電磁気学３

時間に依存する電磁気学

2017.6.7

の法則

の法則

Gauss

MaxwellAmpere

0

000

E

EJB

t

J

JE

EJ

EJB

t

t

t

t

)(

)(0

)()(

0

0

000

電荷保存則をマックスウェル方程式から導く

電荷保存則はマックスウェル方程式と矛盾しないマックスウェル方程式は電荷保存則を満たすように作られている

0),(

/),(),(

),(),(),(

),(),(

0

000

t

ttt

ttt

t

tt

rB

rrE

rErJrB

rBrE

JBE ,,, t

時間・空間の関数として物質中のMaxwell方程式を書く

があらわに に依存するときも成りつか？

0

/ 0

000

B

E

EJB

BE

t

t

ガウスの法則は時間にあらわに依存しない（時間微分がない）

が、初期状態で電荷分布が与えられれば以後の時間ずっと成り立つ。（電荷が保存するので、とも見なせる）

についても同様

初期条件ならばにある時刻

0),(

0),(),(

)(0),(),(

0)),(),((

),()),((

),(),(

)),(),(()),((

),(),(),(),(),(

0),(),(

),(

),(),(

0

0000

00

000

000

000

000

0

t

tt

tttt

ttt

tt

tt

tt

t

tt

tt

tt

tttt

t

tt

t

ttt

rB

rEr

rEr

rEr

rEr

rErJ

rErJrB

rErJrBrBrE

rBr

rE

rJr

時間に依存するMaxwell方程式

),(),(),()4(

),(),()3(

0),()2(

),(),()1(

000

0

tt

tt

tt

t

t

tt

rErJrB

rBrE

rB

rrE

)Maxwell(

4,

2)2)(1(66)4)(3(

),,(),,,(6

8,

自由度を減らさない方程式から導けるのでは連続の方程式

つの独立な成分は

自由度が減る式で変数が定まるが式からの

変数時刻の求めたいのは各点、各

つの式刻でを与えると各点、各時

J

BE

BE

J

t

BBBEEE zyxzyx

もう少し詳しく

に従って発展つ運動方程式

との独立な式－つの拘束条件＝つ＋方程式

変数は独立なつのの

変数と独立なつのの

ついので独立な変数はを満たさないといけな

方程式から導けるは連続の方程式つの変数このとき

の分布を与えるで

)3(

)2626(Maxwell

)(3),,,(

)(4),,(),,,(

3

)Maxwell(),,,(4,

,0

BvEv

BE

J

J

dt

d

JJJ

BBBEEE

tJJJ

t

m

zyx

zyxzyx

zyx

電磁ポテンシャルの導入pp.416-417

553-554

JAAA

A

A

rrrrA

r

AE

AB

0002

2

00

2

0

2 1)(

,)4(

)),(),,(),,((),(

),(

Vtt

tV

V

tAtAtAt

tV

tV

zyx

は以下を満たす。。成分を導入

ャルを満たす電磁ポテンシ

ゲージ変換 pp.419-422 556-559

JA

AA

AA

r

02

2

00

2

0

2

2

00

2

00 ,0

:

),(

t

Vt

Vt

V

tVV

t

。するとを満たすようにできる

はない）の４つの成分は独立で（

条件と変換してローレンツ

を導入して

つの独立な成分も

つの独立な成分は

3,

3,

BE

A V

自由空間（ ）の電磁波ではさらに自由度が減る

0111

)0(01

0

01

,,

01

0 2

2

2

2

02

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

2

2

2

2

2

tt

t

tdVtc

tdVtctc

Vtc

tdV

VVt

t

V

c

Vt

VV

tc

ならば

とできるとができればとなるように定めるこを

を満たす

もとした

によりを満たす

A

AAA

の条件は必須か？

つの偏光成分横波電磁波の

つ独立な成分はとローレンツ条件より

0

2

200

J

AV

0,0 J

Problem 10.6

時間・空間変動する波源があるとき波動方程式の解

より）たす（はローレンツ条件を満この

の解

JrAr

rrR

rrJ

rA

rr

r

rJrA

rr

tttV

zzyyxxc

Rtt

dR

tt

dR

ttV

ttt

ttV

t

r

r

r

),(),,(

),,(

),(

4),(

),(

4

1),(

),(),(

),(),(

0

0

02

2

00

2

0

2

2

00

2 pp.445-446 562-563

運動する点電荷のポテンシャルLienard-Wiechert potentials

),(),(

4

1

)())((1

|)(|

1

4

),(

4

1),(

:)())((),(

2

00

0

tVc

t

Rc

qc

ttc

t

q

dR

ttV

ttqt

rrr

r

rv

rA

vRvwrwr

rr

r

wwrr

点電荷の運動の軌跡

pp.451-454

568-571

http://webphysics.davidson.edu/applets/sync/default.html

応用 軌道放射光 自由電子レーザー

運動する点電荷による電磁放射

Griffiths Intro. ElectroDynamics

制動輻射、シンクロトロン輻射

pp.486-487 462-463

電磁波の輻射の理論

るの条件で輻射場を求めまとめると

）輻射場が点光源の条件（遠方で

件：電気双極子近似の条

が無視できる条件輻射場に比べて近接場

rd

rrd

d

r

/1:

:

任意の時間変化する電荷分布による電磁場（観測試料）

輻射場（伝搬光） 十分遠方で∝1/r エネルギー∝1/r2

近接場（非伝搬光） 1/r2 1/r3 など高い空間周波数kを持つが試料の近傍のみ

距離波源から観測点までの

：電磁波の波長

波源の広がり

:

:

r

d

電気双極子放射、磁気双極子放射

)(tq

)cos()( 0 tqtq

)(tq

d

zp ˆ)()( dtqt

b

)cos()( 0 tItI

zm ˆ)()( 2 tIbt

pp.466-477

pp.442-453

任意の電荷・電流分布による電磁波放射

2

2 )(

)(

),()(

dt

td

dt

td

dtt

p

p

rrrp

放射電磁波

ポテンシャル

pp.477-480

453-456

電荷分布から遠く離れたところの場

),,(

),(

4),(

),(

4

1),(

0

0

zzyyxxc

Rtt

dR

tt

dR

ttV

r

r

r

rrR

rrJ

rA

rr

r

rr

rr

rr

rr

rrrr

ˆ

)/1(

)/21(

2

ˆ||

2

2/12

222

r

rr

rrR

rrR

rR

rr

のとき

rO

r

R

rrr

JrJA

rrr

rJ

rrJ

rA

rrr

r

rrr

rrr

rr

r

rrR

dcc

rt

rd

r

dcc

rt

r

dR

tt

dcc

rt

r

dr

c

rt

dR

ttV

zzyyxxc

Rtt

r

r

r

)ˆ

,(1

4)(

1

4

)ˆ

,(1

4

),(

4),(

)ˆ

,(1

4

1

ˆ

)ˆ

,(

4

1),(

4

1),(

),,(

00

0

0

0

00

rArrJ

rJrrJr

rrr

rB

rrr

rr

rrrrr

rJrJrJ

rrr

JrJAB

ˆ1

ˆ),(1

4

1

),(ˆ11

4),()

ˆˆ(

11

4

)ˆ

ˆ(1

)ˆ(1

)ˆ(1

)62.10(458.p

),(),(),(2

11

)ˆ

,(1

4)(

1

4

0

0

2

0

2

2

00

tcdt

trc

dttcr

dttrrcr

rrcrcr

ct

ttt

t

t

dtt

tdtt

tdt

r

dcc

rt

rd

r

r

rr

r

rr

r

rrr

r

rr

教科書

項　第

項　第

p.575

rAB

rrArBE

ˆ1

ˆˆˆ

tc

tc

電荷分布から十分遠方では、空間のあまり大きくない領域の場を平面波とみなせる

電気双極子放射

と等価より

の程度とするとを電荷の速度の大きさこの条件は、

が十分に小さいに比べて

周期程度）する時間（電磁波の電荷分布が十分に変化

（周期）

となる条件はで

として、電荷の拡がり

cvcTavT

v

c

Tfcc

a

c

acc

r

cc

rtt

a

r

rr

rr

rrrr

ˆ

1

1ˆ

ˆˆ

rrJ

rrJ

rA

dc

rt

r

rdR

tt r

),(1

4

1),(

4),(

0

0

次の項のみ残すとについて

)56.11(ˆˆ1

4ˆ

)57.11(ˆ1

4ˆ

1

1

4

1

4

1

4),(

),(1

4

),(

4),(

2

2

0

2

2

0

000

0

0

rrprBE

rprAB

prvrA

vJ

rrJ

rrJ

rA

trc

trctc

tre

tre

rt

dc

rt

r

dR

tt r

電気双極子近似次　について1r

輻射の反作用 pp.488-495 464-471

加速電荷 電磁波の放射 電荷はエネルギーを失う運動エネルギーの減少

放射にともなう反作用がある

電荷が自分自身へ及ぼす力

同じ質量の 荷電粒子 と 中性粒子 では荷電粒子のほうが加速しにくい

自己場の衣を着た質量（繰り込まれた質量）

aF c

q

6

2

0rad

電磁気学と特殊相対論 p.502- 479-

4次元時空間の電磁気学

磁場とは何か？磁場に関係する式が速度に依存するのはなぜか？

電磁波、電磁波放射のより深い理解

電磁気学の深い理解