CHƯƠNG 0 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC - Chuyên Đề Ôn Thi · PDF fileĐại số 11 Trần Sĩ Tùng Trang 2 5. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc

Trần Sĩ Tùng Đại số 11

Trang 1

I. HỆ THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác:

OPOQATBT

cossintan

' cot

αααα

====

Nhận xét: • , 1 cos 1; 1 sin 1α α α∀ − ≤ ≤ − ≤ ≤

• tanα xác định khi k k Z,2π

α π≠ + ∈

• cotα xác định khi k k Z,α π≠ ∈ 2. Dấu của các giá trị lượng giác:

Cung phần tư Giá trị lượng giác

I II II IV

sinα + + – – cosα + – – + tanα + – + – cotα + – + –

3. Hệ thức cơ bản:

sin2α + cos2α = 1; tanα.cotα = 1 2 2

2 21 11 tan ; 1 cot

cos sinα α

α α+ = + =

4. Cung liên kết:

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau

cos( ) cosα α− = sin( ) sinπ α α− = sin cos2π

α α

− =

sin( ) sinα α− = − cos( ) cosπ α α− = − cos sin2π

α α

− =

tan( ) tanα α− = − tan( ) tanπ α α− = − tan cot2π

α α

− =

cot( ) cotα α− = − cot( ) cotπ α α− = − cot tan2π

α α

− =

CHƯƠNG 0 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

cosin O

cotang

si

n

tang

p A

M Q B T'

α

T

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng

Trang 2

5. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt

II. CÔNG THỨC CỘNG Công thức cộng:

Cung hơn kém π Cung hơn kém 2π

sin( ) sinπ α α+ = − sin cos2π

α α

+ =

cos( ) cosπ α α+ = − cos sin2π

α α

+ = −

tan( ) tanπ α α+ = tan cot2π

α α

+ = −

cot( ) cotπ α α+ = cot tan2π

α α

+ = −

0 6π

4π

3π

2π 2

3π 3

4π π 3

2π 2π

00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600

sin 0 12

2

2

32

1 32

2

2 0 –1 0

cos 1 32

2

2

12

0 12

− 2

2− –1 0 1

tan 0 33

1 3 3− –1 0 0

cot 3 1 33

0 33

− –1 0

sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = + sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a− = − cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = − cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b− = +

tan tantan( )1 tan .tan

a ba b

a b+

+ =−

tan tantan( )1 tan .tan

a ba b

a b−

− =+

Hệ quả: 1 tan 1 tantan , tan4 1 tan 4 1 tanπ α π α

α αα α

+ −+ = − = − +


Trang 3

III. CÔNG THỨC NHÂN 1. Công thức nhân đôi: sin 2 2sin .cosα α α= 2 2 2 2cos2 cos sin 2 cos 1 1 2sinα α α α α= − = − = −

2

22 tan cot 1tan 2 ; cot 2

2 cot1 tan

α αα α

αα

−= =

−

2. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan2α :

Đặt: t ktan ( 2 )2α

α π π= ≠ + thì: t

t22sin

1α =

+; t

t

2

21cos1

α−

=+

; t

t22tan

1α =

−

IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI

1. Công thức biến đổi tổng thành tích:

2. Công thức biến đổi tích thành tổng:

1cos .cos cos( ) cos( )21sin .sin cos( ) cos( )21sin .cos sin( ) sin( )2

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

= − + +

= − − +

= − + +

cos cos 2 cos .cos2 2

a b a ba b

+ −+ =

cos cos 2sin .sin2 2

a b a ba b

+ −− = −

sin sin 2sin .cos2 2

a b a ba b

+ −+ =

sin sin 2 cos .sin2 2

a b a ba b

+ −− =

sin( )tan tancos .cos

a ba b

a b+

+ =

sin( )tan tancos .cos

a ba b

a b−

− =

sin( )cot cotsin .sin

a ba b

a b+

+ =

b aa b

a bsin( )cot cotsin .sin

−− =

sin cos 2.sin 2.cos4 4π π

α α α α

+ = + = −

sin cos 2 sin 2 cos4 4π π

α α α α

− = − = − +

Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*) 2

2

2

1 cos2sin2

1 cos2cos2

1 cos2tan1 cos2

αα

αα

αα

α

−=

+=

−=

+

3

3

3

2

sin 3 3sin 4sincos3 4 cos 3cos

3tan tantan 31 3 tan

α α αα α α

α ααα

= −= −

−=

−


Trang 4

Vấn đề 1: TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ

siny x= : Tập xác định D = R; tập giá trị 1, 1T = − ; hàm lẻ, chu kỳ 0 2T = π .

* y = sin(ax + b) có chu kỳ 02

Ta

=π

* y = sin(f(x)) xác định ( )f x⇔ xác định.

cosy x= : Tập xác định D = R; Tập giá trị 1, 1T = − ; hàm chẵn, chu kỳ 0 2T = π .

* y = cos(ax + b) có chu kỳ 02

Ta

=π

* y = cos(f(x)) xác định ( )f x⇔ xác định.

tany x= : Tập xác định \ ,2

D R k k Z

= + ∈

ππ ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ 0T = π .

* y = tan(ax + b) có chu kỳ 0Ta

=π

* y = tan(f(x)) xác định ( )f x⇔ ( )2

k k Z≠ + ∈π

π

coty x= : Tập xác định { }\ ,D R k k Z= ∈π ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ 0T = π .

* y = cot(ax + b) có chu kỳ 0Ta

=π

* y = cot(f(x)) xác định ( ) ( )f x k k Z⇔ ≠ ∈π .

* y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2

Thì hàm số 1 2( ) ( )y f x f x= ± có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2.

CHÖÔNG I HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC – PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC

I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC


Trang 5

Baøi 1. Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau:

a) 2sin1

xy

x

= − b) siny x= c) 2 siny x= −

d) 21 cosy x= − e) 1sin 1

yx

=+

f) tan6

y x

= −

π

g) cot3

y x

= +

π h) sincos( )

xy

x=

−π i) y = 1

tan 1x −

Baøi 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y = 2sin 14

x

+ +

π b) 2 cos 1 3y x= + − c) siny x=

d) 24sin 4sin 3y x x= − + e) 2cos 2sin 2y x x= + + f) 4 2sin 2 cos 1y x x= − +

g) y = sinx + cosx h) y = 3 sin 2 cos2x x− i) y = sin 3 cos 3x x+ + Baøi 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số: a) y = sin2x b) y = 2sinx + 3 c) y = sinx + cosx d) y = tanx + cotx e) y = sin4x f) y = sinx.cosx

g) y = sin tansin cot

x xx x

−+

h) y = 3

3cos 1

sin

x

x

+ i) y = tan x

Baøi 4. Tìm chu kỳ của hàm số:

a) sin 2y x= b) cos3x

y = c) 2siny x=

d) sin 2 cos2x

y x= + e) tan cot 3y x x= + f) 3 2cos sin5 7x x

y = −

g) 2sin . cos3y x x= h) 2cos 4y x= i) y = tan(−3x + 1)

HD: a) π b) 6π c) π d) 4π e) π f) 70π g) π h) 4π i)

3π

Vấn đề 2: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1) Vẽ đồ thị hàm số lượng giác: – Tìm tập xác định D. – Tìm chu kỳ T0 của hàm số. – Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần). – Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T0 có thể chọn:

00,x T ∈ hoặc 0 0,2 2T T

x

∈ −

.

– Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ. – Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh tiến theo vectơ v k T i0. .=

rr về bên trái và

phải song song với trục hoành Ox (với ir

là véc tơ đơn vị trên trục Ox).


Trang 6

2) Một số phép biến đổi đồ thị: a) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách tịnh tiến đồ thị y =

f(x) lên trên trục hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục hoành a đơn vị nếu a < 0.

b) Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục hoành.

c) Đồ thị f x neáu f xy f xf x neáu f x( ), ( ) 0( )

( ), ( ) 0 ≥= = − <

được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ

nguyên phần đồ thị y = f(x) ở phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm ở phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = sinx. – Tập xác định: D = R.

– Tập giá trị: 1, 1 . −

– Chu kỳ: T = 2 .

– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 π

– Tịnh tiến theo véctơ 2 .v k i=r r

π ta được đồ thị y = sinx. Nhận xét: – Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

– Hàm số đồng biến trên khoảng 0,2

π và nghịch biến trên , .2

ππ

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cosx. – Tập xác định: D = R.

– Tập giá trị: 1, 1 . −

– Chu kỳ: T = 2 .

– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 : π

– Tịnh tiến theo véctơ 2 .v k i=r r

π ta được đồ thị y = cosx. Nhận xét: – Đồ thị là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.

1

32π

−−π

2π

− 0 2π 3

2π π 2π 5

2π

y = sinx

–1

y

x

1

32π

−−π

2π

− 0 2π 3

2π π 2π 5

2π

y = cosx

–1

y

x

x 0 2π π 3

2π 2π

y

1 0

–1

0 0

x 0 2π π 3

2π 2π

y

0

–1

0

1 1


Trang 7

– Hàm số nghịch biến trên khoảng 0,

2

π và nghịch biến trên khoảng 3, .2

ππ

Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = tanx.

– Tập xác định: D = R \ ,2

k k Z

+ ∈

ππ

– Tập giá trị: R. – Giới hạn:

2

limx

y→±

= ∞π

:2

x⇒ = ±π là tiệm cận đứng.

– Chu kỳ: T = .

– Bảng biến thiên trên ,2 2

−

π π :

– Tịnh tiến theo véctơ .v k i=r r

π ta được đồ thị y = tanx. Nhận xét: – Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. – Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định D. Ví dụ 4: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cotx. – Tập xác định: D = R { }\ ,k k Z∈π

– Tập giá trị: R. – Giới hạn:

0lim , limx x x

y y→ →

= + ∞ = − ∞

tiệm cận đứng: x = 0, x = . – Chu kỳ: T = .

– Bảng biến thiên trên đoạn 0, π :

– Tịnh tiến theo véctơ .v k i=r r

π ta được đồ thị y = cotx. Nhận xét: – Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. – Hàm số luôn giảm trên tập xác định D.

x 2π

− 0 2π

y

0

–∞

+∞

x 0 2π π

y

0

+∞

–∞

x

y

32π− π

2π− O

2π π 3

2π 2π 5

2π

y = tanx

x

y

2− π 32π− O

2π−

2π π 3

2π

y = cotx

−π 2π


Trang 8

Ví dụ 5: Vẽ đồ thị y = – sinx. – Vẽ đồ thị y = sinx. – Từ đồ thị y = sinx, ta suy ra đồ thị y = –sinx bằng cách lấy đối xứng qua Ox. Ví dụ 6: Vẽ đồ thị y = sinx

sin , neáu sin x 0sin-sin x, neáu sin x < 0.

xy x ≥= =

Ví dụ 7: Vẽ đồ thị hàm số y = 1 + cosx. – Vẽ đồ thị y = cosx. – Từ đồ thị y = cosx, ta suy ra đồ thị 1 cosy x= + bằng cách tịnh tiến đồ thị cosy x= lên

trục hoành 1 đơn vị.

– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 π :

y

x –2 32π− 3

2π 2π

2π π O −π

2π−

y = –sinx 1

–1

π 2π− 3

2π 2π

2π π O

y = /sinx/

y

1

x

x 0 2π π 3

2π 2π

y = cosx 1

0

–1

0

1

y = 1 + cosx

2

1

0

1

2

2π−

O

y = 1 + cosx

y

x −π

2π π 3

2π

y = cosx

2

1

–1


Trang 9

Ví dụ 8: Vẽ đồ thị y = sin2x. – y = sin2x có chu kỳ T = π


Ví dụ 9: Vẽ đồ thị y = cos2x. – y = cos2x có chu kỳ T = π


O

y

x 2π

4π

1

2π

4π

y = cos2x

–1

34π

2π− O

y

x π 4π−

4π

1

32π

2π 5

4π

y = sin2x

–1

x 2

−π

4−

π 0 2π

2π

2x −π 2π

− 0 2π π

y = sin2x

0

–1

0

1 0

x 2π

− 4π

− 0 4π

2π

2x −π 2π

− 0 2π

π

y = cos2x

–1

0

1 0

–1


Trang 10

Ví dụ 10: Vẽ đồ thị sin4

y x

= +

π có chu kỳ T = 2π .

Ví dụ 11: Vẽ đồ thị cos4

y x

= −


x – π 34

−π

2π

− 4π

− 0 4π

2π 3

4π π

x4π

+ 34π

− 2π

− 4π

− 0 4π

2π 3

2π 0 5

4π

y sin x4π = +

2

2−

–1

2

2−

0

2

2

1 2

2

0

2

2−

x – π 34π

− 2π

− 4π

− 0 4π

2π 3

4π π

x4π

− 54π

− −π 34π

− 2π

− 4π

− 0 4π

2π 3

4π

y cos x4π = −

2

2−

–1

2

2−

0

2

2

1 2

2

0

2

2−

32π O

y

x −π 34π−

2π−

4π−

4π

2π 3

4π π 5

4π 7

4π

y = sin x4π +

1 2 / 2

2 / 2− –1


Trang 11

Ví dụ 12: Vẽ đồ thị sin cos 2 sin4

y x x x

= + = +


Ví dụ 13: Vẽ đồ thị cos sin 2 cos4

y x x x

= − = +


x – π 34π

− 2π

− 4π

− 0 4π

2π 3

4π π

x4π

+ 34π

− 2π

− 4π

− 0 4π

2π 3

4π π 5

4π

π +

sin x4

2

2−

–1 22

0 2

2

1 22

0 2

2−

2 sin x4π +

–1

2−

–1

0

1

2 1

0

–1

sin x cosx+

1 2

1

0

1

2 1

0

1

32π O

y

x −π 34π−

2π−

4π−

4π

2π 3

4π π 5

4π 7

4π

y = 2 sin x4π +

1

2

2−

–1

4π

2π O

y

x 34π− 2

π−−π 54π 3

2π π

y = sin x cosx+

4π− 3

2π 7

4π

1

2

x π 34π

− 2π

− 4π

− 0

4π

2π 3

4π π

cosx –1 22

− 0 22

1 22

0 22

− –1

sinx 0 22

− –1 22

− 0 22

1 22

0

cosx – sinx –1 0 1 2 1 0 –1 2− –1

cosx sin x−

1

0

1

2 1

0

1

2 1


Trang 12

Ví dụ 14: Vẽ đồ thị y = tanx + cotx.

– Tập xác định: \ . ,2

D R k k Z

= ∈

π

– Chu kỳ T = π .

y

x 34π

− 2π

−4π

− −π o 4π

2π 3

4π π 5

4π

y = cosx – sinx

2

1

1−

2−

y

x 34π

− 2π

− 4π

− −π o 4π

2π 3

4π π 5

4π

y = cosx – sinx

2

1

x 2π

− 3π

− 4π

− 6π

− 0

6π

4π

3π

2π

tanx || 3− –1 33

0 33

1 3 ||

cotx 0 33

− –1 3− || 3 1 33

0

y = tanx + cotx

–∞

4 33

−

2

4 33

−

–∞

+∞ 4 3

3

2

4 3

3

+∞

x

y

y = tanx + cotx

4 33

2

4 33

–2

2π

−3π

−4π

−6π

−6π

4π

3π

2π O


Trang 13

I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Phương trình sinx = sinα

a) 2sin sin ( )2

x kx k Zx k

= += ⇔ ∈ = − +α παπ α π

b) sin . : 1 1.

arcsin 2sin ( )arcsin 2

x a Ñieàu kieän ax a kx a k Zx a k

= − ≤ ≤ = += ⇔ ∈ = − +

ππ π

c) sin sin sin sin( )u v u v= − ⇔ = −

d) sin cos sin sin2

u v u v

= ⇔ = −

π

e) sin cos sin sin2

u v u v

= − ⇔ = −

π

Các trường hợp đặc biệt: sin 0 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈π

sin 1 2 ( )2

x x k k Z= ⇔ = + ∈π

π sin 1 2 ( )2

x x k k Z= − ⇔ = − + ∈π

π

2 2sin 1 sin 1 cos 0 cos 0 ( )2

x x x x x k k Z= ± ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈π

π

2. Phương trình cosx = cosα a) cos cos 2 ( )x x k k Z= ⇔ = ± + ∈α α π

b) cos . : 1 1.cos arccos 2 ( )

x a Ñieàu kieän ax a x a k k Z

= − ≤ ≤= ⇔ = ± + ∈π

c) cos cos cos cos( )u v u v= − ⇔ = −π

d) cos sin cos cos2

u v u v

= ⇔ = −

π

e) cos sin cos cos2

u v u v

= − ⇔ = +

π

Các trường hợp đặc biệt:

cos 0 ( )2

x x k k Z= ⇔ = + ∈π

π

cos 1 2 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈π cos 1 2 ( )x x k k Z= − ⇔ = + ∈π π

2 2cos 1 cos 1 sin 0 sin 0 ( )x x x x x k k Z= ± ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈π

II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC


Trang 14

3. Phương trình tanx = tanα a) tan tan ( )x x k k Z= ⇔ = + ∈α α π b) tan arctan ( )x a x a k k Z= ⇔ = + ∈π c) tan tan tan tan( )u v u v= − ⇔ = −

d) tan cot tan tan2

u v u v

= ⇔ = −

π

e) tan cot tan tan2

u v u v

= − ⇔ = +

π

Các trường hợp đặc biệt:

tan 0 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈π tan 1 ( )4

x x k k Z= ± ⇔ = ± + ∈π

π

4. Phương trình cotx = cotα cot cot ( )x x k k Z= ⇔ = + ∈α α π cot arccot ( )x a x a k k Z= ⇔ = + ∈π Các trường hợp đặc biệt:

cot 0 ( )2

x x k k Z= ⇔ = + ∈π

π cot 1 ( )4

x x k k Z= ± ⇔ = ± + ∈π

π

5. Một số điều cần chú ý: a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc

chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.

* Phương trình chứa tanx thì điều kiện: ( ).2

x k k Z≠ + ∈π

π

* Phương trình chứa cotx thì điều kiện: ( )x k k Z≠ ∈π

* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện ( )2

x k k Z≠ ∈π

* Phương trình có mẫu số: • sin 0 ( )x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈π

• cos 0 ( )2

x x k k Z≠ ⇔ ≠ + ∈π

π

• tan 0 ( )2

x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈π

• cot 0 ( )2

x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈π

b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau để kiểm tra điều kiện:

1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện. 2. Dùng đường tròn lượng giác. 3. Giải các phương trình vô định.


Trang 15

Baøi 1. Giải các phương trình:

1) cos 2 06

x

+ =

π 2) cos 4 13

x

− =

π 3) cos 15

x

− = −

π

4) sin 3 03

x

+ =

π 5) sin 12 4x

− =

π 6) sin 2 16

x

+ = −

π

7) ( ) 1sin 3 12

x + = 8) ( )0 2cos 152

x − = 9) 3sin2 3 2x

− = −

π

10) 1cos 26 2

x

− = −

π 11) ( )tan 2 1 3x − = 12) ( )0 3cot 3 103

x + =

13) tan 3 16

x

+ = −

π 14) cot 2 13

x

− =

π 15) cos(2x + 250) = 22

−


1) x xsin(3 1) sin( 2)+ = − 2) cos cos 23 6

x x

− = +

π π

3) cos3 sin 2x x= 4) x x0sin( 120 ) cos2 0− + =

5) cos 2 cos 03 3

x x

+ + − =

π π 6) sin3 sin 04 2

xx

+ − =

π

7) tan 3 tan4 6

x x

− = +

π π 8) cot 2 cot4 3

x x

− = +

π π

9) x xtan(2 1) cot 0+ + = 10) x x2cos( ) 0+ =

11) x x2sin( 2 ) 0− = 12) x x2tan( 2 3) tan 2+ + =

13) 2cot 1x = 14) 2 1sin2

x =

15) 1cos2

x = 16) 2 2sin cos4

x x

− =

π

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Nếu đặt: 2sin sin : 0 1.t x hoaëc t x thì ñieàu kieän t= = ≤ ≤

Dạng Đặt Điều kiện 2 sin 0asin x b x c+ + = t = sinx 1 1t− ≤ ≤

2cos cos 0a x b x c+ + = t = cosx 1 1t− ≤ ≤

2tan tan 0a x b x c+ + = t = tanx ( )2

x k k Z≠ + ∈π

π

2cot cot 0a x b x c+ + = t = cotx ( )x k k Z≠ ∈π


Trang 16

Baøi 1. Giải các phương trình sau: 1) 2sin2x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin2x – 4cosx – 1 = 0 3) 4cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x 4) ( )2tan 1 3 tan 3 0x x+ − − =

5) ( )24sin 2 3 1 sin 3 0x x− + + = 6) 34 cos 3 2 sin 2 8cosx x x+ = 7) tan2x + cot2x = 2 8) cot22x – 4cot2x + 3 = 0 Baøi 2. Giải các phương trình sau: 1) 4sin23x + ( )2 3 1 cos3 3x+ − = 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0

3) 4cos2(2 – 6x) + 16cos2(1 – 3x) = 13 4) ( )2

1 3 3 tan 3 3 0cos

xx

− + − + =

5) 3cos x

+ tan2x = 9 6) 9 – 13cosx + 2

4

1 tan x+ = 0

7) 2

1

sin x = cotx + 3 8)

21

cos x + 3cot2x = 5

9) cos2x – 3cosx = 24 cos2x 10) 2cos2x + tanx = 4

5

Baøi 3. Cho phương trình sin3 cos3 3 cos2sin1 2sin 2 5

x x xx

x + +

+ = +

. Tìm các nghiệm của phương

trình thuộc( )0 ; 2π . Baøi 4. Cho phương trình : cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1. Tìm các nghiệm của

phương trình thuộc ( );−π π .

Baøi 5. Giải phương trình : 4 4 4 5sin sin sin4 4 4

x x x

+ + + − =

π π .

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX

DẠNG: a sinx + b cosx = c (1) Cách 1:

• Chia hai vế phương trình cho 2 2a b+ ta được:

(1) ⇔ 2 2 2 2 2 2

sin cosa b cx x

a b a b a b+ =

+ + +

• Đặt: ( )2 2 2 2

sin , cos 0, 2a b

a b a b = = ∈

+ +α α α π

phương trình trở thành: 2 2

sin .sin cos .cos cx x

a b+ =

+α α

2 2

cos( ) cos (2)cx

a b⇔ − = =

+α β

• Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

2 2 22 2

1 .ca b c

a b≤ ⇔ + ≥

+

• (2) 2 ( )x k k Z⇔ = ± + ∈α β π


Trang 17

Cách 2:

a) Xét 22 2x

x k k= + ⇔ = +π

π π π có là nghiệm hay không?

b) Xét 2 cos 0.2x

x k≠ + ⇔ ≠π π

Đặt: 2

2 22 1tan , sin , cos ,

2 1 1

x t tt thay x x

t t

−= = =

+ + ta được phương trình bậc hai theo t:

2( ) 2 0 (3)b c t at c b+ − + − = Vì 2 0,x k b c≠ + ⇔ + ≠π π nên (3) có nghiệm khi:

2 2 2 2 2 2' ( ) 0 .a c b a b c= − − ≥ ⇔ + ≥∆

Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: 0tan .2x

t=

Ghi chú: 1) Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.

2) Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: 2 2 2 .a b c+ ≥ 3) Bất đẳng thức B.C.S:

2 2 2 2 2 2.sin .cos . sin cosy a x b x a b x x a b= + ≤ + + = +

2 2 2 2 sin cosmin max tanx x ay a b vaø y a b x

a b b⇔ = − + = + ⇔ = ⇔ =

Baøi 1. Giải các phương trình sau:

1) cos 3 sin 2x x+ = 2) 6sin cos2

x x+ = 3) 3 cos3 sin3 2x x+ =

4) sin cos 2 sin 5x x x+ = 5) ( ) ( )3 1 sin 3 1 cos 3 1 0x x− − + + − =

6) 3 sin 2 sin 2 12

x x

+ + =

π

Baøi 2. Giải các phương trình sau: 1) 22sin 3 sin 2 3x x+ = 2) ( )sin8 cos6 3 sin 6 cos8x x x x− = +

3) 3 18cossin cos

xx x

= + 4) cosx – 3 sin 2 cos3

x x

= −

π

5) sin5x + cos5x = 2 cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6)2 + 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6) Baøi 3. Giải các phương trình sau:

1) 3sinx – 2cosx = 2 2) 3 cosx + 4sinx – 3 = 0 3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = 5


1) 2sin4

x

+

π + sin4

x

−

π = 3 22

2) 3 cos2 sin 2 2sin 2 2 26

x x x

+ + − =

π

Baøi 5. Tìm m để phương trình : (m + 2)sinx + mcosx = 2 có nghiệm . Baøi 6. Tìm m để phương trình : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm.


Trang 18

IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI DẠNG: a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1)

Cách 1: • Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không?

Lưu ý: cosx = 0 2sin 1 sin 1.2

x k x x⇔ = + ⇔ = ⇔ = ±π

π

• Khi cos 0x ≠ , chia hai vế phương trình (1) cho 2cos 0x ≠ ta được:

2 2. tan . tan (1 tan )a x b x c d x+ + = + • Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:

2( ) . 0a d t b t c d− + + − = Cách 2: Dùng công thức hạ bậc

1 cos2 sin 2 1 cos2(1) . . .2 2 2

x x xa b c d

− +⇔ + + =

.sin 2 ( ).cos2 2b x c a x d a c⇔ + − = − − (đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x)


1) ( ) ( )2 22sin 1 3 sin .cos 1 3 cos 1x x x x+ − + − =

2) ( )2 23sin 8sin .cos 8 3 9 cos 0x x x x+ + − =

3) 2 24sin 3 3 sin .cos 2 cos 4x x x x+ − =

4) 2 2 1sin sin 2 2 cos2

x x x+ − =

5) ( ) ( )2 22sin 3 3 sin .cos 3 1 cos 1x x x x+ + − = −

6) 2 25sin 2 3 sin .cos 3cos 2x x x x+ + = 7) 2 23sin 8sin .cos 4 cos 0x x x x+ + = 8) ( ) ( )2 22 1 sin sin 2 2 1 cos 2x x x− + + + =

9) ( ) ( )2 23 1 sin 2 3 sin .cos 3 1 cos 0x x x x+ − + − =

10) 4 2 2 43cos 4sin cos sin 0x x x x− + = 11) cos2x + 3sin2x + 2 3 sinx.cosx – 1 = 0 12) 2cos2x – 3sinx.cosx + sin2x = 0


1) 3 2 3sin 2sin .cos – 3cos 0+ =x x x x 2) 2 2 13 sin .cos sin2

x x x−

− =

3) x x x x x x3 2 2 3sin 5sin .cos 3sin .cos 3cos 0− − + =

Baøi 3. Tìm m để phương trình: ( ) 2 21 2 2 1m x x xsin – sin cos+ + = có nghiệm.

Baøi 4. Tìm m để phương trình: (3m – 2)sin2x – (5m – 2)sin2x + 3(2m + 1)cos2x = 0 vô nghiệm .


Trang 19

V. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Dạng 1: a.(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx + c = 0

• Đặt: cos sin 2.cos ; 2.4

t x x x t

= ± = ≤

∓ π

2 211 2sin .cos sin .cos ( 1).2

t x x x x t⇒ = ± ⇒ = ± −

• Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình này tìm t thỏa 2.t ≤ Suy ra x.

Lưu ý dấu:

• cos sin 2 cos 2 sin4 4

x x x x

+ = − = +

π π

• cos sin 2 cos 2 sin4 4

x x x x

− = + = − −

π π

Dạng 2: a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0

• Đặt: cos sin 2. cos ; : 0 2.4

t x x x Ñk t

= ± = ≤ ≤

∓ π

21sin .cos ( 1).2

x x t⇒ = ± −

• Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.


1) ( )2sin 2 3 3 sin cos 8 0x x x− + + = 2) ( )2 sin cos 3sin 2 2x x x+ + =

3) ( )3 sin cos 2sin 2 3x x x+ + = − 4) ( )( )1 2 1 sin cos sin 2x x x− + + =

5) sinx + cosx – 4sinx.cosx – 1 = 0 6) ( )( )1 2 sin cos sin 2 1 2x x x+ + − = + Baøi 2. Giải các phương trình:

1) ( )sin 2 4 cos sin 4x x x− − = 2) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0

3) ( )( )1 2 1 sin cos sin 2x x x− + − = 4) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0

5) sin2x + 2 sin 14

x

− =

π

6) ( ) ( )2sin cos 2 1 (sin cos ) 2 0x x x x− − + − + =


1) sin3x + cos3x = 1 + ( )2 2− sinx.cosx 2) 2sin2x – 3 6 sin cos 8 0x x+ + =


Trang 20

VI. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC


1) sin2x = sin23x 2) sin2x + sin22x + sin23x = 32

3) cos2x + cos22x + cos23x = 1 4) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2


1) sin6x + cos6x = 14

2) sin8x + cos8x = 18

3) cos4x + 2sin6x = cos2x 4) sin4x + cos4x – cos2x + 2

1

4sin 2x – 1 = 0


1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx 2) sinx(sinx – cosx) – 1 = 0

3) sin3x + cos3x = cos2x 4) sin2x = 1 + 2 cosx + cos2x

5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos2x 6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos2x

7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin23x

8) sinx + sin2x + sin3x = 2 (cosx + cos2x + cos3x)

Baøi 4. Giải các phương trình sau: 1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x 2) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0

3) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x 4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1

Baøi 5. Giải các phương trình sau: 1) sinx + sin3x + sin5x = 0 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x

3) cos2x – cos8x + cos6x = 1 4) sin7x + cos22x = sin22x + sinx


1) sin3x + cos3x + 1 sin 2 .sin42

x x

+

π = cosx + sin3x

2) 1 + sin2x + 2cos3x(sinx + cosx) = 2sinx + 2cos3x + cos2x

Documents

CHƯƠNG 0 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC - Chuyên Đề Ôn Thi · PDF fileĐại số 11 Trần Sĩ Tùng Trang 2 5. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc