第十二章

選擇權的評價模型

綱要• 選擇權的價值區間• 二項式評價模型• Black-Scholes 評價模型

選擇權的價值區間• 買權價值上限

– 不可能高出標的股票的價格• 高出標的股票價格即用市價買進即可！

– 無風險套利機會的出現• St=35.30 X=36.00

– 投資者可賣出中鋼買權，取得 36 元，– 再以 35.3 元取得中鋼股票– 等到未來持有者執行選擇權，投資者即用手上的股票進行交割。

• 投資者套取 0.7 元利潤– 買權的上限價值是： Ct ≤ St

選擇權的價值區間• 買權價值下限

– 不會低於 0

– 到期時買權價值就是它的內含價值 MAX(0,ST-X)

– 未到期的買權價值等於內含價值與時間價值相加– 時間價值不為零下，買權價值下限必高於內含價值

選擇權的價值區間• 買權價值下限

– 假設兩投資組合：• 買權 & 買權的標的股票與賣空無風險資產• 借款金額 + 利息 = 買權履約價，於選擇權到期時嘗還

投資組合 買權 標的股票與賣空無風險資產今日價格 C0 S0-X/(1+rf)T

到期價格 股價 > 履約價 ST-X 股價 > 履約價

ST-X>0

股價 < 履約價 0 股價 < 履約價

ST-X<0

由上述情況可知，買權到期時的報酬必定優於標的股票與賣空無風險資產的價值，故 C0≥ S0-X/(1+rf)T

圖 12.1 到期前的買權價格圖型

買權價值下限

二項式評價模型 - 投資組合複製法• 假設一買權一年後到期 ， 且 X=$125

$100

$200

$50

股價變化

$C

$75

$0

買權價值變化

借款利率 8% ，借入 $46.3 C=(1/2)( 股票價格 - 借入款項 ) =(1/2)($100-$46.30) =$26.85

股價上漲 股價下跌

股票價值 $200 $50

償還借款 -50 -50

投資組合價值 $150 $0

買權價值 $75 $0

二項式評價模型 - 投資組合複製法• 多餘的證券

– 市場上交易的三種證券中，若其中一種未來的現金流可用其他兩種證券的未來現金流加以複製，則在這三種證券中，有一種是多餘的

– 其中一種證券的價格必定要等於其他兩種證券所組成的投資組合的價格

• 無套利機會的假設

範例 12.1 中鋼買權的評價

投資組合複製法的步驟1. 確定股票價格的變動區間 Su-Sd

2. 確定相對應於股價變動的買權價格變動區間 Cu-Cd

1. 求取避險比率2. 求出無風險投資組合於買權到期時的價值，予以

折現3. 將投資組合的價值扣除股票部位的價值，即買權

部位價值

du

du

SS

CCH

二項式評價模型 - 風險中立評價法

• 對風險中立者而言，股票預期報酬率應該等於無風險資產報酬率：Rf=RNPuxRu+(1-RNPu)xRd

上式中， Rf= 無風險資產報酬率

RNPu= 風險中立者主觀的股價上漲機率值 Ru= 股價上漲時的報酬率 Rd= 股價下跌時的報酬率 1- RNPu= 風險中立者主觀的股價下跌機率值• 風險中立者的預期買權價格為：

E(C)=CuxRNPu+Cdx(1-RNPu)

二項式評價模型 - 風險中立評價法

8%=RNPux100%+(1-RNPu)x(-50%)

8%=RNPux150%-50%

RNPu=38.67%, 1-RNPu=61.33%

$100

$200(Pu=100%)

$50(Pd=-50%)

股價變化

$C

$75

$0

買權價值變化

一年後的買權預期價值為：E(C)=$75x38.67%+$0x61.33%

=$29.00

買權今天的價值：

85.26$%)81(

00.29$

風險中立評價法的步驟1. 求算風險中立的 Pu及 Pd 。2. 將 Pu及 Pd乘上買權到期時的相對應價值，

求得買權預期價值。3. 已無風險報酬率將買權的預期價值折現成

現值。

範例 12.2 求算中鋼買權價值 - 風險中立評價法

二項式評價模型—進一步探討

tTf

t r

XS

)1(買權價值下限

買權價值影響因素 影響方向

股價 St +

履約價 X -

無風險利率 (rf) +

到期期限 (T-t) +

範例 12.3 到期期限變動對中鋼買權價值的影響

第五因素• 選擇權標的股票的價格波動性：波動程度越高，買權價格

越高

$100$150

$75

$C

$25

$0

股價變化 買權價值變化股價上漲 股價下跌

股票價值 $150 $75

買權價值 -75 -0

投資組合價值 $75 $0

$75 以借款利率 8% 折現，得現值 $69.40

C=(1/3)($100-$69.40) =$10.20 (< $26.85)

範例 12.4 調高中鋼股價的波動區間

五因素對買權或賣權價值的影響方向

表 12.1 影響選擇權價值的五個因素

二項式評價模型的一般化

股價變化 買權價值變化

Black-Scholes 評價模型• 歐式買權模型的主要假設

– 在存續期間內，無風險利率已知且為一常數– 股價變動連續且遵守隨機漫步過程，到期時股價呈對數常態分配

– 股價報酬變異數為一已知常數– 不具交易成本或稅負– 可賣空，證券可無限分割交易– 可以無風險利率借入款項– 在選擇權存續期間，股票不發放股利

B-S 歐式買權評價公式

C=SN(d1)-Xe-rtN(d2)

其中

TdT

Trxs

d

T

Trxs

d

1

2

1

2

1

)2

()ln(

)2

()ln(

C= 買權的模型價值

S= 目前的標的股票價格

X= 履約價格

r= 無風險利率 ( 以年為單位 )

T= 到期期限 ( 以年為擔位 )

ln= 自然對數

σ= 股價報酬的標準差

N(·)= 標準常態分配的累積機率密度函數

B-S 歐式買權評價公式

圖 12.2 標準常態分配的機率密度函數圖

範例 12.5 中鋼買權的價值— BS 公式

隱含波動率• 定義：報酬變異數估計方法，將買權的市場價格資料及另外四個影響買權價值的因素，套入 BS 買權評價公式，反向推算出股價的報酬變動率

• 非常數：實證結果發現，隱含變動率並非一個常數。當選擇權處於價內或價外時，隱含波動率要比選擇權處於價平時來的大– 波動度笑臉

B-S 歐式賣權評價公式P=Xe-rtN(-d2)-SN(-d1)

其中

TdT

Trxs

d

T

Trxs

d

1

2

1

2

1

)2

()ln(

)2

()ln(

C= 買權的模型價值

S= 目前的標的股票價格

X= 履約價格

r= 無風險利率 ( 以年為單位 )

T= 到期期限 ( 以年為擔位 )

ln= 自然對數

σ= 股價報酬的標準差

N(·)= 標準常態分配的累積機率密度函數

圖 12.3 到期前的賣權價格圖形

賣權價格圖形

範例 12.6 中鋼賣權的價值— BS公式

避險 ( 對沖 ) 比率• 投資者可以使用買權來規避標的股票的價格風險，而要規避手上股票的價格，必須要賣出某單位的買權，這個比率就稱為避險比率。

• 對買權而言， N(d1)= 避險比率 = 對沖比率• 對賣權而言， N(-d1)= 避險比率 = 對沖比率

避險 ( 對沖 ) 比率

圖 12.4 選擇權的避險比率