cátedra métodos numéricos 03

8/17/2019 cátedra métodos numéricos 03

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CATEDRA 0

3

METODOSNUMERICOS

Ingeniería Civil

ING. CRISTIAN CASTRO P.

Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y CivilDepartamento académico de ingeniería de minas y civil


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apitulo III

Aproximación Numérica y

Errores

ING. CRISTIAN CASTRO P.


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DEFINICIONES

COMPUTACION NUMERICA

Significa “Calcular con Números”


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APROXIMACIÓN NUMÉRICA Y ERRORES


5/82

Aproximación numérica


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Modelo matemático

M

O

O

•Simbólico•Icónico•Analítico/Matemático•Simulación

Representación de la realidad


7/82

Errores


8/82

Errores humanos• Lectura

• Transmisión

• Transcripción

• Programación


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10/82

Errores por truncamiento

Serie de Taylor

Propagación de errores

• Gráficas de proceso


11/82

Aritmética de la computadora


12/82

Números enteros

Números reales


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APROXIMACIÓN NUMÉRICA YERRORES


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Aproximaciones y errores deredondeo

Dos errores más comunes en computación numérica:

Errores de redondeo:

se deben a que la computadora sólo puede presentar

cantidades con un número finito de dígitos

Errores de truncamiento:representan la diferencia entre una formulación

matemática exacta de un problema y la aproximación

dada por un método numérico


15/82

Cifras significativas

• El concepto de cifra significativa se ha desarrollado

para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico

• Las cifras significativas de un número son aquellasque pueden ser usadas en forma confiable

Aproximaciones y errores deredondeo


16/82

Implicaciones de las cifras significativas en los métodos numéricos

1. Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados

• Se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los

resultados

• Una manera de hacerlo es en términos de cifras significativas

2. Ciertas cantidades representan números específicos, , e, √7, pero no

se pueden expresar exactamente con un número finito de dígitos

Ejemplo, = 3.141592653589793238462643… hasta el infinito

• En las computadoras tales números jamás se podrán representar en forma

exacta

• A la omisión del resto de cifras significativas se le conoce como error de

redondeo

Aproximaciones y errores de

redondeo


17/82

Exactitud y precisiónEXACTITUD: se refiere a qué tan cercano está un valor calculado o medido

del valor verdadero

PRECISIÓN: se refiere a qué tan cercano está un valor individual calculado omedido con respecto a otros

INEXACTITUD: o sesgo, se define como un alejamiento sistemático de laverdad

IMPRECISIÓN: o incertidumbre, se refiere a la magnitud del esparcimiento delos valores


18/82

Exactitud y precisiónLos métodos numéricos deber

ser:

• Lo suficientemente exactos

o sin sesgo para que

cumplan con los requisitos

de un problema particular de ingeniería

• Lo suficientemente precisos

para el diseño en ingeniería

Aumenta la exactitud

A u m e n t a l a

p r e c i s i ó n


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Definiciones de error • Los errores numéricos se generan con el uso de

aproximaciones para representar las operaciones y

cantidades matemáticas

• Estos incluyen:

• Errores de redondeo: se producen cuando los números

tienen un limite de cifras significativas que se usan

para representar números exactos

• Errores de truncamiento: que resultan de representar

aproximadamente un procedimiento matemático

exacto


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• Error verdadero

Un defecto de esta definición es que no toma en cuenta el orden de magnitud del va

lor que se esta probando

• Error relativo porcentual

• Error aproximado

• Los signos de las ecuaciones pueden ser positivos o negativos

• No importa el signo, sino que su valor absoluto sea menor que una toleranciaprefijada s

ónaproximaci-aderovalor verdt E

%100aderovalor verd

t t E

%100aproximadovalor

aproximadoErrora

%100actualónAproximaci

anterior ónAproximaci-actualónAproximacia

sa

Definiciones de error


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• Estos errores pueden ser relacionados con el número de

cifras significativas en la aproximación

• Puede tenerse la seguridad de que el resultado es

correcto en al menos n cifras significativas, si

• De esta forma se debe especificar el valor del error esperado

%105.0 2 n s

Definiciones de error


22/82

Representación de punto flotantey errores de redondeo

1. Hay un rango limitado para representar cantidades

• Hay números grandes positivos y negativos que no pueden ser

representados (overflow)

• No pueden representarse números muy pequeños (underflow)

2. Hay sólo un número finito de cantidades que puede ser

representado dentro de un rango

• El grado de precisión es limitado

• Para aquellos que no pueden ser representados exactamente, la

aproximación real se puede lograr: cortando o redondeando

3. El intervalo entre números aumenta tanto como los números

crecen en magnitud

• El error cuantificable más grande ocurrirá para aquellos valores que

caigan justo debajo del limite superior de la primera serie de

intervalos igualmente espaciados


23/82

• IEEE Standard for double precision numbers

• Round-off: eps = 2-52

• Underflow: realmin = 2-1022

• Overflow: realmax = (2-eps) ·21023

Floating point numbers

in Matlab

s e f 1 2 12 13 64


24/82

Error Absoluto

Error Relativo

Corrección

x xa ~

0~

x

x

x xr

a

x x ~

TEORÍA DE ERRORES


25/82


26/82

Definiciones• Número de cifras decimales:

cantidad de cifras luego del punto o coma decimal

• Número de dígitos:

cantidad de cifras a la derecha del primer númerodistinto de cero

• Ejemplo

0.00147 (3 dígitos – 5 decimales)

• Notación de punto flotante

11.010 m Z qma q

210147.0


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Ejemplo• ERROR absoluto Nro de decimales correctos

• ERROR relativo Nro de cifras significativas correctas

45 105.0106.0

001240.0,001228.0

000006.0001234.0

a

x

x

23 105.01086.4001234.0

000006.0 r

4D

2S


28/82

Redondeo• Si la cifra en primer lugar a descartar es menor

que 5, dejar la última cifra como está.

• Si la cifra en primer lugar a descartar es mayorque 5,sumarle 1 a la última cifra.

• Si la cifra en primer lugar a descartar es igual a5, es indistinto

)0008.0(415.14142.1

)0002.0(414.14142.1


29/82

Cómo se almacenan los números reales en las

computadoras?Números binarios

iafraccionar parte

2

2

1

1

entera parte

0

1

1

1

1

2...22

2...22

k

k

n

n

n

n

bbb

bbbb X

Ejemplo

binariacionrepresenta2

binariaexpansión

2112

01.101

212012021

4

1525.5


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Problemas numéricos?

Overflow / Underflow:• Comunicación: sistema decimal• Almacenamiento: sistema binario

• Set de números: set infinito• Rangos limitados: Los dispositivos digitales usan

una cadena de bits (palabra)para almacenar un número

Se guarda un bit para el signo de la mantisa, y otropara el signo del exponente


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Aritmética de punto flotante

Palabra de longitud finita

Exponente: overflow/underflowFracción: errores de redondeo

El conjunto de números reales es infinito. Entonces,

No es posible representar TODOS los números con unasola palabra.

11

0.0 1321 f x x x x f f x e

• Overflow:• mensaje de error (infinito)• Si la corrida continúa, se propaga el error

• Underflow:• El numero tiende a cero• La corrida continúa


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Limitaciones típicas

Precisión Tamaño

de

palabra

Número de

cifras signifi-

cativas

Rango del

exponente

Simple 32 bits 7 10-38- 1038

Doble 64 bits 15 10-307- 10307

Quad 128 bits


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Epsilon machine

• Es característico de la aritmética de cada máquinaen cuestión

• Depende del tamaño de palabra, la base, tipo deredondeo

• Valores típicos:

Precisión Computadora Calculadora

Simple 10-8 10-10

Doble 10-16 10-12


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35/82


36/82

Análisis de error en punto flotante

1

1

1 1

6.10(3.52 0.116) /1.01

Cálculo exacto

y 6.10(3.636)/1.01 22.1796/1.01 21.96

0.352 10

0.0116 10

------------------

0.3636 10 0.364 10

y

1

1

2 2

21 2

1

6.10(3.52 0.116) /1.01

Cálculo exacto

y 6.10(3.636)/1.01 22.1796/1.01 21.96

0.364 10

0.61 10

------------------

0.22204 10 0.222 10

0.222 102.198 10 0.220 10 ( )

0.101 10

y

X

l y

ERRORES EN LAS MEDIDAS FÍSICAS


37/82

ERRORES EN LAS MEDIDAS FÍSICAS

Clasificación:• Errores sistemáticos defectos intrínsecos

• Errores accidentales causas fortuitas, tratamientoestadístico

Valor verdadero

Valor verdadero

Las distintas medidas de una magnitud afectadas sólo por errores

accidentales se distribuyen en torno al “valor verdadero” de unaforma estadísticamente predecible.

Cuando los errores en las medidas son accidentales, la mejoraproximación al valor verdadero es la media aritmética de los

valores obtenidos.


38/82


39/82

DISTRIBUCIÓN GAUSSIANA

2

2

2exp

2

1

x x y

68.27%

2 95.45%

3 99.73%

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

-5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

-5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0

x x N

ii

12)(


40/82

DISTRIBUCIÓN GAUSSIANA

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.50.6

0.7

0.8

-4.0 -2.0 0.0 2.0 4.0x

= 0.5

= 1.068.27%

Si la distribución es gaussiana, la mejor estimación delvalor verdadero es la media aritmética

CUALIDADES DE LOS APARATOS DE


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CUALIDADES DE LOS APARATOS DEMEDIDA

RESOLUCIÓN: Es la mínima división de la escala delaparato

SENSIBILIDAD: Es el número de divisiones de la escalaque recorre el indicador del aparato cuando la

magnitud a medir varía en una unidad.

Ejemplos: 1 mm en una regla milimetrada;0.01 A en cierto amperímetro

Ejemplos.: 1 mm –1 en la regla milimetrada.100 A –1 en el amperímetro.

Umbral de sensibilidad:variación mínima de la magnitud que no es apreciada por elaparato (evidentemente es menor que la resolución)



42/82


MEDIDAFIDELIDAD: Es la cualidad del aparato de dar elmismo resultado siempre que se mide la misma

magnitud física en las mismas condicionesexperimentales y distintas condicionesambientales del aparato (temperatura, tensión dealimentación, ...).

PRECISIÓN: Es la característica que nos indicaglobalmente el error debido al umbral desensibilidad y la falta de fidelidad del aparato.

Se expresa ordinariamente como un tanto por ciento delfondo de escala (F.E.). Por ejemplo: un amperímetro deprecisión 2% del F.E.

Ó


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PRECISIÓN: es la característica que máscompletamente indica el error de la medidadebido intrínsicamente al aparato, es decir, que nopuede rebajarse salvo que midamos con unaparato más preciso

Hay otros errores que afectan circunstancialmente a un aparato,pero que pueden corregirse mediante calibrado, es decir,

ajustándolos para que den medidas correctas o corrigiendo susescalas tras una confrontación con un patrón o un aparato máspreciso. Debido a esta circunstancia, es necesario definir otracualidad.

EXACTITUD: Es la cualidad de un aparato queindica que es preciso y está bien calibrado. Sóloun aparato exacto permite medidas exactas,pero la exactitud está siempre limitada por la

precisión del aparato.

PRECISIÓN y EXACTITUD


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CIFRAS SIGNIFICATIVAS

• El número de cifras significativas deuna medida es el número de dígitosfiables que dicha medida contiene.

s c

x t 3333333333.3

103

105

6

?

mV

• Los ceros a la izquierda no son significativosindican la colocación del punto decimal; así,0.000345 tiene TRES cifras significativas.

• Los ceros a la derecha y después del punto

decimal si son significativos; como ejemplo,3.4120 tiene CINCO cifras significativas.

• En números enteros terminados en ceros,éstos pueden ser significativos o no; debedistinguirse si sólo sirven para localizar elpunto decimal o son parte de la medida.

El resultado de un cálculo no puede ser más exacto que la

cantidad menos exacta que interviene en el mismo.


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Glosario• Exactitud (accuracy): error absoluto o relativo

de una determinada cantidad.

• Precisión: es la exactitud con que se realizan lasoperaciones aritméticas básicas (medida por elepsilon machine)

• Si se efectúa una única operación =>precisión=exactitud

• Si se efectúan muchas operaciones =>precisión>>>> exactitud del resultado final

b x A

*

bilid d


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Estabilidad• Algoritmo: método computacional bien definido para resolver

una dada clase de problemas.

• Condicionamiento: mide con cuánta exactitud es posible

resolver un problema empleando una dada precisión enpunto flotante, independientemente del algoritmo que seemplea.

• Estabilidad: mide cuan bien un algoritmo resuelve unproblema tratando de lograr la máxima exactitud asequible,la cual está definida por el condicionamiento del problema.

• Los algoritmos que brindan respuestas innecesariamenteinexactos se denominan inestables.

• Un proceso numérico es inestable si errores pequeños quesurgen en una etapa del proceso se magnifican en etapaposteriores, degradando la exactitud del resultado final


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ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS


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ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS

• Error absoluto:

sensibilidad

• Error relativo:

precisión

Determinación del error absoluto:comparamos el error debido a la sensibilidadcon el error cuadrático medio. Se toma la mayor

de ambas cantidades. Se expresa con una solacifra significativa, salvo si esta es 1, en cuyocaso se admiten dos cifras significativas.

x

Determinación del error relativo:cociente entre el error absoluto y el valor aceptado.Se expresa en tanto por uno o tanto por ciento.


49/82


50/82


51/82

ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS


52/82


Valor máximo del error en medidas indirectasSi supusiéramos que de todas las variables que intervienen en la magnitudx sólo una de ellas, x i, influye en el error x por haber sido todas las demásmedidas sin error alguno, la ley de propagación del error nos daría:

i

i

i

i

x x x x

x x x

2

Pero realmente no hay ninguna variable que sea medida sin error, por loque podemos considerar que el error máximo en la medida indirecta será lasuma de una serie de términos de error individual de la forma expresada en

la ecuación anterior:

N N

x x

x x

x

x x

x

x x

...2

21

1

Salvo que se indique expresamente lo contrario, debe preferirse expresar los

resultados de las medidas acompañados de su error máximo, dado por laecuación inmediata anterior en lugar del error medio dado por la fórmula deGauss.

El anterior ejemplo de la energía cinética, si se usa el error máximo, da como resultado

(compruébese)

J5.17.21 c E



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• La función consta exclusivamente de productos y/o cocientes

n

N

ba x x x x ...21

Derivadasparciales 11 x

xa

x

x

22 x

xb

x

x

N N x

xn

x

x

Error máximo (expresado como error relativo, es decir, comocociente entre el error y la magnitud)

N

N

x

xn

x

xb

x

xa

x

x

...

2

2

1

1


Caso particular que se presenta con frecuencia:

Ejemplo: error cometido en el cálculo de una fuerza centrípeta

R

v M F

2

R R

v

v

M

M

F

F

2



54/82

Cálculo del error en la media empleando la ley de propagación de Gauss

Consideramos x 1, x 2,... x N (las N medidas realizadas deuna magnitud, cada una afectada de un errorindividual x 1, x 2,...x N), como medidas directas apartir de las cuales se obtendrá la media como

medida indirecta, siendo la relación funcional entreellas

N

ii x

N x

1

1

Valor medio del error:

22

2

2

1 Δ1

Δ1

Δ1

Δ

N x

N ... x

N x

N x 222

21 ΔΔΔ

1 N x... x x

N

N

x

N

x... x x

N

RMS N ΔΔΔΔ122

22

1

Valor máximo del error:

N N

x x

x x

x

x x

x

x x

...2

21

1

N x x x N

...1

21

N

x

x

x i

i

Obsérvese que

22

22

2

11 ...

N N x x

x

x x

x

x x

x

x

EJEMPLO 1: Medida de una longitud


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EJEMPLO 1: Medida de una longitud

Sensibilidad:

Error cuadrático medio:

10

1.0 mm101622777.3 2L

mm107610149.4 2L

mm)05.064.635( LL

Media aritmética:

mm6400.635L

L (mm)635.7 635.9

635.8 635.5635.5 635.4

635.6 635.7

635.6 635.7

Valor aceptado:


56/82

Ejemplo 2. Valor promedio del error


57/82

• Determinación de la focal de unalente por el método de Bessel.

L

d Lf

4

'22

d

Imagen

Posición1

Posición2

L

Objeto

Ejemplo 2 (cont.)


58/82

22

2

222

2441'''

d

Ld L

Ld d

d f L

Lf f

L

d Lf 4

'22

L (cm) d (cm) f’ (cm) f’ (cm)

100 79.0 9.40 0.11

90.0 68.9 9.31 0.11

80.0 58.7 9.23 0.11

70.0 47.7 9.37 0.10

60.0 36.8 9.36 0.0955.0 31.1 9.35 0.08

50.0 25.1 9.35 0.08

45.0 18.2 9.41 0.07

VALOR MÁXIMO ERROR (INDIRECTAS)


59/82

• Si supusiéramos que cada variable x i es laúnica que influye en el error

i i

i i

x x x x

x x x

2

El error máximo en la medida indirecta será lasuma de los términos de error individual

N N Máximo x x

x

x x

x

x x

x

x

...

2211

CASO PARTICULAR 1: productos


60/82

p

• La función consta exclusivamente de productos y/o cocientes

n N

b a x x x x ...21

Derivadas parciales

11 x

x

a x

x

22 x

x

b x

x

N N x

x

n x

x

Error máximo (expresado como error relativo)

N

N

x

x n

x

x b

x

x a

x

x

...

2

2

1

1

CASO PARTICULAR 1: productos


61/82

• Fórmula de los logaritmos neperianos

N

x Ln n x Ln b x Ln a x Ln ...21

N

N

x

dx n

x

dx b

x

dx a

x

dx ...

2

2

1

1

N

N

x

x n

x

x b

x

x a

x

x

...

2

2

1

1

CASO PARTICULAR 2: error en la media


62/82

• Cálculo del error en la media empleando la leyde propagación de Gauss.

Consideramos x 1, x 2,... x N (las N medidas realizadas deuna magnitud, cada una afectada con error individualx

1

, x 2

,...x N

), como medidas directas a partir de lascuales se obtendrá la media como medida indirecta,siendo la relación funcional entre ellas

N

i i x

N x

1

1



63/82


• Propagación de Gauss: valor medio del error

22

2

2

1

1...

11N x N x N x N x

22

2

2

1...

1

N x x x N

N

x

N

x x x

N

RMS N

22

22

1 ...1

x RMS Root Mean Square



64/82


• Propagación de Gauss: valor máximo del error

N N x

x x x

x x x

x x x ...2

21

1máx

N x x x N

...1 21

Error máximo: igual al promedio de los errores

Propagación de errores: SumasEn la suma las cotas para el error absoluto están dadas por la


65/82

En la suma, las cotas para el error absoluto están dadas por la

suma de las cotas para los errores absolutos de los operandos.1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x x x x

x x x x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x

Propagación de errores: RestasEn la resta, las cotas para el error absoluto están dadas por lasuma de las cotas para los errores absolutos de los operandos.

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x x x x

x x x x x

x x x

x x x x x x

x x x x

Propagación de errores: Productos y Cocientes


66/82

En la multiplicación y la división, las cotas para loserrores relativos están dadas por la suma de las cotaspara los errores relativos en los operandos.

2121

1r

1r :siledespreciab

2121

212121

1

2121221121

2

1

1)1)(1(1

)1)(1()1()1(~~~

)1(~

~

r r r r r

r r r r r

r r r r r r r

r r x xr xr x x x p

r x xr x x x

x xr

p

p

p

r p p

Cocientes

2121

21

2

2

21

2

21

2

1

1

2

1

2

1

2

1

1 si 1

)1(

111

)1(

)1(

)1(

)1(~

~~

r r r r r

r r r

r r

r r r

r

r r

r

r r

r

r

x

x

x

xc

c

c

c

c

r c c

La propiedad asociativa NO se cumple para la adiciónen punto flotante


67/82

en punto flotante

3S):(exactitud 100000123.0))((

1000000000123.0

1000004711325.0-

1045674711448.0

1045674711448.0

1000004711325.0

1045670000123.0

101234567.0))((0

))(())((

104711325.0101234567.0

7S:Precisión

4

4

4

4

4

)(

4

4

0

40

cba fl fl

acb fl a fl cb

cba fl fl cb fl a fl

bcba

ba fl

Resolución de ecuaciones cuadráticasacbb 2 4


68/82

ac x x

a

b x

x x

acb

x x

bacb

a

acbb x

21

21

211,2

5

5

5

22

2

2

2,1

x

S)4demás(conservar 0.09092 :verdaderaraíz

0110

2

110110x

numerador elennCancelació

10961209.0

10040000.0 -

10001210.0

120964121001.1.4)110(4

01110

4

:ntediscriminaelenError2

4

Ejemplo de inestabilidad numérica


69/82

31

1 10 x x xi

11 3

4

3

13

k k k

x x x

k

k x

3

1

Resultado exacto:

Generar la sucesión:

~

~ nnn x x


70/82

11

111

~

3

4~

3

13~

~

nnn

nnn

x x x

x x

111

11

111

111

3

4

3

13~3

4

3

13

3

4

3

13

3

4

3

13~

34

313~

nnnn

nnn

nnnnn

nnnnn

x x

x x x

x x x

x x x

Fórmula general para propagación del error


71/82

h

x x x f x f x f

x f x x x f x x x f x f

~)~()~()(

...)~()~(21)~()~()~()(

iónamplificacevaluaciónlaenerror

2

Fórmula general para propagación del error


72/82

x x x f x f x f

x f x x x f x x x f x f

~)~()~()(

...)~()~(21)~()~()~()( 2

i

x

n

i i

i x

n

i i

iii

T

n

x x y y

x x

y y

x x x x x x x

)~(1

)~(1

)0(

21~]~~~[~

Condicionamiento de un problema• Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los

datos provocan grandes cambios en los resultados

( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x f x f x x x

f x f x x

( )

( )

f x x K

f x

Errores en la evaluación de funciones


73/82

K

xarcsen

x

xarcsen x

x

x f

x f x K

xarcsen x f

2

1

1)(

)(

)(

2

Condicionamiento

raíz?nuevalaestádónde

:sPerturbemo

.desimpleraízes

devecindadlaenfuncionesdosySean

g f F

f r

r g f

MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS


74/82

X

Y



75/82

0

m0

b

N

ii

N

ii y xbaN

11

N

iii mxb yS 1

2

)(

CRITERIO: Minimizar S

Ajuste lineal

N

iii

N

ii

N

ii y x xb xa

11

2

1

),( ii y x

ii mxb y

mxb y

X

Y

Sistema de ecuaciones a resolver


76/82


Ejemplo: ajuste lineal de datos x y


77/82

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 200 400 600 800 1000 1200

X

Y

Ejemplo: ajuste lineal de datos x, y

x x y y

134 10 5 2

178 10 6 2

317 10 12 2

440 10 16 2

523 10 19 2

589 10 21 2

694 10 25 2

759 10 28 2

934 10 34 2

1115 10 41 2

5683 100 207 20

xy x^2 y^2

670,0 17956,0 25,0

1068,0 31684,0 36,0

3804,0 100489,0 144,0

7040,0 193600,0 256,0

9937,0 273529,0 361,0

12369,0 346921,0 441,0

17350,0 481636,0 625,0

21252,0 576081,0 784,0

31756,0 872356,0 1156,0

45715,0 1243225,0 1681,0

150961 4137477 5509

r = 0,99961

* Ordenada en el origen

* Pendiente

* Barras de error

mxb y

22 x N x

xy y xm

22

2

x N x

x y xy xb

222

x x N

N m

22

22

x x N xb

2222 11 y N

y x N

x

N

y x xy

r

m = 0,037

m = 0,002

b = -0,2

b = 1,4

Hay que incluir lasunidades

correspondientes en cadacaso!

N x N

y y

222 x y m

MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOSEjemplo 2: ajuste de datos x, 1/y (linealización) )/1(


78/82

0,0E+00

5,0E-04

1,0E-03

1,5E-03

2,0E-03

2,5E-03

3,0E-03

3,5E-03

4,0E-03

0 20 40 60 80

x

1 / y

Ejemplo 2: ajuste de datos x, 1/y (linealización)mxb

y1 2

)/1()/1(

y

y y

y

y y

x x y y

25 2 790 10

30 2 660 10

35 2 580 10

40 2 505 10

45 2 450 10

50 2 390 5

55 2 360 5

60 2 335 5

65 2 305 5

70 2 280 5

475 20 2,39E-02 3,91E-04 1 ,2399 24625 6,24E-05

r = 0,99915

* Ordenada en el origen

* Pendiente

* Barras de error

22 x N x

y N ym

22

2

x x N

N m

22

2

x N x

x y xy xb

22

22

x x N

xb

2222 11 y

N

y x

N

x

N

y x xy

r

m = 0,000051

m = 0,000002b = -0,00004

b = 0,00012

Hay que incluir las unidadescorrespondientes en cada

caso!

x(1/y) x^2 (1/y)^2

0,0316 625 1,60E-06

0,0455 900 2,30E-06

0,0603 1225 2,97E-06

0,0792 1600 3,92E-06

0,1000 2025 4,94E-06

0,1282 2500 6,57E-06

0,1528 3025 7,72E-06

0,1791 3600 8,91E-06

0,2131 4225 1,07E-05

0,2500 4900 1,28E-05

1/y

1,27E-03

1,52E-03

1,72E-03

1,98E-03

2,22E-03

2,56E-03

2,78E-03

2,99E-03

3,28E-03

3,57E-03

(1/y)

1,60E-05

2,30E-05

2,97E-05

3,92E-05

4,94E-05

3,29E-05

3,86E-05

4,46E-05

5,37E-05

6,38E-05

N

x x

N

y y

222

x y m

ProblemaSe quiere medir la resistencia eléctrica de un conductor metálico, para lo cual se llevan a cabo medidas dediferencia de potencial entre sus extremos (voltaje V , unidad SI voltio) en función de la corriente quecircula por él (intensidad I, unidad SI amperio). Se espera que el conductor metálico obedezca la ley de


79/82

circula por él (intensidad I , unidad SI amperio). Se espera que el conductor metálico obedezca la ley de

Ohm: V = IR , donde R es la resistencia eléctrica, que debe expresarse en ohmios (1 = 1 V/1 A). En latabla se presentan las medidas, con los voltajes medidos en mV y las intensidades en mA. Se acompañanlos errores correspondientes en las mismas unidades. Determine la resistencia eléctrica del conductor.

Para resolver el problema haremos un ajuste de mínimos cuadrados representado la intensidad decorriente en abscisas y el voltaje en ordenadas. Según la ley de Ohm, la pendiente de la recta obtenida hade ser igual a la resistencia eléctrica del conductor.

I (mA) I V (mV) V

x x y y

134 10 5 2

178 10 6 2

317 10 12 2

440 10 16 2523 10 19 2

589 10 21 2

xy x^2 y^2

670 17956 25

1068 31684 36

3804 100489 144

7040 193600 2569937 273529 361

12369 346921 441

2181 60 79 12 34888 964179 1263

m = 0,036 b = 0,1 mV

m = 0,005 b = 2,0 mV

0

5

10

15

20

25

0 100 200 300 400 500 600 700

I (mA)

V (

m V )

r = 0,99865

22 x N x

xy N y xm

22

2

x x N

N m

22

2

x N x

x y xy xb

22

22

x x N

xb

N

x x

N

y y

222 x y m

2222 11 y

N y x

N x

N

y x xy

r

Se ha usado un sistema que puede considerarse un péndulo simple con objeto de medir la aceleración de lagravedad. El procedimiento empleado consiste en medir el periodo de oscilación T para varias longitudesdiferentes L , y usar la relación entre el periodo, la longitud del péndulo y la aceleración de la gravedad:

Problema


80/82

Utilice el método de mínimos cuadrados, transformando convenientemente la ecuación anterior, para obtenerla aceleración de la gravedad de acuerdo con los datos presentados en la tabla. Las longitudes están medidascon 1 cm y los periodos con 0.02 s.

224

T g L

g

LT 2

La transformación necesaria para resolver el problema es linealizar la ecuación del periodo del péndulo:

Realizando un ajuste de L frente a T 2

obtendremos una recta cuya pendiente es g /42

, de la cual obtendremosun valor para g .Los errores cometidos en L son conocidos directamente; para determinar los errores en T 2 aplicamos la

propagación de errores:

T T T T

T T

2

22

T (s) T L (m) L

1,97 0,02 0,85 0,01

2,14 0,02 1,20 0,01

2,39 0,02 1,46 0,01

2,70 0,02 1,78 0,01

2,91 0,02 2,05 0,01

T 2(s) (T 2 ) L (m) L

x x y y

3,88 0,08 0,85 0,01

4,58 0,09 1,20 0,01

5,71 0,10 1,46 0,01

7,29 0,11 1,78 0,01

8,47 0,12 2,05 0,01

xy x^2 y^2

3,30 15,1 0,72

5,47 21,0 1,43

8,34 32,6 2,13

12,94 53,1 3,15

17,36 71,7 4,20

29,93 0,48 7,33 0,05 47,4 193,5 11,6

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0 2 4 6 8 10

T^2 ( s^2)

L ( m )

22 x N x

xy y xm

22

2

x x N

N m

N

x x

N

y y

222 x y m

2222 11

y N y x N x

N

y x xy

r

22

2

x N x

x y xy xb

22

22

x x N

xb

m = 0,246 m/s2

m = 0,007 m/s2

b =

-

0,008 m

b = 0,042 m

g = 9,7 m/s2

g = 0,3 m/s2

r = 0,98877

En un experimento sobre gases se toman los datos de presión P y volumen V registrados en la tabla T1.10 yque corresponden a una muestra n = (0.1000.001) moles de gas. Los errores en P y V están en las mismasunidades que las magnitudes respectivas. Suponiendo que la muestra cumple la ley de los gases ideales,

Problema


81/82

-5,0E+04

0,0E+00

5,0E+04

1,0E+05

1,5E+05

2,0E+05

2,5E+05

3,0E+05

0 200 400 600 800 1000 1200

1/V (1/m3)

P ( P a )

realice un ajuste de mínimos cuadrados para determinar la temperatura absoluta T del gas.nRT PV Ley de los gases ideales: Constante universal de los gases R = 8,314 J/K.mol

P (Pa) P V (m3) V

2,5E+05 5,0E+03 1,0E-03 5,0E-05

1,7E+05 5,0E+03 1,5E-03 5,0E-05

1,3E+05 5,0E+03 1,8E-03 5,0E-05

9,5E+04 1,0E+03 2,4E-03 5,0E-05

8,0E+04 1,0E+03 3,1E-03 5,0E-05

7,4E+04 1,0E+03 3,4E-03 5,0E-05

V

nRT P A partir de la ecuación de los gases ideales vemos que

Por tanto, si representamos P en ordenadas frente a 1/V en abscisas,la pendiente de la recta resultante será proporcional a la temperatura

absoluta m = nRT

Error en 1/V 2)/1(

)/1(V

V V

V

V V

1/V (m-3) (1/V ) P (Pa) P

x x y y

1,0E+03 5,0E+01 2,5E+05 5,0E+03

6,7E+02 2,2E+01 1,7E+05 5,0E+03

5,6E+02 1,5E+01 1,3E+05 5,0E+03

4,2E+02 8,7E+00 9,5E+04 1,0E+03

3,2E+02 5,2E+00 8,0E+04 1,0E+032,9E+02 4,3E+00 7,4E+04 1,0E+03

xy x^2 y^2

2,5E+08 1,0E+06 6,3E+10

1,1E+08 4,4E+05 2,9E+10

7,2E+07 3,1E+05 1,7E+10

4,0E+07 1,7E+05 9,0E+09

2,6E+07 1,0E+05 6,4E+092,2E+07 8,7E+04 5,5E+09

3,3E+03 1,1E+02 8,0E+05 1,8E+04 5,2E+08 2,1E+06 1,3E+11

m = 254 J

m = 9 J

b = -4,8E+03 Pa

b = 5,4E+03 Pa

r = 0,99711

22 x N x

xy N y xm

22

2

x x N

N m

22

2

x N x

x y xy xb

22

22

x x N

xb

N

x x

N

y y

222

x y m

2222 11 y

N y x

N x

N

y x xy

r

nR

mT

2

1

m

n

n

m

RT

T = 306 K

T = 11 K


82/82

Muchas Gracias

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cátedra métodos numéricos 03