A PROPÓSITO DE UN INSTRUMENTO QUE GRAFICA CÓNICAS

José Luis Soto Munguía Departamento de Matemáticas

Universidad de Sonora e-mail: jlsoto@gauss.mat.uson.mx

Resumen

En este artículo se discute un instrumento virtual, llamado aquí simplemente conígrafo , que traza cónicas de todos los géneros. El instrumento ha sido diseñado con la ayuda de Cabri Géomètre II y es manipulable directamente en pantalla. Se dan las instrucciones para construirlo y se explica su funcionamiento. Se utiliza el método de análisis y la exploración con Cabri para demostrar, con herramientas de la geometría plana elemental, que las curvas trazadas son efectivamente cónicas. Se ofrece una interpretación del conígrafo como la proyección ortogonal sobre un plano, de un conígrafo espacial que secciona conos. Se demuestra, con herramientas de la geometría sólida elemental, que el conígrafo espacial efectivamente secciona un cono. Se hacen algunos comentarios sobre la potencia de Cabri como herramienta de exploración y sobre la posible utilización didáctica de los dos aparatos referidos. Por último, con herramientas de geometría analítica se demuestra que la ecuación de los lugares geométricos trazados por el conígrafo corresponden siempre a la ecuación de una cónica.

1. Introducción

Los instrumentos para el trazado de curvas han jugado un importante papel en el desarrollo

histórico del álgebra y sobre todo de la geometría. Sin duda los instrumentos más

importantes para la matemática Helénica fueron la regla y el compás, que se incorporaron

de manera implícita a los tratados de geometría y marcaron durante siglos los confines de la

geometría plana.

Al margen de las restricciones griegas o con plena conciencia de ellas, los matemáticos

inventaron desde entonces, una inmensa cantidad de aparatos para el trazado de curvas.

Una excelente colección de réplicas, físicas y virtuales, de ellos puede verse ahora en el

sitio web coordinado por M. Bartolini (1999).

El acceso cada vez más extendido a los softwares de geometría dinámica (conocidos

como DGS por sus siglas en inglés), como Cabri Geometry (Laborde, 1994) o The

Geometer´s Sketchpad (Jackiw, 1995) ha dado un nuevo impulso al estudio, con fines

principalmente didácticos, de estos aparatos. Las características de estos softwares permiten

construir con facilidad versiones virtuales, incluso mejoradas, de ellos.

Considérese, por ejemplo el hiperbológrafo de Descartes (Descartes, 1637, pp. 319-322)

que se muestra en la Figura 11.

1 La imagen está tomada de la versión francesa de La Geometría, publicada en 1637. Los ejes coordenados usados por Descartes están rotados 90° con respecto a los que se usan ahora.

Figura 1 Figura 2

Este aparato traza una hipérbola cuya ecuación es de la forma

0)(2 =++−+ acyacxybc

y donde a= GA, b= KL y c= LN. Al construir el hiperbológrafo

con Cabri (Figura 2), la curva trazada es más completa y los parámetros a, b y c pueden

manipularse directamente en pantalla, ajustando así el aparato para que trace prácticamente

cualquier hipérbola de la familia 0)(2 =++−+ acyacxybc

y .

Algunos estudios recientes en educación matemática, por ejemplo (Hoyos, Capponi y

Geneves, 1999), (Santos, 2000, 2001) y (Bartolini, 2001), han mostrado las ventajas

didácticas de que los estudiantes manipulen o construyan estos instrumentos en el salón de

clases. Estos estudios evidencian que el uso de los DGS puede constituir una herramienta

potente de exploración para estudiar las características de los aparatos y los conceptos que

estos instrumentos ponen en juego.

El presente trabajo está dedicado a uno de estos aparatos. Se trata de un conígrafo

reportado en Santos (2000), que ha sido construido con Cabri y puede ajustarse para trazar

una cónica de cualquier género. En la Sección 2 se dan las instrucciones en Cabri que

permiten construirlo y se explica brevemente su funcionamiento. La Sección 3 está

dedicada a describir una manera de explorar el aparato, en busca de los elementos

necesarios para demostrar que las curvas trazadas son en realidad cónicas. Una vez

reunidos estos elementos, se usan las herramientas de la geometría plana elemental para

demostrar este hecho. En la Sección 4 se ofrece una interpretación del conígrafo como la

proyección ortogonal de un conígrafo espacial que traza cónicas al seccionar un cono.

Luego en la Sección 5 se demuestra, con herramientas de la geometría sólida elemental, que

el conígrafo espacial efectivamente secciona un cono. Por último en el Apéndice se prueba

analíticamente que las curvas trazadas por el conígrafo, son cónicas.

2. El conígrafo: construcción y funcionamiento

En Santos (2000) se describen una serie de acercamientos que usan la tecnología como

herramienta para el aprendizaje de las matemáticas. El primero de ellos es un ejemplo que

“ilustra características del pensamiento matemático (demostrar y formular conjeturas) que

parecen fundamentales en los acercamientos a los problemas que usan tecnología” (ibid, pp.

112-113). En este acercamiento los estudiantes han construido y utilizado este conígrafo

como herramienta para explorar las propiedades y componentes principales de las curvas

trazadas con él. El instrumento puede construirse en Cabri, siguiendo las instrucciones:

1. Trazar una “Recta” k cualquiera.

2. Trazar un “Punto” cualquiera P sobre la recta k.

3. Trazar un “Círculo” c de cualquier radio, pero tomando por centro un punto C sobre

la recta k.

4. Trazar un “Punto” cualquiera Q sobre el círculo.

5. Usar la herramienta “Simetría axial” para pedir a Cabri el punto simétrico de Q con

respecto a la recta k. Llamar R a este punto.

6. Trazar la “Recta” que pasa por los puntos P y Q. Trazar otra “Recta” que pase por

los puntos R y C.

7. Trazar el “Punto de intersección” de las dos rectas anteriores y denotarlo S.

El aparato ya construido puede verse en la Figura 3.

Figura 3

El “Lugar geométrico” del punto S, cuando Q se mueve sobre el círculo c, es una cónica

simétrica con respecto a la recta k. Diferentes cónicas pueden ser obtenidas variando el

radio de c o bien moviendo el punto P a lo largo de k. En las Figuras 4 y 5 pueden verse las

cónicas correspondientes a dos posiciones de P.

Figura 4 Figura 5

En la sección siguiente se muestra una manera de aprovechar la potencia exploratoria de

Cabri, para demostrar que las curvas trazadas son cónicas, sin recurrir a la geometría

analítica.

3. Una demostración sugerida por la exploración con Cabri

Esta sección consta de dos partes, en la primera se describe una manera de combinar la

potencia exploratoria de Cabri con el método de análisis para buscar las ideas claves que

permiten demostrar que las curvas trazadas por el conígrafo son efectivamente cónicas;

mientras que en la segunda, se expone la demostración propiamente dicha. Por análisis se

entiende aquí el método dado a conocer por Pappus de Alejandría (¿Siglo III?, D. C.) y que

Descartes prescribe simplemente como “Así, si queremos resolver cualquier problema,

suponemos primero que la solución está dada” (Descartes, 1637, p. 300)

En la demostración se utilizará la siguiente definición general de cónica, tomada de

Lehmann (1972, p. 220)

“Definición. Dada una recta fija l y un punto fijo F no contenido en esa recta, se llama cónica al lugar geométrico de un punto S que se mueve en el plano de l y F de tal manera que la razón de su distancia de F a su distancia de l es siempre una constante positiva. La recta fija l se llama directriz, el punto fijo F, foco, y la constante positiva, a la que designaremos por e, excentricidad de la cónica.”

La demostración de que las curvas trazadas son cónicas, consiste entonces en probar

que, si C y P son puntos cualquiera sobre la recta k y c es un círculo de cualquier radio

centrado en C, entonces S satisface la condición establecida en la definición anterior.

Pero dicha condición está referida a una recta l y un punto F que el instrumento no traza,

por ello a continuación se describe una manera de buscar un punto F y una recta l que

sirvan como foco y directriz de la cónica respectivamente.

3.1 Buscando el foco y la directriz

Después de reproducir y manipular el graficador con la ayuda de Cabri, no resulta difícil

conjeturar que las curvas trazadas son cónicas. Supóngase, tal como lo sugiere el análisis,

que efectivamente lo son.

La gráfica mostrada en la Figura 4 será entonces una elipse cuyos vértices pueden

localizarse ahora en pantalla como los “Puntos de intersección” entre la elipse y la recta k.

Sean B1 y B2 estos puntos. Luego puede obtenerse el centro de la elipse como el “Punto

medio” entre B1 y B2, este punto será el centro de la elipse y se denotará como D, de tal

modo que el segmento DB1 será el semieje mayor. Luego trazando una “Recta

perpendicular” a k que pase por D y los “Puntos de intersección” de esta última recta con la

cónica, pueden localizarse los puntos A1 y A2 con lo cual queda determinado el segmento

DA1, que será el semieje menor de la elipse. En la Figura 6 los segmentos B1B2 y A1A2 han

sido resaltados.

Figura 6

Si F1 y F2 son los focos de la elipse, entonces los segmentos DF1 y DF2 deben satisfacer

las relaciones respectivas (DB1)2=(DA1)2+(DF1)2 y (DB2)2=(DA1)2+(DF2)2 (Lehmann,

1972, p. 177), luego los segmentos DF1 y DF2 pueden construirse geométricamente,

procediendo de la manera siguiente: trácese un “Círculo”, que tenga como centro el punto

A1, y por radio el segmento DB1. Sean F1 y F2 los puntos de intersección del círculo con la

recta k, entonces F1 y F2 serán los focos de la elipse, puesto que por construcción el ángulo

A1DB1 es recto y por lo tanto (DB1)2=(A1F1)2=(DA1)2+(DF1)2 y

(DB2)2=(A1F2)2=(DA1)2+(DF2)2. Ver Figura 7.

Figura 7

La primera conjetura importante es que, cuando P se mueve sobre k, el foco F1

permanece fijo y coincide además con el punto C, mientras que F2 se mantiene simétrico a

F1 con respecto a la mediatriz del segmento B1B2. Esta conjetura surge de manera natural

porque al “Arrastrar” P, F1 coincide siempre con C; como se observa por ejemplo en las

Figuras 8 y 9.

Figura 8 Figura 9

A pesar de que la construcción mostrada en la Figura 7 es posible solo para el caso de la

elipse, la conjetura puede generalizarse a todas las cónicas trazadas por el conígrafo. Para

ver la plausibilidad de esta generalización, puede redefinirse en Cabri el punto F2 como el

simétrico a F1 con respecto a la mediatriz del segmento B1B2 y luego “Arrastrar” el punto

P sobre la recta k. La Figura 10 muestra que para el caso de la hipérbola, F1 y F2 se siguen

comportando como focos y la Figura 11 muestra que el caso de la parábola puede

interpretarse como un caso límite en el cual B2, F2 y D coinciden con el punto al infinito.

En ambos casos Cabri permite hacer mediciones para “verificar” que el punto C es siempre

un foco de la cónica.

Figura 10 Figura 11

Se requiere ahora proponer una recta l que sirva como directriz de la cónica. De acuerdo

con la definición general de cónica, l debe ser tal que la razón entre las distancias de F1 a S

y de S a l sea constante. De nuevo partiendo de que la curva es una cónica simétrica con

respecto a k, su directriz será una recta perpendicular a k; para trazarla es suficiente

entonces localizar uno de sus puntos, por ejemplo, su punto de intersección con la recta k.

Como se verá a continuación, este punto puede ser construido sin grandes dificultades.

Si se traza una “Recta perpendicular” a k que pase por S y se denota E1 al punto en el

que esta perpendicular intersecta a la recta k, entonces la distancia SC puede ser llevada

sobre esta perpendicular a partir de E1 determinando un punto E2 sobre ella, de tal modo

que E1E2=SC. Ver Figura 12.

Figura 12

Considérese ahora el segmento CG, donde G es uno de los puntos de intersección de la

circunferencia c con la perpendicular a k trazada por C. El problema se reduce ahora a

encontrar un punto X sobre k que divida al segmento E1C en la razón E1E2/CG. Como lo

ilustra la Figura 12, existen dos puntos X que satisfacen esta condición, a saber los que

dividen interna y externamente al segmento E1C en la razón E1E2/CG. Una de estas

soluciones se obtiene como la intersección de la recta k con la prolongación de E2G y la

otra como la intersección de k con la recta E3G, donde E3 es el punto simétrico a E2 con

respecto a k.

Al mover el punto Q sobre la circunferencia c, Cabri muestra que solo una de estas

soluciones permanece fija, a saber, aquella que se encuentra entre C y P; si se denota con

M esta solución, entonces la perpendicular a k trazada por M será la directriz l buscada,

puesto que por construcción los triángulos E1E2M y CGM serán semejantes; por lo tanto,

CMGC

MEEE

MESC

==1

21

1

y como M permanece fija, CG y CM permanecen constantes,

entonces la razón entre las distancias de S a C (foco) y de S a l (directriz) es constante.

Cuando el punto P se arrastra sobre la recta k, la elipse se modifica y la recta l se mueve,

pero se observa de inmediato que siempre bisecta al segmento CP. Esta es la segunda

conjetura importante. Las Figuras 13 y 14 muestran dos posiciones distintas de P, en ambas

puede observarse que la recta l se mantiene como mediatriz de CP.

Figura 13 Figura 14

3.2 Demostración

La prueba consiste entonces en demostrar que para cada círculo c y cada punto P; cuando Q

se mueve sobre c, el punto S se mueve de tal manera que la razón de su distancia al punto C

y a la recta l, es constante. Donde C es el centro del círculo c y l la mediatriz del segmento

CP.

Puesto que para cada punto P y cada círculo c, la razón CMCR

es constante, la prueba

consiste en demostrar que esta razón es igual a SLSC

(ver Figura 15) y como SC es la

distancia de S al foco y SL la distancia de S a l, quedaría demostrado así que el lugar

geométrico trazado por S corresponde a una cónica. (véase la definición de cónica dada al

principio de esta Sección)

Figura 15

La prueba es como sigue:

CMOLSO

CMSL +

= = 1+CMSO

Puesto que CM=OL por ser segmentos

paralelos comprendidos entre paralelas.

= 1//

+KÑCMKÑSO

Dividiendo entre KÑ el numerador y

denominador del cociente SO/CM

= 1//

+KÑCMKCSC

Pues los triángulos CSO y CKÑ son

semejantes; ya que SL y KQ son paralelos, por

ser ambos paralelos a la recta k. El paralelismo

entre SL y k proviene de la construcción.

Mientras que el paralelismo entre KQ y k se

debe a que ambos son perpendiculares a RQ;

en el primer caso porque KQR es recto (por

estar inscrito en una semicircunferencia) y en

el segundo caso por la simetría de R y Q con

respecto a k.

= 1//

+SKSCKCSC

Pues los triángulos CSM y KSÑ también son

semejantes, debido al paralelismo entre el

segmento KQ y la recta k ya señalado antes.

= 1+KCSK

Simplificando

= KCKC

KCSK

+ Expresando el número uno, como KCKC

= KCSC

Sumando

= CRSC

Puesto que KC=CR, por ser radios del mismo

círculo

Finalmente como CRSC

CMSL

= , entonces CMCR

SLSC

= ; pero para cada círculo c y cada

punto P, CMCR

es constante, entonces se concluye finalmente que SLSC

es constante, como

se quería; concluyendo así la prueba.

Como una consecuencia inmediata de la igualdad CMCR

SLSC

= establecida y del

paralelismo entre los segmentos CM y SL, se obtiene adicionalmente que los triángulos

RCM y CSL son semejantes.

En esta sección se ha dado una respuesta a la pregunta: ¿Por qué son cónicas las curvas

trazadas por el conígrafo? La demostración ofrecida aprovecha potencia exploratoria de

Cabri para la formulación de conjeturas y la riqueza del análisis como método de

descubrimiento; ambas cosas parecieran importantes para alguien que se inicia en el

aprendizaje de la geometría. Sin embargo, el camino mostrado aquí, no es estrictamente

necesario; en el Apéndice de este artículo se ofrece otra demostración del mismo resultado,

que recurre a los métodos de la geometría analítica y no requiere de exploración alguna.

Aunque ciertamente que para un aprendiz de geometría la demostración del Apéndice

podría resultar menos accesible y quizá menos convincente.

4. El conígrafo visto en el espacio

Las características de las cónicas graficadas pueden verse como aquellas propiedades que

permanecen invariantes, cuando se hace variar el punto P o el círculo c; La lista siguiente

exhibe las más importantes:

a) Todas las cónicas son simétricas con respecto a la recta k.

b) Uno de los focos de las todas las cónicas generadas permanece fijo y coincide con el

punto C.

c) La directriz de todas las cónicas bisecta siempre el segmento CP.

d) Todas las cónicas pasan por los puntos de intersección del círculo c con la

perpendicular a k, que pasa por C.

Estas características sugieren que el graficador examinado es en realidad la proyección

ortogonal sobre un plano de un dispositivo tridimensional que genera cónicas haciendo

cortes en un cono. Esta conjetura resulta muy interesante de explorar, porque su validez

proporcionaría un aparato virtual que conectaría de manera natural la noción de cónica

estudiada en geometría analítica plana, con la noción de curva generada al intersectar un

cono con un plano. Como se sabe, a esta conexión que está en el origen de la teoría de

cónicas, se le confiere poca importancia en los textos de geometría analítica.

Si el conígrafo estudiado hasta ahora, se piensa como una construcción contenida en un

plano π1; entonces puede arribarse a la conjetura anterior, después de analizar el

comportamiento de las curvas trazadas.

a) Al “Arrastrar” el punto P la cónica se modifica, pero pasa siempre por los puntos G

y H. Este hecho, pensado en el espacio, podría corresponderse con la existencia de un cono

circular cortado por un plano π2. Una base c´ de este cono estaría contenida en un plano

π3 paralelo a π1, y su eje coincidiría con la normal a π1 trazada por el punto C. El plano π2

intersectaría a la recta k en el punto P y pasaría por un diámetro G´H´ del círculo c´; de tal

modo que al mover el punto P sobre k, el plano π2 rotaría, manteniendo el segmento G´H´

como eje de rotación. Según esta interpretación, el círculo c del graficador sería la

proyección sobre π1 del círculo c´, y los puntos G y H la proyección sobre π1 de los puntos

G´ y H´. Luego, G y H serían siempre puntos de la cónica, debido a que G´ y H´

permanecerían siempre en la intersección del cono con el plano π2.

b) Cuando P se aleja del punto C, la cónica se aproxima a una circunferencia. De

acuerdo con la interpretación anterior, tiene sentido entonces pensar que cuando P se va a

“infinito”, el plano π2 se aproxima al plano π3 y la curva determinada por la intersección de

π2 y el cono se aproximará cada vez más a c´. Según esta interpretación, el punto C sería la

proyección del vértice del cono sobre π1, por lo tanto este vértice no podría pertenecer al

plano π3.

c) Cuando el punto P se aproxima a C, la cónica se transforma en una hipérbola y se

asemeja cada vez más a dos rectas conforme P se acerca a C. En el espacio, este hecho

podría interpretarse de la manera siguiente: cuando P se aproxima a C, se estaría

aproximando al eje del cono y por ello el plano π2 estaría determinando una sección

hiperbólica sobre el cono. Cuando P coincide con C, el eje del cono pertenecería al plano π2

y por lo tanto π2 pasaría por el vértice del cono y sería perpendicular al plano π3; en ese

momento π2 cortaría al cono en dos rectas. Así se explicaría porqué cuando P se acerca a C,

la cónica trazada sobre π1 se asemeja cada vez más a dos rectas.

Con base en estas consideraciones y procediendo de nuevo por análisis, supóngase que

existe un dispositivo tridimensional, con las características conjeturadas en las

consideraciones a), b) y c) que genera cónicas al seccionar un cono y cuya proyección sobre

el plano π1 es el conígrafo descrito en la Sección 3. De aquí en adelante tal dispositivo se

llamará conígrafo espacial.

La Figura 16 muestra el conígrafo tal como ha sido descrito en la sección 3, mientras

que en la Figura 17 puede verse el aspecto que adquiriría visto en tres dimensiones. En esta

última Figura se ha trazado un segmento CC´ normal a π1, que sería el posible eje del cono.

Aunque en este momento no se sabe con precisión cómo es el aparato tridimensional que se

busca, visto desde C´ en la Figura 17, luciría como en la Figura 16.

Figura 16 Figura 17

Como el plano de c y el de c´ son paralelos y la proyección de c´ sobre π1 es el círculo c

(ver la consideración a), la Figura 18 muestra una posible configuración de los círculos c, c´

y los planos π1 y π2. El círculo c´ y un punto tomado como vértice son suficientes para

definir un cono, aunque no se sabe a qué altura tomar este círculo y dónde tomar el vértice.

La consideración b) sugiere que el vértice debiera estar sobre el segmento CC´ o su

prolongación.

Figura 18

Como se ha visto en la sección 3, el punto Q se mueve sobre el círculo c; si ahora se

piensa que Q es la proyección sobre π1 de un punto Q´ que se mueve en el espacio,

entonces la información que se tiene sobre Q´ es muy vaga. Si Q´ al moverse en el espacio

su proyección Q describe un círculo en π1, entonces Q´ debe moverse sobre la superficie

del cilindro definido por los círculos c y c´, pero como puede verse en la Figura 19, la curva

descrita por Q´ ni siquiera tendría que ser cerrada.

Figura 19

Sin embargo se tiene interés en que el plano π2 de la Figura 18 genere una cónica

seccionando un cono, entonces parece conveniente restringir el movimiento de Q ́ al plano

π2, para que se mueva sobre la elipse definida por la intersección entre π2 y el cilindro

definido por c y c´. Esto permitiría reproducir el conígrafo completamente, pero ahora

sobre el plano π2 (ver Figura 20). En esta reproducción la elipse de corte jugará el papel que

juega el círculo c en el graficador construido sobre π1, el punto R´ (el simétrico a Q´ con

respecto a la recta PC´) tendrá como proyección sobre π1 al punto R, mientras que el punto

P será común a π1 y π2. Como los puntos Q´, R´ y C´ en π2 se proyectan sobre π1 en los

puntos Q, R y C respectivamente y P es común a ambos planos, entonces las rectas P´Q´ y

R´C´ de π2 se proyectan en las rectas PQ y RC de π1; por lo tanto el punto S´ (intersección

de las rectas P´Q´ y R´C´) se proyectará en S.

Figura 20

Al pedir a Cabri el “Lugar geométrico” del punto S´ cuando Q´ se mueve sobre la elipse,

se obtiene una curva plana en el espacio, que tiene apariencia de cónica, como lo muestra la

Figura 20.

Si la curva trazada por el conígrafo espacial es realmente una cónica, entonces debiera

existir un cono, una de cuyas secciones planas es esta curva. De nueva cuenta se acude a la

exploración del conígrafo para buscar información sobre la posible posición de este cono.

El trazo de la parábola con el conígrafo contiene una información clave: Al trazar una

parábola, la distancia de C a P es el doble del radio de c, como lo muestra la Figura 21. Para

esa misma posición de P, el conígrafo espacial debiera también trazar una parábola; para

hacerlo, el plano π2 debiera ser paralelo a una de las generatrices del cono. Pero, como se

puede ver en la Figura 22, donde el cilindro truncado ha sido dibujado de perfil, la única

posibilidad de que el plano π2 sea paralelo a una de las generatrices del cono es que su

vértice V, se localice a la mitad de la altura del cilindro. Si V está sobre CC´, cualquier

posición del vértice distinta al punto medio de CC´, obliga a que la recta que pasa por P y la

generatriz de la Figura 22 se intersecten. Entonces el cono buscado tiene a V como vértice

y a los círculos c y c´como bases.

Figura 21 Figura 22

Un elemento para confirmar que el cono buscado es el de la Figura 22, lo proporciona de

nuevo el conígrafo, pues cuando P se “Arrastra” hasta quedar sobre el círculo c, se traza

una hipérbola tangente a c, lo cual resulta consistente con el cono encontrado, como puede

concluirse de la comparación entre las Figuras 23 y 24.

Figura 23 Figura 24

No deja de ser sorprendente, que el cilindro utilizado en la construcción para determinar

el cono, no tenga una altura específica.

De acuerdo con las conclusiones extraídas hasta ahora, el conígrafo espacial, se vería

como en la Figura 25, en la que se muestra que efectivamente el conígrafo está seccionando

el cono encontrado. Aunque resta demostrar desde luego que el punto S´ del conígrafo

espacial, se mantiene siempre sobre el cono propuesto. A esta demostración está dedicada

la sección siguiente.

Figura 25

5. Una demostración de que el conígrafo espacial secciona un cono.

La demostración presentada aquí está basada en la Figura 26, consiste esencialmente en

demostrar que el punto S´ está siempre sobre el cono propuesto y toma en cuenta desde

luego la demostración dada en la Sección 3. En esta Figura se han trazado sobre el plano

π1, las rectas auxiliares n y m paralelas a l por C y P respectivamente y también la recta

auxiliar ñ, paralela a k por S. Los segmentos CC´, QQ´, RR´ y NN´ son todos normales al

plano π1 y V es el punto medio del segmento CC´.

Figura 26

La demostración consistirá simplemente en probar que los triángulos S´SR y VCR son

semejantes. Como los puntos R, V, C, S y S´ pertenecen al mismo plano, esta semejanza

implica que R, V y S´ son colineales y por lo tanto el punto S pertenecerá siempre a una de

las generatrices del cono, a saber la prolongación del segmento RV, y en consecuencia S´

estará siempre sobre el cono propuesto. Al moverse Q´ sobre la elipse centrada en C´ la

recta PQ´ permanecerá en el plano π2, por lo tanto S´ pertenecerá siempre al plano π2,

entonces S´ estará siempre en la intersección de π2 y el cono propuesto y por lo tanto la

curva que describirá es una sección del cono.

La demostración de la semejanza de los triángulos S´SR y VCR es como sigue:

´SSCV

=´´

NNSS

Pues CV=NN´ debido a que V es el punto medio de CC´

y CC´=2NN´. Esta última igualdad se desprende de la

semejanza entre C´CT y N´NT y de que su razón de

semejanza es 2. La semejanza se debe a que, por

construcción CC´ y NN´ son paralelos. Además como l,

m y n son paralelas y M es el punto medio de CP,

entonces N es el punto medio de CT y por lo tanto la

razón de semejanza entre los triángulos C´CT y N´NT

es 2.

=NTST

Puesto que los triángulos S´ST y N´NT son semejantes.

Esta semejanza se debe a que NN´ y SS´ son paralelos,

puesto que ambos son normales al plano π1; el primero

de ellos por construcción y el segundo porque es la

intersección de dos planos perpendiculares a π1, a saber

los planos a los que pertenecen los triángulos C´CT y

Q´QP respectivamente.

=NT

NTSN += 1+

NTSN

Sustituyendo ST por SN+NT y dividiendo.

= 1+LUSL

Porque STU y SNL son semejantes. Esta semejanza es

una consecuencia directa del paralelismo entre las rectas

l y n.

= 1SL

CM+ Pues LU=CM. Esta igualdad se desprende de las

igualdades CM=MP y LU=MP; la primera es

consecuencia directa de que M es el punto medio CP y

la segunda de que l y n son paralelas y también lo son k

y ñ.

= 1SCCR

+ Pues SCL y CRM son semejantes, como se ha

demostrado en la Sección 3.

=SC CRCR CR

+ Expresando el número uno, como CRCR

=SRCR

Sumando

Luego ´SS

CV=

SRCR

es decir SRSS´

=CVCR

y como los triángulos S´SR y VCR son rectángulos,

entonces por el criterio LAL, se tiene que S´SR y VCR son semejantes como se quería

demostrar.

Comentarios finales

La potencia exploratoria de Cabri ha sido aprovechada en este trabajo, no solamente para

explorar el conígrafo y las propiedades de las curvas que traza, sino además como

herramienta auxiliar en la búsqueda de las demostraciones y como un apoyo para construir

una generalización espacial de este conígrafo. Sin embargo, no se sugiere aquí la

reproducción en algún curso de la secuencia de exploraciones, conjeturas y resultados

expuestos. De hecho este artículo no contiene, prescripción didáctica alguna; se plantea

simplemente una posibilidad de utilizar las nuevas tecnologías para restablecer la conexión

existente entre las ideas presentes en la génesis de la noción de cónica y las versiones

exclusivamente planas que pueden encontrarse en algunos libros de texto de geometría

analítica.

Para concluir, se puntualizan algunas peculiaridades de las curvas trazadas por el

conígrafo y se hacen algunas precisiones sobre las relaciones entre este aparato y el

conígrafo espacial construido:

1. Aunque Cabri pudiera no detectarlo, los vértices de las cónicas nunca son trazados

por el conígrafo. Esto se debe a que cuando Q coincide con R, las rectas PQ y RC

coinciden, por lo cual el punto de intersección no es único y por lo tanto no queda definido.

Por ello en la demostración analítica del Apéndice se excluye la posibilad de que senθ =0.

2. En el conígrafo, cuando P se aproxima a C la cónica pareciera aproximarse cada vez

más a dos rectas y cuando P coincide con C, el lugar geométrico simplemente desaparece.

Un problema interesante consiste en tratar de explicar lo que sucede con la cónica cuando P

se mueve en una vecindad de C suficientemente pequeña. Esta explicación puede darse

desde varios puntos de vista:

a) Si se analiza el funcionamiento del conígrafo, resulta claro que cuando P coincide

con C, la cónica se transforma en el punto C, porque en esta situación, cuando Q se mueve

sobre c, C es el único punto de intersección entre las rectas PQ y RC.

b) Si se observa la ecuación 2 cosab

ra b ϕ

=+

encontrada en el Apéndice para la cónica,

cuando P coincide con C, se tiene a=0 y por lo tanto r=0; es decir la cónica se transforma

en un punto, lo cual es consistente con el punto vista expuesto en el inciso anterior.

c) El conígrafo espacial resulta más esclarecedor al respecto: cuando P se mueve sobre

k, la única posición de P en la que π2 corta al cono en dos rectas se presenta cuando P y C

coinciden, porque es la única posición de P donde el eje del cono queda contenido en π2.

Esto explica porqué cuando P está suficientemente cerca de C, las secciones de π2 sobre el

cono son hipérbolas, que se parecen cada vez más a estas dos rectas. Esto significa que las

cónicas trazadas por el conígrafo nunca son dos rectas, aunque la construcción en Cabri

pudiera aparentar otra cosa.

3. En Santos (2001) se presenta otra versión del conígrafo en la que el círculo c ha sido

sustituido por una elipse. Una explicación de por qué el conígrafo sigue funcionando

después de hacer este cambio (en el sentido de que sigue trazando cónicas) puede

encontrarse en la construcción del conígrafo espacial, donde pueden distinguirse dos

conígrafos planos, uno sobre π1 en el que Q se mueve sobre un círculo y otro sobre π2 en el

que Q´ se mueve sobre una elipse (ver Figura 20).

4. Resulta natural conjeturar que si el conígrafo funciona al sustituir el círculo c por

una elipse, podría funcionar también al sustituir c por cualquier otra cónica. Esta conjetura

parece cierta, pero recuérdese que las elipses sobre π2 en el conígrafo espacial provienen de

seccionar un cilindro y estas secciones solo pueden ser círculos, elipses o dos rectas. Esto

quiere decir que aunque el conígrafo siga funcionando, por ejemplo, al sustituir c por una

hipérbola, el conígrafo espacial construido aquí no alcanzaría a explicar este

funcionamiento.

5. Para construir el conígrafo espacial se ha considerado un cilindro con ciertas

características, pero de altura arbitraria. Esto significa que al variar la altura del cilindro el

cono se modifica y la cónica trazada sobre π2 también cambia, pero la proyección

ortogonal de esta cónica sobre π1 permanece invariante. Esto quiere decir que cada cónica

trazada por el conígrafo puede interpretarse como la representante de una familia infinita

de cónicas, a saber todas aquellas generadas sobre π2 al variar la altura del cilindro.

Apéndice. Una demostración analítica de que el lugar geométrico es una cónica

Se presenta aquí una demostración, con herramientas de la geometría analítica, de que las

curvas trazadas por el conígrafo, son cónicas.

Para la demostración se ha hecho coincidir el punto C con el origen de coordenadas y la

recta k con el eje de las abscisas. Si 0>b es el radio del círculo, a la distancia del punto P

al origen y θ el ángulo formado por el segmento CQ con la parte positiva del eje X;

entonces las coordenadas de P, Q y R serán (a,0), (bcosθ, bsenθ) y (bcosθ, -bsenθ)

respectivamente. Ver Figura 27.

Figura 27

Para demostrar que la curva trazada es una cónica, se requiere probar que, cuando el

punto Q se mueve sobre c, el punto S pertenece a una cónica, esto es, que sus coordenadas

satisfacen la ecuación de una cónica. Para tal efecto se encontrará primero una expresión

algebraica para cada una de las dos rectas que se intersectan en S.

La recta que pasa por los puntos P y Q tiene como ecuaciones paramétricas:

θcosbtatax −+=

∞<<∞− t (1)

θbtseny −=

Mientras que las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por R y C son:

θcosbux =

∞<<∞− u (2)

θbuseny −=

Como S es el punto de intersección de estas rectas, sus coordenadas deben satisfacer (1)

y (2), por lo tanto:

θθ coscos bubtata =−+ (3)

θθ busenbtsen −=− (4)

Como 0≠b , si 0≠θsen , se obtiene de (4) ut = . Sustituyendo u por t en (3) y

despejando t, se obtiene θcos2ba

at

−−

= . Con este valor de t pueden obtenerse las

coordenadas de S, a partir de las ecuaciones (1) o de las ecuaciones (2); tomando por

ejemplo, las ecuaciones (1), se tiene:

x= θ

θθ cos2

coscos2

2

baab

baa

a−

+−

−

= θ

θcos2

cosba

ab−

− (5)

y= θ

θcos2ba

absen−

(6)

Para escribir las coordenadas de S en términos a, b y su argumento, obsérvese que si ϕ

es el argumento de S, entonces ϕπθ −= (ver Figura 27); las ecuaciones (5) y (6), pueden

escribirse entonces como:

x= ϕ

ϕcos2

cosba

ab+

(7)

y= ϕ

ϕcos2ba

absen+

(8)

Si (r, ϕ ) son las coordenadas polares de S, entonces

r= 22 yx +

=22

cos2cos2cos

+

+

+ ϕ

ϕϕ

ϕba

absenba

ab

=ϕcos2ba

ab+

(9)

Si 0≠a , la ecuación (9) puede escribirse como

r= ϕcos

21

abb

+ (10)

Entonces S satisface siempre la ecuación (10), que es la ecuación de una cónica general

en coordenadas polares (véase Lehmann, 1972, pp. 256-259); que es simétrica con respecto

al eje de las abscisas, puesto que )cos(cos ϕϕ −= .

La ecuación (10) puede traducirse sin grandes dificultades a coordenadas cartesianas,

adquiriendo el aspecto siguiente:

22222222 4)4( baxabyaxba =++−

que no contiene término lineal en y, lo cual indica que se trata de una cónica simétrica con

respecto al eje de las abscisas.

Referencias

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Scientifica Università degli studi di Modena e Reggio Emilia. Disponible en:

http://www.museo.unimo.it/theatrum/ [2002, Mar. 05].

Bartolini, B. M., (2001). The Geometry of Drawing Instruments: Arguments for a

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Descartes, R. (1637). La Géométrie [Traducido del Francés y el Latín por Smith, E &

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Hoyos, V., Capponi, B. & Geneves, B. (1999). Simulation of Drawing Machines on

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