เรอง การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวาง

ขอมลทกราฟเปนเสนตรง และกราฟไมเปนเสนตรง

แบบฝกทกษะคณตศาสตร

วอระพน เจรญภกด ต าแหนง คร วทยฐานะช านาญการ

โ ร ง เ ร ย นช ย ภ ม ภ ก ด ช มพล

1

ม.6

ค าน า

แบบฝกเสรมทกษะน จดท ำขนเพอประกอบกำรเรยนวชำคณตศำสตร ค 33202 และ เสรมควำมรควำมเขำใจ เปนแบบฝกทกษะใหแกผ เรยนไดฝกฝนเพมเตมเพอให เกด ทกษะกระบวนกำรทำงคณตศำสตร และสงเสรมใหผ เรยนมทศนคต ทดตอกำรเรยน คณตศำสตร ภำยในเลมประกอบดวย ใบควำมร แบบฝกทกษะ และแบบทดสอบหลงเรยน โดยแบบฝกทกษะแตละเลมเนนกำรคดค ำนวณ ควำมสมเหตสมผล กำรเชอมโยงกบชวตประจ ำวน ในกำรจดท ำแบบฝกเสรมทกษะไดส ำเรจลลวงไปดวยดน ไดรบกำรสนบสนนสงเสรม จำกผอ ำนวยกำรโรงเรยนชยภมภกดชมพล คณะครโรงเรยนชยภมภกดชมพลทกทำน และขอบพระคณทกทำนทไดน ำแบบฝกทกษะคณตศำสตร เรอง ควำมสมพนธเชงฟงกชน ระหวำงขอมล ไปท ำกำรทดลองใชพรอมทงใหขอเสนอแนะ ค ำแนะน ำจนท ำใหแบบฝกเสรมทกษะคณตศำสตร เรอง ควำมสมพนธเชงฟงกชนระหวำงขอมล ชนมธยมศกษำปท 6 ทง 9 แบบฝก เสรจสมบรณ

ผจดท ำหวงเปนอยำงยงวำจะเปนประโยชน ตอกำรเรยนกำรสอนคณตศำสตร ซงชวยยกระดบคณภำพกำรศกษำในชนมธยมศกษำปท 6 ใหมประสทธภำพดยงขน

วอระพน เจรญภกด

สารบญ

เรอง หนา

ค ำชแจงในกำรใชแบบฝกทกษะ 1

สำระส ำคญ 2

จดประสงคกำรเรยนร 2

สำระกำรเรยนร 3

กำรวเครำะหควำมสมพนธเชงฟงกชนระหวำงขอมล 4

วำมสมพนธทกรำฟเปนเสนตรงและไมเปนเสนตรง 10

แบบฝกทกษะชดท 1 12

แบบฝกทกษะชดท 2 14

แบบฝกทกษะชดท 3 16

แบบฝกทกษะชดท 4 17

แบบทดสอบหลงเรยน 18

เฉลยแบบฝกทกษะชดท 1 22

เฉลยแบบฝกทกษะชดท 2 24

เฉลยแบบฝกทกษะชดท 3 26

เฉลยแบบฝกทกษะชดท 4 27

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน 28

บรรณำนกรม 29

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 1

ค าชแจงในการใชแบบฝกทกษะ

ขอตกลงในการใชแบบฝกทกษะ

ในกำรท ำแบบฝกทกษะ ภำยในกลมประกอบดวยนกเรยนเกง ปำนกลำง ออน นกเรยนภำยในกลมตองชวยเหลอซงกนและกน ควรมควำมซอสตยตอตนเองไมเปดดเฉลยกอน เพรำะถำนกเรยนเปดดเฉลยกอนเทำกบวำนกเรยนลอกค ำตอบซงท ำใหนกเรยนไมไดทดสอบควำมรควำมเขำใจ

ค าแนะน าในการใชแบบฝกทกษะ 1. นกเรยนทกคนศกษำเอกสำรจำกแบบฝกทกษะ โดยกำรจดกจกรรม

กำรเรยนรเรองกำรวเครำะหควำมสมพนธเชงฟงกชนระหวำงขอมลในรปควำมสมพนธทกรำฟเปนเสนตรงและไมเปนเสนตรง โดยมครคอยชแนะ 2. นกเรยนทกคนท ำแบบฝกทกษะ โดยภำยในกลมตองชวยเหลอซงกนและกน คนเกงชวยเหลอคนทมควำมสำมำรถทำงดำนคณตศำสตรนอยกวำ

3. เมอท ำแบบฝกทกษะเสรจ สมำชกภำยในกลมตองชวยกนตรวจค ำตอบจำกเฉลยทำยแบบฝกทกษะ และชวยกนแกไขเมอมค ำตอบผด

4 . นกเรยนแตละกลมรวมคะแนนของสมำชก หำคำคะแนนรวมของกลม และคะแนนเฉลยของกลม

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 2

แบบฝกทกษะ

เรอง การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมลในรป

ความสมพนธทกราฟเปนเสนตรงและไมเปนเสนตรง

สาระส าคญ

ในกำรวเครำะหขอมลเชงปรมำณทประกอบดวยตวแปรตงแตสองตวขนไปทมควำมเกยวของกนโดยเรยก เปนตวแปรอสระ หมำยถง ตวแปรทถกก ำหนดขน และเรยก เปนตวแปรตำม หมำยถง ตวแปรทมคำเปลยนไปตำมตวแปรอสระ ควำมสมพนธของขอมลท 2 ลกษณะ คอ 1. ควำมสมพนธมลกษณะเปนเสนตรง โดยมสมกำรทวไปของควำมสมพนธเชงฟงกชน เปน 2. ควำมสมพนธมลกษณะไมเปนเสนตรง สำมำรถสรำงควำมสมพนธเชงฟงกชนในรปพำรำโบลำ โดยมสมกำรทวไปของควำมสมพนธเชงฟงกชนเปน และสำมำรถสรำงควำมสมพนธเชงฟงกชนในรปเอกซโพเนนเชยล โดยมสมกำรทวไปของควำมสมพนธเปน หรอ

จดประสงคการเรยนร

1. บอกควำมหมำยของตวแปรอสระและตวแปรตำมได 2. บอกไดวำตวแปรใดเปนตวแปรอสระและตวแปรใดเปนตวแปรตำม 3. บอกหลกกำรกำรพจำรณำควำมสมพนธเชงฟงกชนระหวำงขอมลทประกอบดวยสองตว

แปรได 4. เขยนสมกำรทวไปของควำมสมพนธเชงฟงกชนระหวำงขอมลทกรำฟเปนเสนตรงและไม

เปนเสนตรง

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 3

สาระการเรยนร

1. ควำมหมำยของตวแปร 2. หลกกำรพจำรณำควำมสมพนธของตวแปร 3. สมกำรทวไปของควำมสมพนธ

ควำมมงมนและตงใจ จะน ำพำเรำไปสควำมส ำเรจ

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 4

การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล เปนการสรางสมการความสมพนธระหวางสงสองสงทเราสนใจ ถาตองการท านายหรอคาดคะเนตวแปรใด กใหตวแปรดงกลาว เปน “ตวแปรตาม” ซงแทนดวย สวนอกหนงตวแปรทเหลอจะเปน “ตวแปรอสระ” แทนดวย สมการความสมพนธคอ

ความหมายของตวแปร

ตวแปรอสระ หมำยถง ตวแปรทถกก ำหนดขน ตวแปรตำม หมำยถง ตวแปรทมคำเปลยนไปตำมตวแปรอสระ หลกการพจารณาความสมพนธของตวแปร

เรำสำมำรถท ำนำยหรอพยำกรณตวแปรตำม ได ถำทรำบตวแปรอสระ แตไมสำมำรถท ำนำยหรอพยำกรณตวแปรอสระ ได ถำทรำบตวแปรตำม

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 5

ตวอยางท 1 ใหนกเรยนก าหนดตวแปรตาม และตวแปรอสระจาก

ความสมพนธทโจทยก าหนดให

เมอทรำบคะแนนสอบวชำคณตศำสตรของนกเรยนคนหนง กสำมำรถท ำนำยคะแนนสอบวชำฟสกสได

ตวแปรอสระ คะแนนสอบวชำคณตศำสตร ตวแปรตำม คะแนนสอบวชำฟสกส

ในกำรทอดลกเตำ 2 ลก ปรำกฏแตมทไดแตกตำงกนออกไป

ไมสมเหตสมผลทจะก ำหนดใหตวแปรใดเปนตวแปรตำม

ตวแปรใดเปนตวแปรอสระ

คอ

คอ

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 6

ครอบครวหนงมรำยจำยเดอนละ 4,500 บำท ใหพยำกรณรำยไดของครอบครวนน

ตวแปรอสระ รำยจำยเดอนละ 4,500 บำท

ตวแปรตำม รำยไดของครอบครว อำยสตวเลยง 4 ป ตองเลยงดวยปรมำณอำหำรตอสปดำหประมำณ 7.5 กโลกรม

ตวแปรอสระ อำยสตวเลยง ตวแปรตำม ปรมำณอำหำรตอสปดำห

คอ

คอ

คอ

คอ

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 7

ในกำรวจยโรคอวนของคนไขจ ำนวน 35 คน ทตองลดน ำหนก ซงศกษำ

ควำมสมพนธระหวำงปรมำณน ำหนก (kg) ทลดลงกบปรมำณไตรกลเซอไรด ทเปลยนแปลงไป

แปรอสระ น ำหนก ตวแปรตำม ปรมำณไตรกลเซอไรด

อยาสวดมนตเพอขอสงใด นอกจากปญญาและความกลาหาญ

คอ

คอ

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 8

ตวอยางท 2 ใหนกเรยนเตมค ำตอบใน ใหถกตอง

รายรบ = , รายจาย =

สมกำรควำมสมพนธของขอมล – ตวแปรอสระ แทนดวย รำยรบ ( ) ตวแปรตำม แทนดวย รำยจำย ( ) ตวแปรทใชท ำนำยได แทนดวย รำยจำย ตวแปรทหำมท ำนำย แทนดวย รำยรบ

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 9

ปรมำณยำ = , น ำหนกผปวย =

สมกำรควำมสมพนธของขอมล

ตวแปรอสระ แทนดวย น ำหนกผปวย ( ) ตวแปรตำม แทนดวย ปรมำณยำ ( ) ตวแปรทใชท ำนำยได แทนดวย ปรมำณยำ ตวแปรทหำมท ำนำย แทนดวย น ำหนกผปวย

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 1 0

ความสมพนธทกราฟเปนเสนตรงและไมเปนเสนตรง

การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมลม 2 ลกษณะคอ

1) ควำมสมพนธมลกษณะเปนเสนตรง เรำกสำมำรถสรำงควำมสมพนธเชงฟงกชนทอยในรปเสนตรงได ซงสมกำรทวไปของควำมสมพนธเชงฟงกชน คอ

เมอ เปนตวแปรตำมและ เปนตวแปรอสระ เปนควำมชนของเสนตรงหรอคำของ ทเปลยนไป เมอ เปลยนไปหนงหนวย เปนระยะตดแกน และเปนคำคงตวทตองกำรหำ

2) ควำมสมพนธมลกษณะไมเปนเสนตรง เรำกสำมำรถสรำงควำมสมพนธ เชงฟงกชนทอยในรปพำรำโบลำ หรอรปเอกซโพเนนเชยลได ซงสมกำรทวไปของค ว ำ ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ค อ แ ล ะ ห ร อ ตำมล ำดบ

รปพำรำโบลำ รปเอกซโพเนนเชยล เมอ เปนตวแปรตำม และ เปนตวแปรอสระ และ เปนคำคงตวทจะตองหำ

𝑦 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥 𝑥

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 1 1

ตวอยางท 3 ใหนกเรยนเขยนสมการความสมพนธเชงฟงกชนจากกราฟทก าหนดให

1. สมกำรทใชคอ เมอ เปนตวแปรอสระ

เปนตวแปรตำม เปนระยะตดแกน เปนควำมชนของเสนตรง 2. สมกำรทใชคอ เมอ เปนตวแปรอสระ

เปนตวแปรตำม และ เปนคำคงตวทจะตองหำ

3. สมกำรทใชคอ เมอ เปนตวแปรอสระ เปนตวแปรตำม และ เปนคำคงตวทจะตองหำ

รปเสนตรง

พำรำโบลำ

เอกซโพเนนเชยล

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 1 2

แบบฝกทกษะชดท 1

ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบในชองวางใหถกตอง

1. ควำมสมพนธระหวำงน ำหนก และปรมำณอำหำรทรบประทำน

ตวแปรอสระ ตวแปรตำม

2. เมอน ำหนกตวของคนๆหนงทลดลงสงผลใหปรมำณแคลอรในรำงกำยลดลงดวย

ตวแปรอสระ ตวแปรตำม

คอ

คอ

คอ

คอ

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 1 3

3. ปรมำณปยทใชในกำรเกษตรสงผลกบผลผลตทไดรบในแตละป

ตวแปรอสระ ตวแปรตำม 4. ระดบสตปญญำของนกเรยนมผลกบระดบคะแนนทนกเรยนไดรบ

ตวแปรอสระ ตวแปรตำม 5. เมอมผบรจำคเลอดมำกท ำใหผปวยทตองกำรเลอดมโอกำสรอดชวตมำกขน

ตวแปรอสระ ตวแปรตำม

คอ

คอ

คอ

คอ

คอ

คอ

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 1 4

แบบฝกทกษะชดท 2

ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค าตอบในชองวางใหถกตอง

ระยะทาง = , เวลา =

สมกำรควำมสมพนธของขอมล คอ = ตวแปรอสระ แทนดวย ตวแปรตำม แทนดวย ตวแปรทใชท ำนำยได แทนดวย ตวแปรทหำมท ำนำย แทนดวย

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 1 5

ก ำไร = , ตนทน =

สมกำรควำมสมพนธของขอมล คอ – ตวแปรอสระ แทนดวย ตวแปรตำม แทนดวย ตวแปรทใชท ำนำยได แทนดวย ตวแปรทหำมท ำนำย แทนดวย

ปรมำตร = , รศม =

สมกำรควำมสมพนธของขอมล คอ ตวแปรอสระ แทนดวย ตวแปรตำม แทนดวย ตวแปรทใชท ำนำยได แทนดวย ตวแปรทหำมท ำนำย แทนดวย

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 1 6

แบบฝกทกษะชดท 3

ค าชแจง ใหนกเรยนจบคกราฟและรปความสมพนธทมความสมพนธกน โดยน าตวอกษรหนากราฟไปเตมลงใน ใหถกตอง

กรำฟ

A B

C D

E F

ควำมสมพนธ

1. รปเสนตรง คอ และ

2. รปพำรำโบลำ คอ และ

3. รปเอกซโพเนนเชยล คอ และ

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 1 7

แบบฝกทกษะชดท 4

ค าชแจง ใหนกเรยนเตมค ำตอบในชองวำงใหถกตอง 1. สมกำรทใชคอ

เมอ

รปเสนตรง 2. สมกำรทใชคอ

เมอ รปพำรำโบลำ

3. สมกำรทใชคอ

เมอ

รปเอกซโพเนนเชยล

𝑥 แทน

𝑦 แทน

𝑎 คอ

𝑏 คอ

𝑦 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥

𝑥 แทน

𝑦 แทน

𝑎 𝑏 และ 𝑐 เปนคำคงตวทตองกำรหำ

𝑥 แทน

𝑦 แทน

𝑎 และ 𝑏 เปนคำคงตวทตองกำรหำ

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 1 8

แบบทดสอบหลงเรยน

ค าชแจง ใหนกเรยนท าเครองหมาย ลงในกระดาษค าตอบใหตรง

กบตวเลอกทถกตองทสด

1. จ ำนวนชวโมงตอวนทนกเรยนใชอำนหนงสอกบคะแนนสอบทจะไดในกำรสอบขอใดกลำว ถกตอง ก. ตวแปรอสระ คอ คะแนนทไดจำกกำรสอบ ตวแปรตำม คอ จ ำนวนชวโมงตอวนทนกเรยนใชอำนหนงสอ ข. ตวแปรอสระ คอ จ ำนวนชวโมงตอวนทนกเรยนใชอำนหนงสอ ตวแปรตำม คอ คะแนนทไดจำกกำรสอบ ค. ตวแปรอสระ คอ จ ำนวนหนงสอ ตวแปรตำม คอ จ ำนวนชวโมงทอำนหนงสอ ง. ตวแปรตำม คอ จ ำนวนหนงสอ

ตวแปรอสระ คอ คะแนนสอบทได 2. ควำมสมพนธระหวำงปรมำณแคลเซยมทไดรบและสวนสง ขอใดกลำวถกตอง ก. ตวแปรอสระ คอ ปรมำณแคลเซยมทไดรบ ตวแปรตำม คอ สวนสง ข. ตวแปรอสระ คอ สวนสง ตวแปรตำม คอ ปรมำณแคลเซยมทไดรบ ค. ตวแปรอสระ คอ ปรมำณอำหำรทรบประทำน ตวแปรตำม คอ น ำหนก ง. ตวแปรอสระ คอ สวนสง ตวแปรตำม คอ ปรมำณนมทดม

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 1 9

3. สมกำรควำมสมพนธเชงฟงกชนในขอใดทเปนเสนตรง ก. ข. ค. ง.

4. สมกำรควำมสมพนธเชงฟงกชนในขอใดทเปนพำรำโบลำ ก. ข. ค. ง.

5. สมกำรควำมสมพนธเชงฟงกชนในขอใดทเปนเอกซโพเนนเชยล ก. ข. ค. ง.

6. รปภำพในขอใดแสดงควำมสมพนธเชงฟงกชนทเปนเสนตรง

ก. ข.

ค. ง.

𝑌

𝑋

𝑌

𝑋

𝑌

𝑋

𝑌

𝑋

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 2 0

7. รปภำพในขอใดแสดงควำมสมพนธเชงฟงกชนทเปนพำรำโบลำ

ก. ข.

ค. ง.

8. รปภำพในขอใดแสดงควำมสมพนธเชงฟงกชนทเปนเอกซโพเนนเชยล ก. ข.

ค. ง.

𝑌

𝑋

𝑌

𝑋

𝑌

𝑋

𝑌

𝑋

𝑌

𝑋

𝑌

𝑋

𝑌

𝑋

𝑌

𝑋

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 2 1

(ขอมลตอไปนใชตอบค าถามขอ 9 และขอ 10) ขอมลตอไปนแสดงจ ำนวนกวำงทถกลำและจ ำนวนปนยำวทจดทะเบยน (หนวยเปนกระบอก) ในแตละปของไทยในชวงป 2546 ถง 2550

ป พ.ศ. ปนยำวทจดทะเบยน (กระบอก) กวำงทถกลำ(ตว) 2546 2547 2548 2549 2550

127 200 273 345 350

10 17 25 32 37

9. ถำตองกำรศกษำควำมสมพนธระหวำงจ ำนวนปนยำวและจ ำนวนกวำงทถกลำ ตวแปรอสระ คอตวแปรตวใด

ก. จ ำนวนปนยำวทจดทะเบยน ข. จ ำนวนกวำงทถกลำ ค. จ ำนวนป พ.ศ. ง. ป พ.ศ. ทปนยำวจดทะเบยนมำกทสด

10. ถำตองกำรศกษำควำมสมพนธระหวำงจ ำนวนปนยำวและจ ำนวนกวำงทถกลำตวแปรตำม คอตวแปรใด ก. จ ำนวนปนยำวทจดทะเบยน ข. จ ำนวนกวำงทถกลำ ค. จ ำนวนป พ.ศ. ง. ป พ.ศ. ทปนยำวจดทะเบยนมำกทสด

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 1

ภาคผนวก

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 2 2

1. ควำมสมพนธระหวำงน ำหนก และปรมำณอำหำรทรบประทำน

ตวแปรอสระ ตวแปรตำม

2. เมอน ำหนกตวของคนๆ หนงทลดลงสงผลใหปรมำณแคลอรในรำงกำยลดลงดวย

ตวแปรอสระ ตวแปรตำม

คอ

คอ

คอ

คอ

น าหนก

ปรมาณอาหารทรบประทาน

น าหนกทลดลง

ปรมาณแคลอร

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 2 3

3. ปรมำณปยทใชในกำรเกษตรสงผลกบผลผลตทไดรบในแตละป

ตวแปรอสระ ตวแปรตำม 4. ระดบสตปญญำของนกเรยนมผลกบระดบคะแนนทนกเรยนไดรบ

ตวแปรอสระ ตวแปรตำม 5. เมอมผบรจำคเลอดมำกท ำใหผปวยทตองกำรเลอดมโอกำสรอดชวตมำกขน

ตวแปรอสระ ตวแปรตำม

คอ

คอ

คอ

คอ

คอ

คอ

ปรมาณปย

ผลผลต

ระดบสตปญญา

ระดบคะแนนทนกเรยนไดรบ

ผบรจาคเลอด

โอกาสรอดชวต

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 2 4

ระยะทาง = , เวลา =

สมกำรควำมสมพนธของขอมล คอ = ตวแปรอสระ แทนดวย ตวแปรตำม แทนดวย ตวแปรทใชท ำนำยได แทนดวย ตวแปรทหำมท ำนำย แทนดวย

ก ำไร = , ตนทน =

สมกำรควำมสมพนธของขอมล คอ – ตวแปรอสระ แทนดวย ตวแปรตำม แทนดวย ตวแปรทใชท ำนำยได แทนดวย ตวแปรทหำมท ำนำย แทนดวย

เวลา (𝑡)

ระยะทาง

ระยะทาง (𝑠)

เวลา

ตนทน (𝑥)

ก าไร (𝑦)

ก าไร

ตนทน

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 2 5

ปรมำตร = , รศม =

สมกำรควำมสมพนธของขอมล คอ ตวแปรอสระ แทนดวย ตวแปรตำม แทนดวย ตวแปรทใชท ำนำยได แทนดวย ตวแปรทหำมท ำนำย แทนดวย

รศม (𝑟)

ปรมาตร (𝑣)

ปรมาตร

รศม

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 2 6

กรำฟ

A B

C D

E F

ควำมสมพนธ

1) รปเสนตรง คอ และ

2) รปพำรำโบลำ คอ และ

3) รปเอกซโพเนนเชยล คอ และ

A - A

B D

C F

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 2 7

1) สมกำรทใชคอ

เมอ

รปเสนตรง 2) สมกำรทใชคอ

เมอ รปพำรำโบลำ

3) สมกำรทใชคอ

เมอ

รปเอกซโพเนนเชยล

𝑥 แทน

𝑦 แทน

𝑎 คอ

𝑏 คอ

𝑦 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥

𝑥 แทน

𝑦 แทน

𝑎 𝑏 และ 𝑐 เปนคำคงตวทตองกำรหำ

𝑥 แทน

𝑦 แทน

𝑎 และ 𝑏 เปนคำคงตวทตองกำรหำ

𝑦 𝑎 𝑏𝑥

ตวแปรอสระ

ตวแปรตาม

ระยะตดแกน 𝑦

ความชนของเสนตรง

ตวแปรอสระ

ตวแปรตาม

𝑦 𝑎𝑏𝑥

ตวแปรอสระ

ตวแปรตาม

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 2 8

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ข

ก

ก

ข

ค

ข

ค

ก

ก

ข

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 2 9

บรรณานกรม

กนกวล อษณกรกล, รณชย มำเจรญทรพย. แบบฝกหดและประเมนผลการเรยนรคณตศาสตร

เพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4-6 เลม 5. กรงเทพมหำนคร: เดอะบกส จ ำกด, 2555.

สถำบนสงเสรมกำรสอนวทยำศำสตรและเทคโนโลยกระทรวงศกษำธกำร. หนงสอเรยนสาระการ

เรยนรเพมเตม คณตศาสตร ชวงชนท 4-6 เลม 5 ชนมธยมศกษาปท 6. พมพครงท 1.

กรงเทพมหำนคร : โรงพมพสกสค. ลำดพรำว, 2553.

สมย เหลำวำนชย, พชพรรณ เหลำวำนชย. คณตศาสตร ม.6 เลม 5. กรงเทพมหำนคร:

ไฮเอดพบลชชง จ ำกด, ม.ป.ป.

จกรนทร วรรณโพธกลำง. คมอสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร ม.6 เลม 1.

กรงเทพมหำนคร: พ.ศ.พฒนำ จ ำกด, 2552.

“________________”. เทคนคสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร Pure Pure ม.6.

กรงเทพมหำนคร: พ.ศ.พฒนำ จ ำกด, 2552.

“________________”. คมอสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร ม.4-6 เลม 5.

กรงเทพมหำนคร: พ.ศ.พฒนำ จ ำกด, 2554.

ธนวฒน (สนต) สนทรำพรพล. แบบฝกทกษะและวธคดเรวคณตศาสตรเพมเตม ม.4-6 เลม 5

หลกสตรใหม แกนกลาง 2551. นนทบร: ธรรมบณฑต, ม.ป.ป.

ค ว า ม ส ม พ น ธ เ ช ง ฟ ง ก ช น ร ะ ห ว า ง ข อ ม ล 2 9

ณรงค ปนนม, อ.จนดำ อยเปนสข. คมอ-เตรยมสอบคณตศำสตรเพมเตม ม.6 เลม 1

ชวงชนปท 4 (ม.4-ม.6) กรงเทพมหำนคร: ภมบณฑต, ม.ป.ป.

ทรงวทย สวรรณธำดำ. แบบฝกคณตศาสตรเพมเตม ชวงชนท 4 ม.6 ภาคเรยนท1.

กรงเทพมหำนคร: แมคจ ำกด, 2549.

“________________”ขยนกอนสอบ คณตศาสตรพนฐานและเพมเตม ม.6. กรงเทพมหำนคร:

แมคจ ำกด, 2551.

กรมวชำกำร. การสอนทเนนนกเรยนเปนศนยกลาง. กรงเทพมหำนคร: โรงพมพครสภำ

ลำดพรำว, 2540.

“_______”. การจดการเรยนรแบบรวมมอ. กรงเทพมหำนคร: โรงพมพกำรศำสนำ,

2543.

“_______”. หลกสตรคณตศาสตร. กรงเทพมหำนคร: โรงพมพครสภำ ลำดพรำว,

2546.

จ ำรส อนสม. คมอคณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 6 ภาคเรยนท 1. กรงเทพมหำนคร:

แมคจ ำกด, 2547.

ด ำรงค ทพยโยธำ. คมอตดตวเลอกคณตศาสตร ม.6 สรปเนอหาคณตศาสตร ม.6.

กรงเทพมหำนคร: จฬำลงกรณมหำวทยำลย, 2543.

อเนก หรญ. คณตศาสตร 016. กรงเทพมหำนคร: ฟสกสเซนเตอร , 2539.