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Entropia e Termodinamica dei Buchi Neri

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  • UNIVERSIT DEGLI STUDI DI TRIESTECORSO DI STUDI IN FISICA

    TESI DI LAUREA TRIENNALE

    Entropia e Termodinamicadei Buchi Neri

    Candidato:FRANCESCO BATTISTEL

    Relatore:Prof. STEFANO ANSOLDI

    Anno Accademico 2014/2015

  • Ci sono pi possibilit di uscire da un buco neroche dalla friendzone.

    Saggezza popolare

  • Indice

    Introduzione i

    Notazione iii

    1 Elementi di teoria dellinformazione 11.1 Il concetto di informazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 La forma funzionale dellentropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Propriet dellinformazione e dellentropia . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Entropia come minima lunghezza media del messaggio . . . . . . . . . 61.5 Lentropia come informazione negativa? . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Entropia di Shannon e entropia termodinamica . . . . . . . . . . . . . 8

    2 I buchi neri nella teoria della Relativit Generale 112.1 Alcune nozioni di geometria differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Caratteristiche dello spaziotempo di Schwarzschild . . . . . . . . . . . 172.3 Risoluzione delle equazioni di Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Il limite Newtoniano delle geodetiche di Schwarzschild . . . . . . . . . 242.5 Commenti sulla soluzione di Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6 Buchi neri elettricamente carichi e/o rotanti . . . . . . . . . . . . . . . 27

    3 Lentropia dei buchi neri 293.1 Lidea di J. D. Bekenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 La forma per lentropia dei buchi neri proposta da Bekenstein . . . . . 303.3 La prima legge della termodinamica dei buchi neri . . . . . . . . . . . 323.4 La funzione di partizione per un buco nero . . . . . . . . . . . . . . . . 333.5 Principi della termodinamica dei buchi neri . . . . . . . . . . . . . . . 353.6 La legge dellaumento dellarea di S. Hawking: una possibile violazione? 363.7 Applicazioni del concetto di entropia dei buchi neri . . . . . . . . . . . 40

    3.7.1 Oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.7.2 Fascio di luce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    3.8 Proposte alternative allentropia di Bekenstein per i buchi neri . . . . 51

    Conclusioni 55

    Bibliografia 57

  • Introduzione

    Lenergia pu trasformarsi in modo relativamente facile da una formaallaltra: cinetica, potenziale, elettrica, nucleare, chimica... La scienzache studia tali trasformazioni la termodinamica. Vi sono, tuttavia,dei limiti a queste trasformazioni, in particolare alla quantit di energiautile che pu essere estratta da un sistema fisico. La grandezza termo-dinamica responsabile di ci la cosiddetta entropia, della quale si diceche stima il grado di disordine di un sistema.

    Il secondo principio della termodinamica, infatti, afferma che lentro-pia delluniverso aumenta costantemente e inesorabilmente: se una partedi esso viene ordinata, ce ne deve essere unaltra in cui si creato almenoaltrettanto disordine.

    Shannon [9] mise in luce nel 1948 il legame tra i concetti di entropiae informazione. Un aumento della prima corrisponde a una perdita dellaseconda; viceversa, se assumo informazione su un sistema, ne sto ridu-cendo lentropia poich, mentre il disordine va inteso come incertezzasu dove si trovino esattamente le cose, una volta che acquisisco tale co-noscenza, avr meno indecisione e mi sembrer che linsieme possieda unsuo particolare ordine.

    Nellambito fisico apparentemente molto diverso della relativit ge-nerale, daltra parte, la teoria prevede lesistenza di oggetti massivi edestremamente densi, tali per cui neanche la luce riesce a sfuggire alla lorogravit. A un osservatore esterno non arriver mai nessun segnale datale zona dello spazio(tempo), che gli apparir come un buco nero [8].

    Allo stato attuale della conoscenza di questi oggetti, sappiamo cheallesterno sono caratterizzati solo da massa, carica elettrica e momentoangolare. Ci significa che due buchi neri con gli stessi parametri sonoperfettamente identici, indipendentemente dalla loro storia. Un risultatodi cruciale importanza stato ottenuto da Stephen Hawking, secondo ilquale larea dellorizzonte degli eventi (il limite oltre cui nulla, nemmenola luce, non pu pi sfuggire) aumenta in seguito a qualsiasi processo checoinvolga uno o pi buchi neri [6].

    A parit di massa, un buco nero elettricamente carico possiede unareainferiore rispetto a uno scarico. Nel paragrafo 3.6 ho provato a violarela legge di Hawking, lanciando una sfera carica contro un buco nero

    i

  • scarico, ma risultato che tale legge mantiene la sua validit, tenendoconto in modo opportuno delle leggi della fisica.

    Fu proprio questo inarrestabile aumento dellarea dellorizzonte deglieventi a far pensare nel 1973 a J. D. Bekenstein [1] che si potesse stabilireunanalogia tra due campi della fisica cos lontani, associando una certaentropia ai buchi neri.

    Bekenstein si rese conto che, in presenza di buchi neri, estremamentefacile violare il secondo principio della termodinamica: un oggetto cheattraversa lorizzonte non pi osservabile dallesterno e, conseguente-mente, scompare anche lentropia termodinamica che era associata a talecorpo. Secondo linterpretazione di Shannon, se avviene una diminuzio-ne dellentropia perch ho guadagnato informazione, tuttavia in questoragionamento sta avvenendo esattamente il contrario!

    Se pensiamo come Bekenstein che il secondo principio debba valeresempre, allora diventa quasi necessario associare unentropia anche aibuchi neri, da intendersi come informazione sullinterno di essi inac-cessibile a un osservatore esterno [1], tale per cui la somma di entropiadei buchi neri ed entropia termodinamica delluniverso sia in continuoaumento.

    Nellarticolo del 1973 Bekenstein pone lentropia dei buchi neri pro-porzionale allarea dellorizzonte degli eventi, mentre il valore oggi accet-tato della costante di proporzionalit stato successivamente stabilitoda Hawking [10]. Nel corso della tesi vedremo le motivazioni e lo svi-luppo di una tale scelta e mostreremo come questa sia efficace in alcuniesempi di rilevante interesse fisico. Valuteremo, infine, proposte alter-native a quella di Bekenstein e discuteremo i problemi ancora irrisolticonnessi allentropia dei buchi neri, alcuni dei quali legati alla teoria del-la radiazione di Hawking [10] e, di conseguenza, al cosiddetto paradossodellinformazione.

    ii

  • Notazione

    Se non dove diversamente indicato utilizzeremo le unit naturali (c =G = ~ = kB = 1).

    Utilizzeremo il simbolo per le definizioni o per imporre uguaglianze(es. per imporre una derivata uguale a 0 nella ricerca di un minimo).

    Gli indici tensoriali possono assumere i valori 0,1,2,3, etichettati in alcunicasi con t, r, , .

    Utilizzeremo la convenzione di Einstein, per cui indici ripetuti in alto ein basso sottintendono la sommatoria: AB

    3=0A

    B.

    La metrica, indicata g , sar sempre lorentziana con segnatura 2, percui gli intervalli timelike saranno negativi, quelli spacelike positivi.

    Il simbolo indica la derivazione covariante, che considereremo semprecompatibile con la metrica.

    I vettori tridimensionali sono indicati in grassetto: A = (A1, A2, A3).Indicheremo con il prodotto vettoriale, con il prodotto scalare tragrandezze di questo tipo.

    Una barra sopra una lettera indica una media. Ad esempio E Ni=1 piEicon {pi}Ni=1 una distribuzione di probabilit.

    L dove sono chiari lindice su cui si sta sommando e i valori che puassumere si scriver solo il simbolo di somma .Una in basso per unapplicazione indica il pullback, in alto indicalaggiunto per un operatore o il duale per uno spazio vettoriale.

    La derivata di a(t) rispetto a t viene indicata come a.

    Se X un qualsiasi tipo di applicazione, il valore assunto in m sarindicato come X|m.

    iii

  • Capitolo 1

    Elementi di teoriadellinformazione

    La teoria dellinformazione come la conosciamo oggi nasce con ClaudeE. Shannon nel 1948, quando viene pubblicato il suo celebre lavoro AMathematical Theory of Communication [9]. Per Shannon il proces-so di comunicazione coinvolge innanzitutto una sorgente di informazioneche produce il messaggio; dopodich questo tramite un trasmettitore vie-ne trasformato, ed eventualmente codificato, in un segnale, al quale sipu sovrapporre del rumore; infine, un ricevitore decodifica il segnalericevuto, ritrasformandolo nel messaggio che arriva cos a destinazione.

    Qui trascureremo tutti gli aspetti pi ingegneristici della comunicazio-ne, inclusi la codifica e la trasmissione del messaggio, nonch la questionedel rumore e della capacit di un canale di trasmettere informazione. Ciconcentreremo invece sul nucleo della teoria di Shannon, riguardante ilconcetto matematico di informazione e della grandezza pi importanteche vi associata, ovvero lentropia.

    1.1 Il concetto di informazione

    Il primo malinteso che pu nascere parlando di informazione in que-stambito riguarda il significato che uno pu associare a una serie dilettere, simboli e/o portatori di informazione in generale, che possonocodificare lo stato in cui si trova, ad esempio, un sistema fisico.

    Il concetto matematico di informazione infatti completamente scol-legato da quello di significato, ma dipende esclusivamente dalla distribu-zione di probabilit delle varie forme che possono assumere i portatori diinformazione. Pi del messaggio, quindi, ci che conta fra quanti diffe-renti messaggi posso scegliere e quanto frequentemente ne scelgo alcunipiuttosto che altri (non necessario un soggetto pensante ma potrebbetrattarsi, e in termodinamica si tratter, di un sistema fisico che puassumere varie differenti configurazioni, alcune pi probabili di altre).

    1

  • Facciamo un esempio ch

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