DINAMIKA KEKISI

disusun guna memenuhi tugas mata kuliah

Fisika Zat Padat Rombel 3

Dosen Pengampu : Budi Astuti

Oleh :

Fiki Layyinatun Najwa (4201412097)

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2015

DINAMIKA KISI

Pada bab sebelumnya kita menganggap bahwa kristal tersusun atas atom-atom yang

menduduki titik kisi dalam keadaan diam. Sesungguhnya, atom-atom tersebut tidaklah diam,

tetapi bergetar pada posisi kesetimbangannya. Getaran atom-atom pada suhu ruang adalah

sebagai akibat dari energi termal, yaitu energi panas yang dimiliki atom-atom pada suhu tersebut.

Getaran atom dapat pula disebabkan oleh gelombang yang merambat pada kristal.

Ditinjau dari panjang gelombang yang digunakan dan dibandingkan dengan jarak antar

atom dalam kristal, dapat dibedakan pendekatan gelombang pendek dan pedekatan gelombang

panjang.

Pendekatan Gelombang Pendek

Disebut pendekatan gelombang pendek apabila gelombang yang digunakan memiliki panjang

gelombang yang lebih kecil dari pada jarak antar atom. Dalam keadaan ini, gelombang akan

melihat kristal sebagai tersusun oleh atom-atom yang diskrit, sehingga pendekatan ini sering

disebut pendekatan kisi diskrit.

Pendekatan Gelombang Panjang

Bila dipakai gelombang yang panjang gelombangnya lebih besar dari jarak antar atom, kisi akan

nampak malar (kontinyu) sebagai suatu media perambatan gelombang. Oleh karena itu,

pendekatan ini sering disbut sebagai pendekatan kisi malar.

1. Gelombang Elastik

Atom-atom berosilasi di sekitar kedudukan setimbangnya. Ini berarti atom-atom

bervibrasi dengan vibrasi gelombang elastik. Dalam pendekatan gelombang panjang, tinjau

sebuah batang berpenampang A dengan rapat massa , yang dirambati gelombang mekanik

ke arah memanjang batang x. Pada setiap titik x dalam batang terjadi perubahan panjang u

(x) sebagai akibat adanya tegangan (x) dari gelombang.

Gambar 1.

Regangan (Strain)

( )

Tegangan (Stress)

atau

Dengan adalah modulus young. Menurut hukum kedua Newton, tegangan yang bekerja

pada elemen batang dx menghasilkan gaya sebesar :

* ( ) ( )+

Karena atau ( )

, sehingga

( )

* ( ) ( )+

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

Sehingga,

( )

( )

Maka menurut persamaan gelombang umum

( )

( )

, maka diperoleh

kecepatan gelombang

(

)

Jelas bahwa kecepatan gelombang mekanik pada zat pada) bergantung pada besaran

elastik bahan tersebut, yakni modulus Young. Karena perambatan gelombang tersebut

bergantung pada besaran elastik maka gelombang yang bersangkutan disebut gelombang

elastik.

Solusi untuk penjalaran gelombang di atas adalah

( ) ( )

Dengan

, dan adalah frekuensi gelombang dan adalah amplitudo gelombang.

Hubungan antara frekuensi dan bilangan gelombang dapat dirunut dari fase gelombang.

2. Fonon

Kuantisasi energi gelombang elastik dari vibrasi kekisi ternyata merupakan energi

elastik dari gelombang bunyi. Ini merupakan analogi foton sebagai kuantum energi dari

gelombang elektromagetik. Kuantum energi di dalam vibrasi kekisi disebut sebagai fonon.

Sehingga dapat dikatakan pula bahwa gelombang bunyi dalam kristal adalah tersusun dari

fonon-fonon. Energi fonon besarnya :

Di dalam kristal atom-atom tersusun sedemikian teraturnya dalam arah 3 dimensi,

sehingga gerakan atom pada kedudukan setimbangnya tidak sukar untuk disebut sebagai

vibrasi kekisi yang sangat berperan dalam pembentukan energi pada kristal. Ragam (modus)

getarannya akan sangat menentukan sifat termal zat padat.

3. Vibrasi kristal Monoatomik

Kita mulai dengan kasus yang sederhana. Yaitu kasus yang melibatkan getaran kristal

akibat adanya gelombang elastis yang merambat dalam arah [1 0 0] ; [1 1 0] ; [1 1 1].

Untuk setiap vektor gelombang ( ) terdapat 3 model getaran yaitu : 1 buah longitudinal

dan 2 buah transversal. Kita anggap bahwa kristal akan merespon,

Gelombang elastik linier terhadap gaya. Artinya, gaya yang bekerja pada bidang kristal

yang ke-s adalah sebanding dengan selisih simpangannya, sehingga

( ) ( )

( )

Persamaan gerak dari atom s menurut hokum Newton :

( )

Persamaan di atas adalah bentuk persamaan gerak untuk semua atom. Untuk mencari

penyelesaian , kita ambil bentuk umum gelombang dengan frekuensi dan vektor

gelombang

yang berjalan pada arah-x dengan syarat batas kedua ujung tetap = 0

dan = 0 adalah sebagai:

( ) ( )

Jika jarak antar atom adalah , maka pergeseran ( ),

( ( ) ),

dan ( ( ) ). Maka akan didapatkan

( )

Dengan , maka hubungan dispersi ( ) adalah

( )

Jika dilukiskan dalam grafik, maka

Gambar. Relasi dispersi kisi monoatomik

4. Vibrasi Kristal Dwiatomik

Gambar. Rantai Kristal Dwiatom

Persamaan gerak suatu kelompok yang terdiri atas 2 jenis atom dengan massa berbeda

(m1 dan m2) dengan m1 > m2 dapat dinyatakan

(

) ( )

(

) ( )

Sehingga penyelesaiannya menjadi

( ) ( )

( ) ( )

Maka diperoleh harga-harga dan setelah disubstitusikan ke persamaan di atas

maka akan diperoleh

( )

( ) ( )

dan

( )

( ) ( )

Jika kedua persamaan di atas dibuat determinan, maka

|

( )

( ) | |

|

|

( )

( ) |

Maka,

*( )(

)+ {( ( )) ( ( ))}

( )

( )

( )

( )

Untuk mendapatkan hasil yang eksak, diambil harga-harga istimewa dari dalam

syarat batas periodik. Pada yang relatif kecil berlaku

sehingga

kedua akarnya berharga

(

) cabang optik

( ) cabang akustik

Sedangkan untuk kedua akarnya berharga

;

Jika dilukiskan dalam grafik, maka dispersi vibrasi dwiatom akan berbentuk seperti

pada gambar di bawah ini

Gambar. Relasi dispersi kisi dwiatom

Terlihat adanya dua lengkungan dispersi atau adanya dua cabang yaitu cabang optik

dan cabang akustik. Daerah frekuensi pada

antara

dan

disebut gap atau

daerah larangan yang artinya dalam keadaan demikian kisi tidak dapat meneruskan

gelombang. Perbedaan cabang optik dan cabang akustik dapat dijelaskan pada daerah

atau .

5. Kapasitas Termal

Energi yang ditimbulkan akibat getaran atom sangat berperan dalam menentukan sifat

termal zat padat pada bahan isolator, konduksi elektron pada bahan logam, dan keberaturan

magnetik pada bahan magnet.

Sejumlah panas U yang diperlukan per mol zat untuk menaikkan suhunya disebut

kapasitas kalor. Bila kenaikan suhu zat T, maka kapasitas panas adalah :

Menurut hasil eksperimen Dulong-Petit tidak tetap terhadap perubahan temperatur.

pada suhu tinggi (suhu kamar dan di atasnya) mendekati .

Gambar. Kebergantungan kapasitas panas zat padat pada suhu

Model Teori Klasik

Menurut fisika klasik, getaran atom-atom zat padat dapat dipandang sebagai osilator

harmonik. Osilator harmonik merupakan suatu konsep/model yang secara makroskopik dapat

dibayangkan sebagai sebuah massa m yang terkait pada sebuah pegas dengan tetapan pegas

C.

Untuk osilator harmonik satu dimensi, energinya dapat dirumuskan :

( )

Dengan, adalah laju getaran osilator, adalah simpangan osilator, dan adalah

frekuensi sudut getaran osilator. Untuk osilator harmonik satu dimensi yang mempunyai dua

derajad bebas mempunyai energi rata-rata :

Selanjutnya, karena atom-atom dalam kristal membentuk susunan tiga dimensi, maka

untuk satu mol osilator harmonik tiga dimensi, energi dalamnya :

Sehingga kapasitas termalnya

dari hasil ini terlihat bahwa menurut model fisika klasik, kapasitas panas zat padat

tidak bergantung suhu dan berharga 3R. Hal ini sesuai dengan hukum Dulong-Petit yang

hanya berlaku untuk suhu tinggi. Teori klasik ini mempunyai kelemahan yaitu beberapa zat

padat ringan ternyata , seperti boron ( ), berelium (

) dan karbon ( ).

Teori Einstein

Dalam model ini, atomatom dianggap sebagai osilator-osilator bebas yang bergetar

tanpa terpengaruh oleh osilator lain di sekitarnya. Energi osilator dirumuskan secara

kuantum (berdasarkan teori kuantum) yang berharga diskrit :

Pada tingkat dasar n =0, maka E = 0. Pada tingkat-tingkat selanjutnya, perbedaan

energi antar tingkat adalah sebesar . Pada kesetimbangan termal, energi rata-rata osilator

adalah

( )

( )

Persaman di atas dalam bentuk deret tersebut ekuivalen dengan ungkapan :

( )

Sehingga total energi dalam untuk 1 mol zat padat adalah

Sedangkan besarnya kapasitas termal atau kalor jenis adalah

(

)

( )

Pada suhu tinggi, , sehingga

Karena

Dan jika disubstitusikan ke persamaan energi rata-rata vibrator akan menghasilkan

. Untuk pendekatan ini kita akan mendapatkan sebagaimana yang

dihasilkan oleh Dulong-Petit.

Pada suhu rendah , sehingga

(

)

(

)

oleh karena itu akan mendekati nol pada suhu-suhu rendah. Dan apabila

maka mendekati nol secara eksponensial.

Gambar. Grafik terhadap perubahan temperatur model Einstein dan eksperimen

Teori Debye

Dalam model Einstein, atom atom dianggap bergetar secara terisolasi dari atom di

sekitarnya. Anggapan ini jelas tidak dapat diterapkan, karena gerakan atom akan saling

berinteraksi dengan atom-atom lainnya. Seperti dalam kasus penjalaran gelombang mekanik

dalam zat padat, oleh karena rambatan gelombang tersebut atom-atom akan bergerak

kolektif. Debye berusaha memperbaiki dengan asumsi bahwa antara titik kesetimbangan

atom kristal seolah dihubungkan oleh pegas, sehingga getarannya terikat oleh pegas. Jadi

suatu gangguan dalam arah A akan menyebabkan keseluruhan sistem bola atom bergetar.

Bila kristal mengandung sejumlah N atom, dalam koordinat 3-D maka sistem tersebut

mempunyai 3N derajat kebebasan. Osilasinya akan mempunyai 3N ragam vibrasi yang

masing-masing vibrator mempunyai frekuensi tertentu. Sehingga energi totalnya sistem

tersebut:

( )

adalah energi rata rata osilator seperti pada model Einstein sedangkan ( ) adalah

rapat keadaan. Pemikiran ini didasarkan atas kenyataan bahwa ragam frekuensi di dalam

kristal sesuai dengan rambatan gelombang bunyi yang merupakan gelombang elastik

berfrekuensi rendah. Dalam hal ini panjang gelombang bunyi sangat besar dibandingkan

dengan jarak atom sehingga kediskritan susunan atom dalam kristal dapat diabaikan

dan menggantikannya menjadi medium elastik yang homogen. Dengan itu, maka energi

totalnya menjadi

Dengan

dan

. di sini juga bermakna sebagai temperatur Debye.

Rumusan kapasitas termal adalah

[ (

)

(

)

]

Pada suhu tinggi, maka

sangat kecil dan

juga sangat kecil, sehingga

dan Maka didapatkan

(

)

Pada suhu rendah

, sehingga diperoleh

* (

)

(

)+

Gambar. Perbandingan model Einstein dan Deybe

Dengan demikian teori Deybe dapat membuktikan bahwa sebanding dengan

pada suhu rendah. Hasil ini sesuai dengan hasil eksperimen.