สถตเบ�องตน

ชยานนท ฮมแสน กศ.ม. (การวจยการศกษา)

สานกวชาศกษาท�วไป มหาวทยาลยราชภฏอดรธาน

2559

คานา ตาราเลมน� ไดเรยบเรยงข�น เพ�อใชประกอบการเรยนการสอนในรายวชาการคด และการตดสนใจ (GE40003) และรายวชาสถตเบ�องตน (ST11118) ตามหลกสตรของมหาวทยาลย ราชภฏอดรธาน หรอผท�สนใจศกษาคนควา โดยเน�อหาเลมน�ไดแบงออกเปน 6 บท ซ�งประกอบดวย เน�อหาตางๆ คอ ความรพ�นฐานทางสถต การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง และการวดการกระจาย ของขอมล ความนาจะเปน การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสม การประมาณคา และการทดสอบสมมตฐาน ผเรยบเรยงไดใชความร และการศกษาคนควาเพ�มเตมจากหนงสอหลายเลม โดยมงเนน ใหนกศกษา และผสนใจศกษาคนควาเขาใจมากท�สด หวงวาตาราเลมน�จะเปนประโยชนสาหรบผอานในการศกษาคนควาเร�องดงกลาวไมมากกนอย ผเรยบเรยงขอขอบพระคณผเขยนหนงสอทกเลม ท�ไดถกนามาอางองดงปรากฏไวในบรรณนานกรมทายเลม พรอมท �งขอขอบพระคณ ผชวยศาสตราจารยศภศกด � บตรดสวรรณ และผชวยศาสตราจารยพฒนาภรณ ชยประเสรฐ ท�ไดใหคาแนะนาท�เปนประโยชนจนตาราเลมเลมสาเรจลลวงดวยด

ชยานนท ฮมแสน พฤษภาคม 2559

(1)

(3)

สารบญ

หนา คานา (1) สารบญ (3) บทท� 1 บทนา 1 ความหมาย 1 ประเภท 1 ประชากรและตวอยาง 2 ขอมล 3 ประเภทของขอมล 4 ระดบการวดของขอมล 5 ระเบยบวธทางสถต 5 การเกบรวบรวมขอมล 6 เคร�องมอท�ใชในการเกบรวบรมขอมล 7 การนาเสนอขอมล 8 การแจกแจงความถ� 15 บทสรป 27 แบบฝกหดบทท� 1 28

บทท� 2 การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง และการวดการกระจายของขอมล 29 การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง 29 คาเฉล�ยเลขคณต 29 มธยฐาน 38 ฐานนยม 41 การวดการกระจาย 44 พสย 44 สวนเบ�ยงเบนควอรไทล 45 สวนเบ�ยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวน 49 ความสมพนธระหวางคาเฉล�ยกบสวนเบ�ยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวน 63

สมประสทธ �ของการแปรผน 64 บทสรป 65

สารบญ (ตอ)

หนา

แบบฝกหดบทท� 2 66

บทท� 3 ความนาจะเปน 69 ความนาจะเปน 69 การทดลองสม 69 เหตการณ 69 การนบจดตวอยาง 71 การคานวณหาความนาจะเปน 76 กฎความนาจะเปน 82 ความนาจะเปนแบบมเง�อนไข 83 เหตการณท�เปนอสระตอกน 85 ความนาจะเปนรวม 88

กฎของเบย 89 บทสรป 90 แบบฝกหดบทท� 3 92

บทท� 4 การแจกแจงความนาจะเปนตวแปรสม 93 ตวแปรสม 93 การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสม 93 การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมไมตอเน�อง 93 คาคาดหมายและคาความแปรปรวนของตวแปรสมไมตอเน�อง 95 การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมไมตอเน�องบางชนด 98 การแจกแจงเอกรป 98 การแจกแจงแบรนลล 99 การแจกแจงเรขาคณต 100 การแจกแจงทวนาม 101

การแจกแจงปาสคาล 102 การแจกแจงเรขาคณตไฮเพอร 103 การประมาณการแจกแจงเรขาคณตไฮเพอรดวยการแจกแจงทวนาม 104

(4)

(5)

สารบญ (ตอ)

หนา การแจกแจงปวซง 105

การประมาณการแจกแจงทวนามดวยการแจกแจงปวซง 106 การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมตอเน�อง 107 คาเฉล�ย และคาความแปรปรวนของตวแปรสมตอเน�อง 108 การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมแบบตอเน�องบางชนด 110 การแจกแจงปรกต 110 การประมาณการแจกแจงทวนามดวยการแจกแจงปรกต 115 การประมาณการแจกแจงปวซงดวยการแจกแจงปรกต 116 การแจกแจงท 117 การแจกแจงไคกาลงสอง 119 การแจกแจงเอฟ 120 บทสรป 122 แบบฝกหดบทท� 4 123

บทท� 5 การประมาณคา 125 แบบของการประมาณคา 125 คณสมบตของตวประมาณคาท�ด 125 ทฤษฎบทขดจากดสวนกลาง(ซทแอล) 126 การประมาณคาเฉล�ยของประชากร 1 กลม 126 การประมาณคาเฉล�ยของประชากร 2 กลม 129 การกาหนดขนาดของกลมตวอยางท�เหมาะสมในการหาคาเฉล�ย 134 การประมาณคาสดสวนของประชากร 1 กลม 135

การประมาณคาสดสวนของประชากร 2 กลม 137 การกาหนดขนาดของกลมตวอยางท�เหมาะสมของสดสวน 138

การประมาณคาความแปรปรวนของประชากร 1 กลม 139 การประมาณคาอตราสวนความแปรปรวนของประชากร 2 กลม 140

บทสรป 142 แบบฝกหดบทท� 5 143

สารบญ (ตอ)

หนา บทท� 6 การทดสอบสมมตฐาน 145 ความหมายของสมมตฐาน 145 การต �งสมมตฐานทางสถต 145 ความผดพลาดในการทดสอบสมมตฐาน 146 เขตปฏเสธ และคาวกฤต 147 การทดสอบดานเดยว และการทดสอบสองดาน 148 ข �นตอนการทดสอบสมมตฐาน 149 การทดสอบคาเฉล�ยของประชากร 1 กลม 150 การทดสอบคาเฉล�ยของประชากร 2 กลม 154 การทดสอบคาเฉล�ยของประชากร 2 กลมท�มขอมลของกลมตวอยาง 162 ไมเปนอสระตอกน การทดสอบคาสดสวนของประชากร 1 กลม 165 การทดสอบผลตางคาคาสดสวนของประชากร 2 กลม 166 การทดสอบคาความแปรปรวนของประชากร 1 กลม 169 การทดสอบคาอตราสวนความแปรปรวนของประชากร 2 กลม 170 บทสรป 172

แบบฝกหดบทท� 6 173 บรรณานกรม 175 ภาคผนวก 177 เฉลยแบบฝกหด 179 ตารางท� 1 การแจกแจงทวนาม 182 ตารางท� 2 การแจกแจงปวซง 187 ตารางท� 3 การแจกแจงปกต 190 ตารางท� 4 การแจกแจงท 191 ตารางท� 5 การแจกแจงไคกาลงสอง 192 ตารางท� 6 การแจกแจงเอฟ 196 ดชน 197

(6)

(7)

สารบญรปภาพ

รปท� หนา 1.1 แสดงความสมพนธการใชสถตระหวางประชากร และตวอยาง 2 1.2 แสดงการเลอกตวอยางจากประชากร 3 1.3 รปสมมาตร 25 1.4 รปเบขวา 25 1.5 รปเบซาย 25 1.6 รปตวย 26 1.7 รปตวเจ 26 1.8 รปโคงสองยอด 26 1.9 รปโคงหลายยอด 26 2.1 แสดงตาแหนงคาเฉล�ย คามธยฐาน และคาฐานนยม ในกรณท�มคาขอมลเทากน 43 2.2 แสดงตาแหนงคาเฉล�ย คามธยฐาน และคาฐานนยม ในกรณท�มคาขอมล 43 เอยงเอนไปทางขวา เรยกวา โคงเบซาย 2.3 แสดงตาแหนงคาเฉล�ย คามธยฐาน และคาฐานนยม ในกรณท�มคาขอมล 43 เอยงเอนไปทางซาย เรยกวา โคงเบขวา 3.1 แสดงความสมพนธระหวางเหตการณ A กบเหตการณ B1,B2,B3,…,Bn 89 4.1 แสดงพ�นท�ใตโคงของกราฟเม�อ P(a<X<b) 107 4.2 เสนโคงปรกต 111 4.3 แสดงเสนโคงปรกตเม�อ µ1<µ2 และ σ1= σ2 111 4.4 แสดงเสนโคงปรกตเม�อ µ1=µ2 และ σ1< σ2 111 4.5 แสดงพ�นท�ใตโคงปรกต 112 4.6 แสดงเสนโคงการแจกแจงไคกาลงสองท�องศาเสรตางกน 119 4.7 แสดงเสนโคงการแจกแจงเอฟท�องศาเสรท� 1 และ 2 ตางกน 121 6.1 แสดงเขตปฏเสธและคาวกฤตเม�อ H1: θ > A 148 6.2 แสดงเขตปฏเสธและคาวกฤตเม�อ H1: θ < A 148 6.3 แสดงเขตปฏเสธและคาวกฤตเม�อ H1: θ ≠ A 149

(9)

สารบญตาราง

ตารางท� หนา 1.1 แสดงขอดและขอจากดของประชากรและตวอยาง 3 1.2 แสดงลกษณะท �วไปของตาราง 11

1

บทท� 1 ความรพ�นฐานทางสถต

ในการดาเนนชวตประจาวน มส�งตางๆ ท�ตองทา ตองตดสนใจอยมากมาย ส�งหน�งท�ชวย ในการตดสนใจไดเปนอยางดคอ ”สถต” เชน เอกทางานอยท�กรงเทพมหานคร ตองการจะเดนทางกลบบานท�จงหวดรอยเอด ในชวงเทศกาลสงกรานต ถาไมอยากพบปญหารถตด เอกควรจะหลกเล�ยงการเดนทางในวนท� 11 -13 เมษายน ของทกป เพราะตามสถตรถจะตด มากท�สด ในสามวนน� หรอหากตองการซ�อเคร�องปรบอากาศกควรจะซ�อในฤดรอน เพราะมความตองการซ�อสง ทาใหบรษทท�จาหนาย ตองจดโปรโมช �นสงเสรมการขายเพ�อแขงขนกน เปนตน น�คอลกษณะการนาสถตไปใชในชวตประจาวน ความหมาย

สถต (Statistics) มาจากภาษาเยอรมนคาวา Statistik มรากศพทคาเดยวกบคาวา State

แปลวา “รฐ” มความหมายถงขอมล (Data) หรอขาวสาร ซ�งเปนประโยชนตอการบรหารงานของรฐในดานตางๆ เชน สถตฝนท�ตกในชวงฤดฝนท�ผานมา เพ�อรฐจะไดนาขอมลมาวางแผนการใชน�า เปนตน โดยในความหมายของราชบณฑตยสถาน คาวา สถต คอ หลกฐานท�รวบรวมเอาไว เปนตวเลขเพ�อเปรยบเทยบหรอใชอางอง อาจสรปไดวาคาวา สถต หมายความวา ขอมลสรปท�ไดจากการประมวลผล หรอวเคราะหกลมของขอมลเพ�อใชแสดงลกษณะขอมลของกลมน �น เปนขอเทจจรงท�นาเสนอในรปแบบของตวเลขหรอไมใชตวเลขกได โดยเรยกขอมลเหลาน�วา ขอมลเชงสถต (Statistical Data) โดยในอกความหมาย คอสถตท�อยในรปของศาสตรหรอวชา เรยกวา สถตศาสตร คอวธ การเกบรวบรวมขอมล การนาเสนอขอมล การวเคราะหขอมล และการตความหมายของขอมล ประเภท สถตแบงเปน 2 ประเภท คอ

1. สถตเชงพรรณนา (Descriptive Statistics) คอวธการเชงสถตท�สรปสาระสาคญของขอมลชดหน�งเพ�ออธบายลกษณะหรอสภาพของขอมลน �นวาเปนอยางไร โดยไมใชวธการ เชงความนาจะเปน เชน สรปในเชงตวเลข (คาต�าสด คาสงสด คาเฉล�ย และสวนเบ�ยงเบนมาตรฐาน) สรปดวยแผนภาพหรอแผนภม สรปดวยตวอยาง (พจนานกรมศพทสถตศาสตร:2558) 2. สถตอนมาน (Inferential Statistics) คอ กระบวนการหาขอสรปเก�ยวกบลกษณะ ของกลมขอมลโดยใชขอมลของสมาชกบางสวนของกลมขอมล โดยกลมขอมลท�ศกษาจะเรยกวา

2

ตวอยาง คอ กลมขอมลท�ไดทาการเลอกมาอยางมข �นตอนจากกลมขอมลท �งหมด หรอเรยกวา ประชากร สามารถแบงไดเปน 2 ประเภท คอ 2.1 สถตองพารามเตอร (Parametric Statistics) เปนวธการทางสถตท�มเง �อนไข อย 3 อยาง คอ - ตวแปรท�ตองการจะวดตองอยในมาตรการวดระดบอนตรภาค (Interval Scale) ข�นไป - ขอมลท�ไดจากตวอยางตองอยในรปโคงปกต - ประชากรท�ใชในการศกษาแตละกลมตองมความแปรปรวนเทากน 2.2 สถตไมอางองพารามเตอร (Nonparametric Statistics) เปนวธการทางสถต ท�ไมใชคาพารามเตอร คอ สถตท�ไมมขอตกลงเบ�องตนเก�ยวกบประชากร

รปท� 1.1 แสดงความสมพนธการใชสถตระหวางประชากรและตวอยาง

ประชากรและตวอยาง ประชากร (Population) หมายถง สมาชกทกหนวยของกลมท�สนใจศกษา อาจจะมชวตหรอไมมชวตกได เชน ถาตองการศกษาคาเฉล�ยเงนเดอนของพนกงานในบรษท จานวนประชากร กคอพนกงานท �งหมดของบรษท หรอถาตองการศกษาชนดของปากกาท�นกศกษาใชในหองเรยน ปากกาท �งหมดท�นกศกษาม กคอประชากร โดยจาแนกออกได 2 ลกษณะ คอ 1. ประชากรอนตะ (Finite Population) หมายถง ประชากรท�สามารถนบจานวนได มจานวนจากด เชน จานวนอาเภอในจงหวดอดรธาน จานวนคนงานในโรงงานแหงหน�ง เปนตน 2. ประชากรไมจากด (Infinite Population) หมายถง ประชากรท�ไมสามารถนบได หรอนบไดแตตองใชเวลานาน เชน จานวนเมดฝนท�ตกในฤดฝน ปรมาณกาซคารบอนไดออกไซด ท�ออกจารถยนตในประเทศไทย จานวนเมลดขาวในโรงส เปนตน

คาสถต

ประชากร

คาพารามเตอร

ตวอยาง

สถตเชงพรรณนา สถตเชงพรรณนา

การเลอกตวอยาง

สถตอนมาน

3

ประชากร กลมตวอยาง

ตวอยาง

ตวอยาง (Sample) หมายถง สวนใดสวนหน�งของประชากรท�ไดจากการเลอก (Sampling) เพ�อท�จะไดเปนตวแทนของประชากร ตวอยางท�เลอกมาไดท �งหมด จะเรยกวา กลมตวอยาง ดงแสดงในรปท� 1.2 รปท� 1.2 แสดงการเลอกตวอยางจากประชากร ตารางท� 1.1 แสดงขอดและขอจากดของประชากรและตวอยาง

ขอด ขอจากด ประชากร 1.ไดขอมลครบถวน 1.ใชเวลาในการเกบขอมลมากกวา

2.ใชงบประมาณมากกวา 3.ใชเวลาในการจดกระทาขอมล มากกวา

ตวอยาง 1.ใชเวลาในการเกบขอมลนอยกวา 2.ใชงบประมาณนอยกวา 3.ใชเวลาในการจดกระทาขอมลนอยกวา

1.กลมขอมลท�เลอกมาถาใชวธการ ท�ไมเหมาะสม จะไมสามารถ เปนตวแทนของประชากรได

ขอมล ขอมล (Data) หมายถง ขอเทจจรงซ�งอยในรปของตวเลข หรอไมใชตวเลขกได ใชเพ�อ เปนฐานของการศกษา หรอหาขอสรปในเร�องราวท�สนใจ ขอมลเชงสถต (Statistical Data) หมายถง ขอเทจจรงตางๆ ท�เปนตวเลข หรอไมเปนตวเลขกได ท�ไดมาจากการสงเกต การรวบรวม และการจดบนทกในเหตการณท�สนใจ เชน คะแนนสอบ น�าหนกและความสง สถานภาพสมรส ระดบการศกษา เปนตน

4

ประเภทของขอมล สามารถแบงออกไดเปน 3 ประเภท คอ

จาแนกตามลกษณะของขอมล 1. ขอมลเชงปรมาณ (Quantitative Data) หมายถง ขอมลท�แสดงจานวน หรอขนาดท�สามารถวดคาได เปรยบเทยบได ขอมลประเภทน�มกเปนขอมลท�บอกคาแตละหนวยขอมลเปนตวเลข เชน คะแนนสอบ อณหภม สวนสง น�าหนก รายได รายจาย อาย เปนตน สามารถแบงออกได เปนอก 2 ลกษณะ คอ 1.1 ขอมลแบบตอเน�อง (Continuous Data) หมายถง ขอมลท�มคาอยในชวง ท�กาหนดอยางมความหมาย เชน อาย น�าหนก สวนสง รายได เปนตน 1.2 ขอมลแบบไมตอเน�อง (Discrete Data) หมายถง ขอมลท�มคาเปน จานวนเตม หรอจานวนนบ เชน จานวนสนคา จานวนคน เปนตน 2. ขอมลเชงคณภาพ (Qualitative Data) หมายถง ขอมลท�อยในรปของตวเลข หรอไมอยในรปของตวเลขกได แตไมสามารถคานวณได ไมสามารถระบไดวามคามาก หรอนอยเทาไร แตจะบอกถงคณลกษณะของขอมล เชน เพศ ศาสนา การศกษา หมายเลขโทรศพท ภมลาเนา เปนตน จาแนกตามลกษณะแหลงขอมล 1. แหลงปฐมภม (Primary Source) เปนแหลงขอมลท�ผใช หรอหนวยงานท�สนใจ จะเปนผเกบรวบรวมกบแหลงขอมลโดยตรง ซ�งจะตรงตามความตองการของผใช จะใชเวลา และคาใชจายมาก 2. แหลงทตยภม (Secondary Source) เปนแหลงของขอมลท�มผเกบรวบรวมขอมลไวแลว ผใชหรอหนวยงานท�สนใจนาขอมลท�มอยแลวมาใชไดเลย ขอมลจากแหลงน� ใชเวลา และเสยคาใชจายในการเกบรวบรวมขอมลไมมาก แตบางคร �งรายละเอยดท�ตองการอาจจะไมครบถวน จาแนกตามการจดกระทาขอมล

1. ขอมลดบ (Raw Data) หรอขอมลไมจดกลม (Ungrouped Data) หรอจะเรยกวาขอมลท�ไมมการแจกแจง เปนขอมลท�ยงไมไดมการจดกระทา หรอจดกลม

2. ขอมลจดกลม (Grouped Data) หรอจะเรยกวาขอมลท�มการแจกแจง เปนขอมลดบท�ถกจดกระทาใหมการจดเปนหมวดหม หรอแจกแจงความถ� ซ�งจะทาใหงายตอการคานวณ หรอนาไปใช

5

ระดบการวดของขอมล

จากขอมลท�แตกตางกนตามลกษณะ แหลงท�มาและการจดกระทา อกข �นตอนท�ตองจดกระทากบขอมล คอ ทาการแบงขอมลตามระดบการวด (Scale of Measurement) คอ การแยกแยะขอมล ออกเปนระดบตางๆ โดยจาแนกไว 4 ระดบ คอ 1. มาตรานามบญญต (Nominal Scale) เปนมาตรการวดขอมลในระดบท�ต�าท�สด ไมสามารถบอกไดวาส�งใดดกวา ดอยกวาได แบงไดเพยงประเภท ชนด จานวน เชน สญชาต เพศ สถานภาพ ศาสนา ยกตวอยาง เชน ศาสนา มศาสนาพทธ ศาสนาครสต ศาสนาอสลาม เปนตน ไมสามารถบอกวาศาสนาใดดกวากน เพราะความเช�อแตละคนไมเหมอนกน 2. มาตราเรยงลาดบ (Ordinal Scale) เปนมาตรการวดท�มการวดละเอยดข�น หรอสงกวาการวดระดบนามบญญต คอ สามารถบอกระดบความดกวา ดอยกวาได บอกลาดบกอนหลงได แตไมสามารถบอกปรมาณความแตกตางได เชน ยศตาแหนง ระดบการศกษา ระดบความรสก การประกวด ยกตวอยาง เชน การประกวดนางงามคนท�สวยท�สด คอ คนท�ไดอนดบ ท� 1 สวยรองลงมา คอ อนดบท� 2 สามารถบอกไดวาอนดบท� 1 สวยกวาลาดบท� 2 แตไมสามารถบอกไดวาอนดบท� 1 กบอนดบท� 2 สวยหางกนเทาไร 3. มาตราอนตรภาค (Interval Scale) เปนมาตรการวดท�สามารถบอกคาความตางของขอมลได โดยแตละชวงมคาเทาๆ กน โดยคาท�ไดจากการคานวณในมาตราน�หากคาท�ไดมคาเปนศนย จะเรยกศนยในมาตราน�วาศนยสมมต คอไมใชศนยแท น �นคอสามารถมคาต�ากวา หรอมากกวาได ตวอยางเชน อณหภม 0 องศาเซลเซยส หรอ 0 องศาฟาเรนไฮต เพราะมคาตดลบยกเวน 0 องศาเคลวน เพราะองศาเคลวนไมมอณหภมตดลบ หรอคะแนนสอบถาสอบแลวไดคะแนนคอศนย ไมไดแปลวาไมมความรเลย เชน ระดบเชาวปญญา อณหภม คะแนนสอบ 4. มาตราอตราสวน (Ratio Scale) เปนมาตรการวดขอมลในระดบสงท�สด มการวดโดยแบงคาของส�งท�ตองการวดออกเปนชวงเทาๆ กน เชนเดยวกบมาตราอนตรภาค แตศนยในมาตราน� เปนศนยแท (Absolute Zero) คอ ศนยท�ไมมคาต�ากวา ตวอยางเชน สวนสง น�าหนก อาย เงนเดอน ยกตวอยางเชน สวนสงไมวาวดท�ไหนกจะไดความสงเทากน ถาไมมความสงเลยกคอศนย จะไมมคาตดลบ เปนตน

ระเบยบวธทางสถต ระเบยบวธทางสถตม 4 ข �นตอน คอ 1. การเกบรวบรวมขอมล (Data Collection) คอ วธการท�ไดมาซ�งขอมล โดยวธการ ท�ใชกจะแตกตางกนไปตามชนด หรอรปแบบของขอมล มอย 3 วธคอ 1.การสารวจ 2.การทดลองและ 3.การบนทกและการทะเบยน

6

2. การนาเสนอขอมล (Data Presentation) คอ การส�อสารขอมล แสดงขอมล ซ�งมรปแบบในการนาเสนอหลายแบบ เพ�อใหงายในการอานคา การนาไปวเคราะห 3. การวเคราะหขอมล (Data Analysis) คอ การนาขอมลมาวเคราะหโดยการใชสตร การอางอง ข�นอยกบวตถประสงคน �นๆ เชน การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง การวดการกระจาย ของขอมล ความนาจะเปน การประมาณคา เปนตน 4. การแปลความหมาย (Interpretation) คอ การนาผลการวเคราะหขอมลมาตความ เพ�อใหเกดความเขาใจท�งายตอบคคลท �วไป โดยในบทน�จะกลาวถงเพยงข �นตอนท� 1 และข �นตอนท� 2 เทาน �น สวนข �นตอน ท�เหลอจะกลาวในบทตอๆ ไป การเกบรวบรวมขอมล การเกบรวบรวมขอมล หมายถง วธการเพ�อใหไดมาซ�งขอมล มข �นตอนในการจดการ อยหลายข �นตอน เร�มจากการวางแผนเกบขอมล เลอกกลมประชากรท�จะเกบขอมล หรอวธการเลอกตวอยางใหเหมาะสมและถกตอง เลอกวธการในการเกบรวบรวมขอมล สรางเคร�องมอในการ เกบรวบรวมขอมล โดยแหลงของขอมลท�จะกลาวถง คอแหลงปฐมภมกบแหลงทตยภม ไมวาจะเกบ มาจากประชากร หรอตวอยาง มวธการเกบขอมลดงน� วธการเกบขอมลจากแหลงปฐมภม

1. การเกบรวบรวมขอมลโดยวธสารวจ (Survey) เปนการเกบขอมลจากกลมท�สนใจโดยตรง อาจทาไดโดยการใชการสอบถาม การสมภาษณ หรอการสงเกต จาแนกได 2 ลกษณะ คอ 1.1 วธสามะโน (Census) หรอการแจงนบครบถวน เปนการเกบรวบรวมขอมล จากสมาชกทกหนวยของกลมประชากรท�สนใจศกษา เปนวธท�จะไดขอมลท�สมบรณครบถวน โดยขอจากด คอ ตองเสยคาใชจาย เวลา และแรงงานมาก การควบคมทาไดยาก เชน การศกษาความคดเหนตอการสอนของอาจารยวชาคณตศาสตร นกเรยนช �นประถมศกษาปท� 3 โรงเรยนอนบาลอดรธาน กเกบกบนกเรยนช �นประถมปท� 3 โรงเรยนอนบาลอดรธานท �งหมด 1.2 การสารวจตวอยาง (Sample Survey) เปนการเกบรวบรวมขอมลจากเพยงบางสวน ของประชากร แตตองมการเลอกตวอยางท�จะเปนตวแทนอยางมข �นตอนท�ถกตอง และเหมาะสม เปนวธการท�ประหยดเวลา คาใชจาย ทราบผลเรว สามารถควบคมได โดยขอจากดอาจเกด ความคลาดเคล�อนได 2. การเกบรวมรวบขอมลจากการทดลอง (Experiment) เปนการเกบรวบรวมขอมลจากการทดลอง การทดลองจงตองกระทาภายใตการควบคม หรอบงคบเหตการณ และส�งแวดลอม

7

ตามท�กาหนดไว โดยขอมลท�ไดจะถกตองหรอไมข�นอยกบส�งท�ทดลอง เชน การทดลองยาลดความอวน อาจจะไดผล หรอไมไดผลตามท�ตองการกได

วธการเกบขอมลจากแหลงทตยภม

คอการเกบรวบรวมขอมลจากการบนทกเหตการณ ทะเบยน รายงาน บทความ และเอกสารตางๆ โดยกอนจะนาขอมลมาใช ส�งท�ตองคานงถง คอความนาเช�อถอของขอมล ผจดบนทกหรอผเขยนบทความมความชานาญเพยงใด การจดกระทากบขอมลท�ถกบนทกไว มความถกตองหรอไม ขอดของวธน�คอส�นเปลองคาใชจายนอย ประหยดเวลา ไดขอมลท�ตอเน�อง หากระบบการจดเกบรวบรวมขอมลเปนไปอยางรดกม ขอมลจะมคณภาพดกวาวธการสารวจ โดยมขอจากดคอขอมลท�ไดมาตองมการตรวจสอบความถกตอง และความทนสมยของขอมลดวย ขอมลท�ไดอาจไมครอบคลมส�งท�ผเกบรวบรวมขอมลตองการ เคร�องมอท�ใชในการเกบรวบรวมขอมล

เคร�องมอท�ใชในการรวบรวมขอมลท�ใชกนโดยท �วไป คอ แบบสอบถาม การสมภาษณ

การสงเกต การวด และการนบ ตลอดจนเคร�องมอตางๆ ท�สรางข�นเพ�อเกบขอมลในรปแบบตางๆ ซ�งแตแบบของเคร�องมอมขอด และขอจากดท�แตกตางกนออกไป การท�จะเลอกใชเคร�องมอชนดใดน �น ข�นอยกบวตถประสงคของงาน งบประมาณ เวลา และขอจากดของเคร�องมอน �นๆ โดยเคร�องมอ ท�จะนามาใชตองมการตรวจสอบ และวดคณภาพของเคร�องมอ จะวดดานใดบางน �น กข�นอยกบ ส�งท�เราตองการจะเกบหรอวด แตละเคร�องมอมรายละเอยดดงน� 1. แบบสอบถาม หมายถง เคร�องมอท�ใชในการรวบรวมขอมลสวนตว ของบคคลในดานตางๆ เชน ความคดเหน ความพงพอใจ ความรส ก สตปญญา เปนตน โดยคาถามจะม ท �งแบบปลายปด ปลายเปด และแบบรวมกนท �งสองแบบ คาถามแบบปลายเปดจะเปนลกษณะ การแสดงคาตอบไดอยางเตมท� โดยมขอเสย คอ ยากในการรวบรวมและวเคราะห คาถามแบบปลายปด จะไดขอมลท�เฉพาะเจาะจง ตรงตามท�ผเกบรวบรวมขอมลตองการ รปแบบคาถามปลายปดจะเปน ท �งแบบเลอกตอบ แบบเรยงลาดบ และแบบมาตราประมาณคา ขอด คอ มความสะดวก ประหยด งายตอการวเคราะห ผใหขอมลมเวลาคด ขอเสย คอ ใชเวลาในการสรางนาน ถาคาถาม ไมชดเจน ผใหขอมลไมสนใจ ขอมลท�ไดจะไมถกตอง 2. การสมภาษณ หมายถง การสนทนา ซกถามอยางมจดมงหมาย เพ�อใหไดคาตอบท�ตองการ การสมภาษณแบงเปน 2 แบบ คอ การสมภาษณแบบมโครงสราง คอมการเตรยมคาถามไวกอนแลว และการสมภาษณแบบไมมโครงสราง คอไมมการต �งคาถามไวลวงหนา ทกอยางข�นอยกบสภาวการณ ผส มภาษณตองมความร และทกษะทางจตวทยา ขอด คอ ใชไดกบคน ทกระดบการศกษา ดดแปลงไดตามสถานการณ ทาใหไดขอมลเพ�มเตมท�ตองการ ขอเสย คอ

8

ขอมลท�ได อาจจะไมเปนจรงเสมอไป ข�นอยกบการใหความรวมมอของผรบการสมภาษณ ใชเวลา และแรงงานมาก ตองใชผท�มความสามารถในการสมภาษณ

3. การสงเกต หมายถง การเฝาตดตามดส�งท�เกดข�น อยางสนใจ และเอาใจใส โดยกาหนดไวอยางมระบบ การสงเกตแบงเปน 2 แบบ คอ การสงเกตแบบมสวนรวม คอการท� ผสงเกตเขารวมกจกรรมท�ทาการสงเกต หรอสรางสถานการณใหเกดข�น เชนการสงเกตการทานาของคนในหมบาน ผสงเกตตองรวมทานากบชาวบานดวย อกแบบคอการสงเกตแบบไมมสวนรวม คอการท�ผส งเกตไมมสวนรวมกบสถานการณน �นๆ เปนเพยงผส งเกตการณอยางเดยว เชน การสงเกตการทางานของคณะกรรมการจดการเลอกต �งผแทนราษฎร ขอดคอ มความแมนยาสง ขอมลท�ไดยนยนพฤตกรรมหรอสถานการณท�เปนธรรมชาตอยางแทจรง มขอมลลกกวาวธอ�นๆ ขอเสยคอ คาใชจายสง พฤตกรรมบางอยางใชการสงเกตไมได ยากในการควบคมสถานการณ ผสงเกตตองมการฝกฝนใหมความชานาญท�สง

4. การวดและการนบ หมายถง การแจงนบจานวนการเกดเหตการณตางๆ เพ�อศกษาจานวนการเกดเหตการณน �นๆ รวมถงการวดเชงปรมาณ เชน ช �งน�าหนก วดระยะ วดสวนสง ปรมาตร เวลา อณหภม ของเหตการณน �น การนาเสนอขอมล

การนาเสนอขอมล คอ การส�อสารเพ�อเสนอขอมล ความร ความคดเหน หรอความตองการไปสผรบสาร โดยใชเทคนคหรอวธการตางๆ อยางมระบบ เพ�อใหผอ �นทราบและเขาใจ การนาเสนอทาไดหลายลกษณะดวยกนข�นอยกบลกษณะของขอมลน �นๆ ขอมลบางชนดจะตองผานกระบวนการทางสถตกอน ขอมลบางชนดอาจจะไมตองผานกระบวนการทางสถต นาเสนอขอมลไดอยางงายๆ ซ�งแบงออกได 2 ลกษณะใหญๆ คอ

การนาเสนอขอมลอยางไมเปนแบบแผน (Informal Presentation)

การนาเสนอขอมลอยางไมเปนแบบแผน หมายถง การนาเสนอขอมลท�ไมมกฎเกณฑ หรอแบบแผนท�แนนอนตายตว เปนการอธบายลกษณะของขอมลตามเน�อหาขอมล ท�นยมใชม 2 วธคอ

1. การนาเสนอขอมลในรปบทความ (Text Presentation) เปนการนาขอมล ในลกษณะบทความส �นๆ ท�มตวเลขสอดแทรกอยดวยทาใหเขาใจงาย อาจเปนบทความทางโทรทศน วทย หนงสอพมพ วารสารตางๆ เปนตน เชน “ ในป พ.ศ. 2559 จงหวดขอนแกนมจานวนประชากรประมาณ 1,378,816 คน ” หรอ “ จานวนผประสบอบตเหตในจงหวดเชยงใหมชวงเทศกาลปใหมประจาป พ.ศ. 2559 มจานวน 1,046 ราย ”

9

2. การนาเสนอขอมลในรปบทความก�งตาราง (Semi - Tabular Arrangement) เปนการนาเสนอขอมล โดยแยกตวเลขออกจากขอความ หรอการนาเสนอบทความท�มการต �งแนวตวเลขข�น เพ�อตองการใหเหนตวเลขชดเจน และเปรยบเทยบความแตกตางไดงายข�น เชน ตวอยางท� 1.1 จานวนผประกอบการในเขตอาเภอเมองจงหวดสกลนคร ประจาป 2559

ขนาดของกจการ จานวน (ราย) ขนาดใหญ 38

ขนาดกลาง 125 ขนาดเลก 203 รวม 366

การนาเสนอขอมลอยางเปนแบบแผน (Formal Presentation) การนาเสนอขอมลอยางเปนแบบแผน หมายถง การนาเสนอขอมลท�มกฎเกณฑ

ซ�งจะตองปฏบตตามมาตรฐานท�กาหนดไว มรปแบบท�ชดเจน การนาเสนอขอมลแบบน�ท�นยม ไดแก 1. การนาเสนอขอมลในรปตาราง (Tabular Presentation) เปนการนาเสนอขอมลท�เปนตวเลขโดยใชตาราง ใหอยในรปในของแถว (row) และสดมภ (column) เพ�อจดขอมล ใหเปนระเบยบ หรอจดขอมลใหอยในรปท�สมพนธกน อานความหมายไดท �งแถวต �ง และแถวนอน ลกษณะของตารางข�นอยกบลกษณะการนาเสนอ ในกรณท�ขอมลท�นาเสนอมจานวนมาก และซบซอน การนาเสนอขอมลในรปตารางจะชวยใหขอมลอยในรปท�สามารถเขาใจไดงาย สะดวกตอการเปรยบเทยบ สรปหรอศกษาความสมพนธกนระหวางขอมลไดเปนอยางด การนาเสนอ ดวยตารางควรมสวนประกอบตางๆ ดงน�

1.1 หมายเลขตาราง (Table Number) เปนตวเลขท�แสดงถงลาดบของตาราง เพ�อความสะดวกในการอางอง หมายเลขน�เขยนอยเหนอตารางดานซายมอ 1.2 ช�อเร�อง (Title) เปนขอความจะอยตอจากหมายเลขตาราง จะอยแถวเดยวกน คอขอความท�ใชแสดงช�อเร�องควรเปนขอความท�กะทดรด ชดเจน และไดความสมบรณ เพ�อแสดงจดมงหมายในการนาเสนอวาตองการนาเสนออะไร 1.3 หมายเหตคานา (Prefatory Note) เปนขอความท�อยใตช�อเร�อง แตอยเหนอตารางดานซายมอ เพ�อชวยใหเขาใจเน�อหาของตารางหรอสวนสาคญบางสวนไดดข�น อาจจะมสวนน�หรอไมมกได เชน หนวยท�ใชในตาราง เปนตน 1.4 ตนข �ว (Stub) ประกอบดวย หวข �ว (Stub Head) และตวข �ว (Stub Entries) หวข �วเปนสวนสาคญท�ใชเปนหลกในการอานความหมายของตารางน �น เปนการอธบายในแนวต �งเก�ยวกบตวข �วตางๆ โดยตวข �วจะบอกถงขอมลท�ปรากฏอยในแตละแถวตามแนวนอน ซ�งจะรวมถงหวเร�องดวย

10

1.5 หวเร�อง ประกอบดวยหวสดมภ (Column Head) ซ�งจะมอนเดยว หรอ หลายอนกได ซ�งภายในแตละหวสดมภอาจแบงยอยลงไปอกกได หวเร�องจะเปนคาอธบายเก�ยวกบขอมลท�ปรากฏในแตละสดมภตามแนวต �ง 1.6 ตวเร�อง (Body) ประกอบไปดวยขอมลท�เปนตวเลข 1.7 หมายเหตลาง (Foot note) บางคร �งอาจใชเคร�องหมายดอกจน (*) เปนคาอธบายขอมลในตารางใหชดเจนมากข�น อาจมมากกวาหน�งหรอไมมกได 1.8 หมายเหตแหลงท�มา (Source Note) จะอยใตตาราง เปนหมายเหตท�บอกใหทราบแหลงท�มาของขอมลท�ปรากฏในตาราง อาจมาจากแหลงขอมลท�มากกวาหน�งแหลงกได ถาเปนขอมลจากแหลงทตยภม ผสนใจอาจยอนไปศกษาจากแหลงท�นามาได ตารางท� 1.2 แสดงลกษณะท �วไปของตาราง หมายเลขตาราง (Table Number)............ช�อเร�อง (Title)..................................... หมายเหตคานา (Prefatory Note) (ถาม)

หวข �ว (Stub Head)

(หวเร�อง) หวสดมภ

(Column Head)

ตวข �ว (Stub Entries)

ตวเร�อง (Body)

หมายเหตลาง (Footnote) หมายเหตแหลงท�มา (Source Note)

ตนข �ว

11

ตวอยางท� 1.2 ตารางแสดงจานวนนกศกษาในระดบปรญญาตรมหาวทยาลยราชภฏวไลยอลงกรณ ปการศกษา 2557 หนวย : คน

คณะ รปแบบ

รวม ภาคปกต ภาคพเศษ

ครศาสตร 2,497 - 2,497 มนษยศาสตรและสงคมศาสตร 2,360 501 2,861 วทยาการจดการ 2,511 1,847 4,358 วทยาศาสตรและเทคโนโลย 1,458 373 1,831 เทคโนโลยอตสาหกรรม 633 201 834 เทคโนโลยการเกษตร 236 - 236 วทยาลยนวตกรรมการจดการ 178 - 178

รวม 9,873 2,922 12,975

ท�มา : สานกสงเสรมงานวชาการและงานทะเบยน มหาวทยาลยราชภฏวไลยอลงกรณ

2. การนาเสนอขอมลในรปกราฟและแผนภม (Graph & Chart Presentation) เปนการนาเสนอขอมลในรปแบบของกราฟและแผนภม เปรยบเทยบขอมลไดงายและชดเจน การนาเสนอจะแบงแยกขอมลไดอยางชดเจน เขาใจไดงายกวาการใชตาราง การนาเสนอในรปแบบน� มหลายรปแบบ ควรเลอกแบบท�เหมาะสมกบขอมล ไมนยมใชหลายแบบรวมกน โดยรปแบบ ท�นยมใชมดงน� คอ 2.1 แผนภมแทง (Bar Chart) เปนการนาเสนอขอมลโดยใชแทงส�เหล�ยมผนผาท�มความกวางเทากนแทนขอมลหน� งชนด หากมการเปรยบเทยบขอมลมากกวาหน� งชนด จะใชแทงคนละสหรอคนละลายกน เพ�อสะดวกในการเปรยบเทยบ โดยหากมมากกวาหน�ง ตองกาหนดช�อลงไปในแตละส หรอแตละลาย สวนความสง หรอความยาวของแทงจะข�นกบปรมาณหรอขนาดของขอมล ใชในการเปรยบเทยบลกษณะใดลกษณะหน�งเพยงลกษณะเดยวเขยนในแนวต �ง หรอแนวนอนกได ม 2 แบบ คอ แผนภมแทงเชงเดยว และแผนภมแทงเชงซอน โดยแผนภมแทงเชงเดยว แสดงขอมลลกษณะเดยวดงแสดงในตวอยางท� 1.3 แผนภมแทงเชงซอน แสดงการเปรยบเทยบขอมลมากกวาหน�งดงแสดงในตวอยางท� 1.4

12

ตวอยางท� 1.3 แผนภมแทงเชงเดยวแสดงจานวนผใชหองสมดประชาชนในชวงหน�งสปดาห

ตวอยางท� 1.4 แผนภมแทงเชงซอนแสดงจงหวดท�มจานวนผใชน�ามากท�สด 3 อนดบแรก ระหวางป พ.ศ. 2552 - พ.ศ. 2554 ท�มา : สานกงานสถตแหงชาต

2.2 แผนภมรปวงกลม (Pie Chart) เปนการนาเสนอขอมลดวยพ�นท�รปวงกลม โดยวงกลมประกอบไปดวยขอมลท �งหมด แบงเปนสวนๆตามขนาดของพ�นท� นาขอมลแตละชนด มาคดเปนรอยละ แลวเทยบกบพ�นท�ของวงกลม ใชจดศนยกลางของวงกลมเปนจดหลกแลวเทยบขนาดขอมลไปตามเสนรศม ขอมลตางชนดกนใชการแรเงาหรอสตางกนเพ�องายในการเปรยบเทยบดงแสดงในตวอยางท� 1.5

020406080100120140

จานวน(คน)

2552 2553 2554

จานวน

เดอน

ขอนแกน

ชลบร

ปทมธาน

0 50,000

75,000 100,000

125,000 150,000

175,000 200,000

225,000 250,000 275,000

ตวอยางท� 1.5 แผนภมแสดง

2.3 กราฟเสนนยมใชกบขอมลท�ตอเน�องกน แนวโนมและความสมพนธตางๆขอมลหลายชดในภาพเดยวกนได สามารถนามาใชในการพยากรณขอมลท�จะเกดข�นม 2 รปแบบ ไดแก กราฟเสนเชงเดยวเชงซอน คอ มขอมลมากกวาหน�ง

ตวอยางท� 1.6 กราฟเสนแสดงเดอนมถนายน ป พ.ศ. 2558 11,000

รถโดยสาร

รถยนต

เมษายน 0

10 20 30 40

50 60 70

1,000 คน

แผนภมแสดงวธการเดนทางมาเรยนของนกศกษา

กราฟเสน (Line Graph) เปนการนาเสนอขอมลโดยใชกน วธน�จะทาใหเหนความแตกตางระหวางขอมลไดชดเจน

แนวโนมและความสมพนธตางๆ ระหวางขอมลท�มอยตามชวงน �นๆ สามารถแสดงการเปรยบเทยบขอมลหลายชดในภาพเดยวกนได สามารถนามาใชในการพยากรณขอมลท�จะเกดข�น

กราฟเสนเชงเดยว คอ มขอมลเดยว ดงแสดงในตวอยางท� มขอมลมากกวาหน�ง ดงแสดงในตวอยางท� 1.7

กราฟเสนแสดงปรมาณยอดขายรถยนตในประเทศไทยชวงเดอน

รถจกรยาน 11.5%

จกรยานยนต

รถโดยสาร 46%

รถยนต 9%อ�นๆ 4.5%

พฤษภาคม มถนายน

13

เปนการนาเสนอขอมลโดยใชเสนกราฟ วธน�จะทาใหเหนความแตกตางระหวางขอมลไดชดเจน ชวยใหเหน

สามารถแสดงการเปรยบเทยบขอมลหลายชดในภาพเดยวกนได สามารถนามาใชในการพยากรณขอมลท�จะเกดข�นไดในอนาคต

ดงแสดงในตวอยางท� 1.6 และกราฟเสน

ในประเทศไทยชวงเดอนเมษายน –

จกรยานยนต 29%

ปรมาณรถ

14

ตวอยางท� 1.7 กราฟเสนแสดงจานวนการจดทะเบยนสมรส และจดทะเบยนหยาในเขตจงหวดขอนแกนระหวางป พ.ศ. 2552 - พ.ศ. 2555 ท�มา : สานกงานสถตแหงชาต

3. การนาเสนอขอมลเปนรปภาพ (Pictogram Presentation) เปนการนาเสนอขอมลโดยใชรปภาพ คอใชรปภาพแทนคาตวเลขหน�งจานวน ซ�งจานวนภาพท�แสดงจะแทนปรมาณของขอมลแตละรายการ จานวนภาพจะมากหรอนอยข�นอยกบปรมาณของขอมล เปนการนาเสนอ ท�ดงดดความสนใจไดมาก แตอาจจะขาดความละเอยดเม�อเทยบกบการนาเสนอโดยวธอ�น เชน ใชรปภาพรถยนต 1 คน แทนจานวนรถยนต 1,000 คน ถาโรงงานรถยนตผลตรถยนตได 3,500 คน จงตองมรปภาพรถยนต 3 รปคร�ง ดงแสดงในตวอยางท� 1.8

ตวอยางท� 1.8 แผนภมแสดงจานวนรถยนตท�มผขอจดทะเบยนในประเทศไทยต �งแตเดอน ตลาคม – ธนวาคม ป พ.ศ. 2558

คน

จดทะเบยนสมรส

จดทะเบยนหยา

0

1,000

2,000 3,000

4,000 5,000

6,000

2552 2553 2554 2555

7,000

8,000

เดอน

ต.ค.

พ.ย.

ธ.ค.

จานวน

แทน 1,000 คน

3,420

4,655

5,536

15

การแจกแจงความถ�

การแจกแจงความถ� (Frequency Distribution) คอการนาขอมลท�เรยกวา ขอมลดบ (Raw Data) มาจดกระทาใหม ใหเปนระเบยบ เพ�องายตอการวเคราะห โดยการนาขอมลมาเรยง จากนอยไปหามาก หรอจากมากไปหานอยกได จะทาใหเหนรปแบบขอมลไดชดเจนมากย�งข�น เชน ผสอนสอบเกบคะแนนของนกศกษา 10 คน ไดผลดงน� 11 14 12 9 13 16 17 13 13 16 นาขอมลมาเรยงใหม จากนอยไปหามาก 9 11 12 13 13 13 14 16 16 17 จากการจดเรยงขอมลจะเหนไดวา คะแนนต�าสดคอ 9 สงสดคอ 17 มคนสอบไดคะแนนเทากน 3 คนมคาเทากบ 13 จะเหนไดวาสามารถวเคราะหขอมลไดงายข�น การเรยงขอมลจะใชในกรณท�ขอมลมจานวนไมมากนก ขอมลแตละตวจะเรยกวา ความถ� (Frequency) และเรยกวธการนาเสนอขอมลโดยการจดระเบยบขอมลดวยการเรยงลาดบ และแสดงความถ�ของขอมลน �นควบคไปดวย วาการแจกแจงความถ� และถานาเสนอขอมลในรปตาราง จะเรยกวา ตารางแจกแจงความถ� ทาได 2 วธ คอ ตารางแจกแจงความถ�แบบจดเรยงขอมลทละคาและตารางแจกแจงความถ�แบบจดเรยงขอมลเปนกลม และยงมการแจกแจงความถ�โดยกราฟ ซ�งจะแบงออกเปนฮสโทแกรม (Histogram) รปหลายเหล�ยมความถ� (Frequency Polygon) และเสนโคงความถ� (Frequency Curve) ซ�งมวธสรางดงน� 1. ตารางแจกแจงความถ� 1.1 ตารางแจกแจงความถ�แบบจดเรยงขอมลทละคา เปนตารางท�แสดงใหเหนจานวนขอมลทละคา วามจานวนซ�ากนก�คร �ง หรอมความถ�เทากบเทาใด มวธในการสรางตารางดงตวอยางตอไปน�

1. หาคาพสย (Range) ของขอมล การหาคาพสยทาไดโดย พสย = ขอมลท�มคาสงสด – ขอมลท�มคาต�าสด (เพ�อกาหนดจานวนช �นของขอมล) 2. เขยนขอมลเร�มจากคาต�าสดจนถงคาสงสด หรอคาสงสดถงคาต�าสด 3. บรรจขอมลลงในตาราง

ตวอยางท� 1.9 จงสรางตารางแจกแจงความถ�แบบจดเรยงขอมลทละคาจากตวเลขตอไปน�

12 8 9 7 7 9 9 13 7 12 9 14 8 7 8 11 7 13 9 11 15 13 11 9

วธทา

1. หาคาพสย (Range) ของขอมล การหาคาพสยทาไดโดย พสย = 15 – 7 = 8 (ตารางมจานวน 8 ช �น) 2. เขยนขอมลเร�มจากคาต�าสดจนถงคาสงสด (เร�มจาก7 ถง 15)

16

3. บรรจขอมลลงในตารางโดยเรยงจากนอยไปหามาก แลวสรางรอยขด (Tally) เขยนแทนดวยเคร�องหมาย “ / ” โดยจานวนขอมล 1 ตว เทากบ 1 รอยขด เปล�ยนจานวนรอยขดใหเปนตวเลขแลวเขยนลงในชองความถ� 1 รอยขด มคาเทากบ 1 ความถ� เขยนแทนดวย “ f ” โดยจานวนผลรวมท �งหมดของความถ�ตองเทากบจานวนท �งหมดของขอมล (N)

ขอมล รอยขด ความถ�(fi) 7 8 9 10 11 12 13 14 15

//// ///

//// / - /// // /// / /

5 3 6 0 3 2 3 1 1

N=24 1.2 ตารางแจกแจงความถ�แบบจดเรยงเปนกลม การแจกแจงความถ�แบบจดเรยงเปนกลม เปนการนาขอมลท�มอยมากาหนดเปนชวงๆ เรยกความกวางน�วา อนตรภาคช �น (Class Interval) ตวยอคอตว “I” ขอมลแตละช �น (Class) จะเปนขอมลท�มการจดเรยงจากนอยไปหามาก โดยแตละอนตรภาคช �นจะมชวงท�เทากน ดงตวอยางตอไปน� ตวอยางท� 1.10 ตารางแจกแจงความถ�แสดงจานวนนกเรยนในหองหน�งจานวน 25 คน ท�มการแจกแจงความสงของนกเรยนท �งหองไวดงน�

ชวงความสง(เซนตเมตร) ความถ� (fi) 150 – 155 156 – 161 162 – 167 168 – 173 174 – 179

3 4 10 5 3

N=25

17

จากตารางทาใหทราบคาความกวางของอนตรภาคช �นวามคาเทากบ 6 และมนกเรยนท�สงระหวาง 162 – 167 เซนตเมตร อยจานวน 10 คน ซ�งเปนนกเรยนสวนมากของนกเรยนในหองน� แตไมสามารถทราบไดวานกเรยน 10 คนน� สงเทาไหรบาง โดยในตารางจะเหนไดวามตวเลข อย 2 คา ท�แสดงในแตละชวงช �น คอคาสงกบคาต�า เชนในช �นท� 2 คาต�าคอ 156 เรยกคาตวเลขน�วา ขดจากดลาง (lower limit) สวนคาตวเลขสงคอ 161 เรยกคาตวเลขน�วา ขดจากดบน (upper limit) ในกรณท�ตองการสรางตารางการแจกแจงความถ�แบบจดขอมลเปนกลม มข �นตอนดงน�

1. หาคาพสยของขอมล การหาคาพสยทาไดโดย พสย = ขอมลท�มคาสงสด - ขอมลท�มคาต�าสด 2. กาหนดจานวนช �นของขอมล ท �วไปนยมกาหนดจานวนช �นของขอมลอยระหวาง 5 - 15 ช �น แตจะมากหรอนอยกวาน�กได ข�นอยกบลกษณะของขอมล 3. คานวณหาความกวางของแตละช �นหรออนตรภาคช �นทาไดโดย

ความกวางของอนตรภาคช �น(I) = พสย

จานวนช �น

หมายเหต - ถาผลหารท�ไดเปนเลขจานวนเตมควรบวกดวย 1 เสมอ - ถาผลหารเปนทศนยมไมวาจะไดเทาไรกตามจะตองปดเศษข�นเปนจานวนเตมเสมอ 4. สรางตารางแจกแจงความถ� 5. เร�มตนเขยนขดจากดลางของช �นแรก โดยเขยนจากคาของขอมลท�ต� าท�สด ในกรณท�อนตรภาคมคานอย ใหนบความกวางเทากบอนตรภาคช �นท�หามาได โดยการนบน �น ตองนบคาของขอมลท�ต�าท�สดดวย คาของขอมลตวสดทายท�นบไดกคอ ขดจากดบนของช �นแรก สาหรบกรณท�มคาอนตรภาคช �นมากไมสะดวกในการนบ ใหนาคาของขอมลท�ต� าท�สด บวกกบ อนตรภาคช �น ไดเทาไหรใหลบกบหน�งตวเลขท�ไดจากการคานวณกคอขดจากดบน ในช �นถดไป สวนขดจากดลาง ใหเขยนตวเลขถดไปจากขดจากดบนของช �นแรก หรอจะใชวธนาขดจากดลาง ของช �นแรกบวกกบอนตรภาคช �นกได แลวใชวธเดมในการขดจากดบน โดยสามารถหาขดจากดลางและขดจากดบนของทกช �น ไดโดยการบวกความกวางเขาไปในท�ละช �นไดเลย เพราะแตละช �นมการขยายตวเทากน 6. ตรวจสอบคาของขอมลท�มวาอยในช �นใดบางโดยใชการสรางรอยขด ตวอยางท� 1.11 โรงงานแหงหน�งมพนกงานท �งหมด 44 คน ไดทาการสารวจอายของคนงาน ไดผลดงน�

37 48 33 46 37 53 29 27 52 35 43 40 34 38 51 24 42 39 45 28 36 44 56 29 30 49 38 27 38 50 46 36 32 36 28 47 35 42 53 43 40 32 44 39

18

จงสรางตารางแจกแจงความถ� โดยกาหนดใหมจานวนช �นเทากบ 6 ช �น

วธทา พสย = 56 – 24 = 32

จานวนช �น = 6 ช �น

อนตรภาคช �น = 632 = 5.33 ประมาณเปนจานวนเตมไดเทากบ 6

สรางตารางแจกแจงความถ�ไดดงน�

อาย รอยขด ความถ� (fi ) 24 – 29 30 – 35 36 – 41 42 – 47 48 – 53 54 – 59

//// // //// // //// //// // //// //// //// // /

7 7 12 10 7 1

N = 44 ขดจากดลาง ขดจากดบน นอกจากคาความถ� ขดจากดลางและขดจากดบน ยงมคาพ�นฐานท�ควรจะทราบอก คอ

1. ขอบลางของช �น (Lower class bound) หรอขดจากดลางแทจรง ตวยอท�ใชคอ “L” มวธในการ หาคาดงน�

ขอบลางของช �น = ขดจากดลางของช �น � ขดจากดบนของช �นท�มชวงคะแนนนอยกวาท�อยตดกน�

2. ขอบบนของช �น (Upper class bound) หรอขดจากดบนแทจรง ตวยอท�ใชคอ “U” มวธในการ หาคาดงน�

ขอบเขตบนของช �น = ขดจากดบนของช �น � ขดจากดลางของช �นท�มชวงคะแนนมากกวาท�อยตดกน�

โดยขอบบนของช �น และขอบลางของช �น คอ การปรบตวเลขของขดจากดของช �นแตละช �นใหเปนตวเลขท�มลกษณะตอเน�องกน สวนใหญจะปรบโดยอาศยคา 0.5 , 0.05 ข�นอยกบตาแหนงทศนยมของขอมลน �น ถาขอมลเปนจานวนเตมจะปรบดวยคา 0.5 ถาขอมลมทศนยม หน�งตาแหนง จะปรบคาดวย 0.05 เปนตน โดยขอบลางของแตละช �นจะเปนการลบ สวนขอบบน

19

ของแตละช �นจะเปนการบวก ซ�งถานาคาขอบบนของช �นรวมกบขอบลางของช �น กจะมคาเทากบขดจากดบนรวมกบขดจากดลางของช �นน �นๆ เสมอ 3. จดกลางของช �น (Class midpoint) ตวยอท�ใชคอ “X” หาไดดงน�

จดกลางของช �น = ขดจากดลาง�ขดจากดบน�

หรอ จดกลางของช �น = ขอบลางของช �น�ขอบบนของช �น�

ตวอยางท� 1.12 ตารางแจกแจงความถ�แสดงคะแนนเสอบของนกศกษากลมหน�ง จงหา ขอบบนของช �น ขอบลางของช �น และจดกลางของช �น

คะแนน จานวนนกศกษา (คน) 34 –37 38 – 41 42 – 45 46 – 49 50 – 53 54 - 57 58 - 61 62 - 65 66 - 69

3 6 5 4 2 15 9 2 4

N=50

20

วธทา

คะแนน ความถ� (fi) ขอบลางของช �น(Li) ขอบบนของช �น(Ui) จดกลางของช �น(Xi)

34 –37 3 34 - 0.5 = 33.5 37 + 0.5 = 37.5 5.352

3734

38 – 41 6 38 - 0.5 = 37.5 41 + 0.5 = 41.5 5.392

4138

42 – 45 5 42 - 0.5 = 41.5 45 + 0.5 = 45.5 5.432

4542

46 – 49 4 46 - 0.5 = 45.5 49 + 0.5 = 49.5 5.472

4946

50 – 53 2 50 - 0.5 = 49.5 53 + 0.5 = 53.5 5.512

5350

54 - 57 15 54 - 0.5 = 53.5 57 + 0.5 = 57.5 5.552

5754

58 - 61 9 58 - 0.5 = 57.5 61 + 0.5 = 61.5 5.592

6158

62 - 65 2 62 - 0.5 = 61.5 65 + 0.5 = 65.5 5.632

6562

66 - 69 4 66 - 0.5 = 65.5 69 + 0.5 = 69.5 5.672

6966

ขอสงเกต จากการสรางตารางแจกแจงความถ�จะเหนไดวา 1. จดกลางของช �นในแตละช �นน �น จะมการเพ�มคาเทากบอนตรภาคช �น น �นคอในการหาคา จดก�งกลางช �นของช �นถดไป ใหนาจดกลางของช �นท�หามาไดบวกกบคาอนตรภาคช �น 2. ขอบบนของช �นท�หน�งจะเทากบขอบลางของช �นท�สอง และเปนลกษณะน�ไปเร�อยๆ จนถงช �นสดทาย

การแจกแจงความถ�สะสม การแจกแจงความถ�สะสม คอ การหาผลรวมของความถ�แตละช �น ตอเน�องกนมาต �งแต ช �นท�หน�งจนถงช �นสดทาย หรอ จากช �นสดทายไปจนถงช �นท�หน�ง ในกรณท�เร�มจากช �นท�หน�งจนถงช �นสดทาย เรยกวา ความถ�สะสมลง สวนในกรณจากช �นสดทายไปจนถงช �นท�หน�ง เรยกวา ความถ�สะสมข�น โดยสวนมากนยมใชแบบความถ�สะสมลง

21

ความถ�สะสม (Cumulative Frequency) หมายถง ความถ�ของช �นน �นรวมกบความถ� ของช �นอ�น ซ�งมคานอยกวาหรอมากกวาคาความถ�ของช �นน �น โดยความถ�สะสมในช �นสดทาย จะเทากบจานวนของขอมลเสมอ ตวยอท�ใช คอ “F”

ตวอยางท� 1.13 จากตารางแจกแจงความถ�แสดงจานวนเงนเดอนของพนกงานบรษทแหงหน�งจานวน 35 คน ดงตาราง จงหาความถ�สะสม

เงนเดอน จานวน(คน) 9,001 – 9,500 9,501 – 10,000 10,501 – 11,000 11,501 – 12,000 12,501 – 13,000 13,501 – 14,000 14,501 – 15,000

4 9 2 8 7 3 2

N=35

วธทา

การแจกแจงความถ�โดยแผนภมและกราฟ

การแจกแจงความถ�โดยแผนภมและกราฟ คอ การแจกแจงความถ�โดยใชแผนภม และกราฟ จะทาใหเหนรปแบบของขอมลไดงายกวาแบบตาราง ประกอบไปดวย ฮสโทแกรม รปหลายเหล�ยมความถ� และเสนโคงความถ�

เงนเดอน ความถ�(fi) ความถ�สะสม(Fi) 9,001 – 9,500 9,501 – 10,000 10,501 – 11,000 11,501 – 12,000 12,501 – 13,000 13,501 – 14,000 14,501 – 15,000

4 9 + 2 +

8 7 3 2

4 = 13 = 15

23 30 33

= 35 N= 35

22

1. ฮสโทแกรม (Histogram) เปนวธแสดงการแจกแจงความถ�ดวยแผนภมแทง โดยความกวางของแตละแทงจะแทนดวยขนาดอนตรภาคช �น และความสงของแตละแทงจะแทนดวย ความถ�ของขอมลในแตละช �น สวนตาแหนงของแตละแทงจะกาหนดดวยขอบลาง และขอบบน ของแตช �น หรอกาหนดตาแหนงของแตละแทงจากจดกลางของแตละช �นกได ดงแสดงในตวอยาง ท� 1.14

ตวอยางท� 1.14 ตารางแจกแจงความถ�แสดงจานวนคนท�เขาใชบรการโรงพยาบาลเอกชนแหงหน�งในรอบสปดาหท�ผานมา

อาย จานวน(คน) 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89

8 13 29 36 20 17 8 5

จากตารางจงสรางตารางฮสโทแกรม วธทา

อาย ความถ�(fi) ขอบลางของช �น(L) ขอบบนของช �น(H) 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89

8 13 29 36 20 17 8 5

9.5 19.5 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5

19.5 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5

23

2. รปหลายเหล�ยมความถ� (Frequency Polygon)เปนรปท�เกดข�นจากการลากเสนเช�อมตอระหวางจดกลางช �น ของปลายยอดแทงฮสโทแกรม โดยเร�มจากกราฟแนวนอน ไปจดกลางช �น ของช �นท�ขยายทางดานคาต�าสด ถงช �นท�ขยายออกทางดานคาสงสด และลากไปยงกราฟแนวนอนอกคร �ง อาจทาไดโดยไมตองสรางฮสโทแกรมกได สรางโดยการกาหนดจด ท�เปนจดกลางช �น ของแตละช �นกอน แลวลากเสนตรงโยงจดทกจดเช�อมกน ดงแสดงในตวอยางท� 1.15 ตวอยางท� 1.15 จากตวอยางท� 1.14 จงสรางรปหลายเหล�ยมความถ�

วธทา

อาย ความถ�(fi) ขอบเขตลาง(L) ขอบเขตบน(U) จดกลางช �น(Xi) 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89

8 13 29 36 20 17 8 5

9.5 19.5 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5

19.5 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5

14.5 24.5 34.5 44.5 54.5 64.5 74.5 84.5

10

20

30

40

จานวน (คน)

อาย(ป) 9.5 19.5 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5

0 89.5

24

3. เสนโคงความถ� (Frequency Curve) เปนโคงท�ไดจากการปรบรป จากรป หลายเหล�ยมความถ� ใหมลกษณะเรยบ การปรบน�จะตองพยายามใหพ�นท�ใตเสนโคงท�ปรบแลว มพ�นท�เทากน หรอใกลเคยงกบพ�นท�รปหลายเหล�ยมความถ�เหนอแกนนอนใหมากท�สด ดงแสดง ในตวอยางท� 1.16 ตวอยางท� 1.16 จากตวอยางท� 1.15 จงสรางเสนโคงความถ�

รปหลายเหล�ยมแหงความถ�

โคงความถ�

10

20

30

40

จานวน (คน)

อาย(ป) 14.5 24.5 34.5 44.5 54.5 64.5 74.5 84.5

0

10

20

30

40

จานวน (คน)

อาย(ป) 14.5 24.5 34.5 44.5 54.5 64.5 74.5 84.5

0

25

ความถ

ชดขอมล

ความถ

ชดขอมล

ความถ

ชดขอมล

เสนโคงความถ�จะแสดงลกษณะโดยสวนรวมของขอมลแตละชด รปรางของเสนโคงความถ� จะแตกตางกนออกไป ตามลกษณะของการแจกแจงของขอมล แตโดยปกตแลวรปแบบของการ แจกแจง ท�พบกนมากจะมลกษณะตาง ๆ ดงน� 1. รปสมมาตร (Symmetrical)หรอรประฆง (Bell-Shaped) เปนโคงท�มลกษณะคลายรประฆงคว�า จดยอดของโคงท�อยตรงกลางของภาพ แสดงถงคาความถ�สงสดของขอมล หากแบงภาพออกเปน 2 สวนเทากน หรอพบคร�ง เสนของกราฟจะทบกนแบบสมมาตร สามารถเรยกอกอยางหน�งวา โคงปรกต (Normal Curve) ดงแสดงในรปท� 1.3

รปท� 1.3 รปสมมาตร

2. รปเบ (Skewed) เปนโคงท�มลกษณะหางของโคงขางหน�งจะยาวกวาอกขางหน�ง หรอยอดโคงเอยงไปทางดานใดดานหน�ง โดยถายอดของโคงเอยงไปทางซายจะเรยกวา เบขวา(Skewed to the right) หรอเบทางบวก (Positive Skewness) ดงแสดงในรปท� 1.4 แตถาหาง ท�ยาวกวาไปทางซาย หรอยอดของโคงเอยงไปทางขวา เรยกวา เบซาย(Skewed to the left) หรอเบทางลบ (Negative Skewness) ดงแสดงในรปท� 1.5

รปท�1.4 รปเบขวา รปท� 1.5 รปเบซาย

26

ความถ

ชดขอมล

ความถ

ชดขอมล

ความถ

ชดขอมล

3. รปตวย (U-Shaped Curve) เปนโคงท�มลกษณะคลายรปตวย เกดจากคาความถ�ของขอมลคากลางนอยกวาขอมลท�มคาสงและต�า ดงแสดงในรปท� 1.6

รปท� 1.6 รปตวย

4. รปตวเจ (J-Shaped Curve) เปนโคงท�มคาความถ�สงสดอยปลายขางใดขางหน�งเทาน �น ดงแสดงในรปท� 1.7

รปท� 1.7 รปตวเจ

5. โคงสองยอด (Bimodal) คอ โคงท�มความถ�สงสดสองคาดงแสดงในรปท� 1.8 และโคงรปหลายยอด (Multimodal) คอโคงท�มความถ�สงสดมากกวาสองคา ดงแสดงในรปท� 1.9

รปท� 1.8 รปโคงสองยอด รปท� 1.9 รปโคงหลายยอด

ความถ

ชดขอมล

27

บทสรป สถต มความหมาย คอ หลกฐานหรอขอเทจจรง ท�รวบรวมเอาไวเปนตวเลขเพ�อเปรยบเทยบ หรอใชอางอง หรออกในความหมาย ท�อยในรปของศาสตรหรอวชา เรยกวา สถตศาสตร คอวธการเกบรวบรวมขอมล การนาเสนอขอมล การวเคราะหขอมล และการตความหมายของขอมล สถตแบงเปน 2 ประเภทคอ 1. สถตเชงพรรณนา คอ สถตท�ใชอธบายคณลกษณะตางๆ ของกลมท�ตองการศกษา ทาใหทราบขอเทจจรงของกลมน �น 2. สถตอนมาน คอ สถตท�ใชอธบายคณลกษณะตางๆ ของกลมท�ศกษา แลวสามารถ อางองไปหากลมอ�นได

ขอมล หมายถง ขอเทจจรงซ�งอยในรปของตวเลขหรอไมใชตวเลข ใชเพ�อเปนฐาน ของการศกษา หรอหาขอสรปในเร�องราวท�สนใจ

แบงการวดขอมลออกเปน 4 ระดบ คอ มาตรานามบญญต มาตราเรยงลาดบ มาตราอนตรภาค และมาตราอตราสวน

ระเบยบวธทางสถตม 4 ข �นตอน คอ การเกบรวบรวมขอมล การนาเสนอขอมล การวเคราะหขอมล และการแปลความหมาย

28

แบบฝกหดบทท� 1 1. จงบอกความหมายของสถตเชงพรรณนา และสถตเชงอนมาน พรอมยกตวอยาง 2. การเกบขอมลจากกลมตวอยางมขอด และขอจากดอยางไร 3. แหลงขอมลมก�แหลง อะไรบาง พรอมอธบาย 4. จงบอกวาขอมลตอไปน� ชนดใดเปนแบบตอเน�อง หรอแบบไมตอเน�อง 1. อาย 2. ชนดของสนคา 3. อณหภม 4. สวนสง 5. หมายเลขโทรศพท 6. จานวนนกศกษา 5. มาตรการวดขอมลมก�ระดบ อะไรบาง พรอมยกตวอยาง 6. จงบอกขอด และขอจากดของการเกบรวบรวมขอมลโดยวธการสมภาษณ 7. การนาเสนอขอมลแบงเปน 2 ลกษณะใหญ มอะไรบาง 8. ตารางแสดงจานวนผลไมท�เกบไดใน 1 ป ของสวนแหงหน�ง

ชนดของผลไม จานวน (กโลกรม) มะมวง 474 ขนน 854 ลาไย 545 สมโอ 626 เงาะ 530 มงคด 485

จากตารางจงสรางแผนภมแทง 9. จากขอมลตวเลขตอไปน� จงสรางตารางแจกแจงความถ� ท�ประกอบไปดวย ขอบบนของช �น ขอบลางของช �น และจดกลางช �น โดยกาหนดใหตารางมจานวน 5 ช �น

56 42 38 32 41 53 49 45 52 35 39 61 34 51 34 59 39 49 38 53 58 29 46 39 37 35 33 36 41 36 39 32 41 44 42 52 36 46 32 49

10. จงอธบายความหมายของคาวา “ โคงปรกต ”

1

29

บทท� 2 การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง และการวดการกระจายของขอมล

การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง (Measurse of Central Tendency) คอ การหาคาท�จะใชเปนตวแทนคาของขอมล เพ�ออธบายหรอบอกลกษณะ และทศทางของขอมลชดน �น โดยจะเลอก เอาตวแทนท�มคาใกลเคยงกนมากท�สด ซ�งเราเรยกคาเหลาน �นวาคากลาง การวดแนวโนมเขาสสวนกลางทาไดหลายวธ แตท�นยมใชกนม 3 วธ คอ

1. คาเฉล�ยเลขคณต (Arithmetic Mean) 2. มธยฐาน (Median) 3. ฐานนยม (Mode)

คาเฉล�ยเลขคณต

คาเฉล�ยเลขคณตหรอคาเฉล�ย (Mean) เปนคากลางท�ดท�สด เพราะมคาความแปรปรวน ต�าท�สด ไมเอนเอยงมความคงเสนคงวา และมประสทธภาพสงท�สด การเฉล�ย คอ การแบงจานวน ใหเทาๆ กน ดงน �นคาเฉล�ยกคอ การนาคาของขอมลท �งหมดท�มมารวมกน แลวหารดวยจานวน ของขอมลท �งหมด ขอมลท�เหมาะสมในการหาคาเฉล�ย คอขอมลท�อยในระดบการวดในมาตรา อนตรภาคช �น และมาตราอตราสวน สามารถแบงตามลกษณะของขอมลไดดง

ขอมลไมจดกลม ( Ungrouped Data ) คอ ขอมลท�ไมมการจดกระทา หรอกคอขอมลดบ

กรณท�เปนขอมลของประชากร

= N

XN

ii

1

คอ คาเฉล�ยเลขคณตของประชากร( อานวา มว) iX คอ คาขอมลต �งแตตวท� Xi ถง XN

N

iiX

1

คอ ผลรวมของขอมลต �งแตตวท� Xi ถง XN

คอ จานวนขอมลของประชากร

30

ตวอยางท� 2.1 โรงเรยนแหงหน�งมนกเรยนระดบปฐมวย จานวน 11 คน มน�าหนกดงน� 17, 15.2, 16, 18, 14, 16.5, 14.4, 15, 16, 15.6 และ 14.8 กโลกรม จงหาน�าหนกเฉล�ยของนกเรยน ระดบปฐมวยของโรงเรยนแหงน� วธทา เรยงขอมล 14, 14.4, 14.8, 15, 15.2, 15.6, 16, 16, 16.5, 17, 18

สตร = N

XN

ii

1

=

1118175.1616166.152.15158.144.1414

= 11

5.172

= 68.15 คาเฉล�ยน�าหนกของนกเรยนระดบปฐมวยของโรงเรยนแหงน�มคาเทากบ 15.68 กโลกรม กรณท�เปนขอมลของตวอยาง

X = n

Xn

ii

1

X คอ คาเฉล�ยเลขคณตของกลมตวอยาง iX คอ ขอมลของตวอยางต �งแตตวท� Xi ถง Xn

n

iiX

1

คอ ผลรวมของขอมลตวอยางต �งแตตวท� Xi ถง Xn

n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยาง ตวอยางท� 2.2 หนวยงานแหงหน�ง มพนกงานจานวน 30 คน โดยสมเลอกพนกงานมา 10 คน มอายดงน� 35, 42, 36, 29, 48, 38, 40, 44, 45 และ 57 ป จงหาอายเฉล�ยของพนกงาน ของหนวยงานแหงน� วธทา เรยงขอมล 29, 35, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 48, 57

สตร X = n

Xn

ii

1

31

X = 10

57484544424038363529

= 10414

= 4.41 อายเฉล�ยของพนกงาน ของหนวยงานแหงน�มคาเทากบ 41.4 ป

ความแตกตางระหวางการคานวณหาคาเฉล�ยของประชากร และของตวอยาง คอ ขนาดของขอมล สวนในวธการคานวณไมไดแตกตางกนมากนก เพ�อใหงายข�นในการหาคาตอบ ยงสามารถใชวธอ�นๆ อาท

กรณตวเลขท�มคามาก

คาเฉล�ย = N

N

i LXiXXL

1

คาเฉล�ย คอ คาเฉล�ยเลขคณตของตวอยางหรอประชากร iX คอ คาของขอมลตวท� i LX คอ คาของขอมลท�มคาท�ต�าท�สด

N

iLi XX

1

คอ ผลรวมของผลตางระหวางคาของคาของขอมลตวท� i

จนถงตวท� N กบขอมลตวท�ต�าท�สด N คอ จานวนขอมลท �งหมดของประชากรหรอตวอยาง ตวอยางท� 2.3 พนกงานในรานแหงหน�ง มจานวน 4 คน แตละคน มเงนเดอนดงน� 24,356, 24,567, 24,426 และ 24,467 บาท จงหาคาเฉล�ยเงนเดอนของพนกงานในรานแหงน�

วธทา เรยงขอมล 24,356, 24,426, 24,476, 24,567

สตร คาเฉล�ย = N

N

iXX

XLi

L

1

= 4

356,24567,24356,24476,24356,24426,24356,24356,24356,24

= 356,24 + 4

392 = 98356,24 = 454,24

32

คาเฉล�ยเงนเดอนของพนกงานบรษทน� มคาเทากบ 24,454 บาท กรณตวเลขท�มคาซ�ากน เพ�องายในการหาคาตอบควรเรยงขอมลใหมจากนอย ไปมาก หรอมากไปนอย แลวใชสตรคานวณ

คาเฉล�ย = N

XfN

iii

1

คาเฉล�ย คอ คาเฉล�ยเลขคณตของตวอยางหรอประชากร

if คอ คาของขอมลตวท� i

xi คอ จานวนของขอมลตวท� i

N

iiiXf

1

คอ ผลรวมคาผลคณระหวางขอมลกบจานวนขอมล

ต �งแตตวท� i จนถงตวท� N

N คอ จานวนขอมลท �งหมดของประชากรหรอตวอยาง ตวอยางท� 2.4 นกเรยนช �นประถมศกษาปท� 2 ของโรงเรยนแหงหน�งมจานวน 25 คน มน�าหนกดงน� 34 45 43 50 44 45 34 52 45 52 43 39 50 44 38 43 50 52 34 52 44 53 45 55 และ 38 กโลกรม จงหาคาเฉล�ยของ น�าหนกของนกเรยนกลมน�

วธทา เรยงขอมล 34 34 34 38 38 39 43 43 43 44 44 44 45 45 45 45 50 50 50 52 52 52 52 53 55

สตร คาเฉล�ย = N

XfN

iii

1

=

25)155()153()452()350()445()344()343()139()238()334(

= 25

55532081501801321293976102

= 25124,1

= 44.96

คาเฉล�ยน�าหนกของนกเรยนช �นประถมศกษาปท� 2 กลมน�มคาเทากบ 44.96 กโลกรม

33

ขอมลจดกลม (Grouped Data) ใชกบขอมลท�มการแจกแจง คอ อยในรปตารางท�มการแจกแจงความถ� มสตรคานวณดงน�

กรณท�เปนขอมลของประชากร

=

k

iiif

1

คอ คาเฉล�ยเลขคณตของประชากร

i คอ จดกลางของแตละช �น

if คอ ความถ�ของขอมลแตละช �น

k

iiif

1

คอ ผลรวมของผลคณของจดก�งกลางช �นกบความถ�

ของช �นท� i ถงช �นท� k

คอ จานวนขอมลของประชากร

k คอ จานวนช �น ตวอยางท� 2.5 โรงงานแหงหน�งมคนงาน จานวน 227 คน แบงตามอายไดดงตารางแจกแจงความถ�ดงน�

จงหาคาเฉล�ยอายคนงานในโรงงานแหงน�

อาย จานวน(คน) 19-23 25 24-28 30 29-33 52 34-38 57 39-43 38 44-48 35 49-53 10

34

วธทา สตร =

k

iiif

1

= 09.38227647,8

คาเฉล�ยอายคนงานในโรงงานแหงน�มคาเทากบ 38.09 ป

กรณท�เปนขอมลของตวอยาง

X = n

fk

iii

1

เม�อ X คอ คาเฉล�ยเลขคณตของตวอยาง i คอ จดกลางของแตละช �น if คอ ความถ�ของขอมลแตละช �น

k

iiif

1

คอ ผลรวมของผลคณของจดก�งกลางช �นกบความถ�

ของช �นท� i ถงช �นท� k n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยาง k คอ จานวนช �น

ชวงอาย ความถ�(fi) จดกลางช �น(Xi) fiXi 19-23 25 24 + 282 = 26 525

24-28 30 24 + 282 = 26 780

29-33 52 29 + 332 = 31 1,612 34-38 57 34 + 382 = 36 2,052 39-43 38 39 + 432 = 41 1,558 44-48 35 44 + 482 = 46 1,610 49-53 10 49 + 532 = 51 510

N = 227

7

1

647,8i

iiXf

35

ตวอยางท� 2.6 อาจารยสอนวชาคณตศาสตรของโรงเรยนแหงหน�ง ไดทาการสมคะแนนสอบ ของนกเรยนออกมาจานวน 50 คน ไดผลดงน�

ชวงของคะแนน นกเรยน (คน) 24 – 29 8 30 – 35 7 36 – 41 12 42 – 47 16 48 – 53 7

จงหาคาเฉล�ยคะแนนสอบของนกเรยนกลมน�

วธทา X = n

fk

iii

1

X = 34.3950967,1

เฉล�ยคะแนนสอบของนกเรยนกลมน�มคาเทากบ 39.34 ป คาเฉล�ยเลขคณตแบบถวงน�าหนก (weighted arithmetic mean) ใชในกรณท�ขอมลมคาความสาคญไมเทากนหรอแตกตางกน เชน เกรดเฉล�ย ของนกศกษาในแตละเทอม ท�เรยนในวชาท�แตกตางกนในแตละเทอม โดยในแตละวชากมหนวยกต

ชวงของคะแนน ความถ�(fi) จดกลางช �น(Xi) fiXi 24 – 29 8 24 + 292 = 26.5 212 30 – 35 7 30 + 352 = 32.5 227.5 36 – 41 12 36 + 412 = 38.5 462 42 – 47 16 42 + 472 = 44.5 712 48 – 53 7 48 + 532 = 50.5 353.5

n =50

5

1

967,1i

iiXf

36

ท�ตางกน ทาใหในการคานวณหาคาเฉล�ยตองกาหนดน�าหนกของแตละคาลงไปดวย เพ�อความถกตองของขอมล โดยความตางระหวางขอมลประชากร และตวอยาง คอท�มาของขอมล ดงน �นสตรท�ใชในการคานวณกจะไมแตกตางกน

กรณท�เปนขอมลของประชากร

w =

n

ii

n

iii

W

W

1

1

w คอ คาเฉล�ยเลขคณตถวงน�าหนกของประชากร i คอ คาของขอมลแตละตว iW คอ คาน�าหนกท�สมพนธอยกบคาการสงเกตแตละคา ของขอมลแตละตว

n

iiiW

1

คอ ผลรวมของผลการสงเกตคณดวยน�าหนกท�ถวง

ตามลาดบ

n

iiW

1

คอ ผลรวมของคาน�าหนก

กรณท�เปนขอมลของตวอยาง

X w =

n

ii

n

iii

W

W

1

1

X w คอ คาเฉล�ยเลขคณตถวงน�าหนกของตวอยาง i คอ คาของขอมลแตละตว iW คอ คาน�าหนกท�สมพนธอยกบคาการสงเกตแตละคา ของขอมลแตละตว

n

iiiW

1

คอ ผลรวมของผลการสงเกตคณดวยน�าหนกท�ถวง

ตามลาดบ

n

iiW

1

คอ ผลรวมของคาน�าหนก

37

ตวอยางท� 2.7 นกศกษาคนหน�งเรยนในสาขาการจดการ ไดลงทะเบยนเรยน 6 รายวชา ในภาคเรยนท� 1 ไดผลการเรยนดงน�

วชา หนวยกต ผลการเรยน การบญชเพ�อการจดการ 3 B การคดและการตดสนใจ 2 B การบรหารการผลตและการดาเนนงาน 3 C ระบบสารสนเทศเพ�อการจดการ 3 A วถโลก 2 B+ วทยาศาสตรเพ�อคณภาพชวต 2 C

เกรดเฉล�ยสงสดในแตละภาคเรยนมคาเทากบ 4.00 ดงน �นการใหคะแนนของแตละเกรด มคาดงน� คอ

เกรด A มคาเทากบ 4 B+ มคาเทากบ 3.5 B มคาเทากบ 3 C+ มคาเทากบ 2.5 C มคาเทากบ 2 D+ มคาเทากบ 1.5 D มคาเทากบ 1 F มคาเทากบ 0

จงหาเกรดเฉล�ยในภาคเรยนท� 1 ของนกศกษาคนน�

วธทา w =

5

1

5

1

ii

iii

W

W

โดย N = 6 แทนคาหา w จากสตรจะได

w = 223323

225.3243233233

w = 1544 = 2.93

ดงน �น เกรดเฉล�ยในภาคเรยนท� 1 ของนกศกษาคนน�มคาเทากบ 2.93

38

มธยฐาน

มธยฐาน (Median) คอ คากลางของขอมล หรอคาประมาณของขอมล ท�อยในตาแหนงกลางของขอมลท �งชด ท�ไดมการจดเรยงขอมลแลว เรยงขอมลจากคานอยท�สดไปหาคามากท�สด หรอจากคามากท�สดไปหาคานอยท�สด ขอมลท�เหมาะสมในการหาคามธยฐาน คอ ขอมลท�อย ในระดบการวดในมาตราเรยงลาดบ และมาตราอตราสวน สญลกษณท�ใชแทนคามธยฐาน คอ Mdn , Med หรอ Me การหาคามธยฐานแบงได 2 กรณ

การหามธยฐานของขอมลไมจดกลม เร�มจากการนาขอมลมาเรยงกนตามลาดบจากคานอยไปหาคามาก หรอจากคามากไปหาคานอยกได เม�อ N คอ จานวนของขอมลท �งหมด ถาเปนจานวนค� คามธยฐาน คอ คาของขอมลท�อยตรงตาแหนง

21

ถาเปนจานวนค คามธยฐานจะหาไดจากคาระหวางขอมลท�อยตาแหนงท� 2 และ

2 + 1

คาท�ไดจากการคานวณใชในการช�ตาแหนงของคาตอบไมใชคาตอบโดยตรง

ตวอยางท� 2.8 จงหาคามธยฐานของน�าหนกของคนกลมหน�งดงน�

56 41 39 41 40 53 48 52 45 วธทา ข �นท� 1 นาขอมลมาเรยงลาดบจากคานอยไปหามาก 39 40 41 41 45 48 52 53 56

ข �นท� 2 = 9 เปนจานวนค� ใชสตร 2

1

ตาแหนงท�ได = 2

19 = 5

39 40 41 41 45 48 52 53 56

ตาแหนงท� 5 คอ 45

ดงน �น คามธยฐานของน�าหนกของคนกลมน� คอ 45 คะแนน

Me

39

ตวอยางท� 2.9 จงหาคามธยฐานของคะแนนสอบของนกศกษากลมหน�ง ดงน�

24 18 20 21 27 19 22 25

วธทา

ข �นท� 1 นาขอมลมาเรยงลาดบจากคานอยไปหามาก 18 19 20 21 22 24 25 27

ข �นท� 2 = 8 เปนจานวนค ใชสตร 2

และ 2 + 1

ตาแหนงท�ได = 28 = 4 คอ 21

และตาแหนงท� = 28 + 1 = 5 คอ 22

18 19 20 21 22 24 25 27 4 5

Me

คามธยฐาน คอ คะแนนเฉล�ยระหวาง 21 กบ 22

คามธยฐาน คอ 2

2221 = 21.5

ดงน �น คามธยฐานของคะแนนสอบของนกศกษากลมน� คอ 21.5 คะแนน

การหาคามธยฐานของขอมลจดกลม ใชกบขอมลท�มการแจกแจง ในรปแบบตาราง แจกแจงความถ� จะเหนไดวาจะไมสามารถหาคามธยฐาน ท�เปนคาจรงจากขอมลท�มการแจกแจง เปนอนตรภาคช �นได ท �งน�เน�องจากไมไดระบไววาขอมลในแตละชวงมคะแนนใดบาง ทราบแตเพยงวา มจานวนความถ�เทาไรเทาน �น ดงน �นคามธยฐานจากขอมลท�แจกแจงความถ� จงจาเปนตองใชคาประมาณ โดยจะประมาณดวยคะแนนในชวงท�มคะแนนตาแหนงตรงกลางอย ตาแหนงมธยฐาน คอ คากลางของขอมล จงใช

2N แลวนาคาท�ไดไปตรวจสอบวาคาท�ได

ตกอยในช �นใด โดยตรวจสอบจากความถ�สะสม เพราะความถ�สะสมคอการเรยงขอมลจากตวแรก ไปจนถงตวสดทายของขอมล คานวณหาคามธยฐานไดจากสตร

Me = L + Imef

bF2N

40

เม�อ Me คอ คามธยฐาน L คอ ขอบลางของช �นท�คามธยฐานอย N คอ จานวนขอมลท �งหมด Fb คอ ความถ�สะสมของช �นท�มชวงคะแนนนอยกวาและอย ตดกบช �นท�คามธยฐานอย fme คอ ความถ�ของช �นท�คามธยฐานอย I คอ ความกวางของอนตรภาคช �น

ตวอยางท� 2.10 บรษทแหงหน�งทาการทดสอบอายการใชงานของหลอดไฟ จานวน 50 หลอด ไดผลดงตารางตอไปน�

จงหาคามธยฐานของอายหลอดไฟชดน�

วธทา คานวณหาตาแหนงช �นท�คามธยฐานอยโดยใชสตร

2N =

250 = 25 คอ ช �นท� 4

อายการใชงาน

(ช �วโมง) ความถ�(f) ความถ�สะสม (F)

97 – 108 109 – 120 121 – 132 133 – 144 145 – 156 157 – 168

7 5 12

10 fme

9 7

7 12

24 Fb 34 43 50

Me

อายการใชงาน(ช �วโมง)

จานวน (หลอด)

97 – 108 109 – 120 121 – 132 133 – 144 145 – 156 157 – 168

7 5 12 10 9 7

41

แทนคาจากสตร Me = L + Imef

bF2N

Me = 132.5 + 121024 -25

Me = 133.7 ดงน �น คามธยฐานของอายการใชงานของหลอดไฟเทากบ 133.7 ช �วโมง ฐานนยม

ฐานนยม คอ คาของขอมลท�มจานวนซ�ากนมากท�สด หรอเปนขอมลท�มความถ�สงสด ในขอมลชดน �น ขอมลท�เหมาะสมในการหาคาฐานนยมจะอยในมาตรการวดระดบนามบญญต และมาตราอตราสวน สญลกษณท�ใชแทนฐานนยมใช Mo แบงได 2 กรณ ดงน� การหาฐานนยมของขอมลไมจดกลม พจารณาขอมลท�มจานวน ซ�ากนมากท�สด หากมมากกวาหน�งใหนบทกจานวนเปนคาฐานนยม แตหากมจานวนมากแตเทากนทกจานวนถอวาขอมลชดน �นไมมฐานนยม ในขอมลแตละชดอาจมฐานนยมมากกวาหน�ง หรอไมมเลยกได ตวอยางท� 2.11 จงหาฐานนยมของขอมลตอไปน� ขอท� 1 2 3 4 3 4 3 3 เลข 3 มจานวนซ�ากนมากท�สด ฐานนยมมคาเทากบ 3 ขอท� 2 4 4 4 3 3 3 เลข 3 กบ เลข 4 จานวนเทากนไมมจานวนใดโดดเดน ขอน�ไมมฐานนยม ขอท� 3 5 6 17 21 12 4 8 ไมมจานวนใดโดดเดนกวาจานวนอ�นๆ ขอน�ไมมฐานนยม ขอท� 4 5 5 5 5 5 5 มเลข 5 เพยงจานวนเดยวไมมจานวนใดใหเปรยบเทยบ ขอน�ไมมฐานนยม ขอท� 4 5 5 5 5 5 5 1 เลข 5 มจานวนซ�ากนมากท�สด ฐานนยมมคาเทากบ 5 การหาฐานนยมของขอมลจดกลม ฐานนยมของขอมลท�มการแจกแจงความถ� จะอยในช �นท�มความถ�มากท�สด และการคานวณหาฐานนยมไดจากสตร

Mo = L + I2d1d

1d

42

เม�อ Mo คอ คาฐานนยม L คอ ขอบลางของช �นท�มฐานนยมอย d1 คอ ผลตางของความถ�ระหวางช �นท�มฐานนยมอย กบช �นท�มชวงคะแนนนอยกวาท�อยตดกน d2 คอ ผลตางของความถ�ระหวางช �นท�มฐานนยมอย กบช �นท�มชวงคะแนนมากกวาท�อยตดกน I คอ ความกวางของอนตรภาคช �น

ตวอยางท� 2.12 รานอาหารแหงหน�งทาการสารวจชวงอายของลกคาท�เขามาใชบรการ ในชวงเวลา 18.00 น. – 21.00 น. ไดผลดงตารางดงตอไปน�

อาย (ป) จานวน (คน) 21 – 25 26 – 30 31 – 35 36 – 40 41 – 45 46 – 50

6 8 11 9 9 10

จงหาคาฐานนยมของอายลกคากลมน�

วธทา อาย (ป) จานวน (คน) 21 – 25 26 – 30 31 – 35 36 – 40 41 – 45 46 – 50

6 8 11 9 9 10

Mo

จานวนความถ�สงสดอยในช �นท� 3 คอ 11 คน ดงน �นฐานนยมตกอยในช �นท� 3 ดงน �น d1 = 11 – 8 = 3 d2 = 11 – 9 = 2

แทนคาจากสตร Mo = L + I2d1d

1d

43

Mode Median Mean

Mean Median Mode

Mode Median Mean

Mo = 30.5 + 5233

= 33.5

ดงน �น คาฐานนยมของอายลกคาท�มาใชบรการ คอ 33.5 ป การนาเสนอความสมพนธระหวางคาเฉล�ยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม ในรปโคงปรกต ( Normal Curve) รปท� 2.1 แสดงตาแหนงคาเฉล�ย คามธยฐาน และคาฐานนยม ในกรณท�มคาขอมลเทากน

รปท� 2.2 แสดงตาแหนงคาเฉล�ย คามธยฐาน และคาฐานนยม ในกรณท�คาขอมล เอยงเอนไปทางขวา เรยกวาโคงเบซาย

รปท� 2.3 แสดงตาแหนงคาเฉล�ย คามธยฐาน และคาฐานนยม ในกรณท�คาขอมล เอยงเอนไปทางซาย เรยกวาโคงเบขวา

44

ขอสงเกต 1. คา Mode จะเปนยอดของโคงเสมอ 2. คา Median จะเปนจดกลางของเสนโคงเสมอ การวดการกระจาย การวดการกระจาย (measures of dispersion) เปนการศกษาลกษณะของขอมล วามการกระจายคามากหรอนอยเพยงไร การพจารณาลกษณะของขอมลโดยใชคากลาง เพยงอยางเดยว ไมสามารถบอกลกษณะของขอมลไดชดเจน เชน คะแนนสอบเกบคะแนน ของนกศกษา 2 กลม ไดผลดงน� กลมท� 1 ได 11, 12, 13, 14, 15 กลมท� 2 ได 7, 10, 13, 16, 19 หากใชการทดสอบคาของขอมลโดยการวดแนวโนมเขาสสวนกลาง พบวาคาเฉล�ยเลขคณต 2 กลมน� เทากน คอ 13 คามธยฐานมคาเทากน คอ 13 ในสวนคาฐานนยมขอมลท �ง 2 กลมน�ไมมคาฐานนยมเหมอนกน ดงน �นหากใชเพยงการวดแนวโนมเขาสสวนกลางวธเดยว จะทาใหเหนไดวา คะแนนสองกลมน�เทากน แตหากมองจากคะแนนท�ไดของแตละกลมจะเหนไดวากลมท� 1 คะแนนเกาะกลมกน สวนคะแนน ในกลมท� 2 มการกระจายตว ดงน �นจงตองทาการตรวจสอบการกระจายของขอมลดวย เพ�อท�จะไดเหนรปแบบท�แทจรงของขอมล การวดการกระจายของขอมลมอยหลายวธ โดยวธท�จะกลาวถง ไดแก พสย (Range) สวนเบ�ยงเบนควอรไทล (Quartile Deviation) สวนเบ�ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) และความแปรปรวน (Variance) พสย พสย คอ การวดขอมลอยางคราวๆ เปนการวดการกระจายของขอมลท�มความละเอยด ต�าท�สด เปนการเปรยบเทยบคาของขอมลระหวางขอมลท�มคามากท�สด กบขอมลท�มคานอยท�สด มกใชควบคกบการวดแนวโนมเขาสสวนกลางดวยคาฐานนยม แตกสามารถใชกบวธอ�นไดดวยเชนกน ใชสญลกษณ คอ R การหาพสยของขอมลไมจดกลม จะหาไดจากสตร คาพสย (R) = คาสงสดของขอมล – คาต�าสดของขอมล

ตวอยางท� 2.13 คะแนนสอบกลางภาครายวชาการคดและการตดสนใจของนกศกษา หมเรยน ท� 02 มคะแนนสอบดงน� 18, 23, 24, 24, 25, 27, 32, 35, 36

วธทา R = 36 – 18 = 18

45

ดงน �นคาพสยของคะแนนสอบกลางภาควชาการคดและการตดสนใจหมเรยนท� 02 เทากบ 18 การหาพสยของขอมลจดกลม สาหรบขอมลท�มการแจกแจง จะหาไดจากสตร คาพสย(R) = ขอบบนของช �นสดทาย – ขอบลางของช �นแรก ตวอยางท� 2.14 นกเรยนช �นอนบาลปท� 2 ของโรงเรยนแหงหน�ง ครประจาช �นไดทาการบนทกสวนสงของนกเรยน ไดผลดงตารางตอไปน�

สวนสง(เซนตเมตร)

จานวน (คน)

60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84

3 6 9 12 5

วธทา

สวนสง(เซนตเมตร)

จานวน (คน) ขอบบนของช �น ขอบลางของช �น

60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84

3 6 9 12 5

64.5 69.5 74.5 79.5 84.5

59.5 64.5 69.5 74.5 79.5

R = 84.5 – 59.5 = 25

ดงน �น คาพสยของความสงนกเรยนหองน� เทากบ 25

สวนเบ�ยงเบนควอรไทล (Quartile Deviation) เปนคาท�ใชในการวดการกระจายของขอมลรอบๆคามธยฐาน โดยคาสวนเบ�ยงเบนควอรไทล เปนการวดการกระจายโดยแบงขอมลออกเปน 4 สวนเทาๆ กนดงน�

Q1 Q2 Q3

46

สญลกษณท�ใช คอ Q.D. โดยวธน�อาศยหลกวา ถาขอมลมการกระจายมาก ตาแหนงของ Q1 และตาแหนงของ Q3 จะตางกนมาก แตถาขอมลมการกระจายนอยตาแหนงของ Q1 และตาแหนงของ Q3 จะตางกนนอย มกใชควบคกบการวดแนวโนมเขาสสวนกลาง คอ คามธยฐาน จะคานวณไดจากสตร

Q.D. = 21Q3Q

เม�อ Q.D. คอ สวนเบ�ยงเบนควอรไทล Q1 คอ คาของขอมลในตาแหนงท� Q1 อย Q3 คอ คาของขอมลในตาแหนงท� Q3 อย

โดยสตรท�ใชน�จะใชท �งแบบขอมลจดกลมและขอมลแบบไมจดกลม ความตางระหวาง 2 กรณ คอการหาคาควอรไทล ท�มวธการหาท�ตางกน แบงได 2 กรณ ดงน� สวนเบ�ยงเบนควอรไทลของขอมลไมจดกลม มวธการเชนเดยวกนกบ การหาคามธยฐาน คอ ตองนาขอมลมาจดเรยงใหม แตจะใชแคในกรณเรยงจากคานอยไปหาคามากเทาน �น แลวหาตาแหนงของควอรไทลท�ตองการ จากสตร ตาแหนงของ Qr คอตาแหนงท� 4

1)(r)(N

เม�อ Qr คอ คาของขอมลของในตาแหนงท� Qr อย (โดยท� r = 1 หรอ 3) N คอ จานวนขอมลท �งหมด ตวอยางท� 2.15 ขนนตนหน�งมลกจานวน 11 ผล มน�าหนกดงน� 4, 6, 12, 5, 6, 10, 13, 14, 9, 8 และ 10 กโลกรม จงหาสวนเบ�ยงเบนควอรไทลน�าหนกของลกขนนตนน� วธทา เรยงลาดบขอมล 4, 5, 6, 6, 8, 9, 10, 10, 12, 13, 14 ; N = 11 หาตาแหนง Q1 และ Q3 Q1 ตรงกบตาแหนงท� 4

1)1(11 = 412 = 3 คอ Q1 = 6

Q3 ตรงกบตาแหนงท� 41)3(11 = 4

36 = 9 คอ Q3 = 12

จากสตร Q.D. = 21Q3Q

แทนคา Q.D. = 26) - (12 = 2

6 = 3

ดงน �น สวนเบ�ยงเบนควอรไทลน�าหนกของลกขนนตนน�เทากบ 3

47

ตวอยางท� 2.16 หองทางานในโรงงานแหงหน�งมจานวนพนกงาน 5 คน แตละคนมเงนเดอนดงน� 11,500, 12,340, 14,600, 13,540 และ 13,900 บาท จงหาสวนเบ�ยงเบนควอรไทลของเงนเดอนพนกงานกลมน� วธทา

เรยงลาดบขอมล 11,500, 12,340, 13,540, 13,900, 14,600 ; N = 5 หาตาแหนง Q1 และ Q3 Q1 ตรงกบตาแหนงท� 4

1)1(5 = 46 = 1.5

ใชวธเทยบบญญตไตรยางศ คาระหวางตาแหนงเทากบ 12,340 – 11,500 = 840

คาในชวงท�ตองการหาเทากบ 0.5 ดงน �นคา Q1 = 11,500 + (840 x 0.5) = 11,920 Q3 ตรงกบตาแหนงท� 4

1)3(5 = 418 = 4.5

ใชวธเทยบบญญตไตรยางศ คาระหวางตาแหนงเทากบ 14,600 – 13,900 = 700 คาในชวงท�ตองการหาเทากบ 0.5 ดงน �นคา Q3 = 13,900 + (700 x 0.5) = 14,250

จากสตร Q.D. = 21Q3Q

แทนคา Q.D. = 211,920) - (14,250 = 2

2,330 = 1,165

ดงน �น สวนเบ�ยงเบนควอรไทลของเงนเดอนคนกลมน�เทากบ 1,165

สวนเบ�ยงเบนควอรไทลของขอมลจดกลม มวธการเชนเดยวกบหาคามธยฐาน คอ เรยงขอมลท �งหมดตามลาดบจากคานอยไปหาคามาก ซ�งในรปแบบของขอมลแบบจดกลมจะทาโดยการสรางความถ�สะสม แลวหาตาแหนงของควอรไทลท�ตองการ จากสตร

Qr = L + IfbFNr

4

เม�อ Qr คอ คาของขอมลของในตาแหนงท�Qr (โดยท� r = 1หรอ 3) L คอ ขอบลางของช �นท�ม Qr N คอ จานวนขอมลท �งหมด Fb คอ ความถ�สะสมลงของช �นกอนถงช �นท�ม Qr

48

f คอ ความถ�ของช �นท�ม Qr I คอ ความกวางของอนตรภาคช �น หลกในการพจารณาวาช �นใดเปนช �นท�ม Qr ตกอย เหมอนกบการหามธยฐาน โดยพจารณาจากคา 4

Nr เทยบกบความถ�สะสมกจะไดช �นท�ม Qr ตกอย

ตวอยางท� 2.17 จงหาสวนเบ�ยงเบนควอรไทลของจานวนผลผลตมะเขอเทศตอไร จาก 17 จงหวด ภาคตะวนออกเฉยงเหนอ จากตารางแจกแจงความถ�ดงน�

ผลผลตมะเขอเทศเฉล�ยตอไร (กโลกรม)

จานวน (จงหวด)

220 – 229 230 – 239 240 – 249 250 – 259 260 – 269

5 3 6 2 1

วธทา

คานวณหาตาแหนงควอรไทลท� 1 จากสตร 4Nr = 4

117 = 4.25

คานวณหาตาแหนงควอรไทลท� 3 จากสตร 4

Nr = 4317 = 12.75

ผลผลตมะเขอเทศเฉล�ยตอไร (กโลกรม)

จานวน (จงหวด)

ความถ�สะสม (F)

220 – 229 230 – 239 240 – 249 250 – 259 260 – 269

4 4 6 2 1

4 8 14 16 17

Q1

Q3

49

จากสตร Qr = L + IfbFNr

4

Q1 = 229.5 + 1044

4117

= 230.13

Q3 = 239.5 + 1068

4317

= 247.42

Q.D. = 21Q3Q

Q.D. = 2230.13247.42 = 8.65

ดงน �น สวนเบ�ยงเบนควอรไทลของจานวนผลผลตมะเขอเทศตอไรเทากบ 8.65

ขอสงเกต 1. คาเบ�ยงเบนควอรไทลจะไมตดลบ 2. ในกรณขอมลแบบจดกลม คาเบ�ยงเบนควอรไทลท� 1 จะมคานอยกวา คาเบ�ยงเบนควอรไทลท� 3 เสมอ

3. ในกรณขอมลแบบไมจดกลม คาเบ�ยงเบนควอรไทลท� 1 จะมคานอยกวา หรอเทากน กบคาเบ�ยงเบนควอรไทลท� 3 เทาน �น

สวนเบ�ยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวน สวนเบ�ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) เปนการวดการกระจายของคะแนนรอบๆคาเฉล�ย เปนคาท�ใชวดการกระจายของขอมลท �งชด เปนคาท�นยมใชมากท�สดโดยจะใชเทยบเคยง ไปกบคาเฉล�ยขอมลท�เหมาะสมในการหาคาสวนเบ�ยงเบนมาตรฐาน คอ ขอมลท�อยในระดบการวดในมาตราอนตรภาคช �น และมาตราอตราสวน สญลกษณของสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานท�คานวณไดจากประชากร ใชสญลกษณ (อานวา ซกมา) สวนสญลกษณของสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานท�คานวณไดจากกลมตวอยางใชสญลกษณ S.D. หรอ S

ความแปรปรวน (Variance) เปนคาเฉล�ยกาลงสองของสวนเบ�ยงเบนมาตรฐาน คาคานวณท�ไดจากประชากร ใชสญลกษณ 2 (อานวา ซกมากาลงสอง) สวนความแปรปรวน

50

ของตวอยาง ใชสญลกษณ S.D.2 หรอ S2 การคานวณหาคาความแปรปรวน มวธการคานวณเหมอนการหาคาสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานท�ตางกน น �นคอคาความแปรปรวนไมตองถอดรากท�สอง สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของขอมลท�ไมจดกลม กรณท�เปนขอมล ของประชากร จะหาไดจากสตร

=

1

2)(i

i

เม�อ คอ สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของประชากร i คอ คาของขอมลแตละตว คอ คาเฉล�ยของประชากร คอ จานวนขอมลของประชากร หรอ

=

2

11

2

ii

ii

เม�อ คอ สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของประชากร i คอ คาของขอมลแตละตว คอ จานวนขอมลของประชากร ความแปรปรวนของขอมลท�ไมจดกลม กรณท�เปนขอมลของประชากร จะหาไดจากสตร

2 =

1

2)(i

i

เม�อ 2 คอ ความแปรปรวนของประชากร i คอ คาของขอมลแตละตว คอ คาเฉล�ยของประชากร คอ จานวนขอมลของประชากร

51

หรอ

2 =

2

11

2

ii

ii

เม�อ 2 คอ ความแปรปรวนของประชากร i คอ คาของขอมลแตละตว คอ จานวนขอมลของประชากร ตวอยางท� 2.18 จงหาคาสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของขอมลตอไปน� 2, 3, 1, 5,และ 4

วธทา เรยงขอมล 1, 2, 3, 4, 5 หาคาสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานจากสตร

=

1

2)(i

i

= ���������� = 3

= 5

3534333231 22222

= 5

41014

= 5

10 = 2 = 1.41

2 =

1

2)(i

i

= ���������� = 3

2 = 5

3534333231 22222

= 5

41014 = 5

10 = 2

52

จากสตร

=

2

11

2

ii

ii

= 222222

554321

554321

= 95

55 = 2 = 1.41

2 =

2

11

2

ii

ii

= 222222

554321

554321

= 911 = 2 คาสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 1.41 คาความแปรปรวนมคาเทากบ 2

สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของขอมลท�ไมจดกลม กรณท�เปนขอมลของตวอยาง จะหาไดจากสตร

S = 1

)( 2

1

n

n

ii

เม�อ S คอ สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของกลมตวอยาง i คอ คาของขอมลแตละตว X คอ คาเฉล�ยของกลมตวอยาง n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยาง หรอ

S = )1(

)(1 1

22

nn

nn

i

n

iii

เม�อ S คอ สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของกลมตวอยาง i คอ คาของขอมลแตละตว

n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยาง

53

ความแปรปรวนของขอมลท�ไมจดกลม กรณท�เปนขอมลของตวอยาง จะหาไดจากสตร

S2 = 1

)(1

2

n

n

ii

เม�อ S2 คอ ความแปรปรวนของกลมตวอยาง i คอ คาของขอมลแตละตว X คอ คาเฉล�ยของตวอยาง n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยาง หรอ

S2 = )1(

)(1 1

22

nn

nn

i

n

iii

เม�อ S2 คอ ความแปรปรวนของกลมตวอยาง

i คอ คาของขอมลแตละตว

n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยาง ตวอยางท� 2.19 นกเรยนช �นประถมศกษาปท� 5 ของโรงเรยนแหงหน�งมจานวน 15 คน ครไดทาการทดสอบวชาคณตศาสตร โดยไดทาการสมคะแนนนกเรยนมา 6 คน ไดผลดงน� 6, 7, 7, 8, 9, และ 5 จงหาคาสวนเบ�ยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวนของคะแนนนกเรยนท�ถกสมมากลมน�

วธทา เรยงขอมล 5, 6, 7, 7, 8, 9

จากสตร

S = 1

)( 2

1

n

n

ii

X = ������������ = 7

S = 16

797877777675 222222

54

= 5

410014

= 5

10 = 2 = 1.41

S2 = 1

)(1

2

n

n

ii

X = ������������ = 7

S2 = 16

797877777675 22222

= 5

410014 = 5

10 = 2

จากสตร

S = )1(

)(1 1

22

nn

nn

i

n

iii

= )16(6

9877659877656 2222222

= 30

764,1824,1

= 3060 = 2 = 1.41

S2 = )1(

)(1 1

22

nn

nn

i

n

iii

= 30

987765987765 222222222222

= 3060 = 2

คาสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของมคาเทากบ 1.41 คาความแปรปรวนมคาเทากบ 2

55

สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของขอมลจดกลม กรณท�เปนขอมลของประชากร จะหาไดจากสตร

=

k

iiif

1

2)(

เม�อ คอ สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของประชากร i คอ จดก�งกลางของแตละช �น if คอ คาความถ�ของขอมลแตละช �น คอ คาเฉล�ยของประชากร คอ จานวนขอมลของประชากร หรอ

=

2

11

2

k

iii

k

iii ff

เม�อ คอ สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของประชากร i คอ จดก�งกลางของแตละช �น if คอ คาความถ�ของขอมลแตละช �น คอ จานวนขอมลของประชากร ความแปรปรวนของขอมลจดกลม กรณท�เปนขอมลของประชากร จะหาไดจากสตร

2 =

k

iiif

1

2)(

เม�อ 2 คอ ความแปรปรวนของประชากร if คอ คาความถ�ของขอมลแตละช �น i คอ จดก�งกลางของแตละช �น คอ คาเฉล�ยของประชากร คอ จานวนขอมลของประชากร k คอ จานวนอนตรภาคช �น

56

หรอ

2 =

2

11

2

k

iii

k

iii ff

เม�อ 2 คอ ความแปรปรวนของประชากร if คอ คาความถ�ของขอมลแตละช �น i คอ จดก�งกลางของแตละช �น คอ จานวนขอมลของประชากร k คอ จานวนอนตรภาคช �น ตวอยางท� 2.26 ตารางแสดงจานวนนกศกษาเอกวชาภาษาองกฤษ ช �นปท� 3 ของมหาวทยาลยแหงหน�งจานวน 45 คน ใชเวลาในการเดนทางจากหอพกมายงมหาวทยาลย ดงน�

ชวงเวลา )นาท(

จานวน )คน(

3 - 7 8 - 12 13 - 17 18 - 22 23 - 27

28 - 32

10 15 6 8 4 2

จงหาคาสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของขอมลชดน� วธทา จากสตร

=

k

iiif

1

2)(

=

k

iiif

1 = 45

610 = 13.56

57

ชวงเวลา (นาท)

จานวน (คน)

i iif ( i - ) ( i - )2 if ( i - )2

3 - 7 8 - 12 13 - 17 18 - 22 23 - 27 28 - 32

10 15 6 8 4 2

5 10 15 20 25 30

50 150 90 160 100 60

-8.56 -3.56 1.44 6.44 11.44 16.44

73.27 12.67 2.07 41.47 130.87 270.27

732.7 190.05 12.42 331.76 523.48 540.54

รวม 45 610 2,330.95

=

k

iiif

1

2)(

= 45

95.330,2

= 80.51 = 7.20

2 =

k

iiif

1

2)(

= 45

95.330,2

= 51.80 คาสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 7.20 และความแปรปรวนมคาเทากบ 51.80

จากสตร

=

2

11

2

k

iii

k

iii ff

58

ชวงเวลา (นาท)

จานวน (คน)

i iif 2iif

3 - 7 8 - 12 13 - 17 18 - 22 23 - 27 28 - 32

10 15 6 8 4 2

5 10 15 20 25 30

50 150 90 160 100 60

250 1,500 1,350 3,200 2,500 1,800

รวม 45 610 10,600

= 2

45610

45600,10

= 75.18355.235 = 80.51 = 7.20

2 =

2

11

2

k

iii

k

iii ff

= 75.18355.235 = 51.80 คาสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 7.20 และความแปรปรวนมคาเทากบ 51.80 สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของขอมลจดกลม กรณท�เปนขอมลของตวอยาง จะหาไดจากสตร

S = 1

)( 2

1

n

fk

iii

เม�อ S คอ สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของตวอยาง

59

if คอ คาความถ�ของขอมลแตละช �น i คอ จดก�งกลางของแตละช �น X คอ คาเฉล�ยของกลมตวอยาง n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยาง k คอ จานวนอนตรภาคช �น

หรอ

S = )1(

)(1 1

22

nn

ffnk

i

k

iiiii

เม�อ S คอ สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของตวอยาง if คอ คาความถ�ของขอมลแตละช �น i คอ จดก�งกลางของแตละช �น n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยาง k คอ จานวนอนตรภาคช �น ความแปรปรวนของขอมลจดกลม กรณท�เปนขอมลของตวอยาง จะหาไดจากสตร

S2 = 1

)(1

2

n

fk

iii

เม�อ S2 คอ ความแปรปรวนของตวอยาง if คอ คาความถ�ของขอมลแตละช �น i คอ จดก�งกลางของแตละช �น X คอ คาเฉล�ยของกลมตวอยาง n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยาง k คอ จานวนอนตรภาคช �น

หรอ

S2 = )1(

)(1 1

21

2

nn

ffnk

i

k

iiii

60

เม�อ S2 คอ ความแปรปรวนของตวอยาง if คอ คาความถ�ของขอมลแตละช �น i คอ จดก�งกลางของแตละช �น n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยาง k คอ จานวนอนตรภาคช �น ตวอยางท� 2.27 โรงเรยนมธยมศกษาแหงหน�ง มจานวนนกเรยนระดบช �นมธยมศกษาปท� 3 จานวน 150 คน ไดทาการสมเลอกนกเรยนออกมาจานวน 50 คน ทาการช �งน�าหนกไดผลดงตาราง

น�าหนก (กโลกรม)

จานวนนกเรยน (คน)

35 – 40 41 – 46 47 – 52 53 – 58 59 – 64 65 – 72

5 11 7 14 7 6

จงหาคาสวนเบ�ยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวนของน�าหนกนกเรยนกลมน� วธทา

จากสตร

S = 1

)( 2

1

n

fk

iii

X = n

fk

iii

1 =

50625,2 = 52.5

61

น�าหนก (กโลกรม)

จานวนนกเรยน

(คน)

i iif ( i - X ) ( i - X )2 if ( i - X )2

35 – 40 41 – 46 47 – 52 53 – 58 59 – 64 65 – 72

5 11 7 14 7 6

37.5 43.5 49.5 55.5 61.5 67.5

187.5 478.5 346.5 777

430.5 405

-15 -9 -3 3 9 15

225 81 9 9 81 225

1,125 891 63 126 567

1,350 รวม 50 2,625 4,122

แทนคาในสตร S = 150

122,4

= 12.84 = 9.17

S2 = 1

)(1

2

n

fk

iii

= 49122,4

= 84.12 คาสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 9.17 และความแปรปรวนมคาเทากบ 84.12

จากสตร

S = )1(

)(1 1

22

nn

ffnk

i

k

iiiii

62

น�าหนก (กโลกรม)

จานวนนกเรยน

(คน)

i iif 2iif

35 – 40 41 – 46 47 – 52 53 – 58 59 – 64 65 – 72

5 11 7 14 7 6

37.5 43.5 49.5 55.5 61.5 67.5

187.5 478.5 346.5 777

430.5 405

7,031.25 20,817.5 17,151.75 43,123.5 26,475.75

27,337.5 รวม 50 2,625 141,937.25

แทนคาในสตร S = )150(50

)625,2()25.937,141(50 2

= 450,2

625,890,65.862,096,7

= 17.84 = 9.17

S2 = )1(

)(1 1

21

2

nn

ffnk

i

k

iiii

= 15050)625,2()25.937,141(50 2

= 84.17 ดงน �นสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของคะแนนชดน� เทากบ 9.17 และมความแปรปรวนเทากบ 84.17 ขอสงเกต

1. สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเปนบวกเสมอ 2. ถาคาของขอมลมคาเทากนทกคา สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานจะมคาเทากบศนย

63

ความสมพนธระหวางคาเฉล�ยกบสวนเบ�ยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวน

ความแปรปรวนรวม (Combinet or Pooled Variences) เปนความสมพนธระหวางคาเฉล�ย และความแปรปรวน ถามขอมล n ชด ความแปรปรวน

คอ 21, 2

2, 23,..., 2

n กรณคาเฉล�ยเลขคณตของขอมลเทากนทกชด

ความแปรปรวนรวม

2 = n

nn

NNNNNNNN

.......

321

2233

222

211

เม�อ 2 คอ ความแปรปรวนรวม iN คอ จานวนของสมาชกในกลมขอมลต �งแตกลมท� i จนถง

กลมสดทาย 2

i คอ คาเฉล�ยกาลงสองของกลมขอมลต �งแตกลมท� i จนถง กลมสดทาย

กรณคาเฉล�ยเลขคณตของขอมลไมเทากน ความแปรปรวนรวม

2 = n

nnn

NNNNNNNN

.......

321

2223

233

22

222

21

211

เม�อ 2 คอ ความแปรปรวนรวม iN คอ จานวนของสมาชกในกลมขอมลต �งแตกลมท� i จนถง

กลมสดทาย 2

i คอ คาเฉล�ยกาลงสองของกลมขอมลต �งแตกลมท� i จนถง กลมสดทาย

2i คอ คาเฉล�ยกาลงสองของกลมขอมลต �งแตกลมท� i จนถง

กลมสดทาย

ตวอยางท� 2.28 สานกงานแหงหน�งมหนวยงานยอยอย 3 สวน หนวยงานท� 1 มจานวนสมาชก อย 4 คน มความแปรปรวนของอายเทากบ 4 (ป)2 หนวยงานท� 2 มจานวนสมาชกอย 6 คน มความแปรปรวนของอายเทากบ 3 (ป)2 และหนวยงานท� 3 มจานวนสมาชกอย 4 คน มความแปรปรวนของอายเทากบ 6 (ป)2 ถาคาเฉล�ยของอายของพนกงานทกหนวยงานเทากน จงหาคาความแปรปรวนรวมของอายพนกงานในสานกงานแหงน�

64

วธทา ดวยคาเฉล�ยเลขคณตของทกหนวยงานเทากน จากสตร

2 = n

nn

NNNNNNNN

.......

321

2233

222

211

=

464)64()36()44(

= 1458

= 4.14 คาความแปรปรวนรวมของอายพนกงานในสานกงานแหงน�เทากบ 4.14 (ป)2 สมประสทธ� ของการแปรผน (coefficient of variation) ใชในกรณตองการเปรยบเทยบการกระจายขอมลต �งแตสองชดข�นไป โดยท�หนวยวดแตกตางกน หรอมคาเฉล�ยเลขคณตตางกน

C.V = x 100%

เม�อ C.V คอ สมประสทธ �ของการแปรผน

คอ สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของกลมขอมล คอ คาเฉล�ยเลขคณตของของกลมขอมล

ตวอยางท� 2.28 นกศกษาท�ลงทะเบยนเรยนในวชาการคดและการตดสนใจ ในมหาวทยาลย แหงหน�ง ในภาคเรยนท� 3 มจานวน 3 หมเรยน โดยหมท� 1 มคะแนนสอบเฉล�ย15 คะแนน สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 3.12 หมท� 2 มคะแนนสอบเฉล�ย17 คะแนน สวนเบ�ยงเบนมาตรฐาน เทากบ 4.56 และหมท� 3 มคะแนนสอบเฉล�ย16.2 คะแนน สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 3.78 จงหาสมประสทธ �ของการแปรผน ของนกศกษากลมน�

วธทา

C.V = x 100%

หมเรยนท� 1 มคา C.V = 15

12.3 x 100% = 20.8 %

65

หมเรยนท� 2 มคา C.V = 17

56.4

หมเรยนท� 3 มคา C.V = 2.16

78.3

สรปไดวา หมเรยนท� 1 มคาสมประสทธ �ของการแปรผนของคะแนนสอบในหองเรยน นอยท�สด แปลไดวามคะแนนสอบในหมเรยนใกลเคยงกนมากกวาหมเรยนอ�นๆ

บทสรป

การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง คอ การคานวณหาตาแหนงของขอมล วาลเขาส

สวนกลางหรอไม โดยในการวดแนวโนมเขาสสวนกลางมหลายวธท�นยมใชกน คอ คาเฉล�ย เลขคณต คามธยฐาน และคาฐานนยม โดยแตละวธกจะมวธหาคาตอบท�แตกตางกน แบงขอมลไดเปน 2 แบบ คอ ขอมลไมจดกลมจะเปนขอมลดบ และขอมลจดกลมจะเปนการท�นาขอมล ไปแจกแจงความถ� และยงแบงตามท�มาของขอมลไดอก 2 ชนด คอ ขอมลจากประชากร กบขอมลท�ไดจากตวอยาง การวดการการกระจายของขอมล คอ การตรวจสอบคาของขอมลวาคาในกลมมการกระจายตวมากนอยเพยงใด ถาขอมลในกลมมคาใกลเคยงกนคาการกระจายตวของขอมลกจะต�า แตหากคาของขอมลในกลมตางกนคาการกระจายตวของขอมลกจะสง ใชวเคราะหขอมลเทยบเคยงกบการวดแนวโนมเขาสสวนกลาง นยมใชท�สด คอ คาเฉล�ยเลขคณต และคา สวนเบ�ยงเบนมาตรฐาน

x 100% = 23.33%

x 100% = 26.82 %

66

แบบฝกหดบทท� 2 1. จงหาคาเฉล�ยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม ของขอมลตอไปน� 1.1) 16 16 15 14 16 13 12 13 12 1.2) 14 12 14 16 15 16 12 15 18 11 1.3) 15 13 14 16 12 11 18 1.4) 12 13 14 13 14 12 16 16 2. ทมนกวอลเลยบอลชายของจงหวดอดรธานมผเลนท �งหมด 15 คน แตละคนมสวนสงดงน�

180,185,178,184,187,179,182,176,174,188,178,180,181,176 และ 182 เซนตเมตร จงหาคาเฉล�ยเลขคณต ของทมนกวอลเลยบอลทมน�

3. อาจารยประจาวชาภาษาไทยของโรงเรยนแหงหน�ง ไดทาการสอบกลางภาคกบนกเรยน จานวน 30 คน ไดคะแนนดงน� 14 17 16 14 13 17 11 14 15 18 12 17 15 18 16 17 18 12 14 17 17 15 12 17 16 18 11 16 14 15 จงหาคาเฉล�ยเลขคณตของคะแนนสอบวชาภาษาไทยของนกเรยนกลมน� 4. ในการเรยนวชาภาษาองกฤษของนกเรยนช �นมธยมศกษาปท� 3 ของโรงเรยนแหงหน�งมการ

สอบยอยท �งหมดสามคร �ง คร �งละ 20 คะแนน และสอบปลายภาคอก 40 คะแนน โดยในการสอบ แตละคร �งจะตองทาขอสอบ 60 ขอ ถามนกเรยนสอบยอยได 40, 55และ 47 ขอ สอบปลายภาค ได 45 ขอ อยากทราบวานกเรยนคนน�ไดคะแนนเฉล�ยเทากบเทาใด 5. ผลการสอบวชาคณตศาสตรของนกศกษาคณะวทยาการจดการช �นปท� 3 ของมหาวทยาลยแหง หน�งจานวน 47 คน ไดผลดงตารางแจกแจงความถ�

ชวงคะแนน จานวน(คน) 8 – 11 12 – 15 16 – 19 20 – 23 24 – 28

6 12 15 5 9

จงหาคาเฉล�ยเลขคณต คามธยฐาน และคาฐานนยม ของคะแนนสอบนกศกษากลมน�

67

6. สถานตารวจภธรแหงหน�งในจงหวดสกลนคร มเจาหนาท�ตารวจท �งหมด 90 นาย ทาการสมเลอก มาท �งหมด 35 นาย ทาการวดสวนสงไดผลดงตารางแจกแจงความถ�

สวนสง

(เซนตเมตร) จานวน (นาย)

160 – 164 165 – 169 170 – 174 175 – 179 180 – 184 185 – 189

5 9 11 6 3 1

จงหาคาเฉล�ยเลขคณตของความสงของตารวจกลมน�

7. จงหาพสย สวนเบ�ยงเบนควอรไทล สวนเบ�ยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวนของขอมลตอไปน�

9.1) 9 12 11 8 15 8 12 9.2) 5 9 7 11 6 10 8 7 8. รานอาหารแหงหน�ง ไดทาการสารวจยอดการชาระเงนของลกคาตลอดท �งอาทตย ไดผล

ดงตารางแจกแจงความถ�

ยอดชาระ (บาท)

จานวนลกคา (โตะ)

150 – 159 160 – 169 170 – 179 180 – 189 190 – 199 200 – 209

10 13 19 15 17 9

จงหา สวนเบ�ยงเบนควอรไทล สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของขอมลชดน�

68

9. โรงพยาบาลเอกชนแหงหน�ง ไดทาการสมเลอกจานวนลกคาท�มาใชบรการจานวน 60 ครอบครว เพ�อทาการสารวจความถ�ท�เขามาใชบรการตลอดป ไดผลดงตารางแจกแจงความถ�

จานวน (คร �งตอป)

จานวน (ครอบครว)

1 – 3 4 – 6 7 – 9

10 – 12 13 – 15 16 – 18 19 – 21

2 6 18 10 14 8 2

จงหาสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของขอมลชดน� 10. บรษทผลตหลอดไฟแหงไดการผลตหลอดไฟข�นมา2รน คอรน A และ รน B โดยไดทาการ

ทดสอบพบวาหลอดไฟชนด A มอายการใชงานเฉล�ย 3,000 โมง มคาสวนเบ�ยงเบนมาตรฐาน เทากบ 0.86 และหลอดไฟชนด B มอายการใชงานเฉล�ย 3,012 โมง มคาสวนเบ�ยงเบน มาตรฐานเทากบ 2.44 จงพจารณาวาบรษทควรจะเลอกผลตหลอดไฟชนดใด ออกจาหนาย จงจะมประสทธภาพในการทางานสง

1

69

บทท� 3 ความนาจะเปน

ความนาจะเปน (Probability) หมายถง คาท�แสดงใหทราบถงโอกาสท�จะเกดข�น

ในเหตการณหน�งๆ วามโอกาสเกดข�นมากหรอนอยเพยงใด หรอจะกลาวไดวาความนาจะเปน คอเคร�องมอท�ใชวดความไมแนนอนของเหตการณ เชน ความนาจะเปนในการโยนลกเตาหน�งลกหน�งคร �ง ความนาจะเปนท�จะไดแตมเปนเลขคมคาเทากบ 0.5 จะเหนไดวาเหตการณท�กลาวถงมาน� ไมสามารถจะระบวาจะเกดข�นไดอยางแนนอนหรอไม แตเพยงคาดวาความนาจะเปนท�เหตการณตางๆ จะเกดข�นมมากนอยเพยงใด

การทดลองสม (Random Experiment) คอ การทดลองใดๆ ท�ไมสามารถบอก ผลการทดลองไดอยางถกตองแนนอน เน�องจากผลของการทดลองท�ไดอาจเกดข�นไดหลายอยาง แตสามารถบอกไดวาผลท�จะเกดมอะไรบาง เชน การหยบลกบอลท�มหมายเลขกากบต �งแตเลข 1 ถง เลข 5 จากถงท�มสทบ จะไมสามารถกาหนดไดชดเจนวาจะหยบไดลกบอลหมายเลขอะไร แตสามารถบอกไดวาลกบอลท�หยบข�นมาตองมหมายเลขกากบคอเลข 1 ถง เลข 5 เปนเลขอ�นไมได เรยกเซตซ�งสมาชกในเซตน �น เปนผลของการทดลองเชงสมท�เปนไปไดท �งหมดวา ปรภมตวอยาง (Sample Space) เขยนแทนดวย S และเรยกสมาชกของปรภมตวอยางวา จดตวอยาง (Sample Point)

ตวอยางท� 3.1 จงหาปรภมตวอยางของเหตการณเหลาน� 1. เหตการณท�โยนเหรยญปกต 1 เหรยญ 1 คร �ง S = { H,T } ; n(S) = 2 H คอ เหตการณท�โยนเหรยญออกไปแลวเหรยญออกหนาเปนหว T คอ เหตการณท�โยนเหรยญออกไปแลวเหรยญออกหนาเปนกอย 2. เหตการณท�ทอดลกเตา 1 ลก 1 คร �ง S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; n(S) = 6 3. เหตการณท�โยนเหรยญปกต 1 เหรยญพรอมลกเตา 1 ลก S = {(1,H),(2,H),(3,H),(4,H),(5,H),(6,H) 1,T),(2,T),(3,T),(4,T),(5,T),(6,T)} n(S) = 12 เหตการณ (Event ) หรอเซตยอย คอ ส�งตางๆ ท�เราสนใจศกษาคนควาจากผลการทดลอง ท�เปนไปไดท �งหมดในปรภมตวอยาง หรอจะกลาวไดวาเหตการณ คอ เซตยอยของปรภมตวอยาง

70

เขยนแทนดวยตว E ในกรณท�เหตการณไมมสมาชกเลยเราเรยกวาเซตวาง เขยนแทนดวย Ø อานวาไฟ (phi) ตวอยางท� 3.2 จงหาสมาชกของของเหตการณเหลาน� 1. เหตการณท�โยนลกเตา 1 ลก แลวไดแตมนอยกวา 3 E = {1,2} : n(E) = 2 2. เหตการณท�โยนเหรยญปกต 3 เหรยญ พรอมกนแลวออกหวอยางนอย 2 เหรยญ E = {(H,H,T),(H,T,H),(H,H,H),(T,H,H)} : n(E) = 4 3. เหตการณท�ทอดลกเตา 2 ลก พรอมกนแลวไดแตมเทากน E = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} : n(E) = 6 เน� องจากปรภมตวอยาง คอ เซตท�ประกอบไปดวยเหตการณตางๆ ท�เปนเซตยอย ของปรภมน �นๆ ความสมพนธระหวางเซตมดงน� ยเนยน (Union) คอ ตวรวมท �งหมดของเหตการณท�เกดข�น สญลกษณ คอ ∪ อนเตอรเซคชน (Intersection) คอ สวนรวมเฉพาะของเหตการณท�เกดข�น สญลกษณ คอ ∩

คอมพลเมน (Complement) คอ สวนเตมเตมของเหตการณ เชนถา n เปนเหตการณใดๆ ท�เกดข�นในเหตการณ A เหตการณท�เหลอกคอ n’

ตวอยางท� 3.3 ในการทอดลกเตา 1 ลก 1 คร �ง ให A เปนเหตการณท�ไดแตมท�ไดแตมนอยกวา 4 B เปนเหตการณท�ไดแตมท�ไดแตมต �งแต 3 ข�นไป ดงน �น A = {1,2,3} B = {3,4,5,6} A ∪ B = {1,2,3,4,5,6} A ∩ B = {3}

ตวอยางท� 3.4 ในการโยนเหรยญปกต 3 เหรยญ 1 คร �ง ให A เปนเหตการณท�ข�นหวอยางนอย 2 เหรยญ

B เปนเหตการณท�ข�นกอย 2 เหรยญ

ดงน �น A = {(H,H,T),(H,T,H),(H,H,H),(T,H,H)} B = {(T,H,T),(H,T,T),(T,T,H)} A ∪ B = {(H,H,T),(H,T,H),(H,H,H),(T,H,H ) (T,H,T),(H,T,T),(T,T,H)} A ∩ B = Ø

71

การนบจานวนจดตวอยาง

การนบจานวนจดตวอยาง คอ การนบจานวนสมาชกท �งหมดในปรภมตวอยาง หรอเหตการณ ท�สนใจ โดยการนบจานวนจดตวอยางน �น มกรณท�เกดข�นดงน� กรณท� 1 เหตการณใดๆ K เหตการณ ซ�งประกอบไปดวยเหตการณยอยหลายเหตการณ เปนเหตการณท�เกดข�นพรอมกน หรอตอเน�องกนกได แตละเหตการณมอย ni เหตการณ วธการนบจดตวอยางจะทาไดโดยการคณ ( Multiplicative) จะได n1. n2 . . . . nk เหตการณ

ตวอยางท� 3.5 ในการทอดลกเตา 1 ลก พรอมโยนเหรยญปกต 1 เหรยญ พรอมกน จงหาเหตการณ ท�เกดข�นท �งหมด

วธทา การทอดลกเตา 1 ลก 1 คร �ง ส�งท�เกดข�นไดท �งหมด 6 เหตการณ คอข�นแตมไดต �งแต 1 ถง 6 น �นคอ n1 = 6 การโยนเหรยญ 1 เหรยญ 1 คร �ง ส�งท�เกดข�นไดท �งหมด 2 เหตการณ คอ หวกบกอย น �นคอ n2 = 2 ดงน �นเหตการณท�เกดข�นไดท �งหมด = n1 x n2 = 6 x 2 = 12 เหตการณ ตวอยางท� 3.6 กลองใบหน�งมลกบอลอย 25 ลก แตละลกมเลขกากบต �งแต 1 ถง 25 จงหาเหตการณในการเลอกหยบลกบอลข�นมาคร �งละหน�งลก จานวน 3 คร �ง โดยหยบออกมาแลวไมใส คนเขาไปในกลอง

วธทา การหยบลกบอลลกแรกทาได 25 เหตการณ การหยบลกท�สองทาได 24 เหตการณ การหยบลกท�สามทาได 23 เหตการณ ดงน �นเหตการณท�เกดข�นไดท �งหมด = 25 x 24 x 23 = 13,800 เหตการณ

กรณท� 2 เหตการณใดๆ K เหตการณ ซ�งประกอบไปดวยเหตการณยอยหลายเหตการณ เปนเหตการณท�ไมสามารถเกดข�นพรอมกนได หรอไมตอเน� องกน แตละเหตการณมอย ni

เหตการณ วธการนบจดตวอยางจะทาไดโดยการบวก ( Additive) จะได n1 + n2+….nk เหตการณ

ตวอยางท� 3.7 ถงผาใบ1 ถง มลกแกวอย 4 ส คอ สแดง 3 ลก สฟา 6 ลก สเหลอง 9 ลกและสเขยว 2 ลก สมหยบมา 1 ลก จงหาเหตการณท�หยบลกแกว 1 ลก แลวไดลกแกวสแดง หรอสเหลอง

วธทา ในถงมลกแกวสแดง 3 ลก ในถงมลกแกวสเหลอง 9 ลก ดงน �นเหตการณท�เกดข�นไดท �งหมด = 3 + 9 = 12 เหตการณ

72

ตวอยางท� 3.8 มหาวทยาลยแหงหน�งมจานวนนกศกษาช �นปท� 1 จานวน 2,400 คน ดงแสดง ในตาราง

คณะ จานวน )คน( ครศาสตร 640 วทยาศาสตร 570 มนษยและสงคมศาสตร 480 วทยาการจดการ 450 เทคโนโลย 260

รวม 2,400

สมเลอกนกศกษามา 1 คน จงหาเหตการณท�จะเลอกไดนกศกษาคณะเทคโนโลย หรอคณะวทยาศาสตร

วธทา นกศกษาคณะเทคโนโลยมจานวน 260 คน นกศกษาคณะวทยาศาสตรมจานวน 570 คน ดงน �นเหตการณท�เกดข�นไดท �งหมด = 260 + 570 = 830 เหตการณ

กรณท� 3 เหตการณใดๆ ท�ตองมการพจารณาลาดบความสาคญ จดเรยงส�งของใหเปนลาดบ จะเรยงท �งหมดหรอบางสวนกได เรยกลกษณะอยางน�วา การเรยงสบเปล�ยน (Permutation) โดยรปแบบการจดลาดบจะแบงไดเปน 2 แบบ คอ แบบเสนตรง และแบบวงกลม

การเรยงสบเปล�ยนแบบเสนตรงคอการเรยงลาดบเปนแนวเสนตรง แบงออกได

เปน 3 ลกษณะ คอ ลกษณะท� 1 การเรยงสบเปล�ยนส�งของ n ส�ง ท�ไมเหมอนกนจะไดจานวนเหตการณ

เทากบ ตาแหนงท� 1 เลอกส�งของ 1 ส�งจากส�งของ n ส�ง ตาแหนงท� 1 จะ ได n เหตการณ ตาแหนงท� 2 เลอกส�งของ 1 ส�ง จากส�งของ n -1 วางในตาแหนงท� 2 จะได n - 1 เหตการณ ตาแหนงท� 3 เลอกส�งของ 1 ส�ง จากส�งของ n - 2 วางในตาแหนงท� 3 จะได n - 2 เหตการณ

⋮ ตาแหนงท� n เลอกส�งของ 1 ส�ง วางในตาแหนงท� n จะได 1 เหตการณ ดงน �นจานวนเหตการณจะเทากบ n . (n-1) . (n-2) . … . 1 จะเทากบ n! เหตการณ

73

ตวอยางท� 3.9 จงหาจานวนเหตการณท�จะเรยงเสา 6 เสา โดยแตละเสามสไมเหมอนกน

วธทา จานวนเสามจานวนท �งหมด 6 เสา ดงน �นเหตการณท�เกดข�น = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 เหตการณ

ลกษณะท� 2 การเรยงสบเปล�ยนส�งของ n ส�งท�แตกตางกน นามาจดคร �งละ r ส�ง โดยท� r ≤ n จะไดจานวนเหตการณเทากบเหตการณ

ตาแหนงท� 1 เลอกส�งของ 1 ส�งจากส�งของ n ส�ง ตาแหนงท� 1 จะ ได n เหตการณ ตาแหนงท� 2 เลอกส�งของ 1 ส�ง จากส�งของ n -1 วางในตาแหนงท�2 จะได n -1 เหตการณ ตาแหนงท� 3 เลอกส�งของ 1 ส�ง จากส�งของ n - 2 วางในตาแหนงท�3 จะได n - 2 เหตการณ ⋮ ตาแหนงท� r เลอกส�งของ 1 ส�ง จากส�งของ n - (r - 1) วางในตาแหนงท� r-1 จะได

(n – r+1) เหตการณ ดงน �นจานวนเหตการณท �งหมด คอ n Pr = n(n – 1) (n – 2) . . .(n – r + 1)

เม�อ r < n n Pr = �!(���)!

ถา r = n n Pr = �!(���)! = �!�! = n! *** สญลกษณท�ใชแทนคอ n Pr หรอจะเขยนในรป Pn,r ,nPr ,P(n,r) กได ตวอยางท� 3.10 ลกเสอหมหน�งมจานวน 8 คน อาจารยผควบคมตองการเลอกหวหนาหม และรองหวหนาหมอยางละหน�งคน อยากทราบวาอาจารยผควบคมเลอกไดก�เหตการณ

วธทา เลอกหวหนาหมและรองหวหนาหมคน 2 คน จาก 8 คน โดยคนแรกใหเปนหวหนาหม คนท�สองใหเปนรองหวหนาหม

ดงน �นเหตการณท�เกดข�น = 8P2 = �!�! = 8 x 7 = 56 เหตการณ ตวอยางท� 3.11 พธกรรายการทวรายการหน�ง ตองการแนะนาช�อผเขารวมรายการจานวน 4 คน พธกรสามารถแนะนารายช�อผเขารวมรายการไดก�เหตการณ

วธทา พธกรสามารถแนะนาใครกอนกได จะได r = n

ดงน �นเหตการณท�เกดข�น = 4 P4 = �!�! = 4! = 24 วธ ลกษณะท� 3 การเรยงสบเปล�ยน ส�งของ n ส�ง โดยบางส�งซ�ากน สามารถแบงออกไดเปน k กลม จานวนส�งของซ�ากน คอ n1. n2 . . . . nk ส�ง

74

จะไดจานวนเหตการณเทากบ �!��!.��!…��! เหตการณ ตวอยางท� 3.12 พนกงานคนหน�งตองการเรยงหนงสอบนช �นโชว มหนงสออยท �งหมด 8 เลม แตละเลมมขนาดเทากน มหนาปกสฟาอย 4 เลม สดา 2 เลมและสเหลอง 2 เลม อยากทราบวาพนกงานคนน�สามารถจดเรยงหนงสอบนช �นโชวไดท �งหมดก�เหตการณ

วธทา หนงสอมท �งหมด 8 เลม หนาปกสฟาอย 4 เลม สดา 2 เลมและสเหลอง 2 เลม

ดงน �นเหตการณท�เกดข�น = �!�!�!�! = ���������� = 420 เหตการณ ตวอยางท� 3.13 อยากทราบวาสามารถเรยงสบเปล�ยน คาวา ”กนกวรรณ” ไดก�เหตการณ

วธทา ตวอกษรมท �งหมด 8 ตว เปนอกษร ก. 2 ตว อกษร น. 1 ตว อกษร ว. 1 ตว อกษร ร. 2 ตว และอกษร ณ. 1 ตว

ดงน �นเหตการณท�เกดข�น

= �!�!�!�!�!�! = ������������

= 10,080 เหตการณ

การเรยงสบเปล�ยนแบบวงกลม คอ การเรยงลาดบเปนวงกลมแบงออกไดเปน 2 ลกษณะ คอ

ลกษณะท� 1 การเรยงสบเปล�ยนส�งของ n ส�งท�ไมเหมอนกนจะไดจานวนเหตการณเทากบ (n-1)! เหตการณ

ตวอยางท� 3.14 เจาของสวนแหงหน�งตองการปลกตนไมรอบบอปลารปทรงวงกลม โดยมตนไม ท�ตางชนดกน จานวน 7 ตน เจาของสวนคนน�สามารถเลอกการวางลาดบในการปลกตนไมได ก�เหตการณ

วธทา จานวนตนไมมจานวนท �งหมด 7 ตน ดงน �นเหตการณท�เกดข�น = (7-1)! = 6x5x4x3x2x1 = 720 เหตการณ

75

ตวอยางท� 3.15 เทศบาลอาเภอแหงหน�ง ตองการปกธงสรอบวงเวยนหนาสานกงาน โดยมธงท �งหมด 10 ผน 10 ส อยากทราบวาสามารถปกธงรอบวงเวยนน�ไดท �งหมดก�เหตการณ

วธทา จานวนธงท �งหมด 10 ผน ดงน �นเหตการณท�เกดข�น = (10-1)! = 9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 362,880 เหตการณ

ลกษณะท� 2 การเรยงสบเปล�ยนส�งของ n ส�ง ท�ไมเหมอนกนมาจดคร �งละ r ส�งจะได

จานวนเหตการณเทากบ �!(���)!� เหตการณ

ตวอยางท� 3.16 สมพรซ�อโตะรบแขกมาใหม 1 ตว เปนทรงกลม โดยเขามเกาอ�สตางกน 8 ตว สมพรตองการวางเกาอ� 5 ตว รอบโตะตวน� อยากทราบวาสามารถวางเกาอ�รอบโตะน�ไดท �งหมด ก�เหตการณ

วธทา จานวนเกาอ�มท �งหมด 8 ตว ตองการใชท �งหมด 5 ตว

ดงน �นเหตการณท�เกดข�น = �!(���)!� = 1,344 เหตการณ

ตวอยางท� 3.17 หนวยงานแหงหน�งไดจดการประชมโดยใหหนวยงานยอยสงคนมารวมประชมท �งหมด 12 คน ในหองประชมมโตะทรงกลมมเกาอ�รอบโตะเพยง 8 ตว สวนท�เหลอจะเปนเกาอ�เสรม อยากทราบวาผเขารวมประชมสามารถน �งเการอบโตะไดท �งหมดก�เหตการณ

วธทา จานวนเกาอ�มท �งหมด 12 ตว ตองการใชท �งหมด 8 ตว

ดงน �นเหตการณท�เกดข�น = ��!(����)!� = 2,494,800 เหตการณ

กรณท� 4 เหตการณใดๆ ท�ไมตองมการพจารณาลาดบความสาคญ ในการจดเรยงส�งของ จะเรยงท �งหมดหรอบางสวนกได เรยกลกษณะอยางน�วา การจดหม (Combination) ถามของ n ส�งแตกตางกนเลอกหรอจดโดยไมคานงถงลาดบคร �งละ r ส�ง (� ≤ �) จะทาได

nCr หรอ ��r� = �!(���)!�! เหตการณ

76

ตวอยางท� 3.18 ในถงผามลกแกวอย 7 ลก สมหยบลกแกวมา 4 ลก อยากทราบวามเหตการณ ท�เกดข�นไดท �งหมดก�เหตการณ

วธทา จานวนลกแกวท �งหมด 7 ลก สมหยบลกแกวมา 4 ลก

ดงน �นเหตการณท�เกดข�น = �!(���)!�! = 35 เหตการณ

ตวอยางท� 3.19 หองเรยนอนบาลมนกเรยนท �งหมด 25 คน เปนเดกผชาย 10 คน และเดกผหญง 15 คน ครประจาช �นตองการเลอกเดกผชาย 5 คนและเดกผหญง 5 คน มารวมขบวนในงานกฬาภายในโรงเรยน ครประจาช �นสามารถเลอกนกเรยนไดท �งหมดก�เหตการณ

วธทา เดกผชายมจานวนท �งหมด 10 คน ตองการ 5 คน

เหตการณท�เกดข�น = ��!(����)!�! = 252 เหตการณ เดกผหญงมจานวนท �งหมด 15 คน ตองการ 5 คน

เหตการณท�เกดข�น = ��!(����)!�! = 3,003 เหตการณ ดงน �นเหตการณท�เกดข�น = 252 x 3,003 = 756,756 เหตการณ

การคานวณหาคาความนาจะเปน ความนาจะเปน นยมใชสญลกษณแทน คอ P(E) ดงท�กลาวไปแลววาคาความนาจะเปน คอ ตวเลขท�ใชในการบอกโอกาสของเหตการณท�จะเกดข�น ย�งมคามากความนาจะเปนกจะสง ตามไปดวย ซ�งความนาจะเปนมคาสงสดเทากบ 1 และคาต�าสดเทากบ 0 ดงน �นคณสมบต ความนาจะเปนท�ควรทราบ คอ

1. 0 ≤ P(E) ≤ 1 คอความนาจะเปนมคาระหวาง 0 ถง 1 2. P(S) = 1 คอความนาจะเปนของปรภมตวอยางหรอสมาชกท �งหมดมคาเทากบ 1 3. P(Ø) = 0 คอความนาจะเปนของเซตวางเทากบ 0

การหาคาความนาจะเปนท�นยมใชกนม 2 แบบ คอ 1. วธใชตวแบบคณตศาสตรหรอแบบด �งเดม (Classical Method) เปนการคานวณความนาจะเปน โดยวธน�ไมตองทาการทดลองจรง ใชการเขยนผลการทดลองท�เปนไปไดท �งหมด หรอปรภมตวอยาง และผลการทดลองหรอเหตการณท�สนใจ ในการหาความนาจะเปน สตรท�ใช คอ

P(E) = �(�)�(�)

77

P(E) คอ ความนาจะเปนของเหตการณ n(E) คอ จานวนสมาชกของเหตการณท�สนใจ n(S) คอ จานวนสมาชกท �งหมดในปรภมตวอยาง

ตวอยางท� 3.20 จงหาความนาจะเปนของการโยนเหรยญปกต 1 เหรยญ 1 คร �ง แลวเหรยญ ออกหนาเปนกอย

วธทา P(E) = �(�)�(�) โยนเหรยญ 1 เหรยญ 1 คร �ง ออกหนากอยไดเทากบ 1 เหตการณ โยนเหรยญ 1 เหรยญ 1 คร �ง ออกหนาได 2 เหตการณ

ดงน �น P(E) = �� = 0.5 ความนาจะเปนของเหตการณเทากบ 0.5

ตวอยางท� 3.21 จงหาความนาจะเปนของการณโยนลกเตาพรอมกน 2 ลก แลวลกเตาลกใดลกหน�งออกแตมเปนเลข 1

วธทา P(E) = �(�)�(�) โยนลกเตา 2 ลกพรอมกน 1 คร �ง ลกใดลกหน�งออกแตมเปนเลข 1 จะได n(E) = { (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)} n(E) = 11 เหตการณ โยนลกเตา 2 ลกพรอมกน 1 คร �ง เหตการณท�เกดข�นไดท �งหมดเทากบ n(S) = 6 x 6 = 36 เหตการณ

ดงน �น P(E) = ���� = 0.31 ความนาจะเปนของเหตการณเทากบ 0.31

ตวอยางท� 3.22 จงหาความนาจะเปนของการสมหยบไพ 1 ใบ ในหน�งสารบ พรอมโยนเหรยญปกต 1 เหรยญ แลวไดไพเปนเลข 10 และเหรยญออกหว

วธทา P(E) = �(�)�(�) สมหยบไพ 1 ใบ ในหน�งสารบไดไพเปนเลข 10 พรอมโยนเหรยญปกต 1 เหรยญ แลวเหรยญออกหว

ไพหน�งสารบเปนเลข 10 จานวน 4 ใบ

78

โยนเหรยญ 1 เหรยญ เหตการณท�ออกหวเทากบ 1 เหตการณ n(E) = 4 x1 = 4 เหตการณ

ไพหน�งสารบ มจานวนท �งหมด 52 ใบ การโยนเหรยญปกต 1 เหรยญ มจานวนเหตการณเทากบ 2 เหตการณ n(S) = 52 x 2 = 104 เหตการณ

ดงน �น P(E) = ���� = 0.04 ความนาจะเปนของเหตการณเทากบ 0.04

ตวอยางท� 3.23 ในกลองทบแสงใบหน�งมลกบอลอย 16 ลก โดยมลกบอลสแดง 5 ลก สน�าเงน 4 ลก และสดา 7 ลก จงหาความนาจะเปนของการสมหยบมา 1 ลก แลวไดลกบอลสแดง หรอสน�าเงน

วธทา P(E) = �(�)�(�) หยบมา 1 ลก แลวไดลกบอลสแดงหรอสน�าเงน

n(E) = 4 + 5 = 9 จานวนลกบอลท �งหมดเทากบ 16 ลก n(S) = 16

ดงน �น P(E) = ��� = 0.56 ความนาจะเปนของเหตการณท�จะหยบไดลกบอลสแดงหรอสน�าเงนเทากบ 0.56

ตวอยางท� 3.24 ถงผาทบแสงใบหน�งมลกแกวอย 4 ส คอสเหลอง 4 ลก สฟา 7 ลก สเขยว 5 ลก และสมวง 2 ลก จงหาความนาจะเปนในการสมหยบข�นมา 2 ลก โดยลกท�หน�งเปนสฟา ลกท�สองเปนสเขยว เปนการหยบแบบไมใสคน

วธทา P(E) = �(�)�(�) เกดเหตการณข�น 2 เหตการณ เปนเหตการณท�ตอเน�องกน หยบลกท� 1 แลวไดลกแกวสฟา

n(E) = 7 จานวนลกแกวท �งหมด = 4 + 7 + 5 + 2 = 18 ลก

n(S) = 18

P(E) = ��� = 0.39 หยบลกท� 2 แลวไดลกแกวสเขยว

79

n(E) = 5 หยบออกไป 1 ลก จานวนลกแกวท �งหมด = 18 – 1 = 17 ลก n(S) = 17

P(E) = ��� = 0.28 ดงน �น P(E) = 0.39 x 0.28 = 0.11 ความนาจะเปนของเหตการณเทากบ 0.11

ตวอยางท� 3.25 รานคาแหงหน�งตองการประดบธงส 4 ผน ไวหนาราน โดยมธงสเหลอง สขาว สแดง และสเขยว อยางละ 1 ผน จงหาความนาจะเปนท�จะไดธงสเหลองเปนธงลาดบแรก

วธทา P(E) = �(�)�(�) เหตการณท�ธงสเหลองอยอนดบแรก n(E) = {(เหลอง,ขาว,แดง,เขยว) (เหลอง,ขาว,เขยว,แดง) (เหลอง,เขยว,ขาว,

แดง) (เหลอง,เขยว,แดง,ขาว) (เหลอง,แดง,เขยว,ขาว) (เหลอง,แดง ,เขยว,ขาว) }

n(E) = 6 จานวนเหตการณท�เกดข�นได = 4! = 4 x 3 x 2 x1 = 24 เหตการณ n(S) = 24

ดงน �น P(E) = ��� = 0.25

ตวอยางท� 3.26 สานกงานแหงหน�งมเจาหนาทาความสะอาดอย 5 คน แตละคนมอายไมเทากน อยากทราบวาถาตองการเลอก 1 คน เพ�อใหทาหนาท�เปนหวหนา ความนาจะเปนท�ไดคนมอาย มากท�สดมคาเทากบเทาใด

วธทา P(E) = �(�)�(�) เลอกมา 1 คน แลวไดคนมอายมากท�สด

n(E) = 1 เลอกคน 1 คนจากจานวน 5 คน ท�มอายแตกตางกน

n(S) = n Pr = �!(���)! = � � � � � � � � �� � � � � � � = 5

ดงน �น P(E) = �� = 0.2 ความนาจะเปนของเหตการณเทากบ 0.2

80

ตวอยางท� 3.27 จงหาความนาจะเปนท�จะเรยงคาวา “seen” ใหม โดยท�ไมสนใจในความหมาย และ ตวอกษร e ตดกน

วธทา P(E) = �(�)�(�) n(E) = {(eesn) (eens) (seen) (nees) (snee) (nsee)} n(E) = 6 ตวอกษร s ม 1 ตว อกษร e ม 2 ตว และอกษร n ม 1 ตว

n(S) = �!�!�!�! = � � � � � � � � � � �� � � � � � � = 360 เหตการณ

ดงน �น P(E) = ���� = 0.02 ความนาจะเปนของเหตการณเทากบ 0.02

ตวอยางท� 3.28 นกเรยน 5 คน ยนจบมอกนเปนรปวงกลมโดยแตละคนมสวนสงท�แตกตางกน คอ 160 , 158, 145, 153, และ 155 เซนตเมตร จงหาความนาจะเปนของนกเรยนท�จบมอกน โดยมอายเรยงจากมากไปหานอย

วธทา P(E) = �(�)�(�) เหตการณท�นกเรยนท�จบมอกนจะเรยงจากนอยไปหามากเทากบ n(E) = 5 นกเรยน 5 คนมความสงท�ตางกนยนจบมอกนเปนวงกลม n(S) = (5 – 1)! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 เหตการณ

ดงน �น P(E) = ��� = 0.21 ความนาจะเปนของเหตการณเทากบ 0.21

ตวอยางท� 3.29 พชตตองการวางอกษรต �งแต A ถง G รอบสญลกษณรปวงกลม โดยสามารถวางไดแค 4 ตาแหนง ดงภาพ

จงหาความนาจะเปนท�อกษร A จะอยในตาแหนงท� 1 และอกษร E จะอยในตาแหนงท� 2 ทกคร �ง

วธทา P(E) = �(�)�(�) n(E) = {(AEBC) (AEBD) (AEBF) (AEBG) (AECB) (AECD) (AECF)

(AECG) (AEDB) (AEDC) (AEDF) (AEDG) (AEFB) (AEFC) (AEFD) (AEFG) (AEGB) (AEGC) (AEGD) (AEGF)}

1

4

3

2

81

n(E) = 20 ตวอกษร A ถง F ม 7 ตว เลอก 4 ตว วางรอบวงกลม

n(S) = 7P2 = �!(���)! = 210 เหตการณ

ดงน �น P(E) = ����� = 0.095 ความนาจะเปนของเหตการณเทากบ 0.095

ตวอยางท� 3.30 ในกลองใบหน�งมลกบอลอย 6 ลก 6 ส คอสดา สแดง สขาว สเขยว สเหลอง และสฟา สมหยบมา 4 ลก จงหาความนาเปนท�สมหยบมาแลวมลกบอลสแดงอยดวย

วธทา P(E) = �(�)�(�) n(E) = {(แดง ดา ขาว เขยว) (แดง ดา ขาว เหลอง) (แดง ดา ขาว ฟา)

(แดง ดา เขยว เหลอง) (แดง ดา เขยว ฟา) (แดง ดา เหลอง ฟา) (แดง ขาว เหลอง ฟา) (แดง ขาว เหลอง เขยว) (แดง เขยว ขาว ฟา)}

n(E) = 9 ลกบอลม 6 ลก 6 ส สมหยบมา 4 ลก

n(S) = 6C 4 = �!(���)!�! = 15 เหตการณ

ดงน �น P(E) = ��� = 0.6 ความนาจะเปนของเหตการณเทากบ 0.6

2. วธใชความถ�สมพทธ (Relative Frequency Method) เปนการคานวณความนาจะเปน โดยอาศยผลท�ไดจากการทดลอง ท�อยภายใตสภาวะแวดลอมเดยวกน และมจานวนการทดลองมากพอ สตรท�ใช คอ

P(E) = �(�)� P(E) คอ ความนาจะเปนของเหตการณ n(E) คอ จานวนสมาชกของผลการทดลองท�สนใจ N คอ จานวนคร �งของการทดลองท �งหมด ตวอยางท� 3.31 สถาบนแหงหน�งไดรบสมครคนเขาทางานจานวน 100 คน ใหทกคนยกมอข�นพรอมกนคนละ 1 คร �ง แลวแตใครจะยกขางไดกได ปรากฏวามคนยกมอขางซายท �งหมด 42 คน จงหาความนาจะเปนของคนท�ยกมอขวาในการทดลองคร �งน�

82

วธทา P(E) = �(�)� จานวนผลการทดลองท�คนยกมอขวา n(E) = 100 – 42 = 58 จานวนการทดลองท �งหมด N = 100

ดงน �น P(E) = ����� = 0.58 ความนาจะเปนของเหตการณเทากบ 0.58

กฏของความนาจะเปน เพ�อใหงายในการคานวณหาคาความนาจะเปน อาจจะนาการหาความนาจะเปน ท�เปนยเนยน หรออนเตอรเซคช �น หรอเปนคอมพลเมนต ของเหตการณบางเหตการณมาใชประกอบ ซ�งในการหาความนาจะเปนจะใชกฎตางๆ ดงน� กฎขอท� 1 ถา Aʹ เปนคอมพลเมนตของเหตการณ A จะได P(Aʹ) = 1 – P(A) ตวอยางท� 3.32 โยนเหรยญปกตพรอมกน 3 เหรยญ จงหา

1. ความนาจะเปนท�ออกหวท �งสามเหรยญ 2. ความนาจะเปนท�เหรยญออกกอยอยางนอยหน�งเหรยญ

วธทา P(E) = �(�)�(�) ความนาจะเปนท�ออกหวท �งสามเหรยญ H คอ เหตการณท�โยนเหรยญออกไปแลวเหรยญออกหนาเปนหว

T คอ เหตการณท�โยนเหรยญออกไปแลวเหรยญออกหนาเปนกอย n(E) = (H,H,H) = 1 n(S) = 8

P(E) = �� = 0.125 ความนาจะเปนท�เหรยญออกกอยอยางนอยหน�งเหรยญ ความนาจะเปนท�เหรยญจะไมออกกอยกคอออกหวท �งสามเหรยญ ดงน �น P(Aʹ) = 1 – P(A) P(Aʹ) = 1 – 0.125 = 0.875 ความนาจะเปนของเหตการณเทากบ 0.875

83

กฎขอท� 2 ถา A และ B เปนเหตการณใดๆ ท�เกดข�นในปรภมตวอยางเดยวกน ความนาจะเปนท�จะเกดข�นอยางนอย 1 เหตการณใน 2 เหตการณท�จะเกดข�นคอ

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ตวอยางท� 3.33 สมใจไดทาการสอบเขาทางานท�บรษทแหงหน�ง ซ�งมท �งการสอบสมภาษณ

และการสอบขอเขยน โดยความนาจะเปนท�สมใจจะสอบผานขอเขยน คอ �� ความนาจะเปนในการ

สอบสมภาษณผาน คอ �� และสอบไมผานท �ง 2 อยางคอ �� จงหาความนาจะเปนท�สมใจจะสอบผานอยางนอยหน�งอยาง

วธทา P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ให A คอ เหตการณท�สอบขอเขยนผาน B คอ เหตการณท�สอบสมภาษณผาน

จะได P(A) = ��

P(B) = ��

P(A ∩ B)ʹ = ��

P(A ∩ B) = ��

ดงน �น P(A ∪ B) = �� + �� − �� = 0.68

ความนาจะเปนของเหตการณเทากบ 0.68 ***ถา A และ B เปนเหตการณท�ไมเกดรวมกน A ∩ B = ∅ จะได P(A ∩ B) = 0 ความนาจะเปนแบบมเง�อนไข (Conditional Probability)

ถา A และ B เปนเหตการณ 2 เหตการณ ซ�งมความสมพนธกน หรอไมเปนอสระตอกน ความนาจะเปนของเหตการณ A ท�เกดข�น เม�อมเหตการณ B เกดข�นแลวเรยกวา ความนาจะเปนแบบมเง�อนไข และเขยนแทนดวยสญลกษณ P(A|B) ความนาจะเปนท�เกดข�นคอ

P(A|B) = �(�∩�)�(�) โดย P(B) > 0

ถาความนาจะเปนของเหตการณ B ท�เกดข�น เม�อมเหตการณ A เกดข�นแลว ความนาจะเปน ท�เกดข�น คอ

84

P(B|A) = �(�∩�)�(�) โดย P(A) > 0 หรอ ถาเหตการณท�เกดข�นมากกวา 2 เหตการณ จะใชกฎการคณ คอ ถาในปรภมตวอยาง มเหตการณเกดข�นคอ (A1,A2,A3,…,An) ความนาจะเปนท�จะเกดข�นคอ

P(A1∩A2∩…∩An ) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2)…P(An|An-1∩An-2∩…∩A1)

ตวอยางท� 3.34 นกศกษาคณะมนษยศาสตรช �นปท� 1 ของมหาวทยาลยแหงหน�ง จานวน 200 คน อาศยอยในหอพกของมหาวทยาลย จานวน 145 คน มรถจกรยานยนต จานวน 112 คน โดยมนกศกษาท�อาศยในหอพกมหาวทยาลย และมรถจกรยานยนตจานวน 87 คน จงหาความนาจะเปนท�สมเลอกนกศกษามา 1 คน แลวไดนกศกษาท�อาศยอยในหอพกของมหาวทยาลยโดยเปนนกศกษาท�มรถจกรยานยนต

วธทา P(A|B) = �(�∩�)�(�) ให A คอ นกศกษาท�อาศยอยในหอพกมหาวทยาลย B คอ นกศกษาท�มรถจกรยานยนต A∩B คอ นกศกษาท�อาศยในหอพกมหาวทยาลยและมรถจกรยานยนต

P(B) = ������ = 0.56

P(A∩B) = ����� = 0.44

ดงน �น P(A|B) = �.���.�� = 0.79 ความนาจะเปนของเหตการณเทากบ 0.79

ตวอยางท� 3.35 บรษทผลตรถยนตแหงหน�ง มความนาจะเปนท�จะตดต �งระบบปรบอากาศ ภายในรถยนต ผดพลาดเทากบ 0.15 ตดต �งระบบไฟสญญาณถอยหลงผดพลาด เทากบ 0.10 และความนาจะเปนท�จะเกดความผดพลาดท �งสองอยางเทากบ 0.07 จงหาความนาจะเปนท�รถ หน�งคน ท�ผลตจากบรษทแหงน� จะตดต �งระบบไฟสญญาณถอยหลงผดพลาดโดยท�ระบบปรบอากาศภายในรถยนตไมผดพลาด

วธทา P(B|A) = �(�∩�)�(�) ให A คอ ระบบปรบอากาศภายในรถยนตผดพลาด Aʹ คอ ระบบปรบอากาศภายในรถยนตไมผดพลาด

B คอ ตดต �งระบบไฟสญญาณถอยหลงผดพลาด

85

A∩B คอ เกดความผดพลาดท �งสองอยาง ความนาจะเปนท�ตดต �งระบบไฟสญญาณถอยหลงผดพลาด โดยท�ระบบปรบอากาศภายใน

รถยนตไมผดพลาด คอ P(B|Aʹ) = �(�ʹ∩�)�(�ʹ) P(A) = 0.15 P(Aʹ) = 1 - P(A) = 1 – 0.15 = 0.85 P(B) = 0.10

P(A ∩ B) = 0.07 P(Aʹ ∩ B) = P(B) - P(A ∩ B) = 0.1 – 0.07 = 0.03

ดงน �น P(B|Aʹ) = �.���.�� = 0.04 ความนาจะเปนของเหตการณเทากบ 0.04 ตวอยางท� 3.36 รานอาหารแหงมความนาจะเปนท�ลกคาส �งอาหารกลบบานเทากบ 0.45 ส �งอาหารรบประทานท�รานมความนาจะเปนเทากบ 0.73 และความนาจะเปนท�ลกคาจะส �งอาหารกลบบาน โดยท�รบประทานท�รานกอนมความนาจะเปนเทากบ 0.24 จงหาความนาจะเปนท�ลกคาจะรบประทานอาหารท�ราน และส �งกลบบานพรอมกน

วธทา P(A|B) = �(�∩�)�(�)

ให A คอ ลกคาส �งอาหารกลบบาน B คอ ลกคารบประทานอาหารท�ราน A|B คอ ลกคาจะส �งอาหารกลบบานโดยท�ทานท�รานกอน P(B) = 0.73 P(A|B) = 0.24

จาก P(A|B) = �(�∩�)�(�) ดงน �น P(A ∩ B) = 0.24 x 0.73 = 0.18

ความนาจะเปนของเหตการณเทากบ 0.18

เหตการณท�เปนอสระตอกน (Independent Event)

ถา A และ B เปนเหตการณใดๆท�เกดข�น โดยท�แตละเหตการณไมมผลกระทบตอกนหรอไมมความสมพนธกน เรยกวาเปนเหตการณท�เปนอสระตอกน ความนาจะเปนท�เกดข�น คอ P(A∩B) = P(A)P(B)

86

กรณท�มเหตการณเกดข�นมากกวา 2 เหตการณ คอ ถาในปรภมตวอยางมเหตการณเกดข�นคอ (A1,A2,A3,…,An) ความนาจะเปนท�จะเกดข�น คอ P(A1∩A2∩…∩An ) = P(A1) P(A2) P(A3)… P(An) กรณท�เหตการณ A และเหตการณ B เปนอสระตอกน เหตการณเหลาน�จะเปนอสระ ตอกนดวย

1. Aʹ และ B เปนอสระตอกน 2. A และ Bʹ เปนอสระตอกน 3. Aʹ และ Bʹ เปนอสระตอกน

ตวอยางท� 3.37 โยนลกเตา 1 ลก 2 คร �งจงหาความนาจะเปนท�ในการโยนคร �งแรกออกแตมเทากบ 3 และโยนคร �งท�สองออกแตมเปนเลขค

วธทา P(A∩B) = P(A)P(B) ให A คอ การโยนลกเตาคร �งแรกออกแตมเทากบ 3 B คอ การโยนลกเตาคร �งท�สองออกแตมเปนเลขค P(A) = �� = 0.17

P(B) = �� = 0.5 ดงน �น P(A∩B) = 0.17 x 0.5 = 0.085

ความนาจะเปนของเหตการณเทากบ 0.085

ตวอยางท� 3.38 หยบไพ 4 ใบจากหน�งสาหรบ โดยหยบแลวใสคนลงไป จงหาความนาจะเปน ท�จะหยบไพใบแรกเปนไดไพสดา ใบท�สองเปนไพโพธ �แดง ใบท�สามเปนไพท�มแตมคอ 10 และไพ ใบสดทายเปนคงดอกจก

วธทา P(A1∩A2∩A3∩A4 ) = P(A1) P(A2) P(A3)P(A4) ให A 1 คอ หยบไพใบแรกเปนไดไพสดา

A 2 คอ หยบไพใบท�สองเปนไพโพธ �แดง A 3 คอ หยบไพใบท�สามเปนไพท�มแตมคอ 10 A 4 คอ หยบไพใบท�ส�ไดไพคงดอกจก

P(A1) = ���� = 0.5

P(A2) = ���� = 0.25

P(A3) = ��� = 0.08

87

P(A4) = ��� = 0.02 ดงน �น P(A1∩A2∩A3∩A4 ) = 0.5 x 0.25 x 0.08 x 0.02 = 0.0002

ความนาจะเปนของเหตการณเทากบ 0.0002

ตวอยางท� 3.39 ครอบครวหน� งมความนาจะเปนท�ลกคนแรกจะเปนผชายเทากบ 0.66 โดยความนาจะเปนท�จะไดลกคนแรกเปนผชายและลกคนท�สองเปนผหญงเทากบ 0.24 จงหา ความนาจะเปนท�ครอบครวน�จะไดลกคนท�สองเปนผหญง

วธทา P(A∩B) = P(A)P(B) ให P(A) คอ ความนาจะเปนท�ครอบครวน�จะไดลกคนแรกเปนผชาย P(B) คอ ความนาจะเปนท�ครอบครวน�จะไดลกคนท�สองเปนผหญง P(A∩B) คอ ความนาจะเปนท�ครอบครวน�ไดลกคนแรกเปนผชาย และลกคนท�สองเปนผหญง P(A) = 0.66 P(A∩B) = 0.24

ดงน �น P(B) = �.���.�� = 0.36 ความนาจะเปนของเหตการณเทากบ 0.36 ตวอยางท� 3.40 การแขงขนฟตบอลในสนามแหงหน� ง ความนาจะเปนท�ผเลนตาแหนง กองหนาจะทาประตไดเทากบ 0.76 และผเลนตาแหนงกองกลางจะทาประตไดเทากบ 0.65 จงหา ความนาจะเปนท�ผเลนกองหนา และกองกลางจะทาประตไมได

วธทา P(Aʹ∩Bʹ) = P(Aʹ)P(Bʹ) ให P(A) คอ ความนาจะเปนท�ผเลนตาแหนงกองหนาจะทาประตได P(Aʹ) คอ ความนาจะเปนท�ผเลนตาแหนงกองหนาจะทาประตไมได P(B) คอ ความนาจะเปนท�ผเลนตาแหนงกองกลางจะทาประตได

P(Bʹ) คอ ความนาจะเปนท�ผเลนตาแหนงกองกลางจะทาประตไมได P(A) = 0.76

P(Aʹ) = 1 – 0.76 = 0.24 P(B) = 0.65 P(Bʹ) = 1 – 0.65 = 0.35

ดงน �น P(Aʹ∩Bʹ) = 0.24 x 0.35 = 0.08 ความนาจะเปนของเหตการณเทากบ 0.08

88

ความนาจะเปนรวม สมมตวากาหนดใหปรภมตวอยางของเหตการณแบงออกเปน 2 สวน คอ B1 และ B2 โดย A เปนเหตการณหน�งท�เกดข�นในปรภมตวอยางน� เรยกเหตการณน�วา ความนาจะเปนรวม ความนาจะเปนท�เกดข�น คอ P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) กรณทปรภมตวอยางของเหตการณ แบงออกเปน n สวน คอ B1 … Bn ความนาจะเปน ท�เกดข�น คอ P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2) P(B2) + . . . . + P(A|Bn)P(Bn)

*** การคานวณความนาจะเปนรวมน�จะนามาใชเม�อไมสามารถคานวณ P(A) ไดโดยตรง แตอาจคานวณไดจาก P(B) และ P(A|B) ตวอยางท� 3.41 โรงงานผลตหลอดไฟฟาแหงหน�งใชเคร�องจกรในการผลตอย 2 เคร�อง โดยเคร�องแรกผลตสนคาไดท �งหมด 55 เปอรเซนต เคร�องท�สองผลตได 45 เปอรเซนต ของผลผลตท �งหมด ซ�งในการผลตมหลอดไฟท�ชารดจากเคร�องแรกคดเปน 3 เปอรเซนต และเคร�องท�สอง คดเปน 2 เปอรเซนต ถาสมเลอกหลอดไฟมา 1 หลอด จงหาความนาจะเปนท�หลอดไฟน �นชารด

วธทา P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) ให P(A) คอ ความนาจะเปนหลอดไฟท�ชารด

P(B1) คอ ความนาจะเปนในการผลตหลอไฟของเคร�องจกรเคร�องท� 1 P(B2) คอ ความนาจะเปนในการผลตหลอไฟของเคร�องจกรเคร�องท� 2 P(A|B1) คอ ความนาจะเปนท�ผลตหลอดไฟแลวหลอดชารดโดยใชเคร�องจกร เคร�องท� 1 P(A|B2) คอ ความนาจะเปนท�ผลตหลอดไฟแลวหลอดชารดโดยใชคร�องจกร เคร�องท�2 P(B1) = 0.55 P(B2) = 0.45 P(A|B1) = 0.03 P(A|B2) = 0.02

ดงน �น P(A) = (0.55 x 0.03) + (0.45 x 0.02) = 0.026 ความนาจะเปนของเหตการณเทากบ 0.026

89

กฎของเบย (Bayes’ Rule) ถา B1, B2, . . . , Bn เปนเหตการณในปรภมตวอยางท�ไมเกดรวมกน โดยท�เม�อ B1∪B2 . . . ∪Bn = S แลว A คอ เหตการณหน�งท�เกดข�นในปรภมตวอยางโดยท� P(A) ≠ 0 ความนาจะเปนของเหตการณ Bk โดยกาหนดวาเหตการณ A ไดเกดข�น คอ

P(B�|A) = �(��)�(�|��)

n

iii BAPBP

1

)()(

รปท� 3.1 แสดงความสมพนธระหวางเหตการณ A กบเหตการณ B1,B2,B3,…,Bn

ตวอยางท� 3.42 วนยสามารถเดนทางมาทางานได 3 วธ คอ รถโดยสารประจาทาง จกรยานยนตร บจาง และรถสามลอเคร�อง โดยมความนาจะเปนท�ใชรถโดยสารประจาทางเทากบ 0.4 รถจกรยานยนตรบจางเทากบ 0.35 และรถสามลอเคร�องเทากบ 0.25 โดยความนาจะเปนท�ใชรถโดยสารประจาทางจะประสบอบตเหตเทากบ 0.05 รถจกรยานยนตร บจางเทากบ 0.02 และรถสามลอเคร�องเทากบ 0.03 จงหาความนาจะเปนท�วนยจะประสบอบตเหตในการเดนทาง ไปทางานโดยรถจกรยานยนตรบจาง

วธทา P(B�|A) = �(��)�(�|��)

n

iii BAPBP

1

)()(

ให A คอ เหตการณท�จะประสบอบตเหต B1 คอ การเดนทางดวยรถโดยสารประจาทาง B2 คอ การเดนทางดวยรถจกรยานยนตรบจาง B3 คอ การเดนทางดวยรถสามลอเคร�อง P(B1) = 0.40

B1 B2

B3

Bn

A

90

P(B2) = 0.35 P(B3) = 0.25 P(A|B1) = 0.05 P(A |B2) = 0.02 P(A|B3) = 0.03

ดงน �น P(B�|A) = �(��)�(�|��)�(��)�(�|��)��(��)�(�|��)��(��)�(�|��)

= (�.��)(�.��)(�.��)(�.��)�(�.��)(�.��)�(�.��)(�.��) = �.����.����

= 0.2028 ความนาจะเปนของเหตการณเทากบ 0.2028

บทสรป ความนาจะเปน หมายถง คาท�แสดงถงโอกาสท�จะเกดข�นในเหตการณหน�งๆ วามโอกาสเกดข�นมากหรอนอยเพยงใด

การทดลองสม คอ การทดลองใดๆ ท�ไมสามารถบอกผลลพธท�แนนอนได แตสามารถ บอกไดวาผลลพธท �งหมดท�จะเกดข�นมอะไรบาง โดยเรยกผลของการทดลองเชงสมท�เปนไปไดท �งหมดวาปรภมตวอยาง และเรยกสมาชกของปรภมตวอยาง วา จดตวอยาง

เหตการณ คอ ส�งท�เราสนใจจากผลการทดลอง ท�เปนไปไดท �งหมดในปรภมตวอยาง ในกรณท�เหตการณไมมสมาชกเลยเราเรยกวาเซตวาง

การนบจานวนจดตวอยาง คอ การนบจานวนสมาชกท �งหมดในปรภมตวอยาง หรอเหตการณ ท�สนใจมหลากรณ คอ

กรณท� 1 เหตการณใดๆ K เหตการณ ซ�งประกอบไปดวยเหตการณยอยหลายเหตการณ เปนเหตการณท�เกดข�นพรอมกน หรอตอเน�องกนกได แตละเหตการณมอย ni เหตการณ วธการนบจดตวอยางจะทาไดโดยการคณ

กรณท� 2 เหตการณใดๆ K เหตการณ ซ�งประกอบไปดวยเหตการณยอยหลายเหตการณ เปนเหตการณท�ไมสามารถเกดข�นพรอมกนได หรอไมตอเน� องกน แตละเหตการณมอย ni

เหตการณ วธการนบจดตวอยางจะทาไดโดยการบวก

91

กรณท� 3 เหตการณใดๆ ท�ตองมการพจารณาลาดบความสาคญ จดเรยงส�งของใหเปนลาดบ จะเรยงท �งหมดหรอบางสวนกได เรยกลกษณะอยางน�วา การเรยงสบเปล�ยน (Permutation) โดยรปแบบการจดลาดบจะแบงได เปน 2 แบบ คอ แบบเสนตรง และแบบวงกลม

กรณท� 4 เหตการณใดๆ ท�ไมตองมการพจารณาลาดบความสาคญ ในการจดเรยงส�งของ จะเรยงท �งหมดหรอบางสวนกได เรยกลกษณะอยางน�วา การจดหม

การหาคาความนาจะเปนท�นยมใชกนม 2 แบบ คอ 1. วธใชตวแบบคณตศาสตร เปนการคานวณความนาจะเปน โดยวธน�ไมตองทาการทดลองจรง ใชการเขยนผลการทดลองท�เปนไปไดท �งหมด หรอปรภมตวอยาง และผลการทดลองหรอเหตการณท�สนใจ ในการหาความนาจะเปน

2. วธใชความถ�สมพทธ เปนการคานวณความนาจะเปน โดยอาศยผลท�ไดจากการทดลอง ท�อยภายใตสภาวะแวดลอมเดยวกน และมจานวนการทดลองมากพอ

ความนาจะเปนแบบมเง�อนไข คอ กรณท�เหตการณเกดข�นมากกวา 1 เหตการณ ซ�งมความสมพนธกน หรอไมเปนอสระตอกน คอ ความนาจะเปนของเหตการณใดๆ ท�เกดข�น เม�อม อกเหตการณเกดข�นแลวเรยกวา ความนาจะเปนแบบมเง�อนไข เหตการณท�เปนอสระตอกน คอ เหตการณใดๆ ท�เกดข�นมากกวา 1 เหตการณ โดยท� แตละเหตการณไมมผลกระทบตอกน หรอไมมความสมพนธกน เรยกวาเปนเหตการณท�เปนอสระตอกน

92

แบบฝกหดบทท� 3

1. ถงผาใบหน�งมลกแกวอย 4 ส คอสเหลอง 4 ลก สแดง 3 ลก สฟา 3 ลก และสเขยว 2 ลกจงหา 1.1 ความนาจะเปนท�จะสมหยบมา 1 ลกแลวไดลกแกวสฟา

1.2 ความนาจะเปนท�สมหยบมา 2 ลกแลวไดลกท� 1 เปนสเขยว และลกท� 2 เปนสแดง โดยการสมหยบข�นมา แลวไมนาลกแกวท�สมข�นมาไดใสกลบเขาไปในถง

2. ในกลองใบหน�งมฉลากอย 15 ใบ โดยแตละใบมหมายเลขกากบ คอ เลข 1 จานวน 6 ใบ เลข 2 จานวน 5 ใบ และเลข 3 จานวน 4 ใบ จงหาความนาจะเปนท�สมหยบมา 1 ใบ แลวไดหมายเลข 2 หรอ หมายเลข 3 3. บรษทแหงหน�งมลานจอดรถยนตสาหรบพนกงานซ�งจอดได 4 คน เทากบจานวนรถยนต

ของพนกงาน โดยพนกงานแตละคนมรถยนตย�หอตางกนตางกน คอ ย�หอโตโยตา ย�หอฮอนดา ย�หออซซ และย�หอมซซบช จงหาความนาจะเปนท�รถยนตย�หอโตโยตาจะจอดอยรมขวาสด ของลานจอดรถยนต

4. เจาของบรษทแหงหน�งตองการจดธงสประดบวงแหวนหนาอาคารโดยมธงสอย 5 ผน ผนละ 1 ส คอ สขาว สเหลอง สมวง สน�าเงน และสแดง เจาของบรษทแหงน�สามารถจดเรยงธงไดก� 5. ลงใบหน�งมผลไมอยคอ สม มะมวง ชมพ สาล�และฝร �ง จงหาความนาจะเปนท�สมหยบมา 2 ลก

แลวไดสมมาดวย 6. ทาการทดลองโยนเหรยญปกต 1 เหรยญ จานวน 50 คร �ง ปรากฏวาเหรยญออกกอย 34 คร �ง จงหาความนาจะเปนท�เหรยญจะออกหว 7. นกศกษาคนหน�งมความนาจะเปนท�จะสอบผานวชาภาษาไทยเทากบ 0.7 วชาภาษาองกฤษ เทากบ 0.64 และสอบไมผานท �ง 2 วชาคอ 0.25 จงหาความนาจะเปนท�นกศกษาคนน�จะสอบ ผานอยางนอยหน�งวชา 8. สายการบนแหงหน�งออกบนลาชากวากาหนดมสาเหตมาจากสภาพอากาศมความนาจะเปน

0.23 จากการบรรจกระเปาของผโดยสารมความนาจะเปนเทากบ 0.34 และความนาจะเปน ท�จะเกดจากสาเหตท �งสองอยางเทากบ 0.08 จงหาความนาจะเปนท�สายการบนแหงน�จะไมเกด

ปญหาการบนลาชาจากสองสาเหตน� 9. โยนเหรยญ 3 เหรยญพรอมกน 3 คร �ง จงหาความนาจะเปนท�ในการโยนคร �งแรกออกกอย

เหรยญ โยนคร �งท�สองออกกอย 1 เหรยญ และโยนคร �งสดทายออกหวอยางเดยว 10. บรษทผลตคอมพวเตอรแหงหน�งผลตคอมพวเตอรขายอย 3 ชนด คอ ชนด A ชนด B และชนด C โดยชนด A มกาลงผลตคดเปน 45 เปอรเซนต ชนด B คดเปน 25 เปอรเซนต และชนด C คดเปน 30 เปอรเซนต โดยสนคาชนด A มความนาจะเปนท�จะชารดเทากบ 0.03 สนคาชนด B มความนาจะเปนเทากบ 0.05 และชนด C มความนาจะเปนเทากบ 0.04 จงหาความนาจะเปน ท�สมมา 1 เคร�อง แลวชารดโดยเปนคอมพวเตอรชนด A

197

93

บทท� 4 การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสม

ตวแปรสม (Random Variable)

ตวแปรสม คอ ฟงกชนท�มคาเปนจานวนจรง หาไดจากแตละสมาชกในปรภมตวอยาง โดยใชแทนจานวนเหตการณตางๆ ท�เกดข�น จากการทดลองหรอการสม นยมใชอกษรภาษาองกฤษตวพมพใหญแทนตวแปรสม และอกษรภาษาองกฤษตวพมพเลกแทนคาของตวแปรสม ตวแปรสมแบงไดเปน 2 ชนด คอ ตวแปรสมไมตอเน�อง (Discrete Random Variable) และตวแปรสมตอเน�อง (Continuous Random Variable) ตวแปรสมไมตอเน�อง คอ ตวแปรสมท�มคาเปนจานวนนบ มกไดจากการนบเชงสม จาแนกไดเปน 2 แบบ คอ แบบจานวนนบจากด เชน การโยนเหรยญปกตพรอมกน 2 เหรยญ แลวไดเหรยญท�ออกเปนกอย การโยนลกเตา 3 ลกพรอมกน 3 คร �ง แลวไดเลขเปนเลขค และ แบบจานวนนบไมจากด เชน การนบจานวนเมดฝนท�ตกในจงหวดแหงหน�งใน 1 เดอน ตวแปรสมตอเน�อง คอ ตวแปรสมท�มคาเปนจานวนจรง มกไดจากการวดปรมาณตางๆ เชน การวดสวนสงของนกเรยน ปรมาณน�าตาลในคลงเกบ ระดบน�าทะเลในแตละวน น�าหนกของผลไมท�เกบไดจากสวนแหงหน�ง การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสม

การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมไมตอเน�อง ตวแปรสมไมตอเน�องท�เกดข�น มคาไมแนนอนแลวแตเหตการณ ทาใหคาของตวแปรสม แตละคาจะมความนาจะเปนตางกนดวย โดยฟงกชนท�แสดงถงโอกาสท�จะเกดข�นของความนาจะเปนของตวแปรสมน �นๆ เรยกวา ฟงกชนความนาจะเปน (Probability Function) สญลกษณท�นยมใช คอ f(x) โดยท� x คอตวแปรสมไมตอเน�อง มคาต �งแต x1, x2, x3,…,xn ซ�งมคณสมบตดงน�

1. 0 ≤ f(x) ≤ 1

Sxxf 1)(

AxxfAP )()(

2.= 3.=

94

ในการแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมแบบไมตอเน�อง นอกจากจะใชสตรแลว ยงสามารถ นาเสนอการแจกแจงความนาจะเปน ในลกษณะของตารางแจกแจงความนาจะเปน หรอกราฟ

ตวอยางท� 4.1 โรงพยาบาลแหงหน�งมความนาจะเปนท�จะมแมมาคลอดบตรในรอบ 1 สปดาห ดวยความนาจะเปนดงน�

จานวนเดกท�เกดในรอบ 1 สปดาห 0 1 2 3 4 ความนาจะเปน 0.18 0.20 0.33 0.17 0.12

จงเขยนตารางแจกแจงความนาจะเปนและกราฟแทงของการแจกแจงของตวแปรสม และความนาจะเปนท�ทารกท�เกดจะไมเกน 3 คนตอสปดาห

วธทา ให x คอจานวนเดกท�เกดในรอบ 1 สปดาห ตารางแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสม

x f(x) 0 0.18 1 0.20 2 0.33 3 0.17 4 0.12

จานวนทารกท�เกด(คน)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0 1 2 3 4

ความนาจะเปน

กราฟแสดงการแจกแจงของตวแปรแบบสม

95

ความนาจะเปนท�ทารกท�เกดจะไมเกน 3 คนตอสปดาห

AxxfAP )()(

ดงน �น P(A) = 0.18 + 0.22 + 0.33 + 0.17 = 0.88 คาคาดหมายและคาความแปรปรวนของตวแปรสมไมตอเน�อง ตวแปรสมท�เกดข�นในแตละการทดลอง จะมความนาจะเปนท�แตกตางกน ข�นอยกบการแจกแจงความนาจะเปนของเหตการณน �นๆ คาท�ถอวาเปนคาท�เปนตวแทนท�ดของการแจกแจง คอคาเฉล�ยซ�งหาไดจากคาคาดหมาย (Expected Value)

ถา X เปนตวแปรสมไมตอเน�องท�มฟงกชนความนาจะเปนคอ f(x) คาคาดหมาย หรอคาเฉล�ยแบบถวงน�าหนกดวยความนาจะเปนของตวแปรสม X เขยนแทนดวย E(X) โดยท�

E(X) = x

xfx )(. = µx

ตวอยางท� 4.2 รานขายโทรศพทแหงหน�งไดทาการเปดสาขาใหมท�หางสรรพสนคา โดยเจาของราน ไดทาการเกบขอมลการขายในรอบ 1 เดอน ไดความนาจะเปนท�จะขายโทรศพทไดดงน�

จานวนโทรศพทท�ขายไดใน 1 วน ความนาจะเปน 0 0.18 1 0.15 2 0.24 3 0.29 4 0.14

จงหาคาเฉล�ยท�สาขาแหงน�จะขายโทรศพทไดใน 1 วน

วธทา E(X) = x

xfx )(.

ดงน �น E(X) = (0 x 0.18) + (1 x 0.15) + (2 x 0.24) + (3 x 0.29) +(4 x 0.14) = 2.06 น �นคอ สาขายอยแหงน�ขายโทรศพทไดวนละ 2 - 3 เคร�อง

96

ตวอยางท� 4.3 ครประจาช �นตองการเลอกกรรมการประจาหอง 4 คน จากตวแทน 10 คน โดยเปนผหญง 6 คน และผชาย 4 คน จงหาคาเฉล�ยท�ผชายจะไดเปนกรรมการท�ครเปนคนเลอก

วธทา E(X) = x

xfx )(.

ให x คอจานวนนกเรยนชายท�จะไดเปนกรรมการ

f(x) =

4106

64xx

โดยท� x = 0,1,2,3,4

f(0) =

410

066

04

= 21015

f(1) =

410

166

14

= 21080

f(2) =

410

266

24

= 21090

f(3) =

410

366

34

= 21024

f(4) =

410

466

44

= 2101

จะได

X 0 1 2 3 4 P(X)

21015

21080

21090

21024

2101

97

ดงน �น E(X) = (0 x 21015 ) +(1 x

21080 ) +(2 x

21090 ) +(3 x

21024 ) +(4 x

2101 )

= 1.6 น �นคอ คาเฉล�ยท�นกเรยนชายจะไดเปนกรรมการเทากบ 1.6 คาความแปรปรวน เปนคาท�แสดงถงคาของตวแปรสมวามการกระจายจากคาคาดหมายมากนอยเพยงใด

ถา X เปนตวแปรสมไมตอเน�องท�มฟงกชนความนาจะเปนคอ f(x) คาความแปรปรวน เขยนแทนดวย Var(X) หรอ ��� โดยท� ��� = E( X - µx ) ตวอยางท� 4.4 จากตวอยางท� 4.2 จงหาคาความแปรปรวนของขอมล

วธทา ��� = E( X - µx ) µx = 2.06

��� = )(.)06.2( 2 xfx

ดงน �น ��� = (0 – 2.06)2(0.18) + (1 – 2.06)2(0.15) + (2 – 2.06)2(0.24) + ( 3 – 2.06)2(0.29) + ( 4 – 2.06)2(0.14)

= 1.72 *** เน�องจากความแปรปรวน คอ คากาลงสองของสวนเบ�ยงเบนมาตรฐาน โดยคาเบ�ยงเบนมาตรฐานเขยนแทนดวย �� โดยท�

�� = )( xXE

ถา X เปนตวแปรสม โดย a และ b เปนคาคงท� เพ�อใหงายตอการคานวณ จงมการ ใชกฎของคาเฉล�ย และความแปรปรวนมาประกอบการคานวณดงน�

1. µax + b = aµx + b 2. ����� = ��� 3. ���� = a2 �x2

98

การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมไมตอเน�องบางชนด

การแจงแจกความนาจะเปนของตวแปรสมไมตอเน�อง จะแตกตางกนไปตามผลท�ได จากวธการสม และผลจากการสม หากมวธการเดยวกนหรอคลายกนกสามารถใชฟงกช �นเดยวกนได ซ�งการแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมไมตอเน�องท�นยมใชกน คอ การแจกแจงเอกรป (Unifrom Distribution) การแจกแจงแบรนลล (Bernoulli Distribution) การแจงแจงเรขาคณต (Geometric Distribution)

การแจกแจงทวนาม (Binomial Distribution) การแจกแจงปาสคาล (Pascal Distribution) การแจกแจงเรขาคณตไฮเพอร (Hypergeometric Distribution) การแจกแจงปวซง (Poisson Distribution) การแจกแจงเอกรป ถา X เปนตวแปรสมไมตอเน�อง มผลการทดลองท�เกดข�น n อยาง โดยท�ผลการทดลอง แตละอยางไมมความสมพนธกน และผลการทดลองท�เกดข�นน �นมโอกาสเกดข�นไดเทาๆ กน เรยกการแจกแจงแบบน�วา การแจกแจงเอกรป โดยจะมฟงกชนความหนาแนนความนาจะเปน คอ

P(X=x) = )(xf = n1 โดยท� x = 1,2,3,…,n

คาเฉล�ย และความแปรปรวนของการแจกแจง คอ

)(XE = 2

1n

�� = 2

12 n

ตวอยางท� 4.5 รานคาแหงหน�งไดทาการโปรโมทรานโดยการใหลกคา 5 คนแรกท�เขาราน ไดจบฉลากรางวลท� 1 ถงรางวลท� 5 จงสรางตารางแจกแจงฟงกชนความนาจะเปน คาเฉล�ย และความแปรปรวนของเหตการณน�

วธทา )(xf = n1

ให x คอเหตการณท�จะจบไดรางวลท� 1 ถงรางวลท� 5

99

x n f(x) 1 1

51

2 1 51

3 1 51

4 1 51

5 1 51

ดงน �น )(XE = 2

1n

)(XE = 2

15 = 3

�� = 2

12 n

�� = 2

152 = 12 การแจกแจงแบรนลล การทดลองสมใดๆ ท�ทาการทดลองเพยง 1 คร �ง แลวผลการทดลองท�ไดมเพยง 2 อยาง คอ ความสาเรจ (Success) และความไมสาเรจหรอลมเหลว (Failure) ให X แทนตวแปรสม ท�เกดจากผลการทดลอง ความนาจะเปนท�จะเกดความสาเรจมคาเทากบ p และความนาจะเปน ท�จะเกดความไมสาเรจมคาเทากบ q ซ�งผลรวมของ p และ q มคาเทากบ 1 น �นคอ p + q =1 โดยจะมฟงกชนความหนาแนนความนาจะเปน คอ P(X=x) = )(xf = 1Cx pxq1 - x โดยท� x = 0,1 หรอ pxqn-x โดยท� x = 0,1 P(X=x) = )(xf = 0 คาเฉล�ย และความแปรปรวนของการแจกแจง คอ )(XE = p �� = pq

100

ตวอยางท� 4.6 นายเอกพงษตองทาขอสอบแบบกาถกผด1 ขอ โดยสนใจเหตการณท�จะทาขอสอบถก จงหาคาฟงกชน คาเฉล�ยและความแปรปรวนของเหตการณน�

วธทา )(xf = �������o � ให x คอ เหตการณท�เอกพงษทาขอสอบถก

ดงน �น )(xf = 1C1

1

21

11

21

= 0.5

)(XE = p

)(XE = 21 = 0.5

�� = pq

�� = 21 x

21 = 0.25

การแจงแจงเรขาคณต

การทดลองสมใดๆ ท�ทาการทดลองแบบเดมซ�ามากกวา 1 คร �ง และผลการทดลองมได แค 2 อยาง คอ ความสาเรจและความไมสาเรจ โดยการทดลองแตละคร �งเปนอสระตอกน ซ�งการแจกแจงแบบน�จะศกษาความสาเรจท�เกดข�นคร �งแรก ในการทดลองวาเกดข�นในการทดลอง คร �งท�เทาไหร ให X แทนตวแปรสมท�เกดจากผลการทดลอง ความนาจะเปนท�จะเกดความสาเรจ มคาเทากบ p และความนาจะเปนท�จะเกด ความไมสาเรจมคาเทากบ q โดยให p และ q =1- p เปนความนาจะเปนของการไดความสาเรจและความไมสาเรจ โดยจะมฟงกชนความหนาแนน ความนาจะเปน คอ P(X=x) = )(xf = q1 - x p โดยท� x = 1,2,3,… คาเฉล�ย และความแปรปรวนของการแจกแจง คอ

)(XE = p1

�� = 2pq

ตวอยางท� 4.7 ทดลองโยนลกเตาแลวไดแตมนอยกวา 3 จงหาความนาจะเปนท�จะทาไดในการโยนคร �งท� 4 พรอมท �งคาเฉล�ย และคาความแปรปรวน

วธทา )(xf = q1 - x p ให x คอ ลาดบท�เกดความสาเรจ

101

ดงน �น )(xf =

62

64 14

= 0.099

)(XE = p

1

)(XE = 33.0

1

= 3.03

�� = 2pq

�� = 2)33.0(

67.0 = 6.15

การแจกแจงทวนาม

การทดลองสมใดๆ ท�ทาการทดลองแบบเดมซ�ามากกวา 1 คร �ง และผลการทดลอง มไดแค 2 อยาง คอ ความสาเรจ และความไมสาเรจ โดยการทดลองแตละคร �งเปนอสระตอกน ให X แทนตวแปรสมท�เกดจากผลการทดลอง ความนาจะเปนท�จะเกดความสาเรจมคาเทากบ p และความนาจะเปนท�จะเกดความไมสาเรจมคาเทากบ q หรอจะกลาวไดวาเปนการทดลองแบบ แบรนลลต �งแต 2 คร �งข�นไป ซ�งการคานวณส�งท�จะนามาพจารณาดวยกคอจานวนการทดลอง โดยจะมฟงกชนความหนาแนนความนาจะเปน คอ P(X=x) = )(xf = nCxpxqn - x เม�อ x = 0,1,2,3,…,n คาเฉล�ย และความแปรปรวนของการแจกแจง คอ )(XE = np �� = npq ตวอยางท� 4.7 นกกฬาบาสเกตบอลคนหน�งฝกยงลกโทษ 10 คร �ง มความนาจะเปนท�จะยงเขาเทากบ 0.75 จงหาความนาจะเปนท�นกกฬาคนน�จะยงลกโทษเขา 7 คร �ง พรอมท �งคาเฉล�ย และคาความแปรปรวน

วธทา )(xf = nCxpxqn - x ให x คอ เหตการณท�ยงลกโทษเขา ดงน �น )(xf = (10C7) (0.75)7(0.25)3 = 0.25 )(XE = np )(XE = 10 x 0.75 = 7.5

102

�� = npq �� = 10 x 0.75 x 0.25 = 1.88 การแจกแจงปาสคาล จากรปแบบการแจกแจงทวนาม ถาสนใจศกษาในกรณท�เกดความสาเรจเพยงอยางเดยว เรยกการแจกแจงแบบน�วา การแจกแจงทวนามลบ หรอการแจกแจงปาสคาลโดยในการทดลอง เปนการทดลองท�เปนอสระตอกน ความนาจะเปนท�จะเกดความสาเรจมคาเทากบ p และความ นาจะเปนท�จะเกดความไมสาเรจมคาเทากบ q ในการทดลอง n คร �ง ในการทดลองคร �งท� x มจานวนความสาเรจเทากบ k คร �ง ซ�งจานวนของผลความสาเรจคอ k ≤ x ซ�งกอนการสมคร �งท� x หรอเทากบ x-1 โดยจะมฟงกชนความหนาแนนความนาจะเปน คอ P(X=x) = )(xf = x-1 Ck-1 pk qx - k เม�อ x = k,k+1,k+2,…. คาเฉล�ย และความแปรปรวนของการแจกแจงการสม คอ

)(XE = pk

�� = 2pkq

ตวอยางท� 4.8 ทดลองโยนลกเตา 50 คร �ง ไดความนาจะเปนท�ลกเตาจะออกแตมเทากบ 3 คอ 0.24 จงหาความนาจะเปนท�ในการโยนคร �งท� 4 ลกเตาจะออกแตมเปน 3 พรอมท �งคาเฉล�ย และคาความแปรปรวน

วธทา )(xf = x-1 Ck-1 pk qx - k ให x คอ จานวนคร �งของการทดลองท�จะสาเรจ k คอ จานวนเหตการณท�โยนลกเตาแลวออกแตม 3 ดงน �น )(xf = (4-1C1-1) (0.24)1(0.76)3 = 0.32

)(XE = pk

)(XE = 24.0

1 = 4.16

�� =

2pkq

�� = 224.0

76.01x = 13.19

103

การแจกแจงเรขาคณตไฮเพอร การแจกแจงแบบน� คอ การทดลองท�มผลการทดลองได 2 อยาง เหมอนการแจกแจง ทวนาม มความตางกน คอ การทดลองเรขาคณตไฮเพอรน� จะทาการทดลองโดยการเลอก ตวอยางแบบไมคนท�(sampling without replacement) ซ�งตางจากทวนามท�เปนการเลอกตวอยางแบบคนท�(sampling with replacement) ซ�งการแจกแจงเรขาคณตไฮเพอร ในการทดลองแตละคร �งจะไมเปนอสระตอกน โดยสมเลอกตวอยางแบบไมคนท�ขนาด n จากประชากร จานวน N ท�มจานวนแนนอน และประชากรแบงไดเปน 2 กลม กลมท�หน�งเรยกวาความสาเรจ k จานวน กลมท�สองเรยกวา ความไมสาเรจ ม N-k จานวน โดย X คอตวแปรสมของจานวน ท�มความสาเรจในการสมตวอยาง n คร �ง จากการทดลองท �งหมด N คร �ง โดยจะมฟงกชนความหนาแนน ความนาจะเปน คอ

P(X=x) = f(x) =

nNxnkN

xk

โดยท� x = 0,1,2,3,…,k ; n ≥ k x = 0,1,2,3,…,n ; n < k คาเฉล�ย และความแปรปรวนของการแจกแจง คอ

)(XE = Nnk

�� =

1NnN

NkN

Nkn

ตวอยางท� 4.9 หองเรยนหองหน�งมนกเรยน 15 คน ทาการทดสอบแบบฝกหดมคนสอบ ไมผาน 4 คน ถาครผสอนสมเลอกนกเรยนมา 6 คน จงหาความนาจะเปนท�ในการสมจะไดคนสอบไมผาน 2 คน พรอมท �งคาเฉล�ย และคาความแปรปรวน

วธทา )(xf =

nNxnkN

xk

ให k คอ จานวนนกเรยนท�สอบไมผานท �งหมด x คอ จานวนนกเรยนท�สอบไมผานท�เลอกมา

104

ดงน �น )(xf =

nNxnkN

xk

=

615

26415

24

= 0.396

)(XE = Nnk

)(XE = 15

46 = 1.6

�� =

1NnN

NkN

Nkn

�� =

115615

15415

1546 = 0.62

การประมาณการแจกแจงเรขาคณตไฮเพอรดวยการแจกแจงทวนาม ในการแจกแจงเรขาคณตไฮเพอรจะใชจานวนกลมท�สมมา n เปนตวแปร แตถาหากวากลมท�สมมา มขนาดเลกมากเม�อเทยบกบขนาดของประชากร N ทาใหกลมท�สมมาไมมผลกระทบ กบประชากร ไมวาจะเปนแบบคนท�หรอแบบไมคนท� กจะใหผลใกลเคยงกนมาก ดงน �นเพ�อแกปญหาความยงยากในการคานวณ สามารถแทนการแจกแจงเรขาคณตไฮเพอร ดวยการแจกแจงทวนามได

โดยม p = Nk

เม�อ n มขนาดเลก คาฟงกช �นยงใชรปแบบเดม ท�ตางกน คอคาความแปรปรวน

ของการแจกแจง โดยท�คาความแปรปรวนมคาเทากบ

�� =

NkN

Nkn

ตวอยางท� 4.10 โรงงานแหงหน�งมคนงาน 3,000 คน เปนผชาย 1,400 คน หญง 1,600 คน ตองการสมเลอกคนมา 15 คน เพ�อมาเปนตวแทนคนงานในการประชมของบรษท จงหา ความนาจะเปนท�จะเลอกตวแทนกลมน�ไดผชาย 8 คน พรอมท �งคาเฉล�ย และความแปรปรวน

วธทา เน�องจากจานวน n มขนาดเลกมากเม�อเทยบกบ N จงใชการแจกแจงบทวนามแทนได ดงน �น p =

000,3200,1 = 0.40

105

)(xf = (15C8) (0.40)8(0.60)7 = 0.118

***ไดผลเทากบการเปดตารางท� 1 ตารางแจกแจงทวนาม

)(XE = Nnk

)(XE = 000,3

400,115 = 7

�� =

000,3

400,1000,3000,3400,115

�� = 3.73 การแจกแจงปวซง

เปนการแจกแจงตวแปรสมไมตอเน�อง ของเหตการณในชวงเวลาใดเวลาหน�งท�เราสนใจ หรอขอบเขตใดขอบเขตหน�ง โดยในชวงท�เลอกมาจะไมสามารถระบจานวนนบท�สมมาไดอยางแนนอน หรอกคอเปนจานวนนบไมจากด เรยกตวแปรแบบน�วา ตวแปรสมปวซง (Poisson Variable) โดยกาหนดให X แทนคาตวแปรสม เชน X เปนจานวนปรมาณคารบอนไดออกไซด ท�ปลอยออกมาจากรถยนตท�ว�งในมหาวทยาลยภายในเวลา 1 ป หรอ X คอจานวนเมดขาว ในโรงสในรอบ 1 สปดาห ให (lambda) แทนคาเฉล�ยของส�งท�สนใจในชวงเวลาท�กาหนด ฟงกชนความหนาแนนความนาจะเปน คอ

P(X=x) = )(xf = !x

xe

โดยท� x = 1,2,3,…,n E = 2.71828…

คาเฉล�ย และความแปรปรวนของการแจกแจง คอ )(XE = �� = ตวอยางท� 4.11 โรงงานผลตเคร�องซกผาแหงหน�ง จะมสนคาชารดเฉล�ย 5 เคร�องตอวน จงหาความนาจะเปนท�โรงงานแหงน�จะผลตสนคาชารด 3 เคร�องตอวน พรอมท �งคาเฉล�ยและคา ความแปรปรวน

วธทา P(X=x) = )(xf = !x

xe

ให x คอจานวนสนคาท�ชารด และ = 5

106

ดงน �น )(xf = !3

355718.2 = 0.14

)(XE = )(XE = 5

�� = �� = 5 การประมาณการแจกแจงทวนามดวยการแจกแจงปวซง การแจกแจงทวนามจานวนของ n จะมผลอยางมากตอการคานวณ ถา n มคามากการคานวณความนาจะเปนกจะทาไดยากตามไปดวยและถา n เปนจานวนนบไมจากด การคานวณกจะไมสามารถทาได จงใชการแจกแจงปวซงมาประมาณคาความนาจะเปนแทน โดยท� p มคาใกลศนยและ np เปนคาคงท� ตวอยางท� 4.12 จากการสารวจการแตงกายของนกศกษามหาวทยาลยแหงหน�งใน 1 วน โอกาส ท�จะมนกศกษาแตงกายผดระเบยบเทากบ 0.05 ถาวนน�สมเลอกนกศกษามา 100 คน โอกาสท�จะมนกศกษาแตงกายผดระเบยบ 3 คน มคาเทากบเทาใด

วธทา )(xf = nCxpxqn - x ให x คอ เหตการณท�นกศกษาแตงกายผดระเบยบ ดงน �น )(xf = (100C3) (0.05)3 (0.95)97

= 0.1396 จะเหนไดวาการคานวณจะทาไดยาก

P(X=x) = )(xf = !x

xe

= np = 100 x 0.05 = 5

)(xf = !3

355718.2

= 0.1404 ***ไดผลเทากบการเปดตารางท� 2 ตารางแจกแจงปวซง จะเหนไดวาคาท�ไดใกลเคยงกน และวธการคานวณปวซงทาไดงายกวา

107

f(x)

b a x

การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมตอเน�อง การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมตอเน�อง คอ การแจกแจงตวแปรสมท�ได จากการวดคาตางๆ เชน สวนสง น�าหนก อาย ระยะทาง เวลา เปนตน ซ�งการวดคาตางๆเหลาน� มความตอเน�องกนจนไมสามารถวดคาจรงได การวดเฉพาะคาตวแปรใดตวแปรหน�งจะมคานอยมาก หรออาจใหเปน 0 เลยกได ดงน �นจะไมสามารถเขยนการแจกแจงในรปของตารางได แตจะทาไดโดยการสรางฟงกชนท�ตอเน�องในรปของเสนโคงความถ� ในการหาความนาจะเปน จะเปนการหาในชวงใดชวงหน�งท�สนใจศกษา โดยให X เปนตวแปรสมตอเน�อง คาท�ตองการ เชน P(X<a) หรอ P( a<X<b) ดงแสดงในรปท� 4.1

รปท� 4.1 แสดงพ�นท�ใตโคงของกราฟเม�อ P( a<X<b)

ฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรมคณสมบตดงน� 1. )(xf 0 สาหรบทกๆคาของ x

2.

1)( dxxf

3. a

b

dxxfbXaP )( เม�อ a และ b ; ba

ตวอยางท� 4.13 จงหาคาคงท� c ซ�งทาใหฟงกชนขางลางน�เปนฟงกชนความหนาแนน ของความนาจะเปน cx3 , 0<x<2 กาหนดให )(xf =

0 , สาหรบคาอ�นๆ

และหาคา P(1<X<3)

108

วธทา

1)( dxxf

ดงน �น

1)( 3dxcxdxxf

0 2

0 2

3333 dxcxdxcxdxcxdxcx

4)0(

4)2(

04

0

00

24

2

0

4

0 2

0 2

3

cc

cx

dxdxcxdx

= 4c

1)( dxxf

4c = 1 c =

41

a

bdxxfbXaP

ดงน �น P(1<X<3) = 3

1

3

1

43

1641 xdxx

= 16

4116

43

= 51680

161

1681

คาเฉล�ย และคาความแปรปรวนของตวแปรสมตอเน�อง

ถา X เปนตวแปรสมตอเน�องท�มฟงกชนความนาจะเปนคอ f(x) คาเฉล�ย และคา ความแปรปรวน คอ

E(X) = µx =

dxxxf )(

และ ��� = E(X - µ)2

109

=

dxxfx )()( 2

หรอ ��� = E(X2) – (E(X))2

=

22 )( dxxfx

ตวอยางท� 4.14 ให X เปนตวแปรเชงสมท�มฟงกชนความหนาแนนของความนาจะเปน 2x(1-x) ,0<x<1 กาหนดให )(xf =

0,สาหรบคาอ�นๆ จงหาคาคาดหมาย และความแปรปรวนของ X

วธทา E(X) =

dxxxf )(

ดงน �น E(X) = 1

0

)1(2 dxxxx

= 1

0

2 )1(2 dxxx

= 1

0

32 )22( dxxx

= 1

0

32 )(2 dxxx

= 1

04

4

3

32

xx

=

41

312

=

123

1242

=

1212

= 61

E(X2) = 1

0

2 )1(2 dxxxx

110

= 1

0

3 )1(2 dxxx

= 1

0

43 )22( dxxx

= 1

0)43(2 dxxx

= 1

05

5

4

42

xx

=

51

412

=

204

2052

=

2012

= 101

ดงน �น ��� = E(X2) – (E(X))2

= 101 -

2

61

= 0.072 การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมแบบตอเน�องบางชนด

การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมแบบตอเน�องมหลายแบบ แตแบบท�นยมใช คอ การแจกแจงปรกต (Normal Distribution) การแจกแจงท (t - Distribution) การแจกแจงไคกาลงสอง (Chi-Squared Distribution) การแจกแจงเอฟ (F - Distribution)

การแจกแจงปรกต การแจกแจงปรกต เปนการแจกแจงความนาจะเปนของลกษณะขอมลท�มลกษณะตอเน�อง เปนการแจกแจงของตวแปรสมตอเน�องท�สาคญท�สด เพราะขอมลท�ไดจากการวดสวนใหญจะมการแจกแจงแบบน� ซ�งขอมลเม�อนามาเขยนเปนเสนโคง จะเรยกวา เสนโคงปรกต(Normal Curve) เปนเสนโคงปรกตท�มรปคลายระฆงคว�า โดยท�จดก�งกลางจะม คาเฉล�ย คามธยฐาน และคาฐานนยมอยในตาแหนงเดยวกน ดงแสดงในรปท� 4.2

111

µ, Med , Mod

µ1 µ2

รปท� 4.2 เสนโคงปรกต

เสนโคงปรกตเปล�ยนแปลงไปตามคาเฉล�ย (µ) และคาสวนเบ�ยงเบนมาตรฐาน ( ) รปตอไปน�แสดงถงกราฟของเสนโคงปรกตลกษณะตางๆ กน

รปท� 4.3 แสดงเสนโคงปรกตเม�อ µ1< µ2 และ 1 = 2

รปท� 4.4 แสดงเสนโคงปรกตเม�อ µ1 = µ2 และ 1 < 2

โดยมฟงกชนความหนาแนนความนาจะเปน คอ

)(xf =

2

221

21

xe เม�อ - <x<

โดยท� µ คอ คาเฉล�ยของตวแปรสม X คอ สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของตวแปรสม X

π = 3.14159… และ e = 2.71828

µ1=µ

2

112

x + - 0.5 0 0.5

คณสมบตของเสนโคงปรกตมดงน� 1. เสนโคงเปนรประฆงคว�า 2. เสนโคงดานซายและดานขวาจะสมมาตรกนท�คาก�งกลางคอคา x = µ 3. ปลายของเสนโคงปรกตจะเร�มจาก - (ดานซาย) ถง (ดานขวา) และเสนโคง ปรกต จะอยบนแกนนอนเสมอ 4. คาเฉล�ยเทากบคามธยฐาน เทากบคาฐานนยม และอยจดก�งกลางของโคงปรกต 5. พ�นท�ใตเสนโคงปรกตท �งหมดท�อยเหนอแกน x คอ ความนาจะเปน มคาเทากบ 1 และจดก�งกลางมคาเทากบ 0 ฝ �งซายมคาเปนลบ ฝ �งขวามคาเปนบวก ดงแสดง ในรปท� 4.5

รปท� 4.5 แสดงพ�นท�ใตโคงปรกต

เน�องดวยตวแปรเปนการแจกแจงแบบตอเน�อง คอการหาขอมลเปนชวง ดงน �นถาตองการ คานวณหาความนาจะเปนชวง a ถง b เม�อ a < b น �นกคอ P(a<X<b) ซ�งตองใชการทดสอบดวยหาปรพนธ (Integral Test) ฟงกชนความนาจะเปนกจะเทากบ

P(a<X<b) = b

adxxf )(

=

b

adx

xe

222

1

21

ซ�งจะเหนไดวาในการคานวณทาไดยาก ดงน �นจงมการสรางตารางการคานวณคา ความนาจะเปนข�นมา โดยจะใชไดเม�อคาเฉล�ยเทากบศนย และคาเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 1 โดยในการคานวณจะเปล�ยนตวแปรสม X ท�มคาเฉล�ย และคาสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานตางกน ใหมคาเฉล�ยเทากบศนย และคาเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 1 แลวเปล�ยนตวแปรสม เปน Z จะเรยกวา การแจกแจงปรกตมาตรฐาน (Standard Normal Distribution) สตรท�ใช คอ

Z = X

และ

f(z) = 22

21

ze

เม�อ - <Z<

113

Z 0 2.45

Z 0 1.5

P(a<Z<b) = F(b) – F(a) P(Z>a) = 1 –P(Z ≤ a) ตวอยางท� 4.15 กาหนดให Z เปนตวแปรสมปรกตมาตรฐาน จงหา

1. P(0<Z<2.45) 2. P(Z>1.5) 3. P(Z<-2.33) 4. P(-1.12<Z<3.4)

วธทา 1. P(0<Z<2.45) ดงน �น P(0<Z<2.45) = P(2.45) – P(0) เปดตารางท� 3 ตารางการแจกแจงปรกต ตาแหนง 2.45 ไดคาเทากบ 0.9929

ตาแหนง 0 ไดคาเทากบ 0.5 P(0<Z<2.45) = 0.9929 - 0.5 = 0.4929

2. P(Z>1.5)

ดงน �น P(Z>1.5) = 1 – P(Z<1.5) เปดตารางท� 3 ตารางการแจกแจงปรกต ตาแหนง 1.5 ไดคาเทากบ 0.9332 P(Z>1.5) = 1 – 0.9332 = 0.0668

114

Z -2.33 0

z -1.12 0 3.4

3. P(Z<-2.33)

เปดตารางท� 3 ตารางการแจกแจงปรกต ตาแหนง -2.33 ไดคาเทากบ 0.0099

P(Z<-2.33) = 0.0099

4. P(-1.12<Z<3.4)

ดงน �น P(-1.12<Z<3.4) = P(3.4) – P(-1.12) เปดตารางท� 3 ตารางการแจกแจงปรกต

ตาแหนง 3.4 ไดคาเทากบ 0.9997 จะได 0.9997 – 0.5 = 0.4997 ตาแหนง -1.12 ไดคาเทากบ 0.8686 จะได 0.8686 – 0.5 =0.3686

P(-1.12<Z<3.4) = 0.9997 - 0.1135 = 0.8862

ตวอยางท� 4.16 อายของพนกงานในโรงงานแหงหน�งมการแจกแจงปรกต มคาเฉล�ยเทากบ 35 ป และสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 2 ป จงหาวามคนงานท�มอายระหวาง 30-40 ป คดเปนรอยละเทาใด

วธทา Z = X

ดงน �น P(30<Z<40) = P(2

3530 < Z< 2

3540 )

= P(-2.5<Z<2.5) = P(2.5) - P(-2.5)

115

-2.5 z

0 2.5

เปดตารางท� 3 ตารางการแจกแจงปรกต ตาแหนง 2.5 ไดคาเทากบ 0.9938

ตาแหนง -2.5 ไดคาเทากบ 0.0062 P(30<Z<40) = 0.9938 – 0.0062 = 0.9876 คนงานท�มอายระหวาง 30 – 40 ป คดเปนรอยละ 98.76 การประมาณการแจกแจงทวนามดวยการแจกแจงปรกต การแจกแจงทวนามมตวแปรท�สาคญในการคานวณ คอ ขนาดของ n ถา n ขนาดเลก กจะงายในการคานวณ แตถา n มขนาดใหญกจะทาไดยาก ซ�งสามารถแกปญหาไดโดยใชการ แจกแจงปวซง ใชในกรณ p มคาใกลศนย และ np เปนคาคงท� แตถาคา p มคาใกล 0.5 โดยมคา µ = np และ 2 = npq จะสามารถใชการแจกแจงปรกตมาตรฐานประมาณคาแทน นอกจากน �น ยงสามารถใชไดแมในกรณท� n มขนาดเลก และ p มคาไมเขาใกล 0 หรอ 1 กจะสามารถใชได ถาคา np และ nq มคามากกวา 5 ดวยการแจกแจงทวนาม เปนการแจกแจงความนาจะเปน แบบไมตอเน� อง แตการแจกแจงปรกต เปนการแจกแจงแบบตอเน� อง จงตองมการปรบคา ดวยการบวกลบ ( ) 0.5 จะได

Z = npqnpX

P(X=x) P(

npqnpx 5.0 Z

npqnpx

5.0 )

P(aXb)P(

npqnpa 5.0 Z

npqnpb

5.0 )

ตวอยางท� 4.17 โรงงานผลตเฟอรนเจอรแหงหน�งไดทาการสารวจ แลวพบวาความนาจะเปน ท�สนคาจะไมไดมาตรฐาน คอ 0.4 ทางโรงงานไดทดลองสมเลอกสนคามา 150 ช�น จงหา ความนาจะเปนท�จะพบสนคาชารดมากกวา 45 ช�น

วธทา Z = npqnpX

ให X คอ จานวนคาท�ชารด

116

z 45 60

p = 0.4 n = 150 µ = np = (150)(0.4) = 60

2 = npq = (150)(0.4)(1-0.4) = 36 เปล�ยนคาการแจกแจงจาก P(X>45) เปน P(Z>45.5)

ดงน �น Z = 36

605.45 = -2.42

P(Z>-2.42) 1 –P(Z < -2.42)

เปดตารางท� 3 ตารางการแจกแจงปรกต ตาแหนง -2.42 ไดคาเทากบ 0.0078 P(Z>-2.42) 1 – 0.0078 0.9922

การประมาณการแจกแจงปวซงดวยการแจกแจงปรกต การแจกแจงปวซง คอ การแจกแจงไมตอเน�องใชในกรณท�จานวนขอมลนบไมได หรอเปนขอมลอนนต เปนการแจกแจงขอมลในชวงท�สนใจจะศกษา ถาชวงของขอมลมขนาดใหญ กจะทาให คาเฉล�ย () มคามากตามไปดวย ซ�งหากคาเฉล�ยคามากหรอลเขาสอนนต ( ) จะสามารถใชการแจกแจงปรกตประมาณคาแทนได และเน�องจากเปนการแจกแจงตางแบบกน จงจาเปนตองมการปรบคาดวยการบวกลบ 0.5 เหมอนการปรบคาจากการแจกแจงทวนาม เปนแบบปรกต โดยท�คาเฉล�ยเทากบคาความแปรปรวนเทากบ จะได

Z = X

P(X=x) P(

5.0x Z

5.0x )

P(aXb)P(

5.0a Z

5.0b )

117

z 30 35 45

ตวอยางท� 4.18 คลนกรกษาความงามแหงหน�งมผเขามาตดตอรกษาเฉล�ยวนละ 35 คน ถากาหนด ใหผเขามาตดตอ มการประมาณคาการแจงแจกแบบปวซง จงหาความนาจะเปนท�ผมาตดตอ จะมจานวน 30 ถง 45 คน

วธทา Z = X

ให X คอ จานวนผมาตดตอ คอ คาเฉล�ย

ดงน �น P(30X45) P(

35355.030 Z

35355.045

)

P( 93.0 Z 77.1 ) P(1.77) – P(-0.93) เปดตารางท� 3 ตารางการแจกแจงปรกต

ตาแหนง 1.77 ไดคาเทากบ 0.9616 ตาแหนง -0.93 ไดคาเทากบ 0.1762 P(30X45) 0.9616 – 0.1762 0.7854

การแจกแจงท การแจกแจงทเ ปนการแจกแจงแบบตอเน� อง ซ�งมตวแปรท�สาคญคอ องศาเสร (Degrees of Freedom) หมายถง พารามเตอรของการแจกแจงความนาจะเปน ท�ใชในสถต เชงอนมาน โดยในการแจกแจงแบบทมสญลกษณคอ หรออธบายไดวา องศาเสร คอ ความมอสระ ของคาท�สงเกตได ย�งมคามากหรอลเขาสอนนต เสนโคงความถ�ท�เกดข�นกจะมลกษณะคลายเสนโคงของการแจกแจงแบบปรกต คอ เสนโคงความถ�ท�เกดข�นจะเปนรประฆงคว�าเหมอนกน ฟงกชน ความหนาแนนความนาจะเปน คอ

tttTf ,2

12

1

2

21

118

0.05

-1.746

0.05

1.746

t -2.201 2.201

0.025 0.025

คาเฉล�ย และความแปรปรวนของการแจกแจง คอ 0

2

2

โดยท� 3

การคานวณหาคาความนาจะเปนการแจกแจงแบบท ท�เปนการแจกแจงพ�นท�ใตโคง เพ�อความสะดวกในการหาคาจะใชตารางท� 4 ตารางการแจกแจงท มาใชในการหาคาความนาจะเปน ตวอยางท� 4.19 จากตารางแจกแจงท จงหา

1. P( X 1.746) ,df = 16 2. P( X 2.201),df = 11 3. t0.05,20

4. t0.01,9

วธทา เปดตารางท� 4 ตารางการแจกแจงท 1. P( X 1.746) ,df = 16 t ดงน �น P( X 1.746) ,df = 16 มคาเทากบ 0.1 2. P( X 2.201),df = 11

ดงน �น P( X 2.201) ,df = 11 มคาเทากบ 1 - 0.025 = 0.975 3. t.05,20 มคาเทากบ 1.725 4. t.01,9 มคาเทากบ 2.821

119

การแจกแจงไคกาลงสอง การแจกแจงไคกาลงสอง เปนการแจกแจงแบบตอเน�องท�มรปเสนโคงมลกษณะเบขวา เสนโคงจะเปล�ยนไปตามองศาเสร ถาองศาเสรมคามาก เสนโคงท�เกดข�นจะเหมอนเสนโคงปรกต โดยเสนโคงจะเร�มจากศนยถงอนนตดงแสดงในรปท� 4.6 สญลกษณท� ใช คอ 2 ถ า X เปนตวแปรสมตอเน�อง แบบไคกาลงสอง ฟงกชนความหนาแนนความนาจะเปน คอ

122

222

1

x

xexf

โดยท� 0<x<, >0 คาเฉล�ย และความแปรปรวนของการแจกแจง คอ , 22 = 3 = 6 =10 0 รปท� 4.6 แสดงเสนโคงการแจกแจงแบบไคกาลงสองท�องศาเสรตางกน การคานวณหาคาความนาจะเปนของการแจกแจงไคกาลงสอง ท�เปนการแจกแจงพ�นท� ใตโคง เพ�อความสะดวกในการหาคาจะใชตารางท� 5 ตารางการแจกแจงไคกาลงสอง มาใชในการ หาคาความนาจะเปน ตวอยางท� 4.20 จากตารางแจกแจงไคกาลงสองจงหา 1. P( 2>31.410) ,df = 20 2. P( 2<a),df = 10, = 0.25 a มคาเทากบเทาใด 3. 2

8,05.

4. 214,095

วธทา เปดตารางท� 5 ตารางการแจกแจงไคกาลงสอง

1. P( 2>31.410) ,df = 20

120

2 0 31.410

ดงน �น P( 2>31.410) ,df = 20 มคาเทากบ 0.05

2. P( 2<a),df = 10, = 0.25 a มคาเทากบเทาใด a

2 0 ดงน �น P( 2<a),df = 10, = 0.25 a มคาเทากบ 6.737 3.

28,05. มคาเทากบ 15.507

4. 2

14,95. มคาเทากบ 6.571

การแจกแจงเอฟ การแจกแจงเอฟเปนการแจกแจงแบบตอเน�อง มลกษณะเสนโคงเหมอนการแจกแจงท คอเปนเสนโคงท�เบไปทางขวา โดยการแจกแจงเอฟมกจะใชในการทดสอบสมมตฐานเร�องความแตกตาง ของความแปรปรวนระหวางประชากรสองกลม และใชในการทดสอบสมมตฐานเร�องความแตกตาง ของคาเฉล�ยของประชากรต �งแตสองกลมข�นไป เรยกวา การวเคระหความแปรปรวน(Analysis of Variance) ตวแปรสม X ท�มการแจกแจงแบบเอฟ จะเขยนแทนดวย F ให X และ Y เปนตวแปรสมแบบตอเน�อง ท�มการแจกแจงแบบไคกาลงสอง ตวแปรสมท�เกดข�น คอ

F = Y

X

YX

//

โดยฟงกชนความหนาแนนความนาจะเปน คอ

121

212

112

121

22

221

122,

21

)(

x

x

xf , 0x

โดยท� 0<F< คาเฉล�ย และความแปรปรวนของการแจกแจง คอ

22

2

42

22

221

21222

โดยรปกราฟจะเปล�ยนแปลงไปตามองศาเสรของสองตวแปร ถามคามากความเบ กจะลดลงดงแสดงในรปท� 4.7

1= 2=10

รปท� 4.7 เสนโคงการแจกแจงเอฟท�องศาเสรท� 1 และ 2 ตางกน การคานวณหาคาความนาจะเปนการแจกแจงเอฟ ท�เปนการแจกแจงพ�นท�ใตโคง

เพ�อความสะดวกในการหาคาจะใชตารางท� 6 ตารางการแจกแจงเอฟ มาใชในการหาคา ความนาจะเปน

ตวอยางท� 4.20 จากตารางแจกแจงเอฟจงหา 1. F(.01,13,20) 2. F(.05,22,24)

วธทา เปดตารางท� 6 ตารางการแจกแจงเอฟ 1. F(.01,13,20) มคาเทากบ 3.86 2. F(.05,22,24) มคาเทากบ 2.03

1= 2=30

1= 2=100

122

บทสรป ตวแปร สม คอฟงกชนท�มคาเปนจานวนจรง หาไดจากแตละสมาชกในปรภมตวอยาง โดยใชแทนจานวนเหตการณตางๆ ท�เกดข�น จากการทดลองหรอการสม แบงไดเปน 2 ชนด คอ ตวแปรสมไมตอเน�อง และตวแปรสมตอเน�อง การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมไม ตอเน� องมหลายแบบท�นยมใช คอ การแจกแจงเอกรป การแจกแจงแบรนลล การแจงแจงเรขาคณต การแจกแจงบททวนาม การแจกแจงปาสคาล การแจกแจงเรขาคณตไฮเพอร และการแจกแจงปวซง การแจกแจงแตละแบบ กจะมเง�อนไขในการใชท�แตกตางกน โดยการแจกแจงบางแบบสามารถเทยบเคยงกนได ตามเง�อนไข การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมแบบตอเน�องมหลายแบบ แตแบบท�นยมใช คอ การแจกแจงปรกต การแจกแจงท การแจกแจงไคกาลงสอง และการแจกแจงเอฟ การแจกแจง แบบตอเน�อง เปนการแจกแจงความหนาแนนของความนาจะเปนของพ�นท�ใตโคง ทาใหการคานวณทาไดยาก ดงน �นเพ�อใหงายในการคานวณจงไดมการสรางตารางข�นมาประกอบการคานวณ นอกจากน �นยงสามารถนาการแจกแจงปรกต ไปประมาณคากบการแจกแจงทวนาม และการแจกแจงปวซง ตามเง�อนไขท�กาหนด

123

แบบฝกหดบทท� 4

1. ทดลองหยบไพ 1 ใบ จากหน�งสารบ จงหาฟงกชนความนาจะเปนของไพท�หยบได พรอมท �ง คาเฉล�ยและความแปรปรวน

2. ทดลองโยนเหรยญปกต 1 เหรยญ 1 คร �ง โดยสนใจเหตการณท�เหรยญจะออกกอย จงหาคาฟงกชนความนาจะเปน คาเฉล�ย และความแปรปรวนของเหตการณน�

3. นกวทยาศาสตรทดลองใหลงตวหน�งบวกเลขจานวน 15 คร �ง ปรากฏวาลงสามารถทาได ถกตอง มความนาจะเปนเทากบ 0.65 จงหาความนาจะเปนท�ลงตวน�จะบวกเลขถก 5 คร �ง พรอมท �งคาเฉล�ย และคาความแปรปรวน

4. รานขายหนงสอแหงหน�ง ไดทาการสารวจจานวนลกคามาซ�อหนงสอ พบวามลกคาซ�อหนงสอ เฉล�ยช �วโมงละ 14 คน จงหาความนาจะเปนท�ในชวง 10.00 - 11.00 น. จะมลกคาซ�อหนงสอ อยางมาก 4 คน พรอมท �งคาเฉล�ย และคาความแปรปรวน

5. ในลงใสสม มผลสมอย 50 ลก มลกท�เนาเสยจานวน 10 ลก ทาการสมหยบข�นมา 8 ลก จงหา ความนาจะเปนท�ในการสมจะหยบไดผลสมท�เนาจานวน 3 ลก พรอมท �งคาเฉล�ย และคา ความแปรปรวน

6. บรษทรบสงสนคาแหงหน�งจะมการสงของผดพลาดเฉล�ยวนละ 3 คร �งตอวน จงหาความนาจะเปน ท�บรษทแหงน�จะสงของผดพลาด 2 คร �งตอวน พรอมท �งคาเฉล�ย และคาความแปรปรวน 7. นกเรยนระดบประถมศกษาช �นปท� 4 ของโรงเรยนแหงหน�ง มความสงเฉล�ยเทากบ150 เซนตเมตร

และสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 4 เซนตเมตร เปนการแจกแจงปรกต จงหาวามนกเรยน ท�มความสงระหวาง 142-160 เซนตเมตร คดเปนรอยละเทาใด

8. จากตารางแจกแจงแบบทจงหา 1. P( X 2.779),df = 26 2. t.025,15 9. จากตารางแจกแจงไคกาลงสองจงหา

1. P( 2>22.465),df = 35 2. 2

22,25.

10. จากตารางแจกแจงเอฟจงหา 1. F(.005,17,8) 2. F(.025,12,3)

124

125

บทท� 5 การประมาณคา

การประมาณคา (Estimation) คอ การประมาณคาพารามเตอร หรอคณลกษณะของประชากร โดยใชขอมลจากตวอยาง แบบของการประมาณคา การประมาณคาแบงเปน 2 แบบ คอ 1. การประมาณคาแบบจด คอ การประมาณคาพารามเตอรของประชากรหน�งคาอาจจะใชตวประมาณหน� งคา หรอมากกวาหน� งคา เชน การประมาณคาเฉล�ยของประชากร( ) จะใชตวประมาณจากตวอยาง ไดแก คาเฉล�ย( X ) คามธยฐาน (Me) และคาฐานนยม (Mo) ซ�งคาท�ไดอาจจะเทากบคาพารามเตอรหรอไมเทากได 2. การประมาณคาแบบชวง คอ การประมาณคาประชากรท�อยในชวงใดชวงหน�ง โดยใชขอมลของตวอยาง ชวงท�จะประมาณคาน �นตองเปนชวงท�สามารถครอบคลมคาพารามเตอรดวยความเช�อม �นระดบหน�ง เรยกวา ชวงความเช�อม �น (Confidence Interval) ท�ประกอบไปดวย ขดจากดลาง (Lower Limit) และขดจากดบน (Upper Limit) ระดบความเช�อม �น (Level of Confidence) หมายถง โอกาสท�คาพารามเตอรจะอยในชวงท�ประมาณได จะบอกคาเปนเปอรเซนต สญลกษณ ท�ใช คอ 1 - คณสมบตของตวประมาณคาท�ด การจะเลอกใชตวประมาณคาท�ดน �นตองคานงถงคณสมบตเหลาน� 1. ความไมเอนอยง (Unbiased) คอ ตวประมาณคาใดๆ ท�มคาคาดหมายเทากบพารามเตอรท�ตองการประมาณคาจะถอวาไมมความเอนเอยง กลาวคอ

เปนตวประมาณ

ไมเอนเอยงของ กตอเม�อ E(

) = โดยท� E แทนสญลกษณคาคาดหมาย 2. ความคงเสนคงวา (Consistency) คอ ตวประมาณคาท�มคาเขาใกลคาพารามเตอร ท�ตองการประมาณคา เม�อตวอยางลเขาสอนนตน �นคอ ย�งตวอยางมขนาดใหญ ตวประมาณคา จะย�งเขาใกลพารามเตอร 3. ประสทธภาพ (Efficiency) คอ คาวดระดบคณภาพเชงเปรยบเทยบภายใตเกณฑ ท�พจารณา เชน การประมาณคาเฉล�ยของประชากร ถาใชคากลางในการประมาณคา คาท�ใช คอ

126

คาเฉล�ย คามธยฐาน และคาฐานนยม จะเลอกใชคาเฉล�ยเพราะมความแปรปรวนนอยกวา หรอจะกลาวกคอ เปนคาท�มประสทธภาพสงกวา 4. ความพอเพยง (Sufficiency) คอ ตวประมาณคาท�มการใชขอมลท �งหมดในการประมาณคณลกษณะของประชากร เชน การประมาณคาเฉล�ยของประชากร ถาใชคากลางในการประมาณคา คาท�ใชคอ คาเฉล�ย คามธยฐาน และคาฐานนยม ในการหาคาเฉล�ยจะใชคาสงเกต ทกคา ในการคานวณ คาเฉล�ยจงเปนตวประมาณคาท�พอเพยง

ทฤษฎบทขดจากดสวนกลาง(ซทแอล) ( Central Limit Theorem (CTL) )

เปนทฤษฎท�เช�อมโยงระหวางการแจกแจงของประชากร กบการแจกแจงของตวอยาง โดยทฤษฎไดอธบายไววา “สาหรบประชากรใดๆแลว ถาเกบตวอยางในจานวนท�มากพอ การแจกแจง คาตวอยางดงกลาว จะมแนวโนมใกลเคยง กบการแจกแจงแบบปรกตเสมอ” น �นคอ ในกรณท�เลอกตวอยางจากประชากรท�มการแจกแจงแบบปรกต กลมตวอยางท�ไดกจะมการแจกแจงแบบปรกต ดวยเชนกน แมวาจานวนตวอยางท�เลอกมามขนาดเลกกตาม ในกรณท�เลอกตวอยางมาจากประชากรท�มการแจกแจงไมปรกต แตจานวนของตวอยางมจานวนมากพอ การแจกแจงคาตวอยางจะมแนวโนมการแจกแจงเปนโคงปรกตเสมอ

การประมาณคาเฉล�ยของประชากร 1 กลม

คาประมาณแบบจด ตวประมาณคาเฉล�ยของประชากร ( ) จะใชคาสถต คอ คาเฉล�ยของตวอยาง ( X ) เพราะเปนตวประมาณคาท�ไมเอนเอยง มความคงเสนคงวา มประสทธภาพสงกวาตวประมาณคาอ�นๆ และมความพอเพยงจงเปนตวประมาณคาท�ด คาประมาณแบบชวง การประมาณคาเฉล�ยแบบชวงของประชากร ( ) จะอาศยคาเฉล�ยของตวอยาง ( X ) ตองมการแจกแจงแบบปรกต ซ�งรปแบบของการประมาณคาจะแบงออก เปนกรณตางๆ ดงน� กรณทราบคาความแปรปรวนของประชากร ชวงความเช�อม �น (1 - )100% ของ คอ

n

ZXn

ZX

2/2/

โดยท� คอ ระดบนยสาคญ X คอ คาเฉล�ยของตวอยาง Z คอ คาท�ไดจากตารางการแจกแจงปกต คอ คาสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของประชากร n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยาง

127

ตวอยางท� 5.1 โรงเรยนมธยมแหงหน�งไดทาการสมนกเรยนมธยมศกษาตอนปลาย มาท �งหมด 100 คน ทาการวดสวนสงพบวามคาเฉล�ยเทากบ 168 เซนตเมตร ถาการวดสวนสงท�ไดมการ แจกแจงปรกต และความสงของนกเรยนมธยมปลายท �งหมดมคาเทากบ 5 เซนตเมตร จงหา ชวงความเช�อม �น 95% ของคาเฉล�ยความสงของนกเรยนมธยมศกษาตอนปลาย ของโรงเรยนแหงน�

วธทา n

ZXn

ZX

2/2/

X = 168 , = 5, n =100 จะได

100596.1168

100596.1168

167.02 < < 168.98 ดงน �น ชวงความเช�อม �น 95% ของคาเฉล�ยความสงของนกเรยน อยระหวาง 167.02 ถง 168.98 เซนตเมตร กรณไมทราบคาความแปรปรวนของประชากร ตวอยางมขนาดใหญ (n 30) ชวงความเช�อม �น (1 - ) 100% ของ คอ

nSZX

nSZX 2/2/

โดยท� คอ ระดบนยสาคญ X คอ คาเฉล�ยของตวอยาง Z คอ คาท�ไดจากตารางการแจกแจงปรกต S คอ คาสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของตวอยาง n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยาง ตวอยางท� 5.2 สานกงานแหงหน�งทาการสารวจรายไดของพนกงานในหนวยงาน โดยทาการสมพนกงานมา 35 คน พบวามรายไดเฉล�ยเทากบ 17,500 บาท สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 750 บาท ถารายไดเฉล�ยของพนกงานท �งหมดมการแจกแจงแบบปรกต จงหาชวงความเช�อม �น 99% ของรายไดเฉล�ยของพนกงานหนวยงานน�

วธทา nSZX

nSZX 2/2/

X = 17,500 , S = 750, n =35 จะได

128

35

750575.2500,1735

750575.2500,17

17,173.56 < < 17,826.44 ดงน �น ชวงความเช�อม �น 99% ของรายไดเฉล�ย

อยระหวาง 17,173.56 ถง 17,826.44 บาท

กรณไมทราบคาความแปรปรวนของประชากร ตวอยางมขนาดเลก (n<30) ชวงความเช�อม �น (1 - ) 100% ของ คอ

nS

ntXnS

ntX )2/,1()2/,1(

โดยท� คอ ระดบนยสาคญ X คอ คาเฉล�ยของตวอยาง t คอ คาท�ไดจากตารางการแจกแจงท มคา df = n - 1 S คอ คาสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของตวอยาง n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยาง df คอ องศาเสรของตวอยางท�สมมา ตวอยางท� 5.3 ฝายวชาการของโรงเรยนแหงหน� ง ทาการทดสอบความรทางภาษาไทย กบนกเรยนในช �นประถมศกษาปท� 5 โดยสมนกเรยนมา 20 คน พบวามคะแนนเฉล�ย 73 คะแนน มสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 4 คะแนน โดยท�คะแนนเฉล�ยในการทดสอบกบนกเรยนท �งช �น มการแจกแจงแบบปรกต จงหาชวงความเช�อม �น 99% ของคาเฉล�ยคะแนนทดสอบความร ทางภาษาไทยของนกเรยนช �นน�

วธทา nS

ntXnS

ntX )2/,1()2/,1(

X = 73 , S = 4, n = 20, df = 20 -1 = 19 จะได

204861.273

204861.273

70.441 < < 75.559 ดงน �น ชวงความเช�อม �น 99% ของคาเฉล�ยคะแนนทดสอบ

อยระหวาง 70.441ถง 75.559 คะแนน

129

การประมาณคาความแตกตางระหวางคาเฉล�ยของประชากร 2 กลม

คาประมาณแบบจด ตวประมาณคาความแตกตางระหวางคาเฉล�ยของประชากร 2 กลม คอ 21 จะใชคาสถต 1X และ 2X ของตวอยางท�ไดจากประชากรท �ง 2 กลม แลวนามาทดสอบหาคาประมาณโดยใชสตรคอ 1X - 2X

คาประมาณแบบชวง ตวประมาณคาความแตกตางระหวางคาเฉล�ยของประชากร 2 กลม คอ 21 จะใชคาสถต 1X และ 2X ของตวอยางท�ไดจากประชากรท �ง 2 กลม ซ�งรปแบบ ของการประมาณคาจะแบงออกเปนกรณตางๆ ดงน� กรณทราบคาความแปรปรวนของประชากรท �ง 2 กลม คาเฉล�ย 1X และ 2X ท�ไดจาก 1n และ 2n ท�เปนอสระตอกน และประชากร ท �ง 2 กลม มการแจกแจงแบบปรกต จะได ชวงความเช�อม �น (1 - )100% ของ 21 คอ

2

22

1

21

2/212

22

1

21

2/ 2121 nnZXX

nnZXX

โดยท� คอ ระดบนยสาคญ 1X คอ คาเฉล�ยของตวอยางตวท� 1 2X คอ คาเฉล�ยของตวอยางตวท� 2

Z คอ คาท�ไดจากตารางการแจกแจงปรกต 2

1 คอ คาความแปรปรวนของประชากรตวท� 1 2

2 คอ คาความแปรปรวนของประชากรตวท� 2 1n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยางตวท� 1 2n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยางตวท� 2

ตวอยางท� 5.4 โรงงานผลตยางรถยนตแหงหน�ง ไดทาการสมยาง 2 รน มาทดสอบรนละ 200 เสน พบวายางรน D มคาเฉล�ยอายในการใชงานเทากบ 45 เดอน ยางรน G จานวนมคาเฉล�ยอาย ในการใชงานเทากบ 40 เดอน ถายางท �งสองรนมการแจกแจงแบบปรกตโดยท�ยางรน D สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 3 เดอน และ ยางรน G สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 4 เดอน จงหาชวงความเช�อม �น 99% ของความแตกตางระหวางคาเฉล�ยอายในการใชงานของยางรน D และยางรน G

130

วธทา 2

22

1

21

2/212

22

1

21

2/ 2121nn

ZXXnn

ZXX

1X = 45 , 2X =40, 1 = 3, 2 = 4, 1n = 2n = 200

จะได

2004

2003

575.240452004

2003

575.2404522

21

22

70.441 < 21 < 75.559

ดงน �น ชวงความเช�อม �น 99% ของความแตกตางระหวางคาเฉล�ยอายในการใชงาน อยระหวาง 4.09 ถง 5.91 เดอน

กรณไมทราบคาความแปรปรวนของประชากรท �ง 2 กลม ตวอยางท�สมมามขนาดใหญ (n1 และ n2 30) ชวงความเช�อม �น (1 - ) 100% ของ 21

2

22

1

21

2/212

22

1

21

2/ 2121nS

nS

ZXXnS

nS

ZXX

โดยท� คอ ระดบนยสาคญ

1X คอ คาเฉล�ยของตวอยางตวท� 1 2X คอ คาเฉล�ยของตวอยางตวท� 2

t คอ คาท�ไดจากตารางการแจกแจงท มคา df = n - 1 2

1S คอ คาความแปรปรวนของตวอยางตวท� 1 2

2S คอ คาความแปรปรวนของตวอยางตวท� 2 1n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยางตวท� 1 2n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยางตวท� 2

ตวอยางท� 5.5 มหาวทยาลยแหงหน�งไดทาการสารวจ จานวนนกศกษาช �นปท� 1 และช �นปท� 2 ท�มาเรยนโดยใชรถจกรยานยนต ทาการสมนกศกษามาช �นปละ 250 คน พบวานกศกษา ช �นปท� 1 มรถจกรยานยนตใชเฉล�ย 54 คน สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 6 คน และนกศกษาช �นปท� 2 มรถจกรยานยนตใชเฉล�ย 50 คน สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 7 คน โดยท �งสองกลม

131

มการแจกแจงแบบปรกต จงหาชวงความเช�อม �น 95% ของความแตกตางระหวางคาเฉล�ย ของจานวนนกศกษา ท�มาเรยนโดยใชรถจกรยานยนตระหวางนกศกษาช �นปท� 1 และช �นปท� 2

วธทา 2

22

1

21

2/212

22

1

21

2/ 2121nS

nS

ZXXnS

nS

ZXX

1X = 54 , 2X =50, 1S = 6, 2S = 7, 1n = 2n = 250

จะได

2507

2506

96.150542507

2506

96.1505422

21

22

2.58 < 21 < 5.42

ดงน �น ชวงความเช�อม �น 95% ของความแตกตางระหวางคาเฉล�ยของจานวนรถจกรยานยนตของนกศกษาช �นปท� 1 และนกศกษาปท 2 อยระหวาง 2.58 ถง 5.42 คน หรอประมาณ 3 ถง 6 คน

กรณไมทราบคาความแปรปรวนของประชากรท �ง 2 กลม

ตวอยางท�สมมามขนาดเลก (n1 และ n2 < 30) ในกรณท�ไมทราบคาความแปรปรวนของประชากร ตวอยางท�สมมามขนาดเลก

(n<30) แบงไดเปน 2 กรณ คอ 1. กรณท�ไมทราบคาความแปรปรวนของประชากร แตสมมตวาความแปรปรวนของประชากร 2 กลมเทากน คอ 2

221 จะประมาณคาสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของประชากรไดเทากบ

21 XX

ในกรณไมทราบคาความแปรปรวนของประชากร จะใชส วนเบ�ยงเบนมาตรฐาน ของตวอยาง 2 กลมแทน น �นคอ

21 XXS

และม

2pS เปนคาความแปรปรวนรวม สตรท�ใชหาคา คอ

21 XXS

2

1

1

12nnpS

2pS

2

11

21

222

211

nnSnSn

โดยท� 21S คอ คาความแปรปรวนของตวอยางขนาด n1 ท�สมจากประชากรกลมท� 1

22S คอ คาความแปรปรวนของตวอยางขนาด n2 ท�สมจากประชากรกลมท� 2

2pS คอ คาความแปรปรวนรวม (Pooled Variance)

132

ชวงความเช�อม �น (1 - )100% ของ 21 โดยท� df = 21 nn - 2 คอ

2

1

1

12,2/21

2

1

1

12,2/ 2121

nnpSdftXXnnpSdftXX

โดยท� คอ ระดบนยสาคญ 1X คอ คาเฉล�ยของตวอยางตวท� 1 2X คอ คาเฉล�ยของตวอยางตวท� 2 t คอ คาท�ไดจากตารางการแจกแจงท มคา df = 21 nn - 2 2

pS คอ คาความแปรปรวนรวม 1n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยางตวท� 1 2n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยางตวท� 2 ตวอยางท� 5.6 จรญเปดรานอาหารสองแหง เขาไดทาแบบสอบถามความพงพอใจตอรานอาหาร ท �งสองแหง โดยทาการสมลกคาจากรานท� 1 จานวน 10 คน พบวาลกคา มคะแนนความพงพอใจเฉล�ย 9 คะแนน สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 2 คะแนน และลกคา จากรานท� 2 มาจานวน 12 คน มคะแนนความพงพอใจเฉล�ย 7 คะแนน สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 3 คะแนน ถาสมมตวา ความพงพอใจของลกคาท �งสองราน มคาความแปรปรวนเทากนและมการแจกแจงแบบปรกต จงหาชวงความเช�อม �น 95% ของความแตกตางระหวางคาเฉล�ยคะแนนความพงพอใจของลกคา ตอรานอาหารท �งสองราน

วธทา

2

1

1

12,2/21

2

1

1

12,2/ 2121

nnpSdftXXnnpSdftXX

1X = 9 , 2X =7, 1S = 2, 2S = 3, 1n = 10, 2n = 12, df = 10+12-1=21 จะได

2pS

21210

2311222110

= 6.75

121

10175.6086.279

121

10175.6086.279 21

-0.32< 21 <4.086

ดงน �น ชวงความเช�อม �น 95% ของความแตกตางระหวางคาเฉล�ยคะแนน

133

ความพงพอใจของลกคาตอรานอาหารท �งสองแหงอยระหวาง -0.32 ถง 4.086 คะแนน

2. กรณท�ไมทราบคาความแปรปรวนของประชากร แตสมมตวาความแปรปรวน ของประชากรสองกลมไมเทากน คอ 2

1 ≠ 22

ชวงความเช�อม �น (1 - )100% ของ 21 คอ

2

22

1

21

,2/212

22

1

21

,2/ 2121nS

nS

tXXnS

nS

tXX

โดยท� คอ ระดบนยสาคญ

1X คอ คาเฉล�ยของตวอยางตวท� 1 2X คอ คาเฉล�ยของตวอยางตวท� 2

t คอ คาท�ไดจากตารางการแจกแจงท 2

1S คอ คาความแปรปรวนของตวอยางตวท� 1 2

2S คอ คาความแปรปรวนของตวอยางตวท� 2 1n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยางตวท� 1 2n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยางตวท� 2

คอ องศาเสร โดยคาองศาเสรจะหาคาไดจากสตร

1

/1

/

2

22

22

1

21

21

2

2

22

1

21

nnS

nnS

nS

nS

ถาคา ท�ไดจากการคานวณเปนทศนยมใหปดเศษทศนยม เปนจานวนเตม ตวอยางท� 5.7 มหาวทยาลยพละศกษาแหงหน�ง ไดทาการทดสอบสมรรถภาพทางรางกาย ของนกศกษาช �นปท� 1 แลวทางมหาวทยาลยไดทาการสมนกศกษาชาย และนกศกษาหญงมากลมละ 15 คน พบวานกศกษาชาย มคะแนนสมรรถภาพทางรางกายเทากบ 75 คะแนน ความแปรปรวน เทากบ 8 คะแนน นกศกษาหญง มคะแนนสมรรถภาพทางรางกายเทากบ 68 คะแนน ความแปรปรวน เทากบ 6 คะแนน โดยท�คาคะแนนของการทดสอบสมรรถภาพของนกเรยนช �นปท� 1 มการแจกแจงปรกต และความแปรปรวนไมเทากน จงหาชวงความเช�อม �น 99% ของความแตกตางระหวางคาเฉล�ยคะแนนสมรรถภาพทางรางกายของนกศกษาชาย และหญงช �นปท� 1 ของมหาวทยาลย พละศกษาแหงน�

134

วธทา

2

22

1

21

,2/212

22

1

21

,2/ 2121nS

nS

tXXnS

nS

tXX

1X = 75 , 2X =68, 21S = 8, 2

2S = 6, 1n = 2n = 15, df = จะได

1/

1/

2

22

22

1

21

21

2

2

22

1

21

nnS

nnS

nS

nS

11515/6

11515/8

156

158

22

2

= 29

156

158756.26875

156

158756.26875 21

4.34 < 21 < 9.66

ดงน �น ชวงความเช�อม �น 99% ของความแตกตางระหวางคาเฉล�ยคะแนนสมรรถภาพทางรางกายของนกศกษาชาย และหญงช �นปท� 1 อยระหวาง 4.34< 21 <9.66 การกาหนดขนาดของกลมตวอยางท�เหมาะสมในการหาคาเฉล�ย ในการหาคาสถต ขนาดของจานวนกลมตวอยาง n จะมความสาคญมาก เพราะในการศกษาคา X น �น เราจะใชทกจานวนของ n ในการหาคาถาจานวนตวอยาง มขนาดใหญ ชวงความเช�อม �นกจะส �นไปดวย แตถาตวอยางมขนาดใหญเกนความจาเปน กจะทาให ใชเวลา และคาใชจายสงตามไปดวย ดงน �นควรมการกาหนดขนาดตวอยางใหมความเหมาะสม คอ ถา X เปนตวประมาณคาของ ท�ความเช�อม �น (1 - ) 100% การกาหนดขนาดตวอยาง จะเทากบ

2

2/

eZ

n

โดยท� e คอ ขนาดของความคลาดเคล�อนระหวาง X กบ

135

ในกรณท�ไมทราบคาความแปรปรวนของประชากร 2 ใหสมตวอยางมาจานวนมากกวาเทากบ 30 (n 30) แลวหาคาความแปรปรวนของตวอยาง 2S แลวใช 2S เปนตวประมาณคา 2 ตวอยางท� 5.8 บรษทแหงหน�งมการจายเงนเดอนใหกบพนกงานท �วไป มคาเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 750 บาท ตองการสมคนงานมาใชในการหาความเช�อม �นท� 90% เพ�อประมาณคาเฉล�ย การจายเงนเดอนของบรษทกบพนกงานท �วไป โดยผดพลาดจากคาเฉล�ยท�แทจรงอย 100 บาทจะตองสมพนกงานมาก�คน

วธทา 2

2/

e

Zn

05.Z = 1.645 , = 750 , e = 100

จะได 2

100750645.1

n

= 152.21 ดงน �น ขนาดตวอยางท�เหมาะสมประมาณ 153 คน การประมาณคาสดสวนของประชากร 1 กลม คาประมาณแบบจด คาสดสวนของประชากร P จะใชคาสดสวนของตวอยาง p ในการประมาณคา โดยถา nXXXX ...,,, ,321 คอ ตวอยางท�สมมาจากประชากร สตรท�ใชหา คอ

n

iiXn

p1

1ˆ หรอ nX i

โดยท� p คอ สดสวนจากตวอยาง n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยาง iX คอ จานวนตวอยางลกษณะท�สนใจ ตวอยางท� 5.9 มหาวทยาลยแหงหน�งตองการจดการเรยนภาษาองกฤษเพ�มใหกบอาจารย จงทาการ สมอาจารยมา 150 คน พบวามความตองการท�จะเรยนภาษาองกฤษเพ�มเตม 98 คน จงหาสดสวนของอาจารยท�ตองการเรยนภาษาองกฤษ

วธทา

n

iiXn

p1

1

n = 150 ,

n

iiX

1

= 98

136

จะได 98150

1p

= 0.65 ดงน �น อาจารยท�ตองการเรยนภาษาองกฤษเพ�มเตมมคาสดสวนเทากบ 0.65

คาประมาณแบบชวง คาสดสวนของประชากร P จะใชคาสดสวนของตวอยาง p ในการประมาณคา โดยประชากรจะตองมการแจกแจงปรกต หรอแจกแจงทวนาม เม�อ n คอขนาด

ของตวอยางมคาเฉล�ยเทากบ p และความแปรปรวนเทากบ npq ตวอยางท�ใชตองมขนาดใหญ

หรอ pn ˆ และ qn ˆ ตองมคามากกวาเทากบ 5 จะได

ชวงความเช�อม �น (1 - )100% ของ P คอ

nqpZpP

nqpZp

ˆˆ2/ˆˆˆ

2/ˆ

โดยท� คอ ระดบนยสาคญ p คอ คาสดสวนท�สนใจจากตวอยาง Z คอ คาท�ไดจากตารางการแจกแจงปกต q คอ คา 1 - p n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยาง ตวอยางท� 5.10 บรษทแหงหน�งทาการสารวจความตองการในการตรวจสขภาพของพนกงาน 2,000 คน พบวามพนกงานท�มความตองการจะตรวจสขภาพ ,650 คน จงหาชวงความเช�อม �น 95% ของพนกงาน ท�ตองการตรวจสขภาพ

วธทา nqpZpP

nqpZp

ˆˆ2/ˆˆˆ

2/ˆ

p = 000,2650,1 = 0.83, q = 0.17, n = 2,000

จะได

000,2

)17.0)(83.0(96.183.0000,2

)17.0)(83.0(96.183.0 P

0.81 < P < 0.85 ดงน �น ชวงความเช�อม �น 95% สดสวนพนกงานท�ตองการตรวจสขภาพ จะอยระหวาง

0.81 ถง 0.85

137

การประมาณคาผลตางของสดสวนระหวางประชากร 2 กลม

คาประมาณแบบจด ผลตางของสดสวนของประชากร 2 กลม คอ การหาคา 21 PP

ดงน �นการหาคาประมาณแบบจด หาไดจาก 21 ˆˆ pp คาประมาณแบบชวง ผลตางสดสวนของประชากร 2 กลม คอการหาคา 21 PP ดงน �นการหาคาประมาณแบบจด หาไดจาก 21 ˆˆ pp ประชากรท �งสองกลม จะตองมการ แจกแจงปรกต หรอแจกแจงทวนาม เม�อ 1n และ 2n คอ จานวนตวอยางท�ไดจากประชากรท �งสองกลม จะได

1

11ˆnxp เปนคาสดสวนของตวอยางกลมท� 1 และ

2

22ˆnxp เปนคาสดสวนของตวอยางกลมท� 2

โดยท� 1n และ 2n ตองมขนาดใหญหรอ 11 pn กบ 22 pn และ )ˆ1( 11 pn กบ )ˆ1( 22 pn มคามากกวาเทากบ 5 จะถอวาเปนการแจกแจงแบบปรกต

ชวงความเช�อม �น (1 - ) 100% ของ 21 PP คอ

2

2ˆ2ˆ

1

1ˆ1ˆ2/)2ˆ1ˆ(21

2

2ˆ2ˆ

1

1ˆ1ˆ2/)2ˆ1ˆ(

nqp

nqp

ZppPPnqp

nqp

Zpp

โดยท� คอ ระดบนยสาคญ 1p คอ คาสดสวนท�สนใจจากตวอยางตวท� 1 2p คอ คาสดสวนท�สนใจจากตวอยางตวท� 2 Z คอ คาท�ไดจากตารางการแจกแจงปกต 1q คอ คา 1 - 1p

2q คอ คา 1 - 2p

1n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยางตวท� 1 2n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยางตวท� 2 ตวอยางท� 5.11 ผวาราชการจงหวดแหงหน�ง ตองการขดบอกกเกบน�าในเขตสองหมบาน จงไดทาการสารวจความตองการของประชาชนใน 2 หมบาน ทาการสมประชาชนจากหมบานท� 1 มาจานวน 250 คน พบวามสดสวนความตองการใหสรางบอกกเกบน�าเทากบ 0.74 และสมจากหมบานท� 2 มาจานวน 255 คน พบวามสดสวนความตองการใหสรางบอกกเกบน�าเทากบ 0.68 จงหาชวงความเช�อม �น 90% ของความแตกตางของสดสวนท�ตองการใหสรางบอกกเกบน� า ของคนใน 2 หมบานน�

138

วธทา

2

2ˆ2ˆ

1

1ˆ1ˆ2/)2ˆ1ˆ(21

2

2ˆ2ˆ

1

1ˆ1ˆ2/)2ˆ1ˆ(

nqp

nqp

ZppPPnqp

nqp

Zpp

1p = 0.74, 2p = 0.68, 1q = 0.26, 2q = 0.32, 1n = 250, 2n = 255 จะได

255

)32.0)(68.0(

250

)26.0)(74.0(2

255

)32.0)(68.0(

250

)26.0)(74.0(645.1)68.074.0(1645.1)68.074.0( PP

-0.60 < 21 PP < 0.72

ดงน �นชวงความเช�อม �น 90% ความแตกตางของสดสวนท�ตองการใหสรางบอกกเกบน�า ของคนใน 2 หมบานน� จะอยระหวาง - 0.60 ถง 0.72

การกาหนดขนาดของกลมตวอยางท�เหมาะสมของสดสวน การกาหนดขนาดของกลมตวอยาง จะมผลตอการหาคาสดสวน คอ ถาตวอยางมขนาดเลก คากอาจจะคลาดเคล�อน ถาตวอยางมขนาดใหญกจะส�นเปลอง ท �งในดานเวลา และทรพยากร คลายกบการกาหนดขนาดตวอยางใหเหมาะสมในการหาคาเฉล�ย ถา p เปนคาประมาณของ P ท�ความเช�อม �น (1 - ) 100% ความผดพลาดจะนอยกวา e การกาหนดขนาดตวอยางจะเทากบ

2

22/ ˆˆe

qpZn

โดยท� e คอ ขนาดของความคลาดเคล�อนระหวาง p กบ P ตวอยางท� 5.12 โรงเรยนประถมแหงหน�งไดทาการทดสอบความรของนกเรยน พบวามสดสวน ของนกเรยนท�ทดสอบผานเทากบ 0.67 ถาตองการความเช�อม �นท� 95% เพ�อประมาณคา P โดยผดพลาดจากคา P ท�แทจรงนอยกวา 0.06 จะตองใชตวอยางจานวนเทาไร

วธทา

2ˆˆ2

2/e

qpZn

2/Z = 025.0Z = 1.96, p = 0.67, q = 0.33, e = 0.06 จะได

2

2

06.0)33.0)(67.0(96.1

n

n = 235.94

ดงน �น จานวนนกเรยนท�สมมาเปนตวอยางเทากบ 236 คน

139

การประมาณคาความแปรปรวนของประชากร 1 กลม คาประมาณแบบจด คาความแปรปรวนของประชากร 2 ท�มการแจกแจงแบบปรกต จะใชคาความแปรปรวนของตวอยาง 2S ให nXXXX ,...,,, 321 เปนสมาชกของตวอยาง n ท�สมมาจากประชากรท�มการแจกแจงปรกต การประมาณคา 2 จะทาไดโดย

)1(1

2

11

2

2

nn

X

n

XS

n

ii

n

ii

โดยท� iX คอ สมาชกของตวอยางตวท� iX ถง nX n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยาง ตวอยางท� 5.13 อาจารยสอนคณตศาสตรทานหน�งสมนกศกษาในหองมา 10 คน ใหทาแบบทดสอบความรไดคะแนนออกมา คอ 67, 75, 54, 79, 65, 76, 59, 78, 71 และ 65 คะแนน จงประมาณคาความแปรปรวน ของคะแนนแบบทดสอบของนกเรยนท �งหองจากคะแนนท�ไดมาจากการสม

วธทา )1(1

2

11

2

2

nn

X

n

XS

n

ii

n

ii

n = 10,

10

1iiX = 689,

10

1

2

iiX = 48,103

จะได

)110(10

689110

103,48 22

S

2S = 70.1 ดงน �น คาความแปรปรวนของคะแนนสอบของนกเรยนท �งหอง เทากบ 70.1 คะแนน คาประมาณแบบชวง สมตวอยาง n จากประชากรท�มการแจกแจงแบบปรกต จะใชคาความแปรปรวนของตวอยาง 2S คาประมาณ 2 คาประมาณแบบชวงน �น จะใชการแจกแจง แบบไคกาลงสองในการกาหนดชวง จะได ชวงความเช�อม �น (1 - ) 100% ของ 2 คอ

2

2/1

2)1(22

2/

21

SnSn

โดยท� คอ ระดบนยสาคญ n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยาง

140

2 คอ คาท�ไดจากตารางไคกาลงสอง 2S คอ คาความแปรปรวนของตวอยาง คอ องศาเสรมคาเทากบ n -1 ตวอยางท� 5.14 ครทานหน�งรบผดชอบสอนในระดบอนบาลช �นปท� 1 จานวน 1 หอง ทาการสมนกเรยนมา 9 คน แลวทาการช �งน�าหนก พบวาน�าหนกมความแปรปรวนเทากบ 3.5 กโลกรม2 ถาน�าหนกนกเรยนท �งหองมการแจกแจงแบบปรกต จงหาชวงความเช�อม �น 95% ความแปรปรวนของน�าหนกนกเรยนหองน�

วธทา 2

2/1

22

22/

2 )1(1

SnSn

n = 9, 28,025.0 = 17.5, 2

8,975.0 = 2.18, 2S = 3.5

จะได

18.2

5.3)19(5.17

5.319 2

1.60 < 2 < 12.84

ดงน �น ชวงความเช�อม �น 95% ความแปรปรวนของน�าหนกนกเรยนหองน� อยระหวาง 1.60 ถง 12.84 กโลกรม2

การประมาณคาอตราสวนความแปรปรวนของประชากร 2 กลม คาประมาณแบบจด คาความแปรปรวนของประชากร 2 ท�มการแจกแจงแบบปรกต จะใชคาความแปรปรวนของตวอยาง 2S ในการเปรยบเทยบคาอตราสวนความแปรปรวน

ของประชากรสองกลม 22

21

การประมาณคาจะใช 2

2

21

SS โดย 2

1 และ 22 จะมาจากประชากร

ท�มการแจกแจงปรกต คาประมาณแบบชวง สมตวอยาง 1n และ 2n จากประชากรท�มการแจกแจงแบบปรกตจะใชคาความแปรปรวนของตวอยาง 2

1S และ 22S ในการประมาณคาอตราสวนความแปรปรวน

ของประชากรสองกลม โดยท� 22

21

SS เปนตวประมาณคา 2

2

21

แลวตวแปรสม F = 2

222

21

21

//

SS จะได

141

ชวงความเช�อม �น (1 - ) 100% ของ 22

21

คอ

2/1

22

21

22

21

2/22

21

FS

S

FS

S

โดยท� คอ ระดบนยสาคญ 2

1S คอ คาความแปรปรวนของตวอยางตวท� 1 2

2S คอ คาความแปรปรวนของตวอยางตวท� 2 F คอ คาท�ไดจากตารางการแจกแจงเอฟ

1n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยางตวท� 1 2n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยางตวท� 2

คอ องศาเสรมคาเทากบ 1n -1 และ 2n -2

ตวอยางท� 5.15 โรงงานผลตอาหารกระปองแหงหน�ง มเคร�องจกรในการผลต 2 เคร�อง ทาการสม อาหารกระปองจากเคร�องจกรท� 1 มา 10 กระปอง พบวาน�าหนกมคาเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 15 กรม และเคร�องจกรท� 2 มา 12 กระปองพบวาน�าหนกมคาเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 10 กรม จงหาชวงความเช�อม �น 99% ของอตราสวนความแปรปรวนของอาหารกระปอง ท�ผลตจากเคร�องจกรสองเคร�องน�

วธทา 2/1

22

21

22

21

2/22

21

FS

S

FS

S

ให 2

1 คอ ความแปรปรวนของอาหารกระปองท�ผลตจากเคร�องจกรเคร�องท� 1 2

2 คอ ความแปรปรวนของอาหารกระปองท�ผลตจากเคร�องจกรเคร�องท� 2

21S = 152, 2

2S = 102, 1n =10, 2n = 12, 10.9,005.F = 6.42, 10.9,995.F =

9,10,005.

1F

= 97.51 = 0.17

จะได

)17.0()10(

15)42.6()10(

152

2

22

21

2

2

0.35 < 22

21

< 13.24

ดงน �น ชวงความเช�อม �น 99% ของอตราสวนความแปรปรวนของอาหารกระปอง ท�ผลตจากเคร�องจกรสองเคร�อง อยระหวาง0.35 ถง 13.24 กรม2

142

บทสรป การประมาณคา คอ การประมาณคาพารามเตอร หรอคณลกษณะของประชากร โดยใชขอมลจากตวอยาง มอย 2 แบบ คอ

1. การประมาณคาแบบจด คอ การประมาณคาพารามเตอรของประชากรหน�งคา อาจจะใชตวประมาณหน�งคา หรอมากกวาหน�งคา 2. การประมาณคาแบบชวง คอ การประมาณคาประชากรท�อยในชวงใดชวงหน�ง โดยใชขอมลของตวอยาง ชวงท�จะประมาณคาน �นตองเปนชวงท�สามารถครอบคลมคาพารามเตอรดวยความเช�อม �นระดบหน�ง การประมาณคาแตละแบบน �นกมลกษณะหรอเง�อนไขท�แตกตางกน การประมาณคาแบบจด จะเปนการประมาณคาพารามเตอร โดยใชคาสถตท�ตองมเง�อนไขในการเปนตวประมาณคาท�ด เพ�อใหเกดความเช�อม �นในตวประมาณคามากท�สด การประมาณแบบชวงน �น ส�งท�จะคานงถง มากท�สดกคอ ระดบความเช�อม �นท�ใชกาหนดชวงของความเช�อม �น โดยในแตละวธกจะมการคานวณตวประมาณคาแตกตางกนไปตามเง�อนไขท�กาหนด ซ�งขนาดตวอยางกเปนอกหน�งองคประกอบ ท�สาคญ เพราะถาขนาดตวอยางมาก ความคลาดเคล�อนกจะนอยตามไปดวย แตถามากเกน ความจาเปนกเปนผลเสยในการจดกระทาดวยเชนกน

143

แบบฝกหดบทท� 5 1. บรษทแหงหน�ง ทาการตรวจสอบการพมพเอกสารของพนกงานพบวา การพมพเอกสาร

ของพนกงาน หน�งหนากระดาษมสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 4 วนาท ทาการสมพนกงาน 50 คน พบวาในการพมพเอกสารหน�งหนามคาเฉล�ยเทากบ 55 วนาท ถาการพมพเอกสาร ของพนกงานมการแจกแจงปรกต จงหาชวงความเช�อม �น 99% ของคาเฉล�ยการพมพเอกสาร ของพนกงานบรษทน�

2. คณะวทยาการจดการของมหาวทยาลยแหงหน�ง ไดทาการสอบถามความพงพอใจในสถานท� จอดรถของคณะกบนกศกษา พบคะแนนความพงพอใจมการแจกแจงปรกต ทาการสมนกศกษา มา 25 คน พบวามคะแนนเฉล�ย 4.2 คะแนน มสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 0.68 คะแนน จงหาชวงความเช�อม �น 95% ของคาเฉล�ยคะแนนความพงพอใจในสถานท�จอดรถแหงน�

3. บรษทผลตหลอดไฟแหงหน�ง ไดทาการผลตหลอดไฟข�นมา 2 รน คอรน S และรน W ทาการ ทดสอบอายการใชงานพบวารน S มคาเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 50 ช �วโมง รน W มคา เบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 45 ช �วโมง ทาการสมหลอดไฟท �ง 2 รน มาทดสอบรนละ 100 หลอด พบวารน S มคาเฉล�ยอายในการใชงานเทากบ 5,000 ช �วโมง รน W จานวน มคาเฉล�ยอาย ในการใชงานเทากบ 4,800 ช �วโมง ถาอายเฉล�ยของหลอดไฟท �งสองรนมการแจกแจงแบบปรกต จงหาชวงความเช�อม �น 95% ของความแตกตางระหวางคาเฉล�ยอายในการใชงาน ของหลอดไฟ รน S และ รน W

4. สานกงานแหงหน�ง ไดทาการสอบถามความพงพอใจในการบรหารงานของฝายบรหาร กบหนวยงานในสงกด 2 หนวยงาน โดยทาการสมพนกงานจากหนวยงานท� 1 มาจานวน 15 คน พบวามคะแนนความพงพอใจเฉล�ย 8 คะแนน สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 3 คะแนน และพนกงานจากหนวยงานท� 2 มาจานวน 14 คน มคะแนนความพงพอใจเฉล�ย 7 คะแนน สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 2 คะแนน ถาสมมตวาท �งสองหนวยงานมคาความแปรปรวน เทากน และมการแจกแจงแบบปรกต จงหาชวงความเช�อม �น 95% ความแตกตางระหวาง คาเฉล�ยคะแนนความพงพอใจของพนกงานตอการบรหารงานของฝายบรหาร

5. อาจารยทานหน�ง ไดทาการทดลองการสอนแบบใหมกบนกศกษาโดยแบงนกศกษาเปน 2 กลม กลมท� 1 ใชการสอนแบบใหม และกลมท� 2 ใชการสอนแบบเดม แลวทาการสอบวดคะแนน พบวา คาท�ไดมการแจกแจงปรกต และความแปรปรวนไมเทากน อาจารยทานน�เลยไดทดลอง สมนกศกษาท �ง 2 กลมมาจานวนกลมละ 20 คน แลวทาการทดสอบ พบวานกศกษากลมท� 1 มคะแนนเฉล�ยเทากบ 35 คะแนน ความแปรปรวนเทากบ 4 คะแนน กลมท� 2 มคะแนนเฉล�ย เทากบ 30 คะแนน ความแปรปรวนเทากบ 5 คะแนน จงหาชวงความเช�อม �น 95% ของความแตกตาง ระหวางคาเฉล�ยคะแนนทดสอบของนกศกษาท �ง 2 กลมน�

144

6. มหาวทยาลยแหงหน�งทาการสารวจ ความตองการบรจาคโลหตของนกศกษา 500 คน พบวา มนกศกษาท�มความตองการท�จะบรจาคโลหต 378 คน มการแจกแจงเปนแบบปรกต จงหา ชวงความเช�อม �น 99% ของนกศกษาท�มความตองการท�จะบรจาคโลหต

7. โรงเรยนแหงหน�ง ทาการวดความสงของนกเรยนช �นประถมศกษาปท� 6 พบวา มคาเบ�ยงเบน มาตรฐานเทากบ 25 เซนตเมตร ถาตองการสมนกเรยนในการหาความเช�อม �นท� 95% เพ�อประมาณคาเฉล�ยความสงของนกเรยนช �นประถมปท� 6 โดยผดพลาดจากคาเฉล�ยท�แทจรง อย 10 เซนตเมตร จะตองสมนกเรยนมาก�คน

8. เจาของสวนลาไยแหงหน�งสมลาไยมา 15 ตน แลวทาการวดน�าหนกผลลาไยท�ไดจากแตละตน ไดผลดงน� 39, 45, 54, 49, 46, 56, 49, 48, 41, 52, 54, 46, 47, 40 และ 55 กโลกรม

จงประมาณคาความแปรปรวน ของน�าหนกของลาไยในสวนแหงน� จากน�าหนกของลาไยท�สมมา 9. พนกงานตรวจสอบสนคาของบรษทผลตขนมแหงหน�ง ไดทาการสมขนมมา 30 กลอง ทาการ

ตรวจสอบพบวา น�าหนกมสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 5 กรม หากการแจกแจงเปนแบบปรกต จงหาชวงความเช�อม �น 90% ความแปรปรวนของน�าหนกขนมจากบรษทน� 10. โรงงานผลตคอมพวเตอรแหงหน�ง มสายการผลตอย 2 สาย ทาการสมคอมพวเตอรท�ผลตจาก

สายการผลตท� 1 มา 8 เคร�อง พบวาอายการใชงานมคาเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 5 เดอน ผลตจากสายการผลตท� 2 มา 10 เคร�อง พบวาอายการใชงานมคาเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 7 เดอน จงหาชวงความเช�อม �น 95% ของอตราสวนความแปรปรวนของคอมพวเตอรท�ผลต จากสายการผลตอย 2 สายน�

1

145

บทท� 6 การทดสอบสมมตฐาน

ความหมายของสมมตฐาน สมมตฐาน (Hypothesis) คอ การคาดคะเนคาตอบ จากความร ประสบการณ กฎตางๆ คาตอบท�คาดการณไว อาจจะถกตอง หรอไมถกตองกได ในทางสถตเรยกวา สมมตฐานทางสถต คอ การคาดเดา หรอขอสมมตท�อาจจะเปนจรง หรอไมเปนจรงกได ท�เก�ยวกบคาพารามเตอรของประชากร 1 ชด หรอมากกวากได เพ�อใหทราบวาสมมตฐานท�ต �งไวเปนจรงหรอไม ตองมการดาเนนการทางสถต แตหากตองตรวจสอบกบสมาชกของประชากรท �งหมด กจะทาไดยาก ดงน �น จงมการสมตวอยางจากประชากรแลวนาขอมลท�ได มาทดสอบวาเปนไปตามสมมตฐานท�ต �งไวหรอไม เรยกการทดสอบน�วา การทดสอบสมมตฐาน การต �งสมมตฐานทางสถต ในการทดสอบสมมตฐานแตละคร �ง จะมการต �งสมมตฐานไว 2 อยางเสมอ คอสมมตฐานวาง (Null Hypothesis) แทนดวยสญลกษณ H0 เปนสมมตฐานท�อธบายความสมพนธในลกษณะ ท�ไมแตกตางกนของประชากร และสมมตฐานทางเลอก (Alternative Hypothesis) แทนดวยสญลกษณ H1 หรอ Ha เปนสมมตฐานท�ระบทศทางของความสมพนธของประชากรวาตางกนอยางไร เชน บรษทผลตตกตาแหงหน�ง กลาววาสามารถผลตตกตาไดเฉล�ยวนละ 250 ตว เพ�อตรวจสอบคากลาวขางตน สามารถต �งสมมตฐานได ดงน� ให แทนคาเฉล�ยการผลตตกตาในหน�งวน จะได H0 : = 250 H1 : 250 โดยปกตสมมตฐานวาง จะต �งตรงขามกบสมมตฐานทางเลอก ในการทดสอบจะยอมรบเพยงสมมตฐานใดสมมตฐานหน� งเทาน �น ในเบ�องตนจะยอมรบวาสมมตฐานวางเปนจรง หรอเปนไปตามท�คาดการณไว จากน �นทาการเกบรวบรวมขอมลจากตวอยาง แลวนามาวเคราะหและทดสอบ หากทดสอบแลวมผลตางจากสมมตฐานวาง กจะยอมรบสมมตฐานทางเลอก วาเปนจรง และปฏเสธสมมตฐานวาง รปแบบการต �งสมมตฐานม 3 รปแบบ ดงน�

146

ให เปนพารามเตอร รปแบบท� 1 H 0 : = A

H 1 : A

รปแบบท� 2 H 0 : A H 1 : > A

รปแบบท� 3 H 0 : A

H 1 : < A

จะเหนวาสมมตฐานวาง H0 จะแสดงพารามเตอรท�คาดการณไวท�มเคร�องหมาย =, , สมมตฐานทางเลอก H1 จะมเคร�องหมาย ,< ,> ความผดพลาดในการทดสอบสมมตฐาน

ในการทดสอบสมมตฐานอาจมความผดพลาดเกดข�นได ทาใหเกดการตดสนใจ ท�ผดพลาดได ซ�งความผดพลาดในการทดสอบสมมตฐานเกดข�นได 2 แบบ คอ 1) ความผดพลาดแบบท� 1 (Type I Error) เปนความผดพลาดเม�อสมมตฐานวาง H0

เปนจรงแตถกปฏเสธ ความนาจะเปนของความผดพลาดแบบท� 1 เขยนแทนดวย (แอลฟา) น �นคอ P(ความผดพลาดแบบท� 1) = เม�อ คอ ระดบนยสาคญ (Significance Level)

2) 2) ความผดพลาดแบบท� 2 (Type II Error) เปนความผดพลาดท�เกดข�นเม�อ สมมตฐานวาง H0 เปนเทจ แตถกยอมรบความนาจะเปนของความผดพลาดแบบท� 2 เขยนแทนดวย (เบตา) น �นคอ P(ความผดพลาดแบบท� 2) = และเรยก 1 - วา กาลงการทดสอบ (Power of The Test)

จากความผดพลาดท �ง 2 แบบ สามารถสรปตามตารางไดดงน�

การตดสนใจ ความเปนจรงของ H0

H0 เปนจรง H0 ไมเปนจรง ปฏเสธ H0 ความคลาดเคล�อนประเภทท� 1( ) ตดสนใจถกตอง ยอมรบ H0 ตดสนใจถกตอง ความคลาดเคล�อนประเภทท� 2 ( )

147

จาก P(ความผดพลาดแบบท� 1) = หรอ P(ปฏเสธ H0 | H0 เปนจรง) = จากความนาจะเปนจะมคาเทากบ 1

จะได P(ปฏเสธ H0 | H0 เปนจรง) + P (ยอมรบ H0 | H0 เปนจรง) = 1 ดงน �น P (ยอมรบ H0 | H0 เปนจรง) = 1 - P(ปฏเสธ H0 | H0 เปนจรง) P (ยอมรบ H0 | H0 เปนจรง) = 1 – α เรยก 1 – α วา ระดบความเช�อม �น (Confidence Level) คอ คารอยละท�นามากาหนด ชวงความเช�อม �นของคาพารามเตอร โดยระดบความเช�อม �นจะมความสมพนธกบความกวาง ของความเช�อม �น คอ ถาความเช�อม �นสงข�นชวงความเช�อม �นจะกวางข�นดวย และจาก P (ความผดพลาดแบบท� 2) = หรอ P (ยอมรบ H0 | H0 ไมจรง) = จากความนาจะเปนจะมคาเทากบ 1

จะได P (ยอมรบ H0 | H0 ไมจรง) + P (ปฏเสธ H0 | H0 ไมจรง) = 1 ดงน �น

P (ปฏเสธ H0 | H0 ไมจรง) = 1 - P (ยอมรบ H0 | H0 ไมจรง) P (ปฏเสธ H0 | H0 ไมจรง) = 1 -

เรยก 1 - วา กาลงการทดสอบ (Power of The Test) คอ ความนาจะเปนของการปฏเสธสมมตฐานวางเม�อสมมตฐานวางไมเปนจรง เขตปฏเสธและคาวกฤต เขตปฏเสธ ( Rejection Region) คอ เซตของคาสถตทดสอบจากตวอยางสมท�ทาใหปฏเสธ H0 หรอยอมรบ H1 เรยกไดอกอยางวา เขตวกฤต (Critical Region) การกาหนดขอบเขตปฏเสธ จะข�นอยกบระดบนยสาคญ α ท�กาหนด สวนการกาหนดทศทางจะข�นอยกบเคร�องหมายท�ใช ในการต �งสมมตฐาน H1 โดยคาท�จะใชเปนเกณฑตดสนวาจะยอมรบ H0 หรอ ปฏเสธ H0 เรยกคาน �นวา คาวกฤต (critical value)

148

คาวกฤต ,α

เขตปฏเสธ α 1 – α

1 – α เขตปฏเสธ α

คาวกฤต ,

การทดสอบดานเดยวและการทดสอบสองดาน ลกษณะการทดสอบสมมตฐาน จะแบงตามลกษณะการต �ง H 1 มรปแบบการทดสอบ 2 แบบ คอ 1. การทดสอบดานเดยว (One-Sided Test) คอ การทดสอบสมมตฐาน ซ�งม เขตวกฤตท �งหมดเปนชวงเพยงชวงเดยว โดยปรกตจะอยดานใดดานหน�งของคาสถตทดสอบ จะอยในรปแบบ

เม�อให เปนพารามเตอร 0 เปนพารามเตอรท�บงไว

H0 : = 0 หรอ H0 : 0 H1 : > 0 H1 : > 0 ตามรปท� 6.1

รปท� 6.1 เขตปฏเสธ และคาวกฤตเม�อ H1 : > A และ

H0 : = 0 หรอ H0 : 0 H1 : < 0 H1 : < 0 ตามรปท� 6.2

รปท� 6.2 เขตปฏเสธ และคาวกฤตเม�อ H1 : < A

149

1 – α เขตปฏเสธ α

คาวกฤต , /2 คาวกฤต , /2 α

เขตปฏเสธ α

2. การทดสอบสองดาน (Two--Sided Test) คอ การทดสอบสมมตฐานท�กาหนดสมมตฐาน ทางเลอกเปนคาพารามเตอร ท�ไมเทากบคาในสมมตฐานวาง ซ�งทาใหเขตวกฤต หรอเขตปฏเสธสมมตฐานวางเปนชวงปลายท �ง 2 ดาน ของการแจกแจงของตวสถตทดสอบโดยจะอยในรปแบบ

H0 : = 0

H1 : 0 ตามรปท� 6.3

รปท� 6.3 เขตปฏเสธ และคาวกฤตเม�อ H1 : A ข �นตอนการทดสอบสมมตฐาน ข �นตอนของการทดสอบสมมตฐานเก�ยวกบพารามเตอร มดงน�

1. ต �งสมมตฐาน H0 และ H1 ใหสอดคลองกบส�งท�ตองการทดสอบ 2. กาหนดระดบนยสาคญ α โดยท �วไปจะใชอย 3 ระดบคอ 0.01, 0.05 และ 0.10 3. เลอกตวทดสอบทางสถตท�เหมาะสม โดยพจารณาตามคาท�ตองการทดสอบ และเง�อนไข

ของการใชสถตทดสอบน �นๆ 4. คานวณคาสถตทดสอบจากขอมลท�ไดจากตวอยาง 5. กาหนดเขตปฏเสธสมมตฐาน H0 โดยการหาคาวกฤต แลวใชคาวกฤตกาหนด

เขตปฏเสธ H0 และยอมรบ H0 6. สรปผลการทดสอบ ดวยการนาคาสถตท�คานวณไดเทยบกบคาวกฤต ถาคาสถต

ท�คานวณได ตกอยในเขตปฏเสธ จะปฏเสธ H0 และยอมรบ H1 ในทางกลบกนถาคาสถต ท�คานวณไดไมตกในเขตปฏเสธ จะยอมรบ H0 และปฏเสธ H1

150

การทดสอบคาเฉล�ยของประชากร 1 กลม

การทดสอบสมมตฐานเก�ยวกบคาเฉล�ยของประชากรกลมเดยว เปนการทดสอบวาคาเฉล�ยท�คานวณไดจากตวอยาง แตกตางกบคาเฉล�ยของประชากรหรอไม โดยตองกาหนดวาประชากร มการแจกแจงปรกตเสมอ มคาเฉล�ยเทากบ µ และความแปรปรวนเทากบ 2 มหลายกรณ ข�นอยกบเง�อนไขท�กาหนด ซ�งการทดสอบเก�ยวกบคาเฉล�ยของประชากรกลมเดยวจะแบงกรณพจารณาออกเปน 2 กรณ คอ

กรณท�ทราบคาความแปรปรวนของประชากร การต �งสมมตฐานเก�ยวกบคาเฉล�ยของประชากรจะอยใน 3 รปแบบ คอ

1. H 0 : = 0 , H 1 : 0

2. H 0 : 0 , H 1 : > 0

3. H 0 : 0 , H 1 : < 0

สถตท�ใชทดสอบ คอ n

XZ

0

X คอ คาเฉล�ยของตวอยาง

n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยาง

0 คอ คาเฉล�ยของประชากรท�ระบไว คอ สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของประชากร

โดยเขตปฏเสธจะอยทางดานซายหรอดานขวาหรอท �งสองขาง ข�นอยกบการ ต �งสมมตฐาน สามารถสรปไดดงน�

1. ถาสมมตฐานเปน H 0 : = 0 H 1 : 0 เขตปฏเสธคอ

2ZZ หรอ

2ZZ

2. ถาสมมตฐานเปน H 0 : 0 H 1 : > 0 เขตปฏเสธคอ ZZ

151

1.645α

0 zα

3. ถาสมมตฐานเปน H 0 : 0

H 1 : < 0 เขตปฏเสธคอ ZZ ตวอยางท� 6.1 โรงงานผลตหลอดไฟย�หอหน� ง โฆษณาวาหลอดไฟท�ผลตมอายเฉล�ยเกน 5,000 ช �วโมง และสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 5 ช �วโมง สานกงานคมครองผบรโภค ไดทาการสมหลอดไฟย�หอน�มา 100 ดวง ปรากฏวามอายเฉล�ย 4,500 ช �วโมง จงทดสอบวาบรษท แหงน�โฆษณาเกนจรงหรอไม ท�ระดบนยสาคญ 0.05

วธทา สมมตฐาน H 0 : 5,000

H 1 : > 5,000 ระดบนยสาคญ α = 0.05

สถตท�ใชทดสอบ n

XZ

0

100/8

000,5500,4

25.6

กาหนดเขตปฏเสธ α = 0.05 เปดตารางท� 3 ตารางการแจกแจงปรกต

จะได Z = 1.645

คาท�คานวณไดตกอย ในเขตปฏเสธ H0 ดงน �น โฆษณาของบรษทน� ไม เ ปนจรง ท�ระดบนยสาคญ 0.05

152

กรณไมทราบคาความแปรปรวนของประชากร

ในกรณท�ไมทราบคาความแปรปรวนของประชากร จะใชความแปรปรวน ของกลมตวอยางท�สมมาแทน แบงการคานวณออกเปน 2 แบบ ข�นอยกบขนาดของกลมตวอยาง ท�สมมา กลมตวอยางท�สมมามขนาดใหญ (n 30)

สถตท�ใชทดสอบ คอ

ns

XZ 0

X คอ คาเฉล�ยของตวอยาง

n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยาง 0 คอ คาเฉล�ยของประชากรท�ระบไว

s คอ สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของตวอยาง เขตปฏเสธ H0 จะข�นอยกบการต �งสมมตฐานมรปแบบเดยวกบการทดสอบคาเฉล�ย

ของประชากรกลมเดยว

ตวอยางท� 6.2 รานจาหนายกลายางแหงหน�ง กลาววากลายางท�จาหนายสามารถกรดยางได เม�อมอายเฉล�ยเทากบ 6 ป ลกคาไดทาการสมกลายางมา 50 ตน พบวา สามารถกรดยางได เม�อตนยางมอายเฉล�ยเทากบ 7 ป และสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 2 ป จงทดสอบวา คากลาวของรานน�เปนจรงหรอไม ท�ระดบนยสาคญ 0.01

วธทา สมมตฐาน H 0 : = 6

H 1 : 6 ระดบนยสาคญ α = 0.01

สถตท�ใชทดสอบ nsX

Z 0

50/267

0707.0

กาหนดเขตปฏเสธ α/2 = 0.005 เปดตารางท� 3 ตารางการแจกแจงปรกต

153

2.575α

-2.575 α

0 z

จะได ��.��� = -2.575, 2.575

คาท�คานวณไดตกอยในเขตยอมรบ H0 ดงน �น คากลาวของรานน�เปนจรงท�ระดบนยสาคญ 0.01

กลมตวอยางท�สมมามขนาดเลก (n < 30) ในกรณท�กลมตวอยางมขนาดเลก จะเปนการแจงแจกท คาท�จะมาเก�ยวของ คอ องศาเสร โดยระดบข �นความเสรหาไดจาก n-1 สวนขอบเขตปฏเสธจะข�นอยกบการต �งสมมตฐาน มรปแบบเหมอนกบแบบ Z

สถตท�ใชทดสอบ คอ ns

Xt 0

X คอ คาเฉล�ยของตวอยาง n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยาง

0 คอ คาเฉล�ยของประชากรท�ระบไว s คอ สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของตวอยาง

เขตปฏเสธ H0 จะข�นอยกบการต �งสมมตฐาน มรปแบบเดยวกบการทดสอบคาเฉล�ย ของประชากรกลมเดยว

ตวอยาง 6.3 รถโดยสารประจาทางสายหน� งไดทาการสมลกคามา 27 คน พบวาลกคา มความพงพอใจ ในการใชบรการเฉล�ยเทากบ 3.5 คะแนน สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 0.68 คะแนน มลกคากลาววาลกคาท �วไป ท�ใชบรการของรถโดยสารประจาทางสายน�มคะแนน ความพงพอใจเฉล�ยมากกวา 3 คะแนน จงทดสอบวาคากลาวน�เปนจรงหรอไมท�ระดบนยสาคญ 0.01

วธทา สมมตฐาน H 0 : = 3

H 1 : > 3

154

2.479α

0 t

ระดบนยสาคญ α = 0.01

สถตท�ใชทดสอบ ns

Xt 0

27/68.035.3

= 0.1415

กาหนดเขตปฏเสธ α = 0.01 ,n = 27 เปดตารางท� 4 ตารางการแจกแจงท

จะได t.01,26 = 2.479

ค าท�คานวณไดตกอย ในเขตยอมรบ H0 ดงน �น ค ากล าวของลกคาไม เ ปนจรง

ท�ระดบนยสาคญ 0.01

การทดสอบคาเฉล�ยของประชากร 2 กลม การทดสอบคาเฉล�ยของประชากร 2 กลม คอ การทดสอบคาเฉล�ยของประชากร 2 กลม ท�เปนอสระตอกน และท �ง 2 กลม มการแจกแจงแบบปรกต มคาเฉล�ยเทากบ 1 และ 2

ความแปรปรวนเทากบ 21 และ 2

2 สมตวอยาง n1 และ n2 จากประชากร แลวหาคาเฉล�ยจะได 1x

และ 2x เปนคาเฉล�ย การต �งสมมตฐานเก�ยวกบคาเฉล�ยของประชากร 2 กลมม 3 แบบ คอ 1. H 0 : 21 = d0 , H 1 : 21 d0

2. H 0 : 21 d0, H 1 : 21 d0 3. H 0 : 21 d0, H 1 : 21 > d0

เม�อ d0 คอ ผลตางของคาเฉล�ยท �งสองกลม

155

กรณท�ทราบคาความแปรปรวนของประชากรท �ง 2 กลม สถตท�ใชในการทดสอบ

2

22

1

21

2121

nn

XXZ

หรอ

2

22

1

21

021

nn

dXXZ

จาก H 0 : 21 = d0

1X คอ คาเฉล�ยของตวอยางตวท� 1 2X คอ คาเฉล�ยของตวอยางตวท� 2

1 คอ คาเฉล�ยของประชากรตวท� 1 2 คอ คาเฉล�ยของประชากรตวท� 2 1 คอ สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของประชากรตวท� 1 2 คอ สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของประชากรตวท� 2

1n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยางตวท� 1 2n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยางตวท� 2

เขตปฏเสธ H0 จะข�นอยกบการต �งสมมตฐาน มรปแบบเดยวกบการทดสอบคาเฉล�ย ของประชากรกลมเดยว

ตวอยาง 6.4 อาจารยสอนวชาคณตศาสตรทานหน� ง ไดทาการสมนกเรยนจานวน 2 หอง หองท� 1 จานวน 15 คน หองท� 2 จานวน 14 คน แลวทาการทดสอบความร ผลปรากฏวานกเรยน ท�สมมาจากหองท� 1 ไดคะแนนสอบเฉล�ยเทากบ 22 คะแนน นกเรยนท�สมมาจากหองท� 2 ไดคะแนนสอบเฉล�ย เทากบ 24 คะแนน ถาคะแนนสอบของนกเรยนท �ง 2 หอง มการแจกแจงแบบปรกต หองท� 1 สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบมคาเทากบ 3 คะแนน และหองท� 2 สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบมคาเทากบ 2 คะแนน จงทดสอบวานกเรยนหองท� 1 มคะแนนสอบเฉล�ยนอยกวาหองท� 2 หรอไม ท�ระดบนยสาคญ 0.01

วธทา สมมตฐาน H 0 : 21 H 1 : 21

ให 1 คอ คาเฉล�ยคะแนนสอบของนกเรยนหองท� 1 2 คอ คาเฉล�ยคะแนนสอบของนกเรยนหองท� 2

156

-2.575 α

0 z

ระดบนยสาคญ α = 0.01 สถตท�ใชในการทดสอบ คอ

2

22

1

21

021

nn

dXXZ

22

142

153

02422

Z

= -1.8867

กาหนดเขตปฏเสธ α = 0.01 เปดตารางท� 3 ตารางการแจกแจงปรกต จะได Z = -2.575

คาท�คานวณไดอยในเขตยอมรบ H0 ดงน �น นกเรยนหองท� 1 และนกเรยนหองท� 2 มคะแนนเฉล�ยเทากน ท�ระดบนยสาคญ 0.01

กรณไมทราบคาความแปรปรวนของประชากรท �ง 2 กลม กลมตวอยางท�สมมามขนาดใหญ ( n1 และ n2 30) สถตท�ใชทดสอบ คอ

2

22

1

21

2121 )(

nS

nS

XXZ

1X คอ คาเฉล�ยของตวอยางตวท� 1 2X คอ คาเฉล�ยของตวอยางตวท� 2

1 คอ คาเฉล�ยของประชากรตวท� 1

2 คอ คาเฉล�ยของประชากรตวท� 2 1S คอ สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของตวอยางตวท� 1

2S คอ สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของตวอยางตวท� 2

157

1.645α

0 z

1n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยางตวท� 1 2n คอ จานวนขอมลของกลมตวอยางตวท� 2

เขตปฏเสธ H0 จะข�นอยกบการต �งสมมตฐาน มรปแบบเดยวกบการทดสอบคาเฉล�ย ของประชากรกลมเดยว

ตวอยางท� 6.5 บรษทรถยนตแหงหน�งทาการทดสอบรถยนต 2 รน โดยรถยนตท �งสองรน คอ รน A และรน B โดยสมรถยนตรน A มา 45 คน พบวาประสทธภาพของรถยนตมคะแนนเฉล�ยเทากบ 65 คะแนน สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 5 คะแนน สมรถยนตรน B มา 42 คน พบวาประสทธภาพของรถยนตมคะแนนเฉล�ยเทากบ 62 คะแนน สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 6 คะแนน ถารถยนตท �งสองรนมคาประสทธภาพในการทางานมการแจกแจงแบบปรกต จงหาวารถยนตรน A มประสทธภาพมากกวา รถยนตรน B จรงหรอไมท�ระดบนยสาคญ 0.05

วธทา สมมตฐาน H 0 : 21 H 1 : 21

ให 1 คอ คะแนนเฉล�ยของประสทธภาพรถยนต รน A 2 คอ คะแนนเฉล�ยของประสทธภาพรถยนต รน B ระดบนยสาคญ α = 0.05 สถตท�ใชในการทดสอบ

2

22

1

21

2121 )(

nS

nS

XXZ

426

455

0)6265(22

Z

= 2.524 กาหนดเขตปฏเสธ α = 0.05 เปดตารางท� 3 ตารางการแจกแจงปรกต จะได Z = 1.645

คาท�คานวณไดตกอยในเขตปฏเสธ H0 ดงน �น รถยนตรน A มประสทธภาพมากกวา รถยนตรน B ท�ระดบนยสาคญ 0.01

158

กลมตวอยางท�สมมามขนาดเลก (n1 หรอ n2<30) ในกรณท�ไมทราบคาความแปรปรวนของประชากร กลมตวอยางท�สมมามขนาดเลก(n<30) สถตท�ใชในการทดสอบคอ t ซ�งแบงไดเปน 2 กรณ คอ 1. กรณท�ไมทราบคาความแปรปรวนของประชากร แตสมมตวาความแปรปรวน ของประชากร 2 กลมเทากน คอ 2

221 ประมาณคาความแปรปรวนโดยใช 2

pS สตรท�ใชหาคา คอ

2pS

211

21

222

211

nnSnSn

โดยท� 21S คอ คาความแปรปรวนของตวอยางขนาด n1 ท�สมจากประชากร

กลมท� 1

22S คอ คาความแปรปรวนของตวอยางขนาด n2 ท�สมจากประชากร

กลมท� 2

2pS คอ คาความแปรปรวนรวม (Pooled Variance)

สถตท�ใชในการทดสอบ คอ

21

2

2121

11nn

S

XXt

p

หรอ

21

2

021

11nn

S

dXXt

p

จาก H 0 : 21 = d0

โดยมองศาเสรมคาเทากบ = n1 + n2 - 2 เขตปฏเสธ H0 จะข�นอยกบการต �งสมมตฐาน มรปแบบเดยวกบการทดสอบคาเฉล�ยของประชากรกลมเดยว

ตวอยาง 6.6 รานขายยางรถยนตแหงหน�งไดทาการทดสอบยางรถยนต 2 ย�หอ โดยสมยางย�หอ M มา 20 ลอ พบวามอายเฉล�ยเทากบ 36 เดอน สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 4 เดอน และทาการสมยางย�หอ B มา 22 ลอ พบวามอายเฉล�ยเทากบ 40 เดอน สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 6 เดอน ถายาง 2 ย�หอน�มความแปรปรวนเทากน จงทดสอบวายางย�หอ B ม อายเฉล�ยมากกวา ยางย�หอ M หรอไมท�ระดบนยสาคญ 0.01 วธทา สมมตฐาน H 0 : 1 2 H 1 : 1 < 2 ให 1 คอ อายเฉล�ยของยางย�หอ M

159

-2.423 0 t

2 คอ อายเฉล�ยของยางย�หอ B ระดบนยสาคญ α = 0.01 สถตท�ใชในการทดสอบ

21

2

021

11nn

S

dXXt

p

โดย 2

pS 2

11

21

222

211

nnSnSn

จะได

2pS

22220

2612224120

= 26.5

ดงน �น

221

2015.26

04036t

= - 8.14

กาหนดเขตปฏเสธ α = 0.01 , = 20 + 22 – 2 = 40 เปดตารางท� 4 ตารางการแจกแจงท

จะได t.01,40 = -2.423

คาท�คานวณไดตกอยในเขตปฏเสธ H0 ดงน �น ยางย�หอ B ม อายเฉล�ยมากยางย�หอ M ท�ระดบนยสาคญ 0.01

2. กรณท�ไมทราบคาความแปรปรวนของประชากร แตสมมตวาความแปรปรวน ของประชากรสองกลมไมเทากน คอ 2

1 ≠ 22

160

สถตท�ใชในการทดสอบ คอ

2

22

1

21

2121

nS

nS

XXt

หรอ

2

22

1

21

021

nS

nS

dXXt

จาก H 0 : 21 = d0

โดยท�องศาเสร หาไดโดยใชสตร

1/

1/

2

22

22

1

21

21

2

2

22

1

21

nnS

nnS

nS

nS

ถาคา ท�ไดจากการคานวณเปนทศนยมใหปดเศษทศนยม เปนจานวนเตม เขตปฏเสธ H0 จะข�นอยกบการต �งสมมตฐาน มรปแบบเดยวกบการทดสอบคาเฉล�ยของประชากรกลมเดยว

ตวอยาง 6.7 บรษทผลตเส�อผาแหงหน�งมการผลตสนคาอย 2 สายการผลต ทาการสมพนกงาน ในสายการผลตท�หน�งมา 14 คน มคาเฉล�ยในการผลตเส�อตอวนเทากบ 14 ตว สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 2 ตว สมพนกงานในสายการผลตท�สองมา 13 คน มคาเฉล�ยในการผลตเส�อตอวนเทากบ 12 ตว สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 3 ตว จงทดสอบวาสายการผลต ท �งสองสายผลตสนคาไดไมเทากน ท�ระดบนยสาคญ 0.05 โดยกาหนดวาความแปรปรวน ของท �งสองกลมแตกตางกน

วธทา สมมตฐาน H 0 : 21 H 1 : 21

ให 1 คอ คาเฉล�ยในการผลตเส�อของสายการผลตท� 1 2 คอ คาเฉล�ยในการผลตเส�อของสายการผลตท� 2

ระดบนยสาคญ α = 0.05

161

1.721α

-1.721 0 t

สถตท�ใชในการทดสอบ

2

22

1

21

021

nS

nS

dXXt

จะได

13

2314

22

01214t

= 2.022 จาก

1/

1/

2

22

22

1

21

21

2

2

22

1

21

nnS

nnS

nS

nS

จะได

2222

222

11313/3

11414/2

133

142

= 20.69

= 21 กาหนดเขตปฏเสธ α = 0.05 , = 21 เปดตารางท� 4 ตารางการแจกแจงท

จะได t.05,21 = 1.721,-1.721

162

คาท�คานวณไดตกอยในเขตปฏเสธ H0 ดงน �น สายการผลตท �งสองสายผลตสนคาได ไมเทากน ท�ระดบนยสาคญ 0.05

การทดสอบคาเฉล�ยของประชากร 2 กลม ท�มขอมลของกลมตวอยางไมเปนอสระ ตอกน

คอ กรณขอมลของกลมตวอยางท�ศกษาไมเปนอสระตอกน มความสมพนธกน อาจเปนหนวยทดลองหนวยเดยวกน แตวดคาท�สนใจตางกน ซ�งการทดสอบแบบน� อาจเรยกวา การทดสอบผลตางคาเฉล�ยประชากร 2 กลม ในกรณจดเปนคกได เชน การทดสอบป ย 2 ชนด กบตนไมท�มลกษณะเหมอนกนเปนคๆ ให (Xi , Yi) เปนคาท�สงเกตไดจากตวอยางคท� i;i =1,2,3,….,n จะได di = Xi - Y i

โดยท� di เปนคาความแตกตางของคาท�สงเกตไดจากตวอยางท� i จากตวอยาง ท�ส มมาขนาดเทากบ n จากประชากรท�มการแจกแจงปรกต ซ�งมค า เฉล�ย เทากบ

D

และความแปรปรวน เทากบ 2D

ซ�งไมทราบคา เปนการแจกแจงแบบ t

สถตท�ใชในการทดสอบ คอ

n

dt

d

D

s

หรอ

n

dt

d

D

s0

จาก H 0 : 0DD

มองศาเสรเทากบ = n-1

โดยท� d = n

n

liid

2dS =

1

2)(

n

n

lidid

= )1(

2

112

nn

n

iid

n

iidn

163

จากท�กาหนดวาเปนการแจกแจงแบบปกตจะไดวา ไมมความแตกตางระหวางคาเฉล�ย ของประชากรสองกลม ซ�งไดขอมลจากตวอยางท�จดเปนคๆ ไดสมมตฐานดงน� 1. H0 : D 0 , H1 : 0D 2. H0 : 0D , H1 : 0D

3. H0 : 0D , H1 : 0D เขตปฏเสธ H0 จะข�นอยกบการต �งสมมตฐาน มรปแบบเดยวกบการทดสอบคาเฉล�ย

ของประชากรกลมเดยว

ตวอยาง 6.8 บรษทผลตอาหารสตวแหงหน�งไดทาการทดลองใหอาหารสนข 2 ย�หอ คอย�หอ P กบย�หอ S กบสนขจานวน 4 ตว แลวบนทกจานวนการกนอาหารท �ง 2 ย�หอโดยไดผลตามตารางตอไปน�

สนขตวท� จานวนอาหาร )กโลกรม(

ย�หอ P ย�หอ S

1 5 4

2 3 5

3 5 5

4 4 6

จงทดสอบวาสนขชอบอาหารย�หอ P มากกวาย�หอ S หรอไมท�ระดบนยสาคญ 0.01

วธทา สมมตฐาน H0 : 0D H1 : 0D ระดบนยสาคญ α = 0.01 สถตท�ใชในการทดสอบ

n

dt

d

D

s0

164

-4.541 0 t

สนขตวท� ย�หอ P ย�หอ S di= Xi - Y i

1 5 4 1 2 3 5 -2 3 5 5 0 4 4 6 -2

d = n

n

liid

= 43

= - 0.75

2dS =

1

2)(

n

n

lidid

dS =

14

2)75.02(2)75.0(2)75.02(2)075.(1

= 2.5

n

dt

d

D

s0

จะได

45.2

075.0 t

= - 0.6 กาหนดเขตปฏเสธ α = 0.01 , = 4 – 1= 3 เปดตารางท� 4 ตารางการแจกแจงท

จะได t.01,3 = - 4.541

165

คาท�คานวณไดตกอยในเขตยอมรบ H0 ดงน �น สนขชอบอาหารย�หอ P กบย�หอ S ไมแตกตางกนท�ระดบนยสาคญ 0.01

การทดสอบคาสดสวนของประชากร 1 กลม

การทดสอบสมมตฐานเก�ยวกบคาสดสวนของประชากร 1 กลม คอ การคาดคะเนเก�ยวกบสดสวนประชากร ท�มการแจกแจงแบบทวนาม มลกษณะคลายกบการทดสอบสมมตฐานเก�ยวกบคาเฉล�ยประชากร 1 กลม การหาคาทาไดโดยสมตวอยางมาจากประชากร แลวหาคาสดสวน ของความสาเรจ หรอส�งท�สนใจเพ�อใชเปนตวแทนของประชากร แลวนาคาท�ไดเปรยบเทยบ กบสมมตฐานท�ต �งไว ในการต �งสมมตฐาน จะกาหนดให P แทนคาสดสวนของประชากร จะไดสมมตฐานดงน�

1. H 0 : P = P0 , H 1 : P P0

2. H 0 : P P0 , H 1 : P > P0

3. H 0 : P P0 , H 1 : P < P0

เม�อ P0 แทน คาสดสวนของประชากรท�ตองการทดสอบ สมตวอยางมาขนาด n หนวย ถา n มขนาดใหญจากประชากรท�มการแจกแจงทวนาม

ให p แทนสดสวนของกลมตวอยาง และ x แทนจานวนกลมตวอยางท�สนใจ ดงน �นจะได nxp ˆ

สถตท�ใชในการทดสอบ คอ

Z =

npqpp ˆ

ขนาดของกล มตวอยางท�มขนาดใหญ พจารณาจาก pn ˆ และ )ˆ1( pn ตองมคามากกวา 5 ท�ระดบนยสาคญ บรเวณปฏเสธ H0 จะอยดานซาย หรอดานขวา หรอท �งสองขาง ของการแจกแจง ข�นอยกบสมมตฐานท�ต �งข�น เชนเดยวกบการทดสอบคาสดสวนของประชากร กลมเดยว ตวอยาง 6.9 จากการรายงานพบวานกศกษาท�จบจากมหาวทยาลย J จะมงานทาทนทท�จบ ไมต�ากวารอยละ 85 ทดลองสมนกศกษาท�จบจากมหาวทยาลยแหงน�มาจานวน 250 คน พบวา มนกศกษาท�จบแลวมงานทาทนทจานวน 215 คน จากขอมลท�ไดสามารถสรปไดหรอไมวารายงานน�มความนาเช�อถอท�ระดบนยสาคญ 0.05

วธทา สมมตฐาน H0 : 85.0P H1 : 85.0P ระดบนยสาคญ α = 0.05

166

-1.645 0 t

P = 0.85, n = 250, x = 215, p = 215 ÷ 250 = 0.86 pn ˆ = 250(0.86) = 215 )ˆ1( pn = 215(1-0.86) = 35 สถตท�ใชในการทดสอบ

Z =

npqpp ˆ

จะได

Z =

250)15.0)(85.0(

85.086.0

= 4.428

กาหนดเขตปฏเสธ α = 0.05 เปดตารางท� 3 ตารางการแจกแจงปรกต จะได Z = - 1.645

คาท�คานวณไดตกอยในเขตยอมรบ H0 ดงน �น รายงานน�มความนาเช�อถอท�ระดบนยสาคญ

0.01 การทดสอบผลตางคาสดสวนของประชากร 2 กลม

การทดสอบผลตางคาสดสวนของประชากร 2 กลม มวตถประสงคเพ�อศกษาความแตกตางของสดสวนของประชากร 2 วามลกษณะแตกตางกนอยางไร มวธการคลายกบการทดสอบ หาความตางระหวางคาเฉล�ยของประชากร 2 กลม ในการทดสอบคาสดสวนของประชากร 2 กลม ใหสดสวนของประชากร คอ P1 และ P2 ไดสมมตฐานดงน�

1. H 0 : 21 PP = D , H 1 : 21 PP D

2. H 0 : 21 PP D, H 1 : 21 PP D 3. H 0 : 21 PP D, H 1 : 21 PP > D

167

เม�อ D คอ ผลตางของคาสดสวนประชากรท �งสองกลม ในการทดสอบผลตางคาสดสวนสองประชากร จะสมตวอยางมาจากประชากร 2 กลม คอ

n1 และ n2 จะได 1

11ˆnxp เปนคาสดสวนของตวอยางกลมท� 1 และ

2

22ˆnxp เปนคาสดสวน

ของตวอยางกลมท� 2 ในกรณท� 1n และ 2n มขนาดใหญ 11 pn กบ 22 pn และ )ˆ1( 11 pn กบ )ˆ1( 22 pn จะมคามากกวา 5 ท�ระดบนยสาคญ 21 ˆˆ pp จะมการแจกแจงใกลเคยงแบบปรกต สถตท�ใชในการทดสอบ คอ

Z =

2

22

1

11 ˆˆˆˆ

)()ˆˆ(2121

nqp

nqp

pppp

เม�อ H 0 : 21 PP = D ; D 0 และ

Z =

21

21

11ˆˆ

ˆˆ

nnqp

pp

เม�อ H 0 : 21 PP = D ; D = 0 โดยท�

21

2211 ˆˆˆnnpnpnP

หรอ

21

21ˆnnXXP

บรเวณปฏเสธ H0 จะอยดานซาย หรอดานขวา หรอท �งสองขางของการแจกแจง ข�นอยกบสมมตฐานท�ต �งข�น เชนเดยวกบการทดสอบคาสดสวนของประชากรกลมเดยว ตวอยาง 6.10 ในการทดสอบความแตกตาง ระหวางสดสวนดานความรวชาภาษาองกฤษ ของนกศกษาคณะวทยาการ และคณะเทคโนโลย โดยสมตวอยางนกศกษาคณะละ 200 คน ปรากฏวาคณะวทยาการมนกศกษาสอบผาน 155 คน และคณะเทคโนโลย มนกศกษาสอบผาน 130 คน จงทดสอบวาสดสวนดานความรวชาภาษาองกฤษของนกศกษา 2 คณะ แตกตางกนหรอไม ท�ระดบนยสาคญ 0.05

168

1.96α

-1.96 0 z

วธทา สมมตฐาน H 0 : 21 PP H 1 : 21 PP

ให 1P คอ คาสดสวนความรดานภาษาองกฤษของนกศกษาคณะวทยาการจดการ 2P คอ คาสดสวนความรดานภาษาองกฤษของนกศกษาคณะเทคโนโลย ระดบนยสาคญ α = 0.05 ให n1 คอ จานวนนกเรยนศกษาอยในคณะวทยาการ n2 คอ จานวนนกเรยนศกษาอยในคณะเทคโนโลย

1p = 155 ÷ 200 = 0.78

2p = 130 ÷ 200 = 0.65

200200

130155ˆ

P = 0.71

11 pn = 200(0.78) = 156, )ˆ1( 11 pn = 200(1-0.78) = 44 22 pn = 200(0.65) = 130, )ˆ1( 11 pn = 200(1-0.65) = 70 สถตท�ใชในการทดสอบ

Z =

21

21

11ˆˆ

ˆˆ

nnqp

pp จะได

Z =

2001

2001)29.0)(71.0(

65.078.0

= 2.863 กาหนดเขตปฏเสธ α = 0.05 เปดตารางท� 3 ตารางการแจกแจงปรกต

จะได Z = -1.96,1.96

คาท�คานวณไดตกอยในเขตปฏเสธ H0 ดงน �นแปลวาสดสวนดานความรดานภาษาองกฤษ

ของนกศกษา 2 คณะ แตกตางกนท�ระดบนยสาคญ 0.01

169

การทดสอบคาความแปรปรวนของประชากร 1 กลม คาความแปรปรวน เปนคาท�ใชในการวดการกระจายของขอมล โดยในการทดสอบสมมตฐานคาความแปรปรวนของประชากร 1 กลม คอ การสมตวอยางจากประชากร หาคา ความแปรปรวนของตวอยาง ใชคาน �นเปนตวแทนของประชากร แลวทดสอบสมมตฐาน ในการทดสอบประชากรมการแจงแจงแบบปกต โดยท� 2 คอ ความแปรปรวนของประชากร และ S2 คอ ความแปรปรวนของตวอยาง ไดสมมตฐานดงน�

1. H 0 : 2 = 20 , H 1 : 2 2

0

2. H 0 : 2 20 , H 1 : 2 > 2

0

3. H 0 : 2 20 , H 1 : 2 < 2

0

เม�อ 20 แทน คาแปรปรวนท�ตองการทดสอบ

โดยท�

n

i

i

nXX

S1

2

2

1

2S คอ คาความแปรปรวนของตวอยาง

สถตท�ใชในการทดสอบ

2

22 )1(

Sn

เปนการแจกแจงไคกาลงสอง และองศาเสร = n – 1

บรเวณปฏเสธ H0 จะอยดานซาย หรอดานขวา หรอท �งสองขางของการแจกแจง ข�นอยกบสมมตฐานท�ต �งข�น เชนเดยวกบการทดสอบคาสดสวนของประชากรกลมเดยว ตวอยาง 6.11 บรษทขายมอถอย�หอ I โฆษณาวาโทรศพทท�ผลตสามารถใชงานไดนาน สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของการใชงานมคาไมเกน 4 นาท หนวยงานท�ตรวจสอบจงทดลองสมโทรศพทจากบรษทน�มาจานวน 26 เคร�อง พบวามสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 5 นาท อยากทราบวาบรษทน�มการโฆษณาเกนจรงหรอไม ท�ระดบนยสาคญ 0.05

วธทา สมมตฐาน H 0 : 2 16

H 1 : 2 > 16

ระดบนยสาคญ α = 0.05

170

สถตท�ใชในการทดสอบ

2

22 )1(

Sn

จะได

2

22

4)5)(126(

= 39.062

กาหนดเขตปฏเสธ α = 0.05 เปดตารางท� 5 ตารางการแจกแจงไคกาลงสอง

จะได 225,05.0 37.652

คาท�คานวณไดตกอยในเขปฏเสธ H0 ดงน �น บรษทน�มการโฆษณาไมเกนความเปนจรง

ท�ระดบนยสาคญ 0.05

การทดสอบคาอตราสวนความแปรปรวนของประชากร 2 กลม การทดสอบคาอตราสวนความแปรปรวนของประชากร 2 กลม มว ตถประสงค

เพ�อเปรยบเทยบอตราสวนของความแปรปรวนของประชากร 2 กลม โดยท� 21 คอ

ความแปรปรวนของประชากรตวท� 1 และ 22 คอ ความแปรปรวนของประชากรตวท� 2 ในการ

ทดสอบสมมตฐาน จะสมตวอยางจากประชากรมาแลวหาหาคาอตราสวนคอ 22

21

SS ถาคาท�ได

ใกลเคยง 1 แสดงวา 21 และ 2

2 มคาใกลเคยงกน แตถาคาท�ไดมคาหางจาก 1 กจะแสดงวา 21

และ 22 มคาแตกตางกน ประชากรท�นามาหาคาตองมการแจกแจงแบบปรกต และตวอยางท�สมมา

ตองเปนอสระตอกน ไดสมมตฐานดงน�

1. H 0 : 22

21 = D , H 1 : 2

221 D

2. H 0 : 22

21 D, H 1 : 2

221 < D

37.652 0 2

171

3. H 0 : 22

21 D, H 1 : 2

221 > D

เม�อ D คอ ผลตางของคาความแปรปรวนของประชากรท �งสองกลม สถตท�ใชในการทดสอบ

22

21

SS

F

21S คอ สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของตวอยางตวท� 1

22S คอ สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของตวอยางตวท� 2

เปนการแจกแจงเอฟ และองศาเสร 1 = n1 – 1 และ 2 = n2 – 1

บรเวณปฏเสธ H0 จะอยดานซาย หรอดานขวา หรอท �งสองขางของการแจกแจง ข�นอยกบสมมตฐานท�ต �งข�น เชนเดยวกบการทดสอบคาสดสวนของประชากรกลมเดยว ตวอยาง 6.12 ภตตาคารแหงหน�ง ส �งผกจากผขาย 2 ราย คอ ราน A และราน B ท �งสองราน มจานวนผกท�เสยปะปนมาดวย ทางรานอาหารจงทาการสมผกของท �งสองราน โดยสมผก จากราน A จานวน 14 กโลกรม พบวามผกท�เสยปะปนมา ความแปรปรวนมคาเทากบ 4 กโลกรม และสมผกจากราน B จานวน 13 กโลกรม พบวาผกท�เสยปะปนมา ความแปรปรวนมคาเทากบ 3 กโลกรม จงทดสอบวาความแปรปรวนของประชากรท �งสองกลมตางกนหรอไม ท�ระดบนยสาคญ 0.05

วธทา สมมตฐาน H 0 : 22

21

H 1 : 22

21 0

ให 21 คอ ความแปรปรวนของจานวนผกท�เสยท�มาจากราน A

22 คอ ความแปรปรวนของจานวนผกท�เสยท�มาจากราน B

ระดบนยสาคญ α = 0.05 สถตท�ใชในการทดสอบ

22

21

SS

F

34

= 1.33

กาหนดเขตปฏเสธ α = 0.05 เปดตารางท� 6 ตารางการแจกแจงเอฟ

จะได 12,13,025.0F = 3.15, 12,13,975.0F = 13,12,025.0

1F

= 25.31 = 0.31

172

คาท�คานวณตกอยในเขตยอมรบ H0 ดงน �น คาความแปรปรวนของผกท�เสยจากราน A และราน B ไมแตกตางกน ท�ระดบนยสาคญ 0.05

บทสรป สมมตฐาน คอ การคาดคะเนคาตอบ คาตอบท�คาดการณไวอาจจะถกตอง หรอไมถกตองกได ในทางสถตเรยกวา สมมตฐานทางสถต คอ การคาดเดาหรอขอสมมตท�อาจจะเปนจรง หรอไมเปนจรง กได ท�เก�ยวกบคาพารามเตอรของประชากร เพ�อใหทราบวาสมมตฐานท�ต �งไว เปนจรงหรอไม

การทดสอบสมมตฐาน คอ การสมตวอยางจากประชากร แลวนาขอมลท�ไดมาทดสอบวาเปนไปตามสมมตฐานท�ต �งไวหรอไม การต �งสมมตฐานไว 2 อยาง คอ สมมตฐานวาง แทนดวยสญลกษณ H0 และสมมตฐานทางเลอก แทนดวยสญลกษณ H1 การทดสอบสมมตฐาน มคาพารามเตอรเปนคาท�ใชในการทดสอบอย 3 คา คอ คาเฉล�ย คาสดสวน และคาความแปรปรวน มการทดสอบท �งในกรณท�ประชากร 1 กลม และประชากร 2 กลม ในการตรวจสอบของทกคาคาตอบจะเปนการใชคาท�ไดจากการคานวณ ไปเปรยบเทยบกบคาท�ไดจากตาราง ตารางท�ใชประกอบการทดสอบจะข�นอยกบสถตท�ใช

3.15 0 F

0.31

173

แบบฝกหดบทท� 6

1. มรายงานกลาววาสวนสงของเดกช �นประถมศกษาปท� 3 จะมความสงเฉล�ยไมต� ากวา 130 เซนตเมตร สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 3 เซนตเมตร มผไมเช�อในรายงานน� จงสมนกเรยนประถมศกษาปท� 3 มาจานวน 250 คน พบวามความสงเฉล�ย 125 เซนตเมตร จงทดสอบวารายงานฉบบน�นาเช�อถอหรอไม ท�ระดบนยสาคญ 0.01

2. บรษทผลตอาหารกระปองแหงหน�ง โฆษณาวาอาหารกระปองของตนใหวตามน A สง มคาเฉล�ยมากกวา 78 กรม ผตรวจสอบคณภาพอาหารไดสมอาหารกระปองชนดน�มาตรวจ จานวน 65 กระปอง พบวาในอาหารกระปองชนดน�มวตามน A เฉล�ยเทากบ 70 กรม สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 5 กรม จงทดสอบวาบรษทน�มโฆษณาเกนจรงหรอไม ท�ระดบนยสาคญ 0.05

3. หางสรรพสนคาแหงหน�งทาการสมลกคามา 20 คน ทาการสารวจความพงพอใจในการ ใชบรการ พบวา จากคะแนนเตม 5 คะแนน ลกคามความพงพอใจในการใชบรการเฉล�ยเทากบ 3 คะแนน สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 0.72 คะแนน แตทางหางกลาววาลกคา มความพงพอใจเฉล�ยมากกวา 4 คะแนน จงทดสอบวาคากลาวน�เปนจรงหรอไม ท�ระดบนยสาคญ 0.05

4. เจาของสวนผลไมแหงหน� ง มความตองการจะซ�อป ยมาเพ�อเพ�มผลผลต โดยท�มป ย ใหเลอก 2 ย�หอ คอ ป ยย�หอ A และย�หอ B ป ยท �งสองย�หอมราคาและขนาดบรรจเทากน เจาของสวนผลไมจงทาการสมป ยย�หอ A มา 13 กระสอบ ใสตนผลไมพบวาไดผลผลตเพ�มข�นเฉล�ย 16 กโลกรม และสมย�หอ B มา 12 กระสอบ ใสตนผลไมพบวาไดผลผลตเพ�มข�นเฉล�ย 17 กโลกรม โดยท�ป ยย�หอ A สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 3 กโลกรม และป ยชนด B สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 5 กโลกรม ถาป ยท �งสองย�หอมการ แจกแจงแบบปรกต จงทดสอบวาป ยย�หอ B ทาใหไดผลผลตมากกวาป ยย�หอ A หรอไม ท�ระดบนยสาคญ 0.05

5. อาจารยทานหน�งไดทาการทดลองสอน โดยใชการสอนแบบใหมกบนกศกษากลมท� 1 และการสอนแบบเดมกบนกศกษากลมท� 2 โดยคะแนนสอบท �งสองกลมมการแจกแจง แบบปรกต อาจารยทานน�เลยสมนกศกษากลมท� 1 มาจานวน 60 คน แลวทาการทดสอบ พบวา มคะแนนเฉล�ย 75 คะแนน สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 9 คะแนน และสมนกศกษากลมท� 2 มาทดสอบพบวามคะแนนเฉล�ย 65 คะแนน สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 6 คะแนน จงทดสอบวาการสอนแบบใหม ทาใหนกศกษามผลการเรยนสงข�นกวาเดมหรอไม ท�ระดบนยสาคญ 0.05

174

6. อาจารยสอนภาษาองกฤษทานหน� ง ตองการทดสอบความรพ�นฐานวชาภาษาองกฤษ ของนกศกษาสองหมเรยนโดยสมนกศกษาหมเรยนท� 1 มา 16 คน พบวามคะแนนเฉล�ยเทากบ 26 คะแนน สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 7 คะแนน และสมนกศกษาหมเรยน ท� 2 มา 14 คน พบวามคะแนนเฉล�ยเทากบ 23 คะแนน สวนเบ�ยงเบนมาตรฐาน มคาเทากบ 5 คะแนน ถาคาความแปรปรวนของคะแนนทดสอบท �งสองหมเรยนเทากนจงทดสอบ วานกศกษาหมเรยนท� 1 มความรพ�นฐานทางภาษาองกฤษ มากกวานกศกษาหมเรยนท� 2 หรอไม ท�ระดบนยสาคญ 0.05

7. บรษทผลตยาแหงหน�ง ไดทาการทดลองกบผรวมทดลอง โดยการแบงผรวมทดลองออกเปน 2 กลม โดยกลมท� 1 ผสมวตามน A ท�บรษทผลตข�นในอาหาร กลมท� 2 ไมใสวตามน ในอาหารแลวทาการสมผทดลองกลมท� 1 มา 10 คน พบวา มปรมาณวตามน A เพ�มข�นเฉล�ย 12 หนวย สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 4 หนวย และสมกลมท� 2 มาจานวน 11 คน พบวามปรมาณวตามน A เพ�มข�นเฉล�ย 8 หนวย สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 2 หนวย จงทดสอบวาผทดลองกลมท� 1 มปรมาณวตามน A เฉล�ยมากข�นกวากลมท� 2 ท�ระดบนยสาคญ 0.01 โดยกาหนดวาความแปรปรวนของท �งสองไมเทากน

8. ผลตภณฑลดความอวนชนดหน�ง โฆษณาวาอาหารเสรมของตนสามารถลดความอวนได ไมต�ากวา 90 เปอรเซนตของผใช หนวยงานทดสอบจงสมคนท�ใชยาน�มา 150 คน พบวาใชไดผลจานวน 120 คน จากขอมลท�ได สามารถสรปไดหรอไมวาโฆษณาน�เปนจรง ท�ระดบนยสาคญ 0.05

9. กลมโรงเรยนประถมศกษาแหงหน� ง กล าวว าคะแนนสอบวดผลของกลมโรงเรยน มสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาไมเกน 5 คะแนน ทางเขตการศกษาตองการพสจนวา คากลาวน�เปนจรงหรอไม จงสมนกเรยนมา 25 คน พบวาคะแนนสอบมสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานมคาเทากบ 8 คะแนน อยากทราบวาคากลาวของกลมโรงเรยนน�เปนจรงหรอไม ท�ระดบนยสาคญ 0.01

10. บรษท D ตองการซ�อเคร�องจกรเพ�อผลตสนคาโดยม 2 ย�หอ ใหเลอก ทางบรษท D จงทาการสม เคร�องจกรมาทดสอบ โดยสมเคร�องจกรย�หอท� 1 มาจานวน 11 เคร�อง พบวามความแปรปรวนในการผลตมคาเทากบ 5 ช�นตอช �วโมง และสมเคร�องจกรย�หอท� 2 มาจานวน 10 เคร�อง พบวา มความแปรปรวนในการผลตมคาเทากบ 9 ช�นตอช �วโมง จงทดสอบวาความแปรปรวนในการผลตของสองย�หอเทากนหรอไม ท�ระดบนยสาคญ 0.01

1

175

บรรณานกรม

เกรยงไกร ศรวฒนกล. (2548) สถตเชงคณตศาสตร1. อดรธาน : คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยราชภฏอดธาน. คณาจารยโปรแกรมวชาคณตศาสตรและสถตประยกต คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย

มหาวทยาลยราชภฏบานสมเดจเจาพระยา. (2552) การคดและการตดสนใจ. กรงเทพฯ : โอเดยนสโตร.

คณาจารยภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย. (2544) ความนาจะ เปนและสถต. กรงเทพฯ: หางหนสวนจากดพทกษการพมพ. คณต ไขมกต. (2546) สถตพ�นฐาน. กรงเทพฯ : บรษทสานกพมพน�าฝน จากด. ฉววรรณ แกวไทรฮะ และคณะ. (2546) การคดและการตดสนใจ. เอกสารประกอบการเรยน

การสอน. สานกงานสภาสถาบนราชภฏ. ชะเอม สายทอง. (2531) ความนาจะเปนและสถต. กรงเทพฯ : โอ.เอส.พร�นต�งเฮาส. ชศร พนธทอง. (2534) ความนาจะเปนและสถตประยกต. พมพคร �งท� 2. กรงเทพฯ : สานกพมพ มหาวทยาลยรามคาแหง. ชศร วงศรตนะ. (2546) เทคนคการใชสถตเพ�อการวจย. พมพคร �งท� 9. กรงเทพฯ : เทพเนรมต การพมพ. ชชวาล เรองประพนธ. (2543) สถตพ�นฐาน. ขอนแกน : คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน. ธระศกด � อรจนานนท. (2546) ความนาจะเปนและสถตประยกต เลม 1. กรงเทพฯ : สกายบกส. นพพร ธนะชยขนธ. (2555) สถตเบ�องตนสาหรบการวจย. กรงเทพฯ : บรษทวทยพฒน จากด. บญธรรม กจปรดาบรสทธ �. (2546). สถตวเคราะหเพ�อการวจย. พมพคร �งท� 3. กรงเทพฯ :

จามจรโปรดกท. พนนทร คงคาเพชร. (2554) สถตนนพาราเมตก. กรงเทพฯ : บรษทแดเนคซ อนเตอคอปอเรช �น จากด. พฒนาภรณ ชยประเสรฐ. (2548) ความนาจะเปนและสถตเบ�องตน. อดรธาน : คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยราชภฏอดธาน. ภาควชาสถต. (2545) หลกสถต 1. พมพคร �งท� 2. กรงเทพฯ : คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยเกษตรศาสตร. ยทธ ไกยวรรณ และ สมา ผลาพรม. (2553). พ�นฐานการวจย. พมพคร �งท� 5. กรงเทพฯ : บรษท พมพด จากด. ราชบณฑตยสถาน. (2547) ศพทคณตศาสตรฉบบราชบณฑตสถาน. กรงเทพฯ : สหมตร พร�นต�ง.

176

ลกษณา บศยน�าเพชร. (2549) ความนาจะเปนและสถต. เชยงใหม : คณะวทยาศาสตร และเทคโนย มหาวทยาลยราชภฏเชยงใหม. ศรสรางค ทนะกล. (2542) สถตวเคราะหเบ�องตน. อดรธาน : โครงการตาราวชาการราช ภฏเฉลมพระเกยรต สถาบนราชภฏอดรธาน. สมเดช บญประจกษ. (2551) สถตเพ�อการวจย. กรงเทพฯ : โรงพมพพทกษการพมพ. สายชล สนสมบรณทอง. (2553) สถตเบ�องตน. พมพคร �งท� 9. กรงเทพฯ : จามจรโปรดกท. สปรชา วงศอารย. (2556) การคดและการตดสนใจ. อดรธาน : สานกวชาศกษาท �วไป มหาวทยาลยราชภฏอดธาน. สภชย นาทะพนธ. (2547) ความนาจะเปนและสถต. กรงเทพฯ : บรษทซเอดยเคช �น จากด (มหาชน). สวมล ตรกานนท. (2553) สถตนนพาราเมตก. กรงเทพฯ : โรงพมพแหงจฬาลงกรณ มหาวทยาลย. สานกงานราชบณฑตยสภา. (2558) พจนานกรมศพทสถตศาสตรฉบบราชบณฑตยสภา. กรงเทพฯ : สานกพมพคณะรฐมนตรและราชกจจานเบกษา. Bradley, T. (2007) Essential Statistics for Economics, Business and Management. London : John Wiley & Sons. Prem S. Mann. (2011) Introductory Statistics. Asia : John Wiley & Son (Asia) Pte Ltd. Roger E. Kirk. (1999) Statistics An Introduction Fourth Edition. 4th. United states of America : Holt, Rinechart and Winston. Weiss, N.A. (2012). Introductory statistics. 9th. Ed. Boston : Pearson.

177

ภาคผนวก

178

179

เฉลยแบบฝกหดทายบท บทท� 1 2. ขอด คอ ใชเวลาในการจดกระทา และคาใชจายนอย ขอจากด คอ มความคลาดเคล�อนได ถาการสมตวอยางไมเหมาะสม 4. 1. แบบตอเน�อง 2. แบบไมตอเน�อง 3. แบบตอเน�อง 4. แบบตอเน�อง 5. แบบไมตอเน�อง 6. แบบไมตอเน�อง 5. 4 ระดบ 1. มาตรตรานามบญญต เชน เพศ ศาสนา เช�อชาต 2. มาตราเรยงลาดบ เชน ยศ ตาแหนง 3. มาตราอนตรภาค เชน อณหภม ระดบเชาวนปญญา 4. มาตราอตราสวน เชน ระยะทาง เวลา เงนเดอน 6. ขอด คอ ใชไดกบคนทกระดบการศกษา ดดแปลงไดตามสถานการณ ขอเสย คอ ขอมลท�ไดอาจจะไมเปนจรงเสมอไป ใชเวลา และแรงงานมาก 7. 1. การนาเสนอขอมลอยางไมเปนแบบแผน 2. การนาเสนอขอมลอยางเปนแบบแผน บทท� 2 1. 1.1 คาเฉล�ยเทากบ 14.11, คามธยฐานเทากบ 14, ฐานนยมเทากบ 16 1.2 คาเฉล�ยเทากบ 14.3, คามธยฐานเทากบ 14.5, ฐานนยมเทากบ 12,14,15,16 1.3 คาเฉล�ยเทากบ 14.14, คามธยฐานเทากบ 14, ฐานนยมเทากบ ไมม 1.4 คาเฉล�ยเทากบ 13.75, คามธยฐานเทากบ 13.5, ฐานนยมเทากบ ไมม 2. 180.67 3. 15.2 4. 77.33 5. คาเฉล�ยเทากบ 17.41, คามธยฐานเทากบ 16.97, ฐานนยมเทากบ 16.42 6. 171.43 7. 7.1 พสยเทากบ 7, คาเบ�ยงเบนควอรไทลเทากบ 2, สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 2.39, คาความแปรปรวนเทากบ 5.7

180

7.2 พสยเทากบ 6, คาเบ�ยงเบนควอรไทลเทากบ 1.75, สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 1.9, คาความแปรปรวนเทากบ 3.61 8. คาเบ�ยงเบนควอรไทลเทากบ 12.41, สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 15.33, คาความแปรปรวน เทากบ 235.87 9. สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานเทากบ 4.35, คาความแปรปรวนเทากบ 18.92 10. ผลตหลอดไฟ B เพราะมคาสมประสทธของการแปรผนสงกวา มคาเทากบ 0.08 บทท� 3 1. 1.1 0.25 1.2 0.045 2. 0.6 3. 0.25 4. 24 5. 0.4 6. 0.32 7. 0.59 8. 0.49 9. 0.018 10. 0.36 บทท� 4 1. คาฟงกชนทกจานวนเทากบ ��� , คาเฉล�ยเทากบ 26.5, คาความแปรปรวนเทากบ 1,351.5 2. คาฟงกชนทกจานวนเทากบ 0.5, คาเฉล�ยเทากบ 0.5, คาความแปรปรวนเทากบ 0.25 3. คาฟงกชนทกจานวนเทากบ 0.01, คาเฉล�ยเทากบ 9.75, คาความแปรปรวนเทากบ 3.41 4. คาฟงกชนทกจานวนเทากบ 0.001, คาเฉล�ยเทากบ 14, คาความแปรปรวนเทากบ 14 5. คาฟงกชนทกจานวนเทากบ 0.147, คาเฉล�ยเทากบ 1.61, คาความแปรปรวนเทากบ 1.28 6. คาฟงกชนทกจานวนเทากบ 0.22, คาเฉล�ยเทากบ 9, คาความแปรปรวนเทากบ 9 7. รอยละ 97.10 8. 1. 0.01 2. 2.131 9. 1. 0.95 2. 36.781

181

10. 1. 4.39 2. 4.47 บทท� 5 1. 53.54 < < 56.46 2. 3.92 < < 4.48 3. 186.82 < 21 < 213.18 4. -0.96 < 21 < 2.96 5. 3.64 < 21 < 6.36 6. 0.71 < P < 0.81 7. 24 ถง 25 คน 8. 29.64 กโลกรม2 9. 17.02 < 2 < 40.96 10. 2

1 คอ สายการผลตท� 2 2

2 คอ สายการผลตท� 1

0.51 < 22

21

< 8.52

บทท� 6 1. ยอมรบ H0 รายงานน�ไมนาเช�อถอ ท�ระดบนยสาคญ 0.01 2. ยอมรบ H0 โฆษณาเกนความจรง ท�ระดบนยสาคญ 0.05 3. ปฏเสธ H0 คากลาวน�เปนจรง ท�ระดบนยสาคญ 0.05 4. ยอมรบ H0 ป ยย�หอAและย�หอBใหผลผลตไมตางกน ท�ระดบนยสาคญ 0.05 5. ปฏเสธ H0 การสอนแบบใหมทาใหนกศกษามคะแนนสงข�นกวาแบบเดมท�ระดบนยสาคญ 0.05 6. ยอมรบ H0 นกศกษาหมเรยนท�1 มความรพ�นฐานไมมากกวานกเรยนหมเรยนท� 2 ท�ระดบ นยสาคญ 0.05 7. ปฏเสธ H0 ผทดลองกลมท� 1 มปรมาณวตามน A เฉล�ยมากข�นกวากลมท� 2 ท�ระดบ นยสาคญ 0.01 8. ปฏเสธ H0 โฆษณาน�เปนจรง ท�ระดบนยสาคญ 0.05 9. ปฏเสธ H0 คากลาวน�เปนจรง ท�ระดบนยสาคญ 0.01 10. ยอมรบ H0 อตราสวนความแปรปรวนของ 2 กลมน�ไมตางกน ท�ระดบนยสาคญ 0.01

182

ตารางท� 1 ตารางแจกแจงทวนาม

183

ตารางท� 1 ตารางแจกแจงทวนาม(ตอ)

184

ตารางท� 1 ตารางแจกแจงทวนาม(ตอ)

185

ตารางท� 1 ตารางแจกแจงทวนาม(ตอ)

186

ตารางท� 1 ตารางแจกแจงทวนาม(ตอ)

National Bureau of Standards, 1950 อางองใน พนนทร คงคาเพชร. 2554 : 144 -148.

187

ตารางท� 2 การแจกแจงปวซง

188

ตารางท� 2 การแจกแจงปวซง(ตอ)

189

ตารางท� 2 การแจกแจงปวซง(ตอ)

William H. Beyer, 1971 อางองใน พนนทร คงคาเพชร. 2554 : 149 -151.

190

ตารางท� 3 การแจกแจงปรกต

Hald, 1952 อางองใน พนนทร คงคาเพชร. 2554 : 152.

191

ตารางท� 4 การแจกแจงท

R.A.Fisher and F. Yates, 1963, อางองใน พนนทร คงคาเพชร. 2554 : 153.

192

ตารางท� 5 การแจกแจงไคกาลงสอง

193

ตารางท� 5 การแจกแจงไคกาลงสอง(ตอ)

194

ตารางท� 5 การแจกแจงไคกาลงสอง(ตอ)

195

ตารางท� 5 การแจกแจงไคกาลงสอง(ตอ)

M. Merrington and C.M. Thomson, 1943, อางองใน พนนทร คงคาเพชร. 2554 : 154 - 157.

196

ตารางท� 6 การแจกแจงเอฟ

R.A.Fisher and F. Yates, 1963, อางองใน พนนทร คงคาเพชร. 2554 : 158.

197

197

กฎของเบย 89 กราฟเสน 13 กลมตวอยาง 3 การเกบรวบรวมขอมล 5,6 การคณ 71 การแจกแจงความถ� 15 การแจกแจงความถ�สะสม 20 การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสม 93 การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสม ตอเน�อง 93,107 การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสม ไมตอเน�อง 93,98 การแจกแจงไคกาลงลงสอง 110,119 การแจกแจงทวนาม 98,101 การแจกแจงทวนามลบ 102 การแจกแจงท 110,117 การแจกแจงปรกตมาตรฐาน 112 การแจกแจงปรกต 110 การแจกแจงปาสคาล 98,102 การแจกแจงปวซง 98,105 การแจกแจงแบรนลล 98,99 การแจกแจงเรขาคณต 98,100 การแจกแจงเรขาคณตไฮเพอร 98,103 การแจกแจงเอกรป 98 การทดลอง 6 การทดลองสม 69 การทดสอบดานเดยว 148 การทดสอบสองดาน 149 การนาเสนอขอมล 6,8 การนาเสนอขอมลในรปกราฟ และแผนภม 11 การนาเสนอขอมลในรปตาราง 9 การนาเสนอขอมลเปนรปภาพ 14

การนา การนาเสนอขอมลอยางไมเปนแบบแผน 8 การนาเสนอขอมลอยางเปนแบบแผน 9 การบวก 71 การประมาณคา 125 การประมาณคาแบบจด 125 การประมาณคาแบบชวง 125 การแปลความหมาย 6 การเรยงสบเปล�ยน 72 การเลอกตวอยางแบบคนท� 103 การเลอกตวอยางแบบไมคนท� 103 การวเคราะหขอมล 6 การวเคราะหความแปรปรวน 120 การวดการกระจาย 44 การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง 29 การสารวจตวอยาง 6 กาลงการทดสอบ 146 ขอบบนของช �น 18 ขอบลางของช �น 18 ขดจากดบน 17 ขดจากดลาง 17 ขอมล 3 ขอมลจดกลม 4 ขอมลเชงคณภาพ 4 ขอมลเชงปรมาณ 4 ขอมลเชงสถต 1,3 ขอมลดบ 4 ขอมลแบบตอเน�อง 4 ขอมลแบบไมตอเน�อง 4 เขตปฏเสธ 147 เขตวกฤต 147 ความคาดเคล�อน 138 ความถ� 15

ดชน

198

ความถ�สะสม 21 ความนาจะเปน 69 ความนาจะเปนแบบมเง�อนไข 83 ความนาจะเปนรวม 88 ความพอเพยง 126 ความแปรปรวน 44,49 ความแปรปรวนรวม 63 ความคงเสนคงวา 125 ความไมเอนเอยง 125 ความสาเรจ 99 คอมพลเมน 70 คาคาดหมาย 95 คาเฉล�ยเลขคณต 29 คาเฉล�ยเลขคณตแบบถวงน�าหนก 35 คาวกฤต 147 คาสดสวน 135 โคงเบทางบวก 25 โคงเบทางลบ 25 โคงปรกต 25,43 โคงรปหลายยอด 26 จดกลางของช �น 19 จดตวอยาง 69 ชวงความเช�อม �น 125 ฐานนยม 29,41 ตารางแจกแจงความถ� 15 ตารางแจกแจงความถ�แบบจดเรยงขอมล ทละคา 15 ตารางแจกแจงความถ�แบบจดเรยงเปนกลม 16 ตวอยาง 3 ตวแปรสม 93 ตวแปรสมตอเน�อง 93 ตวแปรสมปวซง 105

ตวแปรสมไมตอเน�อง 93 ประชากร 2 ประชากรอนตะ 2 ประชากรไมจากด 2 ประสทธภาพ 125 ปรภมตวอยาง 69 แผนภมแทง 11 แผนภมรปวงกลม 12 พสย 44 มาตรานามบญญต 5 มาตราเรยงลาดบ 5 มาตราอตราสวน 5 มาตราอนตรภาค 5 มธยฐาน 29,38 ยเนยน 70 รอยขด 15 ระดบการวด 5 ระดบความเช�อม �น 125,147 ระดบนยสาคญ 146 รปหลายเหล�ยมแหงความถ� 23 ลมเหลว 99 วธใชความถ�สมพทธ 81 วธแบบด �งเดม 76 สถต 1 สถตเชงพรรณนา 1 สถตไมอางองพารามเตอร 2 สถตองพารามเตอร 2 สถตอนมาน 1 สมมตฐาน 145 สมมตฐานวาง 145 สมมตฐานทางเลอก 145 สวนเบ�ยงเบนควอรไทล 44,45

ดชน

199

สวนเบ�ยงเบนมาตรฐาน 44,49 สมประสทธ �ของการแปรผน 64 สามะโน 6 เหตการณ 69 เหตการณท�เปนอสระตอกน 85 แหลงท�มา 10 แหลงทตยภม 4 แหลงปฐมภม 4 องศาเสร 117 อนเตอรเซคชน 70 อนตรภาคช �น 16 ฮสโทแกรม 22

ดชน

1