แบบฝึกแบบฝึกท ักษะทักษะ

โรงเร ียนประภสัสรร ังส ิต อ ำำเภอ เมอืง จ ังหว ัดพทัล ุง

ว ิชำคณิตศำสตร ์สำระกำรเร ียนร ู้เพ ิ่ม

เต ิม โดย คร ูนงลกัษณ์ โดย คร ูนงลกัษณ์

ผ่องส ุวรรณ ผ่องส ุวรรณ

ชัน้มธัยมศึกษำปที ี่ 3

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

Text4

Text5 ให้คล ิกเมำ้ส ์ หร ือEnter

ว ิธใีช ้

ใช้ส ำำหร ับเล ื่อนสไลด์

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

Text4

Text5เศษส่วนของพหุนำม

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

สวัสดีคะ่ นักเรียน วันนี้เรำมำศึกษำ เรื่อง เศษส่วน

ของพหุนำมพร้อมทำำแบบฝึกท ักษะ

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

ศกึษำคำำช ี้แจงถ ึงว ิธ ีกำรใช้แบบ ฝึกทกัษะ ว ิชำ คณิตศำสตร ์

เร ื่อง เศษส่วนของพหุนำม และปฏบิ ัต ิตำมอยำ่งเคร ่งคร ัด

1

เตร ียมอ ุปกรณ์กำรเร ียนใหพ้ร ้อม2

ปฏบิ ัต ิตำมกิจกรรมใหค้รบถ้วน3

ต้องตรงต่อเวลำ4

ศึกษำตัวอยำ่งใหเ้ข ้ำใจ5

บทบำทของบทบำทของนักเรยีนนักเรยีน

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

นิพจน์ท ี่สำมำรถเข ียนให้อย ู่ใน ร ูปกำรค ูณของค่ำคงต ัว กับต ัวแปรตั้งแต ่หนึ่งต ัว ข ึ้นไปโดยที่

เลขชี้ก ำำล ังของต ัวแปรแต่ละต ัวเป ็นศ ูนย ์ หรือเป ็นจ ำำนวนเต ็มบวก เร ียกว ่ำ เอก

นำม

นิพจน์ท ี่สำมำรถเข ียนในร ูปเอก นำม หรือสำมำรถเข ียนใน

ร ูปกำรบวกของเอกนำมตั้งแต ่สองเอกนำม ขึ้นไป เร ียกว ่ำ พหุนำม

ก่อนอ ืน่ นักเร ียนตอ้งทบทวนควำมหมำยของเอกนำมและพหุนำม

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

อัตรำสว่นของพืน้ท ีผ่ ิวล ูกบำศก์ท ีม่ ีด ้ำนยำวด้ำน ละ x หนว่ย ต่อปร ิมำตรของลูกบำศกน์ ี้เทำ่กบั

3

26

x

x

ซึง่เป ็นกำรหำรพหนุำมดว้ยพหนุำม ผลหำร ของพหนุำมสองพหนุำมเร ียกว ่ำ เศษส่วน

ของพหนุำม

x หน่วย

x หน่วย

x หน่วย

ลูกบำศก์ล ูกหนึ่งม ีควำมยำวของด้ำนแต่ละด ้ำน x หน่วย26x3x

26x

พื้นท ี่ผ ิวของล ูกบำศก์ล ูกน ี้ตำรำงหน่วยปร ิมำตรของล ูกบำศก์น ี้ล ูกบำศก์หน่วยเร ี

ยก

และ

ว ่ำน ิพจน์

3x

อ่ำนส ักนิด

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

ในกรณีท ีเ่ศษส่วนนัน้ต ัวเศษหรือต ัวสว่น ไมใ่ช ่พหนุำม เศษส่วนนัน้จะไมเ่ป ็นเศษส่วน

ของพหนุำม เช่น135x +

yx4− 2

1

xy2yx +−

, ,

ศึกษำ ให้

เขำ้ใจ

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

567273

21272113

××

2121

2713 ×

12713 ×

2713

=

=

=

=

เป ็นเศษส่วนอยำ่งต ำ่ำ เน ื่องจำกไมม่จี ำำนวน ใดมำหำร 13 และ 27 ไดล้งต ัว

นอกจำก 1 และตัวมนัเอง

2713

กำรทำำให้เปน็เศษสว่นอยำ่งต ำ่ำกำรทำำให้เปน็เศษส่วนอยำ่งต ำ่ำ

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

นักเร ียนควรจดบนัท ึกไว ้น ักเร ียนควรจดบนัท ึกไว ้

ถ้ำ a, b, c เปน็จ ำำนวนใด ๆ ที่ b ≠ 0 และ c ≠ 0 ดังน ั้น

ถ้ำ a, b, c เปน็จ ำำนวนใด ๆ ที่ b ≠ 0 และ c ≠ 0 ดังน ั้น

ba

bcac =

จำำ จำำ จำำ

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

จ ุดประสงค ์กำรเร ียนร ู้

แบบฝึกท ักษะที่ เร ื่อง กำรด ำำเน ินกำรของ

เศษส่วนของพหุนำม

นกัเร ียนสำมำรถเข ียนแสดง เศษสว่นของพหุนำม และร ูป

อย ่ำงง ่ำยของเศษสว่นของพหุนำมได้

1

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

จงเขยีนในร ูปอยำ่งงำ่ย

1.

3)y(y6y

+

3yx3y)2(x

−−

3)2)(x(x4)3)(x(x

+−−+

5x25x2

+−

4x16x2

−−

9xx24x

3−+ 1

5)2)(x(x5x

−−−

22

mmnn)(m

−−

22

3n)(3m2n)(2m

−−

2

22

y)(xyx

−−

2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

คำำส ัง่

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

เมื่อมี P, Q, R และ S เปน็พหุนำม โดยที่ Q ≠ 0 และ S ≠ 0 จะได้ว่ำ

นิยมเขียนผลคณูให้เปน็เศษส่วนของพหุนำมในรูปผลสำำเร็จ

SQRP

SR

QP

××=×

หลักเกณฑ์กำรค ูณเศษส่วนของพหุนำมหลักเกณฑ์กำรค ูณเศษส่วนของพหุนำม

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

ตัวอยา่ง

จงหาผลคูณของ52y1624y9y2

++− กั

บ125y3y1514y8y

2

2

+−−

−+

ว ิธ ีท ำา 52y1624y9y2

++− × =

125y3y1514y8y

2

2

+−−

−+5)(2y

16)24y(9y2+

+−

12)5y3y15)14y(8y

2

2

+−−

−+

(

= 3)4)(y1)(3y5)((2y3)5)(4y(2y4)(3y 2

+−−+−+−

=

=

3)1)(y(3)4)(4y(3y

+−−−

3y3)4)(4y(3y

−−−−

3y3)4)(4y(3y

−−−−ตอ

บหรือ

3y1225y12y2

−−+−

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

นกัเร ียนสามารถคณูเศษส่วนของ พหุนาม และเข ียนผลลัพธ ์

เปน็เศษส่วนของพหุนามในร ูปผลสำาเร ็จได ้

แบบฝึกท ักษะที่

2

เร ื่อง การค ูณเศษส่วนของพหุนามจ ุดประสงค ์การเร ียนร ู้

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

จงหาผลคณูของเศษสว่นของพหุนามต ่อไปนี้ 1. 1y

7y4

+×

2. 3x4x

2xx 2

+−×

+

2n6mn

2mn3m

−− ×

4.

2n1

3n65nn2

−++− ×

3.

5. 62x2x

4x124x

−−×

+−

4x4x

20xx16x

22

−+

−−− ×

6.

7. 2x

x3x4x2x2

−+− ×

143x2x494x

21x6x8x

22

23

−−−

++ ×

5x4x

16x107xx

22

−+

−+− ×

10.

8.9.

คำาส ัง่

8)2(y6)y(y8y

3y6)2(y3)y(y

−−−−

+−+− ×

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

หลกัเกณฑ์การหารเศษส่วนของพหุนาม

เม ือ่ม ี P, Q, R และS เปน็พหุนาม

โดยที่ Q ≠ 0, R ≠ 0 และ S ≠ 0 จะได้ว ่า

RQ

SP

S

R

Q

P

××=÷

นิยมเข ียนผลหารใหเ้ป ็นเศษสว่นของพหนุามในรูปผลสำาเร ็จ

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

จงหาร 12x4x6x5x

2

2

−++−

ด้วย 6x27x3

+−

ว ิธที ำา 12x4x6x5x

2

2

−++− ÷ 6x

27x3

+− = 12x4x

6x5x2

2

−++−

27x6x

3 −+×

)9x3x)(3x(6x

)2x)(6x()3x)(2x(

2 ++−+×−+

−−

9x3x1

2 ++

9x3x1

2 ++

=

=

ตอบ

ตัวอยา่ง

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

นักเร ียนสามารถหารเศษสว่นของพหุนามและเข ียนผลลัพธเ์ปน็เศษสว่นของพหุนามในร ูปผล

สำาเร ็จได ้

แบบฝึกท ักษะที่

3

การหารเศษส่วนของพหุนามจ ุดประสงค ์การเร ียนร ู้

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

จงหาผลลัพธต์ ่อจงหาผลลัพธต์ ่อไปนี้ไปน ี้

2

23

nm

2nm ÷−

22

x32x

x94x +÷−

4b126a

b44aa

22 −÷+−

12xb3a

6xyb24a 22

3÷

−

4b4a8d8c

bad2cdc

2222

+−+÷

−++

12mnm

3n3mnm 22 −÷

+−

1aa45aa

1a1a

22

23

++++÷

−−

42xx5xx

64x103xx

22

62

++−÷

−−−

( )22

22

33

2

322

223

y3xy9x4yx

y27x2yx

2y5xyy3x4xyy4xx

+−−+

−−++ ×

+÷

คำาส ัง่

1. 2. 3.

5.

4.

6. 7. 8. 9. 10.

6a2a49a

a7a

22

−−÷−

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

หลักเกณฑ์การบวกเศษส่วนของพหุนาม

เมือ่ P, Q และ R เป็นพหนุาม โดยที่ Q ≠ 0 จะได้ว่า

QRP

QR

QP +=+

นยิมเขียนผลบวกทีไ่ด้ ใหเ้ป็นเศษส่วนของพหุนาม

ในรูปผลสำาเร็จ

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

จงหาผลบวกของ 72xxx10

2 −− 16x25+กับ

72xxx10

2 −−ว ิธ ีท ำา

+ 16x25+ =

=

=

=

)8x(25

)8x)(9x(x10

+++−

)8x)(9x(2)9x(5

)8x)(9x(2)x10(2

+−−++−

)8x)(9x(245x5x20

+−−+

)8x)(9x(245x25

+−−

)8x)(9x(245x25

+−−ตอ

บ

ตัวอยา่ง

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

แบบฝึกท ักษะที่

4

การบวกเศษส่วนของพหุนามจ ุดประสงค ์การเร ียนร ู้

นกัเร ียนสามารถบวกเศษสว่น ของพหุนาม และ

เข ียนผลลัพธ ์เปน็เศษสว่นของพหุนามในร ูปผลสำาเร ็จได ้

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

จงหาผลลัพธ์

2xx63x

22x5x

2- −+++ +

25x

314x −+− yx

5yx

4−

++

1)a(a1

1aa

−+

−

2xx4

2x6x

+−+

+−

คำาส ัง่

1.

2.

3.

4.

5.

พยายามหน่อยนะ

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

เมื่อ P, Q และ R เปน็พหุนามโดยที่ Q ≠ 0 จะได้ว่า

QRP

QR

QP −=−

นิยมเขียนผลลบที่ได้ ให้เปน็เศษสว่นของพหุนามในรูปผลสำาเร็จ

หลักเกณฑก์ารลบเศษส่วนของพหุนาม

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

ว ิธที ำา

จงลบ 8x7xxx

2

2

−+− ด้วย 64x

x5x52

2

−+

8x7xxx

2

2

−+−

64xx5x5

2

2

−+

)8x)(8x(x5x5

)8x)(1x()1x(x 2

−++−+−

−

)8x)(8x(x5x5

8xx 2

−++−+

)8x)(8x(x5x5

)8x)(8x()8x(x 2

−++−−+

−

)8x)(8x()x5x5()8x(x 2

−+−−−

)8x)(8x(x5x5x8x 22

−+−−−

)8x)(8x(x13x4 2

−+−−

ตอบ

)8x)(8x(x13x4 2

−+−−

=

=

=

=

=

=

-

ตัวอยา่ง

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

นกัเร ียนสามารถลบเศษสว่น ของพหุนาม และ

เข ียนผลลัพธเ์ปน็เศษสว่นของพหุนามในร ูปผลสำาเร ็จได ้

แบบฝึกท ักษะที่

5

การลบเศษส่วนของพหุนาม

จ ุดประสงค ์การเร ียนร ู้

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

จงหาผลลัพธต์ ่อไปนี้

53x

10x32y

−+

xy-x

xy3

−−

34x1

34x1

+−

−

3x5y

3x4

+−

+

abxy

bayx

−−−

−−

16y32

4yy

2−−

+

36y3y22y

33y3y

2 +−−−

−+

aa24a

aa12a

aa12a

322 −+−

+−+

−+

6x1

36x6x

2 −−

− −

6xx32x

3x3

9x9x

22 −−−÷

−−

−

1.2.3.4.5.

6.7.8.9.

คำาส ัง่

10.

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

สมการเศษสว่นของพหุนาม คอื สมการซึ่งอย ู่ในร ูปเศษสว่น ของพหุนาม การแก้สมการเศษสว่นของพหุนาม ใชห้ลกัการคลา้ยก ับ

การแก้สมการ ในการแก้สมการเศษสว่นของพหุนาม สามารถใชห้ลกัการแก้สมการ

คลา้ยกับการแก้สมการทั่วไป โดยอาจจะใชห้ล ักการกำาจ ัดคา่ต ัวต ัวสว่น ของเศษสว่นของพหุนาม ซึ่งใชห้ล ักการคณูทั้งสองข้างของสมการ ด้วย

ค .ร .น . ของต ัวสว่น เพ ื่อให ้อย ู่ในร ูปสมการทั่วไป แล ้วใชส้มบตักิารเท ่าก ัน และการดำาเนนิการอ ืน่ ๆ ในการหาคำาตอบของสมการ

สมการเศษสว่นของพหุนาม

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

นกัเร ียนสามารถแก้สมการเก ี่ยวก ับเศษสว่น

ของพหุนามได้

แบบฝึกท ักษะที่

6

การแก้สมการเศษส่วนของพหุนาม

จ ุดประสงค ์การเร ียนร ู้

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

จงแก้สมการ

x1x

1x1x −=−

+

ว ิธ ีท ำา

x1x

1x1x −=−

+

ค.ร.น. ของ x - 1 และ x คอื x (x - 1) จะได้ x (x -

1)1)(x1)(x

−+ x (x -

1)

−x1)(x

x (x + 1) = (x - 1)(x - 1)

=

x2 + x = x2 - 2x + 1 x = 3

1

คำาส ัง่

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

ตรวจคำาตอบ

31

1x1x

−+

x1x− แทนค่า x

= และ

3234

131

131

−−

+= )2

3(34 −×

3132

3113

1 −=

−

13

32×−

จะไ ด ้

= = -2

= -2

ดังน ั้น ค ำาตอบของสมการคือ x = 31

และ

=

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

ตัวสว่นของเศษสว่น ของพหุนาม แต่ละ

เศษสว่นของพหุนาม จะต ้องไม ่เปน็ศ ูนย ์

ข้อสงัเกต

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

คำาส ัง่ จงแก้สมการในข้อต่อไปนี้

m12m

1m2m −=

+

2y34

y1

31 =+

33y4

12y4 =

+−− เมื่อ y ≠ -3, 2

1

34x24

16x12

2=

−−

−

8x4

482xx3x

6x5

2 +=

−+−

−

11

22

33

44

55

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

ข้อควรระวัง

ในการนำาพหุนามมา คูณ หรือหารทัง้สอง

ข้างของสมการ เพ ือ่ให ้ต ัวส ่วนของแต่ละเศษสว่นของพหุนาม

เปน็ 1 พหุนามเหล ่าน ั้นต ้องไม ่เปน็ศ ูนย ์

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

นักเร ียนสามารถแก้สมการเก ี่ยวก ับเศษสว่นของพหุนาม

แบบฝึกท ักษะที่

7

จ ุดประสงค ์การเร ียนร ู้การแก ้สมการเก ี่ยวก ับเศษส่วนของพหุนาม

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

จงแก้สมการในข้อต่อไปนี้

4t4t

t2t

2t2

22

−+=

−−

+

22t1

1t2

1tt

2 −=

++

−

87xx9x

8x8

1xx

2 −−−

−=

+

2x2x

2xx =++−

19x30

3x5

2 =−

−−

คำาส ัง่

11

22

33

44

55

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

เก ่งมากค่ะพหุนามที่น ำามา คูณ ทั้งสองข้าง

ของสมการต้องไม ่เป ็นศ ูนย ์

ใช่ไหมคะ

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

การแก้ป ัญหาเก ี่ยวก ับเศษสว่นของพหุนาม

ตัวอย ่าง

จงหาจำานวนหนึ่งท ี่หารด ้วยเก ้าแล ้ว เท ่าก ับ จ ำานวนนั้นลบด้วยแปดสิบ

ว ิธ ีท ำา

ให้จำานวนจำานวนหน่ึง คือ x

เขยีนเป็นสมการ 80x9x −=

คูณทั้งสองข้าง สมการด้วย 9 )80x(9

9x9 −=

x = 9x - 7208x =

720x = 90

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

ตรวจคำำตอบ

แทนค่ำของ x = 90 ใน 9x และ x

- 80

จะได้ 10990= และ 90 – 80

= 10

ดังน้ัน จำำนวนน้ัน คือ 90

ตอบ จำำนวน น้ัน คือ 90

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

หลักกำรแก้โจทย์ป ัญหำ

ข้ันที่ 1 ข้ันที่ 2 ข้ันที่ 3 ข้ันที่ 4

ขั้นท ี่ 1 ขั้นท ี่ 2 ขั้นท ี่ 3 ขั้นท ี่ 4พิจำรณำ

สิ่งท ี่โจทยก์ ำำหนดแล้วก ำำหนดค่ำต ัวแปร

เขยีนแสดงควำมส ัมพ ันธ ์จำกโจทยก์ ำำหนดในร ูปสมกำร

ใช้หล ักกำรแก้สมกำร

เศษส่วนของพหนุำม

ตรวจสอบคำำตอบ

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

กระบวนกำรแก้ป ัญหำของโพลยำ

ขั้นท ี่ 4 กำรตรวจสอบผล (Looking Back)

ขั้นท ี่ 3 กำรดำำเน ินกำรตำมแผน (Carrying out the Plan)

ขั้นท ี่ 2 กำรวำงแผนกำรแกป้ ัญหำ (Devising a Plan)

ขั้นท ี่ 1 กำรทำำควำมเข ้ำใจปัญหำ (Understanding the Problem)

ม ี มี 4 4 ขั้นตอนขั้นตอน

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

นักเร ียนสำมำรถแก้โจทย์ปญัหำ เก ี่ยวก ับสมกำรเศษสว่น ของ

พหุนำมได้

แบบฝึกท ักษะที่

8

จ ุดประสงค ์กำรเร ียนร ู้กำรแก ้โจทย์ป ัญหำเก ี่ยวกบัเศษส่วนของพหุนำม

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

จงแสดงวิธทีำำโดยแสดงขั้นตอนให้ชัดเจน

สองเทำ่ของจ ำำนวนหนึง่บวกสี่ แล้วหำรสำม

เทำ่กบั จ ำำนวนนั้นลบเจ ็ด จ ำำนวนนัน้มคี ่ำเทำ่ไร

อำร ีมสีำรเคมชีน ิดหนึง่จ ำำนวน0.2 ลิตร

สำรนีม้คีวำมเข ้มข ้น 16 โมลต่อล ิตรถ ้ำอำร ีต ้องกำรทำำใหส้ำรเคมนี ี้เจ ือ

จำงลง โดยใหม้คีวำมเข ้มข ้นเพยีง12 โมลต่อล ิตร อำร ีจะต ้องเต ิมน ำ้ำลงในสำรเคมนี ีเ้ทำ่ไร นำ้ำปรมิำตรของมสำรเคมีเดิปรมิำตรของ

รเคมีนี้นเดิมของสำควำมเข้มข้รนใหม่ของสำควำมเขม้ข้+

=

คำำส ัง่

11

22

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

นักเร ียนสำมำรถแก้โจทยป์ญัหำ เก ี่ยวก ับสมกำรเศษส่วน

ของพหุนำมได้

แบบฝึกท ักษะที่

9

จ ุดประสงค ์กำรเร ียนร ู้

กำรแก ้โจทย์ป ัญหำเก ี่ยวก ับเศษส่วนของพหุนำม

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

จงแสดงวิธีทำำ

รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ำมีพื้นที่ 6x2 + 7x - 5 ตำรำงเซนติเมตร ยำว 3x + 5 เซนติเมตร กว้ำง 13

เซนติเมตรรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ำมีพื้นที่เท่ำไร

ค ำำส ัง่

11

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

จงแสดงวธีิทำำ กำรพำยเรือระยะทำง 32 กิโลเมตร

ขำไปพำยเรือตำมนำ้ำ ขำกลับพำยเรือทวนนำ้ำ กระแสนำ้ำมี

อัตรำเร็ว 4 กิโลเมตรต่อชั่วโมง พำยเรือไปและกลับรวมเวลำ 6 ชัว่โมง

พำยเรือในนำ้ำนิ่งอัตรำเร็วเท่ำใด แนวคดิ พำยเรือในนำ้ำนิ่งอัตรำเร็ว x

กิโลเมตรต่อชัว่โมง กระแสนำ้ำมีอัตรำเร็ว

4 กิโลเมตรต่อชัว่โมง พำยเรือตำมนำ้ำอัตรำเร็ว x

+ 4 กิโลเมตรต่อชั่วโมง พำยเรือทวนนำ้ำอัตรำเร็ว x - 4

กิโลเมตรต่อชัว่โมง

ค ำำส ัง่

22

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

อัตรำเร ็วของเร ือท ีพ่ำยในนำ้ำน ิง่ = อัตรำเร ็วของเร ือ

อ ัตรำของเร ือท ีพ่ำยตำมนำ้ำ = อัตรำเร ็วของเร ือ + อัตรำเร ็วของกระแสนำ้ำ

อัตรำเร ็วของเร ือท ีพ่ำยทวนนำ้ำ = อัตรำเร ็วของ เร ือ - อัตรำเร ็วของกระแสนำ้ำ

ข้อควรจ ำำ

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

ฝ่ำยนวัตกรรมกำรเรียนรู้. 2550. สุดยอดคู่ม ือคร ู แผนกำรจ ัดกำรเร ียนร ู้รำยชั่วโมง Backward Design คณิตศำสตร ์เพ ิ่มเต ิม ม .3 เล ่ม 2 กลุ่มสำระกำรเร ียนร ู้คณิตศำสตร ์ ชั้นม ัธยมศึกษำปีท ี่ 3 ตำมหลักส ูตรกำรศ ึกษำขั้นพ ื้นฐำน พุทธศ ักรำช 2544. กรงุเทพมหำนคร : สำำนักพิมพ์ บริษัทคุณภำพวิชำกำร(พว.) จำำกัด.

ยุพิน พิพิธกลุ และสิริพร ทิพย์คง. 2550. ชุดก ิจกรรมพัฒนำคิดว ิเครำะห์ เสร ิมสร ้ำงค ุณธรรม จร ิยธรรม และค ่ำน ิยมที่ด ีงำม คณิตศำสตร ์เพ ิ่มเต ิม กล ุ่มสำระกำรเร ียนร ู้คณิตศำสตร ์ ชั้นม ัธยมศึกษำปีท ี่ 3 ตรงตำมหลักส ูตรกำรศ ึกษำขั้นพ ื้นฐำน พุทธศกัรำช 2544. กรงุเทพมหำนคร : สำำนักพิมพ์ บริษัทพัฒนำคุณภำพวิชำกำร(พว.) จำำกัด.

หนงัสอือ ้ำงอ ิง

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

ส่งเสริมกำรสอนวทิยำศำสตร์และเทคโนโลยี, สถำบัน. 2549. คู่ม ือคร ูสำระกำรเร ียนร ู้คณิตศำสตร ์ เพ ิ่มเต ิม คณิตศำสตร ์ เล ่ม 2 กลุ่มสำระกำรเร ียนร ู้คณิตศำสตร ์ ช ั้นม ัธยมศึกษำปีท ี่ 3 ตำม หลักส ูตรกำรศ ึกษำขั้นพ ื้นฐำน พุทธศ ักรำช 2544. กรุงเทพมหำนคร : โรงพมิพ์คุรุสภำ ลำดพร้ำว.ส่งเสริมกำรสอนวทิยำศำสตร์และเทคโนโลยี, สถำบัน. 2549. หนังส ือสำระกำรเร ียนร ู้คณิตศำสตร ์ เพ ิ่มเต ิม คณิตศำสตร ์ เล ่ม 2 กลุ่มสำระกำรเร ียนร ู้คณิตศำสตร ์ ช ั้นม ัธยมศึกษำปีท ี่ 3 ตำม หลักส ูตรกำรศ ึกษำขั้นพ ื้นฐำน พุทธศ ักรำช 2544. กรุงเทพมหำนคร : โรงพมิพ์คุรุสภำ ลำดพร้ำว.

หนงัสอือ ้ำงอ ิง

นงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

นำงนงล ักษณ์ผ ่องส ุวรรณ

ติดต ่อ 0843546546 หรือ 0836466467

ครุศำสตรบัณฑิต (ค .บ .) ว ิชำเอกคณิตศำสตร ์ จำกว ิทยำล ัยคร ูสงขลำ จังหว ัดสงขลำ ครุศำสตรมหำบัณฑิต (ค .ม .) สำขำหลักส ูตรและกำร

สอน จำกมหำว ิทยำล ัยรำชภัฎสงขลำจังหว ัดสงขลำ

ประว ัต ิกำรศกึษำ

ปัจจ ุบ ัน ครู ว ิทยฐำนะ ครูช ำำนำญกำรพิเศษ โรงเร ียน ประภัสสรร ังส ิต จ ังหว ัดพัทล ุง

และกรรมกำรกำรประเม ินผลงำนที่เก ิดจำกกำรปฏิบ ัต ิ หน้ำท ี่ ส ำำหร ับว ิทยฐำนะคร ูช ำำนำญกำรพิเศษ

สำยกำรสอน จำก อ .ก .ค .ศ . เขตพื้นท ี่กำรศ ึกษำสตูล , สงขลำ , ตรัง และพัทล ุง

ประว ัตกิำรทำำงำน

แบบฝึกแบบฝึกท ักษะทักษะ

โรงเร ียนประภสัสรร ังส ิต อ ำำเภอ เมอืง จ ังหว ัดพทัล ุง