ECUACIÓN DE LA RECTA

y2 - y1

x2 - x1

y - y1

x - x1

y -y1 y2 -y1

x -x1 x2 -x1

y-y1 y2 -y1 (x - x1)

x2 -x1

P

P1(x1,y1)

P2(x2,y2) Tgα=

m =

=

=

y

x

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

y-y1 y2-y1 (x-x1)

x2-x1

(x2-x1) (y-y1) = y2-y1 (x-x1)

x2y - x2y1 - x y- x1y1 = y2x - x y2 - y1x + x1y1

x2y - x2y1 - x1y - y2x + x1y2 + y1x - x1y1 = 0

(y1- y2)x + (x2- x1)y +(x1y2 - x2y1) = 0

D x + E y + F = 0

=

LA CIRCUNFERENCIA

(x´)2 + (y´)2 = R2

(x-h)2+(y-k)2= R2

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA CURVA.

x= h+x´ x´= x-h

y= k+y´ y´ = y-k

y y´

x´xk

h x´x

P´(x´,y´)P(x,y)

y´yc

c(h,k)

ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

( x -h )2 + (y -k )2 = R2

x2- 2hx + h2 +y2 -2ky +k2 = R2

x2 + y2 - 2hx - 2ky + (h2+k2-R2) = 0

A x2 + B y2 +D x + E y +F = 0

circunferencia => A=B= 1

D= -2h

E= -2k

F= ( h2 + k2 - R2 ) ecuación de la recta=> A=B= 0

A x2 +B y2 + D x +E y+ F = 0

A= B = 1

D = -2h => h =

E= -2k => k =

F= h2+ k2 - R2 => R2 = h2+k2 - F

R2 = - =

-D2

-E2

D2

4 +

E2

4

F D2 + E2 - 4F

4

A x2+ B y2 + D x +E y+ F = 0 <=> ( x- h )2 + ( y - k )2 = R2

x D 2 y E 2 D + E - 4F

2 2 4

D2 + E2- 4 F D2 + E2 - 4F

4 4 > 0 circ. Real

= 0 PUNTO

< 0 circ. Imaginaria

+ + + =

R2 = = R =

LA ELIPSE

f1(-c,o) f2(c,o)

V1(-a,o) V2(a,o)

L.R

M1

M2

P1 P2

P3

r1 r2

P4

YEje Normal

XEjeFocal

l1 l2

l4

l3 V1V2 = longitud del eje mayor

M1M2 = longitud del eje menor

r1 + r2 = 2a = cte.

P(x,y)

ECUACIÓN DE LA ELIPSEr2 + r2 = 2a

(x+c )2 + y2 + (x-c)2 + y2 = 2a

(x+c)2 + y2 = 2a - (x-c)2 + y2

(x-c)2 + y2 2= 2a - (x-c)2 +y2 2

x2 +2c+c2 +y2 = 4a2 -4a (x-c)2 + y 2+ (x-c)2 +y2 2

x2 +2cx+c2 +y2 = 4a2 -4a (x-c)2 + y2 +x2 -2cx+c2 +y2

4cx-4a2 = -4a (x-c)2 + y2

4a2 -4cx = 4a (x-c)2 +y2

(a2 -c x)2 = a (x-c)2 + y2 2

a4 -2a2 c x + c2 x2 = a2 (x2 -2cx+c2 + y2 )

a4 -2a2 c x+c2 x2 = a2 x2 -2a2c x+a2 c2 +a2 y2

-a2 c2 +a4 = ( a2 x2 -c2 x2 )+a2 y2 a2 - c2 = b2

a2 b2 = b2 x2 +a2 y2

b2x2 a2 y2 a2 b2 x2 y2 = 1 ECUACIÓN DE LA

a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 ELIPSE

+ = +

ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE

h

k

x

x´

y´y

M´1

M´2

V2´V1´

f1´ f2´

P´(x´, y´)

P (x,y)

C

V1´(-a,o)V2´(a,o)M1´(o,b)M2´(o,b)

C´(o,o)C (h,k)

(x´)2 (y´)2 = 1 a2 b2

+

ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE

( x-h)2 (y-k)2

a2 b2

b2 (x2 - 2hx +h2) + a2 (y2 - 2ky + k2) = a2 b2

b2x2 - 2b2 x h + b2 h2 + a2 y2 - 2a2 k y + a2 k2 = a2 b2

b2 x2 + a2 y2 - 2b2 h x - 2a2 k y + (b2 h2 + a2 k2 - a2 b2)=0

A x2 + B y2 + D x + E y + F = 0

A= b2

B= a2

D= -2b2 h Eje Focal ELIPSE

E= - 2a2 k en X A = B

F= b2 h2 + a2 k2 - a2 b2

+ =1

LA HIPERBOLAY

X

EJE CONJUGADOEJE NORMAL

EJE FOCALC

r1r2

r2

r1

f1(-c,o) f2(c,o)V1(-a,o) V2(a,o)

L.RL.R

Eje Transverso

asíntota

P(x,y)P(x,y)

l1

l2

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPERBOLA

r2 - r2 = ± 2a

(x-c )2 + y2 + (x+c)2 + y2 = 2a

(x-c)2 + y2 = 2a + (x+c)2 + y2

(x+c)2 + y2 2= 2a + (x+c)2 +y2 2

x2 -2c+c2 +y2 = 4a2 +4a (x+c)2 + y 2+ (x+c)2 +y2 2

x2 -2cx+c2 +y2 = 4a2 +4a (x+c)2 + y2 +x2 +2cx+c2 +y2

-4cx = 4a2 + 4a (x+c)2 + y2

a (x-c)2 + y2 2 = - ( a2 +c x) 2

a2 (x +c)2+ y2 = a4 + 2a2 c x +c2 + x2

a2 (x2 +2c x+c2 y2 ) = a4 +2a2c x+ c2 +x2

a2 x 2 + 2a 2 c x + a2 c2 + a2 y2 = a4 + 2a2 c x + c2 x2

(c2 x2 -a2 x 2 ) - a2 y2 = a2 c2 -a4 c2 -a2 = b2

(c2- a2 ) x2 -a2 y2 = a2 (c2 -a 2 )

b2x2 a2 y2 a2 b2 x2 y2 ECUACIÓN DE LA

a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 HIPERBOLA

- = - =1

l1

l2

f1 V1 V2 f2

P1( c, b2/a)

P2( c, -b2/a)

Y

XEje Focal

M1

M2

LA HIPÈRBOLA

C

C(0,0)

x2 y2

a2 b2 x2 1 y2

a 2 b2

y2 b2 x2 1 a2

y2 b2 x2 - a2

a2

y2 b2 (x2 - a2 ) y2 ± b ( x2 - a2 ) a2 a

si => x=cy ± b (c2 - a2) ay ± b b2

ay ± b (b) y ± b2

a a

- =1

- =

=

=

= =

=

=

= =

-

si x = ∞ y ± b ( x2 - a2 ) a

y ± b x2 1- a 0 a x2 0 y ± b x y = mx + k ECUACIÓN DE UNA RECTA ASINTÓTICA

a

y b x ==> ay - bx = 0 ==> l1

a

y b x ==> ay + bx = 0 ==> l2 a

=

=

=

=

= -

ECUACIÓN GENRAL DE LA HIPERBOLA

Y

X

Y´

X´V1 V2f1 f2

C’(h,k)

C (0,0)

C

ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPERBOLA

( x´)2 (y´)2

a2 b2

( x-h)2 (y-k)2

a2 b2

b2 ( x2 - 2hx + h2 ) - a2 ( y2 -2ky + k2 ) = a2 b2

b2 x2 - 2b2h x + b2h2 - a2y2 - 2a2ky + a2k2 -a2 b2 = 0

b2x2 - a2y2 - 2b2hx + 2a2ky + ( b2h2 - a2k2 - a2b2 ) = 0

A x2 + B y2 + D x + E y + F = 0

HIPERBOLA:

A = b2

B = -a2

D = -2b2h

E = -2a2k

F = ( b2h2 - a2k2 - a2b2 )

- =1

- =1

LA PARÁBOLA D Y

d

d

V f

P2

P(x;y)

P1 (x1;y1)

r r

(p;o)

LR

DIRECTRIZ

X Eje de simetría

r = d

V(0,0)

r = d

(x-p)2 + (y-0)2 2 = (x+p)2

x2 - 2px + p2 +y2 = x2 + 2px + p2

y2 = 4px ECUACIÒN DE LA PARÀBOLA

ECUACIÒN DE LA DIRECTRIZ

D x = -p x + p = 0

Si x = p

y2 = 4p2 y= ± 2p P (x,y)

LR = 4p

y2 = 4px y = ± 2 px

k

h

v

P

Y´2 = 4p x´

X

X´

Y´

Y

DV’ (0;0)

V (h;k)

LA PARÀBOLA

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA

(y’)2 = 4px’

(y - k )2 = 4p (x - h)

y2 - 2yk + k2 = 4px - 4ph

y2 - 4px - 2ky + k2 + 4ph = 0

Ax2 + By2 + D x + E y + F = 0

A = 0

B = 1

D = -4p

E = -2k

F = k2 + 4ph

Eje focal en x