교수님, 늦은 시간에도 질문거리를 들고 찾

아간 제게 항상 정성스럽게 답을 해 주신 황보창권 교수님, 논문지도 교

수님이신 김경헌 교수님과 푸리에 광학 수업을 통해 논문을 쓰는데 도움

을 주신 이석목 교수님께도 깊은 감사를 드립니다. 학부때부터 수업을 통

해서 혹은 그 이외의 시간에 제가 물리학에 관심을 갖고 이해를 높이고

인간적으로 성숙하는 데 도움을 주신 모든 물리학과 교수님들께 감사를

드립니다.

대학원 생활동안 여러 가지로 도움을 준 형주형, 늦은 때에 시작하는

제게 많은 도움을 주고 즐거운 시간들이 될 수 있도록 함께 해준 후배들

윤식이, 빠다쟁이 영만이, 윤석이, 승석이, 동석이, 성국이와 동기라는 이

유만으로도 든든했던 현호, 희성이, 석호형, 정석이에게도 감사를 전합니

다. 썰렁하지만 멋있는 기욱이형과 1년 가까이 실험준비실에 있는 동안

항상 웃음을 준 광호형, 부영이형, 수연이, 경은이, 태희, 재홍씨, 구조교,

유라와 과사조교들에게도 감사를 전합니다.

각 실험실에 있는 선배님들과 특히 멋없는 저를 선배로 잘 따라준 후

배들에게 지면을 빌어 감사를 전합니다.

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학교 밖에서 함께 하고 관심을 가져주어 힘이 되어주신 어른들과 누

나, 형, 동생 차돌이, 선배, 후배, 친구들에게 감사를 전합니다.

마지막으로 이 모든 것이 가능하도록 나를 낳아주시고 길러주신 부모

님, 특히 아들의 뜻을 항상 존중해 주시고 믿어주신 것 감사드립니다.

끝으로 대학원 시간 동안 함께 했던 이들이 사회에 나가서 단단한 한

몫을 하면서 잘 먹고 잘 살기를 기원합니다.

2005년 1월 14일

김 의석 올림