Documents.tips 10 Tehnicka Metoda Defppt

7/23/2019 Documents.tips 10 Tehnicka Metoda Defppt

1/50

Statika kondenzacija

Pretpostavimo da imamo slijedeu matrinujednainu:

[ ]{ } { }11 nxnxnxn

FuK =

Zatim pretpostavimo da vektor F ima prvih mlanova razliite od nule, a preostalih k lanova

jednakih nuli.

{ } { }{ }

=

1

11

1 0 kx

mx

nx

FF


2/50


Matrinu jednainu moemo napisati u obliku:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

{ }

{ }

{ }

{ }

=

0

1

12

11

221

121 F

u

u

KK

KK

kx

mx

kxkkxm

mxkmxm

Ili preko dvije matrine jednaine:

022112

121211

=+

=+

uKuK

FuKuK

T


3/50


Iz drue jednaine imamo: 112122 uKKu T =

!akle, statika kondenza"ija je postupak, kojimse smanjuje red matri"e, eliminiranjem onihlanova matri"e #jednaina$, koji su vezani saslobodnim lanovima jednakim nuli.

Odnosno:

[ ][ ]{ } { }

11

11

11121

2121

1112

1

21211

mxmxmxm

K

T

T

FuK

FuKKKK

FuKKKuK

==

=


4/50

Matrica krutosti tapa sa zglobom najednom kraju

%akabejeva jednaina za ovakav &tap je razliita od

jednaine za obostrano uklje&teni &tap. 'azlika je utome, &to se iz uslova da je M()*, moe eliminirati uaozaokreta (.

( )

( )

( )

( )2112

21

22

12

21

122

21

21

2

1

21

21

211

5.05.1

32

223

2

03

2

+

+=

+

++=

=

=+

++=

m-m

m

m

m

l

vvkM

l

vvkM

vvl

l

vvkM

1 2

1

2 M2


5/50

Matrica krutosti tapa sa zglobom najednom kraju

+a ovaj nain je eliminiran (, koji odovara sili M(, kojaje jednaka nuli. %o znai da je praktino izvr&enastatika kondenza"ija matri"e krutosti &tapa sadimenzija - na - / za tanu metodu de0orma"ija,odnosno sa 1-1 na 2-2 za tehniku metodu de0orma"ija.

3ednaine u matrinom obliku su:

+

+

=

2112

2112

2

2112

1

2

2

1

22

233

233

2

2

1

5.0

5.0

5.0

333

333

333

mm

mm

mm

l

Q

lQ

v

v

l

EJ

l

EJ

l

EJ l

EJ

l

EJ

l

EJl

EJ

l

EJ

l

EJ

M

V

V

4(i 45su transverzalne sile od optereenja, a m(/5 im5/(

su prikljuni momenti od optereenja.


6/50

Napomena

6vdje je prikazana statika kondenza"ija na nivou &tapa.

Proram 789 nema op"iju 0ormiranja posebne matri"ekrutosti za ovakav &tap. ondenzovanu matri"u krutosti&tapa je komplikovano upotrijebiti pri 0ormiranjulobalne matri"e krutosti.

Zbo toa se u 789/u de0iniraju kao nepoznatapomjeranja i ulovi zaokreta kod zlobova. %o znai da

je lobalna matri"a krutosti vea, neo kada se radiklasino. Me;utim, moue je takvu matri"u krutosti,

ako je potrebno, svesti na klasinu matri"u krutosti,statikom kondenza"ijom, koja je opisana ranije.


7/50

Formiranje globalne matrice krutosti


8/50

>ada imamo:

?ektorom u(edata su pomjeranja krajeva &tapa u lobalnomkoordinatnom sistemu. >lijedei korak je uspostaviti vezu izmedjuovo vektora i vektora lobalnih pomjeranja u. 6va veza seuspostavlja pomou matri"e dimenzija -n u kojoj se nalaze nuleili jedini"e. Istom matri"om se povezuju vektori 0

i

e iF.

e e

i i i i i i i i = = K u f K T u T f

1T

i i

=T T

e e T e e

i i i i i i i i i i = =K T u T f T K T u f

e

i i= u L u e

i i= f L F


9/50

>ada imamo:

T e e T

i i i i i i i i i i = =T K T u f T K T L u L F

1

l

i

i=

= K K%

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

6 6 4 4 4 4 6 6

6 6 4 4 4 4 6 6

T T

i i i i inx x x x xn

T T

i i i i i i inxn nx x x x xn

=

= =

L T K T L u F

K u F K L T K T L% %


10/50

8ko u sistemu nema kosih &tapova, tada su dvije kolone u matri"i %uvijek jednake nuli, pa se matri"a % svodi na jedininu matri"udimenzija 1-1. >hodno tome i vektor uieima samo 1 lana, jer sepomjeranja du &tapa ne uzimaju u obzir u tehnikoj metodi

de0orma"ija.

= tom sluaju je matri"a krutosti:

( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 4

Ti i i i

nxn nx x xn

= = K K L K L%


11/50


12/50

ZADATAK

Za dati nosa nai dijarame presjenih silatehnikom metodom de0orma"ija. Zadatak uraditi naklasian nain i pomou prorama 789. @ ) "onst.

40/4040/60

10kN/m

70 kN

2

2

20 kN/m 40/60

40/70

40/70

40/50

20 kN/m

53

70 kN

2

4

12

34

5

6

7

1 2

4

3

5

6


13/50

A) A!

!a bi se pripremio radni 0ajl za proram 789 potrebno jeuraditi slijedee predradnje:

(. 6biljeiti sve vorove i &tapove brojevima #ura;eno naprethodnom slajdu$. Za svaki &tap potrebno je izraunatimoment iner"ije i odrediti lokalni koordinatni sistem.

+apomena: Moment iner"ije ne mora biti dat u m1. Aitno jeda odnos momenata iner"ije izme;u pojedinih &tapovaodovara stvarnom stanju. +a ovaj nain e se dobititane presjene sile, ali ne i pomjeranja vorova. Za&toB

3()5(, 9()1, @)(C 35)1, 95)1, @)(C

32)(5, 92)1, @)(C 31)5(, 91)1, @)(C

3)212, 9), @)(C 3)212, 9), @)(C


14/50

Nepoznata pomjeranja

5. Identi0i"irati sva pomjeranja sistema i obiljeiti ihbrojevima, tj. 0ormirati vektor nepoznatih pomjeranja.=love zaokreta na zlobovima postaviti kao zadnjelanove, ukoliko se eli praviti kondenza"ija lobalnematri"e krutosti.

+epoznati ulovi zaokreta su: 1, , , D, te 5iuao zaokreta vora #

$, na strani dje je zlob,obzirom da je taj uao zaokreta neovisan o .

!a bi se odredili nepoznati poma"i, potrebno je

napraviti zlobnu &emu.


15/50

Zglobna ema

!ata zlobna &ema je mehanizam sa dva >>. !a bisistem postao nepomjerljiv potrebno je uba"iti dvaoslon"a, za svako pomjeranje po jedan.

I

II


16/50

"omjeranje #

>klanjamo oslona" ( i "rtamo &emu pomjeranja tako da

pomjeranje bude pozitivno u lokalnim koordinatnimsistemima.

II

1 1


17/50

"omjeranje $

>klanjamo oslona" 5 i "rtamo &emu pomjeranja.

I

2 2

I


18/50

%ektor nepoznati& pomjeranja

!akle, sistem ima ukupno osam nepoznatih pomjeranja:

4 1

5 2

6 3

7 4

1 5

2 6

2 7

5 8g

u

uu

u

u

u

u

u

= =

u


19/50

4

1

1

0

0

e

=

u

?ektori pomjeranja &tapova prikazani preko lobalnih pomjeranja:

5

2

2

1

0

e

=

u

7

3

2

0

0

e

=

u

6

5

4

2

1

ge

=

u

4

5

5

0

0

e

=

u

6

7

6

0

0

e

=

u

4

5

64

7

11

2

2

5

1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

g

=

1 1

e = u L u

Formiranje globalne matrice krutosti


20/50

2

0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

=

L4

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

=

L

11 14 13 12

4

41 44 43 42

31 34 33 32

21 24 23 22

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

k k k k

k k k k

k k k k

k k k k

=

K%

4 4 4 4

T= K L K L%


21/50

Formiranje matrice kompatibilnosti

Proram 789 automatski 0ormira lobalnu matri"u

krutosti za tehniku metodu de0orma"ija pomou tzv.matri"e kompatibilnosti. Matri"a je dimenzija 1-k, dje je kbroj &tapova. = svakoj koloni ove matri"e data supomjeranja jedno &tapa i to tako &to se u prvoj vrsti dajeredno mjesto rota"ije prvo vora u lobalnom vektoru

pomjeranja, potom rota"ija druo vora, pomjeranjeprvo vora i na kraju pomjeranje druo vora.

= matri"i se nalaze prirodni brojevi od ( do k, dje je kbroj pomjeranja sistema, kao i nule, kojim se oznaavajupomjeranja jednaka nuli. +a osnovu ove matri"e proram

automatski 0ormira matri"e 9 za svaki &tap i matri"udimenzija n-n:

( ) ( ) ( )4 4 4 4

T

i i i inx x xn

= K L K L%


22/50

'atrica kompatibilnosti

Konkretno:

=

005000

006655

428070

313421

ID

= prvoj koloni su pomjeranja &tapa (. Aroj ( u prvoj vrstipredstavlja pomjeranje 1 #uao zaokreta prvo vora

&tapa$, * u druoj vrsti znai da je u druom voru uaozaokreta * #uklje&tenje / vor ($. Aroj u treoj vrstipredstavlja pomak vora 1, tj. (, a nula u etvrtoj vrstioznaava da je pomak druo vora &tapa jednak nuli.>amostalno analizirati ostale kolone.


23/50

Vektori sila po tapovima od optereenja

2. Za svaki &tap je potrebno sastaviti vektor sila, koji sesastoji od dva momenta i dvije transverzalne sile.Momenti se raunaju kao momenti uklje&tenja #tabli"e$, atransverzalne sile kao reak"ije proste rede.

Etap (.

m1/()D*-1G)/2 k+m #br. 5$C

m(/1)2 k+m

?1/() ?(/1)/2

4 1

70

m1-4m4-1

V1-4V4-1

{ }

=

35

35

35

35

1F


24/50


Etapovi 5 i 2 nemaju optereenje.Etap 1.

6 5

10

m5-6m6-5

V5-6V6-5

{ }

=

15

25

0

20

4F

m/)/(2.2 k+m, #br. ($C m/)(2.2 k+m

6bzirom da je u voru zlob:m/)/(2.2/(2.25)/5* k+m, m/)*

?/)/5*/5*1)/5

?/)/5*H5*1)/(


25/50


Etap .

4 5

20 m5-4m4-5

V5-4V4-5

{ }

=

13.5

87.34

45.7

8.21

5F

m4-5=21.8 kNm, !r. 5"# m5-4=-7.45

kNmV4-5=32$21.8-7.45"/5=34.87

V5-4=8-2.87=5.13


26/50


Etap .

6 7

20 m7-6m6-7

V7-6V6-7

{ }

=

50

50

67.41

67.41

6F

m6-7=41.67 kNm, m7-6=-41.67

kNmV6-7=V7-6= 50


27/50

(lobalni vektor sila

1. Potrebno je sastaviti vektor sila, koje djeluju uvorovima u prav"u traenih pomjeranja.

Momenti u vorovima se raunaju jednostavnimsabiranjem odovarajuih momenata na krajevima&tapova.

m1)/2H5(.G ) /(2.5 k+m

m)/D.1 k+m

m)1(.D/5* ) 5(.D k+m

mD)/1(.D k+m

>ile u vorovima, koje odovaraju jednom od pomaka sedobivaju isije"anjem svih vorova, koji imaju traenipomak.


28/50

"omjeranje #

Isije"amo vorove koji imaju pomjeranje . = svaki

presjek unosimo sve horizonti postavljamo uslov da jesuma horizontalnih sila jednaka nuli.

II

11

1

70 N N

V4-1=-

35

V5-6=-15


29/50

"omjeranje #

Po&to se sile + medjusobno poni&tavaju prethodna dva

presjeka se mou posmatrati kao jedan:

II

1 1

I

I


30/50

"omjeranje $

>klanjamo oslona" 5 i "rtamo &emu pomjeranja.

I

2 2

I

IIII


31/50


%1=-70-35-15=-120

70

V4-1=-

35

V5-6=-15

%res&ek 1-1

%res&ek 2-2

V6-5=-25

%2=-25


32/50


{ }

=

00

25

120

67.4167.21

45.7

2.13

F

6vim su pripremljeni svi potrebni poda"i za proraunmodela pomou prorama 789. ao rezultat dobivaju sesile na krajevima svako &tapa #momenti i transverzalnesile$. +ormalne sile se dobivaju iz uslova ravnoteesvako vora pojedinano.

Prikazani metod moe se u potpunosti primijeniti samo zasisteme koji nemaju kose &tapove.


33/50

B) K!S"#$" $!#"$

(. 'aunaju se krutosti svako &tapa: ki)5@3i9i

k() (*G, k5 ) 25, k2) 5.5, k1) (*G, k) k) (2D.5

5. Identi0i"irati sva pomjeranja sistema i oznaiti ih.

+epoznati ulovi zaokreta su: 1, , , D.

6dre;ivanje nepoznatih pomaka radi se na isti nain kao ikod 789/a. %o znaI da e i ovdje biti nepoznati istipoma"i (i 5.

!akle, sada imamo ukupno nepoznatih i treba o0ormiti jednaina.


34/50

%isanje &akabejevi' jednaina i (ormiranjejednaina vorova

Za svaki vor u kojem postoji nepoznati uao zaokreta,potrebno je postaviti uslov da je suma momenata jednakanuli.

?6' 1.

( ) 5454554

141

4114

2

32

++=

+

+=

m

m

kM

lkM

( ) 0232

0

54545141

41

5414

=++++

+

=+

mm kl

k

MM

02.13812.1374.490154

=++


35/50

ednaine vorova

?6' .

( )

+=

++=

lkM

kM

15225

4545545

5.1

2 m

( ) 025.1

0

454551

52

2545

=+++

+

=+

mkl

k

MM

045.7124.3222.137154

=++


36/50

ednaine vorova

?6' .

( ) 7676676

5612

6456

2

5.1

++=

+

+=

m

m

kM

lkM

( ) 025.1

0

767665612

64

7656

=++++

+

=+

mm kl

k

MM

065.215.405.402.1374.4362176

=+++


37/50

ednaine vorova

?6' D.

( ) 6767667

27337

2

32

++=

+=

mkM

lkM

( ) 022

0

676762

73

6737

=+++

+

=+

mkl

k

MM

067.4188.464.3992.137276

=++


38/50

ednaine pomjeranja

70

'4-1=-

35

'5-6=-20

Za svaki presjek naznaen pri de0ini"iji pomjeranja postavljase uslov ravnotee da je suma svih sila u prav"u pomjeranja

jednaka nuli. Pri tome u raun ulaze: aktivne sile, reaktivnesile od optereenja i reaktivne sile od momenata.

Presjek (/(:

(4-1

(5-6

(5-2

;5.0

5.1

5.1;23

65561264

56

5665

15

2

25

2525

14

1

41

411414

lll

k

l

M

S

ll

k

l

MS

ll

k

l

MMS

+==

+==

+=+=

mm

0706514652514 =++++ RRSSS

01201.1062.535.401281 21654 =++


39/50

ednaine pomjeranja

%res&ek 2-2:

'6-5=-

20(6-5

(7-3

;5.0

5.1

23

6556126

4

56

5656

27

3

73

733737

lll

k

l

MS

ll

k

l

MMS

+

+==

+=+=

mm

0653756 =++ RSS

02556.331.1088.465.402176

=++


40/50

Sistem jednaina te'nike metodede(ormacija

=

25120

67.41

67.21

45.72.13

56.331.1088.465.40001.1062.5305.401281

88.4604.3992.13700

5.405.402.1374.43600

012004.3222.137081002.1374.490

2

1

7

6

5

4

*jeenja

=

874.1

604.3

172.0

165.0

148.0

610.0

2

1

7

6

5

4


41/50

"zraunavanje momenata u tapovima

>raunate de0orma"ije uba"ujemo u %akabejeve jednainei dobivamo momente na krajevima svako &tapa.

E%8P (.

kNml

kM

kNml

kM

1.2613

2.12532

411

4141

141

4114

=+

+=

=+

+=

m

m

E%8P 5.

0

4.505.1

52

1

5225

=

=

+=

M

kNml

kM


42/50


E%8P 2.

kNml

kM

kNml

kM

1.773

3.6632

1

7337

2

7373

=

+=

=

+=

E%8P 1.

0

3.635.1

65

12

5456

=

=

+=

M

kNml

kM


43/50


E%8P .( )

( ) kNmkM

kNmkM

4.502

2.1252

4545545

5454554

=++==++=

m

m

E%8P .

( )

( ) kNmkM

kNmkM

3.662

3.632

6767667

7676676

=++==++=

m

m


44/50

Transverzalne sileEtap (.

1.2257.612.125 =+=A

M

125.2

261.1

61.55

131.5570

)

Etap 5.50.4

12.6 12.6


45/50

Transverzalne sileEtap 2.

kNmM 8.0102

85.354.63

2

max =

=

66.3 77.1

35.85

35.85

Etap 1.63.4

35.85

4.1510


46/50

Transverzalne sileEtap .

kNmM 4.2202

4.494.63

2

max =

+=

125.2

50.4

3.1 43.1

Etap .63.4

4*.4 50.6

20

20

66.3

7921.3402.125 ==BM

+


47/50

$ormalne sile + va,i i za -!) i za -B)Etapovi ( i .

N1=3.1 kN

1

3.1

61.55

N5=-8.45

kN

Etapovi 2 i .

N3=-50.6

kN

7

35.8

5

50.6N6=-35.8570

Etap 1. Etap 5.

N2=-*2.5

kN

5

12.6

43.18.45

4.15

N4=-4*.4

kN

6

4*.4

35.85

35.85 kN

4*.4 kN


48/50

Dijagram momenata

261.1

2.1

125.2

50.4

63.4

0.8

66.3

77.1


49/50

Dijagram transverzalni& sila

131.55

61.55

49.4

4.15 35.85

12.6

50.6

35.85

3.

1

43.

1


50/50

Dijagram normalni& sila

8.45 49.450.6

92.5

35.85

3.

1