指数函数的定义： 函数 )10( aaay x 且

叫做指数函数，其中 x是自变量，函数定义域是 R。

复习上节内容

探究 1：为什么要规定 a>0,且 a 1呢？①若 a=0，则当 x>0时，

xa =0；0时， xa 无意义 . 当 x

②若 a<0，则对于 x的某些数值，可使 xa 无意义 .

如 x)2( ，这时对于 x=4

1， x=

2

1

……等等，在实数范围内函数值不存在 .

③若 a=1，则对于任何 x R，xa =1，是一个常量，没有研究的必要性 .

为了避免上述各种情况，所以规定 a>0 且 a1 。 在规定以后，对于任何 x R， xa 都有意义，且xa >0. 因此指数函数的定义域是 R，值域是 (0,+∞).

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探究 2：函数 xy 32 是指数函数吗？

指数函数的解析式 y=xa 中， xa 的系数是 1.

有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如

kay x (a>0且 a1， kZ)；

有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如 xay )1a,0( 且a

因为它可以化为 x

ay

1)1

2

1,0

1( 且a

复习上节内容

指数函数的图象和性质：在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：

xy 2x

y

2

1 xy 3x

y

3

1

列表如下：

x2x

2

1

x … -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 …

… 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 …

… 8 4 2 1.4 1 0.71 0.5 0.25 0.13 …

x3x

3

1

复习上节内容

x … -2.5 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 2.5 …

… 0.06 0.1 0.3 0.6 1 1.7 3 9 15.6 …

… 15.6 9 3 1.7 1 0.6 0.3 0.1 0.06 …

6

5

4

3

2

1

-4 -2 2 4

q x = 13

xh x = 3x

g x = 12

xf x = 2x

复习上节内容

)10( aaay x 且 的图象和性质：

6

5

4

3

2

1

-1

-4 -2 2 4 6

0

1

6

5

4

3

2

1

-1

-4 -2 2 4 6

0

1

a>1 0<a<1

图象

性质

1.定义域：2.值域：3. 过点 ，即 x= 时， y=4. 在 R 上是 函数

在 R 上是 函数

),(

),0(

)1,0( 0 1增 减

复习上节内容

讲解范例： 例 1 求下列函数的定义域、值域：

分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象。注意指数函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量 x 的取值范围。 解：（ 1 ）由 x-1≠0 得 x≠1 所以，所求函数定义域为{x|x≠1}

⑴ 1

1

4.0 xy ⑵ 153 xy ⑶ 12 xy

由 ，得 y≠101

1

x

所以，所求函数值域为{y|y>0 且 y≠1}

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-6 -4 -2 2 4 6

f x = 0.41

x-1

说明：对于值域的求解，可以令 tx

1

1

考察指数函数 y= t4.0并结合图象直观地得到 :

)0( t

6

5

4

3

2

1

-1

-4 -2 2 4 6

函数值域为{y|y>0 且 y≠1}

⑵ 153 xy

解：（ 2 ）由 5x-1≥0得5

1x

所以，所求函数定义域为

5

1| xx

由 015 x 得 y≥1

所以，所求函数值域为 {y|y≥1}

⑶ 12 xy解：（ 3 ）所求函数定义域为 R

由 02 x 可得 112 x

所以，所求函数值域为 {y|y>1}

例 2 比较下列各题中两个值的大小：

① 5.27.1 ， 37.1

解① ：利用函数单调性 5.27.1 与 37.1

的底数是 1.7 ，它们可以看成函数 y= x7.1

因为 1.7>1，所以函数 y= x7.1在 R上是增函数，而 2.5<3，所以，

5.27.1 < 37.1

；

5

4.5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

-0.5

-2 -1 1 2 3 4 5 6

f x = 1.7x

当 x=2.5 和 3 时的函数值；

② 1.08.0 ，

2.08.0

解② ：利用函数单调性 1.08.0 2.08.0 与的底数是 0.8 ，它们可以看成函数 y= x8.0

当 x=-0.1 和 -0.2 时的函数值； 因为 0<0.8<1，所以函数y=

x8.0 在 R是减函数，

而 -0.1>-0.2 ，所以，

1.08.0 <

2.08.0

1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.2

-1.5 -1 -0.5 0.5 1

f x = 0.8x

③ 3.07.1 ， 1.39.0

解③ ：根据指数函数的性质，得

17.1 3.0 19.0 1.3 且3.2

3

2.8

2.6

2.4

2.2

2

1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.2

-0.4

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

f x = 0.9x

3.07.1 > 1.39.0

3.2

3

2.8

2.6

2.4

2.2

2

1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.2

-0.4

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

f x = 1.7x

从而有

6

5

4

3

2

1

-1

-4 -2 2 4 6

0

1

6

5

4

3

2

1

-1

-4 -2 2 4 6

0

1

a>1 0<a<1

图象

性质

1.定义域： R2.值域：（ 0， +∞）3.过点（ 0， 1），即 x=0时， y=14. 在 R上是增函数 在 R上是减函数

小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较 .

练习：⑴比较大小： 3

2

)5.2( , 5

4

)5.2(

解：因为 3

23 23 23

2

5.25.2)5.2()5.2(

5

45 45 45

4

5.25.2)5.2()5.2(

利用函数单调性

5

4

3

2

5.25.2

3.2

3

2.8

2.6

2.4

2.2

2

1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.2

-0.4

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

f x = 2.5x

练习：⑵ 已知下列不等式，试比较 m 、 n 的大小：

⑶ 比较下列各数的大小：

nm )3

2()

3

2( nm

nm 1.11.1 nm

,10

,4.0 5.2

2.02

01 5.24.0 2.02

x -3 -2 -1 0 1 2 3

0.125 0.25 0.5 1 2 4 8

0.25 0.5 1 2 4 8 16

0.5 1 2 4 8 16 32

例 3 在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数 y= 的图象的关系，x2

12 xy 22 xy 12 xy22 xy与 与⑴ ⑵

解：⑴列出函数数据表 , 作出图像

x212 x

22 x

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-6 -4 -2 2 4 6 8

87654321

-3-2 0-1 321

12 x比较函数 y= 、 y=22 x 与 y= x2 的关系：

x2 的图象向左平行移动 1个单位长度，12 x 的图象， x2

的图象向左平行移动 2个单位长度，就得到函数y= 22 x

的图象。

将指数函数 y=

就得到函数 y= 将指数函数 y=

x -3 -2 -1 0 1 2 3

0.125 0.25 0.5 1 2 4 8

0.625 0.125 0.25 0.5 1 2 4

0.3125 0.625 0.125 0.25 0.5 1 2

解：⑵列出函数数据表 , 作出图像

12 xy 22 xy与⑵

x212 x

22 x

12 x比较函数 y= 、 y=22 x 与 y=

x2的关系：x2 的图象向右平行移动 1个单位长度，12 x 的图象， x2

的图象向右平行移动 2个单位长度，就得到函数y= 22 x

的图象。

将指数函数 y=

就得到函数 y= 将指数函数 y=

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-6 -4 -2 2 4 6 8

54

87654321

-3-2 0-1 321

小结：小结： 与 的关系： 当 m>0 时，将指数函数 的图象向右平行移动m 个单位长度，就得到函数 的图象； 当 m<0 时，将指数函数 的图象向左平行移动m 个单位长度，就得到函数 的图象。

mxy 2

mxy 2

mxy 2

xy 2xy 2xy 2

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x

y

2

1

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

-0.5

-3 -2 -1 1 2 3D

例 2 已知函数 作出函数图像，求定义域、x

y

2

1 与x

y

2

1 图像的关系。值域，并探讨

解：

0,2

0,2

1

x

xyx

x

定义域： R 值域： ]1,0(

作出图象如下 :

关系： x

y

2

1

该部分翻折到

保留 在 y 轴右侧的图像 ,

y 轴的左侧 ,这个关于 y 轴 对称的图形就是

x

y

2

1的图像

例 3 已知函数1

2

1

x

y 作出函数图像，求定义域、

值域。

解：

1,2

1,2

1

1

1

x

x

x

x

定义域： R 值域： ]1,0(

1

2

1

x

y3.2

3

2.8

2.6

2.4

2.2

2

1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.2

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

f x = 12

x

3.2

3

2.8

2.6

2.4

2.2

2

1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.2

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

g x = 1

2x-1

3.2

3

2.8

2.6

2.4

2.2

2

1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

(x≥1）h x = 12

x-1

3.2

3

2.8

2.6

2.4

2.2

2

1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

q x = 2x

(x≥1）h x = 12

x-1

3.2

3

2.8

2.6

2.4

2.2

2

1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

r x = 2x-1

q x = 2x

(x≥1）h x = 12

x-1

3.2

3

2.8

2.6

2.4

2.2

2

1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

(x<1）s x = 2x-1(x≥1）h x =

12

x-1

函 数 y=f(x)

y=f(x+a)

y=f(x)+a

y=f(-x)

y=-f(x)

y=-f(-x)

y=f(|x|)

y=|f(x)|

对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象 + 变换方法作出：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，这种方法我们遇到的有以下几种形式：

.0)(),(

0)(),()(

xfxf

xfxfxfy

；

)0(),(

)0(),(|)(|

xxf

xxfxf

)(1 xfy

a>0 时向左平移 a 个单位； a<0 时向右平移 |a| 个单位 .

a>0 时向上平移 a 个单位； a<0 时向下平移 |a| 个单位 .

y=f(-x) 与 y=f(x) 的图象关于 y 轴对称 .y=-f(x) 与 y=f(x) 的图象关于 x 轴对称 .

y=-f(-x) 与 y=f(x) 的图象关于原点轴对称 .

与 y=f(x) 的图象关于直线 y=x 对称 .

练习：求下列函数的定义域和值域：⑴ xay 1 ⑵ 3

1

)2

1( xy

解： ⑴ 要使函数有意义，必须 01 xa 1xa 当 1a 时 , 0x ；当 10 a 时 , 0x

∵ 0xa ∴ 110 xa ∴值域为 }10|{ yy

⑵ 要使函数有意义，必须 03 x 3x ∵ 0

3

1

x ∴ 1)2

1()

2

1( 03

1

xy

又∵ 0y ∴ 值域为 ),1()1,0(